13mes Journes Internationales de Thermique

Albi, France du 28 au 30 Aot 2007 1

INFLUENCE DES EFFETS DE DIFFUSION CROISES SUR LA PRODUCTION DENTROPIE EN CONVECTION PAR

DOUBLE DIFFUSION

Mourad MAGHERBI, Nejib HIDOURI, Ammar BEN BRAHIM Institut Suprieur des Sciences Appliques et de Technologie, Avenue Omar Ibn El Khattab,

Gabs 6029, TUNISIE Ecole Nationale dIngnieurs de Gabs, Avenue Omar Ibn El Khattab, 6029 Gabs, TUNISIE

magherbim@yahoo.fr, n_hidouri@yahoo.com, Ammar.BenBrahim@enig.rnu.tn

Rsum : Linfluence des effets de diffusion croiss, savoir les effets Dufour et Soret sur la production dentropie en convection par double diffusion est numriquement tudie. La production dentropie est value en fonction du paramtre de Dufour (KF), du rapport de thermodiffusion (KT) et du nombre de Grashof thermique (GrT), et ce pour le cas particulier ou les forces de flottabilit thermique et solutale sont gales en intensits mais agissent de faon oppose (N = -1). Il a t trouv que les effets de diffusion croiss entranent laugmentation de la production dentropie pour des valeurs relativement modres du nombre de Grashof thermique. Par contre, leffet Soret tend diminuer la production dentropie pour des valeurs du nombre de Grashof thermique relativement leves.

Mots cls : convection par double diffusion, production dentropie, processus irrversibles, effet Soret, effet Dufour, mthodes numriques.

1. INTRODUCTION

L'utilisation efficace de lnergie est lobjectif primordial lors de la conception dun systme ou dun procd. Ce ci peut tre obtenu par la minimisation de la production dentropie (destruction de lnergie). Beaucoup douvrages ont analys la production dentropie en terme des irrversibilits externes et internes. En gnral, lorigine des irrversibilits est lie aux phnomnes de transfert de chaleur et de masse, aux ractions chimiques, la turbulence, lcoulement du fluide, etc [1]. Lanalyse du second principe a t dcrit en dtail par Bejan [2, 3]. Il a prsent les tapes de base concernant la minimisation de lentropie produite. Nag et Kumar [4] ont dtermin une valeur optimale de la diffrence de temprature initiale pour aboutir un minimum de production dentropie en convection naturelle pour lcoulement dun fluide dans une enceinte ferme.

Vu son importance fondamentale et pratique (ocanographie, mtallurgie, gophysique, pollution de lair, ), la convection par double diffusion est essentiellement caractrise par les phnomnes de transfert de chaleur et de masse, qui sont lorigine de la production dentropie. De plus, lorsque les processus de transfert de chaleur et de masse ont lieu simultanment, ils interfrent entre eux et produisent ce quon appelle les effets de diffusion croiss. Le flux de chaleur induit par un gradient de concentration et le flux de matire induit par un gradient de temprature sont respectivement, connus sous les noms des effets, Dufour et Soret. Dans la plupart des tudes, ces effets ont t ngligs. Pourtant il existe des exceptions, Eckert et Drake [5] ont prsent plusieurs cas ou leffet Dufour ne peut pas tre nglig. Weaver et Viskanta [6] ont tudi linfluence des effets Soret et Dufour en convection naturelle thermosolutale dans une cavit carre. Ils ont montr que la contribution de leffet Soret au flux total de masse peut atteindre 10 15%. Le flux dnergie caus par leffet Dufour peut tre comparable celui obtenu par la conduction pure. Hidouri et al. [7]

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08Manuscrit auteur, publi dans "JITH 2007, Albi : France (2007)"

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ont tudi linfluence de leffet Soret sur la production dentropie en convection naturelle thermosolutale. Ils ont montr que la production dentropie prend une valeur minimale pour un rapport de flottabilit N = -1 et ce pour de nombres de Grashof thermique GrT 104.

2. MODELISATION

Lcoulement est suppos bidimensionnel et laminaire. Les quations gouvernant le problme ont t formules en considrant les hypothses usuelles dun fluide incompressible et newtonien. Le problme est dcrit par la Figure 1. Il sagit dune cavit carre de longueur L, remplie dun mlange gazeux (air-espce polluante) suppos comme gaz parfaits. Les parois verticales sont maintenues des tempratures et des concentrations uniformes mais diffrentes, tandis que les parois horizontales sont isoles :

Figure 1 : Configuration de lcoulement Force de flottabilit thermique Force de flottabilit solutale

Les quations adimensionnelles de conservation de la masse, de la quantit de mouvement, de lnergie et de la diffusion, en tenant en compte les effets Dufour et Soret, scrivent comme suit : div U = 0 (1)

( )xPu grad Pr. u.div

u

=+ U (2)

( ) ( )

N. Gr PryP

vgrad Pr. v.divv

T2 ++

=+

U (3)

( ) ( )

grad .Kdiv grad .div

F=+ U (4)

( )

=+

.

grad .

KdivLe1 grad .Le

1 .div

TU (5) Les quations (4) et (5) montrent les contributions des effets Dufour et Soret sur les

champs de temprature et de concentration. Le problme est gouvern par six paramtres adimensionnels qui sont : le nombre de Prandtl Pr, le nombre de Grashof thermique GrT, le rapport de flottabilit N, le paramtre de Dufour KF (caractrisant leffet Dufour), le nombre de Lewis Le et le rapport de thermodiffusion KT (caractrisant leffet Soret). Ces paramtres sont dfinis comme suit :

Pr = /, GrT = [g.T.(T1-T2).L3]/2, N = GrS/GrT, KF = [(W.DF)/].(T/S), Le = /D, KT = [DT.C.(1-C).T]/D (6) S et T sont respectivement les coefficients dexpansion solutale et thermique.W tant un paramtre thermodynamique positif (en K2) dfini par : W = [(C0.T0)/CP].(sp/C)T0, C0 (7) Les conditions aux limites et initiales appropries sont :

T2

C2

T1

C1 y

x Isole

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Pour x = 0 et 0 y 1 : = 1, = 1, u = v = 0 (8) Pour x = 1 et 0 y 1 : = 0, = 0, u = v = 0 (9) En y = 0 et y = 1 x : (/y) = 0, (/y) = 0, u = v = 0 (10) A = 0, = 0.5, = 0, u = v = 0 et P = 0 en tout point de la cavit (11)

Les expressions adimensionnelles de la production dentropie locale, pour le cas dun mlange binaire de gaz parfait en convection par double diffusion, sont donnes par [7] :

( )

+

= S t y

x

2 2 (12)

( )

+

+

+

= Sv

x v

y u

y v

xu

2 2 2 2

1 (13)

+

= S y

x

2 2 2 , (14)

( )

+

= S , y

y

x

x

3 (15)

St, Sv, S, et S, sont respectivement, les irrversibilits lies aux gradients thermiques, aux effets de viscosit, la somme des gradients de concentration et la somme dun produit mixte des gradients de temprature et de concentration. Les deux derniers types forment la production dentropie locale due la diffusion massique (Sd), soit : Sd = S, + S, (16)

Ainsi, la production dentropie locale adimensionnelle (S) est donne par : S = St + Sv + Sd (17) 1, 2 et 3 sont les rapports de distribution des irrversibilits, ils sont donns par :

1 = [(.T0)/k].[/L.(T1-T2)]2, 2 = [(0.D.R.T02)/(k.C0)].[(C1-C2)/(T1-T2)]2, 3 = [(0.D.R.T0)/k].[(C1-C2)/(T1-T2)] (18) Les irrversibilits lies aux ractions chimiques ont t ngliges. Ainsi la production dentropie totale adimensionnelle, value sur tout le domaine (la cavit) est donne par : =

cavitdxdy S ST (19)

3. METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION

Un code de rsolution numrique en variables primaires (u, v, P) en approximation 2D a t ralis la base de la mthode des volumes finis, en utilisant une technique doubles grilles dcales (voir dtails de la validation dans Hidouri et al. [7]). Lalgorithme SIMPLER de Patankar [8] a t utilis pour rsoudre les quations en combinaison avec un schma de directions alternes pour lvolution temporelle. Un critre de convergence global est impos via lquation de continuit tels que div U 10-6. Un critre de convergence local est vrifi en chaque point de la cavit tels que Max.| (+ - )/ + | 10-5, ou = (, ). La production dentropie locale est calcule en chaque point du domaine par lquation (17), et la production dentropie totale est ainsi dduite en utilisant lquation (19).

4. RESULTATS ET DISCUSSION

Lanalyse de linfluence des effets de diffusion croiss (effets Soret et Dufour) sur la production dentropie en convection par double diffusion est ralise pour le cas dun

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mlange binaire de gaz suppos parfaits ou les forces de flottabilit thermique et solutale sont gales en intensit mais de sens contraire (N = -1). Le gaz est caractris par un nombre de Lewis, Le = 1.2 et un nombre de Prandtl, Pr = 0.71. Les rapports de distribution des irrversibilits sont respectivement fixs 1 = 10-4, 2 = 0.5 et 3 = 10-2. Les valeurs du paramtre de Dufour, KF et du rapport de thermodiffusion, KT ont t choisies de faon arbitraire tels que 0 KF 0.6 et 0 KT 0.07. Deux valeurs du nombre de Grashof thermique ont t considres, GrT = 104 et 5x104. Les tailles des grilles sont gales 41x41 et 51x51 points nodaux pour respectivement GrT = 104 et 5x104. Ces tailles ont t trouves suffisantes pour aboutir aux solutions du rgime permanent. Le pas de temps est = 10-3.

Pour des valeurs modres du nombre de Grashof thermique (GrT = 104) et pour de valeurs fixes du rapport de thermodiffusion KT, la Figure 2 montre que la production dentropie augmente avec le paramtre de Dufour. Cette augmentation est plus prononce pour des valeurs leves de KF (KF 0.4). Ceci est d essentiellement laugmentation des irrversibilits lies aux gradients de tempratures. Leffet Dufour contribue laugmentation du flux thermique, par consquent les changes de chaleur augmentent.

Figure 2: ST = f(KT) pour Figure 3: ST = f(KT) pour diffrentes valeurs de KF, GrT = 104 diffrentes valeurs de KF, GrT = 5x104

Pour des valeurs fixes du paramtre de Dufour tel que KF 0.2, la production dentropie est sa valeur minimale constante. Au-del, lamplitude de la production dentropie augmente, traduisant ainsi laugmentation des changes de chaleur. En conclusion, pour des valeurs modres du nombre de Grashof thermique, la production dentropie augmente via laugmentation des irrversibilits lies aux gradients thermiques cause par leffet Dufour.

En augmentant le nombre de Grashof thermique (GrT = 5x104), le gradient thermique augmente. La Figure 3 montre quen absence de leffet Soret (KT = 0), la production dentropie augmente avec KF. Ceci est d au fait que le champ de concentration est indpendant de leffet Soret (quation 5). Par consquent les champs de vitesse, de temprature et de concentration augmentent avec le paramtre de Dufour, pour atteindre leur valeur maximale lorsque ce paramtre est maximal, ce qui entrane que les irrversibilits thermique, diffusive et visqueuse sont aussi leurs valeurs maximales.

Pour des valeurs fixes du rapport de thermodiffusion (KT 0), la production dentropie augmente avec le paramtre de Dufour. Leffet Dufour provoque laugmentation de la production dentropie locale lie aux effets de temprature, de diffusion et de frottement. Pour des valeurs fixes de KF, la production dentropie diminue avec laugmentation de KT. Leffet Soret provoque la diminution des irrversibilits thermique, diffusive et visqueuse. A KT = 0.03, la production dentropie totale est sa valeur minimale, traduisant ainsi un tat dquilibre stable, du fait que toutes les irrversibilits locales sont aussi leurs valeurs minimales. Au-del de KT = 0.03, la production dentropie augmente lgrement et ce pour des valeurs considrables du paramtre de Dufour (KF 0.4). En conclusion, pour des valeurs

ST

0 0.02 0.04 0.06 0.081.521.561.601.641.681.72

Rapport de thermodiffusion (KT)

KF = 0 KF = 0.2 KF = 0.4 KF = 0.6

ST

0 0.02 0.04 0.06 0.08123456 KF = 0 KF = 0.2

KF = 0.4 KF = 0.6

Rapport de thermodiffusion (KT)

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du nombre de Grashof thermique relativement leves, leffet Dufour provoque toujours la production dentropie, et inversement leffet Soret tends diminuer cette augmentation jusqu' une valeur minimale traduisant un tat dquilibre thermodynamique stable.

5. CONCLUSION

Linfluence des effets de diffusion croiss sur la production dentropie en convection par double diffusion a t numriquement tudie. Les effets Soret et Dufour ont une influence considrable sur la production dentropie. A titre dexemple, lamplitude de lentropie produite est 1.1 fois plus grande pour GrT =104 ( KF = 0.6 et KT = 0.07 compar au cas o KF = KT = 0) et 3.56 fois plus grande pour GrT = 5x104 ( KF = 0.6 et KT = 0.02 compar au cas o KF = 0.2 et KT = 0.02). Leffet Dufour tend toujours augmenter la production dentropie, et inversement leffet Soret tend la diminuer, surtout pour des nombres de Grashof thermique relativement importants.

Nomenclature

C concentration (en fraction massique) C0 concentration moyenne CP chaleur massique pression constante, J.kg-1.K-1 D diffusivit massique, m2.s-1 DF coefficient de Dufour, m2.s-1.K-1 DT coefficient de thermodiffusion, m

2.s

-1.K-1

g acclration de la pesanteur, m.s-2 GrS nombre de Grashof solutal k conductivit thermique, W.m-1.K-1 P pression adimensionnelle R constante thermodynamique du fluide, J.kg-1.K-1 T temprature du fluide, K

T0 temprature moyenne du fluide, K u, v composantes adimensionnelles de la vitesse U vecteur vitesse adimensionnelle

Symboles grecs diffusivit thermique, m2.s-1 viscosit dynamique, Pa.s sp potentiel chimique massique, J.kg-1 viscosit cinmatique, m2.s-1 0 masse volumique T0 et C0, kg.m-3 temprature adimensionnelle temps adimensionnel concentration adimensionnelle

Rfrences

[1] O. Bantista, F. Mendez et J. L. Martinez-Meyer, Bejans early vs. late regimes method applied to entropy generation in one-dimensional conduction, Int. J. of Thermal Sciences, Volume 44, pp570-576, 2005. [2] A. Bejan, Entropy generation minimization, CRC Press, New York, 1996. [3] A. Bejan, Second law analysis in heat transfer and thermal design, Adv. of Heat Transfer, Volume 15, pp1-58, 1982. [4] P. K. Nag et N. Kumar, Second law optimization of convective heat transfer through a duct with constant heat flux, Int. J. of Energy Resources, Volume 13, pp537-543, 1989. [5] E. R. G. Eckert et R. M. Drake, Analysis of heat and mass transfer, McGraw-Hill, New York, 1972. [6] J. A. Weaver et R. Viskanta, Natural convection due to horizontal temperature and concentration-2. Species interdiffusion, Soret and Dufour effects, Int. J. of Heat and Mass Transfer, Volume 34, pp3121-3133, 1991. [7] N. Hidouri, H. Abbassi, M. Magherbi et A. Ben Brahim, Influence of thermodiffusion effect on entropy generation in thermosolutal convection, Far East J. of Applied Mathematics, Volume 25, pp179-197, 2006. [8] S. V. Patankar, Numerical heat transfer and fluid flow, McGraw-Hill, New York, 1980.

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