Phys I SV 20137-1

7:Travail et énergie

I. Comment déterminer la vitesse d’un objet en fonction des forces et sa trajectoire (sans calculer le temps du parcours) ?

Le principe travail-énergieForces conservatives

II. Quelles énergies dépendent de la position d’un objet ?Energie mécanique

III. Comment détermine-t-on la puissance d’un objet en mouvement?

Giancoli chapitres 7-1 à 7-4; 8-1 à 8-4; 8-7, 8-8

Préparation au cours et aux exosChapitres du Giancoli à lire avant le cours (3 p):

7-1 Work done by a constant force7-4 Kinetic energy and the work-energy principle

Exercices simples (9) à faire avant la séance d’exos:Giancoli 7-5, 50, 53, (59), 63abc8-12, 62, 70

Phys I SV 20137-2

7-

Situation:Une force F appliquée pendant une distance d à un objet rigide en mouvement rectiligne

Le travail W

d’une force constante F est le produit

du déplacement det

de la composante parallèle F|| à d decette force F:

unités: [Nm J] (Joule)

Définition:

Exemple: Travail d’une Tesla Roadster de m=1200kg avec accélération constante de 7.5 m/s2 à 100 km/h (sans frottement, voir leçon 2)

1. Force F=ma F = 1200·7.5 = 9kN2. Distance d=51m 3. Travail W=Fd=460kJ

F|| ddFW ||

dFFdW cos

rdFdW

NB. Pour un temps très court, F peut toujours être considérée comme constante. Travail infinitésimal:

F

Phys I SV 20137-3

FN

mg

A. La serveuse sur la tablette

C. Le sac-à-dos montant

D. Une femme poussant contre un mur

E. La Terre sur le satellite Swiss Cube

B. La Terre quand vous tombez avec votre siège

mg

FG

xFG

y=0y 0

FN

x=0

Phys I SV 20137-4

-t-

Situation: On monte à vitesse constante m sur un plan incliné ded’une hauteur de h (sans frottement). Quel travail fait-on sur la masse ?

1.Distance d = h/sin2.Force F || à d: mgsin3.Travail W = mgsin d

hd

mg

Le travail du poids ne dépend pas de la trajectoire,seulement du changement de hauteur

Pour une petite distance dl: dW=mgcos dl

dy=cos dl: dW = -mgdydl

mg

h

h1

dy

h2

)( 12

2

1

2

1

21hhmgdymgdWW

h

h

h

hhh

Généralisation:

F

= mgh

y

x

mgh

Phys I SV 20137-5

7-2. Quelle est la relation entre travail et énergie ?

Changement d’énergie = travail

E = W

Définition

Energie Capacité d’un objet de faire du travail

a b

va vb

Définition Energie cinétique

2

2mvK

b

a

b

a

v

v

v

v

b

a

vmvdvmdtdxdvm

2

2

Situation: Un objet (bus) est accéléré par une force nette Fnet en un mouvement rectiligne pendant une distance d.

Question: Quel est le changement d’énergie ?

NB. Travail d’une force F constante appliquée pendant une distance drinfinitésimale :

rdFdW

b

a

b

a

b

anet

b

aba dx

dtdvmmadxdxFdWW

b

a

b

a

b

a

z

zz

y

yy

x

xx

b

anet

b

aba dzmadymadxmardFdWW

Phys I SV 20137-6

Le principe travail-énergie

Le travail net sur un objet est égal au changement de son énergie cinétique linéaire

abnet KKW2

2mvK

b

a

net vdmWba

)(2

2

)(2

22ab vvm

ab KK

b

a

dK

m

h

Exemple: On laisse tomber un objet de masse m d’une hauteur h (frottement de l’air est négligé)

= mvsol2/2 - mvh

2/2 = mvsol

2/2 = K

Travail du poids:

W = Fzdz = mgh

z

m

hz

00

0 hh

h mgzdzmgW

NB. Dans le référentiel « standard » on obtient le même résultat:

b

a

b

anet

net madxdxFWba

Voir diapo précédent:

Phys I SV 20137-7

Question: Combien de travail faut-il pour accélérer une voiture de m=1200kg à v1=100 km/h et de v1=100 à v2=140 km/h ?

Comment les deux travaux sont quantitativement différents ?

Vitesse de 0 à v = 100/3.6 = 27.8 m/s, K augmente par mv1

2/2:

K = 1200 27.82/2 = 1200 773/2

= 460kJ

Vitesse de 27.8 m/s à v2 = 140/3.6 = 38.9 m/s

K augmente par m v22/2 - 460kJ:

K = 1200 38.92/2 - 460 kJ

= 910 – 460 kJ = 450 kJ

Situation: Lors d’un accident de circulation une Renault Mégane de mA=1200 kg percute sur une route mouillée (μk=0.5) une Fiat Punto de mB=900 kg au repos devant un feu de circulation. Question: Si le conducteur de la Renault roule avec vA=54 km/h et commence à freiner dA=15 m devant la Fiat, y aurait-il un accident?

W=-Ffd = -mgμkd = -mv2/2d = 152[m2/s2]/(2 10 [m/s2] 0.5) = 22.5m

d = v2/2gμkQuel travail doit effectuer une force non-conservative Ff pour arrêter une voiture de masse m en mouvement rectiligne avec vitesse v? OUI

Phys I SV 20137-8

Une force est conservative si le travail qu’elle fournit dépend uniquement du point de départ et du point d’arrivée et non du chemin parcouru.

BA WW 2121

7-

Bparcours

2

1Aparcours

2

121 ldFldFW A

F est conservative, si son travail W satisfait pour n’importe quel chemin A ou B:

i.e.

Définition: Force conservative

Définition équivalente: Le travail fournit par une force conservative suivant un parcours fermé est zéro.

12 = -W21)

Phys I SV 20137-9

1. La force du poids travail: WG

1-2=mg(y1-y2) = -WG2-1

2. La force de rappel du ressort

Loi de Hooke(Force exercée par le ressort)

(voir leçon 4)

xkFx

dW(x)=kxdxb

a

b

aba xdkxdxkW )(

22

2

2xkEressort

)(2

22ab xxk

abW

E = W:

Comment décider si une force est conservative ?

Démontrer pour n’importe quel chemin droit, le travail aller-retour et nul …

Phys I SV 20137-10

Définition:

7- -

))(,)(,)(()(dz

rdUdy

rdUdx

rdUrdrdUF

L’énergie potentielle U est l’énergie dont les forces (conservatives) associées dépendent des positions des objets impliqués.

12WU

Une force conservative est entièrement définie par son énergie potentielle:

12

2

1

UUdU

Le changement d’une énergie potentielle est égale

1) au travail qu’elle peut fournir par sa force conservative

2) à l’opposé du travail fait par sa force conservative en déplaçant l’objet

(-U est la primitive de F)

zFyFxFU zyx

rFrdFW2

112

rdrdUF )(

e peut fo

Phys I SV 20137-117-11

CmgyykUmgkydy

dUg

g

2

2

dzdU

dxdU gg 0

dzdU

dydU rr 0

dzdU

dxdU ss 0

mgy + Cg

kx2/2 + Cr

-ky2/2 + mgy + Cs

CmgyUmgdy

dUg

g

CxkUkxdx

dUg

g

2

2Fr

mg

y m

y0

y

mg

Fry0

Ug=

Ur=

Us=

Energie potentielle: 3 exemples

Cgy

Autres exemples:

1. Électrostatique

2. Magnétostatique

3. Chimique

0zx FF

0zy FF

0zx FF

Constante d’intégration C ? choix de U(r)=0 est libre

Phys I SV 20137-12

NB. Cela semble être différent de mgh … ?Voir:

rmMGrU g )(

TT

TTg RhR

mMGhRU/1

)(

mghChR

GMmChRUT

TTg 2)(

xx x

11

11

TT

T RhR

GmM /1

g

2/1222 zyxGmM

r

r’

2'1

rGmMFRG

''1

2 drr

GmMdW RG

rRG

r drr

GmMW ''1

2

r

rGmM

'1

Quelle est l énergie potentielle e gravitation ?

''

'1

2 rr

rGmMFg

m

M

Situation: On (RG) s’approche de l’infini avec une masse m à vitesse constante, jusqu’à la position r d’une planète (M).Le travail que fait RG = l’énergie potentielle = -travail de la planète

r

Ug

rT

Phys I SV 20137-13

Phys I SV 20137-13

A B

Situation: Deux personnes, Agathe et Bernard, montent sur une colline par deux chemins différents (sans frottement).

Qui fait plus de travail W en montant ?

1. WA>WB

2. WA<WB

3. WA=WB

En descendant sur le toboggan, qui a la vitesse la plus grande à l’arrivée ?

A. vA=vB

B. vA>vB

C. vA<vB

Qui prendrait le moins de temps t pour descendre ?

I. tA<tBII. tA=tBIII. tA>tB

Phys I SV 20137-14

Conservation de l’énergie mécanique d’un système (si toutes les forces qui travaillent sont conservatives):

E=constante

(y compris le ressort: UR=kx2/2)

Exemple

Définition: Energie mécanique E K+U

7-

constante2

2

mghmv

E

Principe travail-énergie:

Le travail de la force associée à U sur un objet est égal au changement de son énergie cinétique:

W12= K

Le changement de l’énergie potentielle est égal au travail qu’elle PEUT faire:

U = W21 = -W12 = - K

E K+ U=0

Ui

Balle suspendue au plafond

Phys I SV 20137-15

Exemple I - Le jet d’eau à Genève: Quelle vitesse est nécessaire à la pompe pour obtenir la hauteur du jet ?

K = -mv2/2=-mgh=- 2

Exemple II – impact d’une balle: À quelle vitesse V d’un humain de M=70 kg correspond l’énergie cinétique d’une balle de m = 5 g volant à v = 700 m/s (voir leçon 4)?

K = mv2/2 = MV2 (m/M) = 700 (0.005/70) = 6m/sDu point de vue énergie, le cinéma a raison …

140 m

s I SVSVSVSVSVSVSVSVVV 222222222201000010 33

Comment décider d’utiliser la dynamique/cinématique ou les calculs

d’énergies ?Si le temps n’est pas considéré, le calcul par énergie est souvent plus simple et direct

MAIS …(il faut e.g. s’assurer que v=0 dans une des conditions)

Phys I SV 20137-16

x2[m] m1[kg] m2[kg] g[m/s2] x1[m]t[s] 1 0.0537 0.387 9.8 0.5

1 0.9012 0.901 Predictions: vitesse3 0.912 1.0934 0.9105 0.9016 0.908

moyenne 0.906SD 0.005SEM 0.002

vitesse 1.104

– vues en termes d’énergie

Chariot sans frottements

=0.387kg

x1=0.5m

0.5m

x2=1m

a=0 g>a 0m2

m1

Temps t pour parcourir x depuis l’arrêt de m1:

Prédictions de U+K=const:

Résultat de l’expérience:

=0.0537kg

3 portails optiques

Après x1:U1 = -m1g x1

K1 = m1v2/2

K2 = m2v2/2

U1+ K1+ K2=0

m1g x1=m1v2/2+m2v2/2

m1g x1=v2(m1+m2)/2

Pourquoi?

121

12 2 xmmgmv

Puissance instantanée:

Phys I SV 20137-17

Puissance = Travail fait par temps

Puissance moyenne:

7- Définition:

TWP

Unité: 1W=1J/sNB. 1kWh = 3.6 MJ

Principe travail-énergie :

P = E/T

Exemple: Quelle est la puissance maximale Pmax que pourrait fournir le vent passant par l’aire balayée par les pales d’une éolienne de diamètre D de 80 m (comme celles à Martigny) quand souffle un vent ( =1.2 kg/m3) avec une vitesse v de 36 km/h ?

Solution: Energie cinétique stockée dans l’air K= mv2/2. (Pour calculer le maximum possible, admettons que tout l’air perde son énergie cinétique en passant l’éolienne)

masse qui passe pendant temps T, m(T)= r2vT (volume du cylindre)

= D2vT/4

Puissance = K/T = D2v3/8 = 3 MW

3.14 1.2 802 103/8 = 3.7 8 105

[kg/m3 m2 m3/s3 =J/s]

dtdE

dtdWtP )(

Phys I SV 20137-18

http://www.swissdams.ch/Dams/damForm/default.asp?ID=75

h=34m

530 m3/s

GE

Question: Quelle est la puissance maximale que peut fournir le barrage à Verboix ?

Réponse:

Changement d’énergie potentielle/s = puissance

= m/t gh = 530 103 9.8 20

= 1.04 108 W = 104 MW

(cela prends à peu près 2ans pour produire la même énergie qu’à la Grande Dixence…)

340 m

(la chute d’eau est de 20m)

(Masse volumique de l’eau 1000kg/m3)

Phys I SV 20137-19

Exemple: a puissan e instantanée une or e

Ffr

FT

mg

FN

Quelle est la puissance fournie à un objet uniformément accéléré?

x=0 x,t

Exemple: Voiture de 1200kg accélérant de 110à 120 km/h en T=3s (voir exemple leçon 1):

accélération a= v/T=0.9m/s2

1) F=ma=m v/T=1.1kN, vitesse moyenne v =115 km/h ~ 32m/s

2) P = Fv = mv v/T 35kW (sans frottement …)

( 50 CV)

P(t)=FTv(t)=FT(at+v0)

a=(FT-Ffr)/m

tm

FFvFP frT

T 0

NB. 1CV 0.75kW

dtldF

dtdWtP )(

Puissance instantanée d’une force:

vFtP )(

Phys I SV 20137-21

constante22

22 kxmgh

mv

Situation: L’extrémité d’un ressort est au repos en position Q. Le ressort est comprimé, avant de lâcher, d’une longueur z. En lâchant, on lance une bille de masse m qui arrive à hauteur h. (Fig. A)

Question 1: Si on comprime le ressort de moitié ( z’=0.5 z), comme illustré en B, à quelle hauteur h’ la bille arrivera-t-elle?

a) h’=2hb) h’=hc) h’=h/2d) h’=h/4

Question 2: Si on utilise une bille de masse double (m’=2m avec z’= z) dans A, à quelle hauteur h arrivera-t-elle?

a) h’=2hb) h’=hc) h’=h/2d) h’=h/4

P’

A B

h h’

z z’

?

admettez z h

Phys I SV 20137-22

b

a

b

a

b

a

z

z z

y

y y

x

x x

b

aba

dzFdyFdxF

ldFWCes intégrales (=aire de la fonction F(x)) se calculent en suivant le chemin parcouru

omplément: e travail une or e en général

iiFiiii lFW cos

ldFdlFdW

l

cos

:0Limite

ldamldFdW

zzyyxx dvvdvvdvvmvdvm

lddtvdm

dtldvmd

vdvmdtvdv

vdtldll

a

2)()()(( 222

yyx vdvdvdm

dKmvdvvdmconstm

)2

(2

)( 2

Energie cinétique

2

2mvK

QED

Phys I SV 20137-23

Preuve:

par définition (force conservative)

et il s’ensuit que

Définition équivalente: Le travail fournit par une force conservative suivant un parcours fermé est zéro.

AA WldFldFW 21

2

1

1

212 )(

AB WW 1212

0212111AAA WWW

BAA WWW 122111

QED

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Phys I SV 20137-25

Phys I SV 20137-26