6) Magnétisme des solides - IRAMIS · Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012 1 6) Magnétisme des solides 6.3 Thermodynamique d’une assemblée de moments localisés

1 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

6) Magnétisme des solides

6.3 Thermodynamique d’une assemblée de moments localisés sans interaction

6.3.1 Paramagnétisme

En l’absence de champ magnétique les 2J+1 directions sont dégénérées (même énergie)

Soit une assemblée d’atomes (ou d’ions) définie par leur nombre quantique J

z

z

L J Bg ( l)

z

J J Bg ( 2)

z

L J Bg (2)

z

L J Bg (l)

z

L 0

JM J, J 1, , J 1,J z J J JJ J,M M J,M

J J B

Jg

z

J J B Jg M

Jg Facteur gyromagnétique de Landé

0B z

J J Bg J(J 1)


•En présence de champ magnétique il y a couplage entre le moment magnétique de l’atome

et le champ appliqué


J JZeeman 0E . H .B

Zeeman J 0 B JE g M H

Levée de dégénérescence des 2J+1 niveaux

Thermodynamique statistique d’une assemblée d’atomes indépendants:

NN

i

i 1

Z z z

J

J

J

M JE(M )

M J

z e

B BF k Tln Z Nk Tln z Nf Bf k Tln z

B z

itot

JZeeman

i

E B.

0B 0B

J 0 BE g H

4

0

1

10B

T

E g H eV



J J J

J J J B 0 J

J J J

M J M J M JE(M ) M g H xM

M J M J M J

z e e e

J B 0 J B

B

Bx g H g

k T

(2J 1)xxJ

x

xsh (2J 1)

1 e 2z e

x1 esh

2

B B

xsh (2J 1)

2f k T ln z k T ln

xsh

2

J

Jz

J

J

Jz

J

M JE

J B J BM J 0

z M JE

M J

zg M e k T

( H) f

z (B)e

Moment magnétique moyen


zztot J B

at at

JB (y)

M g J 2J 1 2J 1 1 yM coth y coth

V v v 2J 2J 2J 2J


J B 0 s

B B

g J( H) By Jx

k T k T

JB (y) Fonction de Brillouin

1/ 2B (y) th(y)

ss J B

at

NM g J

v V

1B (y) L(y) coth y

y Fonction de Langevin

Aimantation=

Moment/volume

s J Bg J

Ss J

B

BM M B

k T



y 0

1 ycoth(y)

y 3

J

y 0

J 1B (y) y

3J

Jylim B (y) 1

sylim M(y) M

JB (y)

1/ 2B (y)

JB (y) 12

J

B

By

k T

B ( )


2

J B

0

B

g J(J 1)M N ( H)

3V k T

2

J B

0

B

gM J(J 1)N

H 3V k T

•Susceptibilité magnétique


C

T

2J

220 0

J B J

B B

N NC g J(J 1)

V 3k V 3k

•Energie et capacité calorifique magnétique

ln Z ln zE N

J B 0 J 0 tot

E Ng J( H)B (y) M H

V V

JJ

M

EC

T


2

J 1/2 BM B

2B B

B

g B 1C Nk

2k T g Bch

2k T


(g 2)J 1/ 2

1/ 2

M

B

C

Nk

B

B

B

k T

2

B

B

B

k T

Anomalie de Schottky

1

Anomalie de Schottky B Bk T B

Excitation entre deux niveaux séparés de BE B

Moment de spin



J Théorie semi-classique

ZeemanE .B Bcos

x

y

z

B

B

Bcos2

k T

0 0

Bcos2

k T

0 0

d d sin e

d d sin e

z z z

B

BL

k T

Fonction de Langevin

J

z J B

B

B (y)

Bg J L

k T



•Ordres de grandeur J B 0 s

B B

g J( H) By

k T k T

24

B

e9,27 10 J / T

2m

T 300K

0H 1T 23

Bk 1,38 10 J / K

3y 2 10 1 Approximation y≈0 justifiée

2

J B 0

B

N J(J 1)g

V 3k T

7

0 4 10

3VÅ

N

2 310 ,10

Remarque importante: dans de nombreux matériaux le magnétisme orbital

est faible du fait de l’influence de l’environnement si bien que l’on a souvent

L 0

J SJg 2

eff B2 S(S 1)


6.3.2 Paramagnétisme en présence d’interactions magnétiques interatomiques


Champ moléculaire agissant en parallèle du champ appliqué

mH M Constante de champ moléculaire

Proportionnelle aux interactions

électrons-électrons

tot mH H H H M

eff

tot

M C M C

H T H M T

M C

H T

C

TC

C

paramagnétique 10K

ferromagnétique 0

ferrimagnétique 0

antiferromagnétique


6.4.1 Origine de l’interaction interatomique


•Interaction dipolaire

01 2 1 2

3 2

3( ) . . .

4dipE r m m m r m r

r r

1m

2m

r

Ordre de grandeur

24 29,2742 10Bm Am

2Ar7

0 4 10 H / m

2230

3

1( ) 10

4 8

BdipE r J

r

( )0.1

dip

B

E rK

k

Beaucoup trop faible pour être à l’origine du ferromagnétisme!!!

6.4 Assemblée de moments localisés en interaction


1 1 a 1 a a 1(T V ) (r ) (r )

S a 1 b 2 a 2 b 1 S

1(r ) (r ) (r ) (r )

2

T a 1 b 2 a 2 b 1 T

1(r ) (r ) (r ) (r )

2

1 2 1 2 12H T T V V V

2 2 b 2 b b 2(T V ) (r ) (r )

singulet

triplet

3 3

S S S 1 2E H d r d r 3 3

T T T 1 2E H d r d r

S TE E 2J

3 3

a 1 b 2 12 a 2 b 1 1 2J (r ) (r )V (r ) (r )d r d r

S 0

S 1

Intégrale d’échange

1s 2

1T 2

2 électrons en interaction coulombienne

•Interaction d’échange interatomique




6.4.2 Modèle de Heisenberg

1 2S T

1H (E 3E ) 2J s .s

4

Hamiltonien à deux électrons

Hamiltonien à deux spin 1 2 1 2spinH 2J s .s Js .s

Hamiltonien de Heisenberg i ji, j

i, j

1H J s .s

2

i, jJCouplage d’échange entre les sites i et j

i, jJ 0 Couplage ferromagnétique

i, jJ 0 Couplage antiferromagnétique

S s

J 2J

Remarque: afin de ne pas confondre l’intégrale d’échange

avec le nombre quantique J nous noterons quand ce sera

nécessaire l’intégrale d’échange JH


Molécule d’hydrogène

Courbe de Bethe-Slater-Néel


1 1 1 2 2 2 12

1 2

1 2 2 1 12

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2a b a b

H T V H T V V

Hr r r r r d

aR bRd

1ar 2ar1br

2br

12r

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c7/Bethe-Slater_curve_by_Zureks.svg



6.4.3 Thermodynamique d’une assemblée de spin de Heisenberg

ferromagnétisme 1

i j ii, j2

i, j ii j

H J s .s B.

Approximation de champ moyen: si on isole un « spin » il voit un champ effectif

eff m

effj i iB i, j B

i j i iB

B B B

1H g B J s .s g B . s

g

On néglige les fluctuations

B

NM g s

V

ij j ij ij 02

j i j i j iB B B

s1 M VJ s J J M

g g Ng

Hij2 2

1ers voisinsi0 B 0 B

pJ1 V VJ

(g ) N (g ) N

m m0 0B H M

: intégrale d'échange

entre 1ers voisins

HJ

Hamiltonien paramagnétique

avec champ effectif

ii Bg s

js s

ijJ 0



M C C

H T C T

1 1

2 2 20 B ij2

iB 0 B

( 1)N 1 VC g J

V 3k (g ) N

ij

i

B

J

4k

•Equation « implicite »pour l’aimantation

Bs eff

B

gM M th B

2k T

eff 0B B M

Bs

B

gM M th B M

2k T

1/ 2B (y) th(y)rappel 1

2J 2g

Force de l’interaction

magnétique


•Solution à champ nul


Bs

B

gM M th M

2k T

s

s

MM M th

T M

s

s c

Mth x

M

M Tx

M T

Hc

B

pJT

4k

s

M

M

x

cT T

cT T

cT T

0x0x

Solution graphique

Bs

gNM

V 2



T

M

sM

cT

•Température critique H

C

B

pJT

4k

1H 10

J eV

1B 40

k (300K) eV 3

CT 10 K

•Transition de phase ferromagnétique ↔ paramagnétique

matériau Tc (K)

Fe 1043

Co 1394

Ni 631

( )E M

( )E M


•Comportement en présence d’un champ magnétique


cB B

s B s B

Tg gM Mth (B M) th B

M 2k T M T 2k T

s

B

s c B c

Mth x

M

gM Tx B

M T 2k T

s

M

M

x

cT T

cT T

cT T

0x

Solution graphique


cT T


Toujours une solution (stable) de moment non nul

(plus de transition de phase)

cT T Une ou deux solutions selon l’amplitude

de l’induction magnétique

0B B (T) Deux solutions (une stable et l’autre métastable)

0B B (T) Une solution stable

( )E M

( )E M

( )E M


•Susceptibilité magnétique en phase paramagnétique (T>Tc)


CT T

2

BB B

B B

gg g N (B M)M N th (B M)

2V 2k T V 4k T

M 0

C c c 0

c

T T T BB MM M 1

T T

M C

B T T

c

C

T T

2c

0 J B 0

B

T N 1C g

V 4k

HC

B

pJT

4k

BS

gM N

2V

H

2

B

pJ V

(g ) N

Loi de Curie-Weiss

Constante indépendante des interactions

HC

B

pJT

4k Température critique proportionnelle aux interactions



6.4.4 diamagnétisme

Tous les matériaux ont une « composante » diamagnétique mais elle est le plus souvent noyée par les autres

composantes (para etc..) qui sont plus fortes (et de signe contraire). Le diamagnétisme sera détectable

lorsque les autres composantes sont nulles, c’est-à-dire pour un matériau non magnétique (couches pleines).

2 2 2 22

2 2

2

e B e BH R (x y )

8m 8m

2 2 Z2 2

0 2 0 0 i i 0

i 1

e BE H (x y )

8m

Atome de valence Z

Symétrie sphérique 2 2 210 i 0 0 i 0 0 i 03

x y r

2 2 Z2

0 i 0

i 1

e BE (r )

12m

22

eff

1 F N E N e BM Z r

V B V B V 6m

220

eff

eM NZ r

H V 6m


6.5 Magnétisme itinérant


6.5.1 Rappel sur le magnétisme de spin de l’électron

z

z zs B Bs2

Opérateur moment magnétique

Moment magnétique d’un électron

z

1 0

0 1

z

B si z

B si

Moment magnétique d’une assemblée d’électrons

Soit +N électronsN N

z

tot B(N N )



6.5.2 « Splitting » Zeeman

.ZeemanH B

0B H 2 B Bs

B

z

0 0

1 0

0 1Zeeman B z BH H H

Décalage rigide des bandes et

0 0B H

0 0B H

Ordre de grandeur

5

0 01 5.610BB H T H eV



6.5.3 Paramagnétisme de Pauli

E

D(E)

H 0

E

D(E)

H 0

H

B 0H

FE0 F 0 BN D (E ) H

0N N N

0N N N

2

B 0 F 0 B

2

P 0 F 0 BM 2 N 2D (E ) H 2D (E )

0D (E) D (E) D (E)

0 0 BD (E) D (E H)

0 0 BD (E) D (E H)

Densité d’état totale (↑ et ↓) non magnétique


Effet de la température


0 B0

N D (E B)f (E)dE

0 B

0N D (E B)f (E)dE

2 20B B B 0

0 0

dD dfM (N N ) 2 B f (E)dE 2 B D (E) dE

dE dE

2

0 F 0 B2D (E )

Si kBT grand

B F(k T E ) B

df f

dE k T

2 2

B B0

0B B

B n BM 2D (E)f (E)dE

k T k T

2

0 B

B

n

k T

Susceptibilité de type Curie

Peu d’effet de la température

ou semi-conducteurs

Si kBT faible F

df(E E )

dE 2

0 F BM 2D (E ) B

B

(E )

k Tf (E) e



•Ordres de grandeur

5

B 0 0H 6.10 eV pour H 1T Perturbation très faible

0

32 ( )

2F

F

nD E

E

0

2

F 0 B2D (E ) 2

0 B

F

3n

2E

19

FE eV 1,6 10 J

29 310eNn m

7

0 4 10 H / m

24 2

B 9,2742 10 Am

510

pour un métal pour un

semiconducteur

électrons libres



6.5.4 Modèle de Stoner et ferromagnétisme

Magnétisme de bandes: « splitting » spontané des bandes

D(E)

E

E

FE0 FN D (E ) E

0D (E) D (E E)

1

0D (E) densité d’état par spin

0N N N

B B B 0 FM (N N ) 2 N 2 D (E ) E

0N N N


Champ moléculaire (polarisation) mH (M) M

M2

pol 0 m 00

1E H (M')dM' M

2

2

pol 0 FE I D (E ) E 2

0 BI 2


Energie de polarisation

2

pol

B

1 ME I

4

2

cin 0 FE D (E ) E

Energie de bandes (énergie cinétique)

Bilan énergétique

B B 0 FM 2 N 2 D (E ) E

2

cin

B 0 F

1 M 1E

4 D (E )

En fonction de M


2

cin pol

0 F B

1 ME E E I

D (E ) 2


0 FE 0 ID (E ) 1

Critère de Stoner d’apparition du magnétisme

0 FID (E ) 1

I: Paramètre de Stoner (interaction de Coulomb)

I eV

Une forte densité d’état au niveau de Fermi favorise l’apparition du magnétisme

Remarque: dans cette démonstration D0(E) correspondent à des densités

électroniques par atome et non par unité de volume. Le paramètre de Stoner est donc

une énergie et les densités d’état intégrées donnent le nombre d’électrons de valence

par atome


Susceptibilité magnétique


2

0

0 F B

1 ME(M) I M H

D (E ) 2

Energie sous champ magnétique

02

0 F B

d E(M) 1 M0 I H 0

dM D (E ) 2

Minimisation de l’énergie

2

0 B 0 F

F

2 D (E )M

H 1 ID(E )

P

F1 ID(E )

Susceptibilité magnétique

P Susceptibilité magnétique de Pauli amplifiée par les interactions électroniques

Amplification de Stoner




6.5.5 Le nano favorise le magnétisme


D(E)

EW

W Z (R)

Z: coordinence

: intégrale de saut

FE

FZ D(E ) critère de Stoner

La basse dimensionnalité

favorise le magnétisme


6.5.6 Le diamagnétisme de bande


Le paramagnétisme de Pauli est associé au spin, le moment orbital des électrons libres

est également affecté par le champ magnétique: il s’agit du diamagnétisme de Landau

Dans le modèle d’électrons libres on montre que

PL

3

Si on prend en compte la masse effective on obtient

2

e PL

m

m 3

Ce terme peut devenir dominant pour les faibles masses effectives

Exemple: Bismuth em 0,01m

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