8.hazzab

Larhyss Journal, ISSN 1112-3680, n 04, Juin 2005, pp.91-105 2005 Laboratoire de Recherche en Hydraulique Souterraine et de Surface

Larhyss/Journal n04, Juin 2005

TUDE COMPARATIVE DES SCHEMAS DLEMENTS FINIS APPLIQUES AUX COULEMENTS UNIDIMENSIONNELS

A SURFACE LIBRE

A. HAZZAB, M. ATALLA , M. HAFIANE

Laboratoire de Modlisation et Mthodes de Calcul Centre Universitaire de Sada, BP 138 Ennasr Sada 20002

INTRODUCTION La concentration des activits humaines proximit des fleuves et rivires ncessite la prise en charge des problmes poss par les crues. Les inondations en sont lexpression la plus marquante. Il existe de nombreux exemples o les cours deau occasionnent des dgts humains et matriels. La crue hivernale du 10 novembre 2002 Bab-El-Oued a caus plus de 700 victimes et des pertes matrielles qui se chiffrent en milliards de DA. La matrise parfaite et totale des cours deau ne sera jamais possible. Nanmoins le traitement passe par une meilleure connaissance du phnomne (crue) et exige le recours des mthodes de prvision. La mise au point de modles numriques peut rpondre ces deux exigences. La simulation des coulements surface libre par le modle de SAINT-VENANT a plusieurs applications. On peut citer par exemple : La prvision des risques dinondation (annonce des crues, aide

llaboration des plans de secours et damnagement); La dtermination de zones submersibles et celles qui subissent un

couvrement-dcouvrement au cours du temps; La simulation de la propagation des crues (e.g. onde de rupture du

barrage); Ltude dimpact douvrages hydrauliques sur le milieu; La simulation des coulements dans les canaux dcouverts, les ports, les

lacs et les estuaires. Les quations de SAINT-VENANT constituent un systme dquations aux drives partielles non linaires de type hyperbolique. Lintgration exacte de ces quations tant trs complexe, leur solution analytique est rare. Nanmoins, il existe plusieurs mthodes numriques permettant le traitement informatique de ces quations, il sagit des :

A. Hazzab, M. Attalla et M. Hafiane / Larhyss Journal, 4 (2005) 91-105

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Mthodes des caractristiques (M.C) ; Mthodes des diffrences finies (M.D.F) ; Mthodes des lments finis (M.E.F) ; Mthodes des volumes finis (M.V.F).

La prsente tude est une contribution la rsolution de ces quations par la mthode des lments finis. Cette dernire prsente plusieurs avantages. Parmi ces avantages, il y a le fait quil nest pas ncessaire de sparer les algorithmes de calcul des coulements fluviaux et torrentiels. En plus, les lments dcrivant le domaine de calcul permettent dadapter trs facilement la topographie de la rivire. Aussi, lutilisation des conditions aux limites naturelles est un avantage significatif. Trois mthodes- schmas- dlments finis, qui sappliquent aux quations hyperboliques, sont prsentes dans cette tude. La premire mthode est celle de Bubnov-Galerkin qui est analogue la mthode des diffrences finies centres. Les deux autres mthodes, dissipative de Galerkin et Caractristique dissipative de Galerkin, sont du type Petrov-Galerkin dans lesquelles un terme de diffusion numrique est introduit pour diminuer les oscillations qui se prsentent dans la mthode de Bubnov-Galerkin. La comparaison entre ces trois mthodes montre que lutilisation des deux vitesses caractristiques dans la dtermination du terme de diffusion artificielle tend donner des solutions plus stables et plus prcises pour une large varit et de types dcoulements. MODELE MATHEMATIQUE DES ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE Les quations de Saint-Venant une dimension, sous sa forme conservative, pour un canal prismatique rectangulaire, scrivent : Lquation de continuit est donne par :

0A Qt x

+ = (1) Lquation de quantit de mouvement est donne par :

( ) 02 f e

Q Q U g A H g A J Jt x x

+ + = (2) o A est la section dcoulement, U est la vitesse moyenne sur une section transversale ( )U Q A= / , H est la profondeur deau ( H A B= / , o B est la largeur du canal),

eJ est la pente nergtique,

fJ est la pente longitudinale du

fond, t est le temps, x la coordonne longitudinale et g est lacclration de la

Etude comparative des schmas dlments finis appliqus aux coulements surface libre

93

pesanteur. Les quations (1) et (2) peuvent tre reprsentes sous forme vectorielle :

0R St x + + = (3)

o : AQ

(4) est le vecteur solution,

2

0 12 2

QR

U Q g A H c U + / / (5)

est le vecteur des termes de flux et dpendant de , c g H= est la clrit donde et

0

f e

Sg A J J

(6) reprsente le vecteur des termes sources. La forme non conservative de lquation de quantit de mouvement scrit :

2( ) 2 0f e

Q A Qg H U U g A J Jt x x

+ + = (7) Les quations (1) et (7) peuvent tre combines pour donner, sous forme vectorielle :

0A St x + + = (8)

o

2

0 1

2RA

g H U U =

(9)

Nous obtenons ainsi la matrice dite de convection. DISCRETISATION PAR ELEMENTS FINIS La recherche dune solution approche par la mthode des lments finis comporte deux tapes. La premire concerne le choix des fonctions dinterpolation et la seconde est lie au choix des fonctions de pondration qui minimisent lerreur entre la solution approxime et la solution exacte. Dans cette tude, les quations lmentaires sont drives en utilisant la mthode des


94

rsidus pondrs de type Galerkin. La discrtisation spatiale de ce systme dquations est effectue laide dune interpolation linaire pour approximer la solution sur chaque lment linaire. Ainsi :

1

n

j jj

B =

= (10) o

00

jj

j

bB

b

(11)

est une approximation dune fonction relle, et n est le nombre de nuds dans le domaine. Pour le iemej nud, la fonction dinterpolation utilise est donne par :

1( ) 0j jb x x x ; < (12a) 1

11

( ) jj j jj j

x xb x x x x

x x

; <


95

La forme de lquation (r) peut tre crite sous une notation matricielle. Ce qui donne :

0ij ij j ijj

M K Ft

+ + = (16)

o L

ij i joM B B dx= (17)

est la matrice masse, et

20

0 12

Li

ij jBK B dx

c Ux

= / (18) est la matrice de rigidit, et

0

02

L

L

i

ij

i

B Q

F g A HB Q U

= + (19)

est le vecteur du flux travers les frontires. Les termes de ijF reprsentent les conditions aux limites naturelles. Lquation (16) sera ensuite discrtise par rapport au temps, par lutilisation dune approximation de diffrences finis implicite dont la forme est donne comme suit : [ 1 1 1( ) (1 ) ( ) (1 )n n n n n nM t K t F M t K t F + + + + + = + + ( ) ( )nFt+ 1 (20)

Pour rsoudre ce systme non linaire, nous utilisons litration de type Newton-Raphson. Aussi, pour le test de convergence, nous avons opt pour la comparaison entre la norme du vecteur des corrections et une tolrance indique. Donc si :

( )22

Tolerance

(21)

Alors la solution progresserait au prochain pas de temps. Les matrices lmentaires qui rsultent de lintgrale lmentaire sont:

aa aqe

qa qq

m mM

m m

(22)


96

aa qq i jem m b b dx= (23)

0aq qam m= (24) aa aq

eqa qq

k kK

k k

(25)

0aak (26) i

aq je

dbk b dxdx

(27) 2 f

iqa j i je

g H dbk b g J b b dxdx

= (28)

iqq j i je

dbk U b f b b dxdx

+ (29)

o f est obtenue en appliquant la relation de Manning : 2

4 3m

h

n UfR /| |= (30)

hR est le rayon hydraulique qui sexprime par (2 )hR B H H B= / + pour un canal rectangulaire et mn est le coefficient de Manning. Mthode de Petrov-Galerkin Plusieurs recherches ont t faites pour liminer ou diminuer les oscillations associes la mthode de Bubnov-Galerkin. Une alternative consiste utiliser la mthode de Petrov-Galerkin dans laquelle des fonctions de pondration dcentres sont utilises pour introduire une diffusion numrique qui assure lattnuation des oscillations. Pour un coulement unidimensionnel non permanent surface libre, la formulation quivalente du type du Bubnov-Galerkin peut tre reprsente sous la forme :

systme original termes de dcentrage

0 0{0}

0 02i i

i i

b bC Cx dWb bM Mdx

+ = 1442443 14444244443

(31)

o C et M se rfrent respectivement aux quations de continuit et de quantit de mouvement, reprsente un paramtre de diffusion (ou un coefficient de dcentrage) qui dpend de la situation dcoulement, W est la matrice de dcentrage qui contrle la fois la quantit et la direction de la diffusion numrique. Les composantes de cette matrice seront notes comme suit :


97

aa aq

qa qq

w wW

w w

= (32)

La premire lettre des indices des composantes dnote lquation dans laquelle la contribution de dcentrage sapplique (a pour lquation de continuit et q pour lquation de quantit de mouvement). Tandis que la seconde dcrit lquation sur laquelle elle sopre (e.g. aqw reprsente le coefficient appliqu lquation de quantit de mouvement pour contribuer au dcentrage de lquation de continuit). Les matrices masses deviennent :

2i

aa i j aa je

x dbm b b w b dxdx

+ (33)

2i

aq aq je

x dbm w b dxdx

(34) 2

iqa qa je

x dbm w b dxdx

(35)

2i

qq i j qq je

x dbm b b w b dxdx

+ (36)

Les matrices de rigidit deviennent :

2

2 fji i

aa aq je

dbx db dbk w g H U g J b dxdx dx dx

(37)

22

j ji i i iaq j aa aq j aqe

db dbdb x db db dbK b w w f b U w dxdx dx dx dx dx dx

+ + + (38)

2 fi

qa j i je

g H dbk b g J b bdx

+ ( ) dx

dxdb

dxdb

UgHbdxdb

gJwx jijiqq

+ 22

(39)

22

ji i iqq j i j qq j qa qqe

dbdb x db dbk U b f b b w f b w U w dxdx dx dx dx

+ + + +

(40) Le systme rsoudre sera le mme que celui qui est dfini par lquation (16).


98

Spcification de la matrice W Dans la mthode dissipative de Galerkin (DG), la matrice de dcentrage W , pour 0U > , est donne comme suit :

2 2

0 1( ) 2

U cAWc U U c U U cU c

/ | + | = / | + | / | + |+ (41) Dcomposons A :

( ) ( )11 2 1 2 0 ( ) 1

2 2 0 ( ) 1c c U c U c

A T TU c c U c c U c U c

/ / + = = + / / + (42) o

1

2

00

(43) est la matrice des valeurs propres, i U c = pour 1 2i = , sont les vitesses des caractristiques. Lquation (41) peut tre value comme :

1 1 1

2 1

0 1 2 1 20 ( ) 2 ( ) 2

( ) 0 ( ) 10 ( ) ( ) 1

c cW T T

U c c U c c

U c U c U cU c U c U c

/ | | / / = = / | | + / / + / | + | / | + | +

(44)

La matrice de dcentrage dans le schma DG nutilise donc seulement que la caractristique positive 1 ( )U c = + . De ce fait, le dcentrage appliqu londe rgressive peut tre trs petit. La mthode caractristique dissipative de Galerkin (CDG) a t dveloppe par Hicks et Stefler (1992). La forme ainsi propose pour W est :

AWA

= | | (45) La matrice de dcentrage, pour cette mthode, peut donc tre value comme suit :

1 1 1

2 2

0 1 2 1 20 ( ) 2 ( ) 2

( ) 0 ( ) 10 ( ) ( ) 1

c cW T T

U c c U c c

U c U c U cU c U c U c

/ | | / / = = / | | + / / + / | + | / | | +

(46)


99

Il est noter que chaque vitesse caractristique est utilise dans la dtermination de la matrice de dcentrage, do le terme " Caractristique " dans lappellation de cette mthode (i.e. mthode Caractristique Dissipative de Galerkin, CDG). Les deux schmas peuvent tre compars en crivant les matrices de dcentrage en fonction du nombre de Froude :

UFrc

= (47) Pour le schma DG, la matrice de dcentrage devient :

2

1 101

(1 ) 21 1

c FrW

FrFrcFr Fr

| + | | + | | + | (48)

Tandis que pour le schma CDG , W scrit :

2

2 22

1 1 11 1 1(1 )2 1 12 1 1

1 1 1 ( 1) ( 1)(1 )

2 1 1 2 1 1

Fr FrFr c Fr FrFr Fr

Wc Fr Fr Fr Fr

Fr Fr Fr Fr Fr

+ | + | | || + | | | + + | + | | | | + | | |

(49)

La figure 1 illustre la variation des termes des matrices W en fonction du nombre de Froude. 0Fr = : Dans ce cas, les termes de W sont identiques :

0 10c

Wc

/ = (50) 1Fr = : Ils se croisent :

0 1 21

cW

c/ = (51)

1Fr > : Pour un coulement torrentiel, la matrice de dcentrage dans le schma CDG est constante et elle est gale :

1 00 1

W (52)


100

0 0.5 1 1.5 2

-1

0

1

waa

Fr0 0.5 1 1.5 2

-1

0

1

c.w

aq

Fr

0 0.5 1 1.5 2

-1

0

1

wqa

/c

Fr0 0.5 1 1.5 2

-1

0

1

wqq

Fr

(b)

(c) (d)

(a)

CDGDG

CDGDG

CDGDG

CDGDG

Figure 1 : Schma reprsentant la variation des lments de la matrice (W) de dcentrage en fonction du nombre de Froude.

Spcification du terme de dissipation Lvaluation de la valeur du paramtre de dcentrage , pour les schmas de Petrov-Galerkin, fait lobjet de plusieurs expriences numriques. Brooks et Hughes (1982) montrent que, pour un problme transitoire, la dtermination dune valeur optimale de est base sur la prcision de la solution et la minimisation de lerreur de phase. Katopodes (1984) a examin plusieurs valeurs de pour le schma DG appliqu aux quations de SAINT-VENANT incluant 2 15 = / ( 0 5) , et

t U c x = | + | / . Dans les problmes o une discontinuit (e.g. ressaut hydraulique) se prsente, de grandes valeurs de sont ncessaires pour attnuer suffisamment les ondes rgressives. Il a conclu que la quantification dune valeur optimale de ncessite la ralisation des expriences numriques. Pour le cas des quations linaires et en considrant le schma DG, Froehlich (1988) a examin leffet de la variation du coefficient de dcentrage sur la phase et la prcision de la solution. Il a observ une grande sensibilit au nombre de Courant des courtes longueurs donde. Le nombre de Courant tant dfinit comme suit :


101

( )U c tCx

+ = (53) Pour examiner la sensibilit du schma CDG au terme de dissipation , Hicks et Steffler (1990) ont ralis des expriences numriques correspondant aux trois valeurs suivantes de : 0 25, , 0 50, et 1 . Ils ont conclu quune bonne prcision, associe une attnuation leve des oscillations, est obtenue avec une valeur de 0 50 = , , pour le cas des coulements permanent. Tandis que pour le cas des coulements non permanent, la valeur optimale de correspond 0,25. Le schma CDG est particulirement intressant dans llimination des oscillations de courte longueur donde. Un nombre de Courant gal 0,5 est considr comme tant le mieux indiqu afin dquilibrer les erreurs en espace et en temps. TESTS NUMERIQUES Le but de ces tests est de faire une comparaison entre les trois mthodes (BG, DG et CDG). Cette comparaison permet de dterminer la mthode la plus fiable en matire de prcision et de stabilit de la solution. Ltude comparative comporte lexamen des coulements permanents (ressaut hydraulique) et non permanents (rupture de barrage). Les tests sont raliss en utilisant la forme conservative des quations de SAINT-VENANT. Cependant la forme non conservative des quations est utilise dans la dtermination de la matrice de dcentrage. Les valeurs de , considres dans le processus de calcul pour les deux cas permanent et non permanent, sont celles obtenues par Hicks et Steffler (1990). Ressaut Hydraulique Ce test, adapt par (Katopodes, 1984), comporte la vrification de la transition entre un coulement torrentiel et un coulement fluvial dans un canal horizontal et sans frottement. Trente nuds, espacs de 5 m dintervalle sont utiliss dans lanalyse. Le dbit est initialement fix 5m pour lensemble des noeuds. travers la moiti amont du domaine, la profondeur initiale de lcoulement torrentiel est fixe 1 m, tandis que la profondeur de lcoulement fluvial est de 1,8 m la moiti aval du domaine. Les conditions aux limites ncessaires sont la hauteur et le dbit en amont et la hauteur laval. Ce test est excut de faon semi implicite ( 0 50 = , ) et 0 072t s = , correspondant un nombre de Courant

0 1C = , . Les figures 2a et 2b montrent les rsultats obtenus par les trois


102

mthodes aprs 100 pas de temps (t = 7,2s). Les conditions initiales sont aussi reprsentes sur les mmes figures pour faciliter la comparaison. On remarque quune dtrioration significative de la solution se produit pour la mthode BG, indiquant ainsi lincapacit de cette mthode attnuer les perturbations de 2 x . Les rsultats du schma DG montrent, malgr que le choc est prserv, que la prsence des oscillations est significative. Pour le schma CDG, on observe que les oscillations sont en effet diminues au voisinage du ressaut, qui est lui-mme immobile et mieux prserv (Fig. 2a). Il y a cependant, une lgre diminution dans le dbit observ dans la branche fluviale en aval (Fig. 2b).

0 25 50 75 100 125 1501500

0.5

1

1.5

2

2.5

Distance (m)

Prof

onde

ur (m

)

0 25 50 75 100 125 1503.0

5.0

7.0

9.0

Distance (m)

Db

it (m

3 /s)

Initiale BG DG ( = 0.50) CDG ( = 0.50)

= 0.50 - t = 0,072s - C = 0,1 -t = 7,2s

= 0.50 - t = 0,072s - C = 0,1- t = 7,2s

(a) (b)

a) b)

Figure 2 : Tests numriques. (a) et (b) ressaut hydraulique.

Rupture de Barrage Ce test est reproduit partir des travaux de Fennema et al. (1987). Dans ces derniers, une simulation de la rupture instantane dun barrage dans un canal horizontal et sans frottement est tudie. Le maillage est form par quatre vingt lments sur une longueur totale de 2 km. Chaque maille a 25 m de longueur et le nombre total des nuds est de 81. Le barrage lui-mme est positionn sur un seul lment. Le dbit est considr initialement comme tant nul pour lensemble des nuds. La profondeur initiale dans la moiti amont du domaine est 0 10H m= et la moiti avale est de 1 5H m= . Les trois schmas BG DG et CDG sont excuts des pas de temps

1 25t s = , . Ceux-ci correspondent un nombre de Courant 0 47C = , . Cette valeur est dtermine en se basant sur la vitesse de londe progressive (la valeur de cette vitesse calcule analytiquement est gale 9,35m/s). Les rsultats obtenus pour 60t s= sont prsents sur la figure 3a et 3b. Lexploration des rsultats du schma BG, monte que des oscillations sont observes toute au long de la solution. Lamplitude de ces oscillations prend de lampleur juste au point


103

aval de la discontinuit du profil de la profondeur de lcoulement (Fig. 3b). Ces oscillations ont tendance sattnuer pour le cas o la valeur du coefficient de pondration est gale 1. La tendance de lattnuation de ces oscillations augmente dune manire significative au point de la discontinuit. Le profil de la discontinuit, pour la solution numrique, a une configuration dun tronon compos de cinq lments (Fig. 3b), contrairement au cas de la solution analytique o le profil est form de tronon dun seul lment. Pour le schma DG, les remarques suivantes sont observes : Pour le cas 0 50 = , : Le profil de la solution au niveau du point de la

discontinuit, est form dun segment compos de deux lments; des oscillations sont observes dans londe rgressive.

Pour le cas o 1 = : La solution prsente un profil qui tendance dtre plus lisse.

Dans le cas du schma CDG, le profil de la solution est aussi form dun segment compos de deux lments. Cependant aucune oscillation nest observe le long du profil de la solution et ce pour 0 5 = , . Pour le cas 1 = , les rsultats sont presque identiques au cas du schma DG (Fig. 3b). ( ) ( )

0 500 1000 1500 200020004

6

8

10

1212

Distance (m)

Prof

onde

ur (m

)

0 400 800 1200 1600 200020004

6

8

10

12

Distance (m)

Prof

onde

ur (m

)

Initiale Solution exacte BG DG ( = 0.25) CDG ( = 0.25)

= 0.50 - t = 1.25s - C = 0,45 - t= 60s

= 1.0 - t = 1.25s - C = 0,45 - t= 60s

(c) (d)

a) b)

Figure 3 : Tests numriques : (a) et (b) rupture de barrage CONCLUSION Dans cette tude, nous avons tudi trois schmas dlments finis : le schma de Bubnov-Galerkin (BG), le schma dissipative de Galerkin (DG) et le schma Caractristique Dissipative de Galerkin (CDG). Lintroduction dun paramtre de diffusion numrique dans les deux derniers schmas DG et CDG, qui sont de type Petrov-Galerkin, a permis de diminuer les oscillations numriques associes au schma BG. partir des tests labors (ressaut hydraulique et rupture de barrage), nous avons constat que la prise en compte des deux vitesses caractristiques dans la dtermination du terme de diffusion numrique donne des solutions consistantes et stables. En outre, les tests montrent que le


104

schma DG est moins stable que le schma CDG du fait que ce dernier utilise les deux vitesses caractristiques dans le dcentrage. La matrice de dcentrage dans le schma DG utilise seulement la caractristique positive 1 ( )U c = + . De ce fait, le dcentrage appliqu londe rgressive peut tre trs petit. NOTATION

A (-) Matrice de convection B (-) Matrice des fonctions dinterpolation C (-) Nombre de Courant c (m/s) Clrit F (-) Vecteur des termes de flux travers les frontires Fr (-) Nombre de Froude g (m/s 2 ) Acclration gravitationnelle H (m) Profondeur deau i j, (-) Indices entiers

eJ (-) Pente nergtique

fJ (-) Pente de fond du canal K (-) Matrice de rigidit L (m) Longueur du domaine M (-) Matrice masse n (-) Nombre de nuds dinterpolation

mn ( sm .3/1 ) Coefficient de Manning Q ( m 3 /s) Dbit dcoulement R (-) Vecteur des termes de flux

hR (m) Rayon hydraulique S (-) Vecteur des termes sources; t (s) Temps; U (m/s) Vitesse moyenne dans une section x (m) Coordonne longitudinale W - Matrice de dcentrage; (-) Coefficient de pondration (-) Matrice des valeurs propres

i (m/s) Vitesse caractristique; (-) Vecteur des variables nodales (-) Vecteur solution (-) Coefficient de dcentrage


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REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES BROOKS A., HUGHES T. (1982). Streamline upwind/Petrov-Galerkin

formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., vol. 32, pp. 199-259.

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