ACT2025 - Cours 19

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Dix-neuvième cours

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Rappel:

• Solde restant d’un prêt: rétrospectivement et prospectivement

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Rappel:

• Solde restant d’un prêt: rétrospectivement et prospectivement

• Portion de principal remboursé du ke paiement

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Rappel:

• Solde restant d’un prêt: rétrospectivement et prospectivement

• Portion de principal remboursé du ke paiement

• Portion d’intérêt du ke paiement

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Rappel:

• Solde restant d’un prêt: rétrospectivement et prospectivement

• Portion de principal remboursé du ke paiement

• Portion d’intérêt du ke paiement• Amortissement dans le cas d’un prêt dont le remboursement consiste en des paiements égaux

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Rappel:

• Solde restant d’un prêt: rétrospectivement et prospectivement

• Portion de principal remboursé du ke paiement• Portion d’intérêt du ke paiement• Amortissement dans le cas d’un prêt dont le remboursement consiste en des paiements égaux

• Amortissement négatif

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RétrospectivementBk est la valeur accumulée par le montant prêté L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P1, P2, ... , Pk

Rappel: Solde restant d’un prêt

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RétrospectivementBk est la valeur accumulée par le montant prêté L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P1, P2, ... , Pk

Rappel: Solde restant d’un prêt

ProspectivementBk est la somme des valeurs actuelles au temps tk des (n - k) derniers paiements: Pk+1 , Pk+2 , ... , Pn

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La portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk est

Bk-1 - Bk .

ou encore

Rappel: Portion de principal remboursé

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La portion d’intérêt du ke paiement Pk est

Pk - (Bk-1 - Bk) .

ou encore

Rappel: Portion d’intérêt

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Pour un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Le montant emprunté est alors

La table d’amortissement est alors

Rappel:

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Rappel:

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Dans ce dernier cas, la portion de principal des paiements forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i).

Conséquemment si nous connaissons la portion de principal d’un paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou accumulant selon le cas.

Rappel:

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Il est possible qu’il y ait de l’amortissement négatif, c’est-à-dire plutôt que le solde restant du prêt diminue avec un paiement, il augmente.

Rappel:

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Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par n paiements égaux pour lequel les périodes de capitalisation de l’intérêt et de paiement ne coïncident pas. Il suffit de revenir au principe de base. Deux options s’offrent à nous, soit de convertir le taux d’intérêt à un dont

la période de capitalisation est la période de paiement, soit de développer

la théorie.

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Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période de paiement. Supposons qu’il y a k périodes de capitalisation dans une période de paiement. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par période de capitalisation et par n: la durée du prêt en période de capitalisation. Le montant emprunté L est alors

La table d’amortissement est alors

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Un prêt de 25 000$ est remboursé par 5 versements égaux à la fin de chaque trimestre au montant de R dollars. Le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt i(12) = 3% par année capitalisé mensuellement. Déterminer la table d’amortissement, le solde restant immédiatement après le 2e paiement, les portions d’intérêt et de principal remboursé du 3e paiement.

Exemple 1:

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Première approche. Déterminons le taux nominal d’intérêt i(4) équivalent au taux i(12) = 3%. Ce taux est i(4) = 3.00750625% par année capitalisé à tous les trimestres, c’est-à-dire 0.751876563% par trois mois. Nous obtenons donc l’équation de valeur suivante au moment du prêt.

Exemple 1: (suite)

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Période de

paiement

Paiement

Portion d’intér

êt

Portion de

principal

Solde restant

0 25 000

15

113.34187.97

4 925.37

20 074.63

25

113.34150.94

4 962.40

15 112.23

35

113.34113.63

4 999.71

10 112.52

45

113.3476.03

5 037.31

50 75.21

55

113.3438.16

5 075.18

0

Exemple 1: Table d’amortissement

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Le solde restant immédiatement après le 2e paiement est

La portion d’intérêt du 3e paiement est

15112.20 (0.00751876563) = 113.63$

et celle de principal remboursé du 3e paiement est

5113.34 - 113.63 = 4999.71$

Exemple 1: (suite)

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Deuxième approche: Le taux d’intérêt est 0.25% par mois et il y a k = 3 périodes de capitalisation dans une période de paiement. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 15 mois. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt

Exemple 1: (suite)

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Nous obtenons la même table d’amortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 2e paiement, les portions d’intérêt et de principal du 3e paiement. Le solde restant après le 2e paiement est

Exemple 1: (suite)

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La portion d’intérêt du 3e paiement est B2 [(1.0025)3 - 1] =113.63$

et celle de principal remboursé du 3e paiement est

5113.34 - 113.63 = 4999.71$.

Exemple 1: (suite)

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Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par des paiements égaux. Supposons qu’il y a m périodes de paiement dans une période de capitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par période de capitalisation et par n: la durée du prêt en période de capitalisation. Les paiements du prêt sont de (1/m) dollars et il y a mn paiements. Le montant emprunté L est alors

La table d’amortissement est alors

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Un prêt de 5 000$ est remboursé par 6 versements égaux à la fin de chaque mois au montant de R dollars. Le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt i(4) = 4% par année capitalisé à tous les trimestres. Déterminer la table d’amortissement, le solde restant immédiatement après le 3e paiement, les portions d’intérêt et de principal remboursé du 4e paiement.

Exemple 2:

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Première approche. Déterminons le taux nominal d’intérêt i(12) équivalent au taux i(4) = 4%. Ce taux est i(12) = 3.986740251% par année capitalisé à tous les mois, c’est-à-dire 0.332228354% par mois. Nous obtenons donc l’équation de valeur suivante au moment du prêt.

Exemple 2: (suite)

La table d’amortissement est alors

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Période de

paiement

Paiement

Portion

d’intérêt

Portion de principal

Solde restant

0 5000

1 843.05 16.61 826.44 4173.56

2 843.05 13.87 829.18 3344.38

3 843.05 11.11 831.94 2512.44

4 843.05 8.35 834.70 1677.70

5 843.05 5.57 837.48 840.22

6 843.05 2.79 840.26 0

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Le solde restant immédiatement après le 3e paiement est

La portion d’intérêt du 4e paiement est

2512.44 (0.00332228354) = 8.35$

et la portion de principal remboursé est

843.05 - 8.35 = 834.70$.

Exemple 2: (suite)

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Deuxième approche. Le taux d’intérêt est 1% par trimestre et il y a m = 3 périodes de paiement dans une période de capitalisation. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 2 trimestres. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt

Exemple 2: (suite)

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Nous obtenons la même table d’amortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 3e paiement, les portions d’intérêt et de principal du 4e paiement. Le solde restant après le 3e paiement est

Exemple 2: (suite)

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La portion d’intérêt du 4e paiement est B3 [(1.01)(1/3) - 1] =8.35$

et celle de principal remboursé du 4e paiement est

843.05 - 8.35 = 834.70$.

Exemple 2: (suite)

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Considérons un dernier exemple d’amortissement dans une

situation générale

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Exemple 3:

Albert emprunte 90 000$ au atux effectif d’intérêt de 8% par année. Il remboursera ce prêt en faisant des paiements trimestriels pendant 12 ans, le premier paiement est fait 3 mois après le prêt. Pour les deux premières années, le paiement trimestriel est de R dollars. Ce montant est indexé de 3% à tous les 2 ans. Déterminons les portions d’intérêt et de principal remboursé du 17e paiement.

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Exemple 3: (suite)Il nous faut calculer plusieurs taux d’intérêt équivalent au taux effectif d’intérêt i = 8%. Par exemple le taux nominal d’intérêt i(4) par année capitalisé trimestriellement équivalent à i est i(4) = 7.770618763%. Donc le taux d’intérêt par trimestre équivalent à i est i’ = 1.942654691%.

Il nous faudra aussi le taux d’intérêt j capitalisé à tous les 2 ans équivalent au taux effectif d’intérêt i. Ce taux est j = 16.64%.

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Exemple 3: (suite)Il nous faut regrouper les 8 paiements d’une période en un seul paiement à la fin de cette période pour déterminer R. L’équation de valeur à t = 0 est

et nous obtenons que R = 2 725.57$

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Exemple 3: (suite)Le solde restant immédiatement après le 16e paiement est

c’est-à-dire B16 = 71166.47$

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Exemple 3: (suite)

La portion d’intérêt du 17e paiement est alors

B16 (0.01942654691) = 71166.47 (0 .01942654691) = 1382.52.

Le 17e paiement est de 2725.57 (1.03)2 = 2891.56 $ et conséquemment la portion de principal remboursé du 17e paiement est alors

2891.56 - 1382.52 = 1509.04$

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Nous allons maintenant étudier une autre situation, celle des fonds

d’amortissement.

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Dans certains prêts, l’emprunteur verse à intervalles réguliers l’intérêt dû et

remboursera complètement le principal L à l’échéance du prêt. Pour accumuler le

montant du prêt à l’échéance, l’emprunteur met en place un fonds dans lequel il dépose à intervalles réguliers des versements de façon telle qu’il

accumulera le principal L. Ce fonds est le fonds d’accumulation

(« sinking fund » en anglais)

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Le montant accumulé dans le fonds peut à tout moment servir à rembourser une partie du prêt. Conséquemment le montant net du prêt est le principal prêté initialement

auquel nous soustrayons la valeur accumulée dans le fonds.

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Considérons un prêt de 1$, qui sera remboursé par un paiement de 1$ après n périodes de capitalisation. Le taux

d’intérêt est le taux i par période de capitalisation. L’intérêt est payé à la fin de chaque période de capitalisation. Au même moment, un dépôt est fait dans un fonds rémunéré au taux d’intérêt j. Ces dépôts sont tous égaux et la valeur accumulée est 1$ après n périodes de

capitalisation. La période de capitalisation de l’intérêt du fonds est

la même que celle du prêt.

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Si nous notons par R le montant déposé dans le fonds à la fin de chaque période de capitalisation, alors nous avons l’équation

Nous obtenons le tableau suivant.

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Un prêt de 5 000$ est remboursé par un versement de 5000$ après cinq ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i

= 5% par année. Un fonds d’amortissement est mis en place pour accumuler le 5000$ à la fin de la cinquième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 5 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 4% par année. Déterminer la table pour ce fonds d’amortissement et le montant net du prêt immédiatement après le 3e dépôt.

Exemple 4:

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Pour déterminer R, il faut noter que nous avons l’équation de valeur suivante à la fin de la cinquième année:

Le montant d’intérêt payé à chaque année est

5000 (0.05) = 250$.

Exemple 4: (suite)

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Période

Intérêt payé

Versement dans

le fonds

Intérêt

gagné par le fonds

Valeur accumulée dans

le fonds

Montant net du prêt

0 5000

1 250 923.14 0 923.14 4076.86

2 250 923.14 36.93 1883.21 3116.79

3 250 923.14 75.33 2881.67 2118.33

4 250 923.14 115.27 3920.08 1079.92

5 250 923.14 156.80 5000.02 0

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Le montant net du prêt immédiatement après le 3e dépôt est alors

Exemple 4: (suite)

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Un prêt de 75 000$ est remboursé par un versement de 75 000$ après huit ans et des versements annuels d’intérêt faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i

= 5% par année. Ainsi l’emprunteur paiera 3750$ d’intérêt par année. Un fonds d’amortissement est mis en place pour accumuler le 75 000$ à la fin de la huitième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 3% par année. Déterminer R, ainsi que le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année et le montant net du prêt immédiatement après le 5e dépôt.

Exemple 5:

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Nous avons l’équation de valeur suivante:

Conséquemment l’emprunteur versera

3 750 + 8 434.23 = 12 184.23$

à chaque année.

Exemple 5: (suite)

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Le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année est le montant d’intérêt 3750, auquel nous soustrayons le montant d’intérêt gagné par le fonds d’amortissement pendant la 5e année. Au début de la 5e année (c’est-à-dire après le 4e dépôt), le montant accumulée dans le fonds est Le montant d’intérêt gagné par le fonds pendant le 5e

année est 35285.67(0.03) = 1058.57$. Donc le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année est

3750 - 1058.57 = 2691.43$.

Exemple 5: (suite)

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Le montant net du prêt à la fin de la 5e année est le montant emprunté 75 000, auquel nous soustrayons le montant accumulé dans le fonds d’amortissement après le 5e dépôt, à savoir

Exemple 5: (suite)