ACTIVITÉ 1 : Poser une division euclidienne à l'aide d'un

Académie d’Aix-Marseille. Synthèse des ateliers « TICE » des réunions de présentation des programmes de troisième.

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LES TICE AU COLLEGE Nous avons choisi de reproduire, ci-après, les activités telles qu’elles ont été présentées en réunion. Elles ont été soumises à discussion, les principales remarques relevées sont mentionnées en commentaires. Les activités sur l’arithmétique et sur les probabilités ont été élaborées par des enseignants du GRAC (Groupe de Réflexion et d’Animation Collège). L’activité sur les fonctions provient d’un site dont la référence n’a pas été retrouvée. L’enseignant qui choisirait d’utiliser l’une de ces activités est bien entendu libre d’adapter celle-ci en fonction de ses objectifs et de définir le scénario pédagogique qui accompagnera son utilisation.

Les fichiers associés à ces activités sont joints, en versions Excel et Open Office. Ils sont nommés « Activité 1_Division euclidienne », « Activité 2_Diviseurs », « Activité 3_Probabilités », « Activité 4_Fonctions ». La feuille 1 de chaque fichier présente un exemple d’application avec les formules, la feuille 2 correspond au document qui peut être fourni aux élèves.

ACTIVITÉ 1 : Poser une division euclidienne à l'aide d'un tableur Niveau : classe de 3ème

Environnement : Tableur

Prérequis :

− Division euclidienne, Diviseurs d'un nombre. − Connaissances de base d'un tableur, utilisation de formules. Objectifs :

− poser une division euclidienne − écrire l'égalité correspondante à une division euclidienne − utiliser les fonctionnalités d'un tableur − chercher des fonctions en autonomie.

Prolongement : Diviseurs communs à deux nombres, Trouver le PGCD. Durée : entre 1/4 h et 1/2 h.

Commentaires : Cette activité permet de revenir en troisième sur la définition de la division euclidienne, qui sera utilisée pour la recherche du PGCD de deux nombres entiers à l’aide de l’axiome d’Euclide. Elle peut également être proposée à un autre niveau. Quelques fonctionnalités du tableur utilisées ici seront réinvesties dans l’activité suivante sur les diviseurs d’un entier.


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Activité 1 : (Fiche élève) Etape 1 : Le but est d'effectuer la division euclidienne de deux nombres

1. Remplir quatre cellules disposées comme le dividende, le diviseur, le quotient et le reste d'une division euclidienne de la manière suivante : − Choisir le dividende et le diviseur entiers tous les deux. − Trouver une formule permettant de calculer le quotient entier et celle permettant de calculer le

reste de la division euclidienne (on pourra chercher dans Insertion, Fonction catégorie Mathématiques des formules adéquates).

2. Placer des bordures aux quatre cellules afin d'obtenir la potence de la division euclidienne.

Etape 2 : Le but est d'écrire l'égalité correspondante à la division euclidienne obtenue précédemment

A Remplir 6 cellules juxtaposées en lignes avec les 6 mots et symboles suivants : Dividende = Quotient x Diviseur + Reste

B Sous la cellule « Quotient » entrer une formule renvoyant au quotient de la division euclidienne de l'étape1, faire de même sous les cellules « Diviseur » et « Reste ».

C Sous la cellule « Dividende » entrer une formule effectuant le calcul suivant : Quotient x Diviseur + Reste

Etape 3 : Modifier les nombres dividende et diviseur de l'étape 1 et observer les conséquences.

Comment reconnaît-on que le nombre choisi au diviseur est un diviseur du dividende ?

Réponse : ……………………………………………………………………………..

Etape 4 : on veut faire afficher la phrase : « est un diviseur » ou « n’est pas un diviseur » du nombre choisi au dividende.

D Dans une première cellule entrer une formule renvoyant au diviseur choisi dans l’étape 1.

E Dans la cellule à droite de la première, entrer une formule permettant d’écrire « est un diviseur » si le reste de la division est nul sinon écrire « n’est pas un diviseur ».

F Enfin dans la cellule à droite de la deuxième, entrer une formule renvoyant au dividende choisi dans l’étape 1.

Attention : Il y a une erreur dans la copie d’écran. Dans la cellule E6, le diviseur doit être 21 et non 3.


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ACTIVITÉ 2 : Trouver tous les diviseurs d'un nombre. Niveau : classe de 3ème Environnement : Tableur Scénario : Afin de rendre intelligible cette activité pour les élèves, il est conseillé de faire, au préalable, un exemple de recherche sur papier de tous les diviseurs d’un nombre. (Méthode par essais successifs de divisions).

Prérequis : − Division euclidienne, Diviseurs d'un nombre. − Activité 1 : « Poser une division euclidienne à l'aide d'un tableur ». − Connaissances de base d'un tableur :

− utilisation de formules, de fonctions du tableur. − copier, coller − remplir une colonne.

Objectifs : − Trouver tous les diviseurs d'un nombre − Utiliser les fonctionnalités d'un tableur. Prolongement : Diviseurs communs à deux nombres, Trouver le PGCD de deux nombres.. Durée : une séance.

Activité 2 : (Fiche élève)

Etape 1 : − Ouvrir une feuille de calcul. − Choisir un nombre entier et taper sa valeur dans la cellule A1. − Taper 1 dans la cellule B1. − Sélectionner la colonne B et la remplir avec une suite de valeurs dont le pas d'accroissement est 1

avec comme dernière valeur 500.


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Etape 2 : − Ecrire la formule dans la cellule C1 permettant d'afficher le reste de la division euclidienne de A1 par B1. (Attention penser à fixer la cellule A1 !).

− Etendre la formule à la colonne C. Comment reconnaît-on qu'un nombre de la colonne B est un diviseur de du nombre choisi en A1 ? Réponse : ..............................................................................................................................................

− Ecrire la formule dans la cellule D1 permettant d'afficher le quotient décimal de A1 par B1. − Etendre la formule à la colonne D. (Attention penser à fixer la cellule A1 !) Comment reconnaît-on qu'un nombre de la colonne D est un diviseur de du nombre choisi en A1 ? Réponse : .............................................................................................................................................. Etape 3 : rendre plus lisible les diviseurs. On veut à présent rendre visible instantanément les diviseurs du nombre choisi dans la cellule A1. Pour cela, nous allons utiliser la fonction conditionnelle du tableur.

G Ecrire la formule dans la cellule F1 permettant d'afficher B1 si C1 est nul sinon ne rien afficher.

H Etendre la formule à la colonne F. I Ecrire la formule dans la cellule G1 permettant d'afficher D1 si C1 est nul sinon ne rien afficher. J Etendre la formule à la colonne G.

Pour plus de lisibilité tu peux à présent faire disparaître les colonnes B, C et D en utilisant la couleur de police blanche et il restera uniquement les diviseurs du nombre choisi en A1. Exemples d’exercices d’application : 1° Trouver deux nombres inférieurs à 100 qui aient 12 diviseurs. 2° Trouver tous les diviseurs communs à 168 et 630. 3° Trouver le PGCD de 840 et 315. Remarques : Reformulation possible de la deuxième question de l’étape 1 : « Choisir un nombre entier inférieur à 500 … ». Si l’on souhaite éviter l’adressage absolu avec le symbole $ dans l’étape 1, on peut simplement recopier dans la colonne A l’entier noté dans la cellule A1. Néanmoins, il peut être intéressant de profiter de cette activité pour travailler sur l’ad ressage absolu.


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ACTIVITÉ 3 : Lancers de dés.

Fiche professeur

Thème : Les probabilités Niveau : 3ème

Environnement informatique

Logiciel : Tableur OpenOffice 2x

Type d’utilisation : Salle Informatique

L’apport informatique : Simulation d'une expérience, possibilité de réaliser un très grand nombre d'essais, possibilité de compter rapidement le nombre d'occurrence d'un nombre dans une plage de cellules, réalisation d'un graphique dynamique.

Objectifs − Approcher de façon expérimentale la

probabilité d'évènements en observant sa fréquence.

− Comprendre la notion de probabilité et la différencier de la notion de fréquence.

− Comprendre la notion d'équiprobabilité.

Les prérequis

Informatiques Pour l'élève, connaissances de base d'un tableur, utilisation de formules, références relatives et absolues, création d'un graphique, copier-coller. Pour le prof, connaître les formules suivantes pour les expliciter aux élèves : ENT() qui permet de prendre la partie entière d'un nombre. ALEA() qui permet de générer aléatoirement un nombre compris entre 0 et 1. NB.SI(plagedecellule;valeur) qui permet de compter le nombre d'occurrence de la valeur dans la plage de cellule choisie.

Mathématiques Calcul avec les entiers, fractions, fréquences, tableaux à double entrée.

Les compétences du B2I Domaine 1 : S’approprier un environnement informatique de travail C.1.1 : Je sais m’identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification C.1.2 : Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail Éventuellement : C.1.5 : Je sais paramétrer l’impression (prévisualisation, quantité, partie de documents…) Domaine 2 : Adopter une attitude responsable C.2.4 : Je m'interroge sur les résultats des traitements informatiques (calcul, représentation graphique, correcteur...). Domaine 3 : Créer, produire, traiter, exploiter des données C.3.4 : Je sais créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule. C.3.5 : Je sais réaliser un graphique de type donné. C.3.6 : Je sais utiliser un outil de simulation (ou de modélisation) en étant conscient de ses limites.


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Remarques :

Les significations des fonctions ENT(), ALEA() et NB.SI() peuvent être données par le professeur et /ou recherchées par l'élève en cliquant sur l'icône ? ( aide) en selectionnant « liste de fonctions par catégories », puis « mathématiques ». Les fonctions sont affichées par ordre alphabétique.

Commentaire :

La fonction ALEA() peut être remplacer ici par la fonction ALEA.ENTRE.BORNES().


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Scénario 1ère Partie : A la fin d'une séance, le professeur distribue une paire de dés et une fiche par élève (il y en a 4 différentes donc il y aura 4 groupes d'élèves). Cette fiche doit être remplie à la maison. Normalement c'est le pays n°7 qui doit gagner (les élèves ne le savent pas à priori), donc le professeur doit prévoir 4 questions ayant chacune d'elle pour réponse le nom du pays gagnant d'une des 4 grilles. Lors de la séance suivante, le professeur va jouer au devin en trouvant les pays vainqueurs. Il pourra ainsi dire, par exemple, aux élèves du groupe A, « je pense que le pays qui a été trouvé est celui des droits de l'homme ». Ensuite, ce jeu se prolonge par une activité tableur (2ème partie) qui permettra de comprendre que le professeur n'est pas un devin ! 2ème partie (temps prévu en salle informatique environ 2h) : Dans un premier temps, cette partie se déroule en salle d'informatique, les élèves vont suivre les consignes données dans la fiche élève pour simuler un très grand nombre de tirages et compléter un fichier tableur (explicitation de certaines formules complexes, celles contenant les fonctions ENT, ALEA, NB.SI, soit par les élèves à l'oral si certains connaissent ces fonctions, sinon par le professeur, ensuite, les élèves devront faire des copier-coller et saisir des formules pour calculer des fréquences). Il s'agit d'approcher la probabilité d'un événement par l'observation de sa fréquence. Ainsi, ce travail leur permettra : − tout d'abord, d'observer les variations des fréquences des différents évènements « la somme des 2 dés

est ... » et d'observer que la somme 7 sort plus souvent mais que, par contre, entre 6 et 8 l'observation ne permet pas de trancher ;

− ensuite, à partir d'un travail sur les combinaisons et les probabilités, de comprendre : − que si le 7 sort plus souvent c'est parce qu'il y a plus de combinaisons permettant d'obtenir 7 et

donc que sa probabilité est plus grande ; − qu'il y a autant de possibilités d'obtenir 6 et 8 mais qu’ils ne sont pas obtenus le même nombre de

fois l'un que l'autre au cours de l’expérience (les événements « somme = 6 » et « somme = 8 » sont équiprobables alors que les fréquences observées sont différentes).

Il est important, en conclusion, de différencier la notion de fréquence et celle de probabilité. 3ème partie (peut se faire plus tard dans l'année, de façon indépendante) : L'activité peut se prolonger, suivant le niveau de la classe, par un travail sur le Jeu du Grand Duc de Toscane, qui consiste à tirer 3 dés et à parier sur leur somme. En étudiant les combinaisons possibles, on se rend compte qu'il y a 6 combinaisons permettant d'obtenir 9, 10, 11 ou 12, il y aurait donc, semble-t-il, équiprobabilité pour ces 4 sommes. Lorsque les élèves vont ensuite faire une simulation avec le tableur, ils vont voir que 10 et 11 sortent plus souvent. Puis l'analyse des différentes combinaisons va permettre de comprendre que 2 combinaisons ne sont pas toujours équiprobables et que c'est pour ça que 10 et 11 sortent plus souvent : par exemple que la combinaison 3-3-3 a moins de chance de sortir que la combinaison 3-3-4


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Fiche élève : Activité lancer de dés

1ère partie - A

Fiche A

Pays N°

Lancer les 2 dés, calculer leur somme et mettre une croix par case dans la ligne

correspondante. Recommencer jusqu'à ce qu'une ligne soit remplie. Noter pour finir le nom

du pays vainqueur en bas du tableau.

Allemagne 2

Angleterre 6

Danemark 3

Espagne 8

Finlande 9

France 7

Italie 12

Norvège 4

Pologne 5

Portugal 11

Suède 10

Pays vainqueur :

(Le pays qui a gagné est celui qui a inventé les droits de l'homme et du citoyen.)

Fiche élève : Activité lancer de dés

2ème partie

Dans cette partie, tu vas essayer de comprendre comment j'ai réussi à deviner quel pays allait gagner. Pour cela, on va utiliser le tableur pour simuler un grand nombre de lancers. 1- Ouvre le fichier fe-lancé-2dés.ods qui est dans le dossier U:\Devoirs\......................... 2- a) Recopie la formule contenue dans la celluleA2 : ..................................................................................... Explications : La fonction ENT() permet ....................................................................................................

............................................................................................................................................................................ La fonction ALEA() permet ...........................................................................................................................

............................................................................................................................................................................


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Que recherche-t-on avec la formule :

saisie dans la celluleA2 ? .................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. saisie dans la cellule B2 ?................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. saisie dans la cellule C2 ? ................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. b) Recopie la formule contenue dans la cellule G2 : .................................................................................... Explications : La fonction NB.SI() permet ........................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... Que recherche-t-on avec la formule saisie dans la cellule G2 ? ............................................................................ ................................................................................................................................................................................. c) A l'aide de copier-coller, complète les colonnes A, B et C jusqu'à la ligne 10 001, puis la colonne G jusqu'à la ligne 12. Puis insère un diagramme pour représenter au mieux les résultats de la colonne G. d) Que peux-tu observer sur les résultats de la colonne G : .............................................................................. ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

e) Fais une conjecture : ................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... f) Dans le fichier tableur, complète la cellule G13, puis, à partir de ces 10 000 lancers, calcule en utilisant une formule avec des références de cellules, la fréquence des évènements : Ev1 : « j'obtiens 6 en lançant 2 dés » dans la cellule H6. Cette fréquence est : ........................................................ Ev2 : « j'obtiens 7 en lançant 2 dés » dans la cellule H7. Cette fréquence est : ....................................................... Ev3 : « j'obtiens 8 en lançant 2 dés » dans la cellule H8. Cette fréquence est : ........................................................ g) En appuyant sur la touche « F9 » du clavier tu peux recalculer la page et donc réaliser 10 000 nouveaux tirages, fais le à trois reprises et note, à chaque fois, les fréquences des trois évènements précédents. Tirage 1 : fréquence de Ev1 : .................... fréquence de Ev2 : ................. fréquence de Ev3 : ................. Tirage 2 : fréquence de Ev1 : ..................... fréquence de Ev2 : ................. fréquence de Ev3 : ................. Tirage 3 : fréquence de Ev1 : ..................... fréquence de Ev2 : .................. fréquence de Ev3 : ................ h) Que peux-tu observer sur les fréquences de ces 3 évènements ? ......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... i) Ta conjecture reste-t-elle vraie ? ............................................................................................................


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3- Dans le tableau ci-dessous, les nombres de la première colonne représentent la valeur du premier dé et ceux de la première ligne, celle du deuxième dé.

a) Complète ce tableau en indiquant la somme des 2 dés :

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

b) Combien y-a-t-il en tout de combinaisons possibles ?............................................................................

c) Combien d'entre elles permettent d'obtenir la somme 6 ? .....................................................................

On dit alors que la probabilité de l'évènement Ev1 : « j'obtiens 6 en lançant 2 dés » est : ......................

d) Combien d'entre elles permettent d'obtenir la somme 7 ? ........................................................................... On dit alors que la probabilité de l'évènement Ev2 : « j'obtiens 7 en lançant 2 dés » est : .........................

e) Combien d'entre elles permettent d'obtenir la somme 8 ? .............................................................................

On dit alors que la probabilité de l'évènement Ev3 : « j'obtiens 8 en lançant 2 dés » est : ......................

f) Compare les probabilités de ces trois évènements avec leurs fréquences calculées en 2), que peux-tu observer ? .................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

Commentaires :

La fiche élève proposée pourra être moins détaillée afin de permettre au professeur d’engager ses élèves dans une démarche d’investigation. Cette activité, élaborée, ne peut être considérée comme une activité d’introduction de la notion de probabilité, et demande à être accompagnée par le professeur. Elle se situe au-delà des capacités visées par le programme.

A partir des résultats obtenus dans ce tableau, justifie ta conjecture :

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................


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ACTIVITÉ 4 : Fonctions.

Avant-propos Le support de l’activité proposée est géométrique, et ne fait appel qu’à la connaissance des formules d’aires et de périmètres du carré et du rectangle. Il est mis à la disposition des élèves un fichier sur tableur (Excel ou Open Office.

Objectifs de cette activité :

• Exprimer une grandeur en fonction d’une autre à partir d’une formule. • Parmi les exemples proposés reconnaître ceux dont les représentations graphiques donnent des points

alignés, et parmi eux ceux qui relèvent de la proportionnalité. • Amener les élèves à constater que les situations représentées graphiquement par des points alignés se

traduisent par une correspondance d’un des types suivants : →x ax ou x ax b→ + • Traduire par cette notation les correspondances étudiées.

Compétences mathématiques visées Apport du tableur dans cette activité

• A partir de plusieurs exemples (au programme de 3ème ou non) donner du sens à la notation :

......x → . • Exprimer une grandeur en fonction d’une

autre, lire et interpréter la représentation graphique.

La construction automatisée des représentations graphiques, permet de traiter rapidement plusieurs exemples et d’accorder ainsi plus de temps à définir la correspondance entre les grandeurs en jeu..

Travail demandé à partir du fichier excel : Pour chacun des dix exemples proposés l’élève :

o Choisit judicieusement (voir exemples 5, 6 ,8 et 10) les nombres de la première ligne, puis programme le calcul dans la première cellule de la deuxième ligne et le recopie.

o Établit la formule exprimant une grandeur en fonction de l’autre, en cela il est aidé par la programmation faite dans la première cellule de la deuxième ligne.

o Reconnaît les situations pour lesquelles les représentations donnent des points alignés et parmi celles-ci, celles dont les points sont alignés avec l’origine. Ce travail étant fait l’élève peut faire l’inventaire des correspondances établies et distinguer ainsi celles qui sont du type →x ax ou du type x ax b→ + , et les autres.

Les dix exemples étudiés et les correspondances à établir

1 Périmètre du carré en fonction du côté : 4x x→

2 Aire du carré en fonction du côté : 2x x→

3 Côté du carré en fonction de l’aire : x x→

4 Côté du carré en fonction du périmètre : 1

4x x→

5 Périmètre d’un rectangle de largeur fixe (5 cm) en fonction de la longueur : 2 10x x→ + 6 Aire d’un rectangle de largeur fixe (5 cm) en fonction de la longueur : 5x x→

7 Longueur d’un rectangle de largeur fixe (5 cm) en fonction de l’aire : 1

5x x→

8 Longueur d’un rectangle de largeur fixe (5 cm) en fonction du périmètre : 1

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x x→ −

9 Une des dimensions d'un rectangle d'aire donnée (20 cm²), en fonction de l'autre dimension : 20

xx

→

10 Une des dimensions d'un rectangle de périmètre donné (50 cm), en fonction de l'autre dimension : 25x x→ −


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Activité faite en classe avant le travail sur tableur

On s’intéresse aux situations suivantes :

Situation 1. Soit un carré de côté x. On appelle P son périmètre. Situation 2. Soit un carré de côté x. On appelle A son aire.

Situation 3. Un rectangle a pour dimensions 5 cm et x. On appelle P’ son périmètre. Situation 4. Un rectangle a pour dimensions 5 cm et x. On appelle A’ son aire.

A. Compléter les tableaux suivants pour les valeurs de x données.

Situation 1 Situation 2

Situation 3 Situation 4

B. Dans la situation 1., exprimer le périmètre « en fonction » de x : ................... ; on note : =)(xP ................. .

A chaque nombre x on associe la valeur du périmètre correspondant. La relation ainsi définie s’appelle une fonction, elle est ici notée P. La fonction P associe à 2,5 le nombre ................................ .

On écrit ; P : ֏5,2 ...................... ; ................... s’appelle .................................... du nombre 2,5 par la fonction P.

De même, P : ֏9,1 ..................... ; .................. s’appelle .........................................................................................................……..

D’une manière générale :

P : ֏x ..................... ; ...................... s’appelle .........................................................................................................................................................

C. Les situations 2, 3 et 4 définissent trois autres fonctions notées A, P’ et A’. Compléter :

Situation 2 : Exprimer l’aire du carré en fonction de x : ......................... On note : =)(xA .........................

A : ֏2 ......................... ; ......................s’appelle .................................................................................................................................................

A : ֏x ......................... ; .......................... s’appelle ............................................................................................................................................

Situation 3 : Exprimer le périmètre du rectangle en fonction de x : ................ On note : =)(' xP ............... .

P’ : ֏4,2 ......................... ; ......................s’appelle .............................................................................

P’ : ֏x ..................................... ; ......................................... s’appelle l’image du nombre x ................................................................. .

Situation 4 : Exprimer l’aire du rectangle en fonction de x : ......................... On note : =)(' xA ........................ .

A’ : ֏3 ......................... ; ......................s’appelle ..................................................................................

A’ : ֏x ......................... ; ........................ s’appelle l’image du nombre x par ......................................................... D. Parmi les situations 1, 2, 3 et 4, certaines sont des situations de proportionnalité. Lesquelles et pourquoi ?

x 1 2 3 4 4.5

A x 2,5 1 1,9 3 4,2

P

x 1 2 1,6 3 2,4

P’

x 2,7 1 1,4 3 3,2

A’

x

5 cm

x

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ACTIVITÉ 1 : Poser une division euclidienne à l'aide d'un