Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS

Chapitre 5 - Caractéristiques géométriques des sections

SOMMAIRE

I - Centre de gravité................................................................................................................. 64 1°/ Définition.................................................................................................................................... 64 2°/ Théorèmes de Guldin. ............................................................................................................... 65

II - Moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan. ...................... 66 1°/ Définition.................................................................................................................................... 66 2°/ Moment statique dans un système d’axes orthonormés ........................................................ 66 3°/ Moment statique des surfaces composées................................................................................ 66

III - Moment quadratique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan .............. 66 1°/ Définition.................................................................................................................................... 67 2°/ Théorème de Huygens............................................................................................................... 67 3°/ Moment quadratique des surfaces composées ........................................................................ 68 4°/ Rayon de giration ...................................................................................................................... 68

IV - Applications...................................................................................................................... 68 1°/ Moment statique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés. ........................................... 68 2°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés..................................... 68 3°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport aux axes de symétrie. ............................ 69

Formulaire Centre de gravité.................................................................................................. 70

Formulaire Moment quadratique ........................................................................................... 71

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Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS

I - CENTRE DE GRAVITE

x

y

z

O

M1

G

Mi

Mn

1°/ Définition

Considérons, dans l’espace, un solide comme étant constitué d’un ensemble de n points matériels M1, M2, …, Mi, …, Mn, de masse respective dm1, dm2, …, dmi, …, dmn.

Ce solide est de volume V.

Par définition, le centre de gravité de l’ensemble des n points est le point G tel que :

0dm.GM

V i =∫ G est aussi appelé centre de masse.

Pour déterminer la position de G dans le repère (O, x, y, z), il faut mettre cette définition

sous une forme plus facile à exploiter : OGOMOMGOGM iii −=+= ( ) 0dm.OGOM

V i =−⇒ ∫

0dm.OGdm.OMVV i =−⇔ ∫∫

0dmOGdm.OMVV i =−⇔ ∫∫

0m.OGdm.OMV i =−⇔ ∫

m

dm.OMOG V i∫

=⇔ (1)

Soient xi, yi et zi les coordonnées du point Mi. On obtient à partir de la relation (1) les

coordonnées xG, yG et zG du centre de gravité G :

m

dm.xx V i

G∫=

m

dm.yy V i

G∫=

m

dm.zz V i

G∫=

→ Cas où le matériau est homogène : cte=ρ avec Vm ρ= et dVdm ρ= . La relation devient :

V

dV.xx V i

G∫=

V

dV.yy V i

G∫=

V

dV.zz V i

G∫

=

Les coordonnées du centre de gravité sont alors indépendantes de la nature du matériau. → Cas où le solide est d’épaisseur constante e : V = e.S et dV = e.dS, avec S la surface du solide. La relation devient :

S

dS.xx S i

G∫∫=

S

dS.yy S i

G∫∫=

S

dS.zz S i

G∫∫=

Dans ce cas, G est appelé centre de surface.

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Propriété : Si un solide possède un plan, un axe, ou un centre de symétrie, son centre de

gravité est situé respectivement dans le plan de symétrie, sur l'axe de symétrie ou au centre de symétrie.

2°/ Théorèmes de Guldin.

1er théorème : « La surface engendrée par une ligne plane tournant autour d’un axe de son plan mais ne le traversant pas est égale au produit de la longueur de la ligne par la longueur de la circonférence décrite par le centre de gravité de cette ligne. »

Exemple : Détermination du centre de gravité d’un demi-cerceau : R

GZG

Surface décrite par la rotation du demi-cerceau = 4 π R² Longueur de la ligne = π × R Circonférence décrite par G = 2 π zG

⇒ 4 π R² = π R × 2 π zG

π

=⇔R2zG

2ème théorème : « Le volume engendré par une surface plane tournant autour d’un axe de son plan mais ne le traversant pas est égale au produit de la surface par la longueur de la circonférence décrite par le centre de gravité de cette ligne. »

Exemple : Détermination du centre de gravité d’une plaque semi circulaire : R

GZ

G

Volume engendré par la rotation de la plaque = 3R34

π

Surface du demi disque = 2R2π

⇒ 3R34

π = 2R2π × 2 π zG

π

=⇔3

R4zG

REMARQUE : Les théorèmes de Guldin ne peuvent pas servir à la détermination des centres de gravité des volumes.

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II - MOMENT STATIQUE D’UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE DE SON PLAN.

1°/ Définition

Mi

S

dSi

ri

Δ Considérons une surface plane S

constituée de n points matériels M1, M2, …, Mi, …, Mn, de surface élémentaire dS1, dS2, …, dSi, …, dSn et un axe Δ situé dans son plan.

Théorème 1 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe situé dans son

plan est égal au produit de la surface par la distance de son centre de gravité à l’axe considéré.

On appelle moment statique de la surface S par rapport à l’axe Δ la quantité :

( ) ∫∫=Δ S i dSrSW ri étant la distance de dSi à Δ.

2°/ Moment statique dans un système d’axes orthonormés

Théorème 2 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe (O, x) de son

plan est égal au produit de la surface par la coordonnée yG du centre de cette surface.

Soit dans un repère (O, x, y) : ( ) S.ySW G)x,O( = et ( ) S.xSW G)y,O( =

Démonstration :

Moment statique de la surface plane S par rapport à l’axe (O, x) :

S

x

y

O

MidSi

yi

( )

( ) S.ySW

S

dS.yy

dSySW

GxS i

G

S ix

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

∫∫∫∫

Théorème 3 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan passant par le centre de cette surface est nul.

La démonstration est évidente : si 0yG = alors ( ) 0SW )x,O( =

3°/ Moment statique des surfaces composées

Le moment statique d’une surface S, composées de plusieurs surfaces S1, S2, …, Sn, est égal

à la somme arithmétique des moments statiques des n surfaces :

( ) ( ) ( ) ( )n21 SW...SWSWSW ΔΔΔΔ +++=

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III - MOMENT QUADRATIQUE D’UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE DE SON PLAN

1°/ Définition

Considérons toujours la même surface plane S

constituée de n points matériels Mi, de surface élémentaire dSi, et un axe Δ situé dans son plan.

On appelle moment quadratique de la surface S par rapport à l’axe Δ la quantité :

Mi

S

dSi

ri

Δ

( ) ∫∫=Δ S

2i dSrSI ri étant la distance de dSi à Δ.

Dans un repère orthonormé (O, x, y) :

et ( ) ( ) ∫∫=

S

2ix,O dSySI ( )( ) ∫∫=

S

2iy,O dSxSI

2°/ Théorème de Huygens

Théorème de Huygens : « Le moment quadratique d’une surface plane S par rapport à un axe quelconque Δ de son plan est égal au moment quadratique de cette surface par rapport à un axe ΔG parallèle à Δ et passant par le centre de gravité G de la surface S, augmenté du produit de l’aire de la surface S par le carré de la distance entre les deux axes. »

GirMi

S

dSi

ΔG

d

G

Δ

Théorème de Huygens : ( ) ( ) 2d.SSISI

G+= ΔΔ

Démonstration : Par définition : ( ) ∫∫=Δ S

2i dSrSI

Remplaçons ri par sa valeur drr

Gii += :

( ) ( )∫∫ +=⇒ Δ S

2i dSdrSIG

( ) ( )∫∫ ++=⇔ Δ S

2i

2i dSddr2rSI

GG

( ) ∫∫ ∫∫∫∫ ++=⇔ Δ S S

2

S i2

i dSddS.rd2dS.rSIGG

( ) ( ) 2

S

S id.SSISI

considéréetionsecladesurfaceSdS

gravitédecentredudéfinition0dS.rG

G+=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=ΔΔ

∫∫∫∫

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Remarque : le moment quadratique caractérise l’aptitude d’une section à tourner autour d’un axe :

- plus le moment quadratique est grand, plus la section a du mal à tourner autour de l’axe, - plus l’axe s’éloigne du centre de gravité, plus le moment quadratique est grand.

3°/ Moment quadratique des surfaces composées

Le moment quadratique d’une surface S, composées de plusieurs surfaces S1, S2, …, Sn, est

égal à la somme arithmétique des moments quadratiques des n surfaces :

( ) ( ) ( ) ( )n21 SI...SISISI ΔΔΔΔ +++=

4°/ Rayon de giration

Il est défini comme la racine carrée du moment d’inertie divisée par l’aire S de la surface :

SIi x

x = ou , de même SiI 2xx ⋅=

SI

i yy = ou . SiI 2

yy ⋅=

IV - APPLICATIONS

1°/ Moment statique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés. Par définition : ( ) S.ydSySW GS

2i)x,O( == ∫∫

ici, S = b × h et 2hyG = ,

d’où ( )2

bhSW2

)x,O( =

2°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés.

( )( ) ∫∫ ∫∫∫∫ ===S

h

0

2b

0

2iS

2ix,O dyydxdy.dxydSySI

[ ]∫ ==b

0

b0 bxdx

3h

3ydyy

3h

0

3h

0

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∫

d’où ( )( )3

bhSI3

x,O =

x

y

h

b

G

O

b

x

y

h G x’

y’

x

y dS

O

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3°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport aux axes de symétrie.

On applique le théorème d’Huygens : ( ) ( ) 2d.SSISI

G+= ΔΔ

⇒ ( ) ( ) 2

G)'x,G()x,O( y.SSISI +=

⇔ ( ) ( ) 2G)x,O()'x,G( y.SSISI −=

⇔ ( )23

)'x,G( 2h).bh(

3bhSI ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⇔ ( )12bhSI

3

)'x,G( =

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FORMULAIRE : CENTRE DE GRAVITE

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FORMULAIRE : MOMENT QUADRATIQUE

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