7%.Do0R1}

.'f«"c-‘A .vv_'5 __ I M:

»m_‘

.u...n..u.l

\.\,.

OVER DE SOCIALE BETEKENIS

VAN DE WISKUNDIGE DENKVORM.

OVER DE SOCIALE BETEKENIS

VANDE WISKUNDIGE DENKVORM.

UITGESPROKENBI}DEAAN­VAARDING VAN I-IET AMBT VAN

BUITENGEWOON HOOGLERAAR AAN

DE UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM

OP MAANDAG 8 OKTOBER 1917 DOOR

G. MANNOURY.

P. NOORDHOFF. — 1917. —- CIRONINGEN.

Buraemeester en Wethouders dezer Gemeenha,Kuratoren, Hoogleraren, Lektoren en Prz'vaat­

docente-n dezer Um'.vers2'feit,

Studenten,En Gij allen, die m't n°etenschappelz'k.e of per­

smmlilre belangstelling hier tegemvoordig zijt,

Zeer gen.-mzste Toelzoorders.’

Wanneer ik een ogenblik uw aandaclit vraag voor desociale betekenis van de wiskundige denkvorm, dan st.el ikdaarbij voorop, dat de wiskundige wetenschap m. i. een bijuitstek praktiese is, in die mate zelfs, dat ik er niet geheelzeker van hem of in deze wel van wetenschap sprake kanzijn: de praktijk des levens toch vra.agt niet naar weten,maar naar kunnen, niet naar inzicht, maar naar macht.De natuurmens, die zich bij zaaien of oogsten, bij aanval ofverweer, door de voorspellingen van de toveuaar luat leiden,en de kultuurmens, die bij zijn produktie en destruktie delogarithmen en de integralen te hulp roept, zijn volkomenanaloge verschijnselen: bij beiden is het verband tussenhun waarneming en hun handeling van psychiese aard,beiden gissen zij naar hetgeen hun wensen of behoeften hetbest en het meest zal bevredigen, en de vraag, wiermethode het doeltreffendst is, zou enkel te beslissen zijndoor de gemiddelde bevrediging te vergelijken, die zij inhun leven vinden. Toch spreekt de kultuurmens van weten—schap en noemt het richtsnoer van zijn bruine of zwartebroeder bijgeloof, vergetend dat. zijn formules en figureii,

6

evengoed als die van de toverman, slechts hulpmiddelenzijn om aan vroeger ervaren opeenvolgingen van waar­neming en wens, van weten en willen, een zekere duur­zaamheid te geven, en om de oude gedachtepaden gemak­keliker dan de eerste maal te kunnen bewandelen. "1

Zeker, er is verschil. Verschil in de aard der gegevensenerzijds en in de volmaking van het geestelik hulpmiddelanderzijds, maar die verschillen zijn gradueel. Wij ver­beelden (ms, de wetten der natuur te hebben ontdekt, alswij onze ervaringen-ten-aanzien-der-natuur in cijfers entekens hebben samengevat, maar warden door diezelfdecijfers en tekens telkens weer tot de erkenning genoopt, dat,,niets geheel waar” is, en dat onze natuurwetten alleendém geldig zijn, als wij de nooit ontbrekende afwijking een­vnudig buiten rekening laten. Z0 verliest ook de fetish­aanbidder zijn vertromven niet, als hij in zijn verwachtingwordt teleurgesteld, nlaar schrijft de slechte uitslag vanzijn pogen aan de tegenwerking van vreemde demonen toe.En die vreemde demonen ontbreken bij ons evenmin. Dehallistikus beweert niet, dat zijn projektiel werkelik eenparabool beschrijven zal, maar enkel dat het dit zbu doen,als het geen uitgebreidheid had, als de aarde geen ho] wasen niet draaide, als de lucht geen tegenstand hood, in éenwoord, als er geen invloeden waren, die de parabool-illusieverstoorden. 2) En 20 is de bewering van de ballistikus toteen niet-bewering geworden en 20 wordt alle wiskundigebewering tot een niets-beweren-omtrent-wat-werkelik-is,doch een hewvren-unitrent-wat-zijn-zou.... als het was!Abstraheren noemen wij dat, en gaan met onze ab­

1) Verg. L. E. J. Brouwer, Over de gronds1a.genderWinkunde, p.812) lbidem, p. 82.

strakties zover, tot wij do ewigwisselende onmeetbare enontelbare werkelikheid tot. een eindig aantal waa1'nemings­elernenten hebben gereduceerd, die in onze rekenmolen pas­sen, m. a. w. tot wij van de werkelikheid zelve hebbengeabstraheerd.

Maar dit alles, ik geef het grif toe, is louter theorie. Uitprakties oogpunt beschouwd, wint de methode van de cijfe­raar het verre van die van de waarzegger en doet de dikke.Bertha’s verder dragen en meer vernielen dan de giftigepijl of de boemerang. En per slot van rekening liggen onzeahstrakties nu eenmaal in (mze rede, en hebben dus zelvehun deel in de werkelikheid. En moge het 00k in waarheidgezegd kunnen worden, dat de werkelikheid ,,an sich” eenondeelbaarheid is, ,,fiir uns” is zij in eerste benadering eenveelheid, een eindige veelheid zelfs, en verder dan dezegaat de pretentie van de wiskunde niet. Ja, wij sprekenwe] wiskunstig van kontinuiteit, van oneindigheid en over­oneindigheid tot in de oneindigste ,,machtigheid”, maar a]die woorden en tekens en tekengroepen zijn toch niet andersdan samenvattingen van andere symbolengroepen, die alleuit een eindig aantal grondwoorden of grondtekens zijnopgebouwd. ‘) En zo beperkt de mathematikus zich 0pzette—lik tot die eerste ruwe benadering van de menselike schijn­buitenwereld, die in afgetelde woorden is weer te geven, enlaat de wereld van het wezenlik—gevoelde en het wezenlik­doorleefde aan de kunstenaar, die zijn woorden niet telt,maar weegt.

Wanneer ik dit alles naga, mijne hoorders, dan gevoelik,hoezeer het uwe bevreemding moet wekken, wanneer ik uverzoek, die zozeer op het praktiese gerichte wiskunde met

1) Enti primitivi (Peano).

enigerlei denkvorm in verband te willen brengen. Want hetware denken is toch iets meer en iets anders dan voor ieder

naastliggend doel het meestbelovende middel te kiezen, hetware denken richt zich toch op iets meer en op iets andersdan op de eindige schijn, het richt zich op het wezenlikevan ons leven, het is het wezenlike van ons leven: Cogito,ergo sum.

En wiskunst is gevoelloos, is onwezenlik, is dood. Wilhet altans zijn, en verbant daartoe zoveel doenlik uit haarwoordeboek al wat aan de waarneming ontleend is, wataan waarneming herinnert, en gevoelt zich het veiligst alszij zich in letters en in cijfers uitdrukt. En is dat denken?Laat zich een denken denken in a en b‘? Immers neen!

En toch, en toch.... en toch is de wiskunst geen wis­kunst-zonder-ineer, immers zij is niet zonder sclioonheid.Diezelfde gevoelloze, koude cijferbouwsels zijn in staat deadept een ontroering te doen doorleven, die naar ontzag,naar verering, naar devotie zweeint. Noem het regelmaat,noem het harmonie, noem het rythme, maar er is iets inde wiskunst, dat zich niet becijferen laat. Zij, die wij grotewiskundigen noemen, die nieuwe banen hebben aangewezenen licht voor komende eeuwen ontstoken, waren meer danpeuteraars en geduldige cijferaars: zij ontwierpen hunsystemen met geniale hand en de cijferstift volgde eerstlater moeizaam hetgeen zij hadden voorgevoeld, niet uitkraeht van de dorre logika, maar nit kracht van hunkunstenaarszin. Zeker, de eigenlike wiskunde is geen denk­vorm, is lioogstens ta.alvorm te noemen, en de ganse taalis toch nog sleehts een armelik middel tot 1-edelikeve1'stand­houding. Maar die taalvorln dan, welke wiskunst heet, ismenselik, door mensen gemaakt naar hun 1nensblikebe­hoeften en hun menselike vermogens. En zou het dam

9

anders kunnen zijn, dan dat zich in de makelij van dietaa] iets weerspiegelde van de makelij van het denken zelf,van de makelij van onze geest, van de makelij van dewerkelikheid-voor-ons? En als dat 7.0 is, hebben wij danniet het recht ons af te vragen, of de toepassing der wis­kundige vormen noodzakelik beperkt moét blijven tot dieeerste benadering, die wij de stoffelike wereld noemen, enof diezelfde methoden ons geen diensten kunnen bewijzenbij het overwegen van verderliggende en meer algemenedoeleinden dan die met een stuk geschut of een teleskoopte bereiken zijn, van doeleinden, gelegen op het gebied vanhet gevoelsleven, van het gemeenschapsleven?

Het gaat reeds die kant nit! De wiskunst Vermont in detijd die wij beleven steeds duideliker de neiging, haar begin­palen te verzetten: onderzoekingen omtrent de grondslagenvan ieder hoofddeel der mathesis gaan gepaard met OI1d€I'­zoekingen omtrent de grondslagen van de wiskunst zelf,omtrent de opbouw van het syllogisme, van de logika, zijhet 00k slechts van de uitwendige, de mrnnelike logika. Enbuiten de kring der wiskundigen, in die der filosofen, derlinguisten, der juristen 1) schijnt men zich aangetrokkente gevoelen tot de geduldige, nauwgezette, onpartiidigewerkwijze van de wiskunstenaar. Men begint het meer enmeer in te zien, dat wie zijn gevoel wil leiden en beheersen,het eerst moet ontleden, en dat de gewone, van ouds ge­hruikelike taalvormen daartoe ten enenmale onvoldoende

zijn. Wie denken wil, heeft aan woorden niet genoeg, zekerniet, maar kan toch ook geen woorden ontberen, om zijngedachten te bewaren en mede te delen. Maar onze woordenzijn oud en deels versleten, en zij dragen ieder het kenmerk

1) Verg. Jac. Isr. de Haan. Rechtskundige significa.

10

hunner historie met zich, zij slepen ons mee door hunklank en hun verwantschap met andere klanken, en hren­gen spreker en hoorder waar zij niet wilden zijn. Oversnelheid of beweging, ruimte of tijd in redelikheid te spre­ken, zonder die termen door een droge, symboliese, nietssuggererende definitie te vervangen, is slechts uiterst moei­lik, rnaar over geest en stof, over ziel en leven, over wil enmacht, over individualiteit en gemeenschap op vruc.htdra­gende wijze van gedachten te wisselen, zonder die suggestievewoorden zelve te vermijden, zonder ze op te lossen in min­der emotionele bestanddelen, het is vrijwel onmogelik.

De vraag hlijft enkel: k£1nhet anders? En ik hoor mij altoeroepen: wie even nadenkt, moet inzien, dat het nietanders kan: de wereld der ponderabilién is vatbaar voormaat en tal, maar die des geestes niet. Ik zou daarop willenantwoorden: is ,,even Ixadenken” genoeg? Hebben onzeburen van overzee niet gewoonlik gelijk met hun ,,secondthoughts are best”? En is voor die ,,second thoughts” eenwereld van ponderdhiliéin hestaanbaar‘? Is iets in waarheidvatbaar voor maat en tal, of juister wellicht, kan van watdoor cijfers wordt uitgedrukt, ooit gezegd worden, dat hetbestaat, of dat wij ons het bestaan ervan kunnen denken?Tellen en meten vooronderstelt ufgrenzing, onderscheiding,en blijkt hij ,,second thought” niet langs iedere grenslijneen strook ,,niemandsl-and” te lopen en ieder onderscheideen relatie en dus een verbinding te zijn? Wat niet weg­neernt, dat wij onderscheiden en dat wij afgrenzen, in het,,geestelike” even zo goed als in het ,,stoffelike”. Zeker, onzeonderscheidingen zijn slechts aanvankelik en verstandelik,niet waarlik-houdhaar en redelik, maar niet de zuivererede, slechts de dolende verstandelikheid is rnenselik, endaarorn kunnen wij het rekenen, ondanks alle rnisrekenin­

11

gen, niet laten! Wij kunnen het niet laten', de dingen-der­waarneming zowel als de dingen-des-begrips tegen beterweten in als dingen-op-zichzelf t.e beschouwen, in eenhedente denken, te tellen, en in zoverre moet dus de vraag nietluiden: kan onze denkvorm, ook als wij denken over het

denken, wiskundig zijn, maar: kan die méer wiskundig zijndan tot nu toe, kunnen wij béter tellen? Wiskunst is hetwerken met bepaalde eenheden en met bepaalde relatiestussen die eenheden, en hoe bepaalder, hoe onwankelbaar­der en dus hoe onwezenliker die eenheden en die relaties

zijn, hoe wiskundiger die wiskunst is. En daarom kan overburgerrecht wiskundiger gesproken worden dan over men­senrecht en over wettelike rechten wiskundiger dan overburgerrechten in het algemeen. Maar ook over wettelikerechten, zij het over die van een bepaald burger van eenbepaald land op een bepaald moment, kan niet geheel wis­kundig, d.i. niet geheel konsekwent en niet. geheel onpar­tijdig gesproken Worden: er zijn zovéel wetten en in diewetten zovéel woorden en in die woorden zovéel voetangels

en klemmen, dat de advokaat van onze bepaalde burgeraan de kalme woordvlechtkunst. der logika bij langena niet genoeg heeft: moge hij er wat handigheid bij bezit­ten! Of kiezen wij ons voorbeeld uit minder gedifferen­tieerde en dus beter telbare begrippen, en trachten wij over,,gewaarwordingen” te spreken. Is kiespijn een gewaar­wording? of rozengeur‘? En kunnen wij tussen die ,,een­heden” een relatie denken? Die van onderscheid b.v. of

die van gelijktijdigheid of van ongelijktijdigheid? Ma.ar a.lkan kiespijn misschien zonder kies en rozengeur zonderroos gedacht worden, een ,,lijder” of een ,,genieter” zal ertoch zeker bij behoren? En is die lijder of genieter ietsanders dan de som van zijn gewaarwordingen en hun

12

relaties of niet? Ziedaar ons al dadelik geplaatst in hetbrandpunt van de strijd om dualisme of monisme, omsolipsisme wellicht! Maar 00k a] trachten wij wiskunstigte zijn, en dus te abstraheren van die ongescheidenheidonzer gewaarwordingen van onszelve, dan slagen wij ertoch slechts zeer onvolkomen in, ons kiespijnleed of onzebloemenvreugde opzichzelf te beschouwen. Zodra wij onzegewaarwordingen tot een voorwerp van zelfwaarnemingmaken, vallen zij uiteen in ,,tall0zc” deelgewaarwordingen,waaraan wij wel zo iets als een zekere rangschikking, diewij dan opeenvolging-in-de-tijd noemen, menen op te mer­ken, maar die zich toch allerminst als een ,,reeks” in wis­kundige zin voordoen, nog daargelaten de ontstellendevruchtbaarheid, waarmede ieder ,,kiespijnmoment” eenrijke nakomelingschap van herinneringsbeelden en herin­neringsbeelden-van-herinneringsbeelden voortbrengt! Maargenoeg: er valt nog heel wat signifiese arbeid te ver­richten véor onze taal het materiaal bevat, dat nodigis om zelfs over deze schijnbaar zo eenvoudige dingen metenige schijn van zekerheid van gedachten te kunnen wisse­len! En hoeveel omvangrijker en hoeveel zwaarder zal diearbeid nag moeten zijn, eer over de draagwijdte van deduizend woorden, die elk van ons iedcr ogenblik hezigt,enigerlei klaarheid en enigerlei overeenstemming zal zijnverkregen. Beproef het maar eens, om uzelf in louter ge­waarwordings- en affektter-men uit te leggen, wat ,,weten”,,,willen”, ,,zu1len” of ,,moeten” nu eigenlik beduidt, en gezult onmiddellik op duizend moeilikheden stuiten, omdatwij nu eemnaal de ingeroeste gewoonte hehben als primairebegripselementen te beschouwen wat sekundaire, tertiaire,n-aire samenstellingen zijn. Gewoontewoorden als ,gkausa­liteit", ,,gelijktijdighei<.l", ,,0verec-nkomsf’, ,,verandering"

13

en nog meer, dringen zich tussen gegevene en gevraagde inen eisen ieder voor zich te hunner ontleding een langereeks van ontwikkelingen.

Signifiese arbeid, zeide ik. Dat is het, wat van node isom onze denkvorm in het algemeen meer wiskundig temaken. Geen etymologie, geen semantiek, geen speurennaar de vele en velerlei diensten, die elk woord aan sprekerof hoorder bewijst of bewezen heeft, maar signifika inaktieve, in voortbrengende zin: het opbouwen van woord­systemen, die kunnen dienen om onze begrippen en hetleven van onze begrippen op menselik begrijpelike wijze aftie beelden. Wat nodig is, is het geduldig en moeizaam op­sporen en benoemen van die kleinst mogelike elementen,die bij nauwkeurige zelf-analyse in ons denkleven waar­neembaar of vermoedbaar zijn, en van hun onderlingebetrekking. Vooral gedurende de laatste eeuw is er on­noemelik veel verricht op biezonder-wetenschappelik en opalgemeen-filosofies gebied, maar die taak is door de diep­denkers zowel als door de veelschrijvers maar al te zeerverwaarloosd! Een gans arbeidsveld ligt hier braak, datgeneraties van werkers tot zijn ontginning zal vereisen.Wat is en zal zijn de betekenis van die arbeid, van de drangtot die arbeid en van het resultaat van die arbeid voor hetsamenleven der mensen?

3? *8!!

Geachte Toehoorders, ik herinner mij eens met een ge­mengd gevoel van afgrijzen en bewondering de beschrijvinggelezen te hebben van een experiment. dat men op eenlevende kat had toegepast, bij wie, door een kunstige opera­tie de beide zenmvhanen welke dienen: 1°. om de bewegingvan het oplikken van voedsel uit te voeren en 2°. om de

ooghallen naar rechts toedraaien, waren doorgesneden en

14

vervolgens de vier uiteinden weder kruiselings met elkan­der in verbinding gebracht. En waarlik: de uitslag beaut­woordde geheel aan de verwachting: werd het dier voedselvoorgezet dan bleef de tong onbewegelik, maar de oogballendraaiden herhaaldelik en hevig naar rechts. Werd daaren­tegen het dier in het duister geplaatst en daarna aanzijn reehterkant een licht. ontstoken, dan draaiden niet deogen in de richting van het. licht, ma.ar daarentegen maaktede tong de beweging van iets op te likken. Hoe lang deexperimentator zich vermaakt en gesticht heeft door aanhet arme dier deze zeker zeer bittere teleurstellingen tebereiden, weet ik niet, maar wel, dat, ook al weder overeen­komstig de gekoesterde verwachtingen, de zaak zich tenslotte weder herstelde, en poes als het ware opnieuw leerdewat zij te doen had om haar schoteltje leeg te krijgen ofom haar ogen behoorlik te regeren, m.a.w. zij leerde op­nieuw, wat Brouwer noemt de sprong van doel op middelmaken, nadat in de ,,wiskundige volgreeksen” harer levens­ervaringen zulk een gewelddadige storing was gebracht.

Welnu, mijne hoorders, de gedachte d1-ingt zich aan mijop, date de samenleving der mensen, altans voorzover het.die der westerlingen betreft, niet alleen gedurende de letatstedrie jaar, maar reeds sedert vrij wat langer tijd, een merk­waardige overeenkonlst vertoont met het zo kunstig ver­minkte diertje, waarvan ik u verhaalde. Immers, hoe langis het reeds niet, dat men de nnaatschappelike krachten,inplaats van op de verheerliking en de verrijking vanvorst en edelman als in het feodale tijdperk, uitsluitendheeft willen aanwenden tot het welzijn van het algemeen:produktie en distributie werden niet langer onderworpenaan tyrannieke maatregelen en kunstmatige belem'merin­gen, maar mochten zich vrijelik richten naar de metat­

1;’)

schappelike behoeften, en ziet, de uitslag stemde met dewil ganselik niet oven-een: de grootste behoeften bleven on­vervuld en de 1-ijkdommen stapelden zich daar op, waarer reeds te veel van was; de wereldhonger groeide instedevan bevredigd te worden. En toen die hongerige westersesamenleving haar wil en wens ging spitsen op de schattenvan het oosten en het zuiden, en uit wilde trekken tot ver­groting van haar machtsgebied, toen ontdekt.e zij tot haarschrik, dat zij bezig was, zichzelve in bloedige stukken tehouwen, en zichzelf het laatste voedsel uit de hand te slaan.Schijnt ook niet hier de 1-echte sprong van doel op middelgemist te zijn, en is het niet alsof ook hier een rneedogen­loze vivisektor heeft ingegrepen en de banen waarlangs demaatschappelike impulsies zich voortplanten, heeft ver­strikt? En mogen wij dan ook hier niet hopen, dat het ver­minkte organisme in staat zal zijn, zich te herstellen, en derechte organen zal weten te vinden en te beheersen, die haarlevensfunkties ongestoord zullen kunnen verrichten?

De banen, waarlangs de maatschappelike impulsies zichvoortplanten. . .. Maar dat zijn niet anders dan de denk­wijzen, de spreekwijzen, de woordebouwsels der mensen!En vertonen die woordebouwsels, die filosofemen als gewilt van tegenwoordig, niet eenzelfde kenteken van ver­warring als ik U aan het stoffelik gemeenschapsleven vanonze tijd heb pogen te doen opmerken? Wat is de hoofdtrekder nienwere vormen van levens- en wereldbeschouwing‘?Van naturalisme, van histories en van algemeen mate­rialisme‘? Is die niet een zekere lijdelikheid, een zekereblinde onderwerping aan een blinde noodzaak, een zekerbijgelovig ontzag voor ,,wetten” en voor ,,wetenschap”'? Enzijn toch diezelfde vormen van levens- en wereldbeschou­wing niet voortgekomen uit een aan die hoofdtrek lijnrecht

16

tegenovergestelde drang? Ontworstelen wilde de mens zichaan de starre dogma’s der kerken, aan de machtspreukender heersers en aan de boeien der onwetendheid. En ziet,na een korte spanne tijds heeft hij zich opgesloten gevondenin een slechts weinig minder enge kerker dan die hij ont­vlucht was en gekneveld met haast even taaie banden, alsdie hij had verbroken. Voor de kerkelike dogma’s zijnatheistiese, dualistiese, deterministiese dogma’s in de plaatsgekomen en het gezag van de wetenschap bleek slechtsweinig minder tyranniek dan dat van de .,r0i-soleil”. ,,Ditis wetenschappelik bewezen” en ,,da.t staat onomstotelikvast”, zijn nu de machtspreuken geworden, waarvoor ge­woonlik de leek deemoedig het hoofd buigt, instede van hethoog te houden in het besef, dat als iets ,,wetenscl1appelikhewezen” is, het wel dit is, dat niets ,,0nomstotelik vast­staat”. Panta rei. Ook de waarheid van alle dag.

Ja maar, zult ge mij wellicht afvragen, wat heeft datalles met de wiskundige denkvorm van doen? Het mag clanwaar zijn, dat wij ons we] eens wat al to blindelings ver­heugd hebben over de schitterende ontdekkingen dernatuur- en nraatschappijonderzoekers en zodoende gevaarhebben gelopen, om Darwin en om Marx de wijsheid vande oude Herakliet uit het oog te verliezen, maar zal denieuwere signifika daartegen een remedie blijken‘? Ligt nietde fout, indien het dan een font was, aan een teveel-van­logika, inplaats van een te-weinig? Staat het niet te vrezen,dat nog verder uitgesponnen onderscheidingen, nog dichtersaamgevlochten dedukties ons nog vaster zullen verstrik­ken in onze eigen woordespinsels, tot de arme verbfisterdemens niet meer v0or- of achteruit weet, en zich misschienenke] zal kunnen bevrijden door alles te vernietigen, wathij met zoveel moeite heeft Opgebouwd en ,,tot de natuur”

17

terugkerend in stoffelik gebrek en geestelike armoede zalondergaan‘? Zou het dan niet beter zijn, de ijver van mathe­matikus en physikus wat in te perken, ons materialismemet wat modern-religieuse noties aan te lengen en vooraloxn ons niet te veel te kwellen met wereldraadselen, die nueenmaal we] altijd raadselen zullen blijven, zolang er eenwereld is?

Mijne hoorders, ik zou de denkbeeldige opponens, welkeik, uangezien de akademiese n1os tot mijn spijt bij gelegen­heden als deze geen debat rnedebrengt, maar zelve sprekendheb ingevoerd, kunnen antwoorden, dat wij generleikeus hebben. Iedere levensbeweging van de maatschappijdoet de knellende banden waarvan ik sprak, scherper enfeller insnijden, en onze geest moet een poging doen, zichte bevrijden, op straffe van tot een stilstand gedoernd tezijn, die \'e1'sterving beduidt. En wat raadselen betreft: diekwellen enkel hem, die niet zoekt, maar de ogen tracht tesluiten voor wat hij derft: immers er is geen betel‘ middeliets levendig to houden voor onze geest, dan de vurige wilhet te vergeten!

Evenwel, wij behoeven ons niet blindelings aan de arbeidte begeven, gedreven als wij ons voelen door de zucht naarzelfbehoud, doch door generlei hoop op reddjng geschraagd:wij tasten niet gehéel in het duister. Ik zeide het reeds bijde aanvang mijner rede, de wiskunst héeft haar beginpuntreeds aannlerkelik teruggezet, in de hoop de bx-on te ont­dekken waaruit de klare zekerheid, die haar weg verlicht,geweld mag zijn. En al is het nog in genen dele gelukt, diebron zelve aan te wijzen, toch verschaft ons hetgeen deonderzoekingen in die richting hebben opgeleverd, reedsenige aanwijzingen omtrent de verwachtingen, die wij vanvoortgezette arbeid mogen koesteren. Het zij mij vergund,

18

dit ietwat nader aan te duiden ten aanzien van een drietalonderwerpen, waarom zich een groot deel der bedoeldeonderzoekingen hebben gegroepeerd, te weten: eerstens deniet-euklidiese en de meerdimensionale meetkunde, twee­dens de transfiniete getallenleer en de leer der punt.verza­melingen en ten slotte de pasigrafie en de mathematieselogika.

Als wij 01)deze drie lichtpunten, welke de laatstverloopeneeuw op het gebied der wiskunde heeft ontstoken, het oogvestigen, dan merken wij op, dat zij elkander niet alleenin de tijd, doch 00k ten aanzien van de wijdte van hunlichtcirkel in regelmatige orde ziin opgevolgd. De oudsterechten, doch tevens de meest beperkte, komen in deze aande z.g. pangeometrie toe, wier wordingsgeschiedenis nage­noeg van Lohatchefsky tot Riemann loopt, en dus reedsongeveer een halve eeuw geleden tot een zekere afsluitingwas gekomen. Dat deze tak van wetenschap inderdaad inkarakter overeenstemt met hetgeen ik zoéven als aktievesignifika heb aangeduid, kan dunkt mij, niet twijfelachtiggenoemd warden: het onderzoek toch betrof hier in hoofd­zaak de betekenis van de sinds Euklides’ dagen ona.ange­tast. gebleven grondslagen der ruimteleer: het parallel]en­axioma en de driedilnensionaliteit der ruimte. En als wijde uitkomsten van die onderzoekingen trachten samen tevatten, dan kunnen wij zeggen, dat zij ons hebben geleerd,dat een meetkunde, welke van deze grondbeginselen afwijkt,in zichzelve generlei tegenstrijdigheid draagt, en dat der­halve de rotsvaste _overtuiging, die men altijd ten aanzienvan de noodzakelikheid dezer grondbeginselen had ge­koesterd, in ieder geval niet ligt op mathematies terrein.Natuurlik was hiermede nog niet gezegd, dat die noddzake­likheid zelve niet bestaat, maar tech had de denkende mens

19

een kostbare les in bescheidenheid gekregen: stellingen, dieeeuwenlang voor vanzelfsprekendheden hadden gegolden,waarvan de ontkenning omnogelik en tegenredelik was ge­noemd, bleken in abstrakto beschouwd boven die ontken­ningen geen enkel voorrecht te kunnen doen gelden, blekenvoor hun geldigheid andere steunpunten te behoeven dandie in algemene bespiegelingen over waarheid en nood­zakelikheid te vinden zijn. Kostbare les voorwaar! HoeLang reeds had men op allerlei gebied van menselik wetenen geloven de ,,axioma’s” en de ,,postulaten” als heiligeonaantastbaarheden vereerd en ontzien, hoe lang reeds hadmen gemeend, dat de menselike onderzoekingsgeest zekeregrenzen te eerbiedigen had, op straffe van in een afgrondvan verbijstering te worden gestort, en ziet, daar bleek éendier onaantastbaarheden bij nader onderzoek slechts opeen lemen voet te staan, en bleek de gevaarlike grens altansop een punt straffeloos te kunnen Worden overschreden.Het kon niet anders, of deze ondervinding xnoest het gezag,dat aan andere, verder strekkende ,,grondwaarheden” totnu toe was toegekend, een gevoelige slag toebrengen, en hetschijnt mij toe, dat tussen deze schrede voorwaarts opmeetknndig gebied en de zoveel verder strekkende ontdek­kingen op dat der oneindige puntverzamelingen zoa] geenrechtstreeks, dan toch énig kausaal verband moet hebbenbestaan. Ook hier toch ging het in eerste instantie om eenaxioma: dat der eenduidige overeenstenmling tussen hoe­veelheid en getal. En ook hier bleek de juiste betekenis vandat axioma eerst in het licht gesteld te kunnen worden,door aan de mathesis een nieuw hoofdstuk toe te voegen,dat van de ontkenning ervan uitging, en ook hier bleek datnieuwe hoofdstuk niet alleen even logies van bouw te zijnals de ondere theorieén, maar tevens hoogst belangrijke

20

oplossingen te bevatten van velerlei moelikheden, waaropmen voordien was gestuit.

Voorzeker een tweede, en nog krachtiger aanmaning totomzichtigheid bij het poneren van ,,denknoodzakelikhede~n”,maar tevens een opwekking tot denkmoed ten aanzien vantot nu toe ongedachte mogelikheden. Had de oneindigheidniet steeds gegolden als éen van die onderwerpen, welkealle menselik begrip te boven gaan, en bleek niet tans denadere ontleding dier konceptie mogelik en vruchtdragendte zijn, en generlei moeilikheden op te leveren van andereaard dan die aan alle mathematiese induktie eigen zijn‘?Zeker, de transfiniete getallenleer en die der oneindigepuntverzamelingen hebben niet. de oneindigheid en de ken­tinuiteit zelve binnen het bereik van onze cijferstift ge­b-racht, maar wel de, noodzakelikerwijs eindige en diskreteverschijningsvorm, in welke de ongedeelde werkelikheidzich aan ons voordoet. En daarmede is gezegd, dat evenzeker als het is, dat ons verstand, dat is ons vermogen tot-redelike gedachtewisseling, nbch al het bestaande, nbch ookhet geringste deel der werkelikheid kan omvatten, maartevens, dat wie zou pogen de grenzen van ons kenvermogente willen aanwijzen, zich juist daarmede zou aamnatigenhetgeen daarbuiten ligt, te hebben onderkend.

En gaan wij ten slotte na, wat de ontwikkeling der pasi­grafie en der mathematiese logika, zowel die der klassenals die der oordelen, aan deze geestelike ervaringen hebbentoegevoegd, dan is het niet alleen, dat zij ons alweder spre­kender het betrekkelik willekeurige, dat aan al het nood­zakelike ten grondslag ligt, hebben aangetoond, maarbovenal, dat zij ons 00k omgekeerd tot de erkentenis hebbengedwongen, dat al het. willekeurige, dat in de opbohw vanlogika en niathesis Iigt, als menselike werkelikheid be­

21

schouwd, noodzakelik moet worden geacht. Juist omdat depasigrafiese methode op de logiese figuren toegepast ons(loot zion, dat die figuren niet wezenlik onderscheiden zijnvan alle andere symboolgroeperingen waarvan wij do regel­maat naar believen zouden kunnen vaststellen, moeten wijwel aannemen, dat dc vormen, welke onze redelike ver­standhouding nu eenmaal in do loop der tijden heeft aan­genomen, in de aard van onze redelikheid zelve liggen.Juist omdat al onze analyses on bowijsvoeringen in laatsteinstantio op niets anders dan op blote konventie berusten,moeten wij wel uit de bevrediging onzer behoeften, welkedie analyses en bewijsvoeringen ons verschaffen, tot dedoelnnatigheid der geijkte logiese systemen besluiton. Endeze, in het zogezegd stoffelike gebleken doelmatigheid vande wiskundige denkvorm, doze bruikbaarheid als bemidde­lend werktuig tot het omzetten onzer wensen in wilsuitin­gen, is het welke ons ertoe dringt, van een uitgehreideretoepassing dierzelfde denkvorm een overeenkomstige uit­werking te verwachten. VVCIverro van tot telkens engereen telkens dwingender rnachtspreuken te leiden, heeft dezorgvolle woordkunst die mathesis heet. ons tot dusver nietanders gebracht dan een telkens vrijer oordeel on eentelkens vrijer keus van de middelen om dat oordeel te be­palen, on indien de denkende mens erin mag slagen dedingen—des-geestes met even onbevangen moed en evenomzichtige l)OSCl19idGIlh€idtot een voorwerp van ontledende

bespiegeling to maken, als hij dat met de dingen-der-waanuneming heeft gedaan, dan kan het niet anders of op wijdergebied dan dat der behoeften van alle dag zal zijn oordeel­velling zekerder en zijn wilsuitdrukking krachtiger zijn.Wellicht zal menig dogma voor beter gewapende kritiekmoeten wijken en menig in-woorden-wortelend geloof af­

22

brokkelen, maar daarentegen zal geen waarachtige over­tuiging door drogredenen geweld worden aangedaan engeen geloof, dat de oprechte uitdrukking ener ernstigelevensheschouwing is, onverdiende kleinachting ondervin­den. De waarde van het woord als schakel tussen ziel en

ziel zal oneindig stijgen, maar de onwaarde van het woord­zonder-Ineer als richtsnoer onzer dadcn meedogenlooshelderaan den dag worden gebracht. Geweldiger misschien nogdan tans zullen do komonde botsingon zijn van menselikewil op wil, maar beter dan tans zal de mens kunnen wetenwat hij wil, weten waarvoor hij lijdt en strijdt, weten wathij van die strijd te hopen heeft. En wat zou dat anderskunnen zijn, dan do vernieuwing dier tans 7.0hopeloos ver­deelde menselike wil tot de waarlik-éne gemeenschapswil,de vernieuwing van de tans aan zichzelf 7.0 hopeloosvijandige mens tot de waarlik-vrije gemeenschapsmens, demenselike mcns.

Burgemeestcr en Wethcmders dczer Gcmeente,Kmatoren van dezc Um'versiteit,

V001‘ Uw in mij, blijkens Uw modewerking tot mijn be­noeming, gesteld vertrouwen, zeg ik U ten zeerste dank.Ik hoop mijn work steeds 7.6 to kunnen verrichten, datdaarbij in de eerste plaats de intelloktuele belangen mijnertoekomstige leerlingen gebaat zijn, en tevcns die der weten­schap niet geheel worden veronachtzaamd.

Hoogleraren, Lektoren. en Privaat-docenten van dezeUmzversiteit,

\­

Bij het binnentreden in Uw kring bevee] ik mij dam in Ualler geestelike, moge het zijn, vriendschappelike omgang,

23

waarin ik steun moge vinden bij het vervullen van mijntaak.

En gij, mijn ambtgenoten Korteweg, De Vries en Brou­wer, gij zijt het. in het biezonder, tot wie mijn warmstegevoelens in dit ogenblik uitgaan.

U, Kortcweg, heb ik steeds, hoe luttel de uren ook waren,die ik in de gelegenheid hen geweest, indertijd Uw voor mijzo kostbare lessen te volgen, steeds als mijn leermeester, enmeer nog, als mijn oudere vriend beschouwd. Uw hulp enUw aanmoediging hebben er veel toe bijgedragen, dat mijnleedwezen over de weinige gelegenheid, die ik tot nu toehad, mij aan de studie, die mij 20 lief is, te wijden, nimmertot bitterheid is geworden.

En 00k in U, De Vries en Brouwer, mag ik mijn vrien­den begroeten. Het vooruitzicht, nagenoeg dageliks metU te mogen samemverken, is voor mij een der sehoonstezijden van de werkkring, die mij wacht.

St-zcdentenl

Daad van spreker en daad van hoorder heb ik eenmaalhet woord genoemd, en het is uit deze overtuiging, dat ikbij het a.anvaa1'den van mijn taak Uw geestelike 1nedewer­king inroep tot het richtig vervullen ervan. Zowel voor Uwpassieve medewerking: voor Uw welwillende aandacht voorhetgeen ik U ml hebben mede to delen, als voor Uw aktievemedewerking: voor de mededeling van Uw eigen overwe­gingen, en niet het minst voor Uw kritiek, hetzij in ernstof in boert, beveel ik mij ten zeerste aan.

Ik heb gezegd.