Aide-mémoire - Mécanique des struct ?· Table des matières Chapitre 1 • THÉORIE DES POUTRES 1…

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    10-Sep-2018

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<ul><li><p>Aide-mmoire</p><p>SCIENCES SUP</p><p>MCANIQUE DES STRUCTURES</p><p>Rsistance des matriaux</p><p>Arnaud DelaplaceFabrice Gatuingt</p><p>Frdric Ragueneau</p><p>IUT Licence Master</p></li><li><p>AIDE-MMOIREMCANIQUE</p><p>DES STRUCTURESRsistance des matriaux</p><p>Arnaud DelaplaceCharg de recherche au CNRS, agrg de Gnie civil</p><p>Fabrice GatuingtMatre de confrences l'ENS Cachan, agrg de Gnie Civil</p><p>Frdric RagueneauMatre de confrences l'ENS Cachan</p><p>TAGTypewriter</p></li><li><p>Illustration de couverture : INMAGINE</p><p> Dunod, Paris, 2008ISBN 978-2-10-053958-1 </p></li><li><p>Table des matires</p><p>Chapitre 1 THORIE DES POUTRES 11.1 Principes de base en rsistance des matriaux 1</p><p>1.1.1 La notion de contrainte 11.1.2 La dformation 41.1.3 La loi de comportement 51.1.4 Dfinitions et hypothses en mcanique des structures 61.1.5 quations dquilibre dun lment de poutre 9</p><p>1.2 tudes des poutres sous diverses sollicitations 101.2.1 Lois de comportement gnralises pour les poutres 101.2.2 Poutre en flexion simple 151.2.3 Poutre en flexion dvie 161.2.4 Poutre en flexion compose 16</p><p>Chapitre 2 CARACTRISTIQUES DES SECTIONS 182.1 Prambule 18</p><p>2.2 Dfinitions 192.2.1 Surface 192.2.2 Centre de gravit 192.2.3 Moment statique 192.2.4 Moment dinertie 202.2.5 Produit dinertie 202.2.6 Moment polaire 212.2.7 Axes principaux dinertie 212.2.8 Rayon de giration 21</p><p>Dun</p><p>od</p><p>La</p><p>phot</p><p>ocop</p><p>ieno</p><p>nau</p><p>tori</p><p>se</p><p>estu</p><p>nd</p><p>lit</p></li><li><p>iv Table des matires</p><p>2.3 Thormes et proprits 222.3.1 Thorme de Huygens 222.3.2 Changement de repre 222.3.3 Dcomposition dune surface 23</p><p>2.4 Caractristiques des principales sections 25</p><p>2.5 Exemple : caractristiques dune section en T 27</p><p>Chapitre 3 THORMES GNRAUXMTHODES NERGTIQUES 303.1 Principe des travaux virtuels PTV 30</p><p>3.1.1 Champ de dplacement virtuel 313.1.2 Dfinition du travail des forces dans le champ de dplacement virtuel 31</p><p>3.2 galit de Clapeyron 32</p><p>3.3 Thorme de rciprocit de Maxwell-Betti 33</p><p>3.4 Thorme de Castigliano 33</p><p>3.5 Thorme de Mnabra 34</p><p>3.6 Thorme de Mller-Breslau : Formule de Mohr 34</p><p>3.7 Lignes dinfluence 383.7.1 Effet dun ensemble de charges 403.7.2 Lignes dinfluence des dformations 40</p><p>Chapitre 4 SYSTMES ISOSTATIQUES 414.1 Dfinitions 41</p><p>4.1.1 Systmes isostatiques 414.1.2 Efforts et conditions de liaisons 424.1.3 Exemple 42</p><p>4.2 Poutre sur deux appuis 454.2.1 Cas dune charge concentre 454.2.2 Cas dun convoi de charges ponctuelles : thorme de Barr 464.2.3 Cas dune charge uniformment rpartie 474.2.4 Cas dune charge rpartie partielle 484.2.5 Cas dune charge rpartie partielle proche dun appui 494.2.6 Cas dune charge triangulaire 504.2.7 Cas dune charge triangulaire monotone 514.2.8 Cas dune charge triangulaire anti symtrique 524.2.9 Cas dune charge trapzodale symtrique 534.2.10 Cas dune charge parabolique 54</p></li><li><p>Table des matires v</p><p>4.2.11 Cas dun couple en un point quelconque 554.2.12 Cas dun couple une extrmit 564.2.13 Cas dun couple uniformment rparti 57</p><p>4.3 Poutre console 584.3.1 Cas dune charge concentre 584.3.2 Cas dune charge uniformment rpartie 594.3.3 Cas dune charge triangulaire croissante 594.3.4 Cas dune charge triangulaire dcroissante 604.3.5 Cas dun couple 61</p><p>4.4 Arc parabolique isostatique 624.4.1 Cas dune charge uniformment rpartie 624.4.2 Cas dune charge ponctuelle horizontale 634.4.3 Cas dune charge ponctuelle verticale 64</p><p>Chapitre 5 SYSTMES HYPERSTATIQUES 655.1 Gnralits 65</p><p>5.1.1 Degr dhyperstaticit H 655.1.2 Mthode des forces 685.1.3 Mthode des dplacements 75</p><p>5.2 Poutre droite une trave 855.2.1 Encastrement lastique aux extrmits 855.2.2 Formulaire dune poutre simplement appuye dun ct et encastre</p><p>de lautre 875.2.3 Formulaire dune poutre bi-encastre 915.2.4 Formulaire dune poutre console 94</p><p>5.3 Poutre continue 965.3.1 Notations et dfinitions 965.3.2 Poutre isostatique associe 965.3.3 Formule des trois moments 975.3.4 Expression des sollicitations et actions de liaison 985.3.5 Formulaire des rotations usuelles 995.3.6 Formulaire de la poutre continue 2 traves gales 1015.3.7 Formulaire de la poutre continue 3 traves gales 1035.3.8 Formulaire de la poutre continue 4 traves gales 1055.3.9 Formulaire de la poutre continue 5 traves gales 1065.3.10 Poutre continue sur appuis lastiques ponctuels 107</p><p>Dun</p><p>od</p><p>La</p><p>phot</p><p>ocop</p><p>ieno</p><p>nau</p><p>tori</p><p>se</p><p>estu</p><p>nd</p><p>lit</p></li><li><p>vi Table des matires</p><p>5.4 Systmes de poutres croises 1085.4.1 Principe 1085.4.2 Cas particulier des poutres de mme inertie 1095.4.3 Cas particulier des poutres infiniment rigides dans une direction 110</p><p>5.5 Poutre sur appui lastique continu 1105.5.1 Dfinition et paramtres 1105.5.2 Formulaire de la poutre infinie 1125.5.3 Formulaire de la poutre semi-infinie 1135.5.4 Formulaire de la poutre de longueur finie 116</p><p>5.6 Portique 1185.6.1 Portique un seul montant et deux extrmits articules 1195.6.2 Portique un seul montant et deux extrmits encastres 1195.6.3 Portique un seul montant et une extrmit encastre et lautre</p><p>articule 1205.6.4 Portique deux montants articuls 1225.6.5 Portique deux montants encastrs 123</p><p>5.7 Arcs hyperstatiques 1255.7.1 Arc circulaire deux articulations sans tirant 1255.7.2 Arc parabolique deux articulations sans tirant 127</p><p>Chapitre 6 PLAQUES ET COQUES 1296.1 Plaques 129</p><p>6.1.1 Formules gnrales 1306.1.2 Mthode de rsolution pour les plaques rectangulaires 1316.1.3 Plaques rectangulaires 1326.1.4 Plaques circulaires 1346.1.5 Plaques annulaires 140</p><p>6.2 Coques 1466.2.1 Cylindriques verticaux 1466.2.2 Cylindres horizontaux remplis par un liquide 1486.2.3 Coupole sphrique ferme 1496.2.4 Coupole sphrique ouverte 1516.2.5 Coque sphrique 153</p><p>Chapitre 7 FORMULATION DES LMENTS FINIS 1547.1 Introduction 154</p></li><li><p>Table des matires vii</p><p>7.2 Principe des lments finis 154</p><p>7.3 tapes de la rsolution dun problme 156</p><p>7.4 Application ltude dune poutre sollicite en flexion 1587.4.1 Description du problme 1587.4.2 Construction de la matrice de raideur locale 1587.4.3 Implantation et rsolution dans Matlab 163</p><p>7.5 lments isoparamtriques 167</p><p>7.6 Fonctions de forme des lments isoparamtriques courants 1687.6.1 lment barre deux nuds 1687.6.2 lment barre trois nuds 1687.6.3 lment triangulaire trois nuds 1697.6.4 lment triangulaire six nuds 1697.6.5 lment quadrangulaire quatre nuds 1707.6.6 lment quadrangulaire huit nuds 1707.6.7 lment quadrangulaire neuf nuds 171</p><p>Chapitre 8 INSTABILIT DES STRUCTURES 172</p><p>8.1 Instabilit de poutres 1728.1.1 Poutre dEuler 1728.1.2 Solutions gnrales des poutres comprimes 1748.1.3 Solutions particulires pour des poutres de section constante 1748.1.4 Prise en compte dun dfaut initial 177</p><p>8.2 Calcul des moments dans une poutre comprime flchie 178</p><p>8.3 Dversement latral de poutres 1798.3.1 Dversement latral de poutres section rectangulaire 1798.3.2 Dversement latral de poutres section en I 180</p><p>8.4 Instabilit et voilement de plaques 181</p><p>8.5 Flambement de structures non planes initialement 1848.5.1 Flambement darc et danneaux 1848.5.2 Flambement de tubes minces 184</p><p>Chapitre 9 CALCUL NON-LINAIRE, ANALYSE LIMITE, PLASTICIT 186</p><p>9.1 Introduction 186</p><p>9.2 Modles de comportement des matriaux 187D</p><p>unod</p><p>L</p><p>aph</p><p>otoc</p><p>opie</p><p>non</p><p>auto</p><p>ris</p><p>ees</p><p>tun</p><p>dlit</p></li><li><p>viii Table des matires</p><p>9.3 Plastification en flexion : notion de moment plastique et rotuleplastique 1879.3.1 Hypothses 1879.3.2 Section symtrique 188</p><p>9.4 Analyse limite dun systme de poutres 1909.4.1 Enjeux 1909.4.2 Thorme statique 1909.4.3 Thorme cinmatique 192</p><p>Chapitre 10 DYNAMIQUE ET VIBRATIONS 19510.1 Systme 1 degr de libert 196</p><p>10.1.1 quation du mouvement 19610.1.2 Le rgime libre 19710.1.3 Le rgime forc sinusodal 19910.1.4 Rgime permanent sous une charge priodique quelconque 20110.1.5 Rponse une charge arbitraire 20210.1.6 Rponse des chargements impulsionnels simples 204</p><p>10.2 Systme N degrs de libert 20510.2.1 quations du mouvement 20510.2.2 Signification des modes propres et frquences propres 20510.2.3 Dtermination des frquences propres de vibration 20610.2.4 Dtermination des modes propres de vibration 20710.2.5 Proprit dorthogonalit des modes 20710.2.6 Normalisation des vecteurs modes de vibration 20810.2.7 quations modales du mouvement - Superposition des modes 208</p><p>10.3 Vibration des systmes continus 21110.3.1 Vibration axiale des barres 21110.3.2 Vibration transversale des poutres 21210.3.3 Dtermination du mode fondamental de vibration : mthode de</p><p>Rayleigh 21210.3.4 Modes propres de vibration des poutres 21310.3.5 Modes propres de vibration des plaques 214</p><p>Index 215</p></li><li><p>Chapitre 1</p><p>Thorie des poutres</p><p>Lobjectif de ce premier chapitre est de mettre en place et dfinir toutes lesnotions de base en mcanique des milieux continus permettant daborderles chapitres suivants traitant de la mcanique des structures, plus commu-nment appele Rsistance des Matriaux.</p><p>1.1 PRINCIPES DE BASE EN RSISTANCE DESMATRIAUX</p><p>1.1.1 La notion de contrainte</p><p>Si un solide est en quilibre sous laction dun ensemble de forces, decouples et de liaisons, ce dernier se dformera. La contrainte est lobjetmathmatique permettant de quantifier les tensions internes la matire.Pour dfinir la notion de contrainte, il suffit de procder par la mthode descoupures virtuelles du solide tudi. En un point M, isolons une partie du</p></li><li><p>2 1 Thorie des poutres</p><p>solide, dfini par un plan de coupure orient par le vecteur normal sortantau solide n .</p><p>Mn</p><p>F</p><p>C T (M,n )</p><p>Figure 1.1</p><p>En chaque point M de la surface de coupure, il faut remplacer la par-tie du solide manquant par une densit surfacique deffort sur la coupurereprsentant laction de ce dernier sur le solide isol. Cette densit deffort,dfinie localement en un point M et oriente par une normale sortante nest appele le vecteur contrainte</p><p>T (M ,n ). Le vecteur contrainte dpend</p><p>linairement du vecteur unitaire n . Il existe donc localement un oprateurlinaire reliant le vecteur contrainte sur un plan sa normale, cest le tenseurdes contraintes s, symtrique du second ordre. Il vient ainsi,</p><p>T (M ,n ) = s(M).n</p><p>La matrice du tenseur des contraintes, relative la base (e x ,e y ,e z)prend la forme suivante :</p><p>s =</p><p> sxx sxy sxzsyx syy syz</p><p>szx szy szz</p><p>Il est usuel de reprsenter graphiquement le tenseur des contraintes dans leplan de Mohr, permettant de sparer les contraintes normales des contraintesde cisaillement. Si on dsigne par t la contrainte de cisaillement (porte parun vecteur t ) et sn la contrainte normale, on peut dcomposer le vecteurcontrainte en deux contributions :</p><p>T (M ,n ) = snn + tt</p></li><li><p>1.1 Principes de base en rsistance des matriaux 3</p><p>Il existe un repre particulier dans lequel le tenseur des contraintes est dia-gonal, cest le repre principal des contraintes. En notant s1, s2 et s3 les 3contraintes principales, avec s1 &lt; s2 &lt; s3, le domaine dadmissibilit duvecteur contrainte est dfini par les 3 inquations suivantes, dfinissant unensemble de cercles.</p><p>t2 + (sn s2)(sn s3) 0t2 + (sn s1)(sn s3) 0t2 + (sn s1)(sn s2) 0</p><p>Dans le plan de Mohr, ladmissibilit de la contrainte est visualise parla zone grise ci-aprs.</p><p>t</p><p>sns1 s2 s3</p><p>Figure 1.2</p><p>Pour un tat plan de contrainte, si on dsigne par u, langle entre le repreprincipal des contraintes et le repre dans lequel la matrice du tenseur descontraintes est exprime, la relation entre les contraintes principales et lesdiffrents termes du tenseur des contraintes est</p><p>sxx =s1 + s2</p><p>2+</p><p>s2 s12</p><p>. cos(2u)</p><p>syy =s1 + s2</p><p>2 s2 s1</p><p>2. cos(2u)</p><p>sxy =s2 s1</p><p>2. sin(2u)</p><p>Dun</p><p>od</p><p>La</p><p>phot</p><p>ocop</p><p>ieno</p><p>nau</p><p>tori</p><p>se</p><p>estu</p><p>nd</p><p>lit</p></li><li><p>4 1 Thorie des poutres</p><p>t</p><p>sns1 s2</p><p>sxy</p><p>sxy</p><p>sxx</p><p>syy 2u</p><p>Figure 1.3</p><p>1.1.2 La dformation</p><p>La dformation est la variation relative de longueur dun solide lorsque cedernier est soumis une action extrieure. Le tenseur des dformations, souslhypothse des Petites Perturbations est la partie symtrique du gradient du</p><p>champ de dplacementU (ux , uy , uz).</p><p>e =12</p><p>(gradU + gradT</p><p>U )</p><p>Dans la base (e x ,e y ,e z), le tenseur symtrique du second ordre se cal-cule de la manire suivante :</p><p>e =</p><p>exx exy exz</p><p>eyx eyy eyz</p><p>ezx ezy ezz</p><p> =</p><p>uxx</p><p>12 (</p><p>uxy +</p><p>uyx )</p><p>12 (</p><p>uxz +</p><p>uzx )</p><p>12 (</p><p>uxy +</p><p>uyx )</p><p>uyy</p><p>12 (</p><p>uyz +</p><p>uzy )</p><p>12 (</p><p>uxz +</p><p>uzx )</p><p>12 (</p><p>uyz +</p><p>uzy )</p><p>uzz</p></li><li><p>1.1 Principes de base en rsistance des matriaux 5</p><p>1.1.3 La loi de comportement</p><p>La relation liant le tenseur des contraintes au tenseur des dformations estla loi de comportement. Sous lHypothse de Petites Perturbations, pour unmatriau homogne, linaire et isotrope, la loi de comportement est un op-rateur linaire du 4ime ordre. La loi dlasticit, ou loi de Hooke introduit2 paramtres matriaux : le module dYoung E et le coefficient de Poissonn. La relation tensorielle sexprime comme suit :</p><p>e =1 + n</p><p>Es n</p><p>Etr s . Id</p><p>Id est le tenseur identit, tr s dsigne la trace de s. linverse, la relationexprimant la contrainte la dformation, en fonction des coefficients deLam (l et m) est :</p><p>s = 2me + l tr e . Id</p><p>Les paramtres dlasticit et les coefficients de Lam sont lis par les rela-tions :</p><p>l =nE</p><p>(1 + n)(1 2n)</p><p>m =E</p><p>2(1 + n)</p><p>En crivant les tenseurs des contraintes et dformations en vecteur colonnede taille 6, on peut exprimer la loi de Hooke de manire matricielle, plussimple dinterprtation.</p><p>sxxsyyszzsyzszxsxy</p><p>=</p><p>2m + l l l 0 0 0l 2m + l l 0 0 0l l 2m + l 0 0 00 0 0 m 0 00 0 0 0 m 00 0 0 0 0 m</p><p>exxeyyezz</p><p>2eyz2ezx2exy</p><p>Dans un cas de chargement bidimensionnel, la loi de comportement seretrouve sous forme simplifie et condense. Dans un cas dhypothse de</p><p>Dun</p><p>od</p><p>La</p><p>phot</p><p>ocop</p><p>ieno</p><p>nau</p><p>tori</p><p>se</p><p>estu</p><p>nd</p><p>lit</p></li><li><p>6 1 Thorie des poutres</p><p>contraintes planes :</p><p>sxxsyysxy</p><p> = E(1 n2)</p><p>1 n 0n 1 0</p><p>0 01 n</p><p>2</p><p>exxeyy2exy</p><p>Sous lhypothse de dformation plane :</p><p>sxxsyysxy</p><p> = E(1 + n)(1 2n)</p><p>1 n n 0n 1 n 00 0</p><p>1 2n2</p><p>exxeyy2exy</p><p>1.1.4 Dfinitions et hypothses en mcanique des structures</p><p>La thorie des poutres consiste associer la mcanique des milieux conti-nus des hypothses statiques, gomtriques et cinmatiques permettant derduire la taille du problme tudier.</p><p>a) La gomtrie et le matriau</p><p>Une poutre est un lment particulier de structure dcrit par une surfaceplane S appele section droite de centre de gravit G. La ligne moyenne dela poutre G est forme par les diffrentes positions du centre de gravit G dela poutre lorsque lorsque lon parcourt cette dernire selon toute sa longueurL . Si S est petit devant L alors ltat de contrainte s ainsi que le champ de</p><p>dplacementU du solide pourront tre approxims en fonction de quantits</p><p>exprimes uniquement le long de G.</p><p>Si G est une droite, la poutre est dite droite. Si g est dans un plan, lapoutre est dite plane. Dans les autres cas, la poutre est dite courbe.</p><p>Le matriau constituant la poutre est homogne, isotrope lastiquelinaire.</p></li><li><p>1.1 Principes de base en rsistance des matriaux 7</p><p>b) Les hypothses cinmatiques</p><p>Les dplacements, rotations et dformations sont supposs petits. La poutre,de part ses quations dquilibre, sera donc tudie dans sa configuration derfrence. Cest lhypothses des Petites Perturbations.</p><p>Lhypothse dEuler-Bernoulli suppose que, pour toutes transformationsgomtriques, les sections droites dune poutre restent planes et perpendicu-laires la fibre moyenne. Cette hypothse permet de dfinir le dplacementU P de tout point P, dune section droite uniquement en fonction du dpla-</p><p>cement du centre de graviteU G et de la rotation de la section droite</p><p>Q (s) </p><p>labscisse curviligne s.</p><p>U P (s) =</p><p>U G(s) +</p><p>Q (s) G P</p><p>Dans le cas dune poutre droite, labscisse curviligne est confondue avec</p><p>laxe x , le champ...</p></li></ul>