Sujet

I On considère la série statistique double suivante :

x 2 3 5 8 11

y 5,6 7,2 9,6 15,1 20

1° Calculer les sommes ∑ ∑ ∑∑∑ xyyxyx et ,,, 22 .

2° Représenter le nuage de points.

3° Déterminer les coordonnées du point moyen du nuage de points.

4° Calculer (en justifiant vos résultats à partir de la question 1°) V(x), V(y), cov(x, y).

5° Déterminer (en justifiant les résultats à partir de la question 4°) l’équation de la droite Dy/x

de régression de y en x.

Représenter cette droite.

6° Calculer, à partir de la question 4°, le coefficient de corrélation linéaire. Interpréter le

résultat.

II Le mur d’une habitation est constituée par une couche de béton et une couche de

polystyrène d’épaisseur variable x (en cm). On a mesuré la résistance thermique R de ce mur

pour différentes valeurs de x et l’on a obtenu les résultats suivants :

x 3 5 7 9 11 13 16 21

R 2,04 2,69 3,06 3,90 4,09 4,72 6,16 6,69

1° Représenter graphiquement cette série (x en abscisses et R en ordonnées). Peut-on

envisager un ajustement affine ?

2° Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre x et R. Conclure.

3° Déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de

R en x. Représenter cette droite (en justifiant sa construction).

4° Quelle résistance thermique peut-on espérer obtenir avec une couche de polystyrène de

23 cm ?

On pourra utiliser le document-réponse de la page suivante.

Nom :

I

II.

Corrigé de l’exercice I

1° On obtient ∑ ∑ ∑ ∑∑ ===== 6,421;37,803;223;5,57;29 22xyyxyx .

2° Voir le graphe.

3° Le point moyen M du nuage a pour coordonnées .5,115

5,57et 8,5

5

29==== yx

4° 5,118,55

6,421),cov(;5,11

5

37,803)(V;8,5

5

223)(V 22

×−=−=−= yxyx d’où

V(x)= 10,96 ; V(y)= 28,424 et cov(x, y) = 17,62 .

5° Dy/x a pour équation y=ax+ b où a= 96,10

62,17≈ 1,608 et b= 11,5 –

96,10

62,17×5,8 ≈ 2,1755

puisque cette droite passe par M.

Dy/x passe aussi par le pont de coordonnées 10 et 10a+ b≈18,25 d’où sa construction.

6° Le coefficient de corrélation linéaire r est donné par r=424,2896,10

62,17

×

≈0,998.

L’ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés est excellent, le nuage de ponts est

très proche de Dy/x.

Représentation graphique du problème

M

Dy/x

Corrigé de l’exercice II

DR/x

La représentation graphique de la question 1° et 3°

1° Après avoir placé tous les points, on remarque qu’on peut tracer une droite qui est très

proche de chaque point. On peut donc envisager un ajustement affine.

2° Avec la calculette, on remarque que le coefficient r de corrélation linéaire entre x et R est

donné par r≈ 0,988. Par la méthode des moindres carrés, l’ajustement linéaire est excellent.

3° La droite DR/x a pour équation y=ax+b.

Avec la calculette, on obtient : a≈ 0,271 et b ≈ 1,291

Cette droite passe par le point de coordonnées 2 et 2a+b≈ 1,83 et par le point de coordonnées

20 et 20a+b ≈ 6,71, d’où sa construction.

4° Le nuage de points étant très proche de DR/x, on considère qu’approximativement y=ax+b .

Pour x=23 et 23a+b donne la valeur espérée de R, on prend ici R= 7,52 ( un nombre à 10-2

près comme dans le tableau de l’énoncé).