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PROBABILITES ALGEBRE DE BOOLE Evaluation 2009-2010 (2 heures) Calculatrice autorise Cours non autoris Formulaire en fin de sujet Exercice 1 Le personnel d'un trs grand hpital est reparti en trois catgories : les mdecins, les soignants (non mdecins) et le personnel AT (administratif ou technique). 12 % des personnels sont desmdecins et 71 % sont des soignants. 67 % des mdecins sont des hommes et 92 % des soignants sont des femmes. On donnera une valeur approche de tous les rsultats prs.

1. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hpital. a. Quelle est laprobabilit d'interroger une femme soignante ? b. Quelle est la probabilit d'interroger une femme mdecin ? c. On sait que 80% du personnel est fminin. Calculer la probabilit d'interroger une femme AT. d. En dduire la probabilit d'interroger une femme sachant que la personne interroge fait partie du personnel AT. 2. Tout le personnel de cet hpital a un temps de trajet domicile-hpital au plus gal une heure et on suppose que la dure exacte du trajet est une variable alatoire suivant la loi uniforme . On interroge au hasard un membre du personnel de cet hpital. Quelle estla probabilit pour que la personne interroge ait une dure de trajet comprise entre15 min et 20 min ?

Exercice 2 Dans cet exercice, les probabilits demandes seront donnes sous forme dcim

ale, ventuellement arrondies 10 -3 prs. La franoise des jeux a lanc un nouveau pit : une carte acheter chez le buraliste o l on a deux chances de gagner : au grattage ou au tirage (deux jeux pour une seule carte). La probabilit de gagner au grattage est de 0,2 (vnement G) et celle de gagner au tirage est de 0,1 (vnement T) . Les vnements T et G sont supposs indpendants. 1) a) Quelle est la probabilit de A : gner pour les deux jeux quand on a achet une carte ? b) Quelle est la probabilit de B : gagner lun des deux jeux ? c) Quelle est la probabilit de C : ne pas gagnedu tout ? 2) Dans cette question, gagner sous-entend gagner au tirage ou au grattage. Alfred achte cinq de ces cartes. On suppose que ces cinq achats sont indpendants ; quelle est la probabilit de D : Alfred a gagn au moins une fois ?

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Exercice 3 Une machine fabrique des cylindres. On mesure lcart, en diximes de millimtres, entre le diamtre des cylindres et la valeur de rglage de la machine. On suppose que cet cart E est une variable alatoire qui suit une loi exponentielle de paramtre . Si lcart est infrieur 1, le cylindre est accept (on note cet vnement A) Sest compris entre 1 et 2, on procde une rectification qui permet daccepter le cylindre dans 80% des cas (lvnement : le cylindre subit une rectification sera not R).i lcart est suprieur 2, le cylindre est refus. On arrondira, si besoin, tous les calculs prs.

1. Quel est lcart E quon peut esprer obtenir en moyenne ? 2. On prlve au hasard un cindre dans la production. Calculer : a) b) c) 3. Montrer que la probabilit que le

cylindre soit accept est denviron 0 ,915. 4. Sachant quun cylindre est accept, quelle est la probabilit quil ait subi une rectification ? 5. On prlve de manire indpendte et identique 10 cylindres de la production. a) Quelle est la probabilit que 6cylindres parmi les 10 soient accepts ? b) Quelle est la probabilit que les 10 cylindres soient accepts ? c) Quelle est la probabilit quau moins un des cylindres soit refus ? 6. On prlve de manire indpendante et identique des cylindres de la production jusqu ce quon obtienne un cylindre que lon doive refuser. a. Quelle est la probabilit que le premier cylindre refus soit le deuxime tir ? b. Combien de cylindres doi

t-on tirer en moyenne pour obtenir un cylindre refus ?Exercice 4 Une voiture est soumise au contrle technique. Le nombre de dfaillancesdcouvertes suit une loi de Poisson de paramtre (la loi des vnements rares). Statistiquement, sur 100 voitures contrles, on compte en moyenne 200 dfaillances techniques. Sil ny a pas de dfaillance, le contrle dure en moyenne 2 heures. Si on dcouvre 1 ou

2 dfaillances, pour les liminer, on rajoute encore 30 minutes pour chacune delles.Si on en dcouvre plus de 2, la voiture est soumise linspection technique qui dureen moyenne 4 heures. 1. Expliquer pourquoi . 2. Calculer la probabilit que le co

ntrle dure 3 heures (cest--dire, la probabilit quil y ait 2 dfaillances). 3. Dtermile temps moyen pass sur une voiture. Page 2 sur 4

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Exercice 5 Soit une variable alatoire prenant les valeurs avec les probabilits respectives et .

1. Dterminer la valeur de 2. Calculer lcart-type 3. Tracer la reprsentation graphique de la fonction de rpartition de .

Exercice 6 algbre de Boole Dans cet exercice, on se place dans (B, +, . , ) l algbre de Boole binaire. boolennes. Les trois questions sont indpendantes. 1. Rcrire sans

utiliser lopration complmentaires). 2. a) Soit donner une expression simplifie de b) En ajoutant lhypothse (lentre sont des variables

(cest--dire, en nutilisant que des produits et des Dresser le tableau de Karnaugh de ne se produit pas), simplifier encore . puis

3. a) Recopier puis complter sans justifier la table de vrit de la fonction boolennea 0 0 0 0 1 1 1 1 b) c) d) e) b 0 0 1 1 0 0 1 1 c 0 1 0 1 0 1 0 1

En dduire la forme canonique disjonctive de Retrouver le rsultat par le calcul. Enutilisant un tableau de Karnaugh, ou bien laide de calcul boolen, simplifier au m

aximum. Dresser la table de vrit de ct de celle de puis expliquer comment ces tablesprouvent limplication : . f) Retrouver cette implication par calcul boolen.

Barme indicatif : 40 points Ex 1 : 4,5 points Ex 4 : 5 points Ex 2 : 4,5 points Ex 5 : 3,5 points Ex 3 : 11,5 points Ex 6 : 10 points

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Formulaire Probabilits Algbre de Boole Langage des probabilits

Lois de probabilit continues

Loi uniforme Variables alatoires discrtes Fonction de rpartition : p Loi exponentielle :

Algbre de Boole Lois de probabilit discrtes Loi binomiale

Loi gomtrique

Loi de Poisson

et

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