4P300 : Physique statistique et evolution des systemes quantiques.

Examen du 20 Janvier 2017

Duree de l’epreuve : 3h30

Les documents, calculatrices, telephones, ... ne sont pas autorises. Un formulaire est disponible a la fin du sujet

♣♣♣ MERCI DE FAIRE CHAQUE EXERCICE SUR UNE COPIE DISTINCTE ♣♣♣

1 Impurete magnetique en phase solide 1

Un atome du genre alcalin (couches saturees et un electron peripherique s) se comporte essentielle-ment, a basse energie, comme un spin S = 1/2. On note |±〉 les etats propres de l’operateur Sz = ~

2 σz(projection de l’operateur de spin S sur l’axe z) : Sz|±〉 = ±~

2 |±〉. En presence d’un champ magnetiquede module B parallele a l’axe z, l’Hamiltonien s’ecrit

H0 = −µ ·B =1

2~ωLσz avec σz =

(1 00 −1

), (1)

ou µ = γS est le moment magnetique de l’impurete, γ < 0 le rapport gyromagnetique, et ωL = −γB >0 la frequence de Larmor.

L’atome est soumis a un champ de frequence ω pendant une duree T ; la perturbation correspon-dante est

V (t) = v(σ−eiωt + σ+e

−iωt) (0 ≤ t ≤ T ), (2)

ou σ− =

(0 01 0

), σ+ =

(0 10 0

)et v est suppose reel. Le but du probleme est de calculer le spectre

d’absorption en fonction de l’environnement de l’impurete.

A. Impurete isolee.

1. On suppose que l’impurete est dans l’etat fondamental |−〉 au temps t = 0. On ecrit le vecteur

d’etat du systeme a l’instant t sous la forme |ψ(t)〉 = c−(t)ei2ωLt|−〉 + c+(t)e−

i2ωLt|+〉. Montrer

que la probabilite de transition P de l’etat |−〉 vers l’etat |+〉 est donnee au plus bas ordre par

P =1

~2

∣∣∣∣∫ T

0dt 〈+|V (t)|−〉eiωLt

∣∣∣∣2 . (3)

2. Donner une expression explicite de P en fonction de T , ω et ωL, et illustrer par un schemala variation de l’energie absorbee par l’impurete en fonction de ω. Quelle est la frequence deresonance ?

B. Impurete en phase solide.Quand l’atome est insere en phase solide, le spectre d’absorption est modifie comme indique sur

la figure ci-dessous.

1. Probleme adapte de l’exercice 24.7.3 du livre de Claude Aslangul Mecanique Quantique (tome 2). L’exercice et sasolution (donnee dans le tome 3) contiennent une erreur dans l’analyse du spectre de l’impurete (question 6), que nousavons corrigee.

Figure 1 – Energie absorbee par l’impurete en phase solide en fonction de la frequence du champ.

On obtient maintenant deux raies voisines dont il s’agit de comprendre l’origine. En phase solide,l’atome peut effectuer de petites vibrations autour de sa position d’equilibre, ce que l’on representepar un oscillateur harmonique a une dimension. Le nouvel Hamiltonien est alors

H ′0 =1

2~ωLσz + ~ω0

∞∑n=0

(n+

1

2

)|n〉〈n|, (4)

ou |n〉 designe l’etat propre de l’oscillateur harmonique d’energie ~ω0(n + 1/2). Les etats propres deH ′0 sont notes |±, n〉, avec les energies associees E±,n = ±1

2~ωL + ~ω0(n+ 1/2).

3. On suppose l’impurete dans son etat fondamental. Quelles sont alors les transitions induites parla perturbation V (t) ? L’Hamiltonien H ′0 permet-il d’expliquer les resultats de la figure 1 ?

On considere maintenant le couplage

W = ~Ω∞∑n=0

√n+ 1

(σ−|n+ 1〉〈n|+ σ+|n〉〈n+ 1|

)(5)

entre les vibrations de l’impurete et son spin, et on suppose Ω ω0. On se propose de diagonaliserexactement l’Hamiltonien H = H ′0 + W dans le sous-espace E engendre par les trois premiers niveauxde H ′0, soit |ψ1〉 = |−, 0〉, |ψ2〉 = |+, 0〉 et |ψ3〉 = |−, 1〉.

4. Tracer les energies des trois etats consideres en fonction de ~ωL et discuter les degenerescences.Calculer W |ψi〉 (i = 1, 2, 3) et en deduire que le sous-espace E est stable par H (c’est-a-dire quepour tout vecteur |ψ〉 ∈ E , H|ψ〉 ∈ E).

5. Montrer que l’etat |ψ1〉 = |−, 0〉 est un etat propre de H. On ecrit les deux autres etats propresde H appartenant a E sous la forme

|ψ+〉 = cos θ|+, 0〉+ sin θ|−, 1〉,|ψ−〉 = − sin θ|+, 0〉+ cos θ|−, 1〉.

(6)

Donner l’expression des energies propres associees, E+ et E−, en supposant E+ > E−. Onintroduira δ = (ωL − ω0)/2. Exprimer tan θ en fonction de δ et Ω.

6. Montrer que, sauf pour les tres faibles valeurs du champ, l’etat |ψ1〉 = |−, 0〉 reste l’etat fon-damental. Tracer la variation des trois energies propres en fonction de ~ωL. Pour quelle valeurdu champ l’hybridation des etats |+, 0〉 et |−, 1〉 est-elle maximale (les etats |+, 0〉 et |−, 1〉apparaissant alors avec des poids egaux dans |ψ+〉 et |ψ−〉) ?

7. Nous cherchons maintenant a calculer le spectre d’absorption de l’impurete en phase solidelorsqu’elle est soumise a la perturbation (2). En suivant le meme raisonnement qu’a la ques-tion (1), calculer la probabilite P = |〈ψ+|ψ(t = T )〉|2 + |〈ψ−|ψ(t = T )〉|2 de transition entrel’etat |ψ(t = 0)〉 = |−, 0〉 ≡ |ψ1〉 et les etats |ψ+〉 et |ψ−〉. On pourra enoncer le resultat sansfaire de calculs detailles (en se basant sur l’equation (3)).

8. Discuter le spectre d’absorption en fonction du champ magnetique et montrer qu’il permetd’expliquer les resultats de la figure 1.

Correction

1. i~c+ = c−eiωLt〈+|V (t)|−〉, soit c+(T ) = 1

i~∫ T

0 dt eiωLt〈+|V (t)|−〉+O(v2), d’ou l’equation (3).

2. P = v2

~2sin2[(ωL−ω)T/2]

[(ωL−ω)/2]2. Spectre d’absorption relie a P . Resonance pour ω = ωL.

3. Etat fondamental |−, 0〉 couple a |+, 0〉 uniquement. Une seule resonance a ω = ωL commeprecedemment.

4. E1 = ~2(ω0 − ωL), E2 = ~

2(ω0 + ωL), E3 = ~2(3ω0 − ωL) ; E1 et E2 sont degeneres en champ nul,

E2 et E3 lorsque ωL = ω0. W |ψ1〉 = 0, W |ψ2〉 = ~Ω|ψ3〉, W |ψ3〉 = ~Ω|ψ2〉.

5. W |ψ1〉 = 0⇒ H|ψ1〉 = E−,0|ψ1〉 ; E± = ~ω0 ± ~√δ2 + Ω2 ; tan θ =

√δ2+Ω2−δ

Ω .

6. |ψ1〉 etat fondamental sauf pour ωL . Ω2/ω0. Hybridation maximale pour θ = π/4, i.e. ωL = ω0

(ce qui correspond a la degenerescence E2 = E3).

7. P± = 1~2

∣∣∣∫ T0 dt 〈ψ±|V (t)|−, 0〉ei~ (E±−E1)t

∣∣∣2 = v2

~2sin2[(E±−E1)T/2]

[(E±−E1)/2]2×

cos2 θ (+)sin2 θ (−)

8. Deux raies d’absorption aux frequences

ω′′Lω′L

= 1~(E± − E1) = ω0+ωL

2 ±[

(ω0−ωL)2

4 + Ω2]1/2

,

avec poids respectifs cos2 θ et sin2 θ. i) Champ faible (ωL ω0) : θ ' π/2, seule la raie a lafrequence ω′L ' ωL a un poids significatif. ii) Champ intermediaire (ωL ' ω0) : θ ' π/4, les deuxraies d’absorption ont des poids comparables, le splitting ω′′L− ω′L est minimal lorsque ωL = ω0.iii) Champ fort (ωL ω0) : θ ' 0, seule la raie a la frequence ω′′L ' ωL a un poids significatif.Pour un champ intermediaire, on retrouve donc la situation decrite par la figure 1.

♣♣♣ MERCI DE FAIRE CHAQUE EXERCICE SUR UNE COPIE DISTINCTE ♣♣♣

2 Compression d’un gaz planaire

On etudie un gaz de particules de masse m, de surface A et uniforme dans le plan xy, et confinepar un potentiel harmonique dans la direction z : Vz(z) = mω2z2/2. On s’interesse a l’evolution dela temperature de ce gaz lorsque l’on augmente la force du confinement suivant l’axe z en laissantinchange le confinement dans le plan. On utilisera les conditions aux limites periodiques dans le planxy. On utilisera l’approximation continue pour decrire le mouvement suivant les degres de liberte xet y. Pour le cas bosonique on supposera qu’il n’y a pas formation de condensat de Bose-Einstein.

Dans tout l’exercice la compression suivant l’axe z est supposee adiabatique, ce qui signifie qu’ellea lieu a entropie constante.

2.1 Gaz classique : approche entropique

On se place dans cette section dans le cas d’un gaz decrit par la statistique de Maxwell-Boltzmann,et on suppose que le gaz est suffisamment chaud pour que la discretisation des niveaux d’energiessuivant l’axe z soit negligeable : β~ω 1 avec β = 1/kBT pour un gaz a la temperature T . On neprend aucune degenerescence de spin en compte.

1. Montrer que la densite d’etat en energie du systeme est ρ(ε) =ρ0

~ωε ou ρ0 est une quantite a

determiner.

2. Calculer la fonction de partition canonique a une particule zC . On fera le passage a la limitecontinue.

3. En deduire la fonction de partition a N particules, donnee pour la statistique de Maxwell-Boltzmann par ZC = zNC /N !.

4. En deduire l’energie libre F du systeme. On utilisera l’approximation de Stirling : lnN ! ≈N lnN −N pour N 1.

5. En deduire l’entropie du systeme S = −∂F∂T

∣∣∣∣ω,N

.

6. Quelle est la dependance de la temperature du gaz en fonction de ω ?

2.2 Gaz classique : approche differentielle

Dans cette section on cherche a retrouver le resultat precedent a l’aide d’une approche differentielle.On decompose la compression en une serie d’etapes infinitesimales. Chaque etape se decompose en(i) la compression adiabatique suivant la direction z (ω → ω + dω), qui aboutit a l’augmentation del’energie de cet oscillateur harmonique a une dimension puis (ii) la redistribution de cet exces d’energiedans les degres de libertes du plan qui aboutit a un chauffage global (dT ) du gaz. On raisonne ici pourune particule, N = 1.

On decompose l’energie totale du gaz Etot comme la somme de l’energie associee a la direction zE1D et de l’energie associee au mouvement dans le plan E2D : Etot = E2D + E1D. Soient Ti et Tf lestemperatures avant et apres compression.

7. Exprimer les energies totales initiale Etoti et finale Etot

f en fonction des temperatures Ti et Tf .

On admet qu’une compression adiabatique pour un oscillateur harmonique 1D correspond a une mo-dification des niveaux d’energie du systeme mais a des nombres d’occupation constants de chaqueetat.

8. En deduire la variation de temperature dT en fonction de Ti, ω et dω pour un oscillateur har-monique 1D.

9. En deduire la variation d’energie dE1D de cet oscillateur harmonique.

10. En supposant que dE1D = Etotf − Etot

i , en deduire l’evolution de T avec ω.

2.3 Gaz de bosons

On considere maintenant des bosons de spin nul et on se place dans le regime β~ω ≈ 1. On seplace dans l’ensemble grand-canonique a la temperature T et au potentiel chimique µ.

11. En reprenant la trame du raisonnement precedent estimer, avec un raisonnement qualitatif, sipour un gaz de bosons l’augmentation de temperature va etre plus faible ou plus elevee que dansle cas de la statistique de Maxwell-Boltzmann.

On decompose l’entropie S et le nombre de particules N comme S =∑

j Sj et N =∑

j Nj ou l’indicej refere au niveau de l’oscillateur harmonique suivant la direction z. Pour chaque etat j on est doncramene a l’etude d’un gaz 2D uniforme de fugacite effective zj = z exp(−(j + 1/2)β~ω). On notez = eβµ, la fugacite.

12. Exprimer Nj en fonction de g1(zj).

13. Exprimer le grand-potentiel Jj en fonction de g2(zj).

14. En deduire Sj = −∂Jj∂T

∣∣∣∣ω,µ

.

A partir de ce resultat on peut resoudre numeriquement le probleme pour determiner l’augmentationde la temperature avec l’augmentation de la frequence.

15. Expliquer le principe de la resolution numerique pour un nombre de particules donne en identi-fiant notamment les contraintes a prendre en compte.

2.4 Autres cas : Discussion

2 4 6 8 10ωz/2π (kHz)

150

200

250

300

350

400

T(n

K)

Figure 2 – Compression d’un gaz dans differents cas.

On a represente sur la figure 2 l’evolution de la temperature en fonction de la frequence (pour desparametres initiaux donnes) dans 4 cas :

– Le cas classique haute temperature β~ω 1 (courbe continue fine) etudie aux sections 1.1 et1.2.

– Le cas bosonique discute a la section 1.3 (courbe continue epaisse)– Le cas fermionique (polarise en spin) dans le meme regime que le cas bosonique (β~ω ≈ 1).

– Le cas d’une distribution Maxwell-Boltzmann pour β~ω ≈ 1).

16. Identifier, en le justifiant, les courbes associees aux deux derniers cas.

Correction

1. ρ0 = mA2π~2

2. zC =ρ0~ω

(kBT )2

4. F = −NkBT (ln z − lnN + 1)

5. S = NkB(3 + ln(ρ0(kBT )2

N~ω ))

6. T ∝√ω

7. Etoti = 2kBTi et Etot

f = 2kBTf

8. dT = Tidω/ω

9. dE1D = kBTidω/ω

10. 2kB(Tf − Ti) = kBTidω/ω et donc T ∝√ω

11. Pour un gaz de bosons les etats de basse energie sont plus occupes que dans le cas de la statistique deMaxwell-Boltzmann, donc l’augmentation d’energie 1D sera plus faible pour les bosons et la temperaturefinale aussi.

12. Nj = ρ0kBTg1(zj)

13. Jj = −ρ0(kBT )2g2(zj)

14. Sj = −∂Jj∂T

∣∣µ,ωz

= ρ0k2BT (2g2(zj)− g1(zj) ln(zj))

15. Pour un couple (Ti, ωi) et un ωf choisi, on cherche le potentiel chimique µf et la temperature Tf quimaintiennent simultanement constants le nombre de particules total N et l’entropie totale S.

16. Pour une temperature initiale donnee, on s’attend a ce qu’il y ait moins de chauffage dans le cas bosoniqueque dans le cas MB mais plus de chauffage dans le cas fermionique. Les courbes sont donc de bas en haut :bosons, MB, fermions. Dans la limite β~ω 1 ces trois courbes convergent vers la courbe MB classique(la plus haute).