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A LA RECHERCHE D’UNE COHERENCE ENTRE GEOMETRIE DE L’ECOLE ET GEOMETRIE DU COLLEGE

Catherine HOUDEMENTIrem de Rouen

REPERES - IREM. N° 67 - avril 2007

te tenu du fait que simultanément, (et très cou-ramment dans les classes antérieures), sontproposés des exercices où il leur est deman-dé de réaliser effectivement des construc-tions : tracer des droites parallèles, construi-re un carré de côté 5 cm, bref produire desdessins à partir de mesures et en utilisant desinstruments ?

A quoi servent donc les constructions sielles ne font pas avancer vers la “vérité géo-métrique” ?

Imaginons des élèves s’attelant à l’une desdeux consignes, tracer des droites parallèlesou construire un carré. Si on respecte les

I. Introduction

Dans nos discours de professeurs, relayéspar certains manuels de collège, on trouve expli-citée cette ‘règle’ ou son équivalent, pour ini-tier à la démonstration : « Une constatationou des mesures sur un dessin ne suffisent paspour prouver qu’un énoncé de géométrie est vrai »(Triangle 5ème Hatier 2001 page 127, Triangle4ème Hatier 2002 page 94…) ; « L’utilisationdes instruments permet seulement de se faireune idée, plus ou moins juste, de certainespropriétés d’une figure… » (Maths 5ème Cinqsur Cinq Hachette 2000 page 135, Maths4ème Cinq sur Cinq Hachette 2002 page 9)…Cette ‘règle’ est bien sûr vraie dans le contex-te des mathématiques théoriques, mais com-ment les élèves peuvent ils l’intégrer, comp-

Résumé : L’article se propose de revisiter la dualité « géométrie pratique /géométrie théorique »,qui marque le début du collège, mais en réalité toute la scolarité obligatoire. Partant de l’ana-lyse d’un malentendu en formation des maîtres (aussi usuel au collège) entre attente du pro-fesseur et réponse d’étudiants ou d’élèves, il met en évidence d’une part la co-existence de deuxParadigmes Géométriques cohérents, tous deux propices à du raisonnement, d’autre part la dif-ficulté, pour l’étudiant ou l’élève, de choisir un paradigme adapté. Il étaye l’hypothèse qu’uneconnaissance explicite par les professeurs, mais aussi par les étudiants et les élèves, des para-digmes en jeu dans l’activité géométrique, réduirait les malentendus. Enfin il propose la notiond’Espace de Travail Géométrique pour modéliser les interactions entre objets, artefacts etparadigmes en jeu dans une activité géométrique et permettre d’analyser les positions respec-tives des élèves et du professeur, notamment sous l’influence des curricula.


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adages précités (en italique), on ne devrait paspouvoir affirmer, une fois le dessin fait conve-nablement et à partir du seul dessin, que lesdroites sont parallèles ou l’objet visible un carré.Alors que dire ? Et comment faire la différenceavec l’élève qui a dessiné, pour la consigne« parallèles », des lignes droites visiblementconcourantes ? Existerait-il des « droites »plus parallèles que d’autres ? Des carrés« plus » carrés ?

Autre exemple : pour convaincre les élèvesde la non existence du triangle dont trois lon-gueurs devraient être 12 cm, 7 cm et 3 cm, ilest usuel que le professeur demande un tracéqui se révèle impossible : l’élève comprend ledessin comme la preuve de la non existencede ce triangle. Mais on sait que si les longueursimposées sont 10, 7 et 3 cm, des élèves réus-sissent à tracer de tels triangles (non aplatis) :et là le professeur refuse le dessin commepreuve d’existence, certifie l’alignement endonnant la priorité à l’égalité numérique.Existerait-il donc des dessins « légaux » etd’autres « illégaux », au regard de la loi mathé-matique ?

Les professeurs savent qu’il s’agit dechangements de regard sur les dessins que deschercheurs antérieurs ont déjà étudiés : la dis-tinction dessin -figure (Arsac et Parzysz dès1989), domaine de fonctionnement versusdomaine d’interprétation attachés à une figu-re (Laborde-Capponi 1994)…

Mais la question est alors comment savoir(et enseigner) quel regard est licite à quelmoment ? Dans quel but ?

Ce sont des questions de ce type qui nousont engagés (Houdement-Kuzniak 1999, 2000,2003, Parzysz 2002) dans la recherche d’uneinterprétation de la géométrie élémentaire,

plus exactement des pratiques de géométrieélémentaire dans l’enseignement, mais aussidans l’histoire.

II. — L’apport de L’aube des mathématiques grecques

Les épistémologues de la géométrie consi-dèrent que la première rupture dans laconstruction de la Géométrie est liée au pre-mier traité de géométrie qui nous est parve-nu, les Éléments d’Euclide (vers 300 avant J.C.) :de pratique de l’espace, la géométrie se trans-forme en théorie de la rationalité. On connaîtla pérennité et la puissance de ces fonde-ments de la géométrie, puisque la seconderupture, l’émergence des géométries non eucli-diennes, n’intervient qu’au XIXème et conduità une vision structuraliste de la géométrie. C’estla première rupture qui a à voir avec notre ques-tion de départ.

Szabó, dans un ouvrage récent, L’aube desmathématiques grecques, affine et reprendun certain nombre de thèses qu’il avait déjàlivrées sur la période qui s’étend de 600 à300 avant J.C. Il insiste sur l’origine préeuclidienne de la géométrie, par les velléitésde faire avancer l’astronomie, l’architecture,de généraliser les techniques d’arpentage.Mais cette généralisation n’a pas été immé-diatement théorique : chez les Grecs « voirconcrètement » a joué longtemps le rôle de preu-ve (Szabó 1993 page 246), porté en cela parl’origine grecque du mot dé-montrer. Puis,une inflexion décisive, visible dans les Élémentsd’Euclide, mais déjà présente chez Platon, aconsisté à refuser la vérification visuelle, letémoignage des sens, l’évidence intuitive : ils’est agi de ne plus « faire voir » les relationsmathématiques. Szabó se pose la questionde l’origine de cette inflexion radicale. Il fait


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l’hypothèse que cette rupture est née, nonpas d’une nécessité intrinsèque à la géomé-trie (géo-métrie, mesure de la terre), commepar exemple, étendre la prévisibilité ou lacertitude de propositions géométriques, maisde l’apparition de nouvelles techniques depreuve, comme la démonstration « apago-gique », connue plus communément sous le nomde « réduction à l’absurde » (Szabó 1993 page254). Auparavant la démonstration « syn-thétique » envisageait la conclusion cher-chée comme la conséquence de propositionsreconnues vraies, donc pouvait s’appuyer surdes énoncés issus d’observations ou d’expé-rimentations effectives. Par contre la démons-tration « apagogique » ne peut être que dudomaine de la pensée, dans la mesure où l’ondémontre que le contraire de la propositionétudiée contredit une hypothèse prise commefondement. Avant Platon, les mathématiquesempiriques et fondées sur l’induction n’avaientpas besoin de réduction à l’absurde et ladémonstration « synthétique » pouvait s’appuyersur le visible. L’introduction de la « réductionà l’absurde » nécessite de travailler sur desobjets idéels ; il en résulte un changementd’objets d’étude.

Cette hypothèse a le mérite de donner uneorigine aux deux fonctions qui sont généralementassignées à la géométrie, dans l’histoire et dansl’enseignement : d’une part science de l’espa-ce, d’autre part théorie déductive. Elle confor-te l’idée d’une influence extérieure à l’étudede l’espace, mais inhérente aux mathéma-tiques, c’est-à-dire nécessaire à un moment deleur développement. Il semble ainsi qu’elle« transforme» la géométrie, à ses débuts théo-rie physique de l’espace, en mathématiques,contribuant simultanément à construire cesmathématiques, par l’injection d’une « dia-lectique » spécifique sur des thèmes à l’époqued’abord pratiques.

Comment, au XXIè siècle, notammentdans une perspective d’enseignement, ne passpolier la géométrie de ses deux parties : phy-sique et mathématique ? Comment interpré-ter la géométrie élémentaire pour mettre encohérence des pratiques qui, par moment, serévèlent incommensurables ?

III.— Le dilemme des futurs enseignants

Pourquoi parler de pratiques incom-mensurables ? Notre fonction de formateur nousentraîne à rencontrer des pensées d’adultesque nous ne pouvons simplement rejeter sousprétexte qu’elles ne respecteraient pas unenorme, des règles d’origines mal connues ouune fonction mal comprise.

Prenons l’exemple d’Amélie, futur pro-fesseur des écoles. Nous reconnaîtrons danssa réponse un type de « confusion » assezcommune dans les copies d’élèves de collège.

Tracez à la règle et au compas un triangleT dont les longueurs des côtés mesurent encm : 3, 5 et 7. Est-ce un triangle rectangle ?Justifiez.


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Amélie ne se contente pas de l’évidence(grâce à l’œil, pas d’angle droit) ou d’une expé-rience instrumentale (grâce à l’équerre, pasd’angle droit), ce qu’elle serait en droit d’attendrede ses futurs élèves de l’école primaire. Ellecherche à prouver la validité de sa réponse enexhibant des connaissances géométriques,exhibition qu’elle sait attendue du profes-seur. Mais sa preuve ne revêt pas les carac-téristiques attendues des démonstrations decollège, dans la mesure où elle s’appuie surle dessin effectué.

Pour les objets soumis à l’évidence, cetexemple tend à montrer que ce qui est en jeudans les problèmes de géométrie du collège n’estpas la nécessité de la preuve, mais l’obligationdu caractère plus ou moins formel de cette preu-ve. Il faut donc créer un lieu, des mots, un espa-ce pour l’élève et l’enseignant afin de différencierdes preuves, reconnaître leurs qualités etleurs manques vis-à-vis d’un contrat de for-malisme institué par les programmes. Cetespace doit mettre en cohérence des pratiquesgéométriques anciennes (telles celles de l’écoleprimaire) et une approche plus théorique quine s’appuie (presque) plus sur la figure, maisne s’en libère pas pour autant.

IV. — Nos sources pour l’interprétation de la géométrie

Nous développons un cadre théorique quiprend en charge cette complexité, notammenten définissant des espaces où chaque raison-nement, qu’il soit de nature physique ou théo-rique devient licite. Ce cadre repose sur unevision de la géométrie élémentaire constituéede trois paradigmes, fortement inspirée de Gon-seth (1945-1955). Expliquons d’abord la per-tinence de ce mot paradigme pour notre sujet. Selon Kuhn (1970), un paradigme est composé

d’une théorie qui guide l’observation, deméthodes et de critères de jugement qui per-mettent la production de nouvelles connais-sances. Un paradigme est ainsi lié à une com-munauté : le travail du scientifique est guidépar le paradigme dans lequel il travaille, leparadigme est « ce que partagent ses membres[un groupe particulier de spécialistes] quiexplique la relative plénitude des communicationssur le plan professionnel et la relative unani-mité des jugements professionnels » (Kuhn1970, page 248). La notion même de paradigmeest pour Kuhn constitutive de la science : « lascience doit contenir en elle un moyen derompre avec un paradigme pour passer à unautre, meilleur que le premier » (Chalmers1982 explicitant Kuhn, page 164), mais simul-tanément l’abandon d’un paradigme au pro-fit d’un autre ne peut se faire de façon logique :selon Kuhn les paradigmes sont incommen-surables.

Dans sa postface de 1969, Kuhn enrichitcette notion de paradigmes en y intégrantl’idée de problèmes (Kuhn 1970 page 255) : lacompréhension d’un paradigme et de ses loispar un étudiant ne peut se réaliser qu’à tra-vers la résolution de problèmes normaux oùcelui-ci va construire des analogies, va acqué-rir « une manière de voir autorisée par le grou-pe et éprouvée par le temps » (Kuhn 1970page 258)

Revenons sur la géométrie élémentaire.Nous l’envisageons, à la suite de Gonseth,composée de trois paradigmes : la GéométrieNaturelle (ou Géométrie I), la GéométrieAxiomatique Naturelle (ou Géométrie II), laGéométrie Axiomatique Formaliste (ou Géo-métrie III).

Ajoutons une précision essentielle : nousavons conservé la terminologie de Gonseth, bien


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que le qualificatif de Naturelle prête à confu-sion. En effet rien n’est « naturel », les para-digmes que nous considérons concernent desobjets déjà modélisés (traces graphiques surle papier, maquettes de solides...), nous tra-vaillons déjà en aval des problèmes spatiaux(au sens de Berthelot- Salin 2000), de la proto-géométrie (Parzysz 2002).

Nous essayons de préciser les objets, lesméthodes et les problèmes qui définissentchacun de ces paradigmes.

V. — Les paradigmes géométriques

V.1 La Géométrie I

Les objets de la Géométrie I sont desobjets matériels, traces graphiques sur lepapier ou traces virtuelles sur l’écran d’ordi-nateur, ou encore maquettes d’objets de l’envi-ronnement. Ce sont des épures au sens que luidonne Chevallard (1991).

Dans les pratiques usuelles, ce sont sou-vent des objets du micro-espace (Berthelot,Salin 2000) sensés représenter, dans un espa-ce petit et propice à des contrôles, des objetsréels plus grands ou plus complexes. Ils sontdonc le fruit d’une première modélisation mêmedes plus élémentaires : le trait tracé à la règlerefuse les aspérités, le cercle tracé au compasest le produit d’une activité instrumentéereprésentant le « rond ». Ce sont des produc-tions commodes notamment pour la repro-duction et la description : le cercle est ainsi pluscommode que l’ellipse, pourtant souvent meilleu-re image du « rond ». C’est dans ce sens qu’ilfaut comprendre le qualificatif de Naturelle.

« Une figure est ce à quoi l’esprit réduit uncorps quand il en fait l’étude au point de vue

purement géométrique » Charles Méray (1903)cité par Fourrey (1907). L’esprit n’est pas absentde cette Géométrie I, même si les objets sontmatériels et proches de la réalité.

Les objets ne sont déjà plus aussi uniquesque leurs traces matérielles : ils sont déjà lefruit d’une première classification, par lechoix des mots (comme tout processus denominalisation) : quadrilatères, carrés, rec-tangles…. Ce sont déjà pour certains en par-tie des objets mentaux : un trait droit sur lepapier, s’il est nommé droite, doit être pensécomme un rectiligne droit illimité, infini….

Pour les problèmes de cette Géométrie, ilest normal (au sens de problèmes normaux deKuhn) de s’intéresser à un moment donné àdes traces spatio-graphiques ou des maquettes,soit qu’elles sont données comme point dedépart, soit que le résolveur est conduit ou prendla décision de les construire. Les techniques(Chevallard 1999) s’appuient sur l’utilisationdes instruments dits usuels de géométrie(règle graduée ou non, équerre, compas, rap-porteur), mais aussi sur le pliage, le découpage,le calque… Les tâches peuvent être préciséespar le choix des instruments autorisés : c’estainsi que le mesurage est une technique lici-te et courante en Géométrie I, mais il existeaussi des problèmes résolubles en Géomé-trie I sans mesurage (Duval 2005 ; Keskes-sa, Perrin, Delplace 2007). L’expérience usuel-le dans ce paradigme est le dessin instrumenté.

Les modes d’accès aux connaissances fontappel à l’intuition, comme la reconnaissanceperceptive de certains dessins (c’est un carréje le vois), à l’expérience, notamment liée à desinstruments (c’est un carré, il a 4 angles droitsconstatés avec l’équerre et 4 côtés de mêmelongueur, vérifiés avec la règle graduée ou lecompas ou ...), mais aussi au raisonnement :


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notamment dans la faculté de mobiliser desconnaissances non convoquées pour en dédui-re des nouvelles. La validation reste empirique,par confrontation à la réalité et par jugementde cette adéquation.

Il serait faux de croire que cette géomé-trie est vide de raisonnements. Par exempledans la reproduction de dessins ci-dessous, l’élèvequi réussit a sans doute testé l’hypothèse (etvalidé) du centre du cercle comme point de ren-contre des diagonales du carré (ou convoquécette connaissance).

Les raisonnements dynamiques, voiremécaniques, sont autorisés, telle la démons-tration ci-contre du Théorème 1 des Élé-ments de Géométrie d’un Maître de Confé-rence à l’École Normale Supérieure (Briot1863 page 4)

V.2 La Géométrie II

La Géométrie II prend pour objets d’étudedes objets idéels. D’où la nécessité de défini-tions, d’axiomes, comme chez Euclide « Lepoint est ce qui n’a aucune partie. Les extré-mités d’une ligne sont des points. ». Les axiomesproposés dans la Géométrie euclidienne, pro-totype de la Géométrie II sont fortementappuyés sur les objets de la Géométrie Iconservant ainsi un lien fort avec l’espacesensible, d’où le qualificatif d’AxiomatiqueNaturelle.

Le mode de production des connais-sances (qui s’appellent dans ce para-digme Théorèmes) est le raisonnementhypothético-déductif, dont la démons-tration est emblématique. Les problèmesdevraient être tous uniquement textuelspuisque les objets de ce paradigme sontles définitions et les théorèmes textuels.Mais ces objets textuels sont conven-tionnellement, par commodité (voir ci-après) représentés par des schémas, à la« texture » identique aux dessins de laGéométrie I, mais sur lesquels le « regard »(la théorie, le paradigme) doit changer :ce qui a été précisé par un certain nombrede chercheurs notamment en dissociantles expressions « dessin » et « figure »,en inventant « figural concept » (Fisch-bein 1993). Il s’agit là en effet d’objetsconceptuels au sens de Bunge (1983),qui ne sont définis que par la théoriedans laquelle ils s’insèrent.

Voici une figure composée d’un carré etd’un cercle. Vous devez la reproduire, la

figure est déjà commencée : deux côtés du carré sont déjà tracés.

Exercice extrait d’Évaluations nationales de6ème. Résultats corrects (1997) :

Pour le carré : 94,3%Pour le cercle : 63,6%


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Les schémas et plus généralement lesimages présentent la caractéristique de regrou-per en un tout un certain nombre d’hypo-thèses (que l’expert — le prof — garde bienà l’esprit MAIS que le novice — l’élève —réinvente à partir du dessin, d’où la notion dedomaine de réalité et domaine de fonction-nement de Laborde 1988) et de pouvoir déclen-cher des schèmes d’enchaînements (que l’expertcontrôle par la déduction logique MAIS quele novice contrôle souvent aussi par la réa-lité). C’est pourquoi les figures tendent à se sub-

stituer aux axiomes et théorèmes comme objetsd’étude, alors qu’elles n’en constituent qu’uneinterprétation.

Dans ce paradigme, il n’y a pas d’instru-ment matériel, mais des instruments intel-lectuels : seul le raisonnement hypothético-déductif permet de construire de nouvellesconnaissances. Pourtant il est d’usage que larègle et le compas, ou même les logiciels dyna-miques jouent un rôle particulier dans ceparadigme. Nous expliciterons plus loin pour-quoi en introduisant notamment la notiond’espace de travail

V.3 La Géométrie III

Nous en dirons peu sur ce paradigme.Ses objets sont aussi idéels, le raisonnementhypothético-déductif le moteur et la source desnouvelles connaissances. Ce qui la différen-cie de la Géométrie II est le fait que lesaxiomes de base ont coupé le cordon avec laréalité et que l’axiomatisation vise à êtrecomplète, alors qu’en Géométrie II, viventdes îlots déductifs. La Géométrie III a émer-gé avec la naissance des géométries non eucli-diennes. Elle est culturellement peu convoquéedans les savoirs de l’école obligatoire.

VI. — Les rapports de GI et GII,hiérarchie ou complémentarité ?

Nous avons donc précisé deux para-digmes de la géométrie élémentaire rela-tivement cohérents quant aux objetsd’étude (matériels versus conceptuels) ;aux techniques licites (dessins instru-mentés versus inférence de conjectures etvalidation par déduction logique) ; auxmodes de validation (références au réelversus références logiques).

Par un point C pris sur une droite AB,on peut élever une perpendiculaire sur cettedroite, et on ne peut en élever qu’une.

Imaginons que la droite CD, coïnci-dant d’abord avec CA, tourne dans le planautour du point C ; l’angle ACD ira enaugmentant d’une manière continue, tan-dis que l’angle DCB ira en diminuant ;mais le premier angle, d'abord plus petitque le second, finit par devenir grand ;donc il y a une position CE de la droite pourlaquelle les deux angles adjacents sontégaux, et il n’y en a qu’une. Dans cetteposition, la droite CE est perpendiculaireà AB. Ainsi, par le point C on peut éleverune perpendiculaire CE à la droite AB, eton n’en peut en élever qu’une.

A BC

ED


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Ces deux paradigmes ne sont pas apriori hiérarchisés dans leur rapport àl’espace : il n’y a pas d’argument logique pourdécider a priori lequel serait meilleur pourmodéliser l’espace (cf. Kuhn 1970), d’autantplus avec le développement des logicielsinformatiques.

VI.1 Retour sur Amélie

Revenons sur la réponse d’Amélie : laquestion démarre par une exigence de construc-tion effective, elle incite à se placer en Géo-métrie I ; Amélie réussit sa construction. Laseconde partie de la question se place selonle contrat usuel en Géométrie II : Améliecomprend sans doute l’exigence de justifica-tion comme la nécessité de montrer une pro-priété géométrique, en quelque sorte la néces-sité de relier la réponse à du connu antérieur.Par contre elle continue à travailler sur le des-sin réel et non avec l’objet idéel à inférer dansla Géométrie II. Elle reste en Géométrie I, ayantpeut-être l’impression qu’elle répond aux cri-tères de la Géométrie II, puisqu’elle nousmontre des connaissances géométriques etqu’elle sait les utiliser.

Il est aussi vrai que tel qu’il est rédigé,cet exercice peut laisser croire que la questionposée porte sur l’objet triangle dessiné et à cetitre concerne la Géométrie I. Cette remarquesouligne la réelle ambiguïté de tels exercicespour celui qui n’est pas au fait du but assignéà la géométrie du collège et le risque de mal-entendus entre élèves et professeur : le pro-fesseur voit le dessin comme une aide heu-ristique, l’élève peut y voir un mode deproduction de la réponse.

Dans tous les cas, il nous semble qu’Amé-lie serait aidée par une explicitation préa-lable des deux paradigmes en jeu et de leurs

caractéristiques, qui lui permettrait de mettreà sa place (Géométrie I et/ou Géométrie II) cha-cune des affirmations qu’elle nous livre.

VI.2 Un autre exemple

Etudions cet exemple assez classique 1 :

Trouve la hauteur h du poteau en t’appuyantsur la schématisation ci-dessous :

Ce problème au départ n’est pas un pro-blème posé dans le paradigme Géométrie IIdans la mesure où un grand nombre d’infor-mations (dont les angles) ne sont disponiblesque sur le dessin. Plusieurs résolutions de cettequestion sont possibles, en précisant selon leparadigme où elles sont licites.

Ce problème peut être traité en Géomé-trie I par, par exemple, un dessin à l’échelle1/100 (donc une conservation « approximati-ve » des angles), un mesurage de h sur le des-sin réduit et une mesure de la hauteur dupoteau. La hauteur de h peut alors être esti-mée entre 10 et 10,3 m.

Ce problème peut aussi être traité enGéométrie II moyennant l’intégration d’hypo-thèses « raisonnables » (deux droites coupéespar trois droites parallèles, les « verticales »)

1 Problème étudié dans le cadre du projet universitaire decoopération franco-chilien (ECOS-Conicyt 2003-05 : Caste-la & al. 2006)


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et par exemple l’utilisation du théorème de Tha-lès dans un triangle obtenu par l’ajout spon-tané d’un tracé2 auxiliaire. Cette constructiond’une sous-figure correspond à une techniquede Géométrie I, mais à la recherche d’unefigure prototypique de Géométrie II. Cettetechnique de Géométrie I n’est ni évidente, nispontanée comme l’a précisé notammentDuval (1988, 2005). Le travail à mener en Géo-métrie I pour nourrir la Géométrie II n’est pasà ignorer.

Peut-on parler d’une meilleure solution ?Oui, s’il y a en jeu une précision : cette pré-cision doit alors être demandée et aussi pré-cisée pour les mesures de départ. A défaut lesnombres proposés, dans ce contexte d’évoca-tion de la réalité, peuvent apparaître commedes résultats de mesurage, donc prétexte à unecertaine imprécision. Un traitement en Géo-métrie I est donc très efficace.

On peut faire valoir que la résolution enGéométrie II présente une économie de tracéet offre une généralisation plus rapide : c’estvrai (et ce pourrait être un argument pourl’entrée dans la Géométrie II) mais pour unproblème local, les deux démarches offrent glo-balement le même coût (dessin versus Thalès)

et nécessitent des raisonnements non tri-viaux mettant en jeu de la proportionnalité.

VI.3 Pour conclure

On voit que la Géométrie II peut produi-re une technologie pour des techniques deGéométrie I : les deux tracés usuels de lamédiatrice, le partage d’un segment en seg-ments de même longueur, la multiplication etla division géométrique, en général lesconstructions à la règle et au compas… Maisil existe en Géométrie I des constructionsefficaces (pratiquées par les peintres, les pro-fessionnels) non validés en Géométrie II, parexemple celles de l’heptagone régulier, del’ennéagone régulier.

La Géométrie II est même productrice detechniques pour des problèmes spatiaux (Ber-thelot Salin 2000), mais cette production n’estpas systématique. Certes la corde à douzenœuds du maçon égyptien est contrôlée parle Théorème de Pythagore, un des maillons dela Géométrie d’Euclide. L’archéologue quiveut trouver le diamètre d’une assiette enpartie cassée peut, avec le morceau d’assiet-te restant, tracer un arc de cercle et construi-re le centre comme intersection de deux média-trices de cordes. Mais si l’arc est petit, cettetechnique n’est pas efficace : mieux vaut dis-poser d’une planche (d’une affiche) avec dif-férents arcs de cercle (et mesures des rayons)prédéterminés et ordonnés, sur l’un desquelsl’archéologue pourra poser le morceau d’assiet-te et lire le diamètre.

En résumé :

1) La Géométrie I ressemble fort àune approche physique des phénomènes,alors que la Géométrie II exacerbe lesaspects théoriques.

1,71,7

3,6 9

h -1,7

2,4

1,7

= , d’où h = 10,1h – 1,7–––––12,6

2,4––3,6

2 il existe bien d’autres procédures possibles…


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2) La Géométrie I fournit une heuris-tique et un « terreau » d’expérimentation pourla Géométrie II. La Géométrie II présenteraitun caractère généralisateur par rapport à cer-taines techniques de Géométrie I : un problèmerésolu en Géométrie II serait susceptibled’automatiser la résolution de problèmes demême type de Géométrie I

3) La Géométrie II fournit une technolo-gie de certaines techniques de Géométrie I, maistous les problèmes spatiaux ne tirent pas sys-tématiquement bénéfice de connaissances deGéométrie II.

VII. — La notion d’espace de travail

Le spécialiste est sans doute conscient decet aller-retour permanent entre les deuxparadigmes lors de la résolution d’un pro-blème géométrique : pour la lecture des hypo-thèses (notamment des alignements, de laconvexité), pour le lancement d’une heuristique,pour certaines définitions et quelquefois mêmepour la validation, et ce déjà dans l’histoire.Par exemple Carrega (1981, page 5) déclareque, chez Euclide « La faiblesse de certainesdéfinitions de base, notamment celle de droi-te ou d’angle nécessitait au cours de la démons-tration le secours d’une figure bien faite ; onpeut même dire que la figure faisait partie inté-gralement de la démonstration qui s’adressaitaux yeux autant qu’à la raison »

Cet état de fait se poursuit actuellementdans l’enseignement où aucun glossaire demanuel de collège ne fournit jamais de défi-nition pour droite, ni pour angle. L’hypothè-se que nous faisons est que des versionssimples de ces définitions sont difficilementréductibles uniquement à du texte, comme l’avaitdéjà constaté Euclide.

La complémentarité des deux para-digmes et la difficulté à les séparer dans l’acti-vité géométrique nous a conduit à conce-voir un nouvel objet, celui celle d’Espace deTravail Géométrique (Kuzniak 2003, Hou-dement- Kuzniak 2006).

VII.1 Qu’est ce que l’Espace de Travail Géométrique ?

La notion d’espace est à prendre assez naï-vement au sens espace de pensée : s’y insè-rent des objets, des outils, et une finalité, unhorizon pour le travail géométrique. La fina-lité est définie par le choix du paradigme géo-métrique qui devient le référentiel théorique. Le travail consiste en l’établissement d’unrapport entre objets empiriques et théoriques,il ne doit pas nécessairement déboucher surla production d’objets concrets.

Les objets sont un constituant essentiel del’espace de travail géométrique et les différentspoints de vue sur leur nature exacte dépen-dent du modèle théorique qui les définit. Dansla vision abstraite de la Géométrie III, l’espa-ce est constitué de points, de droites et de plansdont les relations sont explicitées par le modè-le. Dans la Géométrie Axiomatique Naturel-le (Géométrie II), les définitions des points,droites et plans s’appuient sur notre percep-tion de l’espace environnant et nous permet-tent d’utiliser notre intuition perceptive pourétudier certaines sous-parties de l’espace, lesfigures ou les configurations. En Géométrie I,les objets d’étude sont les dessins ou lesmaquettes.

Les artefacts sont une composantedéterminante de l’espace de travail :dans la géométrie enseignée, ils consti-tuent pour les élèves la face la plus visibleet la plus prégnante.


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Rabardel (1995) précise qu’un instru-ment est un artefact pris en main par unindividu grâce à des schèmes d’action.L’intérêt de cette approche est d’attirerl’attention sur le processus de genèse ins-trumentale qui transforme un artefact eninstrument avec une double orientation : l’ins-trumentalisation orientée vers les usagesde l’artefact et l’instrumentation tournée versl’appropriation par le sujet des schèmesd’action. Cette distinction entre instru-mentation et instrumentalisation noussemble capitale dans notre approche, commenous allons le préciser.

En géométrie cohabitent deux sortesd’artefacts : les instruments géométriquesusuels (règle graduée ou non, équerre, com-pas) ou moins usuels (calque, ficelle, gabarits….),mais aussi les les règles théoriques qui régis-sent le fonctionnement du système hypothé-tico-déductif. Les seconds concourent à lapreuve en Géométrie II, ce sont en effet les seulsinstruments licites de la validation en Géo-métrie II. Les premiers concourent à la preu-ve en Géométrie I (ils aident à clore le problème),

nourrissent l’heuristique en Géométrie II.Ainsi les mêmes artefacts peuvent avoir desfonctions différentes sur les mêmes tracesgraphiques. L’instrumentalisation des ins-truments usuels de la géométrie diffère selonle paradigme visé.

C’est ainsi que la règle et le compas sontdeux artefacts dont l’utilisation combinéeapparaît comme un sésame pour approcher laGéométrie II, pourtant dévolue aux objetsidéels. La règle et le compas sont théorique-ment associables à des questions de construc-tibilité en Géométrie II, ce qui n’est pas le casde l’équerre, qui ne bénéficie pas de l’étaya-ge théorique, des Éléments d’Euclide. En effet(Szabó 1993, p284) « les postulats euclidiens1, 2 et 3 des Éléments d’Euclide représententla justification théorique de la règle et ducompas dans les constructions géométriques.On peut tracer une droite d’un point à unautre (1er postulat) et prolonger indéfinimentune droit finie (2ème postulat), parce qu’on ale droit d’utiliser la règle ; on peut prendre uncentre quelconque et un rayon quelconquepour décrire un cercle (3ème postulat), parce

Objets Référentiel théorique

Artefacts(outils informatiques ou classiques)

Espace de TravailGéométrique


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que l’emploi non seulement de la règle, maisaussi du compas est autorisé. ». Pourquoi cesdeux seuls instruments ? Toujours selonSzabó, ce sont eux qui permettent de conser-ver les mouvements de base, linéaire et cir-culaire, dans la version théorique.

Ainsi l’habitude d’utiliser règle et compasrésulte déjà d’un croisement d’horizons :conserver des techniques de construction élé-mentaire économiques, mais fondées théori-quement par les premiers postulats. Maisdans l’enseignement, leur intégration dansl’espace de travail dépend du regard théo-rique que l’expert peut porter sur eux, maisqui reste encore caché au novice : la fonctionde l’exigence de tracés à la règle et au com-pas n’est guère transparente.

Par contre en Géométrie I, les instru-ments sont légion. La règle non graduée estun instrument peu usuel pour reproduire,mais Duval et Godin (2005) ont revisité sonusage pour construire de véritables problèmesen Géométrie I dès l’école primaire. Au collège,la règle à bords parallèles (Berthe-Cazier2000), les logiciels dynamiques (Capponi 2000)sont de puissants outils de constructiond’objets matériels ou virtuels.

VII.2 Fonctionnement de l’Espace de Travail Géométrique

Cette dynamique de l’espace de travail,un équilibre maîtrisé entre Géométrie I et Géo-métrie II, est en particulier palpable dansles pratiques géométriques : un travail consé-quent en Géométrie I outille le résolveurdans sa capacité à émettre de conjectures,sans être suffisant pour assurer le raisonne-ment hypothético-déductif. La fonction dedéplacement des logiciels dynamiques type Cabriqui déforme le dessin en respectant ses pro-

priétés d’origine décuple cette capacité àémettre des conjectures et suffit, quand uneconjecture résiste au déplacement, à prou-ver dans le paradigme de Géométrie I sa véra-cité. Simultanément cette approche montrel’autre statut de la démonstration : visée degénéralisation, d’explication, d’incontourna-bilité du phénomène (ce qui donne la certitudepour un nombre infini de manipulations« identiques », id est : respectant les hypothèsesde départ).

Les constructions à la règle et au compasdans l’enseignement participent de cette dyna-mique Géométrie I — Géométrie II : ce sontdes objets de Géométrie I justifiés par une pro-priété de Géométrie II.

Il est aussi à noter que les pratiques nor-males des experts (communes à des spécialistesà l’intérieur d’un paradigme) les amènentaussi à prélever sur les dessins un certainnombre d’hypothèses telles que positions rela-tives, convexité… nécessaires à l’avancée duproblème mais non relayées par du texte : carils savent que sans elles, le problème est dif-ficilement traitable.

Mais comment les novices s’emparent-ils de cette pratique ? Souvent en l’étendantde façon inappropriée : on pourrait dire queleur Espace de Travail Géométrique n’intègrepas suffisamment la Géométrie II, dans lesens où ils n’ont pas compris la nécessité deminimaliser le recours au dessin comme pro-duction d’informations sures, comme l’exempled’Amélie.

Ces remarques nous entraînent vers l’exis-tence de multiples Espaces de Travail Géo-métriques : celui de référence de l’expert, gar-dant l’horizon Géométrie II en vue, quels quesoient les détours constructifs qu’il peut faire


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en Géométrie I ; celui, personnel, de l’appren-ti, parfois inadapté à l’attente du professeur ;enfin celui, institutionnel, lié à une institutiondonnée, qui, à l’intérieur de cette institutionpar ses programmes, ses recommandations…,définit la visée du professeur pour ses élèveset en quelque sorte l’horizon paradigmatiqueà atteindre pour chaque objet.

Nous n’irons pas très loin dans de tels déve-loppements.

VII.3 Retour sur les exemples

Considérons le problème d’Amélie : ilfait appel aux deux paradigmes Géométrie Iet Géométrie II. C’est à l’élève ou à l’étu-diant de gérer son espace de travail de façonà garder comme horizon la Géométrie I pourla première partie (le tracé) et la Géomé-trie II pour la seconde. Dans sa réponse,Amélie garde l’horizon Géométrie I pour lesdeux parties de la question, soit qu’elle n’aitpas connaissance de la Géométrie II, soitqu’elle n’ait pas la connaissance (ici le théo-rème de Pythagore) qui lui permet de traiterle problème en Géométrie II.

Des problèmes aux questions convoquanttantôt la Géométrie I, tantôt la Géométrie II,sont très courants dans les manuels de collège.Leur traitement adapté nécessite, selon nous,la connaissance de l’existence des deux para-digmes Géométrie I et Géométrie II.

Revenons maintenant sur l’exemple de ladétermination de la hauteur du poteau.

Si on s’intéresse aux connaissances néces-saires pour le résoudre, ce problème pour-rait être posé à différents niveaux de la sco-larité, par exemple : à partir de la 6ème dansl’attente d’un dessin à l’échelle (1cm pour

1m), puis par mesurage ; en 4ème et 3ème dansl’attente de la convocation du théorème de Tha-lès, associé ou non à des hypothèses de départexplicites et au tracé ou non d’un segment auxi-

liaire ; en 2de sans ce tracé. Or ce problèmeou son équivalent n’est en général présent dansles manuels qu’à partir de la 4ème ; commeréinvestissement du théorème de Thalès.

Dans les habitudes scolaires, c’est l’Espa-ce de Travail Géométrique institutionnel (pourle curriculum de chaque classe) qui détermi-ne la résolution licite.

En 6ème la démonstration n’est pasconstruite, une résolution appuyée sur unmesurage serait acceptée ; il est d’ailleurs ànoter que cette résolution dénote déjà desconnaissances mathématiques (sur les figureshomothétiques, le dessin à l’échelle) et duraisonnement. Pourtant ce type d’exercices n’estpas usuel, au moins dans les manuels. Ainsien règle générale, ce qui touche au mesura-ge n’est pas travaillé dans ces classes. L’Espa-ce de Travail Géométrique à horizon Géomé-trie I reste très pauvre, peu problématisé.

Dans les classes postérieures à la 4èmela démonstration est objet d’enseignement, lethéorème de Thalès dans le triangle est objetd’étude, les instruments usuels n’ont plus derôle de validation, ils conservent une valeurheuristique. Le professeur attend un réin-vestissement de ces objets dans la réponse. Maisl’Espace de Travail Géométrique personnel del’élève de 4ème n’a pas toujours intégré ces outilsthéoriques. Que lui reste-il pour répondre sitout ce qui touche à la mesure est péjoré,sans place dans les mathématiques ?

Il semblerait raisonnable que l’élève soitau moins capable, grâce à un mesurage surun dessin à l’échelle, de produire une approxi-


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mation de la hauteur du poteau et d’êtreassuré que cette réponse est localement satis-faisante. La technique développable à cette occa-sion est généralisable, mais soumise, à chaquefois à l’exécution d’un dessin.

Avec le groupe classe, il serait intéres-sant, s’ils se présentent, d’accepter et d’analyserchacun des grands modes de résolution et deles nommer en tant que tels (type Géométrie Iou Géométrie II). Ceci permettrait d’abord devaloriser des pratiques très commodes dansla vie ordinaire (dessin à l’échelle et calculs),ensuite de leur donner un statut à l’intérieurde la Géométrie I, enfin de différencier lecontrat de la Géométrie II et donner un placeà cette phrase très formelle (hors du réel) : uneconstatation ou des mesures sur un dessin nesuffisent pas pour prouver qu’un énoncé est vraien Géométrie II.

Autrement dit, il serait raisonnable d’unepart, de rendre conscients professeurs etélèves de l’éclatement de la Géométrie élé-mentaire en plusieurs paradigmes, qu’il fau-drait explicitement nommer ; d’autre part dene pas limiter l’horizon des Espaces de Tra-vail Géométrique institutionnels à la Géo-métrie II, mais d’accepter l’existence des deuxparadigmes assumés, au moins par le professeur,dans les réponses des élèves.

VIII. — Conclusions

Il nous semble que la vision de la géométrieélémentaire en deux paradigmes permet deréconcilier tout en les diversifiant, des pratiquesgéométriques usuelles : celles des corps demétiers et celles des mathématiciens.

La Géométrie I offre une place licite aumesurage, reconnaît les problèmes d’approxi-mation et étudie la validité de cette approxi-

mation ; elle a besoin d’un apprentissagedes regards à porter sur un dessin indépen-damment de toute velléité de démonstra-tion ; elle restaure la place des construc-tions, certes à la règle et au compas, mais aussiavec d’autres instruments plus ou moinsusuels (règle seule, règle à deux bords , gaba-rits déchirés…), y compris virtuels, tels leslogiciels de géométrie dynamique. Elle est expé-rimentale et déjà déductive.

La Géométrie II amène à regarder des objetsanciens avec un nouveau point de vue, elle infè-re à partir de ces objets, de nouveaux objetsau caractère idéel. La compréhension de la Géo-métrie II passe par la prise de conscienced’une véritable rupture avec le mode de pro-duction (ou de validation) des connaissances :un système théorique qui ne peut se résumerau « faire voir », qu’il soit matériel ou virtuel.La Géométrie II engage dans une perspecti-ve qui dépasse la généralisation, vise l’expli-cation (pourquoi il n’en est pas autrement) etla prévision déterministe.

L’enjeu fondamental pour l’enseignementest d’abord la prise de conscience par lesenseignants de l’existence simultanée (et nonchronologique) de ces deux paradigmes, deleurs caractéristiques et de leur intérêt à cha-cun pour l’enseignement de la géométrie ;ensuite selon nos termes, la construction d’unEspace de Travail Géométrique institutionnelqui réconcilierait les capacités des élèves etune construction raisonnable de compétencesles rendant autonomes dans certains rap-ports à l’espace, notamment la capacité àaller chercher des instruments adaptés à latâche à résoudre. Il va sans dire que les exi-gences, en particulier au collège, ne devraientpas se limiter aux instruments conceptuels (doncà la Géométrie II), au risque de laisser sur larive des générations d’élèves.


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BREVE MULTIMEDIA

Vient d'être numérisé

Un étonnant ouvrage de mathématiques du début du 19ème siècle vientd'êtrenumérisé par le service de documentation de la bibliothèque de Strasbourg.Ils'agit des « Traités élémentaires de Calcul différentiel et de calcul intégralindépendans de toutes notions de quantités infinitésimales et de limites,ouvra-ge mis à la portée des commençans, et où se trouvent plusieurs nouvellesthéo-ries et méthodes fort simplifiées d'intégration, avec des applicationsutiles aux pro-grès des Sciences exactes » de J.B.E. Du Bourguet, édités chezCourcier,imprimeur-libraire, à Paris en 1810.

Il est accompagné d'une noticehistorique rédigée par Christian Gerini, MCFen histoire et philosophie dessciences, qui a travaillé sur Du Bourguet dans lecadre de ses recherches surles Annales de mathématiques pures et appliquées deGergonne (Voir l’article p. 55). On le trouve à l'adresse :

http://num-scd-ulp.u-strasbg.fr:8080

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A LA RECHERCHE D’UNE COHERENCE ENTRE GEOMETRIE DE … · GEOMETRIE DE L’ECOLE ET GEOMETRIE DU COLLEGE adages précités (en italique), on ne devrait pas ... de pratique de l’espace,