5. Les mouvements usuels

- Mouvement rectiligne- mouvement 2D (circulaire, parabolique- exemple de mouvement 3D

Mouvement rectiligne

• Mvt rectiligne uniforme (MRU)

a = 0; v=v0; équa. horaire : x(t) = v0t + x0

(an = 0, a = at)

• Mvt rectiligne uniformément varié

a = a0; v = a0t + v0 ;

équa. horaire : x(t) = ½ a0t² + v0t + x0

Mouvement circulaire

Rayon courbure = rayon du cercle RC=R

• Mvt circulaire uniforme (MCU)

v = v0 ; at = 0 ; an=v0²/R ; a=v0²/R

a perpendiculaire à v

acc. Centripète

Mouvement circulaire uniforme (2)

• an = v0²/R ou = R²• at = 0

O

v0

a (= an)

Mouvement circulaire uniforme (3)

• En coordonnées polaires : r(t)=R; θ(t)= ?• v(M)=rθ eθ = Rθ eθ

v = Rθ ; v0 = Rθ

θ = v0/R = cste, notée vitesse angulaire (rd/s)

dotée d’un signe >0 si rotation sens trigo<0 si rotation horaire

θ (t) = t + θ0 croissante ou décroissante

Mouvement circulaire varié

v = v(t) ; dv/dt 0 ; at 0

• at < 0 (v ) ou at > 0 (v )

• an = v²/R n’est plus cste

Coordonnées polaires : r(t)=R

θ = v(t)/R fonction de t (θ w indique une cste)

θ(t) = θ(t)dt

Mouvement circulaire varié (2)

O

v0

an

at

Mouvement circulaire varié (3)

a(M) et v(M) non perpendiculaires (composante tangentielle at)

• α < pi/2 si le mvt est accéléré (prod. scalaire a.v > 0)

• α > pi/2 si le mvt est retardé (prod. scalaire a.v < 0)

α

Mouvement uniformément accéléré 2D (parabolique)

Se produit quand a0 (cste) non perpendiculaire à v0

• a(M) = a0

• v(M) = v0 + a0t• OM = OM0 + v0t + ½ a0t²

M0M = v0t + ½ a0t² => le mvt est plan

Mouvement uniformément accéléré 2D (2)

• Prendre Oy (ou Ox) colinéaire à a0

• Projeter v0 sur Ox et Oy

a0

v0X

v0y

ax = 0

ay = a0

vx = v0x

vy = v0y + a0t

x(t) = x0 + v0xt

y(t) = y0 + v0yt + ½ a0t²

Mouvement uniformément accéléré 2D (3)

• Exemple: chute libre avec vitesse initiale v0 inclinée d’un angle α

…..

x(t) = x0 + (v0cos)t y(t) = y0 + (v0sin)t – ½ gt²

Étude d’un mouvement 3D

Mouvement hélicoïdal uniforme– rotation uniforme dans 1 plan (MCU)– translation rectiligne uniforme à la verticale

du même plan (MRU)

+ =P

P

Mvt hélicoïdal uniforme

• La vitesse est uniforme (rotation + translation)

• Coordonnées cylindriquesr(t) = Rθ(t) = ωtz(t) = Ct (avec C = λω

λ, en m, est appelé pas de l’hélice)

Mvt hélicoïdal uniforme (2)

• Vecteur position : OM = R er + λωt ez

O

M

N

z =

λω

t

r = R

Mvt hélicoïdal uniforme (3)

• Vecteur position : OM = R er + λωt ez

der/dt = ωeθ

• Vitesse : v(M) = Rω eθ + λω ez

deθ/dt = – ωer

• accélérat° : a(M) = – Rω² er

O

M

N

a(M) vθ

vz

v(M)

Mvt hélicoïdal uniforme (4)

Mvt hélicoïdal uniforme (5)

• Norme de la vitesse : v = vθ² + vz²

= (Rω)²+(λω)²

v = ω R² + λ² (cste)

• Abscisse curviligne :

s(t) = v dt

s(t) = ωt R² + λ²

Mvt hélicoïdal uniforme (6)

• Vecteur tangent : à partir de v(M)– exprimer dans la base cylindrique– projeter en coordonnées cartésiennes

Oij

tR

tR

RT

cos

sin1

22

Mvt hélicoïdal uniforme (7)

• Vecteur normal : méthode classique ….

Rem: a(M) purement normale (v=cste at=0)

N = a(M) / ||a(M)||

cyl

N

0

0

1

Mvt hélicoïdal uniforme (8)

• En coordonnées cartésiennes

Oij

tR

tR

N

0

sin

cos

Mvt hélicoïdal uniforme (9)

• Rayon de courbure : au choix 1. norme de (dT/dt/) / v …

2. v3 / norme de (v^a)

3. par l’accélération normale (cours pdf)

……

RC = R + λ²/R

Mvt hélicoïdal uniforme (10)

0 - Rω² 00

v ^ a = Rω ^ 0 = - Rλω3 = Rω3

-λ

λω 0 R²ω3

R

|| v ^ a || = Rω3 R² + λ²

v = ω R² + λ²

v3/ || v ^ a || = (R² + λ² )/R Rc = R + λ²/R

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Helice.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/Helice.html