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A. LAAMYEM
FILIERE SMC4
W. Wien Compton
Bohr Dirac
Planck Einstein
Schrödinger
HeisenbergL. deBroglie Ehrenfest
Rayleigh
COHEN
http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/wien2.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/wien2.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/compton.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/compton.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/dirac.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/dirac.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/planck.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/planck.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/nbohr.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/nbohr.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/einstein4.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/einstein4.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/schroed.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/schroed.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/heisenb.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/heisenb.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/broglie.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/broglie.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/ehrenfest.jpghttp://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/ehrenfest.jpghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Lord_Rayleigh.jpghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Lord_Rayleigh.jpg
INTRODUCTION
Jusqu'en 1900 environ, les prédictions des théories de la physique (Mécanique,Electromagnétisme et Thermodynamique) ont toujours été en accord avec lesrésultats expérimentaux. Grossièrement, ces théories traduisaient par desmodèles ce que l'homme observait directement. Les phénomènes observésétaient du domaine MACROSCOPIQUE et il est donc normal que la physiquede cette époque et macroscopique aillent de pair.
A partir de cette date, les techniques expérimentales ont permis d'atteindrel'aspect MICROSCOPIQUE de la matière et les phénomènes mis en jeu sortentdu domaine de la perception directe. Les théories existantes étaientinsuffisantes pour expliquer les résultats mis en évidence et sont qualifiéesdepuis de "classiques".
Ainsi, s'affirme la nécessité d'une nouvelle théorie permettant de comprendreles effets microscopiques, rebelles aux théories classiques. Cette théorie, laMÉCANIQUE QUANTIQUE, est dans son formalisme actuel le fruit collectifd'une conjonction exceptionnelle de physiciens et de mathématiciens. Unevingtaine d'années fut nécessaire pour que l'on donne une forme précise àcette théorie basée sur la mécanique ondulatoire de Louis de Broglie etSchrödinger et sur le formalisme de Dirac unifiant la méthode matricielled'Heisenberg et la mécanique ondulatoire
Aujourd'hui, on considère que la mécanique quantique estuniverselle, c'est à dire utilisable pour comprendre tous lesphénomènes physiques. C'est une description du comportement dela matière et de la lumière dans tous leurs détails. Toutefois cettehégémonie de la mécanique quantique n'est que de principe cardans de très nombreux domaines la théorie classique suffit pourinterpréter de façon satisfaisante les observations. Nous verrons parexemple que la mécanique quantique ne fait pas intervenir dansses concepts la notion de trajectoire d'un mobile ou la notion deforce. Il est évident que les ingénieurs qui lancent des satellitesautour de la terre n'abandonnent pas ces notions qui se révèlentexcellentes dans une large gamme de conditions physiques. Cecidécoule de ce que la mécanique classique apparaît comme uneapproximation de la mécanique quantique. En fait, le champd'application de cette nouvelle théorie couvre un vaste domaine:
- dans le domaine macroscopique (échelle macroscopique > Å), elleest équivalente à la physique classique;
- dans le domaine microscopique, où la physique classique n'est plusvalable (échelle microscopique < μ), elle permet de justifier lesrésultats expérimentaux.
Il faut savoir que la mécanique quantique continue à postulerl'existence de particules et de la théorie ondulatoire; elle permet uneétude plus précise du mouvement et de l'interaction des particules enimposant un certain nombre de notions nouvelles que nousexaminerons dans ce cours (nécessairement incomplet) et quipeuvent être citer de la façon suivante:
* la notion de localisation ponctuelle est remplacée par celle deprobabilité de présence dans un certain volume;
* l'interprétation ondulatoire de la particule est nécessaire, à chaqueparticule est associé "un paquet d'onde";
* la notion de grandeur physique fait place à une grandeur dont lavaleur ne peut être exactement prévue ou qui ne peut prendre quedes valeurs discrètes.
Nous étudierons donc successivement
• Dans le premier chapitre, quelques expériences de la physique atomique mettant en échec les théories classiques. Nous introduirons la notion de photon, particule associée à la lumière et la notion d'onde associée à la matière. Enfin, nous illustrons sur des exemples le domaine d'utilisation de la mécanique quantique.
• Dans le deuxième chapitre, nous donnerons le formalisme mathématique de la mécanique quantique en se limitant aux notions nécessaires à notre cours.
• Dans le troisième chapitre, nous étudierons les postulats de la mécanique quantique.
• Dans le quatrième chapitre, nous donnerons quelques aspects de la mécanique ondulatoire et nous examinerons en particulier la fonction d'onde, solution de l'équation de Schrödinger;
Chapitre 1
INSUFFISANCES DE LA PHYSIQUE CLASSIQUE
DÉBUT DE LA THÉORIE QUANTIQUE
A/ CORPUSCULES LUMINEUX
1) Le rayonnement du corps noir. Hypothèse de Planck
2) L'effet photoélectrique
3) Le photon
B/ ONDES DE MATIERE
1) Hypothèse de Louis de Broglie. Diffraction de particules matérielles
2) Interprétation probabiliste
C/ PHYSIQUE CLASSIQUE OU PHYSIQUE QUANTIQUE
D/ CONCLUSION
A la fin du siècle dernier, des résultats expérimentaux ont posé de sérieux
problèmes aux physiciens car les théories existantes étaient incapables
de donner une interprétation satisfaisante. Les chercheurs ont été amenés
à émettre des hypothèses révolutionnaires. Nous allons donner quelques
exemples d'échecs de la physique classique, puis des solutions
historiquement proposées
A/ CORPUSCULES LUMINEUX
1) Le rayonnement du corps noir. Hypothèse de Planck
Un corps noir est un système qui absorbe intégralement tout
rayonnement qui frappe sa surface (système idéal). On peut constituer
un corps noir en utilisant une enceinte imperméable aux rayons
lumineux (donc il y fait très noir) porté à une température élevée et on
sait qu'un corps porté à haute température émet un rayonnement
lumineux (transformation de l'énergie calorifique en énergie lumineuse).
Par un orifice percé dans cette enceinte, des radiations lumineuses sont
émises et on peut, à l'aide de dispositifs appropriés, mesurer la densité
d'énergie U(l ,T) de ces radiations dans l'intervalle de longueur d'onde
[l, l+dl] (densité d'énergie "monochromatique") et construire ainsi pour
une valeur fixée T de la température la courbe U=f(l ).
On note expérimentalement que, pour chaque valeur de T, U(l)
passe par un maximum pour une longueur d'onde lm et décroît
rapidement vers les courtes longueur d'onde. Les résultats obtenus se
traduisent par les lois empiriques suivantes:
- La longueur d'onde maximale est inversement proportionnelle à la
température:
lm .T = cte c'est la loi de déplacement de Wien (1896)
- La densité totale d'énergie est proportionnelle à T4; soit :
0 Ul,T dl a T
4 loi de Stefan 1879
Ces lois ne peuvent pas être expliquées par la théorie classique car cette
dernière conduit, pour la densité d'énergie U, à la loi de Rayleigh-Jeans:
U(l,T) = 8p.kT.l-4 , avec k la constante de Boltzmann. On voit donc quecette loi n'est en accord satisfaisant avec l'expérience que pour des
grandes longueurs d'onde (infrarouge et visible) alors que pour les ondes
courtes, elle présente un accroissement monotone et de plus très rapide
en contradiction flagrante avec les courbes et les lois empiriques
précédentes. Cette échec de la théorie classique fut appelé par Ehrenfest
"catastrophe ultraviolette". Il est important de savoir que la loi de Rayleigh-
Jeans est basée sur l'hypothèse classique d'un échange énergétique
continu entre l'énergie calorifique et l'énergie lumineuse.
Pour tenter d'expliquer ce problème, Planck fut amené à proposer le 14
Décembre 1900, l'hypothèse suivante: L'échange d'énergie (calorifique
---> lumineuse) se fait de façon discontinue; autrement dit, l'énergie
lumineuse est émise par paquets ou QUANTA; un quantum possédant
l'énergie E=hn (n=c/l) où h est une nouvelle constante universelle ayantles dimensions d'une action et appelé constante de Planck. La mesure la
plus précise de h est actuellement:
h = (6,626196 ± 0,000006 ) 10-34 J.s
Il faut seulement mais absolument retenir que h 10-34 J.s
Cette hypothèse, jointe aux méthodes de la mécanique statistique, a
permis d'expliquer les résultats relatifs au rayonnement du corps noir,
Planck a montré en effet que densité U(l,T) est de la forme:
U l,T 8phc
l5
1
exp hc
lkT 1
Dans certains cas, il est commode d'exprimer la formule de Planck en fonction
de n et T. Sachant que n=c/l et que U(l,T) dl= U(n,T) dn, on aura
Un,T 8phn3
c3
1
exp hn
kT 1
où le produit kT a les dimensions d'une énergie.
On voit donc que quand l tend vers zéro, U(l,T) tend aussi verszéro, ce qui lève la "catastrophe ultraviolette". On peut aussi remarquer
que pour l très grande on retrouve (par développement limité de lafonction exponentielle) la loi classique de Rayleigh-Jeans. D'une
manière générale, les lois classiques peuvent être considérées comme
limites, dans des conditions données, de lois quantiques.
2) L'effet photoélectrique
C'est l'émission d'électrons par un métal sous l'action d'un
rayonnement électromagnétique. Cet effet fut mis en évidence par Hertz en
1887.
Le dispositif dans lequel l'interaction de la lumière se manifeste par
effet photoélectrique est une cellule photoélectrique. Il s'agit d'une ampoule
vide d'air que l'on a équipée de deux électrodes: l'une est formée d'une
plaque métallique et l'autre d'un fil fin en forme d'anneau afin que les rayons
lumineux puissent atteindre la plaque. On relie ces deux électrodes aux
bornes d'un générateur de telle sorte que la plaque constitue la cathode et le
fil constitue l'anode. un microampèremètre est placé sur le circuit et permet
ainsi de détecter le passage d'un courant électrique.
Le caractère essentiel de l'effet photoélectrique est l'existence d'un
seuil en fréquence: on n'observe le passage du courant électrique que pour
certaines radiations. En termes plus précis:
• si la lumière incidente a une fréquence n supérieure ou égale à une
certaine fréquence ns, le courant électrique circule ce qui signifie que desélectrons sont arrachés de la cathode et sont attirés par l'anode. La
fréquence ns est caractéristique du métal et est indépendante de l'intensité durayonnement incident.
• si la lumière incidente a une fréquence inférieure à ns, il n'y a pas decourant qui circule.
Par ailleurs, on note expérimentalement l'absence d'un seuil de flux
lumineux: on enregistre un courant électrique même pour des valeurs très faibles
du flux lumineux. Ces résultats ne peuvent pas être interprétés par la théorie
classique. En effet, si les électrons ne sortent pas du métal c'est qu'il existe une
barrière d'énergie entre le métal et le vide. On pense qu'alors le courant électrique
est dû à certains électrons qui ont une énergie supérieure à cette barrière, mais la
théorie ondulatoire (théorie classique) impose dès lors que l'énergie des électrons
est proportionnelle à la densité d'énergie électromagnétique c'est à dire au flux
lumineux. On devrait donc obtenir un seuil en flux et non un seuil en fréquence, ce
qui est en contradiction avec les résultats précédents.
C'est Einstein en 1905 qui, reprenant l'hypothèse des quanta de Planck,
donna une interprétation satisfaisante à l'effet photoélectrique. Il postule donc que
les radiations lumineuses sont composées de quanta (grains, paquets, morceaux)
d'énergie.
Un quantum transporte l'énergie E=hn où h est la constante de Planck et n lafréquence de la radiation excitatrice. Quand un quantum "tombe" sur la cathode, il
disparaît et son énergie peut être partagée en deux quantités: une quantité, Ws, est
utilisée pour extraire l'électron du métal (appelée travail d'extraction) et l'autre
quantité est communiquée à l'électron sous forme d'énergie cinétique. La
conservation de l'énergie s'écrit donc:
h n Ws 1
2 m v
2 relation d'Einstein
Nous pouvons poser Ws = hns et dès lors les radiations de fréquence
inférieure à ns ne permettent pas l'extraction de l'électron. Il existe donc
bien un seuil en fréquence. Notons de passage que l'effet
photoélectrique est l'une des méthodes utilisées pour la mesure de la
constante h de Planck.
3) Le photon
Nous avons montré que les résultats des deux expériences
précédentes ne peuvent pas être expliqués par la théorie qui attribue à la
lumière la notion d'onde (théorie ondulatoire de la lumière). Ces résultats ne
peuvent être correctement interprétés qu'en supposant l'existence d'une
particule associée à la lumière que l'on appelle le photon. Le photon est une
particule d'énergie E = h n de masse nulle se déplaçant à la vitesse de la
lumière c et de quantité de mouvement p = h n / c.Ainsi on associe à l'onde électromagnétique, une particule de
caractéristiques (E, p) qui sont liées aux caractéristiques de l'onde (w, k):
E h n h
2p E
p h
2p
c k p k
avec h2p
1,054x 1034
J.s
La lumière possède alors le double aspect ondulatoire-corpusculaire.
Autrement dit, la lumière manifeste des propriétés spécifiques d'une nature
ondulatoire et également des propriétés de nature corpusculaire. Si l'on fait
abstraction de l'une ou de l'autre, on se trouve dans l'impossibilité d'expliquer
l'ensemble des faits expérimentaux observés sur les champs
électromagnétiques. on doit donc admettre que la lumière possède
"simultanément" ces deux natures dont les paramètres caractéristiques sont
reliés par la relation E = ђ qui est la relation de planck Einstein.
B/ ONDES DE MATIÈRE
1)Hypothèse de L. de Broglie. Diffraction de particules matérielles
En 1924 (peu de temps avant la thèse de L.de Broglie), Thomson a observé lors
de la traversée d'une feuille métallique (NaCl) par des électrons, une figure de
diffraction analogue à celle que l'on observe avec les rayons X. Ce phénomène
ne peut pas s'expliquer par la théorie classique qui exclut tout comportement
ondulatoire d'un corpuscule.
Louis de Broglie posa l'hypothèse suivante:
Non seulement la lumière, mais aussi la matière possède le double aspect
ondulatoire-corpusculaire. A toute particule de matière de quantité de
mouvement p = mv est associée une
onde de longueur d'onde l donnée par:
l h
p h est la constante de Planck.
lest appelée longueur d'onde de L. de Broglie.
Par analogie avec le rayonnement lumineux, l'énergie de la particule et
la pulsation (ou la fréquence) de l'onde associée sont liées par la
relation E=ђ w. Cette relation et la relation de L. de Broglie permettent
ainsi de relier les deux aspects ondulatoire et corpusculaire de la
matière.
Remarques:
Pour des objets macroscopiques la longueur d'onde associée est toujours
infime. Une particule de masse 10-5 g se déplaçant à la vitesse v=1cm/s aura une
longueur d'onde de L. de Broglie de l'ordre de 6,6 x10-22 cm ce qui est une
valeur ridiculement petite, de telle sorte que l'aspect ondulatoire de son
mouvement est indécelable. C'est pourquoi les ondes de matière ne sont pas
évidentes en physique macroscopique. Ainsi la physique non quantique
(physique classique ou relativiste) reste une excellente approximation
pour l'étude des mouvements à notre échelle.
2) Interprétation probabiliste
De la même manière que pour le photon, le carré du module de l’amplitude del'onde de L. de Broglie donne la probabilité de présence d'une particule.
Ceci est justifié expérimentalement. En effet, dans l'expérience de diffraction desélectrons on observe (sur plaque photographique) des endroits de noircissementmaximal. Ce sont donc des régions où l'intensité c'est à dire le carré de l'amplitudede l'onde, est maximale. Ces noircissements sont crées par les impacts desélectrons.
Il est donc naturel d'envisager une relation de proportionnalité entre l'intensité del'onde et la densité d'électrons, n.
Si l'on désigne par F l'amplitude de l'onde, son intensité est donnée par IFI2,
soit IFI2 = a . nSi d3P est la probabilité de trouver un électron à l'instant t dans l'élément devolume d3r, on a:
d3P
nombre d' électrons arrivant dans le volume d3r
nombre d' électrons arrivant dans tout l' espace
n . d3r
N
En posant IY I2 = A IF I2 avec A=1/a N (= cte) , on obtient alors:
d3P = IYI2 d3r
et, on dit que IYI2 est une densité de probabilité de présence de la
particule. On voit donc que seule IYI2 (et non Y) a une réalité
physique.
Cette interprétation impose une condition évidente sur la fonction
Y (r,t) : la probabilité de trouver la particule dans tout l'espace est
égale à 1; soit:
IY(r,t)I2 d3r = 1 quelque soit t
C'est la condition de normalisation. En d'autres termes, la fonction Y(r,t) doit
être une fonction bornée dans tout l'espace de façon à ce que l'intégrale
converge; on dit que Y(r,t) est une fonction de carré sommable. De plus Y(r,t)
doit être continue et admettre une dérivée première également continue.
La condition de normalisation exprime donc que la particule est
nécessairement localisée dans une région finie de l'espace, en dehors
de laquelle la densité de probabilité de présence doit être nulle. On
s'attendra donc à ce que l'onde associée à une particule sera
d'étendue limitée spatialement et on pourra à chaque instant définir
IYI2 comme une fonction de la position dans l'espace. Ainsi il sera
possible à partir de cette onde de localiser avec une certaine
probabilité la particule qui lui est associée .
C/ PHYSIQUE CLASSIQUE OU PHYSIQUE QUANTIQUE.
On sait que la mécanique classique, telle que l'on peut la tirer de la loi
fondamentale de la dynamique cesse d'être applicable quand les vitesses
relatives des particules deviennent comparables à la vitesse c
(c=3x108 m/s). Un tel critère est donc basé sur l'existence de la constante
c (constante fondamental de la mécanique relativiste). Par analogie, on
peut formuler un critère pour décider quand on doit appliquer la mécanique
quantique ou quand la théorie classique convient. En effet, la constante h
de Planck va servir à définir la frontière entre les domaines de validité des
théories classique et quantique. Remarquons d'abord que d'après la
relation de Planck-Einstein (E=hn ), h a pour dimensions: (énergie) x
(temps) = [ML2T-1]; de même d'après la relation de L. de Broglie (l=h/p),ha pour dimensions (quantité de mouvement) x (longueur) = [MLT-1 .L].
Ces dimensions ne sont rien d'autres que celles du moment cinétique. Une
telle grandeur physique s'appelle une action et la constante h s'appelle le
quantum (fondamental) d'action. Dans le système S.I., l'unité d'une action
est le Lagrange (L). On a donc:
1 L = 1 Kg . m2.s-1 = 1 J.s = 1034 h
Le critère est le suivant, si dans un système physique une quelconque
grandeur ayant les dimensions d'une action prend une valeur numérique de
l'ordre de celle de la constante de Planck h, le comportement du système
doit être décrit dans le cadre de la mécanique quantique. Si au contraire une
grandeur physique homogène à une action a une valeur très grande par
rapport à h, les théories classiques sont largement suffisantes pour
comprendre les phénomènes qui se produisent. Notons enfin qu'il n'est pas
possible qu'un phénomène physique possède une action très inférieure à h;
si une combinaison de grandeurs physiques conduit à une telle action, cette
combinaison n'a pas de sens physique.
Conclusion générale
Les expériences réalisées depuis la fin du XIXème siècle
posaient de sérieux problèmes aux physiciens et l'essentiel de ces
problèmes peut se résumer ainsi:
-Au point de vue des théories des ondes électromagnétiques,
les phénomènes ondulatoires tels que la diffraction ou les
interférences semblaient exclure toute théorie corpusculaire de la
lumière. Néanmoins des expériences telles que celles que nous
avons présentées dans ce chapitre ont conduit les chercheurs à
inventer un corpuscules lumineux: le photon.
- Au point de vue de la théorie corpusculaire, c'est à dire des
particules telles que l'électron, il est totalement impossible de rendre
compte par les théories classiques du comportement ondulatoire de
particule de matière.
Pour traiter les ondes de matière, on doit renoncer à la
mécanique classique qu'il faut remplacer par la mécanique
quantique.
Cette théorie conduit à:
i) décrire l'état d'une particule par une fonction d'onde, Y(r,t), qui contient
toutes les informations qu'il est possible d'obtenir sur la particule. Cette
notion de fonction d'onde remplace pour la particule la notion classique de
trajectoire dont on déduisait en mécanique classique la position, la vitesse
et l'accélération de la particule à tout instant.
ii) interpréter IY(r,t)I2 comme une densité de probabilité de présence de la
particule à l'instant t. Autrement dit: d3P = IYI2.d3r représente la
probabilité de trouver la particule à l'instant t dans le volume infinitésimal
d3r entourant le point r. Cette physique n'est donc pas déterministe mais,
contrairement à la physique classique, elle est probabiliste. Le caractère
probabiliste de cette théorie impose la condition de normalisation ou plus
généralement la convergence de l’intégrale I:Y(r,t) est dite une fonction
de carré sommable.
I = IY(r,t)I2 d3r
Chapitre 2
LE CADRE MATHÉMATIQUE DE LA
MÉCANIQUE QUANTIQUE
INTRODUCTION
I. ESPACE DES FONCTIONS D'ONDES
II. BASES ORTHONORMÉES. RELATION DE FERMETURE
1) Bases discrètes
2) Bases continues
III. NOTATION DE DIRAC. VECTEUR-KET. VECTEUR-BRA
IV. OPÉRATEURS
1) Définitions
2) Opérateur adjoint
3) Opérateur inverse. Opérateur unitaire
4) Opérateur hermétique
V. RELATIONS D'ORTHONORMALISATION ET DE FERMETURE
EN NOTATION DE DIRAC
VI. VECTEURS PROPRES ET VALEURS PROPRES D'UN OPÉRATEUR
1) Définitions
2) Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres d'un opérateur
VII. OBSERVABLES. THÉOREMES FONDAMENTAUX. E. C. O. C.
INTRODUCTION
Dans le chapitre précédent, nous avons vu que la fonction Y(r,t) qui
décrit l'état d'une particule matérielle à l'instant t doit satisfaire à une condition
qui découle de l'interprétation de IY(r,t)I2 comme représentant une densité de
probabilité (celle de trouver la particule en r à l'instant t). La condition requise
est que Y(r,t) doit faire partie des fonctions de r de carré sommable; c'est à dire
pour lesquelles l'intégrale I:
I = IY(r,t)I2 d3r
ait un sens (intégrale convergente). Les fonctions qui satisfont cette
propriété appartiennent à un espace de Hilbert, dénoté L2, (espace vectoriel
des fonctions de module carré intégrale).
Cependant l'espace L2 est trop vaste pour nos besoins; en
effet, étant donné la signification attribuée à IY(r,t)I2, les
fonctions utilisées doivent posséder des propriétés de
régularités: fonctions partout définies, continues, bornées et
indéfiniment dérivables; (une véritable discontinuité ne
pouvant physiquement être distinguée d'une variation très
rapide sur un domaine de variation de r plus petit que ce qui
est accessible à nos observations). Nous considérons donc
que les fonctions d'onde font partie d'un ensemble F qui
sera un sous-espace de L2.
I.ESPACE F DES FONCTIONS D'ONDE
• L'ensemble des fonctions de carré sommable possède la structure d'un
espace vectoriel:
Si Y(r,t) et F(r,t) à F et l,m des complexes ===> lY(r,t) + mF(r,t) à F c'est à dire que leur combinaison linéaire est aussi de carré
sommable.
• L'espace F est muni d'un produit scalaire:
À tout couple F(r,t) et Y(r,t) appartenant à F, pris dans cet ordre,
correspond un nombre complexe, noté (F,Y) et appelé produit scalaire de
F par Y . Ce nombre vaut par définition:
(F,Y) = F*(r,t) Y(r,t) d3r
où F*(r,t) est l'expression conjuguée de F(r,t).
Ce produit scalaire possède les propriétés suivantes:
- linéarité à droite : (F,lY1 + mY2) = l (F,Y1) + m (F,Y2)
- antilinéarité à gauche : (lF1 +mF2,Y) = l* (F1 ,Y) + m* (F2 ,Y)
- symétrie hermétique: (F,Y) = (Y,F)*.
II. BASES ORTHONORMÉES. RELATIONS DE FERMETURE.
1)Bases discrètes.
Soit un ensemble de fonctions ui ( r ) repérées par un indice i entier ( i =
1,2,3,...). Cet ensemble est dit discontinu ou discret et le note : {ui ( r )} .
• {ui ( r )} est orthonormal si
(ui, uj ) = ui*( r ) uj ( r ) d3r = dij
(où dij est le symbole de Kronecker, égal à 1 si i = j et à 0 si i # j ).
• {ui( r )} constitue une base de F si toute fonction Y( r ) appartenant à F
peut être mise sous la forme d'un développement:
Y( r ) = ci ui ( r )
les ci étant les nombres complexes qui constituent les coordonnées
(ou les composantes) de Y( r ) sur la base des ui ( r ). Il est évident que
ci = (ui, Y).
i
Ce second point peut être exprimé par une relation, dite relation de fermeture,
que l'on peut établir à l'aide de la distribution d de Dirac. Celle-ci peut être
définie par les relations suivantes:
f ( r ') d ( r - r ' ) d3r = f ( r ) et d ( r - r ' ) = 0 si r # r '
d se conduit comme une fonction presque partout nulle sauf en r = r' où elle
n'est pas définie en tant que fonction. C'est donc une distribution qui fait
correspondre à une fonction sa valeur en un point donné.
La fonction Y( r ) peut s'écrire:
Y( r ) = ci ui ( r ) = (ui, Y) ui ( r )
=
i
i
i
d3r ' ui*( r ') Y( r ') ui ( r ) =
d3r ' Y( r ') ui*( r ') ui ( r )i
et, compte tenu de la définition de d, on peut alors identifier
Si ui*( r ') ui ( r )
à la fonction de Dirac : d ( r - r '):
soit :
ui*( r ') ui ( r ) = d ( r - r ') appelée relation de fermeture
Ainsi, un ensemble de fonctions ui ( r ) forme une base orthonormée de
F si les relations suivantes sont satisfaites:
(ui, uj ) = dij relation d'orthonormalisation (en abrégé R.O.)
ui*( r ') ui ( r ) = d ( r - r ') relation de fermeture (en abrégé R.F.)
i
i
Notons enfin que le produit scalaire de F par Y s'écrit:
avec F( r ) = bi ui ( r ) et Y( r ) = cj uj ( r )
(F , Y) = bi*cj d3r ui*( r ) uj ( r ) = bi*cj (ui, uj )
= bi*cj dij
===> (F , Y) = bi*ci .
En particulier (Y , Y) = ci*ci IciI2 ; soit pour Y normée à
l'unité : IciI2 = 1.
i ij
i
i
j
i
i
j
j
i
2) Bases continues.
Plus généralement, nous pouvons choisir pour base un ensemble continu de
fonctions Wa( r ), repérées par un indice continu a. {Wa( r )} est base
orthonormée si:
• ( Wa, Wa' ) = d3r Wa
*( r ) Wa' ( r ) = d(aa') R.O.
• da Wa*( r ') Wa ( r ) = d(r r ') R.F.
(L'intégrale sur apouvant être simple, double ou triple).
Cette dernière relation exprime que toute
fonction Y( r ) peut être développée sur les Wa(r),
soit:
Y(r) = da.c(a) Wa( r )
avec c(a) = ( Wa, Y) = d3r Wa*(r)Y( r ). Le produit scalaire de Fpar Ys'écrit dans ce cas:
(F,Y)= da b*(a) da'c(a') d3rWa*(r)Wa' (r) = da b*(a) da' c(a') d(aa')
===> (F , Y) = da b*(a) c(a)
Exemples:
- L'ensemble des fonctions d'onde planes:
Vp0( r ) = (2pђ )-3/2 ei p0.r / ђ
- L'ensemble des distributions de Dirac:
dr0 ( r ) = d( r - r0)
On montre sans difficultés que chacun de ces ensembles
vérifient
R.O. et R.F. En conséquence, on peut écrire:
On considère les fonctions (px) et Y(x) transformées de
Fourier l'une de l'autre définies par :
(px) = p2
1 Y(x) e
-ipx.x / dx = T.F[Y(x)]
Y(x) = p2
1 (px) e
+ipx.x /dpx = T.F[(px)]
• Pour {Vp0( r )}:
Y(r)= ( p0).Vp0(r)d
3
p0=(2p )-3/2 ( p0)e
i p0.r / d3
p0
avec
( p0) = (Vp0, Y) = (2p )-
3/2 e-i p0.r / Y( r ) d
3
r
( p0) et Y( r ) sont donc transformées de Fourrier l'une de
l'autre.
• Pour {dr0 ( r )}:
Y( r ) = ( r0) dr0 ( r ) d
3
r0 = ( r0) d( r - r0)
d3r0
avec ( r0) = (dr0 , Y) = d( r - r0) Y( r ) d
3
r = Y(r0)
On voit donc sur ce dernier exemple que les composantes ( r0)
de Y( r ) s'identifient toutes à la valeur de la fonction Y au point r0.
III. NOTATION DE DIRAC. VECTEUR - KET. VECTEUR - BRA
Nous avons vu que la fonction d'onde Y( r ) associée à une particule peut aussi
bien être représentée par :
ses "coordonnées" ci sur une base discrète {ui ( r )} appelée
Représentation discrète: [i]
ses "coordonnées" ( p0) sur une base continue {Vp0( r )} appelée
Représentation impulsion: [p0];
ses "coordonnées" Y( r0) sur une base continue {dr0 ( r )} appelée
Représentation position: [r0].
À noter que les représentations [ r0] et [ p0] sont connectées par transformations
de Fourrier.
En mécanique quantique, on utilise la notation IY> pour écrire un vecteur de
l'espace E des états et selon Dirac, le vecteur IY> est appelé un vecteur ket ou tout
simplement un ket (ici ket "psi"). Une représentation étant choisie, le ket IY>
appartenant à E s'écrit sous forme d'une matrice à une colonne:
[i] [ r0] [ p0]
c1 . .
c2 . .
. . .
. Y(r0) (p0)
. . . . . .
IY> ----> . IY> ----> . IY> ----> . . Y(r'0) (p'0)
. . . . . .
. . .
Dans l'espace E, on définit le produit scalaire, IF>, IY>, du ket IF> par le ket
IY> et selon Dirac ce produit s'écrit où la notation = lIY> + mIF>
= (F , Y) = F*( r ) Y( r ) d3r
Effectuons le produit au sens matriciel d'un bra , par
exemple dans la représentation [i] où IF> est représenté par ses composantes
bi et IY> par ses composantes cj:
c1
c2
c3
= (b1*, b2
*, b3*, . . . .) . = Si bi
*ci .
.
.
Ce produit s'identifie au produit scalaire des fonctions d'onde F( r ) par Y( r
). On a donc:
Ce qui justifie que l'on peut transporter toutes les propriétés obtenues pour le
produit scalaire des fonctions d'onde au produit matriciel d'un bra par un ket à
savoir: linéarité à droite pour le ket, antilinéarité à gauche pour le bra et la
symétrie hermétique:
= *.
La notation peut donc s'interpréter comme:
-le produit scalaire dans l'espace F des fonctions d'ondes F( r )
et Y( r ) : (F , Y)
-le produit scalaire du ket IF> par le ket IY>: (IF>, IY>)
-le produit matriciel du bra : .
Le symbole < I > s'appelle "braket" (crochet) d'où l'origine de l'appellation bra
pour la partie gauche < I et ket pour la partie droite I > du symbole.
Dans les exemples précédents des deux bases continues, position et
impulsion, on adopte pour des raisons de simplification d'écriture, la
notation :
Idr0 > Ir
0 > et IVp
0 > Ip
0 >.
Le développement d'un ket IY>s'écrit donc:
dans la base {Ir0 >} : IY>= d
3r
0 Y( r
0) Ir
0 > avec Y( r
0) =
dans la base {Ip0 >} : IY> = d
3p
0 ( p
0) Ip
0 > avec ( p
0) =
De ce point de vue, la fonction Y( r ) elle même s'écrit et peut donc s'interpréter de la façon suivante:
Y( r ) est une composante de IY> dans la représentation position [ r ], appelée aussi représentation de Schrödinger;
ou la projection du vecteur IY>sur le vecteur Ir > de la base {Ir >};
IV. OPÉRATEURS
1)Définitions.
Un opérateur, A, est un être mathématique qui à tout ket IY>
appartenant à E fait correspondre un autre ket If> appartenant à
E. C'est donc une application de E dans E :
IY>--------------------> A IY> = If>.
• A est un opérateur linéaire si:
A ( l IY> + mIF>) = l AIY> + mAIF> l et m sont des complexes.
• Somme : (A + B) IY> = A IY> + B IY>
• Produit : (AB) IY> = A (B IY>)
On conçoit donc que l'action du produit AB sur IY> ne donne pas en général le
même résultat que l'action du produit BA. C'est pourquoi on définit le
commutateur de A et B que le note [A,B] et est égal à AB-BA.
[A,B] = AB-BA
Si [A,B] = 0, on dit que A et B commutent.
• Soient IY> et IF> deux kets appartenant à E, le nombre complexe
est appelé élément de matrice entre IF> et IY>.
• Étant donné une base, un opérateur A est représenté par une matrice
dont les éléments sont:
cas discret : { Iui > } ---> Aijcas continu : {IWa>} ---> A(a,a')
i et a indices ligne; j et a' indices colonne.
2) opérateur adjoint de A.
• soit A un opérateur linéaire agissant sur les éléments de E, on désigne par A+
l'opérateur adjoint de A défini par:
* IF> et IY>E
• Dans une base, la matrice représentant A+ est donc la transposée conjuguée de
la matrice représentant A dans cette base. Par exemple dans {Iui >}:
Aij+ = * Aji*
• Si AIY> = If > ===> < fI = appartenant à E, on a:
= * = * = ===>
Avec la notion de A+, on peut établir l'adjoint d'une
expression quelconque contenant tous les symboles
utilisés en notation de Dirac. Pour cela, il suffit de
remplacer ket IY> par bra
3) Opérateur inverse. Opérateur unitaire
• A-1 est un opérateur inverse de A si AA-1 = A-1A = 1 où 1 est
l'opérateur identité; (opérateur qui ne modifie pas le ket auquel
on l'applique: 1IY> = IY>).
Dans ces conditions, si AIY> = If > alors IY> = A-1If >
( puisque A-1 If > = A-1 AIY> = 1IY> = IY>).
• A est un opérateur unitaire si AA+ = A+A = 1 c'est à dire si son
adjoint coïncide avec son inverse.
Un tel opérateur ne modifie pas le braket, donc la norme d'un
ket.
4) Opérateur hermétique
Un opérateur A est dit hermétique s'il est identique à son adjoint,
soit A = A+ ou encore
* IF> et IY>S E
Exemple:
l'opérateur projecteur P sur l'état I> défini par
P = I >
V. R.O. et R.F. EN NOTATION DE DIRAC
• R.O. Un ensemble discret {Iui >}ou continu {IWa>}est
orthonormé si:
dij et }est base ===>
IY>= Sici Iui>avec ci=
IY>= SiIui>= (SiIui>
par conséquent:
SiIui> }constitue une base:
IY>= da.c(a)IWa>= da IWa>= daIWa> ;
soit:
da IWa>
VI. VECTEURS PROPRES ET VALEURS PROPRES
D'UN OPÉRATEUR
1) Définitions
Soit A un opérateur et IY> un ket. Nous dirons que IY> est vecteur propre
de A si le transformé de IY> par action de A est un vecteur proportionnel à
IY>; soit:
A IY>lIY> létant un nombre à priori complexe).
On dit alors que l est une valeur propre de A et IY> vecteur propre associé
à cette valeur propre l. L'équation A IY> l IY> est appelée équation aux
valeurs propres de A et l'ensemble des valeurs propres constitue ce que l'on
convient d'appeler spectre de l'opérateur A; il peut être soit discret, soit
continu, soit en partie discret et en partie continu. Afin de distinguer entre
les diverses vecteurs propres de A, on utilise un indice n qui affecte aussi les
valeurs propres correspondant et l'équation aux valeurs propres se note:
A IYn>ln IYn>.
Si à une valeur propre donnée ln, correspond un seul ket propre (à un
coefficient de proportionnalité près), ln est dite une valeur propre simple. Si par
contre un nombre gn supérieur à 1 de kets propres linéairement indépendants
(c'est à dire dont aucun ne peut être écrit sous forme d'une combinaison linéaire
des autres) sont associés à la valeur propre ln, on dira que ln est une valeur
propre dégénérée, son ordre de dégénérescence étant égal à gn. Dans ce cas on
rajoute un autre indice, p, pour distinguer entre les différents vecteurs propres
associés à la même valeur propre et l'équation s'écrit donc en général:
A IYn, p >ln IYn, p >
Notons enfin que dans ce cas, on pourra par combinaison linéaire des gn kets
propres linéairement indépendants engendrer tout un sous-espace vectoriel,
de dimension gn, de kets qui sont tous kets propres de A pour la valeur
propre ln. Ce sous-espace, noté En, est dit "sous-espace propre" associé à la
valeur propre ln.
2) Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres d'un opérateur
soit {Iui>} une base orthonormée dans E que nous supposerons de dimension finie
N (i =1,2,3,...,N). Alors tout ket IY> peut s'écrire:
IY> = Si ci Iui> , avec ci=< uiIY> et Si Iui>< uiI=1 (relation de fermeture).
L'opérateur A sera représenté dans cette base par ses éléments de matrice:
< uiI A Iuj > Aij.
L'équation aux valeurs propres est : A IY> l IY>. En la projetant sur les
différents kets Iui> de la base, nous aurons N équations:
l = l ciqui s'écrivent en insérant la relation de fermeture entre A et IY>:
Sj l ci
soit : Sj Aij cj l ci
ou encore : Sj ( Aij l dij cj 0
A11 lA12 A13 ............... A1N
A21 A22 l A23 ............... A2N. .
Dét . . =0
. .
AN1 AN2 AN3 ............... ANN l
Les valeurs propres cherchées sont donc les diverses racines de l'équation
en l (dite "équation caractéristique" ou encore "équation séculaire").
VII. OBSERVABLES. THÉOREMES FONDAMENTAUX. E. C. O. C.
Avant d'introduire de nouvelles notions, il est important de savoir que
l'intérêt des opérateurs hermétiques réside dans les deux propriétés
suivantes:
• Les valeurs propres d'un opérateur hermétique sont toutes réelles:
A hermétique: A IFn> = lnIFn> ===> ln R
• Deux kets propres associés à deux valeurs propres différentes d'un
opérateur hermétique sont orthogonaux:
A hermétique A IFn> = lnIFn>et A IFm> = lmIFm>avec
ln ≠lm ===> = 0
Notons que la seconde propriété ne s'applique pas aux vecteurs propres
IFn,p> correspondant à une même valeur propre dégénérée (p est l'indice
relatif à cette dégénérescence) car en général 0
On considère un système physique dont l'espace des états, à deux dimensions, est
rapporté à la base orthonormée {Iφ1>, Iφ2>} et soit H l'hamiltonien du système,
somme de deux observables : H0 et V, soit : H = H0 + V, tels que :
• H0Iφn> = E0Iφn> (n = 1, 2)
•VIφ1> = a Iφ2> et VIφ2> = a Iφ1> (a est une constante réelle).
•Déterminer les valeurs propres (énergies En) et les kets propres Iϕn> de H.
1) observables.
soient ln et IFn,p> valeur et vecteur propre d'un opérateur A. On dira que
A est une observable si:
i) A est hermétique.
ii) L'ensemble des vecteurs propres IFn,p> de A constituent une base orthonormée
dans l'espace des états.
La condition i) implique que les valeurs propres ln de A sont réelles et la condition
ii) entraîne que les IFn> vérifient les relations:
• d'orthonormalisation = dnmdpq
• de fermeture Sn SpIFn,p>
2) théorèmes fondamentaux.
Considérons deux observables A et B qui commutent, soit
[A,B] = 0.
Nous pouvons énoncer les théorèmes suivants:
• Si IY> est ket propre de A pour la valeur propre a, alors BIY> est
également ket propre de A pour la même valeur propre.
• Si IY> et IF> sont deux kets propres de A asociés à deux valeurs
propres différentes, alors l'élément de matrice est nul.
• [A,B] = 0 A et B ont au moins une base constituée par
des vecteurs propres communs.
3) E. C. O. C.
Soient A, B, ... des observables; on dit qu'elles forment un Ensemble Complet
d’Observables qui Commutent (en abrégé E. C. O. C.) si:
i) A, B,... commutent deux à deux.
ii) La donnée des valeurs propres an, bm, ..., compatibles entre elles, de A, B,...
suffit à déterminer un vecteur propre commun qui est unique, à un facteur
multiplicatif près. Autrement dit, deux vecteurs propres commun à A, B,... n'ont
pas les mêmes valeurs propres, à la fois pour A, B,...
La notion d'observables et celle d'un E. C. O. C. sont très utiles en mécanique
quantique. Comme on le verra par la suite, c'est avec une observable qu'on
représentera une grandeur physique. Les E. C. O. C. permettent en particulier de
connaître l'état d'un système physique après avoir effectuer la mesure d'une
grandeur associée au système.
Chapitre 3
POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
I. CARACTÉRISATION D'UN SYSTEME QUANTIQUE
1) Postulats
2) Conditions quantiques. Règle de symétrisation
II. POSTULATS SUR LA MESURE
1) Principe de "quantification"
2) Principe de décomposition spectrale
3) Principe de réduction du paquet d'ondes
a) Enoncés du principe
b) Compatibilité des grandeurs
III. ÉVOLUTION DANS LE TEMPS DE L'ÉTAT D'UN SYSTEME
1) Postulat
2) Cas du système conservatif
IV. VALEUR MOYENNE D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE
1) Définition
2) Evolution dans le temps. Constante du mouvement
V. THÉOREME DE HEISENBERG
1) Enoncé
2) Applications
a) Relations d'incertitude spatiales
b) Relation d'incertitude temporelle
c) Grandeurs compatibles
I. CARACTÉRISATION D'UN SYSTEME QUANTIQUE
1) Postulats
Pour décrire une particule en mécanique classique, on l'assimile en général à
un point matériel de masse m; son mouvement est déterminé si l'on connaît,
en fonction du temps, le vecteur position r(x,y,z) et le vecteur vitesse
v(x,y,z). Toutes les grandeurs physiques (énergie, moment cinétique...) que
l'on peut associer à la particule s'expriment en fonction de r et v. Une
particule est défini si l'on connaît en particulier son énergie et son impulsion.
Ainsi, en mécanique classique, la connaissance de l'état d'un système
physique est équivalente à la connaissance des grandeurs associées. Cette
équivalence n'a pas de sens en mécanique quantique: on distingue l'état du
système et les grandeurs physiques et on postule:
i) L'état d'un système physique est défini, à un instant t fixe, par la donnée
d'un ket IY(t)> appartenant à l'espace des états E; (espace de Hilbert). Il faut
noter que, comme E est un espace vectoriel, toute combinaison d'états
possibles du système est aussi un état du système (principe de superposition).
Par ailleurs, la normalisation des kets permet une interprétation physique.
ii) Une grandeur physique mesurable A est représentée par une observable A:
opérateur linéaire, hermétique et dont les vecteurs propres forment une base
orthonormée dans E. Cette observable agit sur les éléments IY(t)> de E.
Toute observable ayant un équivalent en mécanique classique se construit à
partir des observables X, Y, Z, Px, Py, Pz (position et impulsion) par la règle de
correspondance:
A (x, y, z, px, py, pz) ------------------> A (X, Y, Z, Px, Py, Pz)
2) Conditions quantiques. Règle de symétrisation
On sait qu'en représentation position, on a:
< r
I X I Y > x < r
I Y > e t < r
I P x I Y > i
x < r
I Y >
O n e n t i r e < r
I X , P x I Y > < r
I i
1 I Y >
soit [X,Px] = i où est l'opérateur identité
De la même façon, on établit: [Y, Py] = [Z, Pz] = i
alors que [X , Y] = [X , Z] = [Y , Z] = 0 et [Px , Py] = [Px, Pz] = [Py , Pz] = 0
Toutes ces relations peuvent s'écrire sous la forme
condensée:
[Rm , Pn] = i dmn
[Rm , Rn] = 0 avec m,n= x,y,z et en posant Rx=X ,
Ry=Y, Rz=Z
[Pm , Pn] = 0
Ces conditions quantiques imposent une règle de
symétrisation. En effet, on a:
xpx = pxx alors que XPx # PxX
De plus XPx (ou PxX) n'est pas un opérateur hermétique
:
II. POSTULATS SUR LA MESURE
1) Principe de "quantification«
Une mesure de la grandeur physique A ne peut donner comme résultat que
l'une des valeurs propres de l'observable A correspondante.
2) Principe de décomposition spectrale
Ce principe donne la règle permettant de calculer la probabilité d'obtenir
telle où telle valeur propre de A. Supposons que le spectre de A est discret,
soit {a1,a2,...an,....} l'ensemble de ses valeurs propres que l'on considère
simples et notons par IFn > le vecteur propre associé à an. Le principe est le
suivant:
La probabilité P(an) d'obtenir an comme résultat de mesure de la grandeur A
représentée par l'observable A est :
P(an) = II2
où IY > est l'état quantique normé du système au moment de la mesure de A
3) Principe de réduction du paquet d'ondes
La mécanique quantique considère que, lorsqu'on fait une mesure, on perturbe
en général le système physique, c'est à dire que l'état quantique du système
n'est plus le même après la mesure qu'avant. Ce principe indique quel serait
l'état du système après la mesure.
Considérons la grandeur A représentée par l'observable A de valeurs propres ansupposées simples et de vecteurs propres IFn> et supposons qu'avant la mesure
le système est dans l'état IY> normé. On postule:
Immédiatement après la mesure, l'état quantique du système est IFn>: vecteur
propre de A associé à la valeur propre an et non plus IY>. (IFn> à un facteur de
proportionnalité près).
III. EVOLUTION DANS LE TEMPS DE L'ÉTAT D'UN SYSTEME
1) Postulat
Connaissant l'état quantique, IY(t0)>, d'un système à un instant t0, l'état de ce
même système à un instant t quelconque (t0 constante
iђd
dtIYt > Ht IYt >
Remarques:
• Si le système est soumis à un champ de force
invariable dans le temps, l‘ hamiltonien est indépendant
du temps: H(t) = H.
• L'équation de Schrödinger est une équation
différentielle du premier ordre en t, la connaissance des
conditions initiales jointe à la résolution de l'équation
permet de déterminer sans ambiguïté l'état quantique
du système à un instant t quelconque à condition qu'on
n'effectue pas de mesure sur le système entre temps.
• Cette équation est linéaire, on vérifie bien que toute
combinaison linéaire est aussi solution de l'équation.
2) Cas du système conservatif
H ne dépend pas explicitement du temps c'est à dire que l'énergie potentielle est
indépendante du temps.
Soient IFn> et En vecteur et valeur propres de l'observable H, donc
H IFn>= En IFn>
H étant une observable ===> IY(t) > Sn cn(t) I Fn>
avec cn(t) = et dnm.
L'équation de Schrödinger s'écrit
iђd
dtncnt IFn > H
n
cnt IFn >
iђn
d
dtcnt IFn >
n
cnt En IFn >
En multipliant à gauche par
En définitif, l'état quantique s'écrit:
IY(t)> Sm cm(t0) e- iE
m(t-t
0)/ђ IFm>
La dépendance en t est alors parfaitement précisée.
Remarque: si à t = t0 on fait une mesure de l'énergie, et si on obtient comme
résultat Ek. Alors, selon le principe de réduction de paquet d'ondes, le système
se trouve après cette mesure dans l'état IFk> soit, pour l'état quantique
complet:
IY(t)> ck(t0) e-iE
k(t-t
0)/ђ IFk>
Toute autre mesure de l'énergie redonnerait avec certitude la valeur Ek.
L'énergie est donc constante au cours du temps et c'est pourquoi l'état
quantique précédent est appelé un état stationnaire. IY(t)> et IFk> ne diffèrent
que par un facteur de phase, ils sont physiquement indiscernables: deux kets
proportionnels représentent le même état physique car ils ne changent aucun
des résultats physiques.
Attention:
eia1IY1>représente le même état que IY1>
eia2IY2>représente le même état que IY2>Mais
IY> l1IY1> l2IY2> ne décrit pas le même état que IF>
l1eia
1IY1> l2eia
2IY2>
sauf si a1= a2+ 2np ,(n entier) car dans ce cas, on aura :
IF> eia1(l1IY1> l2IY2> eia
1IY> décrivant le même état
que IY>.
Donc un facteur de phase n'affecte pas les prédictions physiques
mais les phases relatives des coefficients d'un développement sont
significatives.
IV.VALEUR MOYENNE D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE
La mécanique quantique confère une description probabiliste à un système physique.
Il en résulte que lorsqu'un système est dans un état et que l'on effectue sur ce système
la mesure d'une grandeur A qui lui est associée, le résultat ne peut être prévu
exactement. Les seuls résultats possibles sont les valeurs propres de l'observable A
représentant la grandeur A.
Supposons que le spectre de A est discret et notons par IFn> le vecteur propre de A
associé à la valeur propre an:
une 1ère mesure de A donne a1 avec la probabilité:
P(a1) = II2
une 2ème mesure de A donne a2 avec la probabilité
P(a2) = II2
la nème mesure de A donne an avec la probabilité P(an) =I< Fn I Y >I2
En statistique la valeur moyenne de la grandeur A est définie par:
= Sn P(an) an
En utilisant le postulat de décomposition spectrale, on aura:
= Sn I< Fn I Y >I2 an = Sn < Y I Fn >< Fn I Y > an
= < Y ISn anFn >< Fn I Y > = < Y ISn A IFn >< Fn I Y >
< Y I A (Sn Fn >< Fn ) I Y >
Comme Sn IFn>
Par exemple, pour un système conservatif, la valeur moyenne de l'énergie est
simplement égale à la valeur propre de l'opérateur hamiltionien associé au
système:
En En
Remarque:
Dans le cas où le spectre de A est continu, on montre que la valeur moyenne
de A est toujours donnée par . (Pour cela, il suffit de faire
intervenir la densité de probabilité)
Enfin, comme en statistique, la dispersion des résultats est caractérisée par
l'écart quadratique DA moyen tel que:
(DA)2 = = 2 (2
Plus DA est faible, meilleure sera la précision de la mesure. Pour la position
par exemple, plus Dx est faible meilleure sera la localisation de la particule.
Evolution dans le temps. Constante du mouvement
Considérons une grandeur physique A et soit A l'observable
correspondante. La vitesse de variation pendant le temps dt de la
valeur moyenne de A est :
tdt t
dt
d
dt
d
dt
En utilisant l'équation de Schrödinger, on établit sans difficultés que:
d
dt
1
ih
En particulier, dans le cas où A est indépendante du temps, la vitesse de
variation dans le temps de la valeur moyenne de la grandeur A s'identifie
(au coefficient 1/i près) à la valeur moyenne de l'opérateur [A,H].
Remarque:
A est dite constante de mouvement si:
• A ne dépend pas explicitement du temps A
t 0
• A,H 0
alors d
dt 0 n' évolue pas quelque soit l' état du système.
V. THÉOREME DE HEISENBERG
1)Énoncé
Le produit des écarts quadratiques moyens de deux grandeurs physiques A et
B est au minimum égal à la moitié du module de la valeur moyenne, dans un
état quelconque normé, du commutateur correspondant; soit :
DA . DB 1
2
2) Applications
a)Relations d'incertitude spatiales
Prenons A = x et B = px ===> A = X et B = Px
Or on sait que [X,Px] = iђ1 donc:
D x . D px ≥ ђ ∕ 2
De même pour les autres composantes on aura :
Dy . D py ≥ ђ ∕ 2 et D z . D pz ≥ ђ ∕ 2
Les trois inégalités constituent ce que l'on convient d'appeler les
relations d'incertitude spatiales de Heisenberg.
Ces relations affirment que l'on ne peut pas connaître en même
temps avec une grande précision la position et l'impulsion de la
particule c'est à dire si l'on affine le résultat de la précision d'une
mesure de la position, c'est au détriment de la mesure de
l'impulsion et inversement.
b) relation d'incertitude temporelle (ou la 4ème relation d'incertitude)
Posons B = H hamiltonien du système => (D H)2= - 2 = (DE)2.
L'application du théorème de Heisenberg donne:
DA . D E 1/2 I I (*)
Or nous avons établi que :
soit pour une grandeur ne dépendant pas explicitement du temps:
d
dt
1
iђ< YI A,H IY>
< Y I A ,H IY > iђd
d t iђ
d
d t
En portant dans (*) et en posant t = dt(DA/d), grandeur
homogène à un temps, on obtient :
DE . t≥ ђ / 2
C'est la relation d'incertitude temporelle de Heisenberg
Cette nouvelle inégalité relie l'extension en énergie d'un système à
sa durée d'évolution caractéristique. Le contenu totalement nouveau
par rapport à la physique classique réside en l'impossibilité d'avoir
une valeur unique bien déterminée de l'énergie d'un système, même
isolé, à tout instant.
MÉCANIQUE
ONDULATOIRE
OU
MÉCANIQUE QUANTIQUE
DE
SCHRÖDINGER
INTRODUCTION
I.ÉQUATION DE SCHRÖDINGER
1)Cas d'un système libre (non relativiste)
2) Cas d'un système soumis à des forces dérivant d'un potentiel
3) cas du système conservatif. Etats stationnaires
II. PAQUETS D'ONDES
1)Onde associée à une particule
2) Inégalités spectrales
3) Déplacement du paquet d'ondes. vitesse de groupe
INTRODUCTION
Selon le premier principe de la mécanique quantique, l'état d'un système
physique est décrit par un vecteur ket IY> appartenant à l'espace des états E. Ce
vecteur est caractérisé par ses composantes dans une base donnée, on dit aussi
dans une représentation donnée. La mécanique quantique formulée dans la
représentation position {Ir >} constitue la mécanique ondulatoire dite aussi la
mécanique quantique de Schrödinger.
Dans cette représentation, on sait qu'un ket IY> a pour composantes: < rIY> =
Y(r). Ainsi, en mécanique ondulatoire, l'état d'un système est décrit par une
fonction d'onde Y(r); (fonction de carré sommable).
I. ÉQUATION DE SCHRÖDINGER
On sait que l'évolution dans le temps de l'état d'un système est
régi par:
iђ
tIYt > Ht IYt >
1)cas d'un système libre (non relativiste):
La grandeur classique associée à l'énergie d'une particule libre
(fonction de Hamilton) est: H = p2/2m. Sachant que, d'après le principe
de correspondance (P.C), la grandeur impulsion p est représentée par
l'observable P, alors H sera représentée par l'observable H = P2/2m.
Dans ce cas, l'équation ci-dessus s'écrit en représentation position:
< r
I iђ
tIYt > < r
IP
2
2mIYt > iђ
t< r
IYt > 1
2m< r
I P2
IYt >
avec < r
I P
IYt > iђ
< r
IYt > et < r
IYt > Y r
,t
iђ
tY r
,t h
2
2mDY r
,t
C'est l'équation de Schrödinger d'un système libre dépendant du temps
2) Cas d'un système soumis à des forces dérivant d'un potentiel U(r,t)
À la grandeur physique U(r,t) on fait correspondre, en mécanique quantique,
l'observable U (R,t); soit :
H(t) = P2 / 2m + U (R,t)
iђ
tY r
,t < r
IP
2
2mIYt > < r
IUR
,t IYt >
on sait que R
I r
> r
I r
> et UR
I r
> U r
I r
> avec UR
hermitique
iђ
tY r
,t ђ
2
2mDY r
,t U r
,t Y r
,t
soit iђ
tY r
,t
ђ2
2mD U r
,t
Y r
,t Ht Y r
,t
3) cas du système conservatif. États stationnaires
Pour un tel système: U ( r ,t) = U ( r )
iђ
tY r
,t h
2
2mD Y r
,t U r
Y r
,t 1
Cherchons une solution de la forme Y ( r ,t) = F ( r ).f(t)
tY r
,t F r
. d
dtft et D Y r
,t ft . DF r
portons dans (1) et divisons par F (r).f(t), on aura:
iђ1
f
d f
d t
ђ2
2 m
D F r
F r
U r
L'égalité n'est possible que si chacun des membres est égal à une
constante A
iђ1
f
df
dt A
df
f
i
ђA dt ft Ct0 e
i
ђA t t0
Le rapport A/ђ est donc homogène à l'inverse d'un temps; or [h] =
[énergie] x [temps], on en déduit que A est homogène à une énergie et on pose A
= E
ђ
2
2m
DFr
Fr
Ur
E ђ
2
2mDFr
Ur
Fr
EFr
2
C'est l'équation de Schrödinger indépendante du temps
La fonction d'onde totale s'écrit donc:
Y( r ,t) = C(t0) e -i E (t - t0) / ђ F(r)
Avec F (r) solution de l'équation (2) qui est une équation aux valeurs
propres de l'opérateur:
H ђ
2
2mD U r
F( r ) est donc fonction propre de H associée à la valeur propre E :
H F( r ) = E F( r )
Dans la mesure où l'on recherche des solutions qui soit de carré sommable,
on s'attend à ce que de telles solution n'existent pas pour toutes les valeurs
de E. Le spectre des valeurs propres qui conduisent à des fonctions d'onde
normées est, dans beaucoup de systèmes, discret. Ce résultat est à l'origine
de la quantification de l'énergie.
Par ailleurs IY(r,t)I2 = IF(r)I2 (car E est une quantité réelle); la densité de
probabilité de présence de la particule est indépendante du temps. pour cette
raison Y( r ,t) décrit un état stationnaire.
1) Afin de distinguer entre les diverses fonctions propres de H, on utilise,
comme il a été déjà signalé, un indice n qui affectera aussi les valeurs propres
:
H Fn ( r ) = En Fn ( r )
===> Yn ( r ,t) = Cn(t0) e-i E
n(t - t
0) / ђ Fn ( r )
2) Comme H est un opérateur linéaire, toute fonction de la forme:
Y( r ,t) = Sn Cn(t0) e-i En (t - t
0) / ђ Fn ( r )
est aussi solution de l'équation de Schrödinger générale (1).
3) Il est facile de retrouver l'expression générale de Y( r ,t) en partant
directement de celle du ket que nous avons établie dans le chapitre 3.
En effet, nous avons obtenu:
IY(t) > = Sn Cn(t0) e-i E
n(t - t
0) / ђ IFn > soit en projetant sur Ir >
< r I Y(t) >= Sn Cn(t0) e -i E
n(t - t
0) / ђ
===> Y( r ,t) = Sn Cn(t0) e -i E
n(t - t
0) / ђ Fn ( r )
Nous allons ici donner une forme explicite de la fonction d'onde représentant un
système matériel et en déduire les relations d'incertitude d'Heisenberg.
1)Onde associée à une particule
Considérons une particule libre de masse m. On lui attribue une impulsion p et
elle possède au moins classiquement, une énergie purement cinétique p2/2m. En
suivant les idées de L. de Broglie, on va associer à cette particule une onde de
vecteur d'onde k = p / ђ et de pulsation = E / ђ; Cette onde sera représentée par:
Y( r ,t) = C exp i [ p . r - E (p) t ] / ђ = C exp i [ k . r - (k) t ]
II. PAQUETS D'ONDES
Il est clair que l'on doit associer à la particule une onde d'étendue limité
spatialement. Une telle onde est obtenue mathématiquement par superposition
d'ondes planes monochromatiques chacune est caractérisée par son vecteur
d'onde k et sa pulsation ; on lui donne couramment le nom de paquet
d'ondes. Il s'écrit:
Y( r ,t) = d3k g( k ) exp i [ k . r - (k) t ]
où g(k) est une fonction, à priori complexe, ne présentant de valeurs
notables que dans un intervalle relativement étroit centré autour d'une
valeur k0 et est pratiquement nulle en dehors de cet intervalle
a)relations d'incertitude spatiales.
Posant g(k) exp[- i (k) t] = G(k ,t), le paquet d'onde peut s'écrire:
Y( r ,t) = d3k G( k ,t) exp i [ k . r ]
et, on peut remarquer que les fonctions Y(r,t) et G(k,t) sont transformées
de Fourrier l'une de l'autre. Dans ces conditions, il est bien établi que
quand IG(k,t)I ne prend de valeurs appréciables que si k est voisin de k0alors IY(r,t)I ne prend aussi à son tour de valeurs appréciables que si r est
voisin de r0; la valeur de r0 dépend de k0 et les voisinages Dk de k0 et Dr de
r0 sont étroitement lié. On montre par exemple que si (à une dimension) Dx
est l'étendue de Y(x,t) et Dkx celui de G(k,t), plus Dk.x est étroit, plus Dx est
étalé et ceci s'exprime par la relation dite inégalité spectrale spatiale:
Dx . Dkx ≥ 1 / 2
1/2
Cette inégalité jointe à la relation de L.de Broglie
px = ђkx donne ce que l'on convient d'appeler relation
"d'incertitude" spatiale de Heisenberg:
Dx . Dpx ђ/ 2
Dans un espace à 3 dimensions, rapporté à des axes
rectangulaires, on aurait:
Dx . Dpx ђ/2 Dy. Dpy ђ /2 Dz . Dpz ђ/2
dont le sens physique a été discuté au chapitre
précédent.
3) Déplacement du paquet d'ondes. Vitesse de groupe.
Plaçons nous dans le cas où seule la variable x intervient et considérons une onde
caractérisée par le facteur oscillant exp i(k.x - t). Elle se déplace sur l'axe des x
avec la vitesse v appelée vitesse de phase et est définie par:
v
k
Pour une onde électromagnétique se propageant dans le vide, on sait que =kc; par
conséquent vest indépendante de k et égale à c. Il en est de même pour un
ensemble composé d'ondes électromagnétiques, toutes se déplacent la vitesse c. Par
contre, dans un milieu dispersif la situation est différente car v= c/n(l) où n(l) est
l'indice du milieu qui varie avec la longueur d'onde l donc avec le vecteur d'onde k
(IkI= 2pl).