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Vaudon Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques IRCOM – Université de Limoges
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VI - L’invariance des lois de la physique : un principe fécond.
‘ Tout le contenu de la théorie de la relativité restreinte est enfermé dans ce postulat : les lois de la nature sont invariantes relativement à la transformation de LORENTZ’ (A. EINSTEIN) Les lois de la physiques doivent être invariantes par changement de référentiel. Ce principe, qui conduit à rechercher de manière systématique une écriture tensorielle de ces lois, représente le point de vue le plus élevé à partir duquel on peut construire la physique, car il a une portée générale, indépendante des phénomènes étudiés.
Il prend son origine dans le fait qu’aucune expérience ne permet de distinguer un référentiel inertiel par rapport à un autre référentiel en mouvement relatif uniforme. On peut imager ce constat par le cliché suivant : que l’on serve une tasse de café à la terrasse d’un restaurant ou dans un avion, l’expérience va se dérouler exactement de la même manière. Puisque rien ne permet de différentier un référentiel inertiel d’un autre référentiel inertiel évoluant à vitesse constante par rapport au premier, le bon sens conduit à admettre que les lois de la physique sont identiques dans ces deux référentiels. A un instant donné, et en un point donné de l’espace, une grandeur physique a un caractère unique. Ce qui change d’un référentiel à l’autre, c’est sa représentation : une charge électrostatique dans un référentiel devient un élément de courant dans un autre par exemple. On désigne ce changement de représentation par le terme impropre de transformation, et on parle de transformation de la masse, de la force, de la vitesse etc …. D’un référentiel inertiel (R) à un autre référentiel inertiel (R’), la représentation des grandeurs physiques, et donc de leurs composantes, est différente : les grandeurs m, v, t, F, etc …. dans (R) deviennent respectivement m’, v’, t’, F’ dans (R’). La théorie de la relativité restreinte permet d’expliciter les relations qui existent entre les représentations de chaque grandeur physique du référentiel (R) et du référentiel (R’) :
m’=fm(m), v’=fv(v), t’=f t(t), F’=fF(F) …... (VI-1) Considérons alors une loi physique, écrite dans le référentiel (R), disons la loi fondamentale de la dynamique projetée suivant l’axe des x, pour fixer les idées : F = m γ (VI-2) Puisque cette loi physique doit être invariante par changement de référentiel, elle doit prendre la forme suivante dans le référentiel (R’) :
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F’ = m’ γ’ (VI-3) Ce qui impose la relation suivante entre les relations de transformations : fF(F) = fm(m) . fγ(γ) (VI-4) Or, précisément dans cet exemple, relation (4) est vérifiée lorsque les fonctions fi sont définies à partir de la transformation de GALILEE, mais elle ne l’est plus lorsque les fonctions fi sont définies à partir de la transformation de LORENTZ. Cette dernière remarque amène la conclusion suivante : soit la relation (VI-2) est incorrecte, soit la transformation de LORENTZ est incorrecte. L’invariance des équations de MAXWELL sous la transformation de LORENTZ conduira les physiciens à conclure que l’écriture de loi fondamentale de la dynamique (2) doit être modifiée. I) Invariance de l’équation d’onde en électromagnétisme Le premier exemple illustrant la fécondité de l’analyse de lois invariantes concerne l’équation d’onde en électromagnétisme. Nous avons établi que cette équation avait la forme suivante :
0tF..F. 2
2
00 =∂∂µε−∆ (VI-5)
dans laquelle F peut représenter une des grandeurs suivantes : Champ électrique, champ magnétique, potentiel scalaire ou vecteur. La particularité de cette équation tient au fait que la quantité :
200 c1. =µε (VI-6)
ne dépend pas du référentiel dans lequel est exprimée cette équation.
Considérons deux référentiels (R) et (R’) en mouvement relatif uniforme suivant l’axe des x, et supposons que la transformation de coordonnées qui en résulte soit linéaire, mais ne nous soit pas connue. Nous pouvons poser :
taxa'x 21 += y’ = y z’ = z taxa't 43 += (VI-7)
où les coefficients ai sont des constantes indépendantes du temps et de l’espace. Sans que cela en réduise la généralité, considérons, dans le référentiel (R), le problème à une dimension d’une onde électromagnétique se propageant suivant l’axe des x :
0)t,x(Ftc
1)t,x(Fxt
)t,x(Fc1
x)t,x(F
2
2
22
2
2
2
22
2
=∂∂−
∂∂=
∂∂−
∂∂
(VI-8)
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Dans le passage du référentiel (R) au référentiel (R’), la grandeur F(x,t) va se transformer en une grandeur F’(x’,t’). Il nous reste à préciser comment se transforment les relations (∂²/∂x²) et (∂²/∂t²).
La différentielle totale dG d’une fonction G quelconque peut s’exprimer de deux manières différentes :
dttGdz
zGdy
yGdx
xGdG ∂
∂+∂∂+∂
∂+∂∂= (VI-9)
'dt't
G'dz'z
G'dy'y
G'dx'x
GdG ∂∂+∂
∂+∂∂+∂
∂= (VI-10)
avec les différentielles des coordonnées déduites de la transformation (VI-7) :
dtadxa'dx 21 += dy’ = dy dz’ = dz dtadxa'dt 43 += (VI-11)
On en déduit :
( ) ( )dtadxa't
Gdz'z
Gdy'y
Gdtadxa'x
GdG 4321 +∂∂+∂
∂+∂∂++∂
∂= (VI-12)
( ) ( )dt't
Ga'x
Gadz'z
Gdy'y
Gdx't
Ga'x
GadG 4231 ∂∂+∂
∂+∂∂+∂
∂+∂∂+∂
∂= (VI-13)
Par identification de (VI-9) avec (VI-13), on tire la relation qui relie une différentielle
partielle dans le référentiel (R) aux différentielles partielles dans le référentiel (R’) :
'ta
'xa
x 31 ∂∂+
∂∂=
∂∂
y'y ∂
∂=∂∂
z'z ∂
∂=∂∂
't
a'x
at 42 ∂
∂+∂∂=
∂∂
(VI-14)
En renouvelant cette démarche pour exprimer les dérivées secondes, on obtient :
( ) ( ) ( )( )'t
Ga'x
Ga't
a'x
a't
Ga'x
Gaxx
Gxx
G3131312
2
∂∂+∂
∂∂∂+∂
∂=∂∂+∂
∂∂∂=∂
∂∂∂=
∂∂ (VI-15)
2
223
2
312
2212
2
'ta
't'xaa2
'xa
x ∂∂+∂∂
∂+∂∂=
∂∂ (VI-16)
2
224
2
422
2222
2
'ta
't'xaa2
'xa
t ∂∂+∂∂
∂+∂∂=
∂∂ (VI-17)
En substituant les relations que nous venons d’établir, dans l’équation d’onde (VI-8),
nous obtenons l’expression de cette équation dans le référentiel (R’) :
0't'F
ca
a't'x'F
caa
aa2'x'F
ca
a 2
2
2
242
3
2
242
312
2
2
222
1 =∂∂
−+∂∂∂
−+∂∂
− (VI-18)
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I-1) Analyse de la transformation de l’équation d’onde sous la transformation de GALILEE.
la transformation de GALILEE correspond à la situation : a1 = 1 a2 = v a3 = 0 a4 = 1 (VI-19) où v désigne la vitesse relative du référentiel (R’) par rapport au référentiel (R). L’équation d’onde s’écrit alors :
0't'F
c1
't'x'F
cv2
'x'F
cv1 2
2
2
2
22
2
2
2=
∂∂
−∂∂
∂
−
∂∂
− (VI-20)
Il apparaît que l’équation d’onde écrite dans le référentiel (R) n’est pas conservée dans
le référentiel (R’) par la transformation de GALILEE. Nous pouvons préciser la nature du problème soulevé par cette non invariance en
recherchant les solutions F’ de cette équation admettant une vitesse de propagation égale à U’ dans le référentiel (R’), ce qui revient à rechercher des solutions sous la forme : F’(x’ - U’t’).
En notant que :
'x'F'U
't'F
∂∂−=∂
∂ (VI-21)
on trouve :
0'x'F'U
c1
'x'F'U
cv2
'x'F
cv1 2
22
22
2
22
2
2
2=
∂∂
−
∂∂
+
∂∂
− (VI-22)
On peut vérifier que cette équation est satisfaite pour : U’ = c + v ou U’ = -c + v (VI-23) Ainsi, la vitesse de propagation de l’onde dans le référentiel (R’), déduite de la
transformation de GALILEE, n’est plus égale à c, mais à (c + v) ou (-c +v). Cette transformation conduit à un résultat contraire à tous les expériences qui ont
établi la constance de la vitesse de la lumière dans des référentiels inertiels, et doit donc être rejetée.
I-2) Recherche d’une transformation invariante : la transformation de LORENTZ. L’objectif consiste alors à rechercher une transformation des coordonnées qui laisse l’équation d’onde invariante. En s’appuyant sur la transformation de GALILEE, et en conservant la linéarité de la transformation, une idée simple consiste à se demander si l’introduction d’une constante multiplicative α permet de résoudre ce problème, ce qui revient à poser : a1 = α a2 = α v (VI-24)
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et il nous faut résoudre les conditions suivantes, qui garantissent l’invariance de l’équation d’onde : ( a1a3 - a2a4 /c
2 ) = 0 (VI-25) ( a1
2 - a22 /c2 ) = 1 (VI-26)
( a3
2 - a42 /c2 ) = -1 (VI-27)
De (VI-26) on déduit :
221
c/v11a
−=α= (VI-28)
222
c/v1vva
−=α= (VI-29)
puis de (VI-25) et (VI-27) :
22
2
3c/v1
c/va
−= (VI-30)
224
c/v1
1a
−= (VI-31)
Nous venons d’établir la transformation de LORENTZ, comme une transformation qui laisse l’équation d’onde électromagnétique invariante par changement de référentiel, et qui conserve une vitesse de propagation constante et égale à c dans tous les référentiels inertiels. II) Invariance de la loi fondamentale de la dynamique Comme nous l’avons mentionné plus haut, la relation qui portait toute la mécanique dynamique du XIXème siècle :
γ= rrmF (VI-32)
n’est pas invariante sous la transformation de LORENTZ. Elle ne peut pas représenter une loi physique correcte. Quelques tentatives suffisent à montrer que la relation invariante s’écrit :
( )UmdtdF
rr= (VI-33)
Mais même sous cette forme, il est intéressant de montrer que l’invariance de cette relation impose de fait la validité d’une autre relation physique fondamentale. La raison en est que l’écriture (VI-32) ne s’adresse qu’aux composantes spatiales des vecteurs forces et vitesses. La relation complète entre des grandeurs physiques, donc quadri-dimensionnelles, ne
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peut s’établir que sur la représentation tensorielle de ces grandeurs, c’est à dire ici, sur les quadri-vecteurs.
Partant de l’expression (VI-32), la composante de rF' suivant la direction O’x’ dans le
référentiel (R’) s’écrit :
Fd
dtm U
dm
dtU
dU
dtmx x x
x''( '. ' )
'
'. '
'
'. '= = + (VI-34)
Substituons, dans cette expression, les transformations de F’x, m’, Ux’, dt’ déduites de la relativité restreinte. On obtient après réduction :
{ } ( )Fv
cF U F U F U
d
dtm U
dm
dtvx x x y y z z x+ + + = +
². . . . . (VI-35)
L’invariance de la relation (VI-35) impose l’égalité suivante :
F U F U F U cdm
dtx x y y z z. . . ²+ + = (VI-36)
Soit encore :
( )dE F U F U F U dt c dmx x y y z z= + + =. . . ² (VI-37)
où le terme de gauche exprime l’énergie acquise par la particule durant un temps dt. En intégrant cette relation, on obtient la formule la plus célèbre de la théorie de la relativité : E=mc² (VI-38) On déduit de l’analyse qui vient d’être présentée que l’invariance de la loi
fondamentale de la dynamique ( ) dt/UmdFrr
= impose l’équivalence masse - énergie sous la forme E=mc², et qu’elle ne peut en être dissociée sous peine de rompre cette invariance. Cette équivalence est présente dans le formalisme des quadri-vecteurs : elle s’obtient en écrivant l’égalité de la quatrième composante de la relation (VI-33) écrite en terme de quadri-vecteurs :
( )U~
mdtdF
~= (VI-39)
III) Invariance des équations de MAXWELL L’invariance globale des équations de MAXWELL sera examinée en détail lors de la réécriture de ces équations sous forme tensorielle. L’objectif est ici de s’intéresser à une de ces équations, et de vérifier qu’elle est bien invariante sous la transformation de LORENTZ. Nous choisirons la loi de MAXWELL - AMPERE dans le vide :
r r r
r
∇ = +ΛH JE
tε ∂
∂ (VI-40)
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Et nous examinerons, dans un référentiel (R’), la relation suivant O’x’ de l’équation vectorielle (VI-40) :
∂∂
∂∂
ε ∂∂
H
y
H
zJ
E
tz y
xx'
'
'
''
'
'− = + (VI-41)
Cherchons à montrer l’invariance de cette relation en considérant un référentiel (R) se déplaçant à une vitesse uniforme v.
rex par rapport à (R’). Nous utiliserons pour cela les
transformations des composantes physiques suivantes, après avoir posé γ = −1 1/ ² / ²v c :
H Hv
cEz z y'
²= −
γ
µ (VI-42)
H Hv
cEy y z'
²= +
γ
µ (VI-43)
E’x = Ex y’ = y z’ = z (VI-44) ( )J J vx x' = −γ ρ (VI-44)
t tvx
c'
²= −
γ (VI-45)
De cette dernière relation, nous tirons :
dtv
c
dx
dtdt'
²= −
γ 1 (VI-46)
Le point sur lequel on observe le champ est un point fixe de (R’) ayant pour coordonnées (x’, y’,z’, t’). Sa vitesse dans le référentiel (R) est dx/dt=v. Cette substitution amène à réécrire l’équation (VI-46) sous la forme:
dtv
cdt dt'
²
²/= −
=γ γ1 (VI-47)
qui relie des éléments infinitésimaux de temps propres et impropres. L’introduction des relations (VI-42) .. (VI-47) dans l’équation (VI-41) conduit, après réduction, à l’équation suivante :
∂∂
∂∂
ε ∂∂
ε ∂∂
∂∂
∂∂
ρH
y
H
zJ
E
tv
E
x
E
y
E
zz y
xx x y z− = + + + +
−
(VI-48)
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Et l’invariance de l’équation (VI-41) ne sera démontrée que si :
ε ∂∂
∂∂
∂∂
ρE
x
E
y
E
zx y z+ +
−
= 0 (VI-49)
Ainsi, on constate que les deux relations suivantes :
r r r
r
∇ = +ΛH JE
tε ∂
∂ (VI-50)
r r∇ =. /E ρ ε
sont indissociables l’une de l’autre en termes d’invariance des lois de la physique sous une transformation relativiste. On en saisira la signification profonde lorsqu’on aura montré que le champ électromagnétique est une grandeur physique qui ne peut être représentée que par un tenseur de rang 2. IV) Invariance de la conservation de l’impulsion Le dernier exemple proposé est celui de la conservation de la quantité de mouvement ou impulsion, lors d’un choc entre deux particules. L’impulsion relativiste, pour une particule de masse au repos m0, et animée d’une vitesse v
r dans un référentiel (R), est définie à partir du quadri-vecteur impulsion-énergie :
−−=
−== c
cv1
m,v
cv1
mV~
cv1
mV~
mP~
2
2
0
2
2
0
2
2
0 r (VI-51)
dont les composantes spatiales sont définies dans le premier terme de la parenthèse. Considérons deux particules incidentes a et b, qui après collision sont susceptibles de fournir deux particules d et e (la lettre c sera réservée pour désigner la vitesse de la lumière). Dans le référentiel (R’), cette conservation s’écrit sur l’axe O’x’ :
x
2
ex
2
dx
2
bx
2
2
a 'e
c'²e1
'm'd
c'²d1
'm'b
c'²b1
'm'a
c'a1
'm
−+
−=
−+
− (VI-52)
où pour chaque particule i, m’i représente la masse au repos, i’ la norme de sa vitesse dans le référentiel (R’), et i’x la composante de cette vitesse suivant l’axe O’x’. Avant le choc, les masses sont notées m’a et m’b, tandis qu’on les retrouve sous la forme m’d et m’e après le choc, car elles sont susceptibles d’avoir varié. La masse au repos étant invariante, la transformation de l’équation (VI-52) se fait essentiellement au travers de la relation :
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−−
−γ=
− 22
x
2
x
c²a1
v
c²a1
a
c'²a1
'a (VI-53)
D’où il découle :
−+
−γ−
−+
−γ=
−+
−γ−
−+
−γ
2
e
2
dx
2
ex
2
d
2
b
2
ax
2
bx
2
a
c²e1
m
c²d1
mve
c²e1
md
c²d1
m
c²b1
m
c²a1
mvb
c²b1
ma
c²a1
m
(VI-54) Et l’invariance de la relation (VI-52) ne sera vérifiée que si :
2
e
2
d
2
b
2
2
a
c²e1
m
c²d1
m
c²b1
m
ca1
m
−+
−=
−+
− (VI-55)
On peut identifier dans la relation (VI-55), une équation de conservation de l’énergie dans le référentiel (R), à un facteur c² près. La relation qui met en jeu la conservation de l’impulsion lors d’un choc n’est donc invariante sous la transformation de LORENTZ que lorsqu’elle est associée à une équation de conservation de l’énergie. Cette association se fait de manière transparente lorsqu’on traite le problème en termes de quadri-vecteurs. Ces quelques exemples suffisent à mettre en évidence l’harmonie profonde qui règne entre la transformation de LORENTZ et les lois physiques fondamentales. De quelque côté que l’on se tourne, cette transformation assure leur invariance par changement de référentiel.