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Par George L. EKOL
African Virtual university
Université Virtuelle Africaine
Universidade Virtual Africana
Équation différentielle
Mathématiques
Université Virtuelle Africaine 1
NOTE
Ce document est publié sous une licence Creative Commons. http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons
Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/
License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.
Université Virtuelle Africaine 2
I. Équation différentielle _______________________________________ 3
II. Cours ou connaissances préalables nécessaires ___________________ 3
III. Temps ___________________________________________________ 3
IV. Matériel didactique _________________________________________ 3
V. Justification_______________________________________________ 4
VI. Contenu__________________________________________________ 4
6.1 Vue d’ensemble _________________________________________ 4
6.2 Plan __________________________________________________ 5
6.3 Représentation graphique _________________________________ 6
VII. Objectifs généraux du module _________________________________ 7
VIII. Objectifs spécifiques des activités d’apprentissage _________________ 7
IX. Activités d’enseignement et d’apprentissage ______________________ 8
X. Activités d’apprentissage ___________________________________ 12
XI. Glossaire des mot-clés _____________________________________ 68
XII. Liste des lectures obligatoires ________________________________ 70
XIII. Liste des ressources multimédia (optionnelle) ___________________ 70
XIV. Liste de liens pratiques _____________________________________ 71
XV. Synthese du module _______________________________________ 72
XVI. Évaluation sommative ______________________________________ 73
XII. Références ______________________________________________ 83
XVIII. Fichiers de l’étudiant ______________________________________ 84
XIX. Auteur principal du module __________________________________ 84
Université Virtuelle Africaine 3
Par George L. Ekol, BSc,MSc.
Calcul unité 3
Le nombre total d’heures pour ce module est de 120 heures de cours réparties comme suit :
Activité d’apprentissage Sujet Unité Temps #1 Introduction aux équations
di!érentielles du premier et du second ordre
une 30 heures
#2 Techniques et outils pour équa-tions di!érentielles linéaires
une 30 heures
#3 Séries de solutions du second ordre linéaire de l’équation
deux 30 heures
#4 Équations aux dérivées partielles; transformations de Laplace, Séries de Fourier, et leurs applications
deux 30 heures
Ils auront aussi besoin d’un ordinateur pour pouvoir consulter entièrement les lectures nécessaires. De plus, les étudiants devraient être en mesure d’installer
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e par exem-
Les Loi de mouvement de Newton permettent à un corps
vie, on a le diagnostic des maladies et la croissance de plusieurs populations (M.
géométrie, biologie, chimie, économie, ingénierie, et en génie aérospatiale. (M. R.
applications pertinentes dans leurs domaines.
6.1 Vue d’ensemble
-
-
solutions obtenues par la méthode de séparation des variables. On s’intéresse
.
Université Virtuelle Africaine 5
6.2 Plan de cours
Unité 1: Introduction aux équations différentielles ordinaires
Niveau 2. Priorité A. Calcul 3 est pré requis
-
Unité 2: Équation différentielle d’ordre plus élevé et applications
Niveau 2. Priorité B. Équation différentielle 1 est pré requis.
Université Virtuelle Africaine 6
6.2 Représentation graphique
tions
d érentielles du premier ordre et
applications
tions d érentielles du
second
tions homogènes à coe cients constants
tions à coe cients
variables
tions non homogènes
Coe cients indéterminés
Variation des paramètres
Opérateurs d érentielles
inverses
Séries de solution de l’ tion
d érentielle linéaire ordinaire de deuxième
ordre
onctions spéciales
Méthode de séparation
des variables
monie sphéri
Trans ormées de Laplace
et applications
Séries ourrier, trans ormées de ourrier et applications
Université Virtuelle Africaine 7
-
et maitriser leurs applications.-
(Objectifs pédagogiques): différents objectifs pour chaque unité
Vous devriez être capable de :
applications.
base:
1. calcul de base : dérivation et intégration Vous devriez exploiter l’utilité des TIC en :
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9.1 Pré-évaluation
QUESTIONS
pas exactement vraie ?
A. 1cossin 22 xx
B. 1tansec 22 xx
C. xx tan)tan(
D. xx cos)cos(
2. 32xy
au point de coordonnées )1,2( ?
A. 32xy
B. 74xy
C. 94xy
D. 54xy
3. Si xy tan , alors dxdy
est égal à ?
A. x2cot
B. x2sec
C. xx tansecD. ecxcos
xexf 2
2
1)( x .
A. xe2
4
1
B. xe
C. xe4
1
D. xe2
Université Virtuelle Africaine 9
...!7!5!3
)(753 xxxxxf
est la série Taylor standard de :
A. xsinB. xcos
C. )sin( x
D. )cos( x
xxy sinest :
A. la trigonométrie
D. le principe du produit
A. procédéB. inverseC. extrêmeD. résultat
8. Pour trouver la solution de
e2 x sin xdx , l’approche la plus courante est :
A. l’intégration directeB. la méthode de substitution
D. l’intégration par parties
Université Virtuelle Africaine 10
9. Exprimer
x3 1
x2 1
A. x
1
x 1
B. x
1
x 1
C. x
1
x 1
D. x
1
x 1
10. Trouver l’intégrale de
x3 1
x2 1
A.
x2
2ln(x 1) c
B.
x2
2ln(x 1) c
C.
x2
2ln(x 1) c
D.
x2
2ln(x 1) c
Solutions
1. C 2. B 3. B 4. D. 5. A
6. D 7. B 8. D 9. C 10. D
Université Virtuelle Africaine 11
Remarques pédagogiques pour les étudiants
au point P et le même pour retrouver l’inclinaison de la tangente au point P.
du module 3.
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Activité d’apprentissage 1
Introduction àux équations différentielles de premier et de second ordre
degrés;
de séparation des variables;-
ration des variables.
Résumé
-
ce module sont pris en compte.
-
-
Liste des lectures obligatoires :
Introduction to Methods of Applied Differential Equations or Advanced Mathematics Methods for Scientists and Engineers: Mauch Pu-blishing Company.
http://www.its.caltech.edu/~sean
Université Virtuelle Africaine 13
Lectures supplémentaires
-pore: Longman. P.380-386.
Wikibooks, Équations différentielles
Concepts clés
Équation différentielle : -tion et ses dérivées.
Ordre
Degré la plus élevée est soulevé.
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Activité d’apprentissage
Introduction aux équations différentielles du premier et du second ordre.
1.1 Équation différentielle
-
Équation di!érentielle Solution fonctionnement avec le temps
(Étape 2)
Modèle (Étape 1) (Étape 3) interprétation
(Étape 4)
Validation
……………… . .………………
Monde physique
Un système physique dynamique.
1.1.1 Equations différentielles ordinaires et équations aux dérivées partielles
dépend de seulement une
Université Virtuelle Africaine 15
Exemples
Exemple 1:
dydx
2x y ou yxy 2/
)(xfy dépend d’une seule variable x .
)(xfy , x est la variable indépendante, et y est la variable dé-pendante.
Exemple 2 :
yx
2x z),( zxfy dépend de deux variables x et z .
1.1.2 Définition : ordre et degré d’une équation différentielle
L’ordre d’une ED est l’ordre de dérivation le plus élevé dans une expression. Le
Exemple 3 :
dydx
2x y
premier degré
Exemple 4:
yx
2x z
premier degré.
Exemple 5:
d2 xdt2
2dx
t15x 0
premier ordre.
Université Virtuelle Africaine 16
Activités 1.1.1
Activité dans le logiciel : wxMaxima.
n’est pas une raison pour éviter de résoudre les problèmes de l’exercice par vous-
Tout d’abord, télécharger wxMaxima.
-but.
Celà vous permet d’entrer
ddx
ypar exemple
dydx
.
plus simple:
dydx
1
x, avec une constante arbi-traire ajoutée, par exemple x + C
dydx
1.
ode2 -tielle ordinaire (et de second degré).
variable dépendante, et sa variable indépendante.
y, et la dépendante, x.
La solution est Cxy
Université Virtuelle Africaine 17
trouver par vous même la réponse avant d’appuyer sur ENTRER dans wx-Maxima!
dydx
5, dydx
x, dydx
sin x, dydx
x2 5x
2x x doit être entré comme
Lectures obligatoires
CD du cours
En vous basant sur les lectures obligatoires et les notes dans la section 1.4, discuter en groupe de 3-4 de l’ordre et du degré -tielles suivantes.
Université Virtuelle Africaine 18
donnée.
(i) x2 dy ydx 0
(ii)
dydx
3
3x2 1
(iii)
d2 ydx2
1
2
xdydx
1
3
(iv)
d3 ydx2
2
d2 ydx2
5
y ex
1.2. Formation d’une équation différentielle
trouver les solutions, le problème inverse est intéressante aussi. C’est-a-dire
problème est résolu par la dérivation répétée et l’élimination des constantes arbitraires.
Exemple : ayant y c1ex c
2e x 3x comme
sa solution générale.
Solution :
(1) y c1ex c
2e x 3x
(2) y/ c
1ex c
2e x 3
(3) y/ / c
1ex c
2e x
Éliminer 1c et 2c ,
donne y y / / 3x
Université Virtuelle Africaine 19
Activité 1.2.1
indicatione : prendre l’exemple dans la section 1.2.
1. )(42 cxcy , c est une constante arbitraire. [réponse : y( y / )2 2xy / y 0
2. y Ae x Be 3 x
, A et B sont des constants arbitraires. [Réponse :
y/ / 4 y / 3y 0
1.3. Solutions des équations du premier et du second ordre
-
dydx
F (x, y) (1.3.)
où )y,x(F -
seulement si )y,x(Fprésentées dans ce activité.
1.3.1. séparation des variables
Lectures obligatoires : MAUCH, S. (2004).pp.780-782 disponible sur le CD du cours.
Si )y(g)x(f)y,x(F (1.3.1a)
où f et g x et y
(1.3) devient
dydx )()( ygxf (1.3.1b).
x et y sont (1.3.1b),
on a ,
dyg( y)
f (x)dx (1.3.1c).
Université Virtuelle Africaine 20
y implicitement en terme de x .
Exemple
d ydx
y 1
x 1 (1.3.1d).
Solution
dyy 1
dxx 1 (1.3.1e).
Ou bien loge( y 1) log
e(x 1) log
eC
Où C est une constante arbitraire. Ainsi
y 1
x 1 C , (1.3.1g)
est sa solution générale.
Activité 1.3.1
Soit une condition aux limites 1y à 0x .
trouver la solution particulière.
[Solution : y 2(1 x) 1)
1.3.2. Équation différentielle homogène
Lectures obligatoires : MAUCH, S. (2004).pp.786-791 disponible sur le CD du cours.
Une expression de degré n en x est y est dite homogène n
x et y est par tx et ty , on obtient le l’expression originale multipliée par nt ; symbo-
),(),( yxfttytxf n .
Exemple : 22 yxyx est homogène et déterminer son degré.
Solution : Remplacer x et y par tx ty pour obtenir
2222 ))(( yttytxxt )( 222 yxyxt . Le degré est 2.
Université Virtuelle Africaine 21
0),(),( dyyxNdxyxM
x et y si M et N homogènes de même degré dans x et yune substitution vxy ou vyx
Théorème : une équation différentielle du premier et du second degré peut être réduite aux genres de variables séparables parla substitution de vxy ou bien vyx .
Exemple :
0)(2 22 dyyxxydx .
Solution : au premier exemple de cette section).
Soit vxy et xdvvdxdy , obtenir :
0))(()(2 222 xdvvdxxvxdxvxx
0)1()( 2332 dvvxdxvvx .
En les divisant par )( 33 vvx on sépare les variables.
xdx
+ 0)1(
)1(2
2
vvdvv
L’intégration produit :
cvvx ln)1ln(lnln 2 ou bien cvvx )1( 2
En réécrivant les mêmes variables en substituant x
yv , on obtient comme
solution générale cyxy 22 .
Université Virtuelle Africaine 22
Activité 1.3.2
Groupe de discussion :
Problème 222 yxdxdy
xy , 0)1(y
Indication -
x et le résoudre. Après, substituer v et x pour obtenir la solution demandée en termes x et y.
[solution : xyx 22
Université Virtuelle Africaine 23
Activités supplémentaires pour l’unité : groupe de travail
-
Mise en garde
réponses.
Équation di!érentielle Ordinaire ou aux dérivées partielles
Ordre Degré Variable In-dépendante
Variable dépendante
1yxy 52/
2xeyyxy 3/// 54
3
dyu
dxu
tu
2
2
4
4
tsdt
sd
dt
sd3
2
22
3
3
Solution de l’exercice de l’activité d’apprentissage
Équation di!érentielle aux dérivées partielles
Ordre Degré variable indépendante
variable dépendante
1 y/ = x2 + 5y Ordinaire 1 1 x y
2 y// – 4y/-5y = e3x Ordinaire 2 1 x y3
dyu
dxu
tu
2
2
4
Partielle 2 1 x, y, t u
4
tsdt
sd
dt
sd3
2
22
3
3
Ordinaire 3 2 t s
Université Virtuelle Africaine 24
Commentaires pédagogiques sur les solutions de l’activité d’apprentissage
/
/)1 /. La variable indépendante est x.
// 2y/dx2 //)1 //. La variable indé-
pendante est encore x.
aux dérivées partielles de second ordre.22// dtudu
//)1 //. Les variables indé-
33/// dtsds
dérivées sont élevées. Le degré est alors 2 à cause de (s///)2. La variable indé-pendante est t.
Références
ZWILLINGER, D (1997).Handbook of Differential Equations (3e Ed).Boston: Academic Press.
Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2e Ed).Boca Raton: Chapman &
A Treatise on Ordinary and partial Differential Equations. Wiley and Sons.
Wikibooks, Équations différentiellesINCE, E.L. (1956). Ordinary Differential Equations. Dover Publications
Liens externes
Lectures on differential equations MIT Open CourseWare videoOnline Notes/Differential Equations Paul Dawkins, Lamar UniversityDifferential Equations, S.O.S MathematicsIntroduction to modeling via differential equations Introduction to modeling
Differential Equation Solver
Université Virtuelle Africaine 25
Activité d’apprentissage 2
Techniques et outils pour la résolution de différents problèmes de l’équation différentielle ordinaire
-
-gènes;
-tielles;
-rentielles linéaires.
Sommaire
-
examinées. Les activités d’apprentissage de cette unité incluent l’étude par soi-même, les lectures obligatoires, les groupes de discussion et la résolution des problèmes.
Lectures obligatoires (texte principal)
S. (2004, chapitre 17).
Lectures générales supplémentaires
Wikibooks,
Université Virtuelle Africaine 26
Concepts-clés
-
Équations différentielles non-homogènes
-
indéterminés.
Variation des paramètres :
ci-dessous pour les détails)
Technique inverse
(Voir les notes)
Université Virtuelle Africaine 27
2. Activité d’apprentissage
-rentielles linéaires
2.1.1 Définition des équations linéaires
-n
)()()(...)()( 11
1
10 xfyxadxdy
xadx
ydxa
dx
ydxa nnn
n
n
n
(2.1.1)
Où )(...)(),( 10 xaxaxa n et )(xf x ou des constantes.
2.1.2 Définition des équations homogènes et non homogènes
0)(xf homogène -
)(...)(),( 10 xaxaxa n sont x
linéaire réduite.
Exemple : 0322
2
ydxdy
dxyd
x
Si 0)(xf variable ou constant dépendant de si )(...)(),( 10 xaxaxa n
x ou sont des constantes. Exemple : xydxdy
dxyd
x sin322
2
Université Virtuelle Africaine 28
Activité 2.1.2
Travail en groupe. Travailler avec un camarade sur ces problèmes. Discuter des
(i) 20 2xa , xa1 ,2. 2a 53a , xxf cos)(
(ii) 20 2xa , xa1 2. 2a , 33)( xxf
2.1.3 Définition: solution des équations de second ordre
1y et 2y
0)()(...)()( 11
1
10 yxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa nnn
n
n
n
(2.1.3a)
Alors la combinaison linéaire 2211 ycycy où 21 , cc sont des constantes arbiraires, est aussi une solution.
Preuve :
Substituer 2211 ycycy
)()(...)()([ 1
1
11
1
1
1
1
0 yxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa nnn
n
n
n
+
0)()(...)()([ 2
2
11
2
1
1
2
0 yxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa nnn
n
n
n
(2.1.3b)
1y et 2y
Université Virtuelle Africaine 29
2.1.4 Généralisation de la définition de l’équation 2.1.3 à la solution de l’équation différentielle linéaire
Théorème 2.1.4a : si nyyy ,...,, 21
x
nnc ycycycy ...2211 (2.1.4)
Où nccc ,...,, 21
égale à la somme de sa fonction complémentaire intégrale parti-culière. Si P est une solution particulière de (2.1.1), alors la solution générale est :
nnc ycycycPyy ...2211 + P (2.1.4b)
Solution générale = fonction complémentaire + intégrale particulière
2.1.5 Application du théorème 2.1.4b
)(...)(),( 10 xaxaxa n
0... 11
1
10 yadx
dya
dx
yda
dx
yda nnn
n
n
n
(2.1.5a)
En désignant, n
nnx dx
ydyD
0... 1
1
10 yayDayDayDa nxnnx
nx
donc
011
10 y)aDa...DaDa( nxnnx
nx . (2.1.5b)
Université Virtuelle Africaine 30
mDx
m d’un degré n donné :
0...)( 1
1
10 nnnn amamamamg , (2.1.5c)
de degré n
n 0)(mg est dite équation auxiliaire
Théorème 2.1.5: si 1m
0... 11
1
1110 nnnn amamama , alors mxey -
0)...( 1
1
10 yaDaDaDa nnnn
où ia est une constante
Preuve : à la suite d’une
xm
xm
emy
ey1
1
1/
xmemy 121
//
xmemy 131
///
xmnn emy 11
)(
0... 1111
11
1
1110
xmn
xmn
xmnxmn eaemaemaemaou encore
0)...( 1
11
1
1110
xmnn
nn eamamama
1m -
Université Virtuelle Africaine 31
2.1.6 Résumé pour la résolution des équations différentielles homogènes.
-n
indépendante
xmi
iec ),...,1( ni comme sa solution générale, si les racines sont tous distincts.
Exemple : trouver la solution générale de 06/// yyy
Solution : 062 mm
0)2)(3( mm 3m ou 2m . La solution est
xecy 31 + xec 2
2
1 ?
Théorème 2.1.6
r
comme racine, alors rxss excxcxccy )...( 1
1
2
.210 est la solution de
Exemple: si mr mxexccy )( 10
2.1.7 Équation auxiliaire aux racines complexes
biam1 et biam2 alors )sincos( 21 bxCbxCey ax est une solution
baCC ,,, 21 sont des constantes.
Généralisation
)( bia est paire de s-fold de racines complexes, alors -
tion complémentaire sont bxxCxCxCCey ss
ax cos)...[( 1
1
2
.210 sin)...( 1
1
2
.210 bxxDxDxDD ss
Université Virtuelle Africaine 32
Activités d’apprentissage 2.1.7
(i) Lectures individuels : lire
les résoudre par la suite
(a) 023 /// yyy [Solution : xx BeAey 2 ]
(b) 0962
2
ydx
yd
dx
yd[Solution : xeBxAy 3)( ]
Indication
(c) 0573 ////// yyyy
Indication
(iii) groupe de discussion
(ii) ci-dessus en petits groupe et voir s’ils correspondent aux solutions suggérées entre parenthèses.
2.1.8 Équation à coefficients indéterminés
cy ont été développées dans les sections 2.1.4-2.1.6
-
cas, elle peut être utilisée si le deuxième membre )(xfnx , mxe , bxsin ,
bxcos ou des produits de celles-ci.
Université Virtuelle Africaine 33
2.2 Règles générales concernant les techniques des coefficients indéterminées
py
deuxième membre )(xf py son
-
avec un exemple.
intégrale particulière.
Si )(xf est sous la forme Choisir Py qui devient
nn xcxcxcc ...2
.210
rxnn excxcxcc )...( 2
.210
bxcbxc cossin 10
nn xCxCxCC ...2
.210
rxnn exCxCxCC )...( 2
.210
bxCbxC cossin 10
Exemple 2.2.1: trouver l’intégrale particulière de xeyyy 2/// 23
Solution :
xx BeAey 2 . Ainsi,
0232 mm 0)1)(2( mm
2m ou 1m xxc BeAey 2
comme avant.
dessus et la règle générale dans le tableau table 2.2.1, l’intégrale particulière est
xAeY 2 , xAeY 2/ 2 , xAeY 2// 4
xx eeAAA 22)264(
12
1112 AA
Université Virtuelle Africaine 34
12
12 xx BeAey
Activité d’apprentissage 2.2.1
(i) Lectures : étudier la matière présentée dans la section 2.2.
(ii) Groupe de discussion
(a) 2/// 65 xyyy [solution générale :
)108/9()18/5()6/1( 232 xxBeAey xx
(b) xyy sin34// [solution générale :
xxxBxAy 2cos)4/3(2sin2cos
2.3 Méthode pour trouver une solution par la variation des paramètres (VDP)
2.3.1 Introduction
appelées méthode de variation des paramètres.
2.3.2 Description de la méthode
x et
)(xf sera obtenu dans le premier membre.
Université Virtuelle Africaine 35
n ic , ),...,1( ni
, et on a )1(nmanière suivante :
cy pour trouverdxdy
yD ccx
contiennent )(/ xci . On regroupe cette combinaison de termes à zéro.
b) Comme on dérive pour trouver cx yD 2 -
)(/ xci égal à zéro.
cnx yD 1
d) On trouve alors cnx yD -
cy
substitution auront seulement les conditions cnx yD ic sont
x .
)1(n impose par (a)-(c)
n dans n inconnus, ),...,1( ni
n )(xci .
Exemple 2.3.2
Trouver la solution générale de 2// xyy (2.3.2)
Solution 1012 mm ou 1m
xxc ekeky 2.1 (2.3.2a)
Université Virtuelle Africaine 36
ic , )2,1(i x :
xxp excexcy )()( 2.1 (2.3.2b)
xxp ececy 2.1
/ + xx ecec /2
/1
(2.3.2c)
Imposer la première condition, c’est-à-dire 0/2
/1
xx ecec 2.3.2d)
encore
Pour obtenir xxp ececy 2.1//
+ xx ecec /
2/
1 (2.3.2e)
les conditions :
xx ecec 2.1 + xx ecec /2
/1
22.1 xecec xx ,
ou bien 2/2
/1 xecec xx
ic
, ),...,1( ni
)(xf .
linéaires
/1c et
/2c -
tions on obtient 2/12 xec x
Ou encore dxexdc x2
1 2
1
dxexc x2
1 2
1
L’intégration par parties nous donne
xexxc )2
11( 2
1)
Université Virtuelle Africaine 37
xx execc 22/
1/2
2
1
L’intégration par parties nous donne encore
xexxc )2
11( 2
2
-
taire plus l’intégrale, c’est-à-dire xx ekeky 2.1+ xx excexc )()( 21
xx ekek 2.1 + )2/1(1[ 2xx + )2/1(1[ 2xx
xx ekek 2.1 - 22x
Activités d’apprentissage 2.3
:
problèmes ont été aussi résolus avec une autre méthode (section 2.2) :
(a) 2/// 65 xyyy
(b) xyy sin34//
Voir si le (TDP) mène aux mêmes solutions obtenues dans la section
(ii) Groupe de discussion
Université Virtuelle Africaine 38
2.4. Opérateurs différentiels
Introduction :
-
linéaire est ainsi discutée. Des séries d’exemples sont données. En plus des
avant de procéder aux prochaines sections.
2.4.1 Symboles et définitions
produire un résultat convenable, et c’est l’opérateur
k
kky dx
ydyD , ,...2,1k
y par rapport à x . kD désigne
la dérivée d’ordre k kD
propriétés suivantes sont valides :
Propriété 2.4.1a. : Si c est une constant alors y )(cyD k ycD k
: )( 21 yyDk )( 1yDk + )( 2yDk
Propriété .2.4.1c. : Deux opérateurs A et B sont égaux si et seulement
si y ByAyPropriété 2.4.1d. : Si les opérateurs A, B, et C sont des opérateurs
4. La distributivitée de la multiplication par rapport à l’addition :
Université Virtuelle Africaine 39
Propriété 2.4.1e. Changement de l’exponentielle. Si )(DPpolynomiale dans D
(a) )[()( yerDPyDPe rxrx
(b) yrDPeyeDP rxrx )()[( ;
(c) yrDPyeDPe rxrx )()[(
2.5 Les opérateurs inverses
-
yD k
zyD
yD11 yDz .
opérateur diffé-rentiel inverse.
kcD )( , ,...,2,1k
Intégral )()( xycD k x
x
uxck
duuyek
ux0
)()!1(
)( )(1
, où 0x est un nombre
Propriété 2.5.2: section.
Propriété 2.5.2a. [)(
1 rxeDP )(rP
erx
, si 0)(rP
Université Virtuelle Africaine 40
rxeDP )(
1
)(! rkex rxk
Propriété 2.5.2c. rxrD
sin1
22 rxr
xcos
2.
Propriété 2.5.2d. rxrD
cos1
22rx
rx
sin2
Propriété 2.5.2e. )sin(1
22bxc
rDbx
brc
sin22
, rb
Propriété 2.5.2f. )cos(1
22bxc
rDbx
brc
cos22
, rb
Propriété 2.5.2g. Illustrée par l’exemple : [)1(
1 3xDD
= 634
24
xx
)1(
1
DD...)1( 421 DDD
...311 DDD
On a
[)1(
1 3xDD
...[[[ 333131 xDxDxD
= 634
24
xx
Propriété 2.5.2h. Changement d’exponentiel.
[)(
1ye
DPrx [
)(
1y
rDPerx
Université Virtuelle Africaine 41
Activité d’apprentissage 2.5
S. (2004, pp.902-915).
1. xeD 42
2. xD 2sin)4( 12 (indication : essayez la propriété 2.5.2c)
3. 412 51([ xDD (indication : essayez la propriété 2.5.2g)
2.6 Application de l’opérateur différentiel inverse aux solutions des équation différentielles linéaires.
)()( xfyDP (2.6.1)
calculer la valeur de y par une division :
)(
)(
1xf
DPy (2.6.2)
Les propriétés données dans les sections 2.5.1 et 2.5.2 peuvent maintenant être
Exemple. Trouver une intégrale particulière
yDDD )1()2( 3 xe2
Solution : y pour obtenir l’intégrale particulière
x
p eDDDy 213 1()2([
Université Virtuelle Africaine 42
par la propriété (2.5.2b), avec 2r , 3k et )1()( DDD
)1()( rrr
xx
p exex
y 2323
36
1
6!3
Activité d’apprentissage 2.6: groupe de travail
Dans cette activité vous discuterez des solutions en groupe de 3 à 5. Le but de cette
présentée dans la section 2.2.
1. xxeyDD 22 )44(
2. xyD 2cos4)4( 2
Université Virtuelle Africaine 43
Activité d’apprentissage 3
Séries de solutions pour les équations différentielles linéaires de second ordre
méthodes de la série des puissances
Résumé
puissances sont présentées. La méthode des séries de puissances est particulièrement
les cas où les méthodes présentées dans les unités précédentes ne marchent pas.
Dans cette activité d’apprentissage deux méthodes sont présentées. La méthode des
-
de Taylor.
Lecture (texte principal)
Introduction to Methods of Applied Mathematics. Il est aussi disponible sur le CD du cours.
Lectures générales supplémentaires :
Wikibooks, Équations différentielles
Mots-clés
Série de puissance : une série dont les termes contiennent des puissances intégrales posi-
tives ascendantes d’une variable, par exemple ...,...33
2210
nn xaxaxaxaa
où les ia sont des constantes et x une variable.
Séries de Taylor :
puissances comme ...,)(...)()()( 3
3
2
210
nn axcaxcaxcaxcc
elles est dite série de Taylor.
Université Virtuelle Africaine 44
Dérivation successive : c’est une des méthodes utilisées pour trouver les
3. 1 Activité d’apprentissage
-
22/ yxy et 0/// xyyxy (3.1)
-néral en calcul élémentaire.
important d’introduire la série de puissances pour nous aider à trouver une solution
3.1.1 Définition Série de Taylor
Taylor
...)xx(!
xf)xx)(x(f)x(f)x(f
/// 2
00
0002
, (3.1.1)
0xx
0xx si )(xf peut être développée en série de puissances
Université Virtuelle Africaine 45
3.1.2 Définition de point ordinaire, singulier et régulier.
)(()(...)()([ 1
1
10 xfyxaDxaDxaDxa nxnnx
nx (3.1.2)
),(xai ),...,0( ni
Le point 0xx est un point ordinaire .0)( 00 xa un point 1xx
0)( 10 xa est appelé point singulier
1xx est un point régulier
)(()()(...)()()()()[( 11
2
21
1
1
1
11 xfyxbDxbxxDxbxxDxbxxDxx nnnnnnn
(3.1.3),
avec 0)(xf et où ),(xbi ),...,1( ni 1xx .
Exemples
Donnez les points singuliers de :
(a) 0)1()3( // yxyx
[Solution : 3x ]
(b) 0)1( 2/////2 yxyyx
[Solution : ix ]
Activité d’apprentissage 3.1.2
donnez les points singuliers de :
(i) 0438 //3/// yxy .[Solution : aucune]
(ii) 0)1()1( ///2 xyyxxyx .[Solution : 1x régulier]
On utilise l’expression « trouver une solution au point 0xx », dans les discussions
une série de puissances de
)( 0xx
Université Virtuelle Africaine 46
0x
)(xy
3.2 Méthode de la dérivation successive
Cette méthode est dite série de Taylor. Elle permet de trouver la solution de la série
0)()()( /// yxryxqyxp (3.2.1)
Où )(),( xqxp et )(xrax .
Pour résoudre (3.2.1) de //y , nous obtenons
)(
)()( ///
xp
yxryxqy (3.2.2)
x 0)(xp est un point singulier ou une singularité de x est appelée point ordinaire ou point non-singulier.
Dans cette méthode on utilise les valeurs des dérivées évaluées au point ordinaire,
Après avoir trouvé les dérivées, on utilise la série de Taylor
!2
))(())(()()(
2//
0/ axay
axayayxy ...!3
))(( 3/// axay (3.2.3)
Exemple 3.2
Trouver la solution de 03/3// yyxxy 0y et 2/y en 1x.
Solution
yxyxy 1/2// 3
yxyxxyxy 2/1//2/// 3)32( ,
.6)62()34( 3/2//1///2 yxyxyxxyxy iv
Université Virtuelle Africaine 47
En évaluant ces dérivées en 1x
2)1(//y ,
4)1(///y ,
.18)1(ivy
En substituant (3.2.3 dans la série de Taylor, la solution sera :
2
)1(2)1(20)(
2xxxy
6
)1(4 3x...
24
)1(18 4x
2)1()1(2 xx 3
)1(2 3x
...
4
)1(3 4x
Activité d’apprentissage 3.2
(i) Lecture :
(ii) Groupe de discussion
(a) Résoudre 22/ yxy 1y en 0x .
[Solution :!2
21)(
2xxxy
!3
8 3x
!4
28 4x...
!5
144 5x
(b) Trouver la solution de 0)1()1( ////// yyxyyx
[Solution : 3
!3
1)( xxxy + 5
!5
1x -… xsin
Université Virtuelle Africaine 48
3.3 Méthode des coefficients indéterminés
Si 0x
...)(...)()()( 0
2
02010
kk xxcxxcxxccxy
i
ii xxc )( 0
0
(3.3.1)
,ic ,...).0(iterme par terme pour obtenir
...)()(2)( 2
0302
/ xxcxxcxy 10
0
)( i
ii xxic (3.3.2)
-
pées dans les termes de ixx )( 0, c’est-à-dire
0)( 0
0
i
ii xxC (3.3.4)
Où iC ic )( 0xx pour
0iC , ,...0i . On pourra alors déterminer les valeurs de ic .
Exemple 3.3
Trouvez une série de solution à
042)1( ///2 yxyyx (3.3.5)
Solution :
est 0x pour cet exemple. On écrit alors
...,)( 44
33
2210 xcxcxcxccxy
...,65432)( 56
45
34
2321
/ xcxcxcxcxccxy (3.3.6 )
Université Virtuelle Africaine 49
4
6
3
5432
// 30201262)( xcxcxcxccxy +…,
les mêmes termes de x
x0 x1
x2 x3
x4 x5
x2 y / /
2c2 6c
3 12c4
...
y / /
2c2 6c
3 12c4 20c
5 30c6
...
2xy / - 2c1 4c
2 6c3 8c
4
...
4 y 4c
0 4c1 4c
2 4c3 4c
4
...
Somme 0 0 0 0 0 ...
2c2
4c0
0 ; c22c
0
6c3
6c1
0 ; c3c
1
12c4
6c2
0 ; c
4
1
2c
2c
0
20c5
4c3
0 ; c
5
1
5c
3
1
5c
1
30c0
0c4
0 ; c60
y(x) c
0c
1x 2c
0x2 c
1x3 c
0x4 1
5c
10x6
c0(1 2x2 x4 ...) c
1(x x3 1
5x5 ...)
Université Virtuelle Africaine 50
Activité d’apprentissage 3.3
Essayez d’abord de résoudre le problème par vous-même en prenant l’exemple (3.3) comme appui. Trouvez la série de solution de :
(a) (2x 1) y / / 3y / 0
(b) (2x2 1) y / / 3xy / 6 y 0
(ii) Groupe de discussion :
les autres membres du groupe on trouvé la solution. Demandez leurs comment ils ont trouvé la solution.
(iii) Lectures suivantes :
Voir dans Wkipedia : méthode des séries de puissances.
3.4 Fonctions spéciales
-
spéciale voici le lien : e
Activité d’apprentissage : consultez ce site web -e, et allez vers les liens disponibles sur cette page pour voir les
Université Virtuelle Africaine 51
Activité d’apprentissage 4
Les équations différentielles partielles, transformée de Laplace, séries de Four-rier, et leurs applications.
-les;
-tions aux dérivées partielles de second ordre;
Résumé
-
-
présentées. La méthode de variation des paramètres est discutée se rapportant
aux limites sont traitées.
Lectures obligatoires (texte principal)
Introduc-tion to Methods of Applied Mathematics : Mauch Publishing Company. Il est disponible aussi sur le CD du cours
Lecture supplémentaire
Wikibooks, Équations différentielles.
Université Virtuelle Africaine 52
Mots-clés
l’expression 73 2xy yde xy x ,une valeur de y
réel de x en multipliant le carré de x x est la y .
Équations différentielles partielles :
par rapport à ces variables.
La variation des paramètresd’apprentissage 3).
Transformée Laplace : f g si
f (x) e xt g(t)dt
Où le chemin de l’intégration est une courbe dans le plan complexe. En général, on
limite le chemin d’intégration dans l’axe réel à partir de 0 à -
f (x) e xt g(t)dt
0
Séries Fourrier : Soit f une fonction 2 -péridoque.
On appelle série de Fourrier de f la série suivante :
1
022110 )sincos(2
1...)2sin2cos()sincos(
2
1
nnn nxbnxaaxbxaxbxaa
où
0n nxdxxfa n cos)(1
et 1n , nxdxxfbn sin)(1
Conditions aux limites :
de valeurs données.
Université Virtuelle Africaine 53
Activités d’apprentissage
4.1 Équations différentielles partielles (EDP) de second ordre
4.1.1 Introduction
-
-
de la séparation des variables.
4.1.2 Quelques définitions
4.1.2a : Une équation aux dérivées partielles -
variables.
l’ordre l’ordre le plus élevé.
yxyx
u2
2
ou de second ordre. La variable dépendante est u ; les variables indépendantes sont x et y .
4.1.2c : Une solution
4.1.2d : la solution générale
4.1.2e : une intégrale particulière
arbitraires.
Université Virtuelle Africaine 54
Exemple 4.1.2e. : en substituant )()(2
1 22 yGxFxyyxu on peut voir
arbitraires )(xF et )(xG . C’est aussi la solution générale.
Si dans l’intégrale, xxF sin2)( , 54)( 4yxG on obtient une intégrale parti-
culière, 53sin22
1),( 422 yxxyyxyxu
-
4.1.2f : une solution singulière -
traires
4.1.2g : une condition aux limites -
Solutions de quelques équations différentielles partielles
Pour avoir une idée sur la nature des solutions des aux dérivées partielles, considérons le problème suivant comme à discuter.
4.2.1 Exemple : trouver la solution de l’EDP
22
126 yxyx
U (4.2.1a)
Ici, la variable dépendanteU dépend de deux variables indépendantes x et y . Pour
trouver la solution, cherchez à déterminer ),( yxU , c’est-à-dire U en terme de x ety . Si on écrit l’ÉDP (4.2.1a) comme suit
yU
x2126 yx (4.2.1b)
Université Virtuelle Africaine 55
Nous pouvons intégrer en terme de x en gardant la constante y pour trouver
)(123 22 yFxyxyU
(4.2.1c)
y désignée par
)(yF . Nous avons maintenant intégré (4.2.1c) en terme de y en gardant la constantex , on obtient
)()(43 32 xGdyyFxyyxU (4.2.1d)
x , )(xGy y , nous pouvons
)()(43 32 xGyHxyyxU (4.2.1e)
-solution générale
(4.2.1a). Si )(yH et )(xG sont connus, par exemple 3)( yyH et xxG sin)(intégrale particulière.
n est dite solution généraleconstante arbitraire est dite intégrale particulière.
à deux conditions.
yyyU 2),1( 2 , 55)2,( xxU
yyGyHyyyU 2)1()()1(4)1(3),1( 232
Université Virtuelle Africaine 56
où )1(45)( 32 GyyyyH
)()1(4543 3232 xGGyyyxyyxU (4.2.1g)
32 )2(4)2(3)2,( xxxU )1()2(4)2(5)2( 32 G + )(xG 55x(4.2.1h)
)(xG )1(62733 2 Gxx .
)1(4543 3232 GyyyxyyxU + )1(62733 2 Gxx
3232 4543 yyyxyyxU 33627 2xx (4.2.1i)
4.3 La méthode de la séparation des variables
Théorème 4.3.1
,...),(,...),( yxFUDD yx (4.3.1a)
où ,..., yx sont des variables indépendantes et ,...),( yx DD est un opérateur polyno-
miale dans ,..., yx DD
de la solution de cU 0,...),( UDD yx (4.3.1b)
pU
Université Virtuelle Africaine 57
En résumé, la solution générale pc UUU (4.3.1c)
Théorème 4.3.2
Soit ,..., 21 UU des solutions de l’équation 0,...),( UDD yx .
Si ,..., 21 aa sont des constantes quelconques, alors
...2211 UaUaU (4.3.2a)
est aussi une solution.
Ce théorème se réfère aux principes de superposition
Supposons une solution de l’équation (4.3.1b) est sous la forme
U )()( yYxX ou tout simplement U XY (4.3.2b)
Par exemple, une fonction seule de x multiplie une fonction de y .
La méthode pour trouver la solution en utilisant l’équation (4.3.2b) est dite méthode de séparation des variables (MSDV). Voici un exemple pour mieux illustrer cette méthode.
Exemple 4.3.2.Résoudre avec la condition aux limites
Ux
3Uy
0 U (0, y) 4e 2 y 3e 6 y (4.3.2c)
Solution : Ici, les variables indépendantes sont x et y , on substitue alors U XYdans l’équation différentielle donnée où X ne dépend que de x et Y ne dépend que de y .
( XY )
x3
( XY )
y0 ou X /Y 3XY /
X /
3XY /
Y (4.3.2d)
Université Virtuelle Africaine 58
Puisque un membre ne dépend que de x et l’autre membre que de y , et X etY sont des variables indépendantes, l’équation (4.3.2c) peut être vrai si et seulement si chaque membre est égal à la même constante.
X /
3XY /
Yc (4.3.2d)
À partir de l’équation (4.3.2d) nous avons donc
X / 3cX 0 Y / cY 0 (4.3.2e)
De par nos connaissances acquises sur les équations différentielles ordinaires, l’équa-tion (4.3.2e)
a des solutions
X b1e3cx
, Y b2e cy
(4.3.2f)
donc
U XY b1b
2ec ( 3 x y ) Bec ( 3 x y )
(4.3.2g)
Où 21bbB
Si nous prenons maintenant la condition de l’équation (4.3.2g) dans l’équation (4.3.2c) on obtient
B e cy 4e 2 y 3e 6 y
(4.3.2h)
Malheureusement l’équation (4.3.2h) ne peut pas être vrai pour un choix quelconque de B et c et il semble que la méthode n’est pas réussie! On peut cependant la réussir en utilisant le théorème 4.3.2 sur la superposition des solutions. À partir de l’équation (4.3.2g) on peut voir que
U 1b
1ec1 ( 3 x y )
et U 2b
2ec2 ( 3 x y )
sont toutes les deux des solutions, alors la solution générale devrait être
U b1ec1 ( 3 x y )
b2ec2 ( 3 x y )
(4.3.3h)
Université Virtuelle Africaine 59
La condition aux limites de l’équation (4.3.2h) mène à
b1e c1 y )
b2e c2 y
4e 2 y 3e 6 y
Qui est satisfaite si on choisi b14 , c1
2 , b23 , c2
6
Cela mène à la solution demandée de l’équation (4.3.2g) donnée par
U 4e2 ( 3 x y ) - 3e6 ( 3 x y )
Conseil d’apprentissage
Un étudiant pourrait se demander pourquoi nous n’avons pas résolu le pro-blème ci-dessus en trouvant d’abord la solution générale pour ensuite obtenir l’intégrale particulière. La réponse est que exceptionnellement dans les cas
qu’on retrouve dans la pratique, l’application de la méthode de séparation des variables combinée avec le principe de superposition peut être une réussite.
Université Virtuelle Africaine 60
Activité d’apprentissage 4.3
(A) groupe de discussion
Déterminez si chacun des s équations différentielles partielles suivantes sont
variables dépendantes et indépendantes. après vos discussions. Vos solutions correspondent-elles à celles fournies?
-
(a)
ut
42ux2
[Solution : linéaire; ordre2;var. dépendante u ; var.indépendante.
., tx ]
(b) x2
3 Ry3
y32 Rx2
[Solution : linéaire; ordre3; var. dépendante R ; var. indépendante ., yx ]
(c) W
2Wr 2
rst [Solution : non-linéaire; ordre 2; var dépendante W ; var. ind
pendantes .,, tsr ]
(d)
2
x2
2
y2
2
z20 [Solution : linéaire; ordre 2; var, dépendante ; var.
indépendantes. ..,, yx ]
(e)
zu
2
zv
2
1 [Solution : non-linéaire; ordre 1 var. dépendante ; var. indépendante . .,vu ]
Université Virtuelle Africaine 61
(B) Lecture
Veuillez lire MAUCH, S (2004, pp.1704-1705) disponible aussi sur votre CD du cours.
Prenez les exemples pour résoudre les problèmes suivants :
Trouver la solution de la condition aux limites
(i)
2Vx y
0; V (0, y) 3sin y , Vx(x,1) x2
(ii)
2Ux y
4xy ex ; U
y(0, y) y , U (x,0) 2 .
Comparez vos résultats avec ceux des autres membres du groupe et discutez de toutes les variations de vos approches.
4.4 Transformée de Laplace
Dans les discussions précédentes de ce module, vous avez appris comment
aux conditions données, qu’on appelle conditions aux limites. Vous vous rap-pellerez que la méthode appliquée consiste à trouver la solution des équations en termes d’un nombre de constantes arbitraires et ensuite déterminer ces constantes à partir des conditions données. Lors de la résolution de problèmes
trouver les solutions. Vous avez probablement souhaité qu’il existe d’autres techniques que vous pourriez utiliser pour résoudre de tels problèmes. La méthode du transformée Laplace nous fourni une autre bonne technique pour la résolution des problèmes dans les équations différentielles. Cette méthode a différents avantages sur les autres méthodes.
Premièrement, en appliquant la méthode, nous pouvons transformer une équation différentielle donnée en une équation algébrique. Deuxièmement, n’importe quelles conditions initiales données sont automatiquement intro-
-
fait gagner du temps pour trouver les solutions tout comme l’utilisation des tableaux des intégrales pour faire l’intégration.
Université Virtuelle Africaine 62
Définition 4.4.1
La transformée de Laplace d’une fonction )(tf
L{ f (t)} F (s) e st
0f (t)dt
(4.4.1)
Elle est dite existante ou non si et seulement si l’intégrale de l’équation (4.4.1) existe [est convergente] ou n’existe pas [est divergente]. La série de valeurs
s s0
( s0R )pour laquelle l’intégrale l’équation (4.4.1) existe est dite rang
de convergence ou d’existence de )}({ tfL . Cependant, Il pourrait arriver que l’équation (4.4.1) n’existe pour aucune valeur de .s Le symbole L dans l’équation (4.4.1) est dit opérateur du transformée de Laplace.
Les transformées Laplace de quelques fonctions élémentaires sont données dans le tableau suivant pour vous permettre de vous y référer facilement.
f (t) L{ f (t)} F (s) 1.
1
1
s s 0
2.
tn n 1,2,3,...
n!
sn 1 s 0
3. t p
p 1
p 1
s p 1 s 0
4. eat
1
s a s a
5. cos t
ss2 2 s 0
Université Virtuelle Africaine 63
6. sin t
s2 2 s 0
7. cosh at
as2 a2 s | a |
8. sinh at
ss2 a2 s | a |
Exemple. 4.4.2 : résoudre y/ / 3y / 2 y 2e t , y(0) 2, y
/ (0) 1
Solution : en prenant la transformée Laplace donnée dans l’équation diffé-rentielle.
[s2Y sy(0) y / (0)] 3[sY y(0)] 2Y
2
s 1
Puis en prenant aussi les conditions initiales y(0) 2, y/ (0) 1 et résoudre
l’équation algébrique pourY , on trouve en utilisant des fractions
Y
2s2 5s 5
(s 1)(s 1)(s 2)=
1 / 3
(s 1)+
4
(s 1)+
7 / 3
(s 2)
En prenant l’inverse du transformée Laplace, on obtient la solution demandée
y
1
3e t 4et 7
3e2 t
Université Virtuelle Africaine 64
Activité d’apprentissage 4.4
Lecture : veuillez lire Mauch, S (2004, pp.1475-1492) disponible aussi sur votre CD de cours.
Résolution de problème : à partir des lectures et des notes du cours résolvez les problèmes suivants.
Résoudre les équations par la méthode du transformée Laplace.
(i) y/ / (t) y / (t) 1, y(0) 1, y
/ (0) 0
(ii) y/ / (t) 3y / (t) 2 y(t) 4 , y(0) 1, y
/ (0) 0
4.5 séries Fourier
La notion de Série de Fourier vient du nom de celui qui l’a découvert dans ses
Les séries comprennent beaucoup d’applications dans la résolution de problèmes en physique. Par exemple dans la conduction de chaleur (et la diffusion). L’équation
Ut
1
k
2Ux2
Où k est une constante et ),( txU est la température au niveau de x au temps .t
Définition 4.5.1
Soit la fonction )(xf L x L -
a
k
1
Lf (x)cos
k xLL
Ldx ,
b
k
1
Lf (x)sin
k xLL
Ldx (4.5.1a)
sont convergentes à )(xf . La séries Fourrier demandée est donnée par
Université Virtuelle Africaine 65
f (x)
a0
2a
kcos
k xL
bksin
k xLk 1
(4.5.1b)
4.5.2 Application à l’équation de conduction de la chaleur
Exemple: une barre métallique de 100cm de long a des extrémités 0x et 100x laissé à 00 C. initialement, la moitié du bar est à 600, pendant que l’autre moitié est à 400 C .
que la surface de la barre est isolée. Trouvez la température partout dans la barre au temps t .
La conduction de l’équation est
Ut
0.162Ux2
(4.5.2a)
où ),( txU est la température au niveau de x au temps .t les conditions aux limites sont
U (0,t) 0 , U (100,t) 0 , U (x,0) 60, 0 x 50 40, 50 x 100 (4.5.2b)
Solution :
Supposons U XT in (4.5.2a ) et à partir des discussions précédentes dans la section 4.3 sur l’équation différentielle partielle, nous obtenons
XT / 0.16 X / /T ou
T /
0.16TX / /
X (4.5.2c)
En les égalisant à une constante, qui est négative dans notre expérience précédente,
et qu’on désigne par by 2 , on obtient
T /
0.16TX / /
X2
{
Université Virtuelle Africaine 66
Ou T/ 2T 0 , X
/ / 2 X 0 (4.5.2d)
La solution de l’équation (4.5.2.d) est
U (x,t) e 0.16 2t ( Acos x B sin x) (4.5.2e)
La première condition dans l’équation (4.5.1b) montre que A 0 , n / 100
Pour satisfaire la dernière condition de l’équation (4.5.1b), on utilise la méthode de superposition des solutions pour obtenir
U (x,t) b
1e 16 (10 ) 6 2t sin
x100
+ b
2e 64 (10 ) 6 2t sin
2 x100
+… (4.5.2f)
Pour 0t ,
b
1sin
x100
+ b
2sin
2 x100
U (x,0) (4.5.1g)
En utilisant donc l’équation (4.3a), on a
b
n
2
100U (x,0)sin
n x1000
100
dx
2
100(60)sin
n x1000
50
dx b
n
2
100(40)sin
n x10050
100
dx
120
n1 cos
n2
80
ncos
n2
cos n
Doncs b
1
200, b
2
40… et l’équation (4.5.1f) devient
U (x,t)
200e 16 (10 ) 6 2t sin
x100
+
40e 64 (10 ) 6 2t sin
2 x100
+…
qui est la solution demandée.
Université Virtuelle Africaine 67
4.5.3 Harmoniques sphériques (HS)
Les harmoniques sphériques sont la portion angulaire d’une série de solutions ortho-gonales, de série de solution e, représentées sous un système de coordonnées sphériques. Les harmoniques sphériques ont beaucoup d’applications pratiques en mathématiques et en science physique. En général, l’application des harmoniques sphériques implique une certaine rigueur en mathématiques. Cepen-dant, pour ce cours d’initiation, nous nous limiterons aux applications théoriques et pratiques des harmoniques sphériques.
Lecture : http://fr.wikipedia.org/wiki/Harmonique_sph%C3%A9rique
Lisez la page web ci-dessus et prenez des notes sur les applications des harmoniques sphériques en mathématique, physique, chimie, biologie et TIC. Prenez en note particulièrement l’application des graphiques 3D qui sont aussi expliquées dans le Module 4 des connaissances de base de la TIC.
Activité d’apprentissage 4.5
Lecture
Veuillez lire MAUCH, S. (2004, pp.1333-1345) aussi disponible sur votre CD de cours.
Groupe de travail
Discutez des solutions du problème suivant en petit groupe de 5 à 6.
Conseil d’apprentissage
Prenez l’exemple 4.5.2 et le principe général de la séparation des variables ainsi que la superposition, pour discuter de la solution concernant le problème de la conduction de chaleur.
Il est important que le modèle de l’équation différentielle partielle à résoudre soit établi convenablement. Ce modèle doit comporter toutes les variables données.
Une barre métallique de 100 cm de long a des extrémités 0x et 100x gardé à 00 C. initialement, le coté droit de la moitié du bar est à 00C, alors que l’autre moitié est à 800C. En supposant une conduction de chaleur (une diffu-
sur n’importe quelle position du bar à une n’importe quel temps.
Université Virtuelle Africaine 68
Problème des conditions aux limites : problème pour trouver une solution à une
série de valeurs données.
Degré : le degré d’une équation différentielle ordinaire est la puissance la plus élevée d’une dérivée.
Équation différentielle : une équation différentielle est une relation entre une fonc-tion et ses dérivées.
Séries Fourier : Soit f une fonction 2 -péridoque.
On appelle série de Fourrier de f la série suivante :
1
2a
0(a
1cos x b
1sin x) (a
2cos2x b
2sin2x) ...
1
2a
0(a
ncos nx b
nsin nx)
n 1
ou
0n , nxdxxfa n cos)(1
et 1n , nxdxxfbn sin)(1
1n , nxdxxfbn sin)(1
Variables indépendantes : l’expression 73 2xy y comme une fonction de xy est alors une fonction de x , une valeur de y est associée à chaque nombre réel
valeur x en multipliant le carré de 3 et en ajoutant 7, on dit alors que x est une va-riable indépendante de la y .
Technique inverse : cette technique est appliquée dans la résolution de l’équation différentielle en appliquant les propriétés de l’opérateur différentiel.
Transformée de Laplace : la fonction f est la transformée Laplace de g si
f (x) e xt g(t)dt
Université Virtuelle Africaine 69
Où le chemin d’intégration est une courbe dans le plan complexe. En général, on limite
le chemin d’intégration dans l’axe réel à partir de 0 à . L’expression formelle
du transformée Laplace est ainsi f (x) e xt g(t)dt
0
Équation non homogènes : une équation différentielle homogène est celui dont le membre droit est égal à zéro. Une équation différentielle non homogène est une équation don le membre droit n’est pas égal à zéro.
Ordre : l’ordre d’une équation différentielle est l’ordre maximal de dérivation qui apparaît dans l’équation.
Équations aux dérivées partielles : une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation qui implique plus d’une variable indépendante et des dérivées partielles par rapport à ces variables.
Série de puissance : une série dont les termes contiennent des puissances entières
positives d’une variable, c’est-à-dire ...,...33
2210
nn xaxaxaxaa où
les ia sont des constantes et x une variable.
ce sont des constantes à déterminer explicitement en trouvant la solution d’une équation différentielle. La méthode qui permet de le faire
est exprimé sous une forme fonctionnelle
Variation des paramètres : c’est une méthode qui permet de trouver une solution particulière d’une équation différentielle linéaire quand la solution générale de l’équation réduite (équation homogène) est connue. (Voir les notes ci-dessous pour les détails).
Séries de Taylor : en général, si une fonction peut être exprimée comme une série de
puissance telle que c0c
1(x a) c
2(x a)2 c
3(x a)3 ... c
n(x a)n ...,
elle est dite série de Taylor.
Dérivation successive : une des méthodes qui permet de trouver les solutions d’une série de puissance d’une équation différentielle.
Université Virtuelle Africaine 70
Mauch, S. (2004). . Mauch Publishing Company.
Chapitres à lire : 14, 15, 16, 17, 21, 23, 28, 30, 35, 36, 37.
Présentation
Ce livre contient beaucoup d’outils pédagogiques en mathématique compris dans un volume. Non seulement vous pouvez travailler par vous-même, mais aussi de manière conventionnelle grâce à la manière dont il est conçu. Les outils sont présentés par des séquences très faciles à suivre. Le livre parle de l’équation différentielle en détail, fourni des exemples ainsi que des solutions aux exercices. L’avantage principal du livre c’est sa disponibilité en ligne gra-
pour la formation à distance dans les pays d’Afrique.
wxMaxima est requise pour ce cours. C’est un système de calcul formel qui est un logiciel. Vous devez l’installer sur un ordinateur pour vous permettre d’explorer les équations différentielles. Le logiciel est à code source ouvert, c’est-à-dire que vous pouvez l’utiliser gratuitement. L’installation des dossiers est incluse dans le CD du cours. Cependant, il est aussi disponible sur Internet au http:// wxmaxima.source-forge.net/.
Université Virtuelle Africaine 71
Présentation
Les pages web suivantes proviennent de Wikibooks. Ils fournissent des liens pratiques pour les outils pédagogiques gratuits à propos de différents sujets sur les équations différentielles. Ils sont alors très recommandés comme outil supplémentaire aux lectures obligatoires.
Équations différentielles /premier ordre http://fr.wikibooks.org/wiki/Analyse/Equation_diff%C3%A9rentielle Équation différentielles / séparation des variables http://fr.wikibooks.org/wiki/M%C3%A9thode_des_
n Équations différentielles /intégration http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9gration_(math%C3%A9matiques)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_d%27%C3%A9quations_(math%C3%A9matiques_%C3%A9l%C3%A9mentaires)
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_lin%C3%A9aire_d%27ordre_deux
Équations différentielles / Non--Homogènes 1 http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_
lin%C3%A9aire#Equation_non_homog.C3.A8neIntroduction aux équations différentielles partielles http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_aux_
d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles Équations différentielles partielles/ équation Laplacienne et Laplace http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Laplace
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier
Université Virtuelle Africaine 72
Dans ce module on présente les équations différentielles ordinaires et les équations différentielles d’ordre plus élevé sous forme de quatre activités d’apprentissages principales. Dans l’unité 1, les équations différentielles ordinaires homogènes et non homogènes sont présentées. On explique quelques méthodes incluant la variation
Dans l’unité 2, des séries de solutions des équations différentielles sont discutées. On parle aussi des équations différentielles partielles et de leurs solutions par la méthode de séparation des variables. Les autres sujets qui sont discutés son les transformées Laplace, les Séries Fourrier, les transformées Fourrier, les fonctions spéciales et les sphériques harmoniques ainsi que leurs applications.
-préhension concernant les équations différentielles et comment appliquer la théorie à la pratique. L’autre aspect important du cours et de savoir comment résoudre les équations différentielles en utilisant différentes méthodes. L’étudiant devrait être aussi en mesure de démontrer sa compréhension à propos des propriétés des fonctions spé-ciales et des harmoniques sphériques ainsi que leurs applications en mathématiques, en science physique et en TIC.
Université Virtuelle Africaine 73
Durée : 3 h
Instructions
Répondez à toutes les questions de la section A et au moins DEUX questions dans la section B
Section A (répondre à toutes les questions de cette section)
a)
dydx
2
ex (2 points)
b) 2
2sin
d yxy
dxx (2 points)
c) 2
22
d y dyxy y
dx dx ( 2
points)
d)
yd4 ydx4
2
3cos xd3 ydx3
dydx
0 (2 points)
Q2. Trouver l’équation différentielle associée à la solution suivante.
y Ax2 Bx C (8 points)
Université Virtuelle Africaine 74
Q.3 résoudre le problème de la valeur initiale.
2 23 ,dy
x x ydx
étant donné que 0 2y (8 points)
Q4. Dire si les équations suivantes son exactes ou pas.
a) 3x2 2 y2 dx 1 4xy dy 0 (4 points)
b) (2x3 3y)dx (3x y 1)dy 0 (4 points)
Q5 trouver la solution générale de l’équation différentielle homogène.
2 23 ,dy
x x ydx
(8 points)
Section B (répondre à au moins deux questions dans cette section)
Q.6 résoudre l’équation différentielle
y" 5y 6 y 2ex par la méthode de variation des paramètres (20 points)
Q.7 une tasse de thé à 90 0 C est placée sur une table de salle à manger à une tempéra-
ture constante de 20 0 C. par expérience, on sait qu’en 10 minutes le thé refroidit
de 90 0 C à 70 0 C.
Quelle sera la température du thé dans 30 minutes? (20 points)
Q.8 résoudre l’équation différentielle :
02" yxy
Par la méthode de série de puissances. (20 points)
Université Virtuelle Africaine 75
Q.9 résoudre l’équation par la méthode du transformé de Laplace :
y" 3y' 2 y 12e4 t , y(0) 1, y' (0) 0 (20 points)
Solutions
Q1.
Ordre Degré Commentaires(a) 1 2 Ordre plus élevé = 1(b) 2 1 Ordre plus élevé = 2(c) 2 1 Ordre plus élevé = 2(d) 4 2 Ordre plus élevé = 4
Q2.
y Ax2 Bx Cy' 2 Ax By" 2 Ay"' 0
L’équation différentielle est 0"'y
Université Virtuelle Africaine 76
Q3.
dydx
x2 3x2 y x2 (1 3y)
Par la méthode de séparation des variables :
dy(1 3y)
x2 dx
En intégrant les deux membres :
constante) uneest ( )31ln(
ln3
)31ln(3
1
3
3
KKxy
Cx
y
( 1 3y) Aex3
(A eK )
At x 0, y 2
(1 6) AA 7
Alors, la solution est :
3
7)31( xey
Université Virtuelle Africaine 77
Q4(a). La solution générale M (x, y)dx N (x, y)dy 0
Est dite exacte si
My
Nx
(3x2 2 y2 )dx (1 4xy)dy 0
M 3x2 2 y2 and )41( xyN
yxNy
yM
4,4
Puisque
My
Nx
4 y
L’équation donnée est donc exacte.
Q4(b). (2x3 3y)dx (3x y 1)dy 0
M 2x3 3y and N (3x y 1)
My
3,Nx
3
Puisque
My
Nx
3
L’équation donnée est exacte.
Université Virtuelle Africaine 78
Q5. y" 4 y' 13y 0
soit y emx
l’équation auxiliaire est :
complexe) (racine 322
642
52164
01342
i
i
m
mm
Il y a deux racines : 2 3i , 2 3i
La solution générale est :
y e 2 x [ Acos3x B sin3x]
Q6.
y" 5y' 6 y 2ex
y" 5y' 6 y 0
L’équation auxiliaire est m2 5m 6 0
m 2 and m 3
La fonction complémentaire est ycAe2 x Be3 x
Soit xey 21 , xey 3
2
Une intégrale particulière y
pest donnée par :
2211 yvyvy p
Université Virtuelle Africaine 79
Où : v
1(x)
g(x) y2
y1y
2
' y2
y1
'dx
v
2(x)
g(x) y1
y1y
2
' y2
y1
'dx
Et xexg 2)(
v1
2ex e3 x
e5 xdx
2 e x dx
v2
2ex e2 x
e5 xdx
2 e 2 x dx
Alors y
p2ex ex
La solution générale est :
y yc
yp
Ae2 x Be3 x ex
Q7. Soit H(t) la température du thé au temps t et 0H la température de la salle au temps t.
Alors :
dHdt
k(H 20)
(H 20) Ae kt
At ,0t H 90 , A 70
De même à At t 10, 70H , k
1
10ln
7
5
Université Virtuelle Africaine 80
H (t) 70e1
10ln
7
5t
Après 15 minutes ( t 15),
H (t) 70e1
10ln
7
5x15
51.60 C
La température du thé après 15 minutes sera d’environ C052 .
Q8. soit y a
nxn
n 0
alors
y' nanxn 1
n 1
y" n(n 1)anxn 2
n 2
en le substituant par 02" yxy
(n(n 1)a
nxn 2
n 2
x2 anxn
n 0
Mettant les séries sous la même puissance de x:
(n 2)(n 1)a
n 2xn
n 0
an 2
xn
n 2
0
Additionnant toutes les séries de n=2on a :
2a
26a
3x (n 2)(n 1)a
n 2a
n 2xn
n 2
0
Université Virtuelle Africaine 81
x:
x0 : 2a2
0 a2
0
x1 : 6a3
0 a3
0
Pour nx on obtient la formule récursive
a
n 2
1
(n 2)(n 1)a
n 2, n 2
Ainsi que pour :
n 2; a4
1
12a
0
n 3; a5
1
20a
1
n 4; a6
1
30a
20 (a
20)
n 5; a7
1
42a
30 (a
30)
n 6; a8
1
56a
4
1
56 12a
0
Et :
y anxn
n 0
a0(1
1
12x4 1
672x8 K ) a
1(x
1
20x5 K )
Université Virtuelle Africaine 82
Q9. Les transformées Laplace des équations donnent :
(s2 Y sY
0Y
1) 3(sY Y
0) 2Y
12
s 4
En mettant les conditions initiales dans l’équation : 0 and 1 10 YY
Y (s2 3s 2) s 312
s 4
Ys2 7s 24
(s 1)(s 2)(s 4)Maintenant :
s2 7s 24
(s 1)(s 2)(s 4)
A(s 1)
B(s 2)
C(s 4)
En résolvant les fractions partielles on obtient : A 6, B 7,C 2
Y
6
s 1
7
s 2
2
s 4
Alors :
y L 1 Y
L 1 6
s 1
7
s 2
2
s 4
6et 7e2 t 2e4 t
Université Virtuelle Africaine 83
AYRES, F., Jr.(1981). . Singapore : McGraw-Hill.
BRAUN, M. (1978). Equations and their Aplications. New York: Sringer Verlag. pp.1-43.
INCE, E.L. (1956). Dover Publications.
JOHNSON, W. (1913) University of Michigan Historical Math Collection: John Wiley and Sons.
MAUCH, S.(2004). . Mauch Publishing Company.
NIELSON, K. L.(1962). Equations. New York : Barnes & Noble.
POLYNIN, A.D., & Zaitsev, V.F., (2003).Handbook of Exact Solutions for Ordinary (2nd Ed).Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press.ISBN
1-58488-297-2.
STEPHENSON, G. (1973). Mathematical Methods for Science Students. Singapore: Longman. p.380-486.
SPIEGEL, M.R. (1971) . USA: McGraw-Hill.
SPIEGEL, M.R. (1981). Applied differential Equations . New Jersey: Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, ISBN 0-13-040097-1
ZWILLINGER,, D (1997). . (3rd Ed).Boston: Academic Press.
Université Virtuelle Africaine 84
Étudiant_Record Evaluation_ Équation_ différen-tielle
Nom de l’étudiant
record No.
Évaluation 1 Évaluation 2 Évaluation 3 Score en moyenne
Note !nale
Remarque
M .George L. Ekol, BSc/Ed, MSc.
Adresse électronique : [email protected]; [email protected]
George Ekol est un enseignant du supérieur et chef du département de mathé-matiques à l’université Kyambogo. Il a un master en science à l’Université Makerere en Uganda. Ses intérêt dans la recherche inclut le model statistique, le calcul statistique et l’analyse de données, ainsi que l’enseignement des sta-tistiques et des mathématiques. Il a présenté de nombreuses recherches dans des conférences internationales et régionales dont :
CME-9, Tokyo (2000);ICSTME, Goa, Inde (2001); ASE, GB (2002); ICMI-Study 14, Dortmund, Allemagne (2004);ICME-10, Danemark (2004);ICMI-conférence régionales, Johannesburg, Afrique du Sud (2005); et l’Institut de mathématiques de Park City, Utah, États-Unis (2005,2006).
Il est membre de la Société mathématique en Ouganda (SMO), Académie nationale des sciences en Ouganda (ANSO), l’Association internationale de l’enseignement en statistique (AIES), l’Association internationale du calcul
Il a contribué à la conception du cours de Basic TIC avec l’Université virtuelle Africaine (UVA) en 2005.
1
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELS
Lectures Obligatoires
Source: Wikipedia.org
2
Table des matières Équation différentielle ................................................................................................................................ 6
Définition ................................................................................................................................................ 6
Les premiers exemples ....................................................................................................................... 6
Équation différentielle, processus d'évolution et déterminisme .................................................... 7
Définition générale ............................................................................................................................. 8
Solutions .................................................................................................................................................. 8
Durée de vie ........................................................................................................................................ 8
Équation différentielle sous forme résolue ...................................................................................... 9
Conditions initiales, théorème de Cauchy-Lipschitz ....................................................................... 9
Conditions aux limites ..................................................................................................................... 10
Résolution explicite .......................................................................................................................... 10
Propriétés de continuité des solutions ................................................................................................ 11
Continuité par rapport aux conditions initiales et aux paramètres ............................................ 11
Propriétés globales ........................................................................................................................... 11
Stabilité des solutions ....................................................................................................................... 11
Effet papillon, chaos ......................................................................................................................... 11
Classifications ....................................................................................................................................... 12
Équation différentielle autonome ................................................................................................... 12
Équation différentielle linéaire ....................................................................................................... 13
Équation différentielle holomorphe ................................................................................................... 13
Résultats locaux ................................................................................................................................ 14
Résultats globaux ............................................................................................................................. 14
Cas linéaire ....................................................................................................................................... 14
Méthodes numériques .......................................................................................................................... 14
Méthode d'Euler ............................................................................................................................... 14
Autres méthodes ............................................................................................................................... 15
Équation différentielle sous forme implicite ...................................................................................... 15
Traitement d'un exemple ................................................................................................................. 15
Généralisation .................................................................................................................................. 17
Transformée de Laplace ........................................................................................................................... 18
Définition .............................................................................................................................................. 18
3
Inversion ............................................................................................................................................... 19
Propriétés .............................................................................................................................................. 19
Linéarité ............................................................................................................................................ 19
Dérivation ......................................................................................................................................... 19
Intégration ........................................................................................................................................ 20
Valeur finale ..................................................................................................................................... 20
Valeur initiale ................................................................................................................................... 21
Convolution ...................................................................................................................................... 21
Transformée de Laplace d'une fonction de période T .................................................................. 21
Quelques transformées usuelles .......................................................................................................... 21
Système oscillant à un degré de liberté ................................................................................................... 24
Généralités ............................................................................................................................................ 24
Système masse-ressort ..................................................................................................................... 24
Systèmes analogues .......................................................................................................................... 26
Problèmes particuliers considérés .................................................................................................. 26
Oscillations libres ................................................................................................................................. 27
Systèmes conservatifs ....................................................................................................................... 27
Systèmes dissipatifs .......................................................................................................................... 29
Q ou facteur de qualité ........................................................................................................................ 30
Oscillations forcées ............................................................................................................................... 31
Généralités ........................................................................................................................................ 31
Systèmes conservatifs ....................................................................................................................... 32
Systèmes dissipatifs .......................................................................................................................... 33
Facteur de qualité et oscillations forcées ............................................................................................ 34
Distribution de Dirac ................................................................................................................................ 36
Introduction formelle ........................................................................................................................... 36
Convolution .......................................................................................................................................... 38
Transformée de Fourier ...................................................................................................................... 38
Dérivée .................................................................................................................................................. 39
Représentations de la fonction δ ......................................................................................................... 39
Généralités ........................................................................................................................................ 39
Notation ............................................................................................................................................. 40
4
Exemple élémentaire ........................................................................................................................ 40
Autres exemples ............................................................................................................................... 41
Applications .......................................................................................................................................... 42
Probabilités ....................................................................................................................................... 42
Analyse des enregistrements ........................................................................................................... 42
Série de Fourier ......................................................................................................................................... 43
Préliminaire .......................................................................................................................................... 44
Polynômes trigonométriques ........................................................................................................... 44
Principe des séries de Fourier ......................................................................................................... 45
Aspects historiques ............................................................................................................................... 45
Les origines ....................................................................................................................................... 45
Avancée conjointe des séries de Fourier et de l'analyse réelle ..................................................... 46
De nouveaux outils d'étude .............................................................................................................. 47
Coefficients de Fourier ........................................................................................................................ 47
Coefficients complexes ..................................................................................................................... 47
Coefficients réels .............................................................................................................................. 48
Égalité de Parseval ........................................................................................................................... 49
Effet de la dérivation sur les coefficients ........................................................................................ 50
Coefficients et régularité de la fonction ......................................................................................... 50
Reconstitution des fonctions ................................................................................................................ 51
Théorème de convergence ponctuelle (de Dirichlet) ..................................................................... 51
Théorème de convergence uniforme de Dirichlet ......................................................................... 52
Phénomène de Gibbs ........................................................................................................................ 52
Convergence en moyenne quadratique .......................................................................................... 53
Théorème de Fejér ........................................................................................................................... 54
Convergence simple ......................................................................................................................... 55
Applications .......................................................................................................................................... 55
Calculs de séries ............................................................................................................................... 55
Équations différentielles et aux dérivées partielles ....................................................................... 56
Inégalités fonctionnelles ................................................................................................................... 57
Extension du concept de série de Fourier .......................................................................................... 58
Extension aux distributions ............................................................................................................. 58
5
Espaces de Hilbert ............................................................................................................................ 58
Série et transformation de Fourier ................................................................................................. 59
6
Équation différentielle
En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions
inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de
différenciation auquel une des fonctions inconnues a été soumise.
Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de
phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité ou la
mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un vaste champ
d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'en mathématiques appliquées.
Définition []
Les premiers exemples []
Même si ce n'est pas la discipline qui a fait naître les équations différentielles, la dynamique des
populations en illustre de façon simple des exemples parmi les plus accessibles. Ainsi l'étude
d'une population isolée, dans un milieu produisant de la nourriture en abondance, conduit au
modèle suivant pour l'effectif x en fonction du temps t
C'est-à-dire que l'accroissement de population x'(t), est à chaque instant, proportionnel à la taille
de la population x(t) . Les solutions de cette équation font apparaître un phénomène de croissance
exponentielle. Cet exemple, avec les exemples les plus simples d'équations différentielles sont
décrits dans l'article équation différentielle (mathématiques élémentaires).
Les courbes d'évolution des populations pour les équations de Lotka-Volterra.
7
Un système plus complexe, formé de deux espèces, proie et prédateur, conduit aux équations de
Lotka-Volterra
L'effectif des proies est x(t) , celui des prédateurs y(t) . On retombe sur le cas précédent si y est
nul. La quantité x(t)y(t) est une probabilité de rencontre, qui influe négativement sur une
population (les proies), positivement sur l'autre (les prédateurs). À chaque instant, connaissant
les populations en présence, on peut décrire la tendance. Ces deux équations sont couplées c'est-
à-dire qu'il faut les résoudre ensemble. Mathématiquement, il faut les concevoir comme une
seule équation d'inconnue le couple (x(t),y(t)) . Si l'effectif initial des populations est connu,
l'évolution ultérieure est parfaitement déterminée. Elle se fait le long d'une des courbes
d'évolution figurées ci-contre, qui laissent apparaître un comportement cyclique.
Une des plus célèbres équations différentielles est la relation fondamentale de la dynamique, de
Newton : f = ma , où m est la masse d'une particule, f la force exercée sur celle-ci et a
l'accélération qui en résulte. Dans le cas d'un mouvement rectiligne, si la force subie est fonction
de la position (par exemple dans le cas d'un ressort) on obtient une équation de la forme
Cette fois, pour déterminer parfaitement le mouvement, il faut se donner position et vitesse
initiales.
Équation différentielle, processus d'évolution et déterminisme []
Les caractéristiques d'un système régi par une équation différentielle sont les suivantes :
Les états a priori possibles pour le système forment un espace de dimension finie, c’est-
à-dire peuvent être décrits par un nombre fini de variables. Cet espace est l'espace des
phases. Par exemple, pour décrire le mouvement d'une particule dans l'espace usuel, il
faut trois variables. Pour le mouvement d'un solide, six sont nécessaires.
Les lois qui gouvernent l'évolution temporelle sont des fonctions au moins dérivables.
L'évolution du système est déterministe : connaissant les conditions initiales, c'est-à-
dire l'état du système au temps présent, on peut en déduire l'état du système à n'importe
quel temps du futur ou du passé.
L'aspect déterministe des équations différentielles a des implications particulièrement fortes, et
se concrétise mathématiquement par le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Les équations différentielles ordinaires (parfois représentées par le sigle EDO) doivent être
distinguées des équations aux dérivées partielles (EDP), où y est fonction de plusieurs
8
variables et où interviennent des dérivées partielles. Ces dernières ont un espace d'état de
dimension infinie et ne sont plus nécessairement des processus d'évolution déterministes.
Définition générale []
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
Par définition, une équation différentielle (parfois : équation différentielle ordinaire) est une
équation de la forme suivante où F est une fonction continue sur
un ouvert U de , appelé domaine.
L'ordre de cette équation différentielle est l'ordre n de la plus haute dérivée y apparaissant.
Soient y une fonction de x définie d'un intervalle I dans E et les dérivées
successives de la fonction y. Cette fonction y est dite solution si elle est de classe et si
Résoudre une équation différentielle revient à trouver les fonctions solutions y. Par exemple,
l'équation différentielle y ' ' + y = 0 a une solution générale de la forme : y(x) = A.cos x + B. sin
x, où A, B sont des constantes (qu'on peut déterminer si on ajoute des conditions initiales).
Dans une équation différentielle, la fonction y peut être à valeurs réelles, ou à valeurs dans un
espace vectoriel de dimension finie, ainsi si y a pour composantes y1 et y2 :
L'usage en physiques est de parler alors de système d'équations différentielles couplées. Mais
le point de vue fécond en mathématiques est de n'y voir qu'une seule équation, pour une fonction
à valeurs vectorielles.
On peut encore élargir la définition, en considérant des équations différentielles sur des variétés
différentielles.
Solutions []
Durée de vie []
Si y est solution d'une équation différentielle sur l'intervalle I, on peut considérer sa restriction à
un intervalle J inclus dans I. Celle-ci restera solution de l'équation différentielle. Une solution est
encore appelée courbe intégrale.
9
Il est souvent judicieux de ne considérer que les solutions maximales, encore appelées courbes
intégrales maximales, c'est-à-dire celles qui ne sont les restrictions d'aucune autre. L'intervalle
de définition est nommé intervalle maximal.
Il ne faut pas croire pour autant que les solutions maximales sont définies sur entier. Il est tout
à fait possible qu'elles aient une durée de vie finie dans le futur ou dans le passé. Il en est ainsi
des solutions de l'équation y'=y2, par exemple.
Cependant, si une solution reste confinée dans un domaine compact, alors elle a une durée de vie
infinie.
Équation différentielle sous forme résolue []
Une équation différentielle d'ordre n est mise sous forme résolue quand on peut exprimer la
dérivée la plus forte en fonction de x et des dérivées précédentes
où G est une fonction continue.
Exemple []
L'équation différentielle scalaire d'ordre 1 sous forme résolue : y ' = G(x, y), admet une
interprétation géométrique simple dans le plan ramené à un repère d'axes (Ox), (Oy). On peut
représenter, attaché en chaque point de coordonnées x, y, le vecteur de composantes 1 et G(x, y),
ce qui constitue un champ de vecteurs du plan. Les courbes solutions sont des représentations
graphiques de fonctions y = f(x), continûment dérivables, dont la tangente en chaque point est
donnée par le champ de vecteurs.
Forme résolue et forme implicite []
Les équations différentielles qui peuvent se mettre sous forme résolue jouissent de bonnes
propriétés théoriques, avec un théorème d'existence et d'unicité de solutions : le théorème de
Cauchy-Lipschitz.
Dans le cas contraire on dit que l'équation différentielle est sous forme implicite. On essaie, sur
les domaines les plus grands possibles, de mettre l'équation différentielle sous forme résolue.
Puis on doit procéder au raccordement des solutions obtenues. Le traitement des équations
différentielles de ce type sera évoqué en fin d'article.
Conditions initiales, théorème de Cauchy-Lipschitz []
Article détaillé : Théorème de Cauchy-Lipschitz .
10
Une condition initiale ou condition de Cauchy, pour une équation d'ordre n d'inconnue y est la
donnée d'une valeur x0 et de n vecteurs Y0,..., Yn-1. La fonction solution y satisfait ces conditions
initiales si
Un problème de Cauchy est la donnée d'une équation différentielle avec un jeu de conditions
initiales.
Pour une équation différentielle sous forme résolue, moyennant une hypothèse de régularité
assez peu exigeante (caractère localement lipschitzien à x fixé, par rapport au bloc des autres
variables), le théorème de Cauchy-Lipschitz énonce que, pour chaque condition initiale
il existe une solution qui la satisfait et qui est définie sur un intervalle de la forme ]x0 −
α,x0 + α[
il existe une unique solution maximale qui la satisfait.
Conditions aux limites []
Un autre problème classique est celui des conditions aux limites, pour lequel on prescrit les
valeurs d'une fonction solution en plusieurs points, voire les valeurs des limites d'une fonction
solution aux bornes du domaine. Ainsi le problème:
Un tel problème (parfois appelé problème de Dirichlet) peut très bien n'avoir aucune solution
ou au contraire une infinité de fonctions solutions.
Résolution explicite []
Article détaillé : Résolution d'équations différentielles par quadrature.
La résolution explicite des équations différentielles, à l'aide des fonctions usuelles et de
l'opérateur de primitivation, est rarement possible. Un petit nombre d'équations possédant des
formes particulières peuvent être ramenées par changements de variables successifs à l'équation
la plus simple de toutes : l'équation qui est une simple primitivation.
Parmi les équations différentielles pouvant être entièrement résolues sont les équations linéaires
scalaires d'ordre un, les équations à variables séparées, les équations homogènes, l'équation de
Bernoulli, les équations différentielles vectorielles à coefficients constants.
D'autres peuvent être entièrement résolues dès lors qu'une solution particulière est connue, ainsi
l'équation différentielle linéaire d'ordre deux, l'Équation différentielle de Riccati.
11
Propriétés de continuité des solutions []
Continuité par rapport aux conditions initiales et aux paramètres []
Article détaillé : flot (mathématiques).
La donnée des conditions initiales x0, Y0,..., Yn-1 définit une unique fonction solution qu'on peut
noter S(x0, Y0,..., Yn-1, x). On définit ainsi une fonction globale S qui prend le nom de flot, coulée
ou encore courant et qui rend compte de la façon dont les solutions varient avec les conditions
initiales. Son domaine d'existence est un ouvert.
En se plaçant dans les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz, les solutions dépendent
continûment des conditions initiales, c'est-à-dire que la fonction S est une fonction continue de
l'ensemble de ses variables.
Si on fait dépendre continûment le système d'un paramètre λ, il y a également continuité de S par
rapport à ce paramètre. En effet ajouter un paramètre peut se ramener à le système. Il suffit de
rajouter une composante Λ à la fonction cherchée, et lui demander de vérifier l'équation Λ' = 0 et
la condition initiale Λ(x0) = λ.
Propriétés globales []
Soit y une solution particulière de l'équation différentielle, avec pour conditions initiales x0, Y0,...,
Yn-1. La propriété de continuité permet de donner le comportement des solutions correspondant à
des conditions initiales voisines.
si on restreint la solution à un segment [xi, xf] contenant x0, les solutions de conditions
initiales voisines forment un tube de solutions autour de la solution y.
Plus précisément, pour tout , il existe η > 0 tel que si z est solution avec des conditions
initales x0, Z0,..., Zn-1 et les Zi η-proches des Yi, alors la solution z est tracée dans un voisinage
tubulaire de y, de rayon .
Par conséquent, si on prend une suite zn de telles solutions, dont les conditions initiales tendent
vers celles de y, la suite zn converge uniformément vers y.
si on étudie la solution sur tout son domaine d'existence, une telle propriété n'est plus
vérifiée.
Stabilité des solutions []
La solution ( ,0) de l'équation différentielle x'=f(t,x) est stable s'il existe une fonction de
Liapounov
Effet papillon, chaos []
12
Article détaillé : théorie du chaos.
Les propriétés de continuité précédentes sont à manier avec précaution, puisqu'elles n'apportent
pas d'information quantifiée. Dans la pratique, on observe dans de nombreux systèmes une
sensibilité extrême sur le long terme à de petites variations initiales, phénomène popularisé par
Edward Lorenz sous le nom d'effet papillon. Pour rendre compte de façon satisfaisante de
l'évolution d'un système physique sur un temps très long, il faudrait pousser les mesures de
conditions initiales jusqu'à une précision inenvisageable. Ainsi il faudrait englober dans le calcul
des prévisions météorologiques de très long terme jusqu'aux battements des ailes de papillon.
Les systèmes régis par des équations différentielles, bien qu'étant en principe déterministes,
peuvent arborer des comportements extrêmement complexes et paraissant désordonnés,
chaotiques. Henri Poincaré fut le premier à éclaircir cette notion de chaos déterministe. Ses idées
tarderont à être reprises, mais servent maintenant de fondement à la théorie des systèmes
dynamiques.
Classifications []
Équation différentielle autonome []
Tracé d'une courbe intégrale (bleu) suivant un champ de vecteurs (vert)
Articles détaillés : équation différentielle autonome et champ vectoriel.
Un cas particulier important est celui où la variable n'apparaît pas dans l'équation fonctionnelle,
alors qualifiée d'autonome : ainsi l'équation y' = f(y).
Les lois de la physique s'appliquent en général à des fonctions du temps, et se présentent sous
forme d'équations différentielles autonomes, ce qui manifeste l'invariance de ces lois dans le
temps. Ainsi si un système autonome revient à sa position initiale au bout d'un intervalle de
temps T, il connaît dès lors une évolution périodique de période T.
13
L'étude des équations autonomes est équivalente à celle des champs de vecteurs. Pour une
équation du premier ordre, les solutions sont une famille de courbes qui ne se coupent pas
(d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz) et qui remplissent l'espace. Elles sont tangentes au
champ de vecteurs en chaque point.
Voir aussi théorème de Poincaré-Bendixson.
Équation différentielle linéaire []
Article détaillé : équation différentielle linéaire.
Une équation différentielle est dite linéaire quand l'expression de l'équation est linéaire (ou plus
généralement affine) relativement au bloc de variables (y,y',...y(n)
). Une équation différentielle
linéaire scalaire d'ordre n et d'inconnue y sera donc de la forme
où , , ... , sont des fonctions numériques.
Une équation différentielle linéaire vectorielle d'ordre n aura le même aspect, en remplaçant les
ai par des applications linéaires (ou souvent des matrices) fonctions de x. Une telle équation sera
parfois aussi appelée système différentiel linéaire.
Particularités des équations différentielles linéaires sous forme résolue
les solutions ont une durée de vie infinie.
on peut superposer (faire des combinaisons linéaires) de solutions d'équations
différentielles linéaires
quand l'équation est homogène (an + 1 = 0), son ensemble de solutions est un espace
vectoriel de dimension n fois la dimension de E.
il suffit donc d'exhiber un nombre suffisant de solutions indépendantes de l'équation
homogène pour la résoudre. On peut tester l'indépendance de solutions à l'aide du
wronskien.
l'ensemble des solutions de l'équation générale est un espace affine : la solution générale
est formée de la somme de cette solution particulière avec la solution générale de
l'équation linéaire homogène associée.
la Méthode de variation des constantes permet, une fois résolue l'équation homogène, de
résoudre l'équation complète
dans le cas d'équations à coefficients constants, on dispose de formules de résolution
explicites à l'aide d'exponentielles de matrices ou d'endomorphismes, ou encore en
utilisant la transformation de Laplace.
Équation différentielle holomorphe []
Article détaillé : équation différentielle holomorphe.
14
Une équation différentielle holomorphe est l'homologue, pour la variable complexe, d'une
équation différentielle ordinaire. La théorie générale en est beaucoup plus complexe.
Résultats locaux []
Une équation différentielle holomorphe sous forme résolue vérifie l'analogue du théorème de
Cauchy-Lipschitz : existence et unicité locales d'une fonction solution, elle-même holomorphe.
En outre si l'équation dépend de paramètres de façon holomorphe, la solution aussi. Il y a aussi
dépendance holomorphe en les conditions initiales.
Cependant il n'y a plus en général raccordement en une unique solution maximale.
Résultats globaux []
On connaît des difficultés même pour l'équation différentielle la plus simple : le calcul de
primitives. Par exemple la construction d'une fonction telle que le logarithme complexe n'est pas
univoque. On peut chercher à construire des déterminations de la fonction logarithme sur les
ouverts les plus grands possibles : par exemple des plans fendus. On peut aussi construire une
primitive « le long d'un chemin ». Apparaît alors le phénomène de monodromie : si le chemin
fait un tour dans le sens direct autour de l'origine, la primitive est modifiée d'une constante (2iΠ).
Pour rendre compte de la situation, il faut faire intervenir les concepts de revêtement, point de
branchement.
Les fonctions puissances sont également solutions d'équations différentielles simples et
susceptibles de présenter de la monodromie. Ainsi l'équation z' = − z3 n'admet aucune solution
non nulle holomorphe, ni même méromorphe sur le plan entier.
Cas linéaire []
La théorie des équations différentielles holomorphes linéaires sous forme résolue est très
semblables à celle des équations pour la variable réelle, tant qu'on reste sur des domaines
simplement connexes. Sinon elle donne également lieu à des problèmes de type point de
branchement.
Méthodes numériques []
La résolution des équations différentielles par quadrature (c'est-à-dire à l'aide des opérations
élémentaires et de la primitivation) n'est possible que dans un nombre de cas très restreints. Par
exemple, même les équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux n'admettent pas de
telle formule de résolution générale. Il est donc indispensable de disposer de techniques de
résolution approchée.
Méthode d'Euler []
15
Article détaillé : méthode d'Euler.
Cette méthode, la plus ancienne et la plus simple, possède également un intérêt théorique
puisqu'elle permet de prouver un résultat d'existence de solutions sous des hypothèses plus
faibles que le théorème de Cauchy-Lipschitz : c'est le théorème de Cauchy-Peano-Arzela.
On considère une équation différentielle d'ordre 1 sous forme résolue y'=f(x, y), avec la
condition initiale y(x0)=y0.
Le principe est d'approcher la solution y sur [a, b] par une fonction affine par morceaux, en
opérant une discrétisation du paramètre : on pose
xi = a + ih où h = (b − a) / n est le pas.
La fonction affine par morceaux joindra donc les points de coordonnées (xi, yi), et il s'agit de
proposer un algorithme pour construire les yi à partir de y0. Sur chaque intervalle [xi, xi+1] on
prend pour pente du segment affine celle que suggère l'équation : f(xi, yi).
Autres méthodes []
Article détaillé : résolution numérique d'équation différentielle.
Les plus classiques sont la méthode d'Euler améliorée (l'erreur est divisée par 4 si le pas est
divisé par 2, ce qui est une amélioration notoire de la méthode d'Euler simple), les méthodes de
Runge-Kutta, la méthode de Newmark, la méthode des différences finies ou la méthode des
éléments finis qui est plus adaptée pour les E.D.P.
Équation différentielle sous forme implicite []
Traitement d'un exemple []
16
Tracé de quelques solutions de (y')²+xy'-y=0. En bleu les solutions régulières, en vert la solution
singulière, en rouge la solution hybride mentionnée dans le texte
Soit l'équation différentielle implicite
Pour l'étudier on effectue un régionnement du plan : on distingue les valeurs (x, y) pour
lesquelles l'équation T2+xT-y=0 admet 0,1 ou 2 solutions. On obtient trois régions U, V, W. La
région V est la parabole d'équation , les régions U et W sont les deux ouverts qu'elle
délimite.
On commence par s'intéresser aux solutions qui ne sont tracées que sur un des trois domaines
1. Dans la région U, l'équation n'admet aucune solution.
2. Il y a une solution tout entière tracée dans V, c'est la solution singulière
tracée en vert ci-contre.
3. Dans l'ouvert W, l'équation peut être mise sous l'une des deux formes résolues
Chacune de ces deux équations vérifie le théorème de Cauchy-Lipschitz. Si on se restreint à
l'ouvert W, il y a donc exactement deux solutions pour chaque couple de solutions initiales. Elles
17
sont tracées en bleu sur la figure ci-contre. Dans le cas présent il s'agit d'ailleurs de droites,
d'équation
Elles sont tangentes à la parabole d'équation . Plus précisément, les solutions
tracées sur W sont ces droites, arrêtées au point de tangence puisqu'on sort de W.
On peut maintenant faire l'étude de l'équation différentielle sur le plan entier. Il existe alors des
solutions « hybrides » formées en raccordant de façon un arc de parabole (verte) avec les
solutions rectilignes (bleues). Ainsi la solution représentée en rouge :
Un tel raccordement ne peut se faire qu'en un point de V. La description de l'ensemble de toutes
les solutions se ferait en discutant en fonction de la condition initiale x0, y0
1. Condition initiale dans U : pas de solution
2. Condition initiale dans V : pour les valeurs de x supérieures à x0, la solution peut être la
parabole entière, ou alors on suit un arc de parabole puis on bifurque sur la tangente. De
même pour les valeurs inférieures à x0.
3. Condition initiale dans W : il y a d'abord deux droites solutions, tangentes à la parabole.
Soit on les prolonge indéfiniment, soit on les quitte pour la parabole au niveau du point
de tangence. On continue alors sur la parabole, ou on repart sur une tangente un peu plus
loin.
Généralisation []
Article détaillé : équation différentielle implicite.
Pour généraliser cette étude il faut se placer dans un espace à trois dimensions, de coordonnées
notées (x, y,p). À l'équation différentielle est associée la surface d'équation F(x, y,p)=0 (la
coordonnée p permet de représenter y' ). Les solutions sont des courbes tracées sur la surface.
Les difficultés rencontrées viennent de ce que ces courbes sont projetées sur le plan (x, y).
L'application de projection connaît des points critiques aux points où le gradient de F est
« vertical ». Ce sont ces points qui se projettent en la parabole verte.
Finalement, le cadre d'étude est le même que celui de la théorie des enveloppes. La parabole,
solution singulière est ici l'enveloppe de la famille des droites, solutions régulières.
18
Transformée de Laplace
Définition []
En mathématiques et en particulier en analyse fonctionnelle, la transformée de Laplace
monolatérale d'une fonction f d'une variable réelle positive t est la fonction F de la variable
complexe p, définie par:
Les propriétés de cette transformation lui confèrent une grande utilité dans l'analyse des systèmes
dynamiques linéaires. La plus intéressante de ces propriétés est que l'intégration et la dérivation
sont transformées en division et multiplication par p, de la même manière que le logarithme
transforme la multiplication en addition. Elle permet ainsi de ramener la résolution des équations
différentielles linéaires à coefficients constants à la résolution d'équations affines (dont les
solutions sont des fonctions rationnelles de p) (voir Application de la transformation de Laplace
aux équations différentielles).
La transformation de Laplace est très utilisée par les ingénieurs pour résoudre des équations
différentielles et déterminer la fonction de transfert d'un système linéaire. Par exemple, en
électronique, contrairement à la décomposition de Fourier qui est utilisée pour la détermination
du spectre d'un signal périodique ou même quelconque, elle tient compte de l'existence d'un
régime transitoire précédant le régime permanent (exemple : la prise en compte de l'allure du
signal avant et après la mise en marche d'un générateur de fréquence).
Il suffit en effet de transposer l'équation différentielle dans le domaine de Laplace pour obtenir
une équation beaucoup plus simple à manipuler.
Par exemple, lors de l'étude d'une machine à courant continu :
dans le domaine temporel devient dans le domaine de
Laplace. Attention, ceci n'est valable dans ce cas que si les conditions initiales du signal i(t) sont
nulles.
On a utilisé ici des propriétés de la transformation de Laplace, explicitées ci-dessous.
Remarque : la notation "s" (variable de Laplace) est souvent utilisée dans les pays anglo-saxons
alors que la notation "p" est utilisée notamment en France et en Allemagne. La transformation de
Laplace est obligatoirement appliquée à des signaux causaux c’est-à-dire nuls avant t=0. (Pour
les signaux non causaux des astuces de décalages existent)
19
On définit aussi la transformation de Laplace-Carson par[1]
:
qui permet d'associer à toute fonction d'une variable
une fonction image
Cette transformée est utilisée de préférence par les ingénieurs car :
Une constante a pour image la même constante,
Les équations aux dimensions (et donc l'homogénéité) des expressions sont conservées
par la transformation,
Plus grande facilité d'emploi en calcul matriciel et tensoriel.
Inversion []
L'inversion de la transformation de Laplace s'effectue par le moyen d'une intégrale dans le plan
complexe. On démontre presque sans difficulté que pour t positif,
où γ est choisi pour que l'intégrale soit convergente, ce qui implique que γ soit supérieur à la
partie réelle de toute singularité de F(p).
Pratiquement, dans les cas généraux, on rapproche les formules dans l'univers de Laplace aux
formules connues pour utiliser la table de transformée inverse.
Propriétés []
Linéarité []
Dérivation []
Soit à calculer :
En intégrant par parties, on obtient :
20
soit finalement (et de proche en proche ou par récurrence pour les dérivations successives) :
La cinquième formule peut se démontrer de cette manière:
On part de la définition de
puis :
Soit, en évaluant l'intégrale
qui est aussi la transformée de c'est-à-dire
C’est-à-dire :
Intégration []
Valeur finale []
21
Valeur initiale []
Convolution []
Il faut faire attention aux ensembles sur lesquels sont définies les fonctions f et g. En effet, la
convolution et la transformée de Laplace imposent des conditions pas toujours compatibles. Le
plus simple est de les définir sur en les multipliant par la fonction indicatrice de leur ensemble
de définition initial.
Transformée de Laplace d'une fonction de période T []
On peut montrer la formule de la manière suivante :
On regroupe les termes :
Alors,
Quelques transformées usuelles []
22
La transformée de Laplace n'est valide que pour des t supérieurs à c'est pour cela que toutes
les fonctions qui suivent dans cette table sont multiples ou composées de u(t) (fonction échelon
unité).
Fonction
Domaine temporel
Transformée de Laplace
Région de
convergence
1 délai idéal
1a impulsion
unité
2
retard à la n-
ième
puissance
avec
décalage
fréquenciel
2a puissance n-
ième
2a.1 puissance q-
ième
2a.2 échelon unité
(Heaviside)
2b échelon
retardé
2c rampe
2d
retard avec
décalage
fréquentiel
2d.
1
décroissance
exponentielle
3 approche
exponentielle
4 sinus
5 cosinus
6 sinus
hyperbolique
23
7 cosinus
hyperbolique
8
Décroissance
exponentielle
d'une onde
sinusoidale
9
Décroissance
exponentielle
d'une onde
cosinusoidal
e
10 n-ième
racine
11 logarithme
12
Fonction de
Bessel
du premier
type,
d'ordre n
13
Fonction de
Bessel
modifiée
du premier
type,
d'ordre n
14 Fonction
d'erreur
Notes:
représente la fonction de Heaviside.
représente la fonction de Dirac.
est la fonction Gamma.
est la constante d'Euler-Mascheroni.
, est un nombre réel, il représente typiquement le temps,
mais peut désigner n'importe quelle autre quantité.
est un nombre complexe.
, , , et sont des nombres réels.
est un entier.
24
Système oscillant à un degré de liberté
Les phénomènes physiques dépendant du temps sont généralement décrits au départ par des
équations différentielles. Dans le cas le plus simple, il y a une seule grandeur qui varie et on
parle de système à un degré de liberté, la plupart du temps régi par une équation différentielle du
second ordre. Les phénomènes naturels sont presque toujours non-linéaires mais, dans de
nombreux cas, l'hypothèse des petits mouvements permet d'aboutir à une excellente
approximation fournie par une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre
deux. Cet article a pour but de donner une interprétation physique de la théorie correspondante.
Généralités []
Système masse-ressort []
En mécanique, cette équation concerne particulièrement le système masse-ressort constitué par
une masse accrochée à un ressort et contrainte de se déplacer dans une seule direction. Son
mouvement est dû à trois forces :
une force de rappel FR,
une force d'amortissement FA,
une force extérieure FE.
M étant la masse et x sa position comptée à partir de l'équilibre, l'équation du mouvement s'écrit
alors
25
La force de rappel est une fonction de la position qui varie en sens inverse de l'excursion, tout en
passant par l'origine lorsque les excursions sont comptées à partir du point d'équilibre. Si on
suppose qu'elle est fournie par un ressort hélicoïdal, au delà d'une certaine extension le ressort se
détend et l'allongement varie beaucoup plus vite que la tension. Inversement, au delà d'une
certaine compression les spires deviennent jointives et il faut fournir des efforts considérables
pour faire varier la longueur. En se plaçant dans le cas des petits mouvements, la fonction
compliquée ainsi obtenue se réduit à une fonction linéaire dans laquelle K est la raideur du
système (Loi de Hooke) :
En ce qui concerne l'amortissement, qui dépend de la vitesse, on peut rencontrer un
amortissement quadratique produit par les tourbillons ou la turbulence dans un fluide ou un
frottement sec entre deux solides, à peu près indépendant de la vitesse. Néanmoins, à l'aide d'un
raisonnement analogue au précédent, on est souvent amené à considérer un amortissement
linéaire. Celui-ci s'observe en particulier dans un fluide, lorsque la vitesse est suffisamment
faible pour que la viscosité ne soit plus négligeable (voir Nombre de Reynolds). On a alors, B
étant le coefficient d'amortissement :
Enfin, la force extérieure peut être représentée par n'importe quelle fonction du temps f(t), ce qui
conduit à l'équation
26
Systèmes analogues []
On trouve une équation analogue dans d'autres problèmes de mécanique comme celui du pendule
décrit par sa masse M, son moment d'inertie I, un coefficient d'amortissement B, la distance l de
son centre de gravité à l'axe de rotation et un moment excitateur m(t). Si θ représente l'excursion
angulaire, l'équation du mouvement s'écrit
Si on s'en tient aux petits mouvements, l'équation se réduit à
Cette équation est identique à celle du système masse-ressort.
En électricité on trouve aussi une équation du même type pour un circuit comportant une auto-
inductance L, une résistance R, une capacité C. La quantité d'électricité q engendrée par une
tension v(t) est donnée par
Problèmes particuliers considérés []
27
Dans les équations ci-dessus, les coefficients sont tous positifs, ce qui, comme on le verra plus
loin, assure la stabilité du système sans laquelle il serait sans grand intérêt d'exprimer les
solutions en détail.
En ce qui concerne la force excitatrice du second membre on est amené à considérer deux types
de problèmes. Si ce second membre est nul, il s'agit d'oscillations libres obtenues en écartant le
système de sa position d'équilibre.
A l'opposé, une excitation non nulle crée des oscillations forcées qui subsistent seules après
l'extinction des oscillations libres due à l'amortissement. Le problème de base concerne
l'excitation sinusoïdale. Celui-ci est non seulement intéressant en lui-même mais la linéarité du
système permet aussi, grâce au techniques d'analyse spectrale, d'étendre les résultats obtenus à
des excitations beaucoup plus compliquées considérées comme des sommes de sinusoïdes.
Enfin, bien que le mouvement perpétuel ne puisse exister, toute oscillation non entretenue
s'éteignant plus ou moins rapidement, il est commode dans certaines circonstances de négliger
l'amortissement et de distinguer les systèmes conservatifs des systèmes dissipatifs.
Oscillations libres []
Systèmes conservatifs []
Solution mathématique
L'équation d'un système sans amortissement écarté de sa position d'équilibre s'écrit donc
Selon la méthode décrite dans l'article précité sur les équations du second ordre, on cherche une
solution de la forme x = ert, ce qui conduit à l'équation caractéristique
Cette équation possède deux racines imaginaires conjuguées. On peut remarquer au passage que,
si la «raideur» K était négative, on obtiendrait deux racines réelles de signes opposés, la valeur
positive entraînant une instabilité du système.
La solution générale s'écrit
En utilisant les formules d'Euler, cette équation devient
28
Solution en termes physiques
En posant a = A cos φ et b = -A sin φ, on obtient
Le mouvement est représenté par une sinusoïde définie par une amplitude A, une phase φ et une
pulsation exprimée en radians par seconde, dite pulsation propre, qui ne dépend que de la masse
et la raideur du système :
On en déduit la fréquence propre, nombre d'oscillations par seconde exprimé en hertz (Hz) :
et la période propre, durée en secondes d'une oscillation :
L'une ou l'autre de ces trois grandeurs constitue l'information essentielle sur le système. Il est bon
de remarquer que, quel que soit ce système, une augmentation de la masse accroît la période
tandis qu'une augmentation de la raideur accroît la fréquence.
Solution en fonction des conditions initiales
Les deux autres constantes peuvent s'interpréter en fonction de la position x0 et la vitesse v0
initiales. D'une manière générale, elles peuvent être prises en compte en utilisant la
29
transformation de Laplace mais, dans ce cas précis, le calcul direct à partir de la première
expression réelle est plus simple. On obtient :
Solution en termes énergétiques
D'un point de vue énergétique, on calcule le travail des deux forces d'inertie et de rappel entre
l'instant 0 et l'instant t par des formules du type
En faisant passer au second membre les termes constants, on obtient
L'énergie totale du système, somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, reste
constamment égale à celle qui lui a été fournie en l'écartant de sa position d'équilibre. On parle
de système conservatif qui n'existe pas dans la réalité car, dans tous les cas, l'énergie se dissipe à
travers des phénomènes variés : il ne peut y avoir de mouvement perpétuel.
Systèmes dissipatifs []
Solution mathématique
Dans un système réel, l'équation différentielle devient
et son équation caractéristique
30
Il y a maintenant deux racines réelles ou complexes selon le signe du discriminant B2 - 4 K M.
Dans les deux cas, elles ont une partie réelle négative, ce qui fait tendre la fonction vers 0.
Si le coefficient d'amortissement B reste faible on a, par continuité avec le cas précédent, deux
racines complexes conjuguées qui conduisent à une solution oscillante mais amortie. Les
amortissements élevés qui rendent le discriminant positif interdisent toute oscillation.
Solution en termes physiques
Les formules se simplifient en utilisant la pulsation propre ω0 du système non amorti et le
paramètre β défini par 2 β ω0 = B / M. Pour β < 1, il vient
La pseudo-période de cette sinusoïde amortie est d'autant plus longue que l'amortissement est
plus élevé. Lorsque β devient supérieur à 1, elle cesse d'exister et l'on a la solution
Solution en termes énergétiques
Le terme d'amortissement ne peut être intégré a priori. En le faisant passer dans le second
membre, on obtient
L'énergie totale du système diminuant constamment, le nouveau terme s'appelle fonction de
dissipation. On peut remarquer qu'un « amortissement » négatif créerait de l'énergie.
Q ou facteur de qualité []
31
Pour décrire l'amortissement d'un système oscillant mécanique ou électrique on emploie le
facteur de qualité ou simplement le Q du système. Dans le système mécanique précèdent, il est
défini comme:
Un système très amorti a un Q faible. À l'inverse, un Q élevé correspond à un système peu
amorti. Pour fixer les idées, le Q d'une voiture avec des amortisseurs en bon état est légèrement
supérieur à 1. Le Q d'une corde de guitare est de quelques milliers. Celui des quartz utilisés en
électronique pour fabriquer des oscillateurs stables est de l'ordre de quelques millions.
Avec les notations précédentes, il vient β = 1 / 2Q. En introduisant le nombre d'oscillations n(t) =
ω0t / 2π, l'oscillation s'écrit pour β<1
Ainsi, pour des oscillateurs peu amortis, le Q est égal à π fois le nombre d'oscillations que le
système fait pendant que son amplitude tombe d'un facteur 1/e ou à 3 fois le nombre
d'oscillations pour que l'amplitude tombe à 1/3 si l'on tolère une approximation plus grossière.
Puisque l'énergie mécanique de l'oscillateur est proportionnelle au carré de l'amplitude, Q est
aussi égal à 2π fois le nombre d'oscillations effectuées avant que son énergie ne tombe d'un
facteur 1/e, ce qui revient à dire que Q est aussi égal au nombre d'oscillations effectuées avant
que son énergie ne tombe d'un facteur 1/e2π
≈1/535.
Oscillations forcées []
Généralités []
Ces oscillations correspondent à une équation non homogène qui s'écrit
Selon la théorie, la solution générale d'une telle équation est égale à la somme de la solution
générale de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation non homogène. Ceci
se traduit en disant que le mouvement obtenu est la somme de l'oscillation propre, qui dépend
des conditions initiales, et de l'oscillation forcée par la force extérieure ; on parle aussi de
réponse à l'excitation décrite par le second membre. Généralement, il suffit de ne considérer que
cette réponse qui subsiste seule après l'extinction de l'oscillation propre due à l'amortissement.
Pour ce faire il est commode d'utiliser les nombres complexes en considérant simultanément
l'équation
32
et d'ajouter cette équation multipliée par i à la précédente. En posant x + i y = z, on obtient
La recherche d'une solution z = Zeiωt
conduit à
En ignorant pour l'instant la forme exacte, cette équation se réécrit
H(ω) représente la fonction de transfert qui décrit la réponse en fonction de la pulsation. Elle
peut s'exprimer en module et argument :
d'où
La partie réelle est
Ainsi, à une excitation sinusoïdale un système linéaire fait correspondre une réponse sinusoïdale
de même pulsation. De même, à une somme de sinusoïdes correspond une somme de sinusoïdes.
Pour chacune d'entre elles le module et l'argument de la fonction de transfert représentent
respectivement l'amplification et le déphasage. A l'inverse, toute non-linéarité crée des
composantes qui n'existent pas dans l'excitation.
Systèmes conservatifs []
33
La fonction de transfert s'écrit
Son module est
L'amplification croît avec un déphasage nul à partir de la valeur statique F/K jusqu'à l'infini
lorsque ω atteint la valeur ω0. Ensuite elle décroît jusqu'à zéro avec un déphasage égal à -π.
La valeur infinie correspond à la résonance lorsque le système est excité à sa pulsation propre.
Dans la conception d'un système, le simple calcul de cette pulsation (ou fréquence ou période
propre) peut conduire à l'inertie ou la raideur d'un système pour l'éloigner des excitations
attendues. En tout état de cause, la réponse ne peut être que finie à cause de l'amortissement qui
est négligé ici.
Systèmes dissipatifs []
34
Dans ce système plus réaliste, la fonction de transfert devient
L'amplification est
Il apparaît que le dénominateur de la fonction de transfert ne peut plus s'annuler : pour un
amortissement faible on a une courbe de réponse voisine de celle du système non amorti mais
avec un maximum fini. En annulant la dérivée de |H| par rapport à ω2, on obtient la pulsation qui
donne ce maximum :
A mesure que le coefficient d'amortissement B augmente, l'abscisse du maximum diminue
jusqu'à 0 où la fonction de ω devient décroissante, ce qui se produit pour l'amortissement critique
Le déphasage est défini par
Pour les plus petites valeurs de la pulsation on a le régime quasi-statique dominé par la raideur
dans lequel la réponse est en phase avec l'excitation ; pour les plus grandes, on atteint le régime
dominé par l'inertie dans lequel la réponse est en opposition et l'amplification est de l'ordre de
F/Mω2. L'amortissement devient essentiel loin de ces deux extrêmes.
Facteur de qualité et oscillations forcées []
35
Réponse en fréquence d'un système oscillant.
Dans le même exemple précédent on peut écrire la fonction de transfert comme:
mais et .
Avec ceci, la fonction de transfert peut s'écrire:
Le module de la fonction de transfert est:
36
En observant les courbes de droite on comprend mieux l'intérêt d'utiliser le facteur de qualité Q.
L'amplitude à la résonance ( ) est Q fois l'amplitude en basse fréquence.
Distribution de Dirac
La distribution de Dirac, aussi appelée par abus de langage fonction δ de Dirac, introduite par
Paul Dirac, peut être informellement considérée comme une fonction δ qui prend une « valeur »
infinie en 0, et la valeur zéro partout ailleurs, et dont l'intégrale sur est égale à 1. La
représentation graphique de la fonction δ peut être assimilée à l'axe des abscisses en entier et le
demi axe des ordonnées positives. D'autre part, δ correspond à la « dérivée » de la fonction de
Heaviside (au sens des distributions). Mais cette fonction de Dirac n'est pas une fonction, elle
étend la notion de fonction.
La fonction δ de Dirac est très utile comme approximation de fonctions dont la représentation
graphique a la forme d'une grande pointe étroite. C'est le même type d'abstraction qui représente
une charge ponctuelle, une masse ponctuelle ou un électron ponctuel. Par exemple, pour calculer
la vitesse d'une balle de tennis, frappée par une raquette, nous pouvons assimiler la force de la
raquette frappant la balle à une fonction δ. De cette manière, nous simplifions non seulement les
équations, mais nous pouvons également calculer le mouvement de la balle en considérant
seulement toute l'impulsion de la raquette contre la balle, plutôt que d'exiger la connaissance des
détails de la façon dont la raquette a transféré l'énergie à la balle.
Par extension, l'expression « un Dirac » est donc souvent utilisée par les physiciens pour
désigner une fonction ou une courbe « piquée » en une valeur donnée.
Introduction formelle []
(On se place dans )
La fonction δ de Dirac est la mesure borélienne qui ne charge que le singleton {0}:
Soit A un borélien. Un calcul direct établit que δ est bien une mesure de Borel, la seule vérifiant:
- Si A contient 0:
- Sinon:
Comme toute fonction mesurable f est limite simple de fonction étagées, on a:
37
Du point de vue radonien, on donne: .
Soit K un compact: La restriction d'une telle forme linéaire sur est clairement continue
(δ est donc bien une mesure de Radon), de norme 1. En effet:
Nous pouvons alors voir δ comme une distribution d'ordre 0:
est une forme linéaire telle que:
(Rappelons que note la norme dans le contexte des distributions)
Appliquons la définition du support d'une distribution: spt δ = {0} est compact. Par suite, δ est
temperée
Autres présentations(sur ):
Tout élément [f] de (c'est-à-dire localement intégrable au sens de Lebesgue) s'identifie à
une forme linéaire
Par analogie, on définit δ par l'égalité suivante :
Le seul être mathématique δ qui vérifie rigoureusement cette équation est une mesure. C'est
pourquoi l'existence de δ a un sens dans le cadre mathématique des distributions. En définissant
les fonctions δn par : δn(x) = n pour et partout ailleurs, nous avons :
38
La suite δn converge au sens faible vers δ.
Ainsi, par abus de langage, on dit que la fonction δ de Dirac est nulle partout sauf en 0, où sa
valeur infinie correspond à une « masse » de 1, c'est-à-dire qu'elle correspond à une mesure qui à
un sous-ensemble de R associe 0 si 0 n'est pas dans le sous-ensemble et 1 sinon.
Cette distribution peut aussi être vue comme la dérivée, au sens des distributions, de la fonction
de Heaviside.
Donnons . Alors
Convolution []
δ est l'élément neutre de la convolution:
D'où:
Cette propriété est abondamment utilisée en traitement du signal. On dit qu'un signal
correspondant à une distribution de Dirac a un spectre blanc. C’est-à-dire que chaque fréquence
est présente avec une intensité identique. Cette propriété permet d'analyser la réponse
fréquentielle d'un système sans avoir à balayer toutes les fréquences.
Transformée de Fourier []
La transformée de Fourier de la fonction δ de Dirac s'identifie à la fonction constante 1 :
Conséquence:
39
ainsi δ est le Fourier de 1.
Dérivée []
La dérivée de la fonction δ de Dirac est la distribution δ' définie par :
pour toute fonction de test φ,
Plus généralement, on a la dérivée n-ième de δ, δ (n)
:
Les dérivées de δ de Dirac sont importantes parce qu'elles apparaissent dans la transformation de
Fourier des polynômes.
Une identité utile est
où les xi sont les racines (supposées simples) de la fonction g(x). Elle est équivalente à la forme
intégrale :
Représentations de la fonction δ []
Généralités []
La fonction δ peut être regardée comme limite d'une suite (δa) de fonctions
Certains appellent de telles fonctions δa des fonctions « naissantes » de δ.
Celles-ci peuvent être utiles dans des applications spécifiques.
Mais si la limite est employée de manière trop imprécise, des non-sens peuvent en résulter,
comme d’ailleurs dans n'importe quelle branche de l’analyse en mathématique.
40
La notion d’approximation de l’unité, a une signification particulière en analyse harmonique, en
rapport avec la limite d’une suite qui converge vers un élément neutre pour l'opération de
convolution (sur des groupes comme par exemple le groupe unité). Ici l’hypothèse est faite que
la limite est celle d’une suite de fonctions positives.
Notation []
Dans certains cas, on utilise une fonction décentrée de Dirac, et elle est notée:
Voir par exemple : produit de convolution.
Exemple élémentaire []
Pour les "non-mathématiciens", la «dérivation» de la fonction de Heaviside ou fonction unité, ou
fonction échelon, qui conduit au deuxième exemple donné dans le paragraphe suivant, offre une
bonne introduction à la fonction de Dirac ou impulsion.
Pour cela, on considère une suite de fonctions définies par
Les dérivées δa(x) valent 1 / 2a entre x0-a et x0+a : l'aire enfermée par la courbe vaut 1.
41
A partir de là, on peut écrire
Il existe donc un nombre c compris entre x0-a et x0+a tel que
Cette expression se réduit à f(c) qui tend vers f(x0) lorsque a tend vers 0, ce qui démontre pour la
fonction de Dirac l'équation de définition de la distribution de Dirac :
Autres exemples []
Quelques fonctions de limite δ lorsque a→0 sont :
On trouvera un résultat général de convergence vers la mesure de Dirac dans la section 'mesures
équinormales' de l'article Mesures secondaires
42
Applications []
La distribution de Dirac sert en physique à décrire des événements ponctuels. Pour les besoins du
formalisme quantique, Dirac a introduit un objet singulier, qu'on appelle aujourd'hui impulsion
de Dirac, notée δ(t). En outre, cette impulsion représente un signal de durée théoriquement nulle
et d'énergie finie.
Probabilités []
Une densité de probabilité, par exemple celle de la loi normale, est représentée par une courbe
qui enferme une aire égale à 1. Si on fait tendre sa variance vers 0, on obtient à la limite un delta
qui représente la densité de probabilité d'une variable certaine avec la probabilité 1. Il s'agit là
d'une curiosité qui présente un intérêt pratique limité mais elle se généralise d'une manière
intéressante.
La manière la plus simple pour décrire une variable discrète qui prend des valeurs appartenant à
un ensemble dénombrable consiste à utiliser sa fonction de probabilité qui associe une
probabilité à chacune des valeurs. On peut aussi considérer une pseudo-densité de probabilité
constituée par une somme de fonctions de Dirac associées à chacune des valeurs avec un poids
égal à leurs probabilités. Dans ces conditions, les formules intégrales qui calculent les espérances
des variables continues s'appliquent aux variables discrètes en tenant compte de l'équation
rappelée ci-dessus.
Analyse des enregistrements []
Pour déterminer le contenu de l'enregistrement d'un phénomène physique en fonction du temps,
on utilise généralement la transformation de Fourier.
On peut noter la transformée de Fourier de la fonction de Dirac :
De nos jours, les enregistrements analogiques continus de phénomènes physiques ont cédé la
place à des enregistrements numériques échantillonnés avec un certain pas de temps. On utilise
dans ce domaine la Transformée de Fourier discrète qui est une approximation sur une certaine
durée d'échantillonnage.
La multiplication d'une fonction continue par un «peigne de Dirac», somme de deltas
équidistants, a une transformée de Fourier égale à l'approximation de celle de la fonction
d'origine par la méthode des rectangles. En utilisant un développement en série de Fourier du
peigne, on montre que le résultat donne la somme de la transformée vraie et de toutes ses
43
translatées par la fréquence d'échantillonnage. Si celles-ci empiètent sur la transformée vraie,
c'est-à-dire si le signal contient des fréquences supérieures à la moitié de la fréquence
d'échantillonnage, le spectre est replié. Dans le cas contraire il est possible de reconstituer
exactement le signal par la formule de Shannon.
Série de Fourier
Le premier graphe donne l'allure du graphe d'une fonction périodique ; l'histogramme donne les
valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences.
En analyse, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions
périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques
connue sous le nom d'analyse harmonique.
L'étude d'une fonction périodique par les séries de Fourier comprend deux volets :
l'analyse, qui consiste en la détermination de la suite de ses coefficients de Fourier ;
la synthèse, qui permet de retrouver, en un certain sens, la fonction à l'aide de la suite de
ses coefficients.
Au-delà du problème de la décomposition, la théorie des séries de Fourier établit une
correspondance entre la fonction périodique et les coefficients de Fourier. De ce fait, l'analyse de
Fourier peut être considérée comme une nouvelle façon de décrire les fonctions périodiques. Des
opérations telles que la dérivation s'écrivent simplement en termes de coefficients de Fourier. La
construction d'une fonction périodique solution d'une équation fonctionnelle peut se ramener à la
construction des coefficients de Fourier correspondants.
Les séries de Fourier ont été introduites par Joseph Fourier en 1822, mais il fallut un siècle pour
que les analystes dégagent les outils d'étude adaptés : une théorie de l'intégrale pleinement
satisfaisante et les premiers concepts de l'analyse fonctionnelle. Elles font encore actuellement
l'objet de recherches actives pour elles-mêmes, et ont suscité plusieurs branches nouvelles :
analyse harmonique, théorie du signal, ondelettes, etc.
44
Les séries de Fourier se rencontrent usuellement dans la décomposition de signaux périodiques,
dans l'étude des courants électriques, des ondes cérébrales, dans la synthèse sonore, le traitement
d'images, etc.
Préliminaire []
Soient D un sous-ensemble non vide de R et f une fonction réelle dont l'ensemble de définition
est D .
Si t est un nombre réel, on dit que f admet t pour période si, et seulement si, pour tout x de D,
et et f(x + t) = f(x).
Il est facile de voir que l'ensemble E des périodes de f est un sous-groupe muni de la loi + de R.
La fonction f est dite périodique de période T lorsque l'intersection de E et des réels strictement
positifs admet T pour plus petit élément. Alors, le réel F=1/T, inverse de la période T, est appelé
fréquence de f.
Si T est un réel strictement positif et si F=1/T, les fonctions sinusoïdales
et
sont périodiques de période T/n et de fréquence n F. T/n est évidemment période de chacune de
ces fonctions ( car et
)
Polynômes trigonométriques []
Une combinaison linéaire de ces fonctions sinusoïdales élémentaires porte le nom de polynôme
trigonométrique et constitue aussi une fonction admettant T pour période. Elle peut se réécrire
comme combinaison linéaire de fonctions , l'emploi des nombres complexes et de
la fonction exponentielle permettant de simplifier les notations.
Un polynôme trigonométrique P s'écrit donc sous la forme :
avec
où les coefficients cn(P) sont presque tous nuls, et peuvent être obtenus par la formule suivante :
.
45
Principe des séries de Fourier []
On ne peut pas obtenir toutes les fonctions admettant T pour période comme une telle
combinaison, ne serait-ce que parce qu'un polynôme trigonométrique est nécessairement
indéfiniment dérivable.
L'idée sous-jacente à l'introduction des séries de Fourier est de pouvoir obtenir une fonction
admettant T pour période, par exemple continue, comme somme de fonctions sinusoïdales :
avec les coefficients cn(f), appelés coefficients de Fourier de f, définis par la formule :
.
Il s'agit cette fois-ci d'une véritable somme infinie, c'est-à-dire d'une limite de somme finie, ce
qui correspond au concept de somme de série.
De nombreux calculs se traduisent de façon très simple sur les coefficients des polynômes
trigonométriques, comme le calcul de dérivée. Il est possible de les généraliser au niveau des
coefficients de Fourier généraux.
Au sens strict, la formule de décomposition n'est pas correcte en général. Elle l'est,
ponctuellement, sous de bonnes hypothèses de régularité portant sur f. Alternativement, on peut
lui donner sens en se plaçant dans les bons espaces fonctionnels.
Aspects historiques []
Les séries de Fourier constituent la branche la plus ancienne de l'analyse harmonique, mais n'en
demeurent pas moins un domaine vivant, aux nombreuses questions ouvertes. L'étude de leurs
particularités est allée de pair, pendant tout le XIXe siècle, avec les progrès de la théorie de
l'intégration.
Les origines []
Les premières considérations sur les séries trigonométriques apparaissent vers 1400 en Inde,
chez Madhava, chef de file de l'école du Kerala[1]
. En Occident, on les trouve au XVIIe siècle
chez James Gregory, au début du XVIIIe siècle chez Brook Taylor. C'est l'ouvrage de ce dernier,
Methodus Incrementorum Directa et Inversa, paru en 1715, qui donne le coup d'envoi à l'étude
systématique des cordes vibrantes et de la propagation du son, thème de recherche majeur
pendant tout le siècle.
46
Une controverse éclate dans les années 1750 entre d'Alembert, Euler et Daniel Bernoulli sur le
problème des cordes vibrantes. D'Alembert détermine l'équation d'onde et ses solutions
analytiques. Bernoulli les obtient également, sous forme de décomposition en série
trigonométrique. La controverse porte sur la nécessité de concilier ces points de vue avec les
questions de régularité des solutions. Selon J.-P. Kahane[2]
, elle aura un rôle majeur dans la
genèse des séries de Fourier.
Bernoulli avait introduit des séries trigonométriques dans le problème des cordes vibrantes pour
superposer des solutions élémentaires.
Joseph Fourier (1768-1830) introduit l'équation de la chaleur dans un premier mémoire en 1807[3]
qu'il complète et présente en 1811 pour le Grand prix de Mathématiques. Ces premiers travaux,
controversés sur le plan de l'analyse, ne furent pas publiés. En 1822, Fourier expose les séries et
la transformation de Fourier dans son traité Théorie analytique de la chaleur. Il énonce qu'une
fonction peut être décomposée sous forme de série trigonométrique, et qu'il est facile de prouver
la convergence de celle-ci. Il juge même toute hypothèse de continuité inutile[4]
.
En 1829, Dirichlet (1805-1859) donne un premier énoncé correct[5]
de convergence limité aux
fonctions périodiques continues par morceaux ne possédant qu'un nombre fini d'extrema.
Dirichlet considérait que les autres cas s'y ramenaient ; l'erreur sera corrigée par Jordan en 1881.
En 1848, Wilbraham est le premier à mettre en évidence le phénomène de Gibbs[6]
en
s'intéressant au comportement des séries de Fourier au voisinage des points de discontinuité.
Avancée conjointe des séries de Fourier et de l'analyse réelle []
Le Mémoire sur les séries trigonométriques de Bernhard Riemann (1826-1866), publié en 1867[7]
,
constitue une avancée décisive. L'auteur lève un obstacle majeur en définissant pour la première
fois une théorie de l'intégration satisfaisante. Il démontre notamment que les coefficients de
Fourier ont une limite nulle à l'infini, et un résultat de convergence connu comme le théorème de
sommabilité de Riemann.
Georg Cantor (1845-1918) publie une série d'articles sur les séries trigonométriques entre 1870 et
1872, où il démontre son théorème d'unicité. Cantor raffine ses résultats en recherchant des
"ensembles d'unicité", pour lesquels son théorème reste vérifié. C'est l'origine de l'introduction
de la théorie des ensembles.
En 1873, Du Bois-Reymond (1831-1889) donne le premier exemple de fonction continue
périodique dont la série de Fourier diverge en un point[8]
. Le dernier quart du XIXe siècle voit
relativement peu d'avancées dans le domaine des séries de Fourier ou de l'analyse réelle en
général, alors que l'analyse complexe connaît une progression rapide.
Dans une note de 1900[9]
et dans un article de 1904[10]
, Fejér ( 1880-1959) démontre son théorème
de convergence uniforme utilisant le procédé de sommation de Cesàro (moyenne arithmétique
des sommes partielles de Fourier). Surtout, il dégage un principe nouveau : l'association
47
systématique entre régularisation au moyen d'un « noyau » et procédé de sommation pour la série
de Fourier.
De nouveaux outils d'étude []
Henri Lebesgue (1875-1941) donne à la théorie des séries de Fourier son cadre définitif en
introduisant une nouvelle théorie de l'intégration. Dans une série de publications qui s'étalent de
1902 à 1910, il étend les théorèmes de ses prédécesseurs, notamment le théorème de Riemann
sur la limite des séries de Fourier. Il prouve également plusieurs théorèmes de convergence
nouveaux. La plupart de ses résultats figurent dans ses Leçons sur les séries trigonométriques
publiées en 1906.
En 1907, Pierre Fatou (1878-1929) démontre l'égalité de Parseval dans le cadre général des
fonctions de carré sommable. La même année, Frigyes Riesz (1880-1926) et Ernst Fischer (1875-
1954), de façon indépendante, prouvent la réciproque. Ces résultats participent à la naissance d'un
domaine nouveau, l'analyse fonctionnelle.
Dorénavant, les questions de convergence dans les espaces fonctionnels sont envisagées à travers
l'étude des propriétés des suites de noyaux et des opérateurs associés. Une grande partie des
résultats passe par des questions d'estimation de normes appelées "constantes de Lebesgue", qui
deviennent un objet d'étude systématique.
Parallèlement, le problème de la convergence simple des séries de Fourier donne lieu à plusieurs
coups de théâtre avec la publication de résultats qui ont connu un grand retentissement et surpris
les contemporains. En 1926, Andreï Kolmogorov (1903-1987) construit un exemple de fonction
intégrable dont la série de Fourier diverge partout[11]
. En 1966, Lennart Carleson (1928) établit au
contraire[12]
que la série de Fourier d'une fonction de carré sommable converge presque partout
vers cette fonction. D'autres résultats (Kahane et Katznelson 1966, Hunt 1967) viennent
compléter l'étude. Les recherches se portent ensuite sur la convergence des séries de Fourier à
plusieurs dimensions, encore imparfaitement connue.
Coefficients de Fourier []
La définition des coefficients de Fourier porte sur les fonctions périodiques intégrables au sens
de Lebesgue sur une période. Pour une fonction périodique, être de classe Lp implique
l'intégrabilité. Ceci comprend en particulier les fonctions continues, ou continues par morceaux,
périodiques. On reprend ici les notations du premier paragraphe.
Coefficients complexes []
Les coefficients de Fourier (complexes) de f (pour ) sont donnés par :
.
48
Par périodicité de l'intégrale, ces coefficients peuvent également être calculés en considérant
l'intégrale sur n'importe quel segment de longueur T. Le coefficient cn(f) est la valeur moyenne
de . En particulier, le coefficient c0(f) n'est autre que la valeur moyenne de f.
Si n>0, on appelle harmonique de rang n et note Hn(f) la fonction sinusoïdale de fréquence
obtenue en tenant compte des coefficients de Fourier d'indice n et -n, donnée par :
La série de Fourier, Sn(f), est la série de fonctions obtenue en sommant les harmoniques
successifs jusqu'au rang n, soit :
Une des questions à laquelle répond la théorie de Fourier est de déterminer le mode de
convergence de cette série (convergence ponctuelle, convergence uniforme, convergence
quadratique, ...).
Si on suppose que la série, Sn(f) est absolument convergente, la fonction f(x) est égale à cette
série :
On dit que la fonction f est développable en série de Fourier.
Il suffit d'intégrer terme à terme en inversant les signes somme et intégrale pour le démontrer.
Coefficients réels []
Si la fonction f est à valeurs réelles, il peut être intéressant de manipuler des coefficients réels,
notamment dans le cas de fonctions paires ou impaires. On définit ainsi les coefficients de
Fourier réels de f :
;
b0(f) = 0 ;
Pour n>0, ;
49
Pour n>0, .
Là encore, la périodicité autorise à changer l'intervalle d'intégration.
L'harmonique de rang n se réécrit alors comme la fonction :
,
où et si χn est non nul, et
.
La convention suivante peut aussi être choisie pour a0 : , ce qui ne
s'interprète plus alors comme une valeur moyenne, mais en est le double. Cette dernière
convention harmonise les définitions des coefficients qui commencent alors tous par 2 / T.
Les systèmes de coefficients (an,bn), pour n positif, et cn, pour n entier relatif sont liés
linéairement par les relations suivantes :
, ;
Pour n > 0, et .
Les dernières identités restent vraies pour n = 0 sous la convention du coefficient en 2 / T.
La parité d'une fonction se traduit sur les coefficients de Fourier :
une fonction f est paire, si et seulement si c-n(f)=cn(f) pour tout n. Dans le cas d'une
fonction f réelle, cette propriété devient bn(f) = 0 pour tout n.
une fonction f est impaire, si et seulement si c-n(f)=-cn(f) pour tout n. Dans le cas réel
cela donne an(f) = 0 pour tout n.
Égalité de Parseval []
Article détaillé : égalité de Parseval.
Pour une fonction T-périodique continue par morceaux, ou plus généralement de carré intégrable
sur une période, l'égalité de Parseval affirme la convergence de la série suivante et l'identité :
50
.
Ce résultat est équivalent à une convergence en moyenne quadratique des séries de Fourier
correspondantes (voir ci-dessous).
L'égalité de Parseval implique en particulier que les coefficients de Fourier de f tendent
(suffisamment vite) vers 0 en l'infini. Suivant les hypothèses de régularité sur f, la vitesse de
convergence peut être précisée (voir ci-dessous).
Remarque :
Effet de la dérivation sur les coefficients []
Pour une fonction continue et par morceaux, on établit, par intégration par parties :
.
Plus généralement, pour une fonction de classe et par morceaux, on établit :
cn(f(k + 1)
) = (2iπn / T)k + 1
cn(f).
Coefficients et régularité de la fonction []
Les coefficients de Fourier caractérisent la fonction : deux fonctions ayant les mêmes
coefficients de Fourier sont égales presque partout. Notamment, dans le cas continu par
morceaux, elles coïncident en tous les points sauf un nombre fini.
Un certain nombre de résultats relient régularité de la fonction et comportement à l'infini des
coefficients de Fourier.
Le théorème de Riemann-Lebesgue montre que les coefficients de Fourier d'une fonction
f intégrable sur une période tendent vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
L'identité de Parseval admet une réciproque : une fonction est de carré sommable sur une
période si et seulement si la série des carrés des modules des coefficients de Fourier
converge. C'est le théorème de Riesz-Fischer.
51
Il existe peu de caractérisations analogues pour d'autres espaces fonctionnels. On peut
affirmer cependant qu'une fonction périodique est si et seulement si ses coefficients
de Fourier sont à décroissance rapide,
en
Plus précisément, si la fonction est de classe , ses coefficients de Fourier sont
négligeables devant .
Réciproquement, si les coefficients de Fourier sont dominés par , alors la fonction
est de classe .
Reconstitution des fonctions []
Une des questions centrales de la théorie est celle du comportement de la série de Fourier d'une
fonction et en cas de convergence de l'égalité de sa somme avec la fonction initialement
considérée, ceci dans le but de pouvoir remplacer l'étude de la fonction elle-même par celle de sa
série de Fourier, qui autorise des opérations analytiques aisément manipulables. Sous des
hypothèses de régularité convenables, une fonction périodique peut effectivement se décomposer
comme somme de fonctions sinusoïdales.
Théorème de convergence ponctuelle (de Dirichlet) []
Article détaillé : Théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.
Un signal en dents de scie
Les cinq premières sommes partielles de sa série de Fourier
Pour une fonction périodique f de période T, continue en un réel x, et dérivable à droite et à
gauche en x, le théorème de Dirichlet affirme la convergence de sa série de Fourier évaluée en x
et donne l'égalité :
52
.
Si f est à valeurs réelles, l'égalité ci-dessus se réécrit avec les coefficients de Fourier réels :
.
Les hypothèses peuvent être affaiblies. La fonction f peut seulement être continue à gauche et à
droite en x et à variation bornée sur un voisinage de x. Dans ce cas, f(x) doit être remplacé par la
valeur moyenne de f en x, soit donc la moyenne entre ses limites à droite et à gauche en x : ((f(x −
) + f(x + )) / 2. La démonstration du théorème se base sur le fait que la série de Fourier se calcule
par produit de convolution avec un polynôme trigonométrique aux propriétés remarquables : le
noyau de Dirichlet.
Théorème de convergence uniforme de Dirichlet []
Le théorème de convergence uniforme de Dirichlet est une version globale du théorème de
convergence ponctuelle. Pour une fonction T-périodique et continûment dérivable au voisinage
de tout point d'un segment I, la série de Fourier de f converge uniformément vers f sur I.
La démonstration consiste à constater que les constantes dans les estimations de la preuve du
théorème de convergence ponctuelle peuvent être choisies indépendamment du point
d'évaluation .
En particulier, la série de Fourier d'une fonction continûment dérivable et T-périodique, converge
uniformément sur vers la fonction.
PS: Il suffit que la fonction soit continûment dérivable par morceaux et continue.
Phénomène de Gibbs []
Article détaillé : Phénomène de Gibbs.
Le phénomène de Gibbs est un effet de bord observé au voisinage d'une discontinuité de la
fonction. Pour l'illustrer, voici la représentation des termes d'ordre 10, 50 et 250 de la série de
Fourier de la fonction « créneau ».
Phénomène de Gibbs
53
Approximation du créneau à
l'ordre 10
Approximation du créneau à
l'ordre 50
Approximation du créneau à
l'ordre 250
Le polynôme trigonométrique nème
terme de la série de Fourier, Sn(f), est une fonction continue, il
est donc normal qu'il ne puisse approcher uniformément la fonction créneau qui, elle, ne l'est pas.
Sur une des zones de « plateau », en dehors d'un voisinage de la discontinuité, cependant, la série
de Fourier converge uniformément vers la fonction (elle en est indiscernable sur le dernier
graphique).
Au niveau du point de discontinuité, Sn subit une forte oscillation, une sorte de « sursaut ». Les
images laissent soupçonner et le calcul montre effectivement que l'amplitude de ce sursaut tend
vers une constante. Précisément si la fonction a une discontinuité d'amplitude Δy, alors Sn, tout
en restant continue, connaîtra un « saut » en ordonnée valant de l'ordre de 18% de plus.
Convergence en moyenne quadratique []
La convergence en moyenne quadratique concerne la convergence pour la norme hermitienne :
Cette norme est définie par exemple sur l'espace E des fonctions T-périodiques et continues, ou
sur l'espace F des fonctions T-périodiques mesurables de carré intégrable identifiées modulo
égalité sur un ensemble négligeable. La norme provient du produit scalaire :
.
L'espace E est dense dans l'espace F et l'espace normé F est complet ; il peut être obtenu comme
le complété de E.
Introduisons la fonction exponentielle complexe d'indice n
54
.
La famille (en) forme une famille orthonormale. Cette famille est notamment libre. L'espace
qu'elle engendre est l'espace des polynômes trigonométriques, sous-espace de E. Le nème
coefficient de Fourier de f est le produit scalaire de f par en :
En particulier, le nème
polynôme trigonométrique de f est la projection orthogonale de f sur
l'espace engendré par .
La famille (en) est une base de Hilbert : le sous-espace des polynômes
trigonométriques est dense dans E et dans F.
La série de Fourier d'une fonction T-périodique de carré intégrable sur une période
converge en nome L2 vers la fonction considérée.
Une conséquence est l'égalité de Parseval.
Théorème de Fejér []
Article détaillé : Théorème de Fejér.
Le théorème de Fejér consiste à améliorer la convergence donnée par le théorème de
convergence uniforme de Dirichlet en effectuant une limite de Cesàro des sommes partielles de
la série de Fourier. Pour une fonction continue et T-périodique, on note :
puis
Le théorème de Fejér affirme que, sous la seule hypothèse de continuité, la suite des fonctions
σN(f) converge uniformément vers f.
Ce théorème de Fejér constitue une démonstration possible de la version trigonométrique du
théorème de Stone-Weierstrass. Il se démontre en utilisant les propriétés d'un polynôme
trigonométrique particulier : le noyau de Fejér d'indice n est positif et la suite de ces noyaux
constitue une approximation de l'identité.
Le polynôme trigonométrique σN(f) admet des fréquences s'étalant de − nf à nf. Pour chaque
fréquence, le coefficient précédent est modifié. Les nouveaux coefficients tendent à donner plus
d'importance aux petites fréquences et à amortir les termes de fréquence élevée, ce qui permet de
lisser les comportements trop brusques.
55
Convergence simple []
Les résultats positifs obtenus en envisageant d'autres modes de convergence ne font pas perdre sa
pertinence à l'étude de la convergence simple.
Dans le cadre des fonctions continues, le théorème de Fejér permet d'affirmer que si la série de
Fourier de f converge simplement, alors elle admet pour limite la fonction f. En revanche des
considérations d'analyse fonctionnelle permettent de prouver qu'il existe une fonction continue
dont la série de Fourier diverge en au moins un point : précisément il s'agit d'une application du
théorème de Banach-Steinhaus à l'opérateur de convolution par la fonction noyau de Dirichlet. Il
est également possible d'en donner des exemples explicites simples. C'est ainsi le cas de la
fonction 2π-périodique définie par :
Les domaines de divergence possibles sont connus grâce à deux théorèmes complémentaires.
D'une part, selon un théorème de Kahane et Katznelson, pour tout ensemble de mesure de
Lebesgue nulle, on peut trouver une fonction continue dont la série de Fourier diverge en
tout point de cet ensemble[13]
.
D'autre part, selon le théorème de Carleson, la série de Fourier d'une fonction continue
converge presque partout vers cette fonction.
Si on élargit le cadre aux fonctions intégrables sur une période,
le théorème de Kolmogorov assure qu'il existe une fonction intégrable dont la série de
Fourier diverge en tout point,
en revanche le théorème de Lennart Carleson cité plus haut a été prouvé dans le cadre des
fonctions L2 et possède même une extension aux espaces L
p pour p>1
[14]. Pour de telles
fonctions, la série de Fourier de f converge presque partout.
Applications []
Calculs de séries []
L'application des théorèmes de Dirichlet et de Parseval, précédemment énoncés, permettent de
calculer la valeur exacte de la somme de séries numériques remarquables, parmi lesquelles :
56
(formule de Leibniz)
, (valeur de la fonction zêta de Riemann en les entiers pairs).
[Dérouler]
Calculs détaillés
Équations différentielles et aux dérivées partielles []
Les séries trigonométriques peuvent être employées, comme les séries entières, pour rechercher
les solutions de certaines équations différentielles linéaires.
La méthode de séparation des variables pour une équation aux dérivées partielles consiste à en
chercher des solutions sous forme de produit de fonctions d'une seule variable. Lorsque cette
méthode s'applique, chacune de ces fonctions vérifie une équation différentielle linéaire et des
conditions aux limites. Ainsi, pour le problème des cordes vibrantes :
La variable t est le temps, x est une coordonnée d'espace comprise entre deux valeurs 0 et 1 qui
représentent les points d'attache de la corde. La fonction u donne la position de la corde à tout
moment. La fonction f donne sa position initiale, v la distribution initiale des vitesses.
On peut trouver des fonctions satisfaisant (i) et (ii) qui sont de la forme a(x)b(t). Par
superposition, on trouve l'expression générale de la solution
où les coefficients an et bn sont ceux qu'on obtient en décomposant f et v en série de Fourier.
57
Plus généralement, la théorie de Sturm-Liouville permet de traiter les problèmes de séparation de
variables de façon très similaire en donnant l'existence d'une base hilbertienne jouant le même
rôle que la famille des fonctions trigonométriques élémentaires.
Le problème de Dirichlet sur un disque est un autre exemple classique d'emploi des séries de
Fourier. Il consiste à déterminer les fonctions harmoniques sur le disque (ouvert) ayant une
valeur limite fixée au bord. Physiquement, il s'interprète comme la recherche d'un profil de
température à l'équilibre, les valeurs sur le bord du disque étant imposées. Si on suppose qu'il
s'agit du disque unité, en employant les coordonnées polaires, la fonction donnant le profil de
température imposé est f(θ), supposée continue et périodique. Elle admet des coefficients de
Fourier an(f) et bn(f). Alors la fonction suivante donne la solution sur le disque :
Le fait que la limite lorsque r tend vers 1 soit égale à f, avec convergence uniforme, est une
application du procédé de sommation d'Abel.
Inégalités fonctionnelles []
L'analyse de Fourier permet de donner des expressions nouvelles pour l'opération de dérivation,
et d'en tirer des estimées intéressantes.
Ainsi l'inégalité de Wirtinger s'applique à une fonction f de classe , 2π-périodique et de valeur
moyenne nulle. Elle compare les normes de f et de sa dérivée (normes de la convergence en
moyenne quadratique)
c'est-à-dire
Ce résultat peut servir à son tour à établir le théorème isopérimétrique : le cercle est la courbe
fermée enserrant un domaine connexe d'aire maximale pour une longueur donnée.
Un autre exemple d'application est l'inégalité de Bernstein. Celle-ci s'applique à une fonction de
la forme suivante :
avec des coefficients αk complexes et des coefficients λk réels (ce n'est donc pas nécessairement
un polynôme trigonométrique) et distincts. L'inégalité permet de comparer cette fois les bornes
supérieures de f et de sa dérivée :
58
La démonstration de l'inégalité de Bernstein repose sur l'écriture de f′ comme une combinaison
infinie de translatées de f, à l'aide d'une formule d'analyse de Fourier.
Extension du concept de série de Fourier []
Extension aux distributions []
Les séries de Fourier se définissent par analogie pour les distributions. Une distribution D est par
définition une application linéaire sur l'espace des fonctions. D est dite T-périodique lorsque sa
valeur sur une fonction test f et sur sa T-translatée. Dans ce cas, il existe une distribution à
support compact d telle que D est la somme de la série suivante au sens des distributions :
.
Les coefficients de Fourier de D sont alors définis comme suit :
.
Ces coefficients ne dépendent pas du choix de d. Ils sont « à croissance lente », c'est-à-dire
dominés par une expression polynomiale.
La série de Fourier converge vers D au sens des distributions :
.
Réciproquement, si on considère une suite à croissance lente, la série trigonométrique
correspondante converge au sens des distributions vers une distribution périodique. Un exemple
d'utilisation est le peigne de Dirac.
Espaces de Hilbert []
Les espaces de Hilbert sont les espaces vectoriels munis d'un produit scalaire et qui sont
complets pour la norme associée. L'espace des fonctions T-périodiques, de carré sommable,
identifiées par la relation d'égalité presque partout, possède une structure de ce type. Identité de
Parseval et théorème de Riesz-Fischer montrent que les fonctions trigonométriques élémentaires
forment une base hilbertienne, et les coordonnées d'une fonction sont données par ses
coefficients de Fourier.
59
Tout espace de Hilbert séparable et de dimension infinie E est muni d'une telle base, et
l'application qui à un élément de l'espace associe ses coefficients (encore appelés "coefficients de
Fourier") est une isométrie de E dans l'espace l2.
Il est possible d'envisager également des espaces de Hilbert non séparables, ainsi il existe des
coefficients de Fourier-Bohr pour les fonctions presque périodiques. On ne pose alors plus de
conditions sur le rapport de fréquences pour les fonctions trigonométriques de référence.
Série et transformation de Fourier []
La décomposition en séries de Fourier est également généralisée aux fonctions non périodiques
avec la théorie de la transformée de Fourier et la notion de densité spectrale. Pour une
présentation élémentaire, voir Analyse spectrale.
Série et transformation de Fourier sont reliées par la formule sommatoire de Poisson.
![Cauchy biorthogonal polynomialsmath.usask.ca/~szmigiel/BGS1JAT.pdfPeakons for the Degasperis–Procesi equation. In the early 1990’s, Camassa and Holm [13] introduced the (CH) equation](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5f8191a3b65bbd7e95588b7e/cauchy-biorthogonal-szmigielbgs1jatpdf-peakons-for-the-degasperisaprocesi-equation.jpg)
