C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Série II b, p. 649–654, 2001

A modified affine theory for the overall propertiesof nonlinear compositesRenald BRENNERa,b, Olivier CASTELNAU a, Pierre GILORMINI c

a Laboratoire des propriétés mécaniques et thermodynamiques des matériaux, CNRS, Institut Galilée,Université Paris-Nord, 93430 Villetaneuse, France

b CEA-DEN, Service de recherches métallurgiques appliquées, CEA-Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette cedex,France

c Laboratoire de mécanique et technologie, ENS de Cachan, CNRS, Université Paris-6, 94235 Cachan cedex,FranceE-mail: rb@lpmtm.univ-paris13.fr; oc@lpmtm.univ-paris13.fr; gilormin@lmt.ens-cachan.fr

(Reçu le 22 juin 2001, accepté le 26 juin 2001)

Abstract. The expressions of the intraphase second moments of stress and strain in heterogeneouslinear thermoelastic materials are derived; they are used to quantify the intraphaseheterogeneity predicted by the ‘classical affine’ formulation for the homogenization ofnonlinear composites. By analogy with the ‘modified secant’ approach, a ‘modified affine’formulation that accounts for intraphase heterogeneity is proposed. 2001 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

solids and structures / nonlinear composites / intraphase heterogeneity / affineestimate / self-consistent scheme

Une théorie affine modifiée pour le comportement effectif descomposites non linéaires

Résumé. Dans cette Note, nous établissons d’abord l’expression du second moment intraphasedes contraintes et des déformations en thermoélasticité linéaire. Ceci nous permet dequantifier l’hétérogénéité intraphase prévue par la formulation « affine classique » pourl’homogénéisation des composites non linéaires. Par analogie avec l’approche « sécantemodifiée », nous proposons une formulation « affine modifiée » qui prend en comptel’hétérogénéité intraphase pour le calcul du comportement effectif. 2001 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

solides et structures / composites non linéaires / hétérogénéité intraphase / estimationaffine / schéma autocohérent

Version française abrégée

On considère d’abord un volume élémentaire représentatifΩ d’un matériau hétérogène thermoélastiquelinéaire soumis à un champ de contraintesΣ uniforme au contour et subissant en tout point un champ dedéformation thermiqueε0. La loi constitutive est donc donnée par (1). La définition de l’énergie élastiquelocale u (2) et le lemme de Hill [1] conduisent à l’expression de l’énergie élastique effective (3). Enconsidérant que le matériau est constitué deN phases(r) de volumeΩr , le tenseur des souplessesm et letenseur des déformations thermiquesε0 peuvent s’écrire suivant (4) où les fonctionsχr sont les fonctionscaractéristiques de la microstructure.

Note présentée par André ZAOUI .

S1620-7742(01)01382-4/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 649

R. Brenner et al.

Afin d’obtenir le second moment des contraintes sur la phase(r), nous dérivons l’énergie effectivepar rapport au tenseur des souplesses de cette phase (5). Les différents termes de (5) sont évalués avecl’expression de l’énergie élastique locale (2) et effective (3), le lemme de Hill, et en notant que la dérivéepartielle deΣ par rapport au tenseur des souplesses localesmr est nulle. L’expression du second momentdes contraintes est alors obtenue en utilisant l’uniformité par phase du champ de déformation thermique (6).Une fois ce travail achevé, nous avons pris connaissance de la référence antérieure [2] où se trouveune forme équivalente de (6). L’hétérogénéité intraphase du champ de contraintes dépend à la fois de lasouplesse effective et des contraintes moyennes dans toutes les phases. En suivant la même procédureavec des conditions de déformation homogène au contour, l’expression duale de l’énergie élastique permetd’obtenir le second moment des déformations (7). Avec l’hypothèse de macrohomogénéité, les relations (6)et (7) sont liées par la loi (1).

À titre d’exemple, sans que cela soit une limitation de l’approche proposée ci-dessous, nous étudions unmatériau composite dont le comportement isotrope incompressible des phases obéit à une loi puissance (9).Le comportement effectif de ce matériau peut être obtenu avec la formulation « affine classique » [5]. Celle-ci se réfère à un milieu linéaire de comparaison thermoélastique (8) dont la souplesse linéarisée ainsi quela déformation moyenne sont définies par rapport au champ de contraintes moyen sur la phase, (10) et (11).Ces moyennes sont elles-mêmes déterminées de façon itérative puisqu’elles dépendent des tenseurs delocalisation du schéma d’homogénéisation adopté qu’elles contribuent à définir au travers du comportementlinéarisé. La violation de borne observée par [5,6] suggère que la définition (11) rend la formulation affineclassique trop raide. On remarque que l’approche « sécante classique » [7] utilise la même définition pourla déformation moyenne par phase et peut être améliorée en linéarisant le comportement par rapport ausecond moment des contraintes [8]. Cette procédure « sécante modifiée » est équivalente à la formulationvariationnelle de Ponte Castañeda [9]. Par analogie, nous proposons une procédure « affine modifiée » oùla nouvelle souplesse linéarisée est définie par rapport au second moment des contraintes et la définition dela déformation moyenne par phase est équivalente à celle de l’approche sécante modifiée. On s’attend doncà un comportement plus souple que celui obtenu avec la procédure sécante modifiée dans de nombreux cas.

La procédure affine modifiée est appliquée au cas d’un matériau biphasé en loi puissance, demicrostructure granulaire, sollicité en traction uniaxiale. Nous calculons les estimations autocohérentesassociées à cette nouvelle approche, ainsi qu’aux procédures affine classique et sécante modifiée. Onobserve (figure 1a) que l’application du modèle autocohérent avec la procédure affine modifiée estplus souple que l’approche sécante modifiée, au contraire de la variante affine classique. En utilisantl’expression (6), nous déterminons l’hétérogénéité intraphase prévue par les deux variantes du modèleaffine (bien que l’approche affine classique ne fasse pas usage des seconds moments, il est possible de lescalculer une fois le modèle appliqué). Contrairement à ce que donneraient les approches sécantes pour cecomposite [10], elle diffère d’une phase à l’autre et suivant la variante, classique ou modifiée. On remarque( figure 1b) que, pour le cas étudié, l’approche affine classique prévoit une hétérogénéité intraphase descontraintes plus élevée que l’approche affine modifiée.

En conclusion, nous pensons que la formulation affine modifiée est une alternative intéressante,notamment pour la viscoélasticité non linéaire où les procédures variationnelle [9] et du second ordre [11]ne peuvent s’appliquer.

1. Second moments in thermoelasticity

Let us consider an heterogeneous thermoelastic linear medium occupying a volumeΩ. The material issubjected to a uniform stress fieldΣ on its outer surface∂Ω and a thermal (stress-free) strain fieldε0(x)

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A modified affine theory for nonlinear composites

in every pointx of Ω. The constitutive law reads

ε(x) = m(x) : σ(x) + ε0(x) (1)

whereσ andε denote stress and strain respectively,m is the elastic compliance tensor. With the definitionof the local elastic energy

u(x) =12[σ(x) :

(ε(x)− ε0(x)

)]=

12[σ(x)⊗σ(x)

]:: m(x) (2)

and Hill’s lemma [1], the effective elastic energy is given by

U =⟨u(x)

⟩=

12[Σ : M : Σ−

⟨σres(x) : ε0

⟩](3)

where〈·〉 denotes the volume average overΩ, M is the effective elastic compliance andσres(x) is theresidual stress field for a traction-free boundary problem. Hereafter, the material is assumed to be composedof N homogeneous phases(r) occupying volumesΩr. The compliance and thermal strain tensors read

m(x) =N∑

r=1

mrχr(x), ε0(x) =N∑

r=1

εr0χ

r(x) (4)

where the characteristic functions of the microstructureχr are equal to 1 if the position vectorx is insidephase(r) and zero otherwise. The volume fractioncr of a phase(r) is given bycr = 〈χr(x)〉. For brevity,we shall omit the position vectorx in the sequel.

To obtain the(ijkl) component of the stress second moment tensor〈σ ⊗ σ〉r , we first derive theeffective elastic energyU with respect tomr

ijkl (〈·〉r denotes the volume average overΩr):

∂U

∂mrijkl

=⟨

∂u

∂mrijkl

⟩+

⟨∂u

∂σ:

∂σ

∂mrijkl

⟩(5)

Using the expressions of the local and effective energies, the evaluation of the first two terms of (5) isstraightforward. The expression of the last term can be simplified by applying Hill’s lemma (the fieldsεand ∂σ/∂mr

ijkl are compatible and in equilibrium, respectively), and remarking that∂Σ/∂mrijkl = 0.

Finally, ε0 being constant per phase, we obtain

〈σ ⊗σ〉r =1cr

[(Σ⊗Σ) ::

∂M

∂mr+

N∑s=1

csεs0 :

∂

∂mr

(2〈σ〉s − 〈σres〉s

)](6)

After completion of the present work, reference [2] was brought to the authors knowledge, where anequivalent form of (6) can be found. It is worth noting that the second moment of the stress field in aphase(r) depends on the effective compliance and on the derivatives of the average stress fields inallphases. For the purely elastic and residual stress problems, (6) reduces to the expressions given respectivelyin [3] and [4] (see also associated references in [4]). From the expression of the dual elastic energy, andconsidering a uniform strain fieldE on∂Ω, the quantity〈ε⊗ ε〉r can be obtained with the same procedure.It leads to a slightly more complicated form than (6):

〈ε⊗ ε〉r =1cr

[(E −E0)⊗ (E −E0) ::

∂L

∂lr− 2(E −E0) : L :

∂E0

∂lr−

N∑s=1

csεs0 :

∂〈σres〉s∂lr

]

+ 〈ε〉r ⊗ εr0 + εr

0 ⊗ 〈ε− ε0〉r (7)

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R. Brenner et al.

with L the effective stiffness tensor,lr the stiffness tensor of phase(r) andE0 the effective thermal strain.Alternatively, assuming macrohomogeneity, (7) can be obtained from (1) and (6).

2. Modified affine procedure for nonlinear composites

We now consider a nonlinear heterogeneous material. The derivation of its effective behavior is possibleafter the local behavior has been linearized properly. For doing this, several possibilities are available,including the recent affine formulation proposed by Masson et al. [5], denoted hereafter the ‘classical affine’formulation. It uses a tangent linearization of the nonlinear problem that leads to

〈ε〉r = mraff : 〈σ〉r + εr

0 (8)

wheremraff is the tangent compliance andεr

0 is the stress-free strain, both being uniform per phase.The nonlinear elastic problem is thus transformed into a linear thermoelastic one. In order to simplifythe presentation, but this is by no means a limitation of the theory, the phases are assumed isotropic andincompressible (σ andε now denote the deviatoric stress and deviatoric strain), and the local elastic energyis supposed to obey a power law:

ur(σ(x)

)=

e0σr0

n + 1

[σeq(x)

σr0

]n+1

χr(x) (9)

whereσr0 is a reference stress in each phase. Still for the sake of simplicity, both the reference straine0 and

the stress sensitivity exponentn have been assumed the same for all phases. In the classical affine approach,the tangent compliance is defined with respect to the average stress field in the phase:

mraff =

∂2ur

∂σ2

(〈σ〉r

)=

3e0

2σr0

[σr

eq

σr0

]n−1[I+

32

n− 1(σr

eq)2〈σ〉r ⊗ 〈σ〉r

](10)

with σreq = [〈σ〉r]eq = (3〈σ〉r : 〈σ〉r/2)1/2 and I the fourth rank identity tensor. In (8),εr

0 is definedaccording to the following estimation of〈ε〉r

〈ε〉r ≈∂ur

∂σ

(〈σ〉r

)=

3e0

2σr0

[σr

eq

σr0

]n−1

〈σ〉r (11)

The phase average stresses are determined finally by an iterative procedure, since they define thelinearized behavior and are deduced from the latter through the stress concentration tensors of the (linear)homogenization scheme.

It has been shown previously [5,6] that the classical affine estimate can exceed some available nonlinearupper bounds. This too stiff response may be due to the convexity of the local energy and the assumptionin (11) that the average strain is related to the average stress through the phase constitutive equation,which is not true for non uniform fields in a nonlinear material. Moreover, it leads to an unsatisfactorylinear response for a nonlinear porous material under hydrostatic loading [5]. These criticisms also applyto the classical secant formulation [7] which uses the estimation (11) of〈ε〉r . However, as shown bySuquet [8], a significant improvement can be obtained if use is made of the second moment of the stressfield, i.e. replacingσr

eq by σreq in (11), withσ

req = 〈σ2

eq〉1/2r = (3I :: 〈σ ⊗ σ〉r/2)1/2 (recallσ denotes the

stress deviator). This ‘modified secant’ formulation softens the effective behavior and is equivalent to thevariational estimate of Ponte Castañeda [9]. By analogy, we propose a ‘modified affine’ formulation usingthe second moment of the stress field. The new linearized compliancemr

aff and average strain〈ε〉r aredefined by replacingσr

eq by σreq and〈σ〉r ⊗ 〈σ〉r by 〈σ ⊗ σ〉r in (10) and (11). The linearized problem

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A modified affine theory for nonlinear composites

being thermoelastic, the second moment of stress is defined by (6). Considering the lower rigidity of theclassical affine approach as compared to the classical secant one, as observed to our knowledge in allpublished results, this new estimate is expected to be softer than the modified secant one in many cases. Itis worth noting that the proposed formulation takes into account the whole tensor〈σ ⊗ σ〉r whereas themodified secant formulation uses the square root of its traceσ

req only. Contrarily to the modified secant

approach, a dependence of the effective behavior on the third invariant ofΣ is obtained.For a first numerical application, we study a statistically homogeneous two-phase material with a granular

microstructure, i.e. such that the self-consistent model is appropriate to estimate the overall behavior. Weconsider the case of a uniaxial tensile loading with an isotropic distribution of the phases. The composite isthus globally isotropic and an effective reference stressΣ0 can be identified such thatEeq/e0 = (Σeq/Σ0)n.The proposed modified affine procedure is used and compared to the classical affine and the modified secantapproaches, by applying the self-consistent model to the linearized composite. The latter, which is differentfor each procedure, is determined by an iterative process as explained above. It is first observed (figure 1a)that the modified affine estimate is softer than the modified secant one for all volume fractions, whereasthe classical affine model is stiffer. Although the classical affine model does not use the second moments tocompute the effective behavior, since only the first moments are required, (6) can nevertheless be applied tothe result and this allows comparing the stress intraphase heterogeneities of the classical and modified affinemodels as infigure 1b. We remark that the two affine models predict different intraphase heterogeneities inthe two phases, with a weaker heterogeneity in the soft phase (it has been shown that this is not the case ofthe classical and modified secant estimates for this composite [10]). For the studied case, the classical affinemodel leads to higher stress intraphase heterogeneities than the proposed modified affine procedure. Thedifference of the stress intraphase heterogeneities between the two phases is found to be much larger for

Figure 1. Effective behavior of two-phase composites predicted by the classical and modified affine self-consistentestimates for uniaxial tension (a) and the associated intraphase heterogeneity (b) as a function of the hard phase

volume fraction. The modified secant estimate is given for comparison (n = 5, σ(2)0 = 8σ

(1)0 ).

Figure 1. Comportement effectif de composites biphasés prévu par les extensions affines classique et modifiée dumodèle autocohérent en traction uniaxiale (a) et hétérogénéité intraphase associée (b) en fonction de la fractionvolumique de la phase dure. L’estimation sécante modifiée est donnée pour comparaison(n = 5, σ

(2)0 = 8σ

(1)0 ).

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R. Brenner et al.

the modified affine model. Nevertheless, the intraphase and interphase heterogeneities remain of the sameorder of magnitude.

The proposed modified affine procedure can be an interesting alternative, particularly in nonlinearviscoelasticity where the variational [9] and second-order [11] procedures do not apply.

Acknowledgements.The authors would like to acknowledge P. Suquet for mentioning reference [2] and forsuggesting significant improvements of the original manuscript.

References

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Castañeda’s nonlinear variational procedure, C. R. Acad. Sci. Paris, Série IIb 320 (1995) 563–571.[9] Ponte Castañeda P., The effective mechanical properties of nonlinear isotropic composites, J. Mech. Phys.

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