Les fonctions

1

Les fonctions

A. Introduction Dans la vie courante, il est régulier qu’une quantité dépende d’une autre ou de plusieurs autres

quantités. On dit alors que la première est fonction de la ou des autres. Ainsi, par exemple :

- L’aire A d’un cercle dépend de la valeur de son rayon r, la dépendance étant définie par

la formule A= r². Il va de soi qu’à chaque valeur positive de r correspond une et une

seule valeur de A. On dit que l’aire est une fonction du rayon.

- La population mondiale P dépend du temps t et le tableau ci-dessous donne un aperçu

de la population mondiale P(t) à un temps t.

Ainsi, par exemple, on peut écrire que P(1960) 3.020.000.000 ce qui signifie que la

population mondiale en 1960 était approximativement de 3.020.000.000 habitants. A

chaque valeur de la variable t correspond une et une seule valeur de la variable P et on

dit également que P(t) est une fonction de t.

- Le coût d’affranchissement postal C d’une lettre dépend de son poids p. Bien qu’il

n’existe pas de formule simple qui lie C à p, le bureau postal dispose d’un tarif qu’il lui

suffit d’appliquer pour connaître le coût.

Les exemples donnés ci-dessus illustrent l’idée de fonction : il s’agit d’associer à différents

phénomènes observés un modèle qui peut être traité mathématiquement et qui est acceptable,

c’est-à-dire qui « colle » avec suffisamment de précision aux expériences réalisées en laboratoire

ou sur le terrain.

Le modèle mathématique est alors une description mathématique, qui prend le plus souvent la

forme d’une équation ou d’une fonction, d’un phénomène issu du monde réel. La construction

du modèle vise à comprendre le phénomène et, le cas échéant, à pouvoir faire des prédictions

sur le comportement futur.

Une fonction peut-être présentée de quatre façons :

1) verbalement (en la décrivant avec des mots)

2) numériquement (en présentant un tableau de valeurs)

3) visuellement (en montrant son graphique)

4) algébriquement (en la définissant par une formule).

Idéalement, on connaîtra d’autant mieux la fonction qu’il nous sera possible de passer d’une

présentation aux autres.

Les fonctions

2

B. Activité

1) Voici les températures moyennes relevées à Bruxelles.

Mois Températures Janvier 4

Février 6

Mars 10

Avril 14

Mai 18

Juin 22

Juillet 23

Août 22

Septembre 20

Octobre 14

Novembre 8

Décembre 5

Dresse, dans un repère, un graphique qui donne pour chaque mois sa température moyenne.

2) Voici un extrait d’un tableau publié dans le numéro 390 de Test-Achat Magazine concernant

les presse-fruits :

Marque et type Appréciation globale Prix BRAUN MPZ 22 + / - 871 – 1195

KRUPS 292 + 695 – 880

MOULINEX K 76 + 690 - 695

Dresse, dans un repère, un graphique qui donne pour chaque appareil la fourchette des prix

pratiqués.

3) Dans les deux cas, on a une correspondance entre deux ensembles.

Ex. 1 : entre l’ensemble des ………………………et l’ensemble des ……………………

Ex. 2 : entre l’ensemble des ………………………et l’ensemble des ……………………

Dans les deux cas, on parlera de ………….………….

Entre ces deux exemples, on décèle une différence importante. Laquelle ?

On dira que la première relation est une ……………………………

Tandis que la deuxième n’en est pas une.

Les fonctions

3

A B

x y

C. Définitions et vocabulaire

1. Relations

Une relation d’un ensemble A vers un ensemble B établit un lien (une correspondance) entre

certains éléments de A et certains éléments de B.

Les éléments du premier ensemble qui ont un (des) correspondant(s) dans le second ensemble

sont les antécédents.

Les éléments du second ensemble qui sont correspondant(s) d’éléments (s) du premier

ensemble sont les images.

Une relation de A vers B peut être représentée par un diagramme sagittal.

Dans ce cas, chaque couple créé par la relation est représenté par une flèche.

Une relation de A vers B est définie lorsque l’on connaît l’ensemble de départ A,

l’ensemble d’arrivée B et les couples que la relation crée.

Dans le couple (a ,p) créé par une relation , p est l’image de a par .

Une relation d'un ensemble A vers un ensemble B est

un ensemble de couples dont le premier élément

appartient à A et le second à B.

2. Fonctions

Une fonction est une relation pour laquelle chaque antécédent n’a qu’une seule image, c’est-à-

dire pour laquelle chaque élément de l’ensemble de départ possède au plus une image.

L’ensemble des antécédents d’une fonction f porte le nom de domaine de la fonction f. On le

note dom f.

L’ensemble des images porte le nom de image de la fonction f . On le note im f.

Définition

Une fonction f d'un ensemble A vers un ensemble B (on note f : A B) est une relation de A

vers B qui, à tout élément de A, associe au plus un élément de B (c'est-à-dire zéro ou un

élément de B).

De tout élément de A part une flèche maximum vers un

élément de B.

Par contre, plusieurs flèches venant de A peuvent arriver en

un élément de B.

Dans ce cours, nous nous intéresserons uniquement aux fonctions de dans ,

ces fonctions sont appelées fonctions réelles d'une variable réelle.

A B a

b

c

d

e

t

q p

r

s

u

Les fonctions

4

Notation

f : : ( )x f x se lit « fonction f de dans qui envoie x sur f(x) », où

f(x) est l’image de x par la fonction f et représente son expression analytique.

Exemples

1) 2: : ( )f x f x x

Connaissant l’expression analytique de la fonction f, on peut calculer ( )f x pour

différentes valeurs de x.

Par exemple, lorsque x vaut 2 on a

2(2) 2 4.f

De même, lorsque x vaut 3,

2(3) 3 9f

et lorsque x vaut -3,

2( 3) ( 3) 9f

2) 1

: : ( )g x g xx

Connaissant l’expression de la fonction g, calcule par exemple :

(2)g

( 1)g

( 3)g

3) : : ( )h x h x x

De même, connaissant l’expression de la fonction h, calcule par exemple :

(1)h

(4)h

(9)h

Les fonctions

5

D. Domaine de définition d'une fonction

Intervalles

Ecriture d’une

inégalité

Notation Représentation

a < b , [a b ou ] , [a b

a b , ]a b ou ] , ]a b

a > b ] ,a b ou ] , [a b

a b [ ,a b ou [ , [a b

a < x < b ] , [x a b

a x b [ , ]x a b

a < x b ] , ]x a b

a x < b [ , [x a b

Remarque : On note a pour 0a

0a 0a

a 0a

0a 0a

Inéquations

Exemples :

x + 4 < 1 5 – x 10

x < 1 – 4 – x 10 -5

x < – 3 x -5

Solution : S = ] , 3 [ Solution : S = [ 5, [

Les fonctions

6

Exercices :

Résous les inéquations suivantes, détermine l’ensemble solution et sa représentation

1) 2 x 5 2) x – 6 9 3) x + 4 > –8

4) x – 6 9 5) –2 x < 5 6) –5 –2 + x

Domaine de définition

Le domaine de définition d'une fonction f est l'ensemble des réels ayant une image.

Il se note dom f.

En pratique, on déterminera le domaine d’une fonction en recherchant les nombres ne lui

appartenant pas, il s’agit notamment des nombres

qui annulent un dénominateur,

qui rendent négatif le radicand d’une racine d’indice pair.

Si on dispose de l’expression analytique de la fonction, on pose les conditions d’existence et on

résout les équations ou inéquations correspondantes. L’ensemble des solutions sera dom f.

Exemples :

1. Soit la fonction 2:f x x . Quelle que soit la valeur réelle de x, f(x) existe : nous dirons que

le domaine de définition de f est . Nous écrirons dom f = .

2. Soit la fonction 1

:g xx

. g(x) n'est définie que pour les valeurs de x différentes de 0.

Cette condition est appelée condition d’existence.

Nous écrirons CE : 0x

Par conséquent dom g = 0 = \{0} = ] - , 0 [ ] 0, + [

3. Soit la fonction :h x x . CE : x 0

dom h = = [0, + [

Les fonctions

7

Exercices :

Recherche le domaine de définition des fonctions suivantes :

a) 1

( )1

f xx

o) ( ) 4.(20 2 ). .( 5)f x x x x

b) 2( ) 5 6f x x x p) 5 12( ) 4.(20 2 ) . .( 5).(4 800)f x x x x x

c) 3

( )2

f xx

q) 4

3

( 2 8)( )

( 2).( 3 )

xf x

x x

d) ( )2 1

xf x

x

r)

12

5

( 8 ).(6 3 ) .( )

3 12143.(4 400) .

4 5

x xf x

x x

e) 2

1( )

1

xf x

x

s)

10

29

4 .( 40) . 7( )

(42 7 ) .( 5)

x xf x

x x

f) 2

2( )

5f x

x

t)

2

1( )

4

xf x

x

g) ( ) 1f x x u) 2

1( )

4

xf x

x

h) ( ) 2 3f x x v) 2( ) 1 4f x x x

i) 1

( )2

f xx

w) ( ) 2 3. 3 2f x x x

j) 2( )f x x

k) ( )f x x

l) 2 2

2 80( )

4.( 9).(8 ).(10 490)

xf x

x x x

m) 3

7( )

5 80

xf x

x x

n) 3

7( )

5 80

xf x

x x

Les fonctions

8

y

x a 1 0

1

?

?

? Fig. 2

E. Ensemble image d’une fonction

L’ensemble de toutes les valeurs f(x) possibles lorsque la variable x décrit le domaine de

définition porte le nom d’ensemble image de la fonction f. Il se note im f.

Exemples : si 2( )f x x : im f =

1

( )g xx

: im g = 0

( )h x x : im h=

F. Graphe cartésien d’une fonction

Le graphe cartésien d'une fonction f est l'ensemble des points du plan de coordonnées

(x,y) où x dom f, et y est l’image de x par la fonction, c'est-à-dire ( ).y f x

Le graphe de la fonction f se note .fG

Un exemple de graphe est donné sur la figure 1.

Remarques

1) La figure 2 ne représente pas le graphique d'une fonction.

En effet, le point d'abscisse a du graphique d'une fonction f,

devrait avoir pour ordonnée f(a). Or, ici, trois points du

graphique ont a pour abscisse, f(a) aurait donc trois valeurs distinctes !!

2) La représentation graphique de la fonction f nous permet de visualiser son domaine de

définition sur l’axe Ox ainsi que son ensemble image sur l’axe Oy.

Pour construire le graphe d’une fonction, il faut calculer les images d’un certain nombre de

points, les placer dans le repère, et ensuite les relier.

a

f(a)

1

1

0

y=f(x)

x

y

Fig. 1

Les fonctions

9

Nous allons tracer les graphes des trois fonctions f, g et h citées en exemple dans la définition

d’une fonction.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

x -2 -1 0 1 2

g(x)

x 0 1 4 9

h(x)

2

fG y x

1gG y

x

hG y x

Les fonctions

10

Exercices

1) Ci-dessous, la représentation graphique d'une fonction f.

a) Quelle est la valeur de ( 1)f ?

b) Estime la valeur de (2)f :

c) Pour quelle valeur de x a-t-on ( ) 2f x ?

d) Estime les valeurs de x pour lesquelles ( ) 0f x .

e) Détermine dom f et im f :

2) Ci-dessous, les représentations graphiques de deux fonctions f et g.

a) Que vaut ( 4)f :

et (3)g :

b) Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) = g(x) ?

c) Estime les solutions de l'équation ( ) 1f x :

d) Détermine le domaine de définition et

l'ensemble image de f et de g.

dom f = im f =

dom g = im g =

3) Une fonction f est telle que le tableau suivant est vérifié :

x -3 -2 -1 1/2 2 5

y = f(x) 1/3 ½ 1 -2 -1/2 -1/5

Exprime par sa formule une telle fonction f :

Les fonctions

11

4) Donne, par sa formule, un exemple de fonction telle que

a) (2) 4f et ( 2) 4f :

b) (0) 0f , (1) 1f , (2) 8f , (3) 27f :

5) a) 5 est-il image de 8 par la fonction : : ( ) 2 11f x f x x ?

b) -3

4 est-il image de

2

3 par la fonction f dont l’expression est

1 3

3

xy

x

?

c) - 1

2 est-il image de 2 par la fonction f dont l’expression est e = f(t) = - t² + t +

3

2 ?

6) a) Détermine la valeur numérique de la fonction : : ( ) 3 5f x f x x en 2.

b) Calcule l’image de f en 1

4 , f ayant pour expression y = f(x) = (3 – 6x)².

c) Détermine l'image de -3 par la fonction f dont l’expression est y = f(x) = (2x – 5).(1 – 5x).

d) Détermine l'image de 2

3 par la fonction f dont l’expression est y = f(x) =

2 1.

2

x x

x

e) Pour quelles valeurs de x, la fonction f(x) =2 4x

x

est-elle nulle?

Les fonctions

12

G. Parité

Fonction paire

Définition : f est une fonction paire , ( ) ( )x dom f f x f x

Propriété : Le graphique d’une fonction paire admet l’axe des ordonnées comme axe de

symétrie.

Exemples de fonctions paires :

2( )f x x ( )f x x

Fonction impaire

Définition : f est une fonction impaire , ( ) ( )x dom f f x f x

Propriété : Le graphique d’une fonction impaire admet l’origine du repère comme centre de

symétrie

Exemples de fonctions impaires :

3( )f x x x ( )f x x

Les fonctions

13

Comment reconnaître une fonction paire et une fonction impaire ?

Si l’on dispose du graphique de la fonction, il suffit de l’observer.

Si l’on dispose de son expression analytique, on remplace x par –x ; on calcule donc ( ).f x

On vérifie ensuite si l’on retrouve l’expression de la fonction.

Dans ce cas, si on a ( ) ( )f x f x , la fonction est paire.

Si on trouve l'opposé de l’expression de la fonction, et donc si ( ) ( )f x f x , alors la fonction

est impaire.

Si on ne retrouve ni l’expression de la fonction, ni son opposé, alors la fonction n'est ni paire, ni

impaire. On dira qu’elle est quelconque. C'est le cas le plus fréquent.

Exemple : a) Une fonction paire est 4 2( ) 2 3f x x x car 4 2 4 2( ) 2( ) 3( ) 2 3 ( ).f x x x x x f x

b) Une fonction impaire est 3( ) 2 3f x x x car 3 3( ) 2( ) 3( ) 2 3 ( ).f x x x x x f x

Exercices :

Vérifie la parité des fonctions suivantes :

a) f(x) = x4 – 4x² b) f(x) = x3 – x c) f(x) = 3x² + 1

d) f(x) = 3x3 + 1 e) f(x) = x² + x f) f(x)=tg x

Les fonctions

14

H. Périodicité

Une fonction f est périodique si et seulement si il existe un réel non nul k tel que,

pour tout réel x de son domaine, on ait ( ) ( ).f x k f x

On appelle période la plus petite valeur de k strictement positive.

Exemple de représentation d’une fonction périodique :

De bons exemples de fonctions périodiques sont les fonctions trigonométriques.

Les fonctions périodiques sont particulièrement utiles pour modéliser les phénomènes répétitifs.

C'est, par exemple, le cas des marées, les ondes sonores ou des vibrations d'un ressort.

I. Fonctions croissantes, décroissantes et constantes

y B D E

f(x2)

A f(x1)

C

0 a x1 x2 b c d e x

Soit la fonction ( )y f x définie dans l’intervalle [ , ]a e dont le graphe est représenté ci-dessus.

Observons l'allure générale de la courbe:

- elle monte de A jusqu'en B; - elle descend de B jusqu'en C;

- elle monte de C jusqu'en D; - elle est parallèle à l'axe Ox de D à E.

On dira que la fonction est strictement croissante dans les intervalles [a,b] et [c,d] et strictement

décroissante dans l'intervalle [b,c]. La fonction sera dite constante dans l’intervalle [d,e].

Donnons une définition mathématique de la croissance et la décroissance d'une fonction dans

un intervalle que nous appellerons I.

Les fonctions

15

Croissance

Une fonction f est strictement croissante dans un intervalle I si et seulement si

1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( )x x I x x f x f x

Une fonction f est croissante dans un intervalle I si et seulement si

1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( )x x I x x f x f x

Dans l'exemple ci-dessus, on peut donc dire que la fonction est croissante dans l'intervalle [c,e].

Décroissance

Une fonction f est strictement décroissante dans un intervalle I si et seulement si

1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( )x x I x x f x f x

Une fonction f est décroissante dans un intervalle I si et seulement si,

1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( )x x I x x f x f x

Fonction constante

Une fonction f est constante dans un intervalle I si et seulement si

1 2 1 2 , : ( ) ( )x x I f x f x

Dans un tel cas, sur l'intervalle I, le graphique de la fonction est une droite parallèle à l'axe Ox. y

f(x1) f(x2)

x1 O x2 x

J. Maximum et minimum d’une fonction

Une fonction f admet un maximum en a lorsque lorsqu’en a, elle cesse de croître pour

commencer à décroître

Une fonction f admet un minimum en a lorsque lorsqu’en a, elle cesse de décroître pour

commencer à croître

La fonction représentée ci-contre possède un maximum en a et un

minimum en b.

Remarquons qu'une fonction ne peut posséder un maximum ou un

minimum en a que si elle est définie en a ainsi qu'en son voisinage (aussi

bien à sa gauche qu'à sa droite).

y=f(x)

x

y

1 0

1

a b

Les fonctions

16

K. Racines et ordonnée à l’origine d’une fonction

Une racine (ou zéro) d'une fonction f est un réel dont l’image par f est nulle.

Si l’on dispose du graphe de la fonction, une racine correspond à l'abscisse d’un point

d'intersection du graphique de la fonction avec l'axe Ox.

y y y

0 x 0 x 0 x

Une racine Deux racines Pas de racine.

Si l’on dispose de l’expression analytique d’une fonction, chercher sa (ou ses) racine(s) consiste

à résoudre l'équation ( ) 0.f x

Exemple : Soit la fonction y = f(x) = 5x – 3 dont le domaine de définition est .

Par définition de la racine, il faut trouver une valeur de x pour que 5x – 3 soit nul.

On a donc 5x – 3 = 0 5x = 3 x = 3

5 .

La racine de la fonction est donc 3

5 et on peut dire que le graphe de la fonction coupe l'axe Ox

au point de coordonnées ( 3

5 ,0).

Exercice: Cherche les racines des fonctions suivantes.

a) f(x) = 5 – 6x b) f(x) = x² - 4 c) f(x) = 3

x

x

d) f(x) = x² - 2x + 1 e) f(x) = 3 2x f) f(x) = 2 9

2

x

x

L’ordonnée à l’origine d’une fonction est l’intersection du graphique de la fonction avec l’axe

des ordonnées.

Les fonctions

17

L. Signes d’une fonction

On dira qu’une fonction f est positive (ou négative) sur une partie A de son domaine si et

seulement si pour tout réel x de A, on a ( ) 0f x (ou ( ) 0f x ).

Exemple :

Le fonction représentée ci-contre est

- positive sur [ 6; 4] [0;6]

- négative sur [ 4;0] [6;8]

M. Exercices

1. a) Quels sont parmi les graphiques suivants ceux d’une fonction ? Pourquoi ?

b) S’il s’agit d’une fonction, précise le domaine, les racines, l’image, la parité.

2. Dessine le graphe cartésien d’une fonction impaire dont 2 est une racine et telle que 3 soit

l’image de 1 par f.

3. Dans un repère, construis le graphique d’une fonction f(x) répondant aux conditions

suivantes : dom f = [-5,5] ; [ 3,3]im f ; f est paire ; f admet un minimum quand x=-3 ;

f est strictement croissante sur [-5 ;-4] et f est constante sur [-1 ;1]

Les fonctions

18

4. Observe le graphe cartésien Gf de la fonction f.

a) En quels réels de [-4 ;3] la fonction f n’est-elle pas définie ?

b) Détermine dom f et im f

c) Quelles sont les racines de f ?

d) Quels sont les réels qui, par f, ont 1,5 comme image ?

e) Détermine l’ensemble des réels qui, par f, ont une image comprise dans [-1 ;1[.

f) Ecris les intervalles de réels sur lesquels la fonction f est

- croissante :

- décroissante :

g) Résous l’équation ( ) 0,5f x

i) Résous l’inéquation ( ) 1f x

Les fonctions

19

N. Fonctions usuelles

1. Fonction identique ( )f x x

dom f =

im f =

racine :

f est

2. Fonction « valeur absolue » ( )f x x

dom f =

im f =

racine : (0,0)

f est paire

3. Fonction inverse 1

( )f xx

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.

dom f = 0

im f = 0

pas de racine

f est impaire

4. Fonction « carrée » 2( )f x x

La courbe représentative de la fonction inverse est une parabole.

dom f =

im f =

racine : (0,0)

f est paire

5. Fonction « cubique » 3( )f x x

dom f =

im f =

racine : (0,0)

f est impaire

Les fonctions

20

6. Fonction « radical » ( )f x x

dom f =

im f =

racine : (0,0)

7. Fonction « racine cubique » 3( )f x x

dom f =

im f =

racine : (0,0)

f est impaire

8. Fonction sinus ( ) sinf x x

dom f =

im f = [ 1,1]

racine : k où k

f est impaire

f est périodique

de période 2

9. Fonction cosinus ( ) cosf x x

dom f =

im f = [ 1,1]

racine : (2 1)2

k

où k

f est paire

f est périodique

de période 2

10. Fonction tangente

dom f = \ (2 1) |2

k k

im f =

racine : k où k

f est impaire et périodique de période