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A LA DÉCOUVERTE DES NOMBRES DE BERNOULLI
Par
Cardoso Filipe, Hublet Magali, Petit Elise & Soares Francisco
Dédra-math-isons, 22 avril 09
Collège Saint-Michel Professeur responsable : M. Bolly
QUESTION DE DÉPART On peut montrer que :
Peut-on écrire
Sous forme d’un polynôme
En clair, comment arriver à ces coefficients
SOMME DES N PREMIERS ENTIERS
Posons l’égalité
Si on remplace successivement X par 1, 2,…, n
…
+ __________________________________
SOMME DES N PREMIERS CARRÉS
Par la même méthode, on arrive à :
SOMME DES N PREMIERS CUBES
Pour
On obtient :
TRIANGLE DE PASCAL
BINOME DE NEWTON
On veut généraliser le produit suivant :
Pour ce faire, observons les résultats quand n vaut 1,2,3,…
Coefficients des termes = suite des nombres du triangle de Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Suite de termes de type (n et p entiers naturels) :
ET
= terme ligne n colonne p
On arrive donc à :
Grâce à la méthode vue précédemment, on obtient :
En changeant légèrement le tableau, on a :
Première observation:
(pour k ≥ 1 car un terme en k = 1)
Donc, coefficient =
Coefficient = ?
Liste des coefficients pour :
En multipliant par 6, on obtient:
3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36
On les retrouve dans le triangle de Pascal :
k+1/ p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
On peut écrire les coefficients sous la forme :
On obtient donc, pour k 2 :
Le coefficient pour est nul pour tous les polynômes de la liste.
Liste des coefficients de pour :
En multipliant par 30, on obtient :
On obtient :
Il existerait donc une suite de nombres particuliers :
Les sont appelés « Nombres de Faulhaber »
On peut déjà généraliser :
Comment calculer ?
En posant n = 1 dans la formule de Faulhaber, on a :
On obtient alors :
Grâce à cette relation fondamentale, on dispose d’une série d’équations que l’on peut résoudre successivement.
Introduisons la série génératrice exponentielle des nombres de Faulhaber
D’autre part,
La relation suivante peut donc être vérifiée :
Euler introduit une autre série génératrice :
Coefficients = Nombres de Bernoulli
Etablissons une relation entre les nombres de Bernoulli et ceux de Faulhaber.
En comparant les coefficients de B(-x) et de F(x) :
Les premiers nombres de Bernoulli sont donc les suivants :
On peut donc généraliser la somme des n premières puissances d’entiers à l’aide des nombres de Bernoulli.
( Rappelons que )
Nous sommes à présent capables de répondre à notre question défi initiale…
Donc :
On peut donc écrire ce polynôme de la manière suivante :
Et nous sommes tous très contents !
