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1
Cours 6 Perte drsquoeacutenergie des eacutelectrons et
positrons
2
Les eacutelectrons et les positrons sont leacutegers donc
ndash La formule Bethe-Bloch doit ecirctre modifieacutee
masse de la particule incidente = masse de la particule cible
dans le cas des eacutelectrons particule incidente = particule cible
ndash Une seule diffusion peut changer la direction du projectile ce qui rend sa trajectoire sinueuse Il devient difficile de deacutefinir un parcours
ndash La perte drsquoeacutenergie par rayonnement (bremsstrahlung) est importante
jusqursquoagrave quelques MeV petite fraction
quelques dizaines MeV comparable agrave ionisation
plus eacutenergeacutetique dominante
-dEdx(total) = -dEdx(radiation)- dEdx(collision)
3
1) Formule de Bethe-Bloch modifieacutee
Les diffusions eacuteleacutementaires sont
diffusion de Moumlller
e- e
- e
- e
-
diffusion ineacutelastique sur les eacutelectrons atomiques
diffusion de Mott diffusion eacutelastique sur les noyaux
Agrave partir des sections efficaces de ces diffusions on obtient
22
)(
2
2ln
12
2
F
I
cm
A
ZK
dx
dE e
ougrave crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoeacutelectron (positron) en uniteacute de mec2 et F)
crsquoest une fonction qui est diffeacuterente pour eacutelectron et positron
4
La diffusion de Mott ne fait pas varier leacutenergie des eacutelectrons mais perturbe beaucoup leur trajectoire
Contrairement aux particules lourdes la porteacutee est tregraves diffeacuterente de la longueur de la trajectoire
Une autre conseacutequence est que leacutelectron a une probabiliteacute non neacutegligeable de ressortir de labsorbeur par la mecircme face que celle par laquelle il y avait peacuteneacutetreacute Ce pheacutenomegravene est dautant plus important que le Z de labsorbeur est grand et que leacutenergie de leacutelectron est faible et que langle dincidence par rapport agrave la normale est grand
5
6
La particule lourde (de masse M) ne peut perdre au maximum lors dune collision avec un eacutelectron quune fraction de son eacutenergie de lordre de
Mme Lors dune collision entre eacutelectrons la particule incidente peut
perdre 50 de son eacutenergie initiale Lors de leacutemission de rayonnement de freinage comme nous le verrons plus tard ce pourcentage peut mecircme ecirctre de 100
fortes fluctuations de la longueur du parcours
7
2) Perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage ( Bremsstrahlung )
Une particule chargeacutee perd de lrsquoeacutenergie par eacutemission de radiation eacutelectromagneacutetique quand sa vitesse change
ndash Bremsstrahlung dans le champ eacutelectrique drsquoun noyau
(Z de la cible) Utilisation en meacutedecine drsquoeacutecrans en plexiglas plutocirct qursquoen plomb
8
Figure 33 Perte drsquoeacutenergie des eacutelectrons et des protons dans le plomb (drsquoapregraves WE Burcham Nuclear Physics an introduction Longmans (1963)
Au delagrave drsquoune eacutenergie dite critique Tc la perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage devient preacutepondeacuterante On eacutevalue Tc empiriquement
Tc
9
21
)(800
Z
MeVTc
La section efficace de rayonnement de freinage pour une particule relativiste de masse m et de charge ze varie en Z
2 pour un milieu
ralentisseur de numeacutero atomique Z
particule masseen DeacutependanceMateacuteriau
ln52222
2
2
224
k
mc
k
r
mc
cmZz
dk
d ee
avec fmcmer ec 82)4( 2
0
2 rayon classique de lrsquoeacutelectron la particule
incidente drsquoeacutenergie totale E0 perdant une eacutenergie k eacutemise sous forme de photon soit lrsquoeacutenergie reacutesiduelle E = E0-k
Terme en (mem)2 pour un donneacute me=05 MeV et Mp=1 GeV
rapport 6106 entre les sections efficaces effet important pour les
eacutelectrons
10
MeV 50m
MeV 105
eacute
m est 40 000 fois plus petit pour les muons
Effet important pour les muons seulement agrave haute eacutenergie
Lorsqursquoun eacutelectron a une acceacuteleacuteration a la perte drsquoeacutenergie par uniteacute de temps srsquoeacutecrit
2
3
2
3
2a
c
e
dt
dT
Figure 34 Spectre de rayonnement de Bremsstrahlung obtenu avec des eacutelectrons de 260 MeV et une cible de Tungstegravene de 015 longueur de radiation (~05 mm) drsquoeacutepaisseur les courbes theacuteoriques prennent en compte la possibiliteacute drsquoeacutemission drsquoun seul photon pour un eacutelectron ou de deux photons drsquoapregraves Bogdankevitch et Nikolaev Bremsstrahlung Research Academic Press
11
Crsquoest dans le champ colombien du noyau que lrsquoeacutelectron subit ses plus fortes deacuteviations Lrsquoeffet drsquoeacutecran ducirc aux eacutelectrons atomiques va donc jouer un rocircle important dans lrsquoeacutemission du rayonnement de freinage Pour
312
0 11
Zcm
E
e
avec =1137 lrsquoeffet drsquoeacutecran est neacutegligeable et on peut eacutecrire la perte drsquoeacutenergie par radiation drsquoun eacutelectron drsquoeacutenergie E0
3
12ln4
2
022
0cm
ErNZE
dx
dT
e
e
rad
La prise en compte de lrsquoeffet drsquoeacutecran agrave plus haute eacutenergie pour
312
0 1
Zcm
E
e
amegravene agrave
181
31
183ln22
04 )
Z(eαrNZE
raddxdT
mateacuteriauduZeEdx
dT 2t
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
2
Les eacutelectrons et les positrons sont leacutegers donc
ndash La formule Bethe-Bloch doit ecirctre modifieacutee
masse de la particule incidente = masse de la particule cible
dans le cas des eacutelectrons particule incidente = particule cible
ndash Une seule diffusion peut changer la direction du projectile ce qui rend sa trajectoire sinueuse Il devient difficile de deacutefinir un parcours
ndash La perte drsquoeacutenergie par rayonnement (bremsstrahlung) est importante
jusqursquoagrave quelques MeV petite fraction
quelques dizaines MeV comparable agrave ionisation
plus eacutenergeacutetique dominante
-dEdx(total) = -dEdx(radiation)- dEdx(collision)
3
1) Formule de Bethe-Bloch modifieacutee
Les diffusions eacuteleacutementaires sont
diffusion de Moumlller
e- e
- e
- e
-
diffusion ineacutelastique sur les eacutelectrons atomiques
diffusion de Mott diffusion eacutelastique sur les noyaux
Agrave partir des sections efficaces de ces diffusions on obtient
22
)(
2
2ln
12
2
F
I
cm
A
ZK
dx
dE e
ougrave crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoeacutelectron (positron) en uniteacute de mec2 et F)
crsquoest une fonction qui est diffeacuterente pour eacutelectron et positron
4
La diffusion de Mott ne fait pas varier leacutenergie des eacutelectrons mais perturbe beaucoup leur trajectoire
Contrairement aux particules lourdes la porteacutee est tregraves diffeacuterente de la longueur de la trajectoire
Une autre conseacutequence est que leacutelectron a une probabiliteacute non neacutegligeable de ressortir de labsorbeur par la mecircme face que celle par laquelle il y avait peacuteneacutetreacute Ce pheacutenomegravene est dautant plus important que le Z de labsorbeur est grand et que leacutenergie de leacutelectron est faible et que langle dincidence par rapport agrave la normale est grand
5
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La particule lourde (de masse M) ne peut perdre au maximum lors dune collision avec un eacutelectron quune fraction de son eacutenergie de lordre de
Mme Lors dune collision entre eacutelectrons la particule incidente peut
perdre 50 de son eacutenergie initiale Lors de leacutemission de rayonnement de freinage comme nous le verrons plus tard ce pourcentage peut mecircme ecirctre de 100
fortes fluctuations de la longueur du parcours
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2) Perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage ( Bremsstrahlung )
Une particule chargeacutee perd de lrsquoeacutenergie par eacutemission de radiation eacutelectromagneacutetique quand sa vitesse change
ndash Bremsstrahlung dans le champ eacutelectrique drsquoun noyau
(Z de la cible) Utilisation en meacutedecine drsquoeacutecrans en plexiglas plutocirct qursquoen plomb
8
Figure 33 Perte drsquoeacutenergie des eacutelectrons et des protons dans le plomb (drsquoapregraves WE Burcham Nuclear Physics an introduction Longmans (1963)
Au delagrave drsquoune eacutenergie dite critique Tc la perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage devient preacutepondeacuterante On eacutevalue Tc empiriquement
Tc
9
21
)(800
Z
MeVTc
La section efficace de rayonnement de freinage pour une particule relativiste de masse m et de charge ze varie en Z
2 pour un milieu
ralentisseur de numeacutero atomique Z
particule masseen DeacutependanceMateacuteriau
ln52222
2
2
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k
mc
k
r
mc
cmZz
dk
d ee
avec fmcmer ec 82)4( 2
0
2 rayon classique de lrsquoeacutelectron la particule
incidente drsquoeacutenergie totale E0 perdant une eacutenergie k eacutemise sous forme de photon soit lrsquoeacutenergie reacutesiduelle E = E0-k
Terme en (mem)2 pour un donneacute me=05 MeV et Mp=1 GeV
rapport 6106 entre les sections efficaces effet important pour les
eacutelectrons
10
MeV 50m
MeV 105
eacute
m est 40 000 fois plus petit pour les muons
Effet important pour les muons seulement agrave haute eacutenergie
Lorsqursquoun eacutelectron a une acceacuteleacuteration a la perte drsquoeacutenergie par uniteacute de temps srsquoeacutecrit
2
3
2
3
2a
c
e
dt
dT
Figure 34 Spectre de rayonnement de Bremsstrahlung obtenu avec des eacutelectrons de 260 MeV et une cible de Tungstegravene de 015 longueur de radiation (~05 mm) drsquoeacutepaisseur les courbes theacuteoriques prennent en compte la possibiliteacute drsquoeacutemission drsquoun seul photon pour un eacutelectron ou de deux photons drsquoapregraves Bogdankevitch et Nikolaev Bremsstrahlung Research Academic Press
11
Crsquoest dans le champ colombien du noyau que lrsquoeacutelectron subit ses plus fortes deacuteviations Lrsquoeffet drsquoeacutecran ducirc aux eacutelectrons atomiques va donc jouer un rocircle important dans lrsquoeacutemission du rayonnement de freinage Pour
312
0 11
Zcm
E
e
avec =1137 lrsquoeffet drsquoeacutecran est neacutegligeable et on peut eacutecrire la perte drsquoeacutenergie par radiation drsquoun eacutelectron drsquoeacutenergie E0
3
12ln4
2
022
0cm
ErNZE
dx
dT
e
e
rad
La prise en compte de lrsquoeffet drsquoeacutecran agrave plus haute eacutenergie pour
312
0 1
Zcm
E
e
amegravene agrave
181
31
183ln22
04 )
Z(eαrNZE
raddxdT
mateacuteriauduZeEdx
dT 2t
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
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3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
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donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
3
1) Formule de Bethe-Bloch modifieacutee
Les diffusions eacuteleacutementaires sont
diffusion de Moumlller
e- e
- e
- e
-
diffusion ineacutelastique sur les eacutelectrons atomiques
diffusion de Mott diffusion eacutelastique sur les noyaux
Agrave partir des sections efficaces de ces diffusions on obtient
22
)(
2
2ln
12
2
F
I
cm
A
ZK
dx
dE e
ougrave crsquoest lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoeacutelectron (positron) en uniteacute de mec2 et F)
crsquoest une fonction qui est diffeacuterente pour eacutelectron et positron
4
La diffusion de Mott ne fait pas varier leacutenergie des eacutelectrons mais perturbe beaucoup leur trajectoire
Contrairement aux particules lourdes la porteacutee est tregraves diffeacuterente de la longueur de la trajectoire
Une autre conseacutequence est que leacutelectron a une probabiliteacute non neacutegligeable de ressortir de labsorbeur par la mecircme face que celle par laquelle il y avait peacuteneacutetreacute Ce pheacutenomegravene est dautant plus important que le Z de labsorbeur est grand et que leacutenergie de leacutelectron est faible et que langle dincidence par rapport agrave la normale est grand
5
6
La particule lourde (de masse M) ne peut perdre au maximum lors dune collision avec un eacutelectron quune fraction de son eacutenergie de lordre de
Mme Lors dune collision entre eacutelectrons la particule incidente peut
perdre 50 de son eacutenergie initiale Lors de leacutemission de rayonnement de freinage comme nous le verrons plus tard ce pourcentage peut mecircme ecirctre de 100
fortes fluctuations de la longueur du parcours
7
2) Perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage ( Bremsstrahlung )
Une particule chargeacutee perd de lrsquoeacutenergie par eacutemission de radiation eacutelectromagneacutetique quand sa vitesse change
ndash Bremsstrahlung dans le champ eacutelectrique drsquoun noyau
(Z de la cible) Utilisation en meacutedecine drsquoeacutecrans en plexiglas plutocirct qursquoen plomb
8
Figure 33 Perte drsquoeacutenergie des eacutelectrons et des protons dans le plomb (drsquoapregraves WE Burcham Nuclear Physics an introduction Longmans (1963)
Au delagrave drsquoune eacutenergie dite critique Tc la perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage devient preacutepondeacuterante On eacutevalue Tc empiriquement
Tc
9
21
)(800
Z
MeVTc
La section efficace de rayonnement de freinage pour une particule relativiste de masse m et de charge ze varie en Z
2 pour un milieu
ralentisseur de numeacutero atomique Z
particule masseen DeacutependanceMateacuteriau
ln52222
2
2
224
k
mc
k
r
mc
cmZz
dk
d ee
avec fmcmer ec 82)4( 2
0
2 rayon classique de lrsquoeacutelectron la particule
incidente drsquoeacutenergie totale E0 perdant une eacutenergie k eacutemise sous forme de photon soit lrsquoeacutenergie reacutesiduelle E = E0-k
Terme en (mem)2 pour un donneacute me=05 MeV et Mp=1 GeV
rapport 6106 entre les sections efficaces effet important pour les
eacutelectrons
10
MeV 50m
MeV 105
eacute
m est 40 000 fois plus petit pour les muons
Effet important pour les muons seulement agrave haute eacutenergie
Lorsqursquoun eacutelectron a une acceacuteleacuteration a la perte drsquoeacutenergie par uniteacute de temps srsquoeacutecrit
2
3
2
3
2a
c
e
dt
dT
Figure 34 Spectre de rayonnement de Bremsstrahlung obtenu avec des eacutelectrons de 260 MeV et une cible de Tungstegravene de 015 longueur de radiation (~05 mm) drsquoeacutepaisseur les courbes theacuteoriques prennent en compte la possibiliteacute drsquoeacutemission drsquoun seul photon pour un eacutelectron ou de deux photons drsquoapregraves Bogdankevitch et Nikolaev Bremsstrahlung Research Academic Press
11
Crsquoest dans le champ colombien du noyau que lrsquoeacutelectron subit ses plus fortes deacuteviations Lrsquoeffet drsquoeacutecran ducirc aux eacutelectrons atomiques va donc jouer un rocircle important dans lrsquoeacutemission du rayonnement de freinage Pour
312
0 11
Zcm
E
e
avec =1137 lrsquoeffet drsquoeacutecran est neacutegligeable et on peut eacutecrire la perte drsquoeacutenergie par radiation drsquoun eacutelectron drsquoeacutenergie E0
3
12ln4
2
022
0cm
ErNZE
dx
dT
e
e
rad
La prise en compte de lrsquoeffet drsquoeacutecran agrave plus haute eacutenergie pour
312
0 1
Zcm
E
e
amegravene agrave
181
31
183ln22
04 )
Z(eαrNZE
raddxdT
mateacuteriauduZeEdx
dT 2t
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
4
La diffusion de Mott ne fait pas varier leacutenergie des eacutelectrons mais perturbe beaucoup leur trajectoire
Contrairement aux particules lourdes la porteacutee est tregraves diffeacuterente de la longueur de la trajectoire
Une autre conseacutequence est que leacutelectron a une probabiliteacute non neacutegligeable de ressortir de labsorbeur par la mecircme face que celle par laquelle il y avait peacuteneacutetreacute Ce pheacutenomegravene est dautant plus important que le Z de labsorbeur est grand et que leacutenergie de leacutelectron est faible et que langle dincidence par rapport agrave la normale est grand
5
6
La particule lourde (de masse M) ne peut perdre au maximum lors dune collision avec un eacutelectron quune fraction de son eacutenergie de lordre de
Mme Lors dune collision entre eacutelectrons la particule incidente peut
perdre 50 de son eacutenergie initiale Lors de leacutemission de rayonnement de freinage comme nous le verrons plus tard ce pourcentage peut mecircme ecirctre de 100
fortes fluctuations de la longueur du parcours
7
2) Perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage ( Bremsstrahlung )
Une particule chargeacutee perd de lrsquoeacutenergie par eacutemission de radiation eacutelectromagneacutetique quand sa vitesse change
ndash Bremsstrahlung dans le champ eacutelectrique drsquoun noyau
(Z de la cible) Utilisation en meacutedecine drsquoeacutecrans en plexiglas plutocirct qursquoen plomb
8
Figure 33 Perte drsquoeacutenergie des eacutelectrons et des protons dans le plomb (drsquoapregraves WE Burcham Nuclear Physics an introduction Longmans (1963)
Au delagrave drsquoune eacutenergie dite critique Tc la perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage devient preacutepondeacuterante On eacutevalue Tc empiriquement
Tc
9
21
)(800
Z
MeVTc
La section efficace de rayonnement de freinage pour une particule relativiste de masse m et de charge ze varie en Z
2 pour un milieu
ralentisseur de numeacutero atomique Z
particule masseen DeacutependanceMateacuteriau
ln52222
2
2
224
k
mc
k
r
mc
cmZz
dk
d ee
avec fmcmer ec 82)4( 2
0
2 rayon classique de lrsquoeacutelectron la particule
incidente drsquoeacutenergie totale E0 perdant une eacutenergie k eacutemise sous forme de photon soit lrsquoeacutenergie reacutesiduelle E = E0-k
Terme en (mem)2 pour un donneacute me=05 MeV et Mp=1 GeV
rapport 6106 entre les sections efficaces effet important pour les
eacutelectrons
10
MeV 50m
MeV 105
eacute
m est 40 000 fois plus petit pour les muons
Effet important pour les muons seulement agrave haute eacutenergie
Lorsqursquoun eacutelectron a une acceacuteleacuteration a la perte drsquoeacutenergie par uniteacute de temps srsquoeacutecrit
2
3
2
3
2a
c
e
dt
dT
Figure 34 Spectre de rayonnement de Bremsstrahlung obtenu avec des eacutelectrons de 260 MeV et une cible de Tungstegravene de 015 longueur de radiation (~05 mm) drsquoeacutepaisseur les courbes theacuteoriques prennent en compte la possibiliteacute drsquoeacutemission drsquoun seul photon pour un eacutelectron ou de deux photons drsquoapregraves Bogdankevitch et Nikolaev Bremsstrahlung Research Academic Press
11
Crsquoest dans le champ colombien du noyau que lrsquoeacutelectron subit ses plus fortes deacuteviations Lrsquoeffet drsquoeacutecran ducirc aux eacutelectrons atomiques va donc jouer un rocircle important dans lrsquoeacutemission du rayonnement de freinage Pour
312
0 11
Zcm
E
e
avec =1137 lrsquoeffet drsquoeacutecran est neacutegligeable et on peut eacutecrire la perte drsquoeacutenergie par radiation drsquoun eacutelectron drsquoeacutenergie E0
3
12ln4
2
022
0cm
ErNZE
dx
dT
e
e
rad
La prise en compte de lrsquoeffet drsquoeacutecran agrave plus haute eacutenergie pour
312
0 1
Zcm
E
e
amegravene agrave
181
31
183ln22
04 )
Z(eαrNZE
raddxdT
mateacuteriauduZeEdx
dT 2t
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
5
6
La particule lourde (de masse M) ne peut perdre au maximum lors dune collision avec un eacutelectron quune fraction de son eacutenergie de lordre de
Mme Lors dune collision entre eacutelectrons la particule incidente peut
perdre 50 de son eacutenergie initiale Lors de leacutemission de rayonnement de freinage comme nous le verrons plus tard ce pourcentage peut mecircme ecirctre de 100
fortes fluctuations de la longueur du parcours
7
2) Perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage ( Bremsstrahlung )
Une particule chargeacutee perd de lrsquoeacutenergie par eacutemission de radiation eacutelectromagneacutetique quand sa vitesse change
ndash Bremsstrahlung dans le champ eacutelectrique drsquoun noyau
(Z de la cible) Utilisation en meacutedecine drsquoeacutecrans en plexiglas plutocirct qursquoen plomb
8
Figure 33 Perte drsquoeacutenergie des eacutelectrons et des protons dans le plomb (drsquoapregraves WE Burcham Nuclear Physics an introduction Longmans (1963)
Au delagrave drsquoune eacutenergie dite critique Tc la perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage devient preacutepondeacuterante On eacutevalue Tc empiriquement
Tc
9
21
)(800
Z
MeVTc
La section efficace de rayonnement de freinage pour une particule relativiste de masse m et de charge ze varie en Z
2 pour un milieu
ralentisseur de numeacutero atomique Z
particule masseen DeacutependanceMateacuteriau
ln52222
2
2
224
k
mc
k
r
mc
cmZz
dk
d ee
avec fmcmer ec 82)4( 2
0
2 rayon classique de lrsquoeacutelectron la particule
incidente drsquoeacutenergie totale E0 perdant une eacutenergie k eacutemise sous forme de photon soit lrsquoeacutenergie reacutesiduelle E = E0-k
Terme en (mem)2 pour un donneacute me=05 MeV et Mp=1 GeV
rapport 6106 entre les sections efficaces effet important pour les
eacutelectrons
10
MeV 50m
MeV 105
eacute
m est 40 000 fois plus petit pour les muons
Effet important pour les muons seulement agrave haute eacutenergie
Lorsqursquoun eacutelectron a une acceacuteleacuteration a la perte drsquoeacutenergie par uniteacute de temps srsquoeacutecrit
2
3
2
3
2a
c
e
dt
dT
Figure 34 Spectre de rayonnement de Bremsstrahlung obtenu avec des eacutelectrons de 260 MeV et une cible de Tungstegravene de 015 longueur de radiation (~05 mm) drsquoeacutepaisseur les courbes theacuteoriques prennent en compte la possibiliteacute drsquoeacutemission drsquoun seul photon pour un eacutelectron ou de deux photons drsquoapregraves Bogdankevitch et Nikolaev Bremsstrahlung Research Academic Press
11
Crsquoest dans le champ colombien du noyau que lrsquoeacutelectron subit ses plus fortes deacuteviations Lrsquoeffet drsquoeacutecran ducirc aux eacutelectrons atomiques va donc jouer un rocircle important dans lrsquoeacutemission du rayonnement de freinage Pour
312
0 11
Zcm
E
e
avec =1137 lrsquoeffet drsquoeacutecran est neacutegligeable et on peut eacutecrire la perte drsquoeacutenergie par radiation drsquoun eacutelectron drsquoeacutenergie E0
3
12ln4
2
022
0cm
ErNZE
dx
dT
e
e
rad
La prise en compte de lrsquoeffet drsquoeacutecran agrave plus haute eacutenergie pour
312
0 1
Zcm
E
e
amegravene agrave
181
31
183ln22
04 )
Z(eαrNZE
raddxdT
mateacuteriauduZeEdx
dT 2t
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
6
La particule lourde (de masse M) ne peut perdre au maximum lors dune collision avec un eacutelectron quune fraction de son eacutenergie de lordre de
Mme Lors dune collision entre eacutelectrons la particule incidente peut
perdre 50 de son eacutenergie initiale Lors de leacutemission de rayonnement de freinage comme nous le verrons plus tard ce pourcentage peut mecircme ecirctre de 100
fortes fluctuations de la longueur du parcours
7
2) Perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage ( Bremsstrahlung )
Une particule chargeacutee perd de lrsquoeacutenergie par eacutemission de radiation eacutelectromagneacutetique quand sa vitesse change
ndash Bremsstrahlung dans le champ eacutelectrique drsquoun noyau
(Z de la cible) Utilisation en meacutedecine drsquoeacutecrans en plexiglas plutocirct qursquoen plomb
8
Figure 33 Perte drsquoeacutenergie des eacutelectrons et des protons dans le plomb (drsquoapregraves WE Burcham Nuclear Physics an introduction Longmans (1963)
Au delagrave drsquoune eacutenergie dite critique Tc la perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage devient preacutepondeacuterante On eacutevalue Tc empiriquement
Tc
9
21
)(800
Z
MeVTc
La section efficace de rayonnement de freinage pour une particule relativiste de masse m et de charge ze varie en Z
2 pour un milieu
ralentisseur de numeacutero atomique Z
particule masseen DeacutependanceMateacuteriau
ln52222
2
2
224
k
mc
k
r
mc
cmZz
dk
d ee
avec fmcmer ec 82)4( 2
0
2 rayon classique de lrsquoeacutelectron la particule
incidente drsquoeacutenergie totale E0 perdant une eacutenergie k eacutemise sous forme de photon soit lrsquoeacutenergie reacutesiduelle E = E0-k
Terme en (mem)2 pour un donneacute me=05 MeV et Mp=1 GeV
rapport 6106 entre les sections efficaces effet important pour les
eacutelectrons
10
MeV 50m
MeV 105
eacute
m est 40 000 fois plus petit pour les muons
Effet important pour les muons seulement agrave haute eacutenergie
Lorsqursquoun eacutelectron a une acceacuteleacuteration a la perte drsquoeacutenergie par uniteacute de temps srsquoeacutecrit
2
3
2
3
2a
c
e
dt
dT
Figure 34 Spectre de rayonnement de Bremsstrahlung obtenu avec des eacutelectrons de 260 MeV et une cible de Tungstegravene de 015 longueur de radiation (~05 mm) drsquoeacutepaisseur les courbes theacuteoriques prennent en compte la possibiliteacute drsquoeacutemission drsquoun seul photon pour un eacutelectron ou de deux photons drsquoapregraves Bogdankevitch et Nikolaev Bremsstrahlung Research Academic Press
11
Crsquoest dans le champ colombien du noyau que lrsquoeacutelectron subit ses plus fortes deacuteviations Lrsquoeffet drsquoeacutecran ducirc aux eacutelectrons atomiques va donc jouer un rocircle important dans lrsquoeacutemission du rayonnement de freinage Pour
312
0 11
Zcm
E
e
avec =1137 lrsquoeffet drsquoeacutecran est neacutegligeable et on peut eacutecrire la perte drsquoeacutenergie par radiation drsquoun eacutelectron drsquoeacutenergie E0
3
12ln4
2
022
0cm
ErNZE
dx
dT
e
e
rad
La prise en compte de lrsquoeffet drsquoeacutecran agrave plus haute eacutenergie pour
312
0 1
Zcm
E
e
amegravene agrave
181
31
183ln22
04 )
Z(eαrNZE
raddxdT
mateacuteriauduZeEdx
dT 2t
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
7
2) Perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage ( Bremsstrahlung )
Une particule chargeacutee perd de lrsquoeacutenergie par eacutemission de radiation eacutelectromagneacutetique quand sa vitesse change
ndash Bremsstrahlung dans le champ eacutelectrique drsquoun noyau
(Z de la cible) Utilisation en meacutedecine drsquoeacutecrans en plexiglas plutocirct qursquoen plomb
8
Figure 33 Perte drsquoeacutenergie des eacutelectrons et des protons dans le plomb (drsquoapregraves WE Burcham Nuclear Physics an introduction Longmans (1963)
Au delagrave drsquoune eacutenergie dite critique Tc la perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage devient preacutepondeacuterante On eacutevalue Tc empiriquement
Tc
9
21
)(800
Z
MeVTc
La section efficace de rayonnement de freinage pour une particule relativiste de masse m et de charge ze varie en Z
2 pour un milieu
ralentisseur de numeacutero atomique Z
particule masseen DeacutependanceMateacuteriau
ln52222
2
2
224
k
mc
k
r
mc
cmZz
dk
d ee
avec fmcmer ec 82)4( 2
0
2 rayon classique de lrsquoeacutelectron la particule
incidente drsquoeacutenergie totale E0 perdant une eacutenergie k eacutemise sous forme de photon soit lrsquoeacutenergie reacutesiduelle E = E0-k
Terme en (mem)2 pour un donneacute me=05 MeV et Mp=1 GeV
rapport 6106 entre les sections efficaces effet important pour les
eacutelectrons
10
MeV 50m
MeV 105
eacute
m est 40 000 fois plus petit pour les muons
Effet important pour les muons seulement agrave haute eacutenergie
Lorsqursquoun eacutelectron a une acceacuteleacuteration a la perte drsquoeacutenergie par uniteacute de temps srsquoeacutecrit
2
3
2
3
2a
c
e
dt
dT
Figure 34 Spectre de rayonnement de Bremsstrahlung obtenu avec des eacutelectrons de 260 MeV et une cible de Tungstegravene de 015 longueur de radiation (~05 mm) drsquoeacutepaisseur les courbes theacuteoriques prennent en compte la possibiliteacute drsquoeacutemission drsquoun seul photon pour un eacutelectron ou de deux photons drsquoapregraves Bogdankevitch et Nikolaev Bremsstrahlung Research Academic Press
11
Crsquoest dans le champ colombien du noyau que lrsquoeacutelectron subit ses plus fortes deacuteviations Lrsquoeffet drsquoeacutecran ducirc aux eacutelectrons atomiques va donc jouer un rocircle important dans lrsquoeacutemission du rayonnement de freinage Pour
312
0 11
Zcm
E
e
avec =1137 lrsquoeffet drsquoeacutecran est neacutegligeable et on peut eacutecrire la perte drsquoeacutenergie par radiation drsquoun eacutelectron drsquoeacutenergie E0
3
12ln4
2
022
0cm
ErNZE
dx
dT
e
e
rad
La prise en compte de lrsquoeffet drsquoeacutecran agrave plus haute eacutenergie pour
312
0 1
Zcm
E
e
amegravene agrave
181
31
183ln22
04 )
Z(eαrNZE
raddxdT
mateacuteriauduZeEdx
dT 2t
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
8
Figure 33 Perte drsquoeacutenergie des eacutelectrons et des protons dans le plomb (drsquoapregraves WE Burcham Nuclear Physics an introduction Longmans (1963)
Au delagrave drsquoune eacutenergie dite critique Tc la perte drsquoeacutenergie par rayonnement de freinage devient preacutepondeacuterante On eacutevalue Tc empiriquement
Tc
9
21
)(800
Z
MeVTc
La section efficace de rayonnement de freinage pour une particule relativiste de masse m et de charge ze varie en Z
2 pour un milieu
ralentisseur de numeacutero atomique Z
particule masseen DeacutependanceMateacuteriau
ln52222
2
2
224
k
mc
k
r
mc
cmZz
dk
d ee
avec fmcmer ec 82)4( 2
0
2 rayon classique de lrsquoeacutelectron la particule
incidente drsquoeacutenergie totale E0 perdant une eacutenergie k eacutemise sous forme de photon soit lrsquoeacutenergie reacutesiduelle E = E0-k
Terme en (mem)2 pour un donneacute me=05 MeV et Mp=1 GeV
rapport 6106 entre les sections efficaces effet important pour les
eacutelectrons
10
MeV 50m
MeV 105
eacute
m est 40 000 fois plus petit pour les muons
Effet important pour les muons seulement agrave haute eacutenergie
Lorsqursquoun eacutelectron a une acceacuteleacuteration a la perte drsquoeacutenergie par uniteacute de temps srsquoeacutecrit
2
3
2
3
2a
c
e
dt
dT
Figure 34 Spectre de rayonnement de Bremsstrahlung obtenu avec des eacutelectrons de 260 MeV et une cible de Tungstegravene de 015 longueur de radiation (~05 mm) drsquoeacutepaisseur les courbes theacuteoriques prennent en compte la possibiliteacute drsquoeacutemission drsquoun seul photon pour un eacutelectron ou de deux photons drsquoapregraves Bogdankevitch et Nikolaev Bremsstrahlung Research Academic Press
11
Crsquoest dans le champ colombien du noyau que lrsquoeacutelectron subit ses plus fortes deacuteviations Lrsquoeffet drsquoeacutecran ducirc aux eacutelectrons atomiques va donc jouer un rocircle important dans lrsquoeacutemission du rayonnement de freinage Pour
312
0 11
Zcm
E
e
avec =1137 lrsquoeffet drsquoeacutecran est neacutegligeable et on peut eacutecrire la perte drsquoeacutenergie par radiation drsquoun eacutelectron drsquoeacutenergie E0
3
12ln4
2
022
0cm
ErNZE
dx
dT
e
e
rad
La prise en compte de lrsquoeffet drsquoeacutecran agrave plus haute eacutenergie pour
312
0 1
Zcm
E
e
amegravene agrave
181
31
183ln22
04 )
Z(eαrNZE
raddxdT
mateacuteriauduZeEdx
dT 2t
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
9
21
)(800
Z
MeVTc
La section efficace de rayonnement de freinage pour une particule relativiste de masse m et de charge ze varie en Z
2 pour un milieu
ralentisseur de numeacutero atomique Z
particule masseen DeacutependanceMateacuteriau
ln52222
2
2
224
k
mc
k
r
mc
cmZz
dk
d ee
avec fmcmer ec 82)4( 2
0
2 rayon classique de lrsquoeacutelectron la particule
incidente drsquoeacutenergie totale E0 perdant une eacutenergie k eacutemise sous forme de photon soit lrsquoeacutenergie reacutesiduelle E = E0-k
Terme en (mem)2 pour un donneacute me=05 MeV et Mp=1 GeV
rapport 6106 entre les sections efficaces effet important pour les
eacutelectrons
10
MeV 50m
MeV 105
eacute
m est 40 000 fois plus petit pour les muons
Effet important pour les muons seulement agrave haute eacutenergie
Lorsqursquoun eacutelectron a une acceacuteleacuteration a la perte drsquoeacutenergie par uniteacute de temps srsquoeacutecrit
2
3
2
3
2a
c
e
dt
dT
Figure 34 Spectre de rayonnement de Bremsstrahlung obtenu avec des eacutelectrons de 260 MeV et une cible de Tungstegravene de 015 longueur de radiation (~05 mm) drsquoeacutepaisseur les courbes theacuteoriques prennent en compte la possibiliteacute drsquoeacutemission drsquoun seul photon pour un eacutelectron ou de deux photons drsquoapregraves Bogdankevitch et Nikolaev Bremsstrahlung Research Academic Press
11
Crsquoest dans le champ colombien du noyau que lrsquoeacutelectron subit ses plus fortes deacuteviations Lrsquoeffet drsquoeacutecran ducirc aux eacutelectrons atomiques va donc jouer un rocircle important dans lrsquoeacutemission du rayonnement de freinage Pour
312
0 11
Zcm
E
e
avec =1137 lrsquoeffet drsquoeacutecran est neacutegligeable et on peut eacutecrire la perte drsquoeacutenergie par radiation drsquoun eacutelectron drsquoeacutenergie E0
3
12ln4
2
022
0cm
ErNZE
dx
dT
e
e
rad
La prise en compte de lrsquoeffet drsquoeacutecran agrave plus haute eacutenergie pour
312
0 1
Zcm
E
e
amegravene agrave
181
31
183ln22
04 )
Z(eαrNZE
raddxdT
mateacuteriauduZeEdx
dT 2t
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
10
MeV 50m
MeV 105
eacute
m est 40 000 fois plus petit pour les muons
Effet important pour les muons seulement agrave haute eacutenergie
Lorsqursquoun eacutelectron a une acceacuteleacuteration a la perte drsquoeacutenergie par uniteacute de temps srsquoeacutecrit
2
3
2
3
2a
c
e
dt
dT
Figure 34 Spectre de rayonnement de Bremsstrahlung obtenu avec des eacutelectrons de 260 MeV et une cible de Tungstegravene de 015 longueur de radiation (~05 mm) drsquoeacutepaisseur les courbes theacuteoriques prennent en compte la possibiliteacute drsquoeacutemission drsquoun seul photon pour un eacutelectron ou de deux photons drsquoapregraves Bogdankevitch et Nikolaev Bremsstrahlung Research Academic Press
11
Crsquoest dans le champ colombien du noyau que lrsquoeacutelectron subit ses plus fortes deacuteviations Lrsquoeffet drsquoeacutecran ducirc aux eacutelectrons atomiques va donc jouer un rocircle important dans lrsquoeacutemission du rayonnement de freinage Pour
312
0 11
Zcm
E
e
avec =1137 lrsquoeffet drsquoeacutecran est neacutegligeable et on peut eacutecrire la perte drsquoeacutenergie par radiation drsquoun eacutelectron drsquoeacutenergie E0
3
12ln4
2
022
0cm
ErNZE
dx
dT
e
e
rad
La prise en compte de lrsquoeffet drsquoeacutecran agrave plus haute eacutenergie pour
312
0 1
Zcm
E
e
amegravene agrave
181
31
183ln22
04 )
Z(eαrNZE
raddxdT
mateacuteriauduZeEdx
dT 2t
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
11
Crsquoest dans le champ colombien du noyau que lrsquoeacutelectron subit ses plus fortes deacuteviations Lrsquoeffet drsquoeacutecran ducirc aux eacutelectrons atomiques va donc jouer un rocircle important dans lrsquoeacutemission du rayonnement de freinage Pour
312
0 11
Zcm
E
e
avec =1137 lrsquoeffet drsquoeacutecran est neacutegligeable et on peut eacutecrire la perte drsquoeacutenergie par radiation drsquoun eacutelectron drsquoeacutenergie E0
3
12ln4
2
022
0cm
ErNZE
dx
dT
e
e
rad
La prise en compte de lrsquoeffet drsquoeacutecran agrave plus haute eacutenergie pour
312
0 1
Zcm
E
e
amegravene agrave
181
31
183ln22
04 )
Z(eαrNZE
raddxdT
mateacuteriauduZeEdx
dT 2t
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
12
Lrsquoeacutenergie critique pour laquelle radion dxdTdxdT )()( peut ainsi srsquoeacutecrire
MeV 800
~1600
~ 2
Zcm
ZT ec
On a
Tc = 102 MeV dans lrsquoair
Tc = 27 MeV dans Fe
Tc = 95 MeV dans Pb
Exemple Les deux processus successifs de creacuteation de paires e+e- par un
rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les eacutelectrons provoquent
dans lrsquoatmosphegravere la conversion de photons cosmiques de haute eacutenergie en
gerbes eacutelectromagneacutetiques (voir plus loin)
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
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mzZ
gAcmg
MeV
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e
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Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
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210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
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m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
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22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
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MThz
M
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M
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pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
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bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
13
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
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Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
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dx
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22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
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MThz
M
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MTd
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pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
14
3) Longueur de radiation (ldquoradiation lengthrdquo)
Puisque EdxdEbrem
agrave haute eacutenergie on peut eacutecrire
E
0XdxdE
brem
)exp()( 00 XxExE donc eEXE )( 00
X0 est appeleacute longueur de radiation
Apregraves avoir traverseacute une distance X0 lrsquoeacutenergie de leacutelectron deacutecroicirct drsquoun facteur 1e par bremsstrahlung
Si on ajoute la correction pour lrsquoeffet drsquoeacutecran on arrive agrave une approximation
2
0 cmg)287ln()1(
4716
ZZZ
AX
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
15
Pour un mateacuteriau composeacute de N eacuteleacutements diffeacuterents la longueur de radiation est donneacutee par
1
0
0
ii
i
X
fX ougrave fi et
iX 0 sont respectivement le pourcentage en masse
et la longueur de radiation de chaque eacuteleacutement i
4) Eacutenergie critique
La perte drsquoeacutenergie par ionisation est Eln (et Z ) au dessus du MIP qui
augmente moins vite que la perte par rayonnement ) Z( et E 2
Quand lrsquoeacutenergie de lrsquoeacutelectron est assez eacuteleveacutee la perte par rayonnement va deacutepasser celle par collision Lrsquoeacutenergie agrave laquelle ces deux pertes sont eacutegales est appeleacutee eacutenergie critique Ec
agrave cEE ionbremdxdEdxdE
Approximativement MeV )21(800 ZEe
c ou pour Z 13 MeV 500 ZEe
c
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
16
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
17
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
18
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
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rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
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2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
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MeV
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Pour des protons traversant le fer on a
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210061
soit 2
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MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
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m
E
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dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
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mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
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25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
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22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
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MThz
M
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M
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pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
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2
b
abaaa
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M
MTzMR
z
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M
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Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
19
Pour les eacutelectrons
Pb Z=92 Al Z=13 Fe Z=26
Formule en 2Z
A
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
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Sous une forme plus exploitable
31
2
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2
183
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30710
ZLn
m
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Pour des protons traversant le fer on a
e
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MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
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210438
soit 2
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MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
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)()( 02
0
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0
20
00
MThz
M
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M
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pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
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a
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bbbbb
M
MTzMR
z
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M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
20
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
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Sous une forme plus exploitable
31
2
22
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)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
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dE
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Pour des protons traversant le fer on a
e
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m
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210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
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m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
21
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
dE
e
erad
Pour des protons traversant le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
rad
m
E
cmg
MeV
dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
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0
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0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
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bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
22
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
zZ
A
E
dx
dEea
rad
Sous une forme plus exploitable
31
2
22
2
183
)(
30710
ZLn
m
E
m
mzZ
gAcmg
MeV
dx
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e
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Pour des protons traversant le fer on a
e
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m
E
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MeV
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dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
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m
E
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dx
dE 7
210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
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0
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0
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00
MThz
M
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M
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z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
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bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
23
5) Cas particulier des particules lourdes agrave tregraves haute eacutenergie
La formule donneacutee pour les eacutelectrons devient pour une particule (zm)
31
2
2
22 183
4Z
LnrNm
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A
E
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Sous une forme plus exploitable
31
2
22
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183
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30710
ZLn
m
E
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gAcmg
MeV
dx
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Pour des protons traversant le fer on a
e
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m
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dE 8
210061
soit 2
1cmg
MeV pour des protons de 50 TeV
Pour des muons toujours dans le fer on a
e
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m
E
cmg
MeV
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210438
soit 2
1cmg
MeV pour des muons de 600 GeV
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
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mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
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22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
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00
MThz
M
xg
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M
MTg
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MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
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a
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bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
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Pert
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MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
24
On peut aussi montrer que X0 et Ec sont 2m (m eacutetant la masse du
projectile) Par exemple dans le fer on a
GeV 890 MeV 720
2
e
e
cc
e
cm
mEEE
On voit sur ces quelques valeurs numeacuteriques que ce processus va essentiellement affecter les particules leacutegegraveres En pratique ce sont les eacutelectrons qui seront les plus sensibles
La perte deacutenergie par rayonnement de freinage dune particule deacutetat de charge z et de masse m peut ecirctre calculeacutee agrave partir de celle dun eacutelectron posseacutedant la mecircme eacutenergie cineacutetique incidente
)()( 2
2
e
dx
dEz
m
mmz
dx
dE raderad
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
dx
dE
ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
)()()(
)()( 02
0
2
0
20
00
MThz
M
xg
dx
z
M
MTg
MTd
z
MTR
MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
25
Parcours
Figure 91
Distance parcourue jusquagrave lrsquoarrecirct de la particule Deacutepend du mateacuteriau du type et de lrsquoeacutenergie de la particule Mesure du nombre de particules transmises incidentes en fonction de lrsquoeacutepaisseur t du mateacuteriau
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
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dx
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ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
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M
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pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
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2
b
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a
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M
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z
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Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
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33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
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Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
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)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
26
Le straggling est ducirc aux fluctuations du nombre de collisions et de lrsquoeacutenergie transfeacutereacutee par collision En premiegravere approximation la distribution est de forme gaussienne Le parcours moyen est le point agrave mi-hauteur de la distribution On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation)
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
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ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
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M
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pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
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donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
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2
b
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M
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Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
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Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
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100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
27
Dun point de vue theacuteorique on trouve le parcours R en inteacutegrant la formule de Bethe
dEdx
dETR
T 1
0
0
0
)(
Cette eacutequation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) agrave savoir que la particule na pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des deacuteviations successives agrave chaque collision Le parcours ainsi calculeacute est plus petit que le parcours reacuteel
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
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22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
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MThz
M
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pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
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M
MTzMR
z
z
M
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Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
28
1) Cas des particules lourdes
Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation Pour des eacutenergies incidentes supeacuterieures au MeV on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculeacutes dans lrsquoapproximation de ralentissement continu avec une tregraves bonne preacutecision Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte drsquoeacutenergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes deacutenergie infeacuterieure agrave quelques GeV) on obtient pour un milieu donneacute (crsquoest agrave dire Z A I fixeacutes)
M
Tgzfz
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ion
22 )(
ougrave M et z sont la masse et lrsquoeacutetat de charge de la particule incidente
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MThz
M
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MTT
pour laquelle laquo h raquo est une fonction ldquouniversellerdquo du milieu (pour Z A I
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donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
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b
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z
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Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
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A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
20
40
60
80
100
120
140
Pert
e d
eacutenerg
ie (
MeV
cm
)
Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
34
35
2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
eff
R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
29
donneacutes) Ainsi si on connaicirct le parcours Ra drsquoune particule de masse Ma de charge za le parcours Rb drsquoune particule de masse Mb de charge zb et drsquoeacutenergie cineacutetique Tb sera
)()(2
2
b
abaaa
b
a
a
bbbbb
M
MTzMR
z
z
M
MTzMR
Pour des particules posseacutedant un eacutetat de charge de 1 la fonction h(TM) est preacutesenteacutee sur la figure suivante pour quelques mateacuteriaux
30
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
1
2
ER
Edx
dE
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
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ie (
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Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
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2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
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Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
eff
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R
Aa
AR
effA masse moleacuteculaire du composeacute
iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
ia nombre datomes de lrsquoi-egraveme
eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
30
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Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
1
2
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33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
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Pert
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ie (
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Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
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2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
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Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
ii
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iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
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eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
31
Il faut noter la diffeacuterence qui existe entre la perte drsquoeacutenergie drsquoune particule et lrsquoeacutenergie qursquoelle deacutepose dans un milieu par exemple dans une couche active drsquoun deacutetecteur Pour des particules rapides une fraction importante de lrsquoeacutenergie cineacutetique incidente est transfeacutereacutee agrave des particules secondaires eacutenergeacutetiques qui peuvent ensuite sortir du milieu consideacutereacute sans avoir deacuteposeacute la totaliteacute de leurs eacutenergies Du fait de la complexiteacute du pheacutenomegravene qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature diffeacuterente du projectile incident de son interdeacutependance avec la geacuteomeacutetrie et les caracteacuteristiques des milieux (des deacutetecteurs) il nrsquoexiste pas de formule preacutecise qui puisse ecirctre simplement utiliseacutee pour obtenir lrsquoeacutenergie deacuteposeacutee Pour traiter ce problegraveme on a maintenant recours agrave des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo qui exeacutecutent une simulation complegravete de lrsquohistoire drsquoune particule dans un milieu parcours collisions geacuteneacuteration de particules secondaires eacutenergie deacuteposeacutee Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++
32
A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
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33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
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Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
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2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
37
Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
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iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
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eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
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A basse eacutenergie en eacutechelle log-log la relation parcours-eacutenergie est agrave peu
pregraves lineacuteaire ER avec 751 Une approximation plus rudimentaire est
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La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
0 1 2 3 4 5 6 7 80
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Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
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2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
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Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
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iA et iR masse atomique et parcours
de leacuteleacutement i
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eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
33
La relation entre dEdx et la distance parcourue est appeleacutee courbe de Bragg Maximum tregraves prononceacute preacuteceacutedant une chute brutale montrant ainsi que le deacutepocirct deacutenergie est tregraves localiseacute Cette caracteacuteristique peut ecirctre mise agrave profit lors dirradiations de tumeurs extrecircmement bien localiseacutees et peu profondes comme les tumeurs de lœil par exemple afin de deacutetruire avec efficaciteacute les cellules tumorales sans pour cela leacuteser les cellules saines situeacutees en amont du parcours de la particule ionisante
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Profondeur (mm)
Figure 96 Repreacutesentation scheacutematique dune courbe de Bragg pour des protons dans leau
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2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
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Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
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iA et iR masse atomique et parcours
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eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
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2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
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Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
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eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
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2) Cas des eacutelectrons
Les effets de deacuteviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants Le parcours des eacutelectrons est tregraves diffeacuterent du parcours calculeacute par linteacutegration de la formule de dEdx Les diffeacuterences peuvent aller de 20 agrave 400 suivant leacutenergie et le mateacuteriau De plus leacutenergie perdue par les eacutelectrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes Ceci est ducirc agrave des transferts deacutenergie permis par collision plus grands et agrave leffet de bremsstrahlung Il en reacutesulte un straggling en eacutenergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante
laquo Parcours drsquoarrecirct raquo des eacutelectrons
Figure 97
36
Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
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Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
i
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Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi ecirctre trouveacutees et des tabulations en sont faites La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs mateacuteriaux
Figure 98
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Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
Approximation la plus courante
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Parcours pour les mateacuteriaux composeacutes et les meacutelanges
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eacuteleacutement dans la moleacutecule composeacutee
