A22 - Correcteurs analogiques

A22 - Correcteurs analogiques

1ère partie : correction d'un système du 1er ordre

But : corriger un système du premier ordre (simulé par un réseau RC) à l'aide de correcteurs P, I, PI, en technologie analogique.

Soit un système électrique dont la fonction de transfert H(p), du premier ordre, est connue : 1) Etude du système en boucle ouverte

Etude théorique :a) Exprimer sous forme normalisée H(p) en fonction de la constante de temps τ du système. A.N. : calculer τ.

Etude expérimentale : - Réponse à un signal carré (réponse indicielle) : vr(t) = signal carré symétrique, amplitude crête à crête ∆vr = 2 V, f = 40 Hz.

b) Imprimer vs(t) . Rapidité : mesurer le temps de réponse à 5% : tr . Vérifier que : tr ≈ 3τ.c) Précision : visualiser l’erreur ε(t) = vr(t) – vs(t) à l’oscilloscope. Que vaut (en volts) l'écart

statique ε ? En déduire sa valeur définie en pourcentage par :

€

ε01 =ε

∆vr.

- Réponse à un signal triangulaire : vr(t) = signal triangulaire symétrique, ∆vr = 2V crête à crête, f = 40 Hz.

d) Visualiser vs(t). Y a-t-il erreur de pente ?

e)Mesurer (en pourcentage) l’erreur de traînage

€

ε02 =ε

∆vr

Ce système est inséré dans une boucle de régulation à retour unitaire, comprenant un correcteur dont la fonction de transfert sera notée C(p).

Schéma fonctionnel : C(p) H(p)εve

Ve(p) Vs(p)

vsvr

T(p) = C(p). H(p) fonction de transfert de la chaîne directe en boucle ouverte.

€

F( p) =Vs( p)

Ve( p)fonction de transfert en boucle fermée.

f) Schéma de principe du correcteur : c'est un amplificateur inverseur à gain réglable :

∞Z1

Z2

Correcteur

€

k =′ r

′ r + ′ ′ r

vr

r”

r’

– ε

Soit k le rapport de division de tension du potentiomètre. En supposant que ce potentiomètre fonctionne presque à vide, montrer que :

€

C( p) =vr

ε=

1

k

Z2

Z1

Par la suite, on pose :

€

K =1

k (gain statique)

G. Pinson - Physique Appliquée Correcteurs analogiques A22-TP / 1----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ISBN 978-2-9520781-1-5 http://www.syscope.net © G. Pinson, 2011

R

C

10 kΩ

100 nF

vr vs

∆vr

ε

http://www.syscope.net

Réglage du gain statique : le réglage de k s’effectuera à l’aide d’un ohmmètre connecté entre le curseur du potentiomètre (5 kΩ, 10 tours) et la masse. Pour cela, il ne faut pas que le potentiomètre soit relié au reste du circuit ⇒ ôter momentanément les cavaliers pour faire la mesure.

Schéma complet de la maquette comparateur + correcteur ( : cavaliers)

Z2∞

∞

∞

11 kΩ

11 kΩ

Comparateur

∞

Z1

100 kΩ

100 kΩ

R1

R2

C1

– εvr

Correcteur

ve

vs

11 kΩ

11 kΩ

emplacementpour C2

r”

r’ k =r’ +r”

r’

Remarque : pour éliminer le signe – introduit par l'amplificateur inverseur, le comparateur exécute en réalité l’opération vs – ve = – ε ⇒ pour visualiser l'erreur, il faut inverser l'entrée de l’oscilloscope.

2) Correction proportionnelle P : C(p) = K

Soit : R1 = R2 = 100 kΩ ; on choisit K = 5 ⇔ k = 0,20. Montage complet (le câblage des masses n'est pas représenté) :

1

Comparateur

∞100 kΩ

100 kΩ

R1

R2

– εCorrecteur

ve

vs

GBFR

C

10 kΩ

100 nF

vr vs

boucle de retour unitaire

Systèmek

osc.

Etude théorique :a) Exprimer T(p). b) Exprimer F(p) en fonction de τ et K. A.N. : calculer les valeurs du gain statique, noté KF, et de la constante de temps, notée τF, de F.

Etude expérimentale : Réponse à un signal carré (réponse indicielle) : ve(t) = signal carré symétrique, ∆ve = 2V crête à

crête, f = 40 Hz.c) Imprimer vs . Mesurer le temps de réponse à 5% : tr . En déduire τF. Comparer τF à τ.d) Visualiser l’erreur ε(t) à l’oscilloscope. Mesurer (en volts) l'écart statique ε et exprimer celui-ci

en pourcentage par :

€

ε01 =ε

∆ve. Justifier sa valeur.




e) Mesurer la dynamique admissible en entrée. La «dynamique d’entrée» est le plus grand

intervalle ∆ve = vemax – vemin de variation possible de ve , en dehors duquel le système sature (saturation de ε et/ou de vr : il faut visualiser ces

deux tensions).

sortie

entrée

saturation

dynamiqued'entrée

vemin vemax

Réponse à un signal triangulaire : ve(t) = signal triangulaire symétrique, ∆ve = 2V crête à crête, f = 40 Hz.

f) Visualiser vs(t). Que vaut (en %) l’erreur sur la pente ∆p/p ? Méthode de calcul :

ve

vs∆ve ∆vs

T/2

ε02

pe = ∆ve

T2

ps = ∆vs

T

2

⇒∆p

p=

pe − ps

pe=1−

∆vs

∆ve

g) L’erreur ε02 en régime permanent est-elle finie ou infinie ?

Variations de K (par variation de k) :Faire varier K pour observer qualitativement comment varient le temps de réponse à 5% et la dynamique.

3) Correction Intégrale I :

∞

Z1

Z2

k

100 kΩR1

C2 = 100 nF

Etude théorique :a) On pose : K = 1/k ; Ti = R1C2 .Exprimer C(p)

en fonction de K et Ti (schéma ci-contre).

b) Exprimer T(p) . c) Donner l’allure des diagrammes asymptotiques de gain et de phase de T(p). On pose : Fi = 1/2πTi (fréquence propre du correcteur) et Fs = 1/2πτ (fréquence propre du système). Indiquer les valeurs numériques de Fi et Fs sur ces diagrammes.

d) Calculer K pour avoir une "marge de phase" de 45° (suivre explications en séance).e) Exprimer F(p) ; en déduire les expressions de m et τ0 en fonction de Ti, K et τ. Α.Ν

Rappel : fonction de transfert principale du second ordre :

€

1

1+ 2mτ0p+ τ02p2




Etude expérimentale :

Régler le rapport k pour avoir K = 10 (rappel : k = 1/K).Réponse à un signal carré : ve(t) : signal carré symétrique, 2V crête à crête, f = 40 Hz.

f) Imprimer vs . Mesurer le dépassement (en %). Déterminer le temps de réponse à 5% : tr . Justifier les valeurs mesurées (voir formulaire, cours §A14).g) Visualiser l’erreur. En déduire la valeur de ε01. Conclusion ?h) Mesurer la dynamique d’entrée.

Réponse à un signal triangulaire : ve(t) : signal triangulaire symétrique, 2V crête à crête, f = 40 Hz.i) Visualiser la tension de sortie vs : y a-t-il une erreur de pente ?

j) Mesurer l’erreur

€

ε02 =ε

∆ve. Conclusion.

Variations de K (par variation de k) :Visualiser la réponse à un signal carré en faisant varier K. Conclusion.

4) Correction Proportionnelle Intégrale PI

∞

Z1

Z2

k

100 kΩR1

C2

100 kΩR2

Etude théorique :a) On pose : K = 1/k ; Ti = R1C2 .Expimer C(p)

en fonction de K et Ti (schéma ci-contre).

b) On choisit un réglage particulier et simple : Ti

= τ. Exprimer T(p). A.N. : calculer C2 et k pour avoir K = 5c) Exprimer F(p) en fonction de τ et K. A.N. : calculer les valeurs du gain statique, noté KF, et

de la constante de temps, notée τF, de F..


Réponse à un signal carré : ve(t) : signal carré symétrique, 2V crête à crête, f = 40 Hz.d) Imprimer vs . Déterminer le temps de réponse à 5% : tr. Mesurer le dépassement. Justifier les valeurs mesurées.e) Visualiser l’erreur. En déduire la valeur de ε01. Conclusion ?f) Etudier la dynamique d’entrée (visualiser la sortie du correcteur).

Réponse à un signal triangulaire : ve(t) : signal triangulaire symétrique, 2V crête à crête, f = 40 Hz.g) Visualiser la tension de sortie vs : y a-t-il une erreur de pente ?h) Visualiser l’erreur : conclusion sur ε02.

Tableau récapitulatif

question correcteur temps de réponse

erreur statique

dynamique dépasse- ment

erreur de pente

erreur de traînage

tr (ms) ε01 (%) ∆Ve (v) D (%) ∆p/p (%) ε02 (%)1er o. -1 boucle ouverte1er o. -2 correcteur P1er o. -3 correcteur I1er o. -4 correcteur PI




2ème partie : correction d'un système du 2ème ordre

But : corriger un système du deuxième ordre (simulé par deux réseaux RC) à l'aide de correcteurs PI et PID en technologie analogique.

On connecte maintenant le réseau R'C' pour constituer un système du deuxième ordre :

R

C

R’

C’

10 kΩ

100 nF

200 kΩ

1 nF

vr vs

1) Etude du système en boucle ouverte

Etude théorique :a) On suppose que le courant délivré par la première cellule RC vers la seconde R'C' est négligeable : par conséquent, la première cellule n'est pas chargée et fonctionne à vide. Exprimer H(p) en fonction des constantes de temps τ et τ′ du système. A.N. : calculer τ et τ′. En déduire les expressions de m et τ0. Application numérique.

Etude expérimentale : Réponse à un signal carré (réponse indicielle) : vr(t) = signal carré symétrique, ∆vr = 2 V crête à crête, f = 50 Hz.

b) Imprimer vs . Rapidité : mesurer le temps de réponse à 5% : tr . c) Précision : visualiser l’erreur ε(t) = vr(t) – vs(t) à l’oscilloscope. Que vaut (en volts) l'écart

statique ε ? En déduire sa valeur définie en pourcentage par :

€

ε01 =ε

∆vr.

Remarque : pour que l'impédance d'entrée de l'oscilloscope (qui équivaut à une résistance de 1 MΩ en parallèle avec un condensateur de 20 pF) n'influe pas sur le comportement du système, on utilise un amplificateur suiveur comme adaptateur d'impédance :

R

C

R’

C’

10 kΩ

100 nF

200 kΩ

1 nF

vrvs

1 MΩ 20 pF

∞

Réponse à un signal triangulaire : vr(t) = signal triangulaire symétrique, ∆vr = 2V crête à crête, f = 40 Hz.

e) Visualiser vs(t). Mesurer l'erreur de pente. f) Que vaut l’erreur de traînage ε02 ?

2) Correction Proportionnelle : C(p) = 5

Soit : R1 = R2 = 100 kΩ ; k = 0,2.

Etude théorique :a) Exprimer F(p) et en déduire les expressions de m et τ0. Application numérique.




Etude expérimentale :Réponse à un signal carré : ve(t) : signal carré symétrique, 1V crête à crête, f = 50 Hz.

b) Imprimer vs . Mesurer le dépassement D (en %). Mesurer le temps de réponse à 5% : tr .

c) Visualiser l’erreur ε et indiquer sa valeur (en %) en régime permanent :

€

ε01 =ε

∆ve.

d) Mesurer la dynamique en entrée.

Réponse à un signal triangulaire : ve(t) : signal triangulaire symétrique, 1V crête à crête, f = 50 Hz.e) Visualiser vs(t). Y a-t-il erreur de pente ? f) Visualiser ε. Conclusion sur ε02 ?

3) Correction Proportionnelle et Intégrale PI : C( p) = K 1+

1

Ti p

Le correcteur est réalisé comme précédemment (1ère partie, question 3d) : R1 = R2 = 100 kΩ ; C2 = 10 nF.

Etude théorique :a) On choisit d’éliminer la constante de temps la plus longue : on prend donc Ti = τ. Exprimer

T(p) dans ces conditions. b) Donner l’allure du diagramme asymptotique de gain de T(p). Calculer K pour avoir une marge

de phase de 45° (même méthode de calcul qu'au § 3 - 1ère partie).c) Exprimer F(p) ; en déduire les expressions de m et τ0 en fonction de Ti, K et τ'. Α.Ν.

Etude expérimentale : Calculer la valeur à donner à k. Régler k.

Réponse à un signal carré : ve(t) : signal carré symétrique, 1V crête à crête, f = 50 Hz.d) Imprimer vs . Mesurer le dépassement D (en %) . Déterminer le temps de réponse à 5% : tr . e) Visualiser l’erreur. En déduire la valeur de ε01. f) Mesurer la dynamique d’entrée.

Réponse à un signal triangulaire :ve(t) : signal triangulaire symétrique, 1V crête à crête, f = 50 Hz.g) Visualiser la tension de sortie vs : y a-t-il une erreur de pente ?h) Visualiser l’erreur : conclusion sur ε02.




4) Correction Proportionnelle Intégrale et Dérivée PID

∞

Z1

Z2

k

100 kΩR1

C2

100 kΩR2

C1

Etude théorique :a) Exprimer C(p) en fonction de K, R1, R2, C1,

C2. Montrer que C(p) a la forme de la fonction de

transfert d'un régulateur PID à structure série:

€

C( p) = K 1+ Td p( ) 1+1

Ti p

(On choisit un réglage simple : Td = R1C1 = τ et Ti = R2C2 = τ’, ainsi que : K = 2,5.

A. N. : Calculer C1, C2 et k .b) Exprimer T(p). c) Exprimer F(p). A.N. : calculer son gain

statique KF et sa constante de temps τF.

Etude expérimentale :Réponse à un signal carré : ve(t) : signal carré symétrique, f = 50 Hz.

d) Mesurer la dynamique d’entrée. Constater que dans ce mode de correction le correcteur travaille presque toujours en tout ou rien en début de correction : expliquer pourquoi. En déduire le choix d’une valeur convenable de l’amplitude crête à crête de ve pour qu’il n’y ait pas saturation.

e) Imprimer vs . Mesurer le temps de réponse à 5% : tr. Mesurer le dépassement. Justifier.f) Visualiser l’erreur. En déduire la valeur de ε01. Conclusion ?

Réponse à un signal triangulaire : ve(t) : signal triangulaire symétrique, amplitude crête à crête sans changement, f = 50 Hz.

g) Visualiser la tension de sortie vs : y a-t-il une erreur de pente ?h) Visualiser l’erreur : conclusion sur ε02.

Variations de k :En agissant sur k, observer qualitativement le comportement du régulateur. Conclusion.

Tableau récapitulatif

question correcteur temps réponse

erreur statique

dynamique dépasse- ment

erreur de pente

erreur de traînage

tr (ms) ε01 (%) ∆Ve (v) D (%) ∆p/p (%) ε02 (%)2ème o. -1 boucle ouverte2ème o. -2 correcteur P2ème o. -3 correcteur PI2ème o. -4 correcteur PID




3ème partie : Intégrateur

But : procédure de détermination des paramètres caractéristiques (gain statique et constante de temps) d'un correcteur proportionnel et intégral.

1) Intégrateur pur : action sur un signal carré

∞C

vs

∞

10kΩ

10kΩ 10kΩ

0,1µF R1 t

0

ve

€

T

2–A

+A

€

−T

2

ve

On pose : ve(t) = –A pour –T / 2 < t < 0 et ve(t) = +A pour 0 < t < T / 2.

Mesure : ve(t) est un signal carré symétrique d'amplitude crête A = 0,2V et de fréquence 20 Hz. Observer le signal de sortie vs(t), en agissant éventuellement sur l'offset du GBF pour essayer d'éliminer toute composante continue de ve. Que constate-t-on ?

Optimisation du fonctionnement du montage :

On veut limiter le gain en tension continu à

€

Vs

Ve

max

= 300 à l'aide d'une résistance r i connectée

en parallèle avec le condensateur : r i

.

a) Calculer r i (rappel : l'impédance du condensateur en continu est infinie). Expérimenter. Conclusion.

b) Etablir la fonction de transfert

€

Vs

Vejω( ) de l'intégrateur pur (sans r i).

c) Calculer la fréquence pour laquelle

€

Vs

Ve = 300. En déduire la plage de fonctionnement en

fréquence de l'intégrateur muni de sa résistance r i .d) Tracer dans le plan de Bode le diagramme asymptotique de gain.

Calculs littéraux : a) Etablir l'expression de l'équation différentielle qui lie ve(t) et vs(t). On pose : τi = R1C. b) En déduire l'expression des réponses vs(t) lorsque ve(t) = +A et ve(t) = –A. (on suppose que la constante d'intégration est nulle).




2) Application : procédure de détermination des caractéristiques d'un correcteur PIOn modifie le montage comme indiqué sur le schéma.

Mesure : appliquer un signal carré identique au signal utilisé plus haut. Relever vs(t) (imprimer l'oscillogramme sur feuille A4).

∞

C

vs

∞

10kΩ

10kΩ 10kΩ

0,1µF

R1 100kΩ

R2

r i

Calculs littéraux :

a) Montrer que la fonction de transfert de ce circuit s'écrit (avec p = jω) :

€

Vs

Vep( ) = Ki 1+

1

τi p

.

NB : dans ce calcul, négliger r i .

b) En déduire (par changement

€

1

p→ . dt∫ ) l'équation différentielle qui lie ve(t) et vs(t).

c) En déduire l'expression des réponses vs(t) lorsque ve(t) = +A et ve(t) = –A. (on suppose que la constante d'intégration est nulle).

d) Calculer vs(0–) et vs(0+). En déduire

€

∆vs[ ]0−

0+ = vs(0+) – vs(0–), variation instantanée de la

tension de sortie en t = 0.

e) Calculer vs+(2τi). En déduire

€

∆vs[ ]0+

2τ i = vs(2τi) – vs(0+), variation de la tension de sortie entre

t = 0+ et t = 2τi .

Exploitation des mesures : on veut mesurer Ki et τi : f) Des questions d) et e) déduire une procédure de mesure de 2τi , donc de τi , à partir du relevé

effectué précédemment.g) Connaissant l'amplitude A, en déduire la mesure de Ki .




4ème partie : dérivateur

But : procédure de détermination des paramètres caractéristiques (gain statique et constante de temps) d'un correcteur proportionnel et dérivée.

1) Dérivateur pur : action sur un signal triangulaire

inverseur de gain unitépour changer le signe

∞C

vs

∞

10kΩ

10kΩ

100kΩ

0,1µF

R2

t 0

ve

€

T

2–A

+A

€

−T

2T

Mesure : ve(t) est un signal triangulaire symétrique d'amplitude crête A = 2V et de fréquence 20 Hz. Relever le signal de sortie vs(t).

Calculs littéraux : a) Etablir l'expression de l'équation différentielle qui lie ve(t) et vs(t). On pose : τd = R2C. b) On pose : ve–(t) = –at + b pour –T / 2 < t < 0 et ve+(t) = at + b pour 0 < t < T / 2. Exprimer a et b en fonction de A et T. c) Calculer les réponses vs–(t) pour –T / 2 < t < 0 et vs+(t) pour 0 < t < T / 2.

Optimisation du signal de sortie : Sur le relevé précédent, on remarque la présence d'un bruit haute fréquence important. Pour

réduire ce bruit, on limite le gain en tension HF à

€

Vs

Ve

max

= 200 à l'aide d'une résistance rd

connectée en série avec le condensateur : rd

a) Calculer rd (rappel : en HF, l'impédance du condensateur est négligeable). Expérimenter. Conclusion.

b) Etablir la fonction de transfert

€

Vs

Vejω( ) du dérivateur pur (sans rd).

c) Calculer la fréquence pour laquelle

€

Vs

Ve = 200. En déduire la plage de fonctionnement en

fréquence du dérivateur muni de sa résistance rd.d) Tracer dans le plan de Bode le diagramme asymptotique de gain.




2) Application : procédure de détermination des caractéristiques d'un correcteur PD

On modifie le montage comme indiqué sur le schéma.

∞

R2

C vs ∞

10kΩ

10kΩ

100kΩ

0,1µF

100kΩ

R1

Mesure : appliquer un signal triangulaire identique au signal utilisé plus haut. Relever vs(t) (imprimer l'oscillogramme sur feuille A4).


a) Montrer que la fonction de transfert de ce circuit s'écrit (avec p = jω) :

€

Vs

Vep( ) = Kd (1+ τdp) .

b) En déduire (par changement

€

p →d .

dt) l'équation différentielle qui lie ve(t) et vs(t).

c) Calculer les réponses vs–(t) pour –T / 2 < t < 0 et vs+(t) pour 0 < t < T / 2.

d) Calculer vs–(0) et vs+(0). En déduire

€

∆vs[ ]0−

0+ = vs+(0) – vs–(0), variation instantanée de la

tension de sortie en t = 0.

e) Calculer vs+(2τd). En déduire

€

∆vs[ ]0+

2τ d = vs+(2τd) – vs+(0), variation de la tension de sortie

entre t = 0+ et t = 2τd.

Exploitation des mesures : on veut mesurer Kd et τd : f) Des questions d) et e) déduire une procédure de mesure de 2τd, donc de τd, à partir du relevé

effectué précédemment.g) Connaissant la pente a, en déduire la mesure de Kd.




CommentairesBut : corriger un système (du premier ou du second ordre) pour que celui-ci réponde de façon plus rapide aux sollicitations d'entrée (échelon ou rampe) tout en restant stable et sans apporter d'erreur statique.

1ère partie : correction d'un système du 1er ordre


Etude théorique :

1a En appliquant la règle du pont diviseur de tension, il vient :

€

H( jω) =Vs

Vr=

1

jCω

R+1

jCω

=1

1+ jRCω⇒ H ( p) =

1

1+ τp ; avec τ = RC = 10

4.100.10

-9 = 1ms

Rappel (voir chapitre A14) : Réponse (théorique) à l'échelon unité :

€

vs = 1− e−

t

τ


ms tr

1b tr = 3τ = 3 ms1c ε01 = 0 . Il n'y a pas d'erreur statique car H(0) = 1 ⇔ Vs = Vr à fréquence nulle, c'est à dire en

courant continu (en régime statique, ω ou f = 0).1d ∆p/p = 0 (pas d'erreur de pente)1e ε02 ≈ 8 %

∞Z1

Z2

€

k =′ r

′ r + ′ ′ r

vr r”

r’

– ε

ip i2

ip kvr

1f On suppose que le courant ip qui traverse le potentiomètre est très supérieur au courant i2 traversant l'impédance Z2 : ce potentiomètre fonctionne presque à vide. Sa tension de sortie au nivau de son curseur vaut donc kvr , où k est le rapport de division de tension.

i2

i1

La méthode de calcul usuelle du gain du montage inverseur par la loi des nœuds s'applique ici en substituant kvr à vr :

€

i1 + i2 = 0 ⇒−εZ1

+kvr

Z 2= 0⇒ C( jω) =

1

k.Z2

Z1 soit encore :

€

C( p) = KZ2( p)

Z1( p)




2) Correction proportionnelle P : C(p) = K = 5

Etude théorique :

2a Chaîne directe :

€

T = C.H =K

1+ τp2b Calcul de la fonction de transfert en boucle fermée F(p) d'un système à retour unitaire :

T(p)ε

Ve(p) Vs(p) Vs = T.ε = T(Vs – Ve) ⇒ (1+T )Vs = T.Ve ⇒

€

F =Vs

Ve=

T

1+ T

Application : on calcule F en factorisant le dénominateur de son expression par 1+K :

€

F =T

1+ T=

K

1+ τp

1+K

1+ τp

=K

K +1+ τp=

K

K + 1K F

1

1+τ

K + 1τ F

p=

KF

1+ τF p

avec

€

KF =K

K + 1=

5

6= 0,83 (gain statique) et

€

τF =τ

K + 1=

τ6

= 0,167 ms (constante de temps).

Rappel : réponse à l'échelon unité :

€

vs = KF 1− e−

t

τ F

=5

61− e−6x( )


ε01

ms tr

2c tr = 3τ = 0,5 ms2d En régime statique, par définition, la fréquence est nulle, donc ω = 0 et p = 0 : la fonction de transfert devient :

€

F =Vs

Ve= KF

On en déduit l'erreur relative commise sur l'amplitude ∆vs du signal de sortie par rapport à l'amplitude ∆ve du signal d'entrée :

€

ε01 =ε

∆ve=

∆ve −∆vs

∆ve=1− KF = 1−

5

6=

1

6=17%

2e ∆vemax = 2,5 V (plus grand échelon de tension possible avant saturation du correcteur)2f ∆p/p = 17 % (NB : valeur identique à ε01)2g ε02 = ∞ (plus exactement, l'écart entre ve et vs tendrait vers l'infini si ces signaux n'étaient pas

périodique, puisque les pentes ne sont pas égales)

Conclusion :Le système en boucle fermée répond plus rapidement qu'en boucle ouverte (temps de réponse divisé par 6) mais introduit un écart statique important (17% d'erreur).




3) Correction Intégrale I :

Etude théorique :

3a D'après la formule obtenus au paragraphe 1, il vient :

€

C = KZ2

Z1= K

1

R1C2p=

K

Ti p avec Ti = R1C2 = 10 ms

3b

€

T = C.H =K

Ti p

1

1+ τp3c On pose :

€

Fs =1

2πτ (système) = 159 Hz

€

Fi =1

2πTi (correcteur)= 15,9 Hz

Donc T s'écrit encore, en notation complexe :

€

T = K1

jf

Fi

1

1+ jf

Fs

D'où l'on déduit le gain en dB de la fonction T :

€

G = 20logT = 20logK − 20logf

Fi− 20log1+ j

f

Fs

3d On constate que cette fonction est une fonction du second ordre pour f ≥ Fs. Or on sait qu'un système en boucle fermée est stable si et seulement si son gain en valeur linéaire est ≤ 1 (ou, en décibels : G ≤ 0 dB) dans le bande de fréquence où le système travaille en 2° ordre (ici pour f ≥ Fs ). Il faut donc limiter le gain statique K à une certaine valeur telle que G ≤ 0 pour f ≥ Fs.

Pour déterminer K on considère le gain de la fonction

€

T

K :

€

GK = 20logT

K= −20log

f

Fi− 20log1+ j

f

Fs

(NB : dans ce qui suit, pour simplifier, on se limite au diagramme asymptotique de cette fonction). D'après ce qui précède on peut relever ce diagramme d'une quantité égale à 20logK telle que :

G = 20logK + GK ≤ 0 pour f ≥ Fs

soit, en effectuant ce calcul à partir de l'asymptote du 1er ordre au point d'abscisse f = Fs :

€

20logK − 20logf

Fi≤ 0

€

⇒ K ≤Fs

Fi=

Ti

τ= 10

On règle donc le potentiomètre du correcteur à la valeur k = 1/K = 0,1 , ce qui augmente le gain de :∆G = 20 log 10 = 20 dB

Remarque : au diagramme asymptotique de gain correspond le diagramme asymptotique de phase tel qu'en f = Fs il existe une marge de 45° entre ce diagramme et l'asymptote à –180°. Or on sait qu'au-delà d'un déphasage de 180° introduit par le système en boucle fermée celui-ci peut devenir instable. Cette condition de stabilité (marge de phase ≥ 45°) est équivalente à la condition précédente (marge de gain). Mais comme la valeur de cette marge de phase (45°) est toujours la même quelque soit le système considéré, il est d'usage de parler de "marge de phase à 45°" alors que le réglage s'effectue d'après un calcul sur la marge de gain.




G

ϕ

f

f

0 dB

-90°

-180°

Fi Fs

45° : marge de phase

-6dB/oct

-20dB/dec

€

−20logFsFi

+20logK : marge de gain

€

−20logf

Fi

0°

3e

€

F =T

1+ T=

KTi p

11+ τp

1+K

Ti p

1

1+ τp

=1

1+Ti

Kp +

Ti τK

p2

Par identification avec la fonction de transfert principale du second ordre, il vient :

€

F =1

1+ 2mτ0 p + τ02 p2

⇒τ0 = Ti τ

K=1 ms

m =1

2

Ti

Kτ= 0,5

Rappel : réponse à l'échelon unité (m < 1) :

€

vs = 1− e−m

t

τ 0 cos 1− m2 t

τ0+

m

1− m2sin 1− m2 t

τ0


ms tr

D%

3f mesures : tr = 5,28 ms ; D = 16 %

NB : vérification par calcul :

€

D = e−

πm

1−m2

= 0,163g ε01 = 0 %

3h ∆ve = 13 V ; 3i ∆p/p = 0 % ; 3j ε02 ≈ 8 %

Conclusion :La correction intégrale pure supprime l'écart statique, au prix d'un temps de réponse excessif qui ne correspond plus au but recherché.




4) Correction Proportionnelle Intégrale PI

Etude théorique :

4a En sachant que

€

C = KZ2

Z1 et que R1 = R2, il vient :

€

C = K

R2 + 1C2p

R1= K 1+

1

R1C2 p

= K 1+

1

Ti p

= K

Ti p

1+ Ti p

4b Ti = τ ⇒

€

T = C.H = KTi p

1+ Ti p

1

1+ τp=

K

τpTi = R1C2 = τ ⇒ C2 = 10 nF

K = 5 ⇔ k = 0,24c En factorisant par K :

€

F =T

1+ T=

K

τp

1+K

τp

=1

1+τKτ F

p

τF = τ/K = 0,2 msKF = 1

rappel : réponse à léchelon unité :

€

vs = 1− e−

t

τ F = 1− e−5x


ms tr

4d tr = 3τ = 0,6 msD = 0 %

4e ε01 = 0 %

4f ∆ve = 2,5 V ; 4g ∆p/p = 0 % ; 4h ε02 ≈ 1 %

Conclusion :La correction PI donne au système en boucle fermée une fonction de transfert du premier ordre de gain statique unité. Le système est donc intrinsèquement stable (1er ordre) et sans erreur statique (KF = 1). En outre le cahier des charges est bien respecté cette fois, puisque le temps de réponse s'en trouve divisé par 5.




2ème partie : correction d'un système du 2ème ordre


Etude théorique :

1a Calcul simplifié : application de la règle du pont diviseur de tension si l'on suppose que le courant issue du circuit RC est négligeable :

€

H =Vs

Vr=

Vs

Vi.Vi

Vr

R

C

R’

C’

10 kΩ

100 nF

200 kΩ

1 nFVe Vi Vs

i = 0

€

Vs

Vi

= 1

1+ RCp= 1

1+ τpVi

Vr

= 1

1+ ′ R ′ C p= 1

1+ ′ τ p

⇒ H =1

(1+ τp)(1+ ′ τ p)=

1

1+ ( τ + ′ τ ) p+ τ ′ τ p2

Avec τ = RC = 1 ms et τ' = R'C' = 0,2 ms. Par identification, il vient :

€

H =1

1+ 2mτ0 p + τ02 p2

⇒τ0 = τ ′ τ = 0,447 ms

m = 1

2

τ + ′ τ τ ′ τ

= 1,34

Calcul exact : si l'on tient compte du courant débité par la première cellule RC dans la seconde, on obtient la relation (démonstration complète : voir TP A25 page 5) :

€

H =1

(1+ Z4Y2)(1+ Z3Y1) + Z4Y1 Z4 Z3

Z2 Z1 Vr Vi Vs

Avec : Z4 = R ; Z3 = R' ; Y2 = Cp ; Y1 = C'p. D'où, en posant τ" = RC' = 0,01 ms :

€

H =1

(1+ RCp)(1+ ′ R ′ C p) + R ′ C p=

1

1+ (τ + ′ τ + ′ ′ τ )p + τ ′ τ p2

Après identification, on constate que la fréquence propre du système n'est pas modifiée (τ0 sans

changement), mais que l'amortissement exact est :

€

m =1

2

τ + ′ τ + ′ ′ τ τ ′ τ

= 1,35

On vérifie que la différence constatée avec la valeur obtenue de façon approchée est négligeable.

Rappel : réponse à l'échelon unité (m > 1) :

€

vs = 1− e−m

t

τ 0 ch m2 −1t

τ0+

m

m2 −1sh m2 −1

t

τ0


ms tr

1b tr = 3,21 ms ; 1c ε01 = 0 ; 1d ∆p/p = 0 ; 1e ε02 ≈ 9 %




2) Correction Proportionnelle : C(p) = 5

Etude théorique :

2a

€

T = C.H =K

(1+ τp)(1+ ′ τ p)=

K

1+ (τ + ′ τ ) p+ τ ′ τ p2 avec K = 5

€

F =T

1+ T=

K

1+ (τ + ′ τ ) p+ τ ′ τ p2

1+K

1+ (τ + ′ τ ) p + τ ′ τ p2

=K

1+ (τ + ′ τ ) p + τ ′ τ p2 + K

€

F =K

K + 1

1

1+τ + ′ τ K +1

p +τ ′ τ

K + 1p2

(après factorisation par K + 1)

Par identification avec la forme canonique

€

1

1+ 2mτ0p+ τ02p2

, il vient :

€

KF =K

K + 1=

5

6= 0,83

€

τ0 =τ ′ τ

K +1=

τ ′ τ 6

= 0,1826 ms

€

m =1

2

τ + ′ τ ( K + 1)τ ′ τ

=1

2

τ + ′ τ 6τ ′ τ

= 0,548

Rappel : réponse à l'échelon unité (m < 1) :

€

vs = 1− e−m

t

τ 0 cos 1− m2 t

τ0+

m

1− m2sin 1− m2 t

τ0


ε01

ms tr

D%

L'introduction d'un correcteur P améliore la rapidité du système mais introduit un écart statique et un dépassement :

2c tr = 0,95 ms ; D = 13 %


€

D = e−

πm

1−m2

= 0,132d ε01 = 17 %


€

ε01 = 1− KF = 1−5

6=

1

6≈ 0,17

2e ∆ve = 2,5 V ; 2f ∆p/p = 17 % ; 2g ε02 = ∞




3) Correction Proportionnelle et Intégrale PI

Etude théorique

3a

€

C( p) = K 1+1

Ti p

= K

1+ Ti p

Ti p

€

T = C.H = K1+ Ti p

Ti p

1

(1+ τp)(1+ ′ τ p)

On choisit Ti = τ ⇒

€

T =K

τp

1

1+ ′ τ p après simplification par 1 + τp

3b diagramme asymptotique et méthode de calcul : voir premère partie, §3.

Fi =

€

Fs =1

2πτ = 159 Hz

F’s =

€

1

2π ′ τ = 796 Hz

€

⇒ K ≤F 'sFs

=τ′ τ = 5 ⇔ k = 0,2

∆G = 20 log 5 = 14 dB

3c

€

F =T

1+ T=

K

τp

1

1+ ′ τ p

1+K

τp

1

1+ ′ τ p

=1

1+τK

p+τ ′ τ K

p2

Après identification avec la forme

€

1

1+ 2mτ0p+ τ02p2

, il vient :

KF = 1

€

m =1

2

τKτ '

= 0,5

€

τ0 =τ ′ τ K

= 0,2 ms


D%

ms tr

L'introduction d'un correcteur PI supprime l'écart statique mais n'élimine pas le dépassement :

3f tr = 1,05 ms ; D = 16 % NB : vérification par calcul :

€

D = e−

πm

1−m2

= 0,163g ε01 = 0 %

3h ∆ve = 2 V ; 3i ∆p/p = 0 % ; 3j ε02 = 2 %




4) Correction Proportionnelle Intégrale et Dérivée PID

Etude théorique :

4a Rappel :

€

C( p) = KZ2( p)

Z1( p)

€

1

Z1=

1

R1+ C1 p =

1+ R1C1p

R1

€

Z2 = R2 +1

C2p=

1+ R2C2 p

C2p

€

⇒ C = K1+ R1C1p

R1.1+ R2C2 p

C2 p= K(1+ R1C1 p)

1+ R2C2 p

R2C2p car R1 = R2

C(p) est donc bien de la forme

€

K 1+ Td p( ) 1+1

Ti p

, avec :

Td = R1C1 = τ = 1 ms ⇒ C1 = 10 nFTi = R2C2 = τ' = 0,2 ms ⇒ C2 = 2 nFet K = 2,5 ⇒ k = 0,4

4b

€

T = C.H = K 1+ Tdp( ) 1+ Ti p

Ti p

1

(1+ τp)(1+ ′ τ p)=

K′ τ p

après simplifications

4c

€

F =T

1+ T=

1

1+′ τ

Kp

KF = 1τF = 0,08 ms


ms tr

L'introduction du correcteur PID élimine l'écart statique et le dépassement tout en permettant une réponse très rapide. On constate qu'aux fréquences proposées (40 à 50 Hz) un signal carré traverse la double cellule RC pratiquement sans déformation ! Mais cette performance implique un signal réglant vr de très grande amplitude, ce qui limite considérablement la dynamique d'entrée ∆ve.4d tr = 0,24 ms

D = 0 %4e ε01 = 0 %

4f ∆ve = 0,3 V ; 4g ∆p/p = 0 % ; 4h ε02 = 0,8 %




Remarque générale : dans ce qui précède, les différentes réponses à une rampe n'ont pas été détaillées. En valeur absolue, l'erreur ε02 est mesurée comme indiqué ci-dessous lorsqu'il n'y a pas

d'erreur de pente - sinon on la considère comme infinie.

ε02 dépend de l'amplitude du signal triangulaire utilisé pour simuler la rampe si on calcule ε02 en

valeur relative (%) par rapport à cette amplitude.

écart statique ε02

= erreur de traînage

rampe

réponse d'un système du 1er ordre réponse d'un système du 2ème ordre




3ème partie : Intégrateur

I- Intérateur pur : action sur un signal carré

τi = R1C = 1 msa) Amélioration du fonctionnement du montage : ri /R1 = 300 ⇒ r i = 3 MΩ

b)

€

Vs

Ve=

1

jτiω ⇒ c)

€

Vs

Ve=

1

τi ω= 300 ⇔ 0,53 Hz < f < ∞

d)


a)

€

vs =1

τive dt

0

t

∫ avec τi = R1C = 1 ms ;

b) ve = –A ⇒

€

vs( t) = −A

τit et ve = +A ⇒

€

vs+(t ) =A

τit

avec :

€

A

τ i = 200 V/s .

2) Application : étude d'un correcteur proportionnel et intégral


a)

€

Vs

Vejω( ) =

R2

R1(1+

1

R2Cjω) ⇒

€

Ki =R2

R1=10 ; τi = R2C = 10ms

b)

€

Vs

Vep( ) = Ki (1+

1

τd p) ⇒

€

vs = Kive +Ki

τivedt

0

t

∫

c) ve = –A ⇒

€

vs( t) = −Ki A−Ki A

τ it ; ve = +A ⇒

€

vs( t) = Ki A+Ki A

τ it

d)

€

vs−(0) = −Ki A+ c et

€

vs+(0) = Ki A+ c ⇒

€

∆vs[ ]0−

0+ = 2KiA

e)

€

vs+(2τi ) = Ki A+ 2Ki A

τiτi ⇒

€

∆vs[ ]0

2τ i = 2Ki A

τ iτi

f) Sur le graphe on cherche l'instant où

€

∆vs[ ]0

t =

€

∆vs[ ]0−

0+. Cet instant est : t = 2τi

g)

€

⇒ Ki =∆vs[ ]0−

0+

2A



€

1

2πτi= 160Hz

20log300 = 50dB G

f

0,5 Hz

t 0

ve

€

T

2–A

+A

€

−T

2T

vs

2τi

c


4ème partie : Dérivateur

1) Dérivateur pur : action sur un signal triangulaire

Calculs littéraux : a)

€

vs = τddvedt

avec τd = R2C = 10 ms ;

b)

€

ve−( t) = −4A

Tt − A et

€

ve+(t ) =4A

Tt − A

avec : T = 1/20 = 50 ms ⇒ a = 160 V/s et b = –2V ;c) vs = ± aτ = ± 1,6 V.

Optimisation du signal de sortie : R2 / rd = 200 ⇒ rd = 500 Ω

€

Vs

Ve= jτdω

⇒

€

Vs

Ve= τdω = 200⇔ 0 < f <

200

2πτd= 3200Hz

2) Application : procédure de détermination des

caractéristiques d'un correcteur PD


a)

€

Vs

Vejω( ) =

R2

R1(1+ R1Cjω) ⇒

€

Kd =R2

R1= 1 ; τd = R1C = 10ms

b)

€

Vs

Vep( ) = Kd (1+ τdp) ⇒

€

vs = Kdve + Kdτddve

dt

c)

€

ve = −at + b ⇒

€

vs−( t) = −Kdat + Kdb− Kdτda ;

€

ve = +at + b ⇒

€

vs+(t ) = Kdat + Kdb+ Kd τda

d)

€

vs−(0) = Kdb− Kd τda et

€

vs+(0) = Kdb+ Kd τda ⇒

€

∆vs[ ]0−

0+ = 2Kdτda

e)

€

vs+(2τd ) = Kdb+ 3Kdτda ⇒

€

∆vs[ ]0

2τ d = 2Kdτda

f) Sur le graphe on cherche l'instant où :

€

∆vs[ ]0

t =

€

∆vs[ ]0−

0+.

Cet instant est : t = 2τd

g)

€

⇒ Kd =∆vs[ ]0−

0+

2τda



t 0

ve

€

T

2–A

+A

€

−T

2T

vs

€

1

2πτd=16Hz

20log200 = 46dB

3200 Hz

G

f

t 0

ve

€

T

2–A

+A

€

−T

2T

vs

2τd


Documents

A22 - Correcteurs analogiques