5. FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, …fcdd.mines-douai.fr/moodle/file.php/139/Cours/MATH6_log_exp_hyperb... · Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus permettent d'obtenir

5. FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES,

HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES

RECIPROQUES.

1. Fonction logarithme népérien.

1.1. Définition.

La fonction logarithme népérien, notée ln , est la primitive sur 0, +∞] [ qui s'annule pour

x = 1 de la fonction x a

1

x.

Soit pour x ∈ 0, +∞] [ lnx =dt

t1

x

∫ .

1.2. Premières propriétés.

• ln1 = 0

• La fonction logarithme est dérivable sur 0, +∞] [ et (lnx)' =1

x> 0

donc la fonction logarithme est continue sur 0, +∞] [

• la fonction ln est strictement croissante sur 0, +∞] [

En appliquant la définition de la dérivée en x=1, on a limh→0

ln(1+ h)

h= 1

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et ne s'annule pas sur I, on a

∀x ∈ I ln u(x)[ ] '=u' (x)

u(x) et donc ∀x ≠ 0 ln x[ ] '=

1

x

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours.

©dpic - inpl - mars 19992

1.3. Autres propriétés.

• ∀x > 0 ∀x' > 0 ln(xx' ) = lnx + lnx'

• ∀x > 0 ln(1

x) = − lnx

• ∀x > 0 ∀x' > 0 ln(x

x') = lnx − lnx'

• ∀x > 0 ∀r ∈Q ln(x r) = rlnx

La fonction logarithme est une bijection de 0, +∞] [ sur −∞ ,+∞] [ , on a donc

lnx1 = lnx2

x1 > 0 et x2 > 0 ⇔

x1 = x2

x1 > 0 et x2 > 0

1.4. Tableau de variations

limx→+∞

lnx

x= 0

Quand x tend vers +∞ , la courbe présente une branche parabolique dans la direction Ox.

1.5. Définition du nombre e

La fonction logarithme étant une bijection de 0, +∞] [ sur −∞ ,+∞] [ , il existe un nombre

unique appelé e tel que lne =1 .

La valeur décimale approchée de e à 10−5 près par défaut est 2,71828.

x

+f ’(x)

ln(x)

−∞

+∞

+∞10

0



1.6. Courbe représentative.

2. Fonction exponentielle

La fonction logarithme étant une bijection de 0, +∞] [ sur −∞ ,+∞] [ , elle admet une fonction

réciproque appelée exponentielle et notée exp (ou x a ex)

y = ex

x ∈ −∞ ,+∞] [ ⇔

x = lny

y ∈ 0, +∞] [

2.1. Propriétés

• ∀x ∈ 0, + ∞] [ elnx = x

• ∀x ∈ −∞ ,+∞] [ ln(ex) = x

• ∀x ∈ −∞ ,+∞] [ ex > 0

• e0 = 1

La fonction exponentielle est continue et dérivable sur R et on a :

∀x ∈ −∞ ,+∞] [ (ex)' = ex

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, on a

∀x ∈ I eu(x)[ ] '= u' (x)e u(x)



Formules d'addition.

∀x ∈R ∀x' ∈R ex+x' = ex ex'

et ∀x ∈R e−x =

1

ex

limx→+∞

ex = +∞ limx→−∞

ex = 0

Donc quand x tend vers +∞ , la courbe présente une branche parabolique dans la direction Oy;

2.2. Courbe représentative :

En repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction exponentielle est symétrique de

celle de la fonction logarithme par rapport à la première bissectrice

3. Fonction logarithme et exponentielle de base A.

Théorème : Logarithme de base a

Soit a ∈ 0, + ∞] [ − 1{ } , on appelle fonction logarithme de base a et on note loga la fonction

définie par

∀x > 0 loga x =lnx

lna

En particulier le logarithme népérien est le logarithme en base e.



Théorème :

Le logarithme de base 10 est appelé logarithme décimal et noté log

Propriétés

• La fonction logarithme de base a est continue, strictement monotone sur 0, +∞] [

• loga 1 =ln1

lna= 0 loga a =

lna

lna=1

• (loga x)' =1

xlna∀x ∈ 0, +∞] [

• La fonction loga est dérivable sur 0, +∞] [ et loga x( ) =lnx

lna

'=1

xlna

• si a >1 alors loga est strictement croissante

• si a <1 alors loga est strictement décroissante

• ∀x > 0 ∀x' > 0 loga(xx') = loga x + loga x'

• ∀x > 0 ∀x' > 0 loga(x

x') = loga x − loga x'

• ∀x > 0 ∀r ∈Q loga (x r ) = rlog a x

Changement de base :

∀(a, b) ∈ 0, +∞] [ − 1{ }( )2, ∀c ∈ 0, +∞] [

loga c = loga b.logb c

3.1. Exponentielle de base a.

a ∈ 0, + ∞] [ − 1{ } , la fonction loga est continue, strictement monotone sur 0, +∞] [ . Elle

admet donc une fonction réciproque appelée exponentielle de base a et notée

expa ou x a ax

y = ax

x ∈ −∞ ,+∞] [ ⇔

x = loga y

y ∈ 0, +∞] [

ou encore x = loga y =lny

lnaet lny = xlna

∀x ∈R y = ax = exlna



Propriétés

• La fonction exponentielle de base a est continue, strictement monotone sur R et dérivable

sur R

• (ax )' = (exlna )' = lna.e xlna = lna.a x ∀x ∈R

donc elle est croissante si a>1, décroissante si a<1 avec a0 = 1

• ∀x ∈R,∀x' ∈R ax+x' = ax ax'

• a−x =1

ax

4. Fonction puissance

Soit s ∈R , on appelle fonction puissance d'exposant s la fonction définie sur R+∗ par

x a xs = eslnx

La fonction puissance est continue sur 0, +∞] [

Propriétés : ∀x > 0 ∀y > 0 et ∀s ∈R ∀s' ∈R

• x0 = 1

• xs xs' = x s+s'

• x−s =1

xs

• xs ys = (xy)s

• (xs) s'= x ss'

• ln(x s) = slnx

• (xs)' = s xs−1

5. Croissance comparée des fonctions exponentielle, logarithme et

puissance.

Pour tout s, limx→+∞

ex

xs = +∞



Si s > 0, on a : limx→+∞

lnx

xs = 0 limx→0+

xs lnx = 0

5.1. Fonction puissance généralisée

Si u et v sont deux fonctions définies sur une partie A de R avec ∀x ∈A u(x)>0

∀x ∈A u(x)[ ]v(x) = ev(x)lnu(x)

6. Fonctions hyperboliques.

On définit, pour tout réel x, les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente

hyperbolique par

chx =ex + e−x

2shx =

ex − e− x

2thx =

shx

chx=

ex −e− x

ex +e− x

6.1. Propriétés.

• La fonction cosinus hyperbolique est une fonction paire, continue sur R

• La fonction sinus hyperbolique est une fonction impaire, continue sur R

• La fonction tangente hyperbolique est une fonction impaire, continue sur R (quotient de

deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas)

6.2. Propriétés algébriques.

Les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont

dérivables sur R et ∀x ∈R

chx + shx = ex chx − shx = e−x

ch2x − sh2x = 1 1− th2x = 1

ch2x

6.3. Dérivées.

∀x ∈R (shx)' = chx (chx)' = shx (thx)' =1

ch2x=1 − th2x



6.4. Courbes représentatives.

D'après les propriétés de parité (ou imparité), il suffit d'étudier ses fonctions sur R+ .

La fonction sh est croissante sur R, car sa dérivée vérifie chx > 0 ∀x ≥ 0

D'où le tableau de variation de la fonction sh

De même, la fonction ch est croissante sur R+ car sa dérivée vérifie shx ≥ 0 ∀x ≥ 0

D'où le tableau de variation de la fonction ch.

On a en outre :

shx ≤1

2ex ≤ chx

limx→+∞

(chx −1

2ex ) = 0+ et lim

x→+∞(shx −

1

2ex ) = 0−

Les courbes représentatives des fonctions ch et sh sont asymptotes à la courbe d'équation

y =1

2ex et présentent donc quand x tend vers +∞ une branche parabolique dans la direction

Oy.

x

+f ’(x)

sh(x)

−∞

+∞

−∞ +∞

x

+f ’(x)

ch(x)

+∞ +∞

−∞ +∞0

1

-



D'après les propriétés de parité (ou imparité) la courbe représentative de la fonction ch

appelée chaînette est symétrique par rapport à Oy , elle est appelée "chaînette car elle

modélise une chaîne homogène maintenue aux deux extrémités".

La courbe représentative de la fonction sh est symétrique par rapport à l'origine.

La fonction th est croissante sur R+ car sa dérivée vérifie ∀x ≥ 0 (thx)' =1

ch2x> 0

On peut aussi écrire :

thx =ex − e−x

ex + e−x =1 − e−2x

1 + e−2x et donc limx→+∞

thx = 1−

D'où le tableau de variation de la fonction th :

et la courbe représentative :

x

+f ’(x)

th(x)

+∞0

1

0



Remarque : on définit aussi la fonction cotangente hyperbolique par :

coth x =

1

thx∀x ∈R∗

Représentation paramétrique de l'hyperbole

Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus permettent d'obtenir une représentation

paramétrique de l'ellipse d'équation

x2

a2 +y2

b2 = 1 sous la forme x = acost

y = bsint

t ∈ 0,2π[ [

De même les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique fournissent une

représentation paramétrique de l'hyperbole d'équation :



x2

a2 −y2

b2 = 1 sous la forme

x =ε acht

y =bsht

t ∈R

Si a ≥ 0 , on obtient pour ε = +1 la branche droite de l'hyperbole (x ≥ a) et pour ε = −1 la

branche gauche (x ≤ a) .

6.5. Formules de trigonométrie hyperbolique.

ch(a + b) = cha chb + shashb

ch(a − b) = cha chb − shashb

sh(a + b) = shachb + chashb

sh(a − b) = shachb − chashb

th(a + b) =tha + thb

1 + thathb

th(a − b) =tha − thb

1 − thathb

sh2a = 2shacha

ch2a = ch2a + sh2a = 2ch2a − 1 =1 + 2sh2a

cha =1+ th2 a

2

1− th2 a2

sha =2th

a2

1 − th2 a2

tha =2th

a2

1 + th2 a2

7. Fonctions hyperboliques réciproques.

7.1. Fonction Argument sinus hyperbolique.

La fonction sh est continue strictement croissante sur R. C'est une bijection de R sur R.

La bijection réciproque est appelée fonction argument sinus hyperbolique et notée Argsh

y = Argshx

x ∈R ⇔

x = shy

y ∈R

La fonction Arg sh est continue, impaire et strictement croissante sur R

La fonction Arg sh est dérivable sur R

∀x ∈R (Argshx) ' =

1

1 + x2



La fonction Arg sh s'exprime à l'aide de la fonction logarithme

∀x ∈R Argshx = ln(x + x2 +1)

En effet, puisque chy > 0, chy = sh2y +1 = x2 +1

et donc ey = chy + shy = x2 + 1 + x

d'où ∀x ∈R y = Argshx = ln(x + x2 +1)

Courbe représentative : elle se déduit, en repère orthonormé, de celle de la fonction sh par

symétrie par rapport à la première bissectrice des axes.

7.2. Fonction Argument cosinus hyperbolique.

La fonction ch est continue strictement croissante sur 0, +∞[ [ . C'est une bijection de

0, +∞[ [ sur 1,+∞[ [La bijection réciproque est appelée fonction argument cosinus hyperbolique et notée Argch

y = Argchx

x ∈ 1,+∞[ [ ⇔

x = chy

y ∈ 0, +∞[ [La fonction Arg ch est continue et strictement croissante sur 1,+∞[ [La fonction Arg ch est dérivable sur 1,+∞] [

∀x ∈ 1,+ ∞] [ (Argchx)' =1

x2 −1

La fonction Arg ch s'exprime à l'aide de la fonction logarithme



∀x ∈ 1,+ ∞[ [ Argchx = ln(x + x2 −1)

En effet, puisque shy ≥ 0 ∀y ≥ 0, donc shy = ch2y −1 = x2 −1

et donc ey = chy + shy = x + x2 −1

d'où ∀x ∈ 1,+ ∞[ [ y = Argchx = ln(x + x2 −1)

La courbe représentative se déduit de celle de la restriction de la fonction ch à 0, +∞[ [ par

symétrie par rapport à la première bissectrice des axes, dans un repère orthonormé.

7.3. Fonction Argument tangente hyperbolique.

La fonction th est continue strictement croissante sur R. C'est une bijection de R sur −1,1] [ .

La bijection réciproque est appelée fonction argument tangente hyperbolique et notée Argth

y = Argthx

x ∈ −1,1] [ ⇔

x = thy

y ∈R

La fonction Arg th est continue, impaire et strictement croissante sur −1,1] [La fonction Arg th est dérivable sur −1,1] [

∀x ∈ −1,1] [ (Argthx)' =1

1− x2

La fonction Arg th s'exprime à l'aide de la fonction logarithme

∀x ∈ −1,1] [ Argthx =1

2ln

1+ x

1− x

On a en effet :



x = thy =ey − e−y

ey + e−y =e2y −1

e2y +1

y = Argthx =1

2ln

1 + x

1 − x

La courbe représentative se déduit de celle de la fonction th par symétrie par rapport à la

première bissectrice des axes, dans un repère orthonormé.

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Exercices corrigés.


FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES,


RECIPROQUES. EXERCICES CORRIGES.

MATH05E01.

Résoudre dans R l'équation : chx + 2 shx =3 (I).

MATH05E02.

Résoudre dans R l'équation

52x − 2x+

3

2 = 2x+

7

2 + 52x−1

MATH05E03.

Résoudre dans R l'équation

( x)x = x x

MATH05E04.

Ecrire l'expression Argth2x

1+ x2 en utilisant la fonction ln.

MATH05E05.

Simplifier l'expression f(x) = 2Argch1+ chx

2−

x

2

Note

Les solutions s'obtiennent en cliquant sur le nom de l'exercice (zone en pointillée).

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Exercices corrigés.


MATH05E06.

Donner une autre expression pour les fonctions suivantes :

f(x) = sh(Argchx)

g(x) = ch(Argshx)

h(x) = th(Argshx)

k(x) = th(Argchx)

MATH05E07.

Résoudre dans R l'équation : Argthx + Arg th2x = Argth2

3 (I)

MATH05E08.

Démontrer que pour tout réel x non nul, thx =2

th2x−

1

thx

Simplifier alors, pour tout n de N et tout réel x non nul

Sn(x) = 2pth(2 px)p=0

n+1∑

MATH05E09.

Calculer les dérivées des fonctions suivantes

f : x a Arctan(shx)

g : xa Arcsin(thx)

En déduire une relation entre ces deux fonctions

MATH05E10. **

Résoudre le système

Argshy = 2Argshx (I)

Argchy = 3Argchx (II)

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Solutions.


SOLUTION MATH05E01.

En tenant compte des définitions de chx et shx, l'équation s'écrit

(I) ⇔ex + e−x

2+ 2

ex − e−x

2= 3

ou encore

⇔e2x +1

2+ 2

e2x −1

2= 3ex

⇔ 3(ex )2 − 6e x −1 = 0

En posant X = ex avec X > 0

Seule la racine positive de l'équation du second degré convient, d'où

X = ex =3 + 2 3

3

L'équation proposée admet une solution unique ln(1 +2

3) .



SOLUTION MATH05E02.

L'équation est définie pour tout réel x

52x − 2x+

3

2 = 2x+

7

2 + 52x−1 ⇔ 52x−1(5 −1) = 2x+

3

2 (1+ 22 ) ⇔ 52x−2 = 2x−

1

2

⇔ (2x − 2)ln5 = (x −1

2)ln2 ⇔ x =

2ln5 − 12

ln2

2ln5 − ln2

L'équation proposée admet une solution unique 2ln5 − 1

2ln2

2ln5 − ln2



SOLUTION MATH05E03.

L'équation est définie pour x > 0

( x)x = x x ⇔ xln x = x lnx ⇔1

2xlnx = x lnx ⇔ (

1

2x − x)lnx = 0

L'équation proposée admet deux solutions : 1 et 4.



SOLUTION MATH05E04.

f est définie si et seulement si −1 <2x

1 + x2 <1 donc si et seulement si x ∈R− −1,1{ } .

Df = x ∈R

2x

1+x 2 < 1

=R − −1,1{ }

f(x) = Argth2x

1 + x2 = 1

2ln

1+2x

1 + x2

1− 2x

1 + x2

= 1

2ln

(1+ x)2

(1− x)2

= ln1 + x1− x

=ln

1+ x1− x

si −1 < x <1

lnx + 1

x −1si x < −1 ou x > 1



SOLUTION MATH05E05.

∀x ∈R, chx ≥ 1 , donc f est définie sur R

Utilisons la formule de trigonométrie hyperbolique 1 + ch2a = 2ch 2a

et donc f(x) = 2Argch(chx

2) −

x

2

Argch(chx

2) =

x

2si x ∈ 0, + ∞[ [

−x

2si x ∈ −∞ ,0] [

f(x) =

x

2si x ∈ 0, +∞[ [

−3x

2si x ∈ −∞ ,0] [



SOLUTION MATH05E06.

f(x) = sh(Argchx)

Df = 1,+∞[ [

∀u ∈R, ch2u − sh2u = 1et donc sh2 (Argchx) = ch2(Argchx) −1 = x2 −1

puisque Argchx ≥ 0 ⇒ sh(Argchx) ≥ 0

alors sh(Argchx) = x2 −1

g(x) = ch(Argshx)

Dg = R

ch2u = 1+ sh2u et sh(Argshx) = x

de plus ∀x ∈R, ch(Argshx) >1

donc ch(Argshx) = 1 + x2

h(x) = th(Argshx)

Dh = R

h(x) = sh(Argshx)

ch(Argshx)= x

1 + x2

k(x) = th(Argchx)

Dk = 1,+ ∞[ [

k(x) = sh(Argchx)

ch(Argchx)= x2 −1

x



SOLUTION MATH05E07.

D = x ∈R x ∈ −1,1] [ et 2x ∈ −1,1] [{ } = −

1

2,1

2

Sur −

1

2,1

2

n utilisant l'écriture logarithmique, on a

(I) ⇔1

2ln

1 + x

1 − x+

1

2ln

1 + 2x

1 − 2x=

1

2ln(

1 +2

3

1 − 23

)

⇔ (1+ x)(1+ 2x) = 5(1− x)(1− 2x)

⇔ 4x2 − 9x + 2 = 0

Une seule solution convient 1

4



SOLUTION MATH05E08.

pour x ≠ 0

2

th2x−

1

thx=

22thx

1+ th2x

−1

thx=

th2x

thx= thx

ou encore, en utilisant th2x =2thx

1 + th2x

2pth(2 p x) =2p+1

th(2 p+1x)−

2p

th(2p x)

Sn(x) = 2pth(2 px)p=0

n+1∑ =

2n+2

th(2 n+2x)−

1

thx



SOLUTION MATH05E09.

Ces deux fonctions sont définies et dérivables sur R

f '(x) = Arctan(shx)[ ] ' =chx

1 + sh2x=

1

chx

g'(x) = Arcsin(thx)[ ] ' =1 − th2x

1− th2x= 1− th2x =

1

chx

Ces deux fonctions sont de classe C1 sur R, puisqu'elles ont la même dérivée, elles sont égales

à une constante près

Arc tan(shx) = Arcsin(thx) + C

En particulier :

f(0) = Arctan(sh0) = 0

g(0) =Arcsin(th0) = 0

d'où C=0

Conclusion :

∀x ∈R Arctan(shx) = Arcsin(thx)



SOLUTION MATH05E10.

Si (x,y) est solution du système, nécessairement x ≥ 1 et y ≥ 1

Puisque sh est bijective, on compose la première relation par sh:

y = sh(2Argshx) mais sh2u = 2shuchu et d' après 4.5 ch(Argshx) = x2 +1

donc (I) ⇔ y = 2x x2 +1

Puisque ch est bijective, on compose la seconde relation par ch :

y = ch(3Argchx)

mais

ch3u = chu(2ch2u −1) + 2sh2uchu

d'après 4.5sh(Argchx) = x2 −1

donc (II) ⇔ y = x(2x2 −1) + 2x(x2 −1) = 4x3 − 3x

D'où le système

x ≥ 1

y ≥ 1

2x x2 +1 = x(4x2 − 3)

Puisquex ≥ 1alors 2 x2 +1 = 4x2 − 3 et 16x4 − 28x2 + 5 = 0

On résout cette équation bicarrée dont la seule solution plus grande que 1 est 7 + 29

8

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques. Exercices supplémentaires.


FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES,


RECIPROQUES.

EXERCICES SUPPLEMENTAIRES.

MATH05S01.

Simplifier l'expression Argshx2 −1

2x.

MATH05S02.

Etudier la fonction f:x a Argth

1 + 3thx

3 + thx.

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5. FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, …fcdd.mines-douai.fr/moodle/file.php/139/Cours/MATH6_log_exp_hyperb... · Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus permettent d'obtenir