A THEMA IN PROCESS

LA CONTRAINTE AB + AC = 3.BC

Le rythme est au temps ce que

la symétrie au sens ancien est à l'espace. 1

Jean-Louis AYME 2

B C

X

A 0

U

I

Résumé. L'auteur présente A Thema in Process concernant la contrainte ''AB + AC = 3.BC''. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Remerciements. Ils vont aux professeurs Ercole Suppa (Italie) et Francisco Bellot

Rosado (Espagne) pour avoir envoyé quelques articles sur le sujet. Leur passion pour la Géométrie du Triangle mérite d'être remarquée et soulignée par les Géomètres contemporains.

1 Pour Vitruve, architecte romain du Ie av. J.-C., la symétrie consistait en "la répétition de formes semblables" par un accord de

mesure commune i.e. une comodulation. Le sens ancien se perdit à la fin du XVIIe au profit du sens moderne. 2 Saint-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 30/04/2018 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2

2

Abstract. The author presents A Thema in Process concerning ''AB + AC = 3.BC''.

The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown synthetically.

Aknowledgment. They go particularly to professors Ercole Suppa (Italy) and

Francisco Bellot Rosado (Spain) for sending a few articles on the topic. Their passion for the geometry of the Triangle should be noticed and underlined by the contemporary Geometers

3

3

Sommaire

Point de vue 4

A. Une suite d'implication 5

1. Contrainte sur un triangle 5 2. I est un tiers-point 6

Conséquences 8

* Un angle droit * O équidistant * Orthocentre du triangle de contact

* Les premiers B, C-perpoints sont alignés avec I * Nature des premiers B, C-perpoints * Une tangente au A-cercle de Mention * Le point médian de ABC * Le point de Nagel de ABC * Une relation IB.IC = r.IA * Une autre relation 2.r² = (p – b).(p – c) * Cinq points cocycliques IMO Shortlist (2005) * Un point sur (OI) par Tran Quang Hung * Le point remarquable F. de l'auteur * Le B-cercle de Stan Fulger * Deux parallèles remarquables de l'auteur

3. I est un quart-point 23

Conséquences 24

* Une relation AB.AC = 2.AI² * Une généralisation

4. L'antipôle de D ou le point de Nagel 25

Conséquences 27

* Le point de Nagel * Un cercle tangent au cercle inscrit

5. La tangente de Feuerbach 31 6. Le pied de la A-hauteur 32 7. La A-hauteur AHa = 4.r 33

Conséquences 34

* Le rayon du A-excercle ra = 2.r * Aire de ABC [ABC] = a.ra

* Une relation bc = 8.rR * Une relation avec les A, B, C-excercles 1/ra = 1/rb + 1/rc

8. La contrainte 36 9. Archive 37

B. Des réciproques remarquables 38

1. I est un tiers-point 2. I est un quart-point 3. (B'C') est tangente au cercle inscrit

C. Appendice 41

I. ABC sous la contrainte AB + AC = 3.BC 41

1. Une parallèle à un côté du triangle 2. Trois droites concourantes en X57 3. La redécouverte de Tran Quang Hung

II. ABC est quelconque 47

1. Trois droites concourantes

D. Annexe 49

1. La droite d'Euler du triangle de contact 2. Un alignement

E. Un exercice 51

F. Lexique Français-Anglais 52

4

4

POINT DE VUE

Mieux vaut une once de pratique où la main devient le regard de l'âme et de l'esprit,

qu'une tonne de théorie.

L'auteur propose un article ''in process'' i.e. en construction, partie par partie. Au rythme de cette démarche qui s'insère dans le temps, correspond une symétrie i.e. une comodulation dans l'espace publié. De là, l'auteur espère qu'une harmonie peut naître entre ces deux pôles, et s'exprimer dans un langage muet pour ne parler qu'au regard et non plus aux yeux.

5

5

A. LA CONTRAINTE AB + AC = 3.BC

I. Une suite d'implication 1. Contrainte sur un triangle

VISION

Figure :

B C X

A

Traits : ABC un triangle tel que AB + AC = 3.BC. Donné : construire ABC à partir du pied de la A-bissectrice intérieure.

VISUALISATION

B C X B'C'

A

A

• Un organigramme : 1. [BC] un segment 2. X un point de [BC] 3. B', C' deux points de (BC) resp. tels que BB' = 3.BX, CC' = 3.CX

comme indiqués sur la figure 4. les cercles de centres B, C et de rayons resp. BB', CC'

6

6

5. les deux intersections de ces deux cercles conduisent à deux triangles solutions. Scolies : (1) X est le pied de la A-bissectrice intérieure de ABC (2) Deux triangles

B C X

A

B C

A

X

(3) cet organigramme se généralise pour tout entier naturel k supérieur à 3. 2. I est un tiers-point

VISION

Figure :

B C

A 0

U

I

Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC et U le second point d'intersection de (AI) avec 0. Donné : si, AB + AC = 3.BC

alors, I est le premier tiers-point de [AU] à partir de U.

VISUALISATION

7

7

B C

A 0

U

I

1a

• Notons 1a le A-cercle de Mention de ABC ; il a pour centre U et passe par B, C et I. • D'après ''Le théorème de Ptolémée'' appliqué

* au quadrilatère cyclique ABUC, BU.AC + CU.AB = AU.BC * sachant que UB = UC, BU.(AC + AB) = AU.BC * par hypothèse, AB + AC = 3.BC, 3.BU = AU * en considérant 1a, 3.UI = UA.

• Conclusion : I est le premier tiers-point de [AU] à partir de U. • En généralisant à un entier naturel k supérieur à 3, k.UI = UA.

8

8

Conséquences : (1) un angle droit 3

B C

A 0

U

I

1a

N

M

• Notons M le milieu de [AB], 1a le A-cercle de Mention de ABC

et N l'antipôle de B relativement à 1a. • D'après ''Le théorème de Ménélaüs'' appliqué au triangle ABC et à M sur (AB), N sur (BU) et (I sur (AU), M, I et N sont alignés. • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', le triangle IBN est I-rectangle. • Conclusion : <MIB = 90°.

(2) O équidistant 4

B C

A

O

0

U

I

J

O'

3 Nguyen Dang Khoa (Vietnam) 4 Revista OIM n° 19 ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/index.html Bellot Rosado F., Triangulos especiales III ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/numero19.htm

9

9

• Notons O le centre de 0,

J le second tiers-point de [AU] à partir de U et O' le milieu de [AU].

• Par culture géométrique, (OO') étant la médiatrice de [AU] ; il s'en suit que (OO') est la médiatrice de [IJ]. • Conclusion : d'après ''Le théorème de la médiatrice'', OI = OJ.

(3) Orthocentre du triangle de contact 5

B C

A

0

U

I

J

B-

C-

F

E

D

D'

H'

• Notons DEF le triangle de contact de ABC, D' le pied de la D-hauteur de DEF, H' l'orthocentre de DEF

et B-, C- les seconds B, C-perpoints de ABC.

• Par culture géométrique, * U étant le second A-perpoint de ABC, le triangle DEF est directement semblables au triangle UB-C-

* J est le pied de la A-hauteur de UB-C-

* I est l'orthocentre de UB-C-. • Conclusion : I étant le milieu de [UJ], H' est le milieu de [DD'].

5 Prove or disprove the geometry property, AoPS du 22/03/2013 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h526036

AB+AC=3BC, AoPS du 29/05/2015 ; https://artofproblemsolving.com/community/q2h1095047p4900761 triangle with condition AB+AC=3BC, AoPS du 29/04/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/q2h1439061p8172812 triangle with condition AB+AC=3BC, AoPS du 29/04/2017 https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1439061_triangle_with_condition_abac3bc

10

10

(4) Les premiers B, C-perpoints sont alignés avec I

X Geometrical Olympiad in honour of I. F. Sharygin 6

proposed

by

A. Polyanski 7

B C

A

0

U

I

J

B+

C+

B-

C-

• Notons B+, B- les premier, second B-perpoints de ABC et C+, C- les premier, second C-perpoints de ABC.

B C

A

O

0

U

I

J

B+

C+

B-

C-

• (CIC-) et (CC+) étant resp. les C-bissectrices intérieure, extérieure de ABC, (CC+)⊥ (CIC-) ; en conséquence, [C+C-] est un diamètre de 0.

6 Also at Polish second round 2006

Costa Rica final round 2006 7 Final round, Ratmino (Russia), (01/08/2014), Second day, grade 9, Problem 6 ; http://geometry.ru/olimp/2014/final_sol_e.pdf

11

11

• D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', <C-B-C+ est droit. • Par culture géométrique 8, (B-C-) ⊥ (AI) et (C-C+)⊥ (AB) ; par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <C+C-B- = <BAU ; en conséquence, B-C+ = UB = UI = IJ • Le quadrilatère IC+B-J étant un rectangle, (IC+)⊥ (AI).

B C

A

0

U

I

B+

C+

• Mutatis mutandis, nous montrerions que (AI) ⊥ (IB+) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (IC+) = (IB+). • Conclusion : la perpendiculaire à (AI) en I passe par B+ et C+. Archive

8 a geometry problem, AoPS du 18/09/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1307444_a_geometry_problem

12

12

9

(5) Nature des premiers B, C-perpoints de ABC

B C

A

0

U

I

B+

C+

Conclusion : d'après Eugène Lauvernay 10, B+, C+ sont les B, C-points de De Longchamps de ABC.

9 http://geometry.ru/olimp/2014/final_sol_e.pdf http://www.jcgeometry.org/Articles/Volume3/JCG2014V3pp60-62.pdf 10 Ayme J.-L., A new mixtilinear incircle adventure I , G.G.G. vol. 4, p. 18-20 ; http://jl.ayme-pagesperso-orange.fr/

13

13

(6) Une tangente au A-cercle de Mention 11

B C

A

0

U

I

B+

C+

1a

• Conclusion : (B+C+) est tangente à 1a en I. (7) Le point médian de ABC 12

B C

A

0

U

I

G

A'

• Notons G le point médian de ABC et A' le milieu de [BC].

• D'après Archimède de Syracuse, G est le premier tiers-point de [AA'] à partir de A'. • D'après Thalès de Milet ''Rapports'', (GI) // (A'U) ;

11 AB+AC=3BC again, AoPS du 08/05/2015 ; https://artofproblemsolving.com/community/q2h1086458p4806074 12 Bundeswettbewerb Mathematik 2017, Round 2 - #3

Condition a+b=3c Implies Interesting Perpendicularity, AoPS du 03/09/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1507146_condition_ab3c_implies_interesting_perpendicularity

14

14

par culture géométrique, (A'U)⊥ (BC) ; en conséquence (GI) ⊥ (BC). • Conclusion : (GI) est perpendiculaire à (BC) et 3.IG = 2.UA'.

(8) Le point de Nagel de ABC

B C

A

0

U

I

G

Na

• Notons Na le point de Nagel de ABC. • D'après ''La droite de Nagel'' 13, I, G et Na sont alignés. • Conclusion : (NaI) est perpendiculaire à (BC). (9) Une relation 14

13 Ayme J.-L., Cinq théorèmes de Christian von Nagel, G.G.G. vol. 3, p. 12-13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 14 Relation 2 in triangle ABC so that AB + AC = 3.BC

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1619822_relation_2_in_triangle_abc_so_that_ab__ac__3bc Revista OIM n° 19 ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/index.html

Bellot Rosado F., Triangulos especiales III ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/numero19.htm

15

15

B C

A

0

U

I G

Na

D

1'a

A'

• D'après ''La droite de Nagel'' 15, INa = 3.IG (= 2.UA'). • D'après Carnot ''Une relation'' 16, Na est l'orthocentre du triangle IBC. 17 • Notons r le rayon du cercle inscrit à ABC. • U étant le centre du cercle circonscrit à IBC, IB.IC = ID.2IU. 18

• Conclusion : IB.IC = r.IA. (10) Une autre relation 19

15 Ayme J.-L., Cinq théorèmes de Christian von Nagel, G.G.G. vol. 3, p. 13-14 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 16 Carnot L., Géométrie de position (1803) 17 AB+AC + 3.BC, AoPS du 04/04/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1621168_ab__ac__3bc 18 A very simple relation, AoPS du 24/02/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1203163_a_very_simple_relation 19 Revista OIM n° 19 ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/index.html Bellot Rosado F., Triangulos especiales III ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/numero19.htm Relation 3 in triangle ABC so that AB + AC = 3.BC, AoPS du 03/04/218 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1620474_relation_3_in_triangle_abc_so_that_ab__ac__3bc

16

16

B C

A

I

D

1 r

Na

U

1a

Na'

2r

r

p-b p-c

• Notons b, c les longueurs resp. de [AC], [AB],

2p le périmètre de IBC et Na' le symétrique de Na par rapport à (BC).

• Na étant l'orthocentre de IBC, Na' est sur 1a. • Puissance de D par rapport à 1a : DI.DNa' = DB.DC ; par culture géométrique, r.2r = (p – b).(p – c). • Conclusion : 2.r² = (p – b).(p – c).

17

17

(11) Cinq points cocycliques

IMO Shortlist (2005) G1 20

proposed

by

Dimitris Kontogiannis (Greece) 21

B C

A

0

I

D

E

F 1

F'

E'

U

J

• Notons 1 le cercle inscrit à ABC, DEF le triangle de contact de ABC, E', F' les symétriques de E, F par rapport à I

et J le second tiers-point de [AU] à partir de U. • Nous avons : UI = IJ = JA. • Par culture géométrique appliquée aux triangles resp. E, F-rectangle EAI, FAI, EJ = IJ et IJ = FJ ; en conséquence, le triangle JEF est J-isocèle ; nous avons : JE = JF = IJ (= JA).

20 Also at Polish second round 2006

Costa Rica final round 2006 21 Not hard but cute (points lying on a circle), AoPS du 24/02/2006 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h76458p439274

18

18

B C

A

0

I

E

F F'

E'

U

J

• Par symétrie de centre I, le triangle UE'F' est –isocèle ; nous avons : UE' = UF' = UI.

B C

A

0

I

E

F

F'

E'

U

J

• D'après Jules Mention ''The theorem of schamrock'', UI = UB = UC. • Conclusion : B, E', I, F' et C sont cocycliques

19

19

Archive

22

(12) Un point sur (OI) ou la redécouverte de Tran Quang Hung dit buratinogigle 23

B C

A

O

0

U

I

D

E

F

C+

Z

B+

Y

M

• Notons Y, Z les points d'intersection de la perpendiculaire à (AI) en I resp. avec (AC), (AB) et M le point d'intersection de (BY) et (CZ). • Conclusion : d'après C. Appendice, M est sur (OI). Commentaire : ce résultat est vrai pour in triangle quelconque. (13) Le point remarquable F de l'auteur 24

22 (2005) ; https://artofproblemsolving.com/community/c3956_2005_imo_shortlist 23 Triangle with AB+AC=3BC, AoPS du 10/06/2015 ;

https://artofproblemsolving.com/community/q1h1100046p4956141 https://artofproblemsolving.com/community/q2h1100046p4951416

24 Ayme J.-L., Three concurrent lines, AoPS du 16/10 :2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1529629_abac3bc

20

20

• Notons F*, F. les points d'intersection de (DE) resp. avec (FI), (IY) et F'' le pied de la F-hauteur de DEF. • D'après D. Annexe 1, O, I et H' sont alignés ; en conséquence, M, H' et I sont alignés. • D'après D. Annexe 2, C, F'' et Z sont alignés. • D'après C. II. Appendice 1, FI, BY et DE concourent en F*. • D'après Pappus d'Alexandrie ''La proposition 139'' 25 (ZF) étant la pappusienne de l'hexagone sectoriel F''MF*IFH'F'' de frontières (DE) et (MH'I), (FM) passe par B. • Conclusion : B, H' et F. sont alignés. (14) Le B-cercle de Stan Fulger

25 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 10-15 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

21

21

B C

A

O

0

U

I

J

D

E

F

C+

Z

B+

Y

M

2

• Notons 2 le cercle passant par A, J et C+. • D'après Carnot ''Symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté'', J est l'orthocentre du triangle AN+C+ ; en conséquence, (C+J)⊥ (AB+). • Par hypothèse, (C+O)⊥ (AB). • Une première chasse angulaire :

* par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <BAJ = <OC+I * O et J étant deux points isogonaux de AB+C+, <OC+J = <AC+J * en conséquence, 2 est tangent à (AB) en A.

• Une seconde chasse angulaire : * d'après Scolie 6, <AEJ = <JAE * par hypothèse, <JAE = <BAJ * par transitivité de =, <AEJ = <BAJ * d'après ''Le théorème de la tangente'', 2 passe par E. • Conclusion : A, J, E et C+ sont cocycliques. (15) Deux parallèles remarquables de l'auteur 26

26 Ayme J.-L., Two surprising parallels, AoPS du 21/10/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1532565_two_surprising_parallels

22

22

B C

A

0

U

I

J

D

E

F

C+

Z

B+

Y

M

2

T

• Notons T le point d'intersection de la tangente à 0 en C+ avec (DE). • Une chasse angulaire : * d'après ''Le théorème de la tangente'', <TC+A = <C+CA * d'après ''Angles à côtés parallèles'', <C+CA = <TEA * par transitivité de =, <TC+A = <TEA * en conséquence, T est sur 2.

• Notons G, G' les points d'intersection resp. de (AC) et (JC+), (AU) et (DT).

23

23

• Nous avons (AB) et (C+T) sont tangentes à 2 resp. en A, C+. • Conclusion : d'après MacLaurin-Pascal ''Tetragramma mysticum'' appliqué à l'hexagone cyclique dégénéré AET C+C+ JAA, * (GG') en est la pascale * (GG') // (AB).

3. I est un quart-point

VISION

Figure :

B C

X

A

0

U

I

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, I le centre de ABC, U le second point d'intersection de (AI) avec 0 et X le point d'intersection de (AI) et (BC). Donné : si, I est le premier tiers-point de [AU] à partir de U alors, I est le premier quart-point de [AX] à partir de X. 27

VISUALISATION

27 Ayme J.-L., Under condition, AoPS du 23/10/2017 : https://artofproblemsolving.com/community/c6h1533426_under_condition

24

24

B C

X

A

0

U

I

J

W

V

• Notons UVW le triangle I-circumcévien de ABC et J le point d'intersection de (VW) et (AI).

• D'après ''Un papillon excentré'' 28 appliqué au quadrilatère croisé en I et cyclique BCWV, 1/IX + 1/IA = 1/IJ + 1/IU • Une chasse segmentaire : * J étant le milieu de [AI] 29, 2.IJ = IA

* d'après A. 2, J étant le deuxième tiers-point de [AU] à partir de U, 2.IU = IA

* par substitution, 1/IX + 1/IA = 2/IA + 2/IA * par simplification, IA = 3.IX * par changement d'origine, XA = 4.XI.

• Conclusion : I est le premier quart-point de [AX] à partir de X. Conséquences : (1) une relation

28 Extended butterfly, Mathlinks du 27/01/2005 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=49&t=24896 Butterfly 's theorem, Mathlinks du 25/02/2005 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=50&t=28062 Challenging Geometry Proof, Mathlinks du 11/04/2010 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=344604 Ayme J.-L., A new metamorphosis of the butterfly problem, G.G.G. vol. 7, p. 98-100 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 29 a geometry problem, AoPS du 18/09/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1307444_a_geometry_problem

25

25

B C

X

A

0

U

I

J

W

V

• Nous avons : AB.AC = AX.AU par substitution, AX.AU = (4/3.AI).(3/2.AI)

• Conclusion : par transitivité de =, AB.AC = 2.AI². (2) en généralisant à un entier naturel k supérieur à 3, XA = (k+1).XI 4. L'antipôle de D ou le point de Nagel

VISION

Figure :

B C X

A

0

I

D

1

D'C' B'

Traits : ABC un triangle, A'B'C' le triangle médian de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1,

26

26

DEF le triangle de contact de ABC, D' l'antipôle de D relativement à 1 et X le point d'intersection de (AI) et (BC). Donné : si, I est le premier quart-point de [AX] à partir de X alors, (B'C') est la tangente à 1 en D'.

VISUALISATION

B C X

A

0

I

D

1

D'C' B'

X'

• Notons X' le symétrique de X par rapport à I. • Scolies : (1) X' étant le second tiers-point de [AX] à partir de X, en est le milieu

(2) (D'X') // (DX) ou encore à (BC) • Conclusion : (D'X') i.e. (B'C') est la tangente à 1 en D'.

27

27

Conséquences : (1) D' est le point de Nagel de ABC 30

B C X

A

0

I

D

1

D', NaC' B'X'

D''

• Notons D'' le point d'intersection de (AD') et (BC). • Scolie : (1) (AD'') est la A-droite de Nagel de ABC (2) D' est le milieu de [AD'']. • Conclusion : d'après Trajan Lalesco 31, D' est le point de Nagel de ABC. • Notons Na le point de Nagel de ABC. (2) Un cercle tangent au cercle inscrit 32

30 Ayme J.- L., Nagel's point under a condition, AoPS du 13/06/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1461494_nagels_point_under_a_condition Revista OIM n° 19 ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/index.html

Bellot Rosado F., Triangulos especiales III ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/numero19.htm 31 Lalesco T., La Géométrie du triangle, réédition J. Gabay, Paris (1987) proposition 4-39 p. 35 USAMO 2001 Problem 2, AoPS du 01/10/2005 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h54049_usamo_2001_problem_2 Myakishev A., 9—10, Prove that point lies on the incircle, Sharygin contest 2008. The correspondence round. Problem 13. Mathlinks du 03/09/2008 ; http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=48439151&t=224272 Incircle, Mathlinks du 12/03/2010 ; http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=337716

32 Iranian National Olympiad (3rd Round) 2004 ; https://artofproblemsolving.com/community/c3491_2004_iran_mo_3rd_round Circumcircle of ILK is tangent to ABC iff AB+AC=3BC, AoPS du 10/01/2009 ; http://artofproblemsolving.com/community/c6h250154p1370723 Triangle ABC, |AB| + |AC| = 3|BC|, AoPS du 25/12/2009 ; https://artofproblemsolving.com/community/q1h320565p1722531 AB+AC=3BC, AoPS du 27/06/2015 ; https://artofproblemsolving.com/community/q2h1107391p5023315 Deux cercles tangents, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1541486 Touching circumcircle and incircle, AoPS du 27/07/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1485174_touching_circumcircle_and_incircle Bosnia and Herzegovina TST 2017 day 1 problem 1

28

28

B C

A

I

E

F

A'

K L

D'

D

1a

2

C'B'

• Notons 1a le cercle de diamètre [BC], K, L les points d'intersection de 1a avec (EF) et 2 le cercle circonscrit au triangle IKL.

B C

A

I

E

F

A'

K

L

D

1a

D'C'

B'

1

T

• D'après Newton ''Quadrilatère tangentiel'' 33 appliqué au quadrilatère circonscriptible BCB'C', (BB'), (CC'), (EF) et (DIM) sont concourantes. • Notons T ce point de concours.

33 Ayme J.-L., La ponctuelle de Newton, G.G.G. vol. 8, p. 4-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

29

29

B C

A

I

E

F

A'

K

L

D

1a

D'C'

B'

1

T

• D'après Arthur Lascases 34 (1) A', L et B' sont alignés (2) A', K et C' sont alignés. • D'après Nathan Altshiller-Court 35, (1) B, I et L sont alignés et (BL)⊥ (LC) (2) C, I et K sont alignés et (CK)⊥ (KB).

B C

A

I

E

F

A'

K

L

D

1a

D', D"C'

B'

T

1

2 3

4

5 6

• Notons D'' le point d'intersection de (BK) et (CL). • D'après Pappus d'Alexandrie ''La proposition 139'' 36 (D''B'C') étant la pascale de l'hexagone sectoriel de frontière (BC) et (EF), D'' est sur (B'C'). • D'après Archimède de Syracuse ''Orthocentre'', I est l'orthocentre du triangle D''BC

34 Ayme J.-L., An unlikely concurrence…, G.G.G. vol. 4, p. 3-5 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 35 Ayme J.-L., An unlikely concurrence…, G.G.G. vol. 4, p. 5-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 36 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus…, G.G.G. vol. 6, p. 9-15 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

30

30

d'où, (D''I)⊥ (BC) ; par hypothèse, (BC)⊥ (D'I) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (D''I) // (D'I) ; en conséquence, (D''I) = (D'I) ; D'' et D' étant sur (B'C'), D'' et D' sont confondus.

B C

A

I

E

F

A'

K L

D

1a

D'C'

B'

1

2

• Conclusion : (B'C') est la tangente commune extérieure à 1 et 2 en D' i.e. 2 est tangent à 1 en D'. Archives :

37

37 https://artofproblemsolving.com/community/c3491_2004_iran_mo_3rd_round

31

31

5. La tangente de Feuerbach

VISION

Figure :

B C

A

I

D

1

D', NaC' B'

Fe

D"

Tfe

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, D le point de contact de 1 avec (BC), A'B'C' le triangle médian de ABC, D' l'antipôle de D relativement à 1, Fe le point de Feuerbach de ABC, Tfe la tangente de Feuerbach à 1 en Fe et D'' l'isotome de D relativement à [BC]. Donné : si, (B'C') est la tangente à 1 en D' (i.e. Na) alors, Tfe passe par D''.

VISUALISATION

• Conclusion : d'après Trajan Lalesco 38, D' étant le point de Nagel de ABC,

Tfe passe par D''.

38 Lalesco T., La Géométrie du triangle, réédition J. Gabay, Paris (1987) proposition 4-39 p. 35 USAMO 2001 Problem 2, AoPS du 01/10/2005 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h54049_usamo_2001_problem_2 Myakishev A., 9—10, Prove that point lies on the incircle, Sharygin contest 2008. The correspondence round. Problem 13 Mathlinks du 03/09/2008 ; http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=48439151&t=224272 Incircle, Mathlinks du 12/03/2010 ; http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=337716 Ayme J.-L., La tangente de Feuerchbach, G.G.G. vol. 13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

32

32

6. Le pied de la A-hauteur

VISION

Figure :

B C

A

I

D

1

Fe

D"

Tfe

Ha

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, D le point de contact de 1 avec (BC), Fe le point de Feuerbach de ABC, Tfe la tangente de Feuerbach à 1 en Fe, Ha le pied de la A-hauteur de ABC et D'' l'isotome de D relativement à [BC]. Donné : si, Tfe passe par D''

alors, D est le milieu de [D''Ha].

VISUALISATION

B C

A

I

D

1

D', Na

Fe

D"

Tfe

Ha

33

33

• Notons D' l'antipôle de D relativement à 1, • Conclusion : A, D' et D'' étant alignés, d'après Thalès de Milet ''La droite des milieux'', appliqué au triangle AD''Ha, D est le milieu de [D''Ha]. 7. La A-hauteur

VISION

Figure :

B C

A

I

D

1

r

Ha D''

Traits : ABC un triangle, Ha le pied de la A-hauteur de ABC, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, r le rayon de 1, D le point de contact de 1 avec (BC), et D'' l'isotome de D relativement à [BC]. Donné : si, D est le milieu de [D''Ha] alors, AHa = 4.r.

VISUALISATION

34

34

B C

A

I

D

1

D'

r

Ha D''

r

• Notons D' l'antipôle de D relativement à 1. • Conclusion : A, D' et D'' étant alignés,

d'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle AHaD'', AHa = 4.r.

Conséquences : (1) Rayon du A-excercle 39

B C

A

I

D

1

r

Ha

D''

Ia

1'a

4r

ra

• Notons Ia le A-excentre, 1'a le A-excercle de ABC 39 Revista OIM n° 19 ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/index.html Bellot Rosado F., Triangulos especiales III ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/numero19.htm

35

35

et ra le rayons de 1'a. • D'après l'axiome de passage IIIb appliqué à la bande de frointière (AHa) et (IaD''), I est le milieu de [AIa]. • Conclusion : d'après ''La droite des milieux'' appliqué au trapèze croisé AHaD''Ia, ra = 2r. (2) Aire de ABC [ABC] = a.ra

(3) Une relation 40

B C

A

O

I

D

1

Ha

c b

0 R

R

• Notons b, c les longueurs resp. de [AC], [AB], 0 le cercle cercle circonscrit à ABC,

O le centre de 0 et R le rayons de 0.

• Triangle ABC : AB.AC = AHa.2.AO. 41 • Conclusion : par substitution et réduction, bc = 8.rR.

(4) Une relation avec les A, B, C-excercles

• Notons 2.p le périmètre de ABC

et ra, rb, rc les rayons resp. des A, B, C-excrcles de ABC. • Par culture géométrique, (p –a).ra = (p –b).rb = (p –c).rc (= S i.e. l'aire de ABC). • Nous avons : * (p –a).ra = 2.(p –a)/2.(1/ra) = a/(1/ra)

40 Relation 2 in triangle ABC so that AB + AC = 3.BC

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1619822_relation_2_in_triangle_abc_so_that_ab__ac__3bc Revista OIM n° 19 ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/index.html

Bellot Rosado F., Triangulos especiales III ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/numero19.htm 41 A very simple relation, AoPS du 24/02/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1203163_a_very_simple_relation

36

36

* a/(1/ra) = (2.p – b – c)/(1/rb + 1/rc) = a/(1/rb + 1/rc) • Conclusion : 1/ra = 1/rb + 1/rc. 8. Retour à la contrainte

VISION

Figure :

B C

A

I

D

1 r

Ha

4.r

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, r le rayon de 1, DEF le triangle de contact de ABC et Ha le pied de la A-hauteur de ABC. Donné : si, AHa = 4.r alors, AB + AC = 2.BC.

VISUALISATION

37

37

B C

A

I

D

1 r

Ha

4.r

a

b c

• Notons a, b, c les longueurs resp. de [BC], [CA], [AB], 2.p le périmètre de ABC et S l'aire de ABC. • Une chasse par les aires : * par la formule égyptienne, 2S = a.AHa * d'après A. I. 7. AHa = 4.r * avec le demi-périmètre p, S = p.r * par substitution et simplification, 2.p = 4.a i.e. b + c = 3.a. • Conclusion : par commutativité de +, AB + AC = 3.BC.

9. Archive

42

42 Revista OIM n° 19 ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/index.html Bellot Rosado F., Triangulos especiales III ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/numero19.htm

38

38

B. DES RÉCIPROQUES REMARQUABLES

1. I est un tiers-point

B C

X

A 0

U

I

1a

• Une chasse segmentaire :

* I étant le premier tiers-point de [AU] à partir de U, 3.UI = UA * en considérant 1a, 3.BU = UA * par multiplication par BC, BU.3.BC = UA.BC * d'après ''Le théorème de Ptolémée'',

appliqué au quadrilatère cyclique ABUC, AU.BC = BU.AC + CU.AB * sachant que UB = UC, BU.AC + CU.AB = BU.(AC + AB) * par transitivité de =, BU.3.BC = BU.(AC + AB) * par simplification et symétrie de =, 3.BC = AC + AB.

• Conclusion : par symétrie de = et commutativité de +, AB + AC = 3.BC. 2. I est un quart-point 43

43 Ayme J.-L., A converse, AoPS du 23/10/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1533434_a_converse

39

39

B C

X

A

0

U

I

J

W

V

• Une chasse segmentaire : * I étant le premier quart-point de [AX] à partir de X, 4.XI = XA

* en prenant I par origine, 3.IX = IA

* J étant le milieu de [AI] 44, IA = 2.IJ

* d'après ''Un papillon excentré'' 45 appliqué au quadrilatère BCWV, 1/IX + 1/IA = 1/IJ + 1/IU

* par substitution, 2.IU = IA * en prenant U par origine, 3.UI = UA

• Conclusion : d'après A. 2, AB + AC = 3.BC. 3. (B'C') est tangente au cercle inscrit 46

44 a geometry problem, AoPS du 18/09/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1307444_a_geometry_problem 45 Extended butterfly, Mathlinks du 27/01/2005 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=49&t=24896 Butterfly 's theorem, Mathlinks du 25/02/2005 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=50&t=28062 Challenging Geometry Proof, Mathlinks du 11/04/2010 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=344604 Ayme J.-L., A new metamorphosis of the butterfly problem, G.G.G. vol. 7, p. 98-100 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 46 b+c=3a (Nagel Point), AoPS du 19/01/2011 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h387181

40

40

B C

A

E

F

A'D

D'C'

B'

1

• Notons 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, D' l'antipôle de D relativement à 1 et A'B'C' le triangle médian de ABC. • (B'C') est tangente à 1 en D'. • Une chasse segmentaire :

* d'après ''Le théorème de Pitot'' 47 appliqué au quadrilatère tangentiel BCB'C', BC' + CB' = BC + B'C'

* par multiplication par 2, 2.BC' + 2.CB' = 2.BC + 2.B'C' * d'après Thalès ''La droite des milieux'', AB + AC = 2.BC + BC. • Conclusion : par réduction, AB + AC = 3.BC.

47 Ayme J.-L., Equal incircles theorem, G.G.G. vol. 20, p. 7-11 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

41

41

C. APPENDICE

I. ABC sous la contrainte AB + AC = 3.BC 1. Une parallèle à un côté du triangle

VISION

Figure :

A

B C

D

E

F 1

E' F'

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit de ABC, DEF le triangle de contact de ABC et E', F' les pieds des E, F-hauteurs de DEF. Donné : (E'F') est parallèle à (BC).

VISUALISATION

A

B C

D

E

F 1

E' F'

2

Td

• Notons Td la tangente à 1 en D et 2 le cercle de diamètre [EF] ; il passe par E', F'.

42

42

• Scolie : Td = (BC). • Les cercles 1 et 2, les points de base F et E, les moniennes (DFE') et (DEF'), conduisent au théorème 1 de Reim ; il s'en suit que Td // (E'F'). • Conclusion : (E'F') est parallèle à (BC). Scolies : (1) un triangle homothétique à ABC

A

B C

D

E

F 1

E' F'

D'

• Notons D' le pied de la D-hauteur de DEF. • Mutatis mutandis, nous montrerions que * (F'D') est parallèle à (CA) * (D'F') est parallèle à (AB). • Conclusion : le triangle D'E'F' est homothétique à ABC. Enoncé traditionnel :

le triangle orthique du triangle de contact d'un triangle est

homothétique à ce dernier. (2) Trois droites concourantes

A

B C

D

E

F 1

E' F'

D'

M

43

43

• Conclusion : ABC étant homothétique à D'E'F', (AD'), (BE') et (CF') sont concourantes. • Notons M ce point de concours. (3) Avec les premiers B, C-perpoints de ABC

A

B C

I

D

E

F

1

E' F'

D'

M

Y

Z

0

C+

B+

• Notons I le centre de 1, 0 le cercle circonscrit à ABC, Y, Z les points d'intersection resp. de (BE') et (CA), (CF') et (AB), et B+, C+ les premiers B, C-perpoints de ABC. • Conclusion : d'après D. Annexe 2, (B+I) passe par Y et (C+I) passe par Z. 2. Trois droites concourantes en M 48

48 Döttl J., Neue merkwürdige Punkte des Dreiecks (1886) n° 1

44

44

A

B C

I

D

E

F

1

E'F'

D'

M

Y

Z

Ia

Traits : aux hypothèse et notations précédentes, nous ajoutons

et Ia le A-excentre de ABC. Donné : Ia, D et M sont alignés.

VISUALISATION

• Conclusion : les triangles IaBC et DE'F' étant homothétiques, Ia, D et M sont alignés. Scolie : M est répertorié sous X57 chez ETC. 49

49 Kimberling C., Encyclopedia of triangle Centers ; http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

45

45

3. La redécouverte de Tran Quang Hung 50

A

B C

I

D

E

F

1 E'

F'

D'

M

Y

Z O

Ia

Ic

Ib

Be

2

• Notons qu'aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons

IaIbIc le triangle excentral de ABC, 2 le cercle circonscrit à IaIbIc et Be le centre de 2. • Mutatis mutandis, nous montrerions que Ib, E et M sont alignés Ic, F et M sont alignés. en conséquence, les triangles IaIbIc et DEF étant homothétiques de centre M 51

I, Be et M sont alignés. • O étant le milieu de [IBe] 52, I, O, Be et M sont alignés. • Conclusion : M est sur (OI).

50 Cf. A. 2. scolie 12

Triangle with AB+AC=3BC, AoPS du 10/06/2015 ; https://artofproblemsolving.com/community/q1h1100046p4956141 https://artofproblemsolving.com/community/q2h1100046p4951416

51 Döttl J., Neue merkwürdige Punkte des Dreiecks (1886) n° 1 52 Ayme J.-L., Cinq théorèmes de Christian von Nagel, G.G.G. vol. 3, p. 24-25 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

46

46

Scolie : l'orthocentre de DEF 53

A

B C

I

D

E

F

1

E' F'H'

D'

M

Y

Z

• Notons qu'aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons

H' l'orthocentre de DEF. • Conclusion : (OI) étant la droite d'Euler de DEF, M, H' et I sont alignés.

53 Ayme J.-L., Three collinear points, AoPS du 18/10/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1530752_three_collinear_points

47

47

II. ABC est quelconque

1. Trois droites concourantes 54

B C

A

O

0

U

I

D

E

F

C+

Z

B+

Y

M

F*

• Notons qu'aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons

Y le point d'intersection de la perpendiculaire à (AI) en I avec (AC).

B C

A

0

I

D

E

F

C+

Y

F*

1

F'

D''

54 Ayme J.-L., Three concurrent lines, AoPS du 16/10/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1529617_abac3bc

48

48

• Notons F* le point d'intersection de (FI) et (DE), F' le second point d'intersection de (FI) avec 1 et D'' le point d'intersection de (F'Y) et (BC). • Par symétrie d'axe (IY), (F'Y) est la tangente à 1 en F'. • Conclusion : d'après Isaac Newton ''Quadrilatère circonscriptible'' 55, (BY) passe par F*.

55 Newton I., Principes (1686), corollaire II du lemme XXIV

49

49

D. ANNEXE

1. La droite d'Euler du triangle de contact 56

A

B C

I

D

E

F

1 H'

O

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit de ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC,

H' l'orthocentre de DEF et O le centre du cercle circonscrit à ABC. Donné : I, H' et O sont alignés. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 57 Scolie : (IH') est la droite d'Euler de DEF

56 Weill, Journal de Liouville (série 3) 4 (1878) 270

i find it difficult [Euler line of intouch triangle], Iran 1995, Hungary-Israel Competition 2000 ; 97th Kurschak Competition 1997, Problem 2, Mathlinks du 15/07/2004 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=6228 Collinear with incenter, circumcenter, Mathlinks du 17/01/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=458759

Circumcentre on the Euler line, Mathlinks du 26/01/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=460542 Lemma in Geometry, AoPS du 18/12/2016 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1355925_lemma_in_geometry Eulers line, AoPS du 17/04/2013 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=530071 Ayme J.-L. Collection mathématique autour du cercle inscrit, 28. Problem 1, G.G.G. vol. 50 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

57 Ayme J.-L., Droite de Simson de pôle Fe relativement au triangle de contact, G.G.G. vol. 7 p.12 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

Orthocenter, Incenter,and Circumcenter, AoPS du 25/06/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=485822

50

50

2. Un alignement 58

A

B C

I

D

F

E

1

A+

D'

0

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, A+ le premier A-perpoint de ABC, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC et D' le pied de la D-hauteur de DEF. Donné : (AD') et (IA+) se coupent sur (BC). Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 59

58 Nice geometry problem, AoPS du 18/12/2014 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=617958 Ayme J.-L., Three collinear points, AoPS du 15/10/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1529253_three_collinear_points

59 Ayme J.-L., Collection mathématique autour du cercle inscrit, 57. Problem 7, G.G.G. vol. 50 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

51

51

E. UN EXERCICE 60

Traits : ABC un triangle tel que AB + AC = 3.BC

0 le cercle circonscrit à ABC C+ le premier C-perpoint de ABC, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de1, J le milieu de [AI], DEF le triangle de contact ABC

et D' le pied de la D-hauteur de DEF. Donné : (BD'), (C+J) et (AC) sont concourantes.

60 Ayme J.-L., AB + AC = 3.BC (II ), AoPS du 16/10/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1529641_abac_3bc__ii

52

52

F. LEXIQUE

FRANÇAIS - ANGLAIS

A aligné collinear annexe annex axiome axiom appendice appendix adjoint associate a propos by the way btw acutangle acute angle axiome axiom B bissectrice bisector bande strip C centre incenter centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle cévienne cevian colinéaire collinear concourance concurrence coincide coincide confondu coincident côté side par conséquence consequently commentaire comment D d'après according to donc therefore droite line d'où hence distinct de different from E extérieur external F figure figure H hauteur altitude hypothèse hypothesis I intérieur internal identique identical i.e. namely incidence incidence L lemme lemma lisibilité legibility M mediane median médiatrice perpendicular bissector milieu midpoint

N Notons name nécessaire necessary note historique historic note O orthocentre orthocenter ou encore otherwise P parallèle parallel parallèles entre elles parallel to each other parallélogramme parallelogram pédal pedal perpendiculaire perpendicular pied foot point de vue point of view postulat postulate point point pour tout for any Q quadrilatère quadrilateral R remerciements thanks reconnaissance acknowledgement respectivement respectively rapport ratio répertorier to index S semblable similar sens clockwise in this order segment segment Sommaire summary symédiane symmedian suffisante sufficient sommet (s) vertex (vertice) T trapèze trapezium tel que such as théorème theorem triangle triangle triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle

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