Abstraction des trajectoires

d'un système continu en un automate

temporisé

S3: Surveillance, supervision, diagnostic des systèmes à événements discrets (25 mai 2004)

Application au diagnostic d'un procédé de digestion anaérobie

A. Hélias

Plan de l’exposéContexte, objectifs

Formalisme

Discrétisation

Conclusions, perspectives

Cadre théorique

D’un système EDO à un automate temporisé

Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie

Contexte (1)

UPR GREEN

Gestion des Déchets Organiques,Cirad-Tera Réunion

François Guerrin

Gestion des REssources renouvelables et de l’ENvironnement

Laboratoire de Biotechnologie de l’Environnement

Equipe Automatique,INRA Narbonne

Jean-Philippe Steyer

LBE-INRA

Projet Telemac (www.ercim.org/telemac)Projet Comore contrôle et modélisation

de ressources renouvelables Olivier Bernard

Contexte (2)Les effluents d’élevage

Elevages dans les « Hauts »

Cultures dans les « Bas »N:3100 T

N:7850 TN:6000 TImportation

Cultures majoritaires

Elevages majoritaires

Zones mixtes

Zone non agricoles ou non étudiées

5

1 unité = 1 modèle

Modèle discret des possibilités d’épandages

Conduites des culturesRéglementation

stock stock

Approche

Discrétisation

Modèle continu

possible / impossible[début, fin] / avec une autre unité

Modèles dans le même formalisme

?model-checker

Autres Contextes

13 UP, 35 UC

n UP

1 UC…

Stock

Stock

Stock

Stock

UPn

UP2

UP1

UT

Approvisionnement d’unités de transformation d’effluent

Réseaux d’exploitations

43

porcsvolailles

maïs

c. à s. coupec. à s. replant.

friche/ exp.maraîchage

Scénario (1)

36

Temps(jours)

Objectif defertilisation

Absence detransfert

01porcsvolailles

maïs

c. à s. coupec. à s. replant.

friche/ exp.maraîchage

UP UC

Partie continue modèle discret Formalisme : l’automate temporisé Procédure d’abstraction

Une modélisation continue/discrète

Domaine développé depuis 1990De nombreux formalismesFortes connexions entre les différentes approches

Permet la simulation mais limité au niveau de l’analyse

modulairedynamique générique

Les systèmes dynamiques hybrides

Particularités

Modèles continus imprécis

Seuils par connaissance experte

Procédure « à la demande »

Utilisation d’intervalles

Etats qualitatifs du système

Selon la propriété à vérifier

Formalisme discret à temps continu

Plan de l’exposéContexte, objectifs

Formalisme

Discrétisation

Conclusions, perspectives

Cadre théorique

D’un système EDO à un automate temporisé

Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie

L’automate temporisé (Alur et Dill, 1994)

inv (X) inv (X)

garde reinit {X}

gardereinit {X}

Synchronisation Discontinuités par réinitialisation Associations de contraintes

a

s0 s1

b

1 2# | # |c c x x y # , , , ,

Les horloges :

Modularité : composition d’automates

Exemple Gestion des horaires sur un lieu de travail :

a ; x 4h ; y 0

y 2h

b ; y 1h

s0 s1

s0 : Présence sur le lieu de travails1 : Pause de la mi-journée

Au moins 4 heures de présence avant la pauseEntre 1 et 2 heures de pause

Produit d’automates Deux personnes partent au même moment mais retournent sur le lieu de travail séparément

a ; x1 4 ; y1 0 a ; x2 4 ; y2 0

y1 2s1 s2

b ; y1 1

s3 s4

y2 2

c ; y2 1

Réalisé automatiquement

s1,s3 a ; x1 4 ; x2 4 ; y1 0 ; y2 0

s2,s4y1 2y2 2

s1,s4

s3,s2c ; y2 1

c ; y2 1 b ; y1 1

b ; y1 1

Model-checking (TCTL)Système réel

Comportements du système

à vérifier

Modèle du système

Spécifications defonctionnement

Vérificationpar model-checking

Contre-exemple

Propriétévérifiée Quand

Atteignabilité : depuis l’état de départ, le système peut-il atteindre un état vérifiant une propriété p1 ?

Réponse bornée : atteignabilité dans un temps contraint ? KRONOS (http://www-verimag.imag.fr/TEMPORISE/kronos/)

Moments d’atteignabilité

Existence d’une horloge non réinitialisée dans l’automate

Résolution par programmation linéaire (min et max)

min f(x), max f(x) A.x b

-- Trace #1 -- < 0, X=Y>--- A_B --->< 1, 1<=X and X<=2 and X=Y>--- B_C --->< 2, 1<=X and Y<=3 and X=Y>

-- Trace #2 -- < 0, X=Y>--- --->< 2, Y<=3 and X=Y>

Kronos [-allpath -FULLDFS]...

Plan de l’exposéContexte, objectifs

Formalisme

Discrétisation

Conclusions, perspectives

Cadre théorique

D’un système EDO à un automate temporisé

Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie

Système continu

0 0

( , )( )

ft

0 0 0, ( ) ( ) ( )i i ii t t t

, , j j jt j t t t

Imprécisions sur les entrées et l’état initial

et définis de telle sorte que chaque enveloppe de chaque intervalle d’entrée soit affectée selon son influence sur la valeur des dérivées

Double système

0 0

0 0

( , )

( )

( , )

( )

f

t

f

t

, , ( ) ( ) ( )i i it i t t t

t

i

Propriété

Coopérativité (Smith 1995)

Alternative : maillage

Partition de l’espace d’état

1

3

2

1

3

2

l1,2

l1,3

l3,2

l2,3l2,2

l3,3

li,1

1

3

2

l1,2

l1,3

l3,2

l2,3l2,2

l3,3

li,1

Division de l’espace en cellulesSeuils sur les variables d’états

Etat discret : franchissement de seuil orienté

Franchissement d’un seuil

maxxminx"w" "v"

s1 s2

- Sens de franchissement selon le signe des dérivées

- Date au plus tôt, garde de l’arc- Date au plus tard, invariant du sommet précédent

t

v i i

maxmin

i

t

v

ii

maxmin

i

" " si

" " si min

min

v

v

vF

Cas Particuliers

"v"

"0"vx

vx

t

vi

i

v

0t

i

v

w

t

w

vi

i

vw

0t

i

v w

"v"

"0"wx

"w"vx w

x

vx

Premier franchissement de seuil

Deux seuils successifs

Cas Particuliers

t

w

v

i

i

0t

i

v w

"v"

"0"

"w"

wx

vx

t

vi

i

0t

i

v

"0"

"v"wx

Non franchissement d’un seuil

Chaque enveloppe franchit un seuil différent

Cas Particuliers

t

vii

0t

i

1v

2v

3v

1v

"v2"

1vx

"0"x

1v

"v1"

x 2v

3vx

x 2v

t

v

i

i

0t

i

v

"v"

"0"x t0

"v"x

v

t0x

vx

t0x

Plusieurs franchissements d’un même seuil

Espace d’état initial supérieur non compris dans une cellule

Evolution du système dans deux dimensions

1

v

w2

i

i

1

v

w2

i i

1

v

w2

i i

wx

vx

"v,w"

"0,0"x v

x w

"v,0"x w

"0,w"x v

wx

vx

"v"

"0"x v

vx

"0"x w

wx

"w"

Continu DiscretPour chaque dimension

seuils franchissables à t0

Pour chaque bornesimulation

seuils franchissables Sommets

sens Propositions

instants min Arcs et gardes

max Invariants

Produit des automates : A1 A2 … An

Automate temporisé de la dynamique continue imprécise

temps(jours)

N total(kg)

volume(m3)

x 169

s4

x 243s2

x 132

x 267s3

x 154

x 206s1

"0"

"75"

"90"

"100"

Exemple: stock de lisier

10090

75

132154169206243267temps(jours)

N total(kg)

volume(m3)

s2

x 141

x 162s1

"0"

"300"

162141

300

Automate temporisé

s1,1

s2,1

s3,1

s4,1

s4,2

s2,2

s1,2

s3,2

"0,0 "

"100,300"

"90,300"

"75,300"

"0,300" "75,0"

"90,0"

"100,0"

x 162

x 162

x 162

x 162

x 206

x 243

x 267

x 132 x 141

x 141

x 141 x 154

x 169 x 141

x 132 x 154

x 169

x 169

s4

x 243s2

x 132

x 267s3

x 154

x 206s1

"0"

"75"

"90"

"100"

s2

x 141

x 162s1

"0"

"300"

Plan de l’exposéContexte, objectifs

Formalisme

Discrétisation

Conclusions, perspectives

Cadre théorique

D’un système EDO à un automate temporisé

Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie

La digestion anaérobie

Hyd

roly

se e

t Aci

dogé

nèse

Mét

hano

génè

seA

céto

génè

se

CH4+CO2 CH4

Acétate CO2+H2

bactériesméthanogènes

hydrogénophiles

bactériesméthanogènesacétoclastes

Macromolécules

Acides organiques, Alcools, ...

bactéries hydrolytiques hydrolyse enzymatique

bactéries acidogènes

bactéries homoacétogènes

Monomères

bactéries acétogènes

Pilote du LBE-INRA

Echangeur de chaleur Température

Systèmede

dilution

pH

Biogaz

Sortie

pH

Réacteur

en lit fixe

de 1 m3

Eaux usées

Eau

NaOH

Réchauffeur

Membrane d’UF Analyseur COT

Capteur titrimétrique(AT, AP, AGVtot, Bic)

SpectromètreInfraRouge

(DCOs, COT, AGVtot, AGVC3, AT, AP, CO2d)

TOC = 2.35

Spectromètre UV(DCOs, COT, AGVtot)

CH4/CO2

H2

Débitde gaz

Pression

Débit derecirculationDébit

d'alimentation

Pilote du LBE-INRA

Bernard et al, 2001 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 1 1 3 2 2

CO 4 1 1 5 2 2

in

in

in

in

X D X

X D X

S D S S k X

S D S S k X k X

Z D Z Z

C D C C q k X k X

2

22

6 2 COCO

T CO

k X Pq

P P

max1

11 1

1 S

SS K

max

2

22 2 2

22 S

i

S

SS K

K

Monod Haldane

Simplifications les biomasses sont considérées constantes l’inhibition du taux de croissance de X2 par la production d’AGV n’est pas prise en compte

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 1 1 3 2 2

4 1 1 2 2

in

in

in

in P

S D S S k XS D S S k X k XZ D Z ZC D C C k X k X

2

2

CO5 6

T COP

Pk k k

P P

Coopérativité Jacobienne:

11 1

1

1 22 1 3 2

1 2

1 24 1 2

1 2

0 0 0

0 0

0 0 0

0P

D k XS

k X D k XS S

D

k X k X DS S

2CO 5

5 6T

P kP k k

Encadrement

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 1 1 3 2 2

4 1 1 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 1 1 3 2 2

4 1 1 2 2

in

in

in

in P

in

in

in

in P

S D S S k X

S D S S k X k X

Z D Z Z

C D C C k X k X

S D S S k X

S D S S k X k X

Z D Z Z

C D C C k X k X

2

2

+1 2

6 2 2CO

1 2

6 2 2CO

DCO

DCO

C

Tgaz

T

C

Tgaz

T

S k SPq k X

P P

S k SPq k X

P P

Seuils sur les variables

S10

S20 50 100normale élevée critique

Z0 100faible élevée

C0 75faible élevée

DCO0 2 10faible élevée critique5normale

qGaz0 200 400faible normal élevé

RelationsDCO normale, S2 normale, et qGaz normal : fonctionnement

normal du réacteur,DCO faible : sous charge, une plus grande quantité de matière

organique pourrait être traitée,DCO élevée : le réacteur n’arrive pas à traiter l’ensemble de la

matière organique, une pollution se retrouve en sortie,DCO critique : une pollution importante se retrouve en sortie.S2 normale : risque de surcharge organique très faible,Z élevée et S2 élevée : risque de surcharge organique faible,Z élevée et S2 critique : risque de surcharge organique,Z faible et S2 élevée : risque de surcharge organique important,Z faible et S2 critique : risque de surcharge organique très

important.qGaz faible : valorisation du biogaz peu importante,C élevée et qGaz élevé : production de gaz normale,C élevée et qGaz critique : production de gaz normale, difficulté

possible lors de sa valorisation (la composition du biogaz risque d’être altérée),

C faible et qGaz élevé : production de gaz problématique, difficulté lors de sa valorisation (i.e., sa composition risque d’être modifiée),

C faible et qGaz critique : production de gaz problématique, risque important lors de sa valorisation.

Prévision des entrées sur 4 jours

0 24 48 72 9600.020.040.060.08

0 24 48 72 9605

10152025

0 24 48 72 9650

100

150

0 24 48 72 960

100

200

300

0 24 48 72 960

20

40

60

mm

ol e

q H+.

L-1

mm

ol e

q H+.

L-1

gDCO

. L-1

mm

ol e

q acé

tate. L

-1S1in S2in

Zin Cin

D

temps (h)

temps (h)

2

2

1

10.04 0,2 .0.04 0,3 .

CO

CO

D P mmol LD P mmol L

Simulation

0 24 48 72 96025

10

25

0 24 48 72 960

200

400

600

gDCO

. L-1

mm

ol.h

-1

0 24 48 72 960

75

200

0 24 48 72 9650100

270

mm

ol e

q H+.

L-1

mm

ol e

q H+.

L-1

0 24 48 72 96050

100

250

0 24 48 72 960369

12

gDCO

. L-1

mm

ol e

q acé

tate. L

-1

S1 S2

Z C

DCO qGaz

temps (h) temps (h)

Vérification

DCO normale, S2 normale, et qGaz normal ?

Discrétisation :1152 sommets, 4608 transitions

2,0 5,0 6,0 2,1 2,2 5,2 5,3 6,2 6,30 l l l x l l l l l l

Exemple :118 atteignables

Vérification

S1

0

S2

0 50 100normale élevée critique

Z0 100bas élevée

C0 75bas élevée

DCO0 2 10bas élevée critique5normale

qgaz

0 200 400bas normal élevée

2,1l

2,1l 2,2

l2,2l 2,3

l2,3l 2,4

l2,4l

3,1l

3,1l 3,2

l3,2l 3,3

l3,3l

4,1l

4,1l 4,2

l4,2l 4,3

l4,3l

5,1l

5,1l 5,2

l5,2l 5,3

l5,3l 5,4

l5,4l 5,5

l5,5l

6,1l

6,1l 6,2

l6,2l 6,3

l6,3l 6,4

l6,4l

Vérification

DCO normale, S2 normale, et qGaz normal ?

Entre [24 49] et [84 96] heures

Discrétisation :1152 sommets, 4608 transitions

2,0 5,0 6,0 2,1 2,2 5,2 5,3 6,2 6,30 l l l x l l l l l l

Exemple :

Prévoir le fonctionnement du systèmes (avec prise en compte d’imprécisions)Opérations de maintenance à réaliser

118 atteignables

Plan de l’exposéContexte, objectifs

Formalisme

Discrétisation

Conclusions, perspectives

Cadre théorique

D’un système EDO à un automate temporisé

Exemple Etats de fonctionnement d’un digesteur anaérobie

Système continu modèle discretPrise en compte des imprécisions :plusieurs éléments (entrées, état initial) sont

estimés par des intervalles que deux systèmes EDO extrémaux,

définition de seuils sur les variables d’état connaissance experte,

états discrets : franchissements des seuils construction automatique,

1 automate pour chaque dimension produit des automates,

Partition de l’espace d’état :

« à la demande »

Limites et perspectivesLimites :

le système oscille autour d’une valeur de seuille nombre de seuils définis est élevé (e.g.,

supérieur à la centaine) approximations des instants de franchissement

Perspectivesmodéliser les différents sous-systèmes du pilote

(e.g., système de régulation de la température, bac de dilution en amont, capteurs…)

seuils flous

Merci