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milieu hétérogène multiphases. Représentation. Localisation s ij ,e ij = f(E ij , S ij , L h ijkl ). VER. Milieu Homogène Équivalent. Homogénéisation (L h ijkl ). Chargement homogène (E ij , S ij ). (E ij , S ij ). 5. Méthodologie de l'homogénéisation. - PowerPoint PPT Presentation
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S. DRAPIER 1
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
LocalisationLocalisation ijij= f(Eij,ij, Lhijkl)
HomogénéisationHomogénéisation (Lh
ijkl) (Eij,ij)
Milieu Homogène Milieu Homogène ÉquivalentÉquivalent
5. Méthodologie de l'homogénéisation
Chargement homogène (Eij,ij)
mili
eu h
été
rogène
mult
iphase
s5.1 Représentation (définition du VER)
VER
ReprésentationReprésentation
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S. DRAPIER 2
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
VER
5.1 Représentation (définition du VER)
Hypothèse : VER représente globalement tous les volumes élémentaires
• A priori, faux pour les aciers, céramiques, polymères, ...
• Quasiment vérifié pour les structures
ordonnées (composites à fibres longues,tissus,
…)
VER ~> une cellule élémentaire de
l’arrangement périodique
mais pour nous
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S. DRAPIER 3
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Estimations ou un encadrement des caractéristiques effectives du Milieu Homogène
Equivalent
Estimations ou un encadrement des caractéristiques effectives du Milieu Homogène
Equivalent
maismais description complète impossible description complète impossible (sauf cas périodiques)
Utilisation d'outils d'analyse statistiques (moyennes des descriptions fines des positions, orientations, …) ou probabilistes
Comportement mécanique des phases
1/ Choix échelle microscopique + description statistique topologique
2/ Identification mécanique
Définition du VER Recherche, étude et description des constituants homogènes
ij(x,t)= Lijkl
x kl(x,t’) t't
ij(x,t)= Mijkl
x kl(x,t’)
Caractéristiques géométriques et distribution spatiale (VE tous différents)• géométrie des phases (ellipsoïdes, sphères,…)
• répartition
• fraction volumique
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S. DRAPIER 4
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
HomogénéisationHomogénéisation (Lh
ijkl) (Eij,ij)
Milieu Homogène Milieu Homogène ÉquivalentÉquivalent
mili
eu h
été
rogène
mult
iphase
s
VER
Chargement homogène (Eij,ij)
5. Méthodologie de l'homogénéisation
LocalisationLocalisation ijij= f(Eij,ij, Lhijkl)
5.2 Localisation
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S. DRAPIER 5
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5.2 Localisation
VER = modèle de matériau hétérogène
Analyse mécanique Problème de calcul de structures
(computational mechanics)mais
pas complètement défini
• Sollicitations• Description statistique (fonctionnelle Y(x,t))
À préciserÀ préciser
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S. DRAPIER 6
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Sollicitations
Sollicitations sur le VER Efforts au point macroscopique correspondant
Milieu Homogène Milieu Homogène ÉquivalentÉquivalent
relations de moyennes
? ? ? ?
F M
F M
Il faut revenir à un problème avec Conditions aux Limites classique
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S. DRAPIER 7
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Solution (quand c’est possible) : contraintes ou déformations homogènes au contour
Formulation d’un problème avec conditions sur la frontière
Résultats démontrés
<ij> =
1|
ij(r)d = ij
h
Déformations homogènes *
ui - Eijh xj = 0
<ij> =
1|
ij(r)d = Eij
h
On définit <ij> = ij =
1|
ij(r)d
<ij> = Eij =
1|
ij(r)d
Contraintes homogènes *
ij-ij
h) nj =0
* p
as f
orc
ém
en
t con
nu
I
mp
osé
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S. DRAPIER 8
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Conditions homogènes au contour : justifiées quand l >> d
l
d
ij(x)ij(x)
(hij - ij ) nj
ui - Eijh xj
x
0
d d
<<l
ui - Eijh xj = 0
ij - ij
h) nj = 0
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S. DRAPIER 9
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1
Conditions homogènes au contour : Remarques
• Contraintes homogènes déformations homogènes
d l
Comportement homogénéisés si l >> d
• Pour les milieux périodiques
• Conditions de déplacement périodiques
• Contraintes anti-périodiquescontraintes S.A.
l
d
u1d-E1jx1Conditions homogènes au contour
(-n) = -n n
u1d-E1j(x1+l)
1
2
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S. DRAPIER 10
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2u1
d=0u2
d=E11 l
u1d-E11
0=0u2
d-E11l=0
l
d
u3d=2 E11 l
Conditions en déformations périodiques :
Par exemple, on impose E11 seul :
Direction de périodicité0
u1d(x1,x2) =
E11(x1,x2) x1 + E12(x1,x2) x2
u1d(x1+l,x2) =
E11(x1+l,x2) (x1+l) + E12(x1+l,x2) x2
1
l
d
1
2
1
1
2
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S. DRAPIER 11
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Encadrements et estimations :
Conditions de moyenne sur le VER + description statistique
Non-unicité de la solution
1/ Hypothèses supplémentairessolution uniquesolution unique mais sens physique des hypothèses cadre de validité des ESTIMATIONSESTIMATIONS (modèle)
2/ Similaire aux approches variationnelleschamp de contraintes et de déformations admissibles
(contraintes S.A., déformations compatibles)LocalisationLocalisation relier ces ‘ champs d’approche ’ aux grandeurs
macroscopiques imposées et paramètres de description
2 Démarches possibles2 Démarches possibles
Principe Principe : ENCADREMENTENCADREMENT(méthodes des bornes)
Encadrement optimalRaffinement
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S. DRAPIER 12
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Considérons le problème de localisation résolu complètement :
(x,t) Ax [E(t’),Y(x’,t’)] x, x’ , t’ t
Fonctionnelle spatio-temporelle de - localisation des
déformationsDéformations (Contraintes)
macroscopiques
Ensemble des paramètres de description géométrique et mécanique du VER
Histoire du comportement
(x,t) Bx [(t’),Y(x',t’)] x, x’ , t’’ t’
Local
- concentration des contraintes
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S. DRAPIER 13
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Méthodologie de l'homogénéisation
mili
eu h
été
rogène
mult
iphase
s
LocalisationLocalisation ijij= f(Eij,ij, Lhijkl)
HomogénéisationHomogénéisation (Lh
ijkl) (Eij,ij)
Milieu Homogène Milieu Homogène ÉquivalentÉquivalent
VER
Chargement homogène (Eij,ij)
5.3 Homogénéisation
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S. DRAPIER 14
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5.3 HomogénéisationDétermination du comportement effectif à partir du
comportement local
relations de moyennes (<>) relations de localisation
Comportement du Matériau Homogène Équivalent
ij(x,t)= Lijkl
x kl(x,t’)
Loi de comportement locale
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S. DRAPIER 15
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
De manière formelle : pour les contraintes
(t) = < (x,t) > = < Lx (x,t’)> t’ t
Lx Ax [E(t’’),Y(x’,t’’)] x’ , t’’ t’
En utilisant la loi de comportement locale et l’expression de la fonctionnelle de localisation correspondante :
Soit finalement la loi de comportement équivalente :(qu’on suppose pouvoir s’écrire formellement)
ij(t) = Lijkl
Hom Ekl(t’) t’ t
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S. DRAPIER 16
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
De manière formelle : pour les déformations
Soit finalement la loi de comportement équivalente :(qu’on suppose pouvoir s’écrire formellement)
ij(t) = Mijkl
Hom kl(t’) t’ t
En utilisant la loi de comportement locale et l’expression de la fonctionnelle de localisation correspondante :
(t) = < (x,t) > = < Mx (x,t’)> t’ t
Mx Bx [(t’’),Y(x’,t’’)] x’ , t’’ t’
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S. DRAPIER 17
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Remarques
• On rappelle que les fonctionnelles homogénéisées LH et MH
dépendent en toute rigueur du type de conditions au
contour considérées,
• de plus, rien ne garantit que ces 2 fonctionnelles soient, au
contraire des fonctionnelles locales, inverses l’une de l’autre
Ce théorème sera également utilisé dans les estimations des bornes d ’encadrement
Pour tester ce dernier point, on peut utiliser le Lemme de Hill
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S. DRAPIER 18
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Lemme de Hill (condition de macrohomogénéité de Hill ou condition de Hill-Mandel)
Si est un champ de contrainte S.A. et ’ un champ de déformation
compatiblediv(*)=0 ’’(u’)
soit en contraintes homogènes au contour
soit en déformations homogènes au contour
< ij* ij' (u’) > = ijh < ij' (u’) >
< ij* ij' (u’) > = < ij* > Eijh
En conditions homogènes au contour et en homogénéisation périodique, on a égalité du travail macroscopique et de la moyenne
spatiale du travail microscopique :< ij* ij' (u’) > = ij
h Eij
h
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S. DRAPIER 19
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Méthodologie de l'homogénéisation5.4 Remarques et conclusion
L’homogénéisation peut être une étape intermédiaire dans le calcul de réponses de matériaux :
• comportement macroscopique très sensible aux comportements microscopiques (endommagement, rupture, ...). •dans le cadre de grandes transformations
• Pour la suite : élasticité linéaire et déformations infinitésimales
HomogénéisationHomogénéisation
LH (MH)VER (Y(x,t)) LocalisationLocalisation
• Application d’un critère local• Actualisation de la représentation locale
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S. DRAPIER 20
Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
VER
HomogénéisationHomogénéisation
MH-Y(x,t)
LocalisationLocalisation
Ehx
xhY
]
h x
x[hY
]
ComportemenComportement localt local
xL x(x)
xM
x(x)
x x
xx
xEx
LH-E
5.5 Synthèse de la démarche