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Introduction à laIntroduction à laDémarcheDémarcheScientifiqueScientifique
FONDAMENTUM
CEC Emilie-Gourd
Photo de couverture : Laboratoire de Thomas Edison, utilisé pour ses recherches sur la production de
caoutchouc naturel entre 1927 et 1934, à Fort Myers en Floride, USA.
(photo R. Morand, 2008)
Table des matières
Rapport scientifique ..........................................................5Rédaction des calculs .......................................................7Résolution d'un problème .................................................9Croquis – schéma – diagramme .....................................11Puissances de dix ..........................................................12Notation scientifique ........................................................13Ordre de grandeur ..........................................................15Système international d'unités ........................................16Transformation d'unités .................................................18Proportionnalité ...............................................................23Chiffres significatifs..........................................................25Incertitude .......................................................................26Précision d'une mesure ..................................................28Valeur moyenne & statistique .........................................30Propagation de l'incertitude ............................................32Construire un graphique .................................................34Pente d'une droite ...........................................................36Incertitude sur un graphique ...........................................37Annexe : unités de mesure S.I. .......................................38
Note importante aux élèves
Cette brochure est un document de référence traitant le savoir-faire de base, nécessaire à l'étude des disciplines scientifiques (biologie, chimie et physique). Il ne s'agit en aucun cas d'un polycopié pour le cours d'IDS. Son contenu, trop large pour être traité entièrement au premier semestre, vous servira également comme aide-mémoire durant les années à venir. Conservez donc ce document, auquel vos professeurs pourront faire référence jusqu'à la fin de vos études au Collège.
IDS – Table des matières Date de cette compilation: 17.06.11
Rapport scientifique
Un rapport scientifique a pour but de rendre compte de manière complète d'une expérience effectuée. Il est généralement adressé à une personne ou un type de lecteur particulier, et son contenu autant que sa structure doivent être adaptés en conséquence. La règle d'or est de le rédiger en pensant à ses lecteurs; dans la « vraie science », c'est grâce à des rapports que l'on obtient un salaire, le financement de ses recherches ainsi qu'une certaine renommée !
Structure d’un rapport de laboratoire au Collège
Par son rapport de laboratoire, un collégien doit non seulement présenter ses résultats, mais également montrer à son professeur qu'il a compris la théorie et peut donner un avis personnel sur l'expérience. Un rapport complet regroupe généralement les éléments ci-dessous, dans une structure proche de celle-ci :
1. But2. Introduction théorique3. Montage expérimental4. Marche à suivre5. Présentation des résultats6. Analyse des résultats7. Conclusion
Remarque : chaque professeur modifiera librement ces indications selon ses objectifs pédagogiques. Il est donc important de se référer aux
consignes reçues en classe, qui priment sur ce canevas général.
1. But
Il s’agit de préciser en une ou deux phrases le ou les objectifs de l’expérience.
2. Introduction théorique
On y présente un résumé de la théorie concernant les phénomènes impliqués dans l’expérience. Les grandeurs ainsi que leurs unités, de même que les lois (formules) correspondantes sont indiquées dans cette partie.
3. Montage expérimental
Il s’agit de dessiner un schéma du matériel employé. Celui-ci doit être clair, précis, de taille raisonnable et se focaliser sur les parties intéressantes. On y associe une légende ou une liste du matériel.
IDS – Rapport scientifique 5 Dernière modification : 29.08.09
4. Marche à suivre
La marche à suivre constitue une description précise des différentes étapes que l’on a effectuées lors de l’expérience. Il est important de parler des éventuels problèmes rencontrés, et de ce qui a été mis en œuvre pour y remédier (avec succès ou non).
5. Présentation des résultats
Cette partie regroupe toutes les observations et mesures récoltées, ainsi que les calculs effectués.
Les observations donnent lieu soit à une description détaillée, soit à un croquis, complété d'une légende et, le cas échéant, de l'indication de l'échelle.
Les données chiffrées doivent être représentées par leurs symboles usuels et accompagnées des unités adaptées (de préférence les unités S.I. de base). Autant que possible, il faut rassembler les valeurs dans des tableaux, munis de légende complètes (grandeurs et unités).
Les graphiques demandés dans le protocole figurent également dans cette partie, tout comme leur interprétation : tracé d'une droite moyenne, calculs de pente...
Lorsque cela est demandé, on termine par l'estimation de la précision des mesures et les calculs d'incertitude.
6. Analyse des résultats
Ce paragraphe est sans doute le plus important du rapport ! Les résultats présentés doivent en effet être analysés pour vérifier leur valeur, commentés en fonction des connaissances préalables à l'expérience, et interprétés.
La valeur des résultats est estimée selon leur cohérence (sont-ils reproductibles), leur exactitude (se baser sur les calculs d'incertitude) et leur vraisemblance (sont-ils compatibles avec ce qu'on pouvait en attendre).
Lorsque l'expérience vise à vérifier une théorie existante, il faut comparer les valeurs expérimentales avec les valeurs prédites par cette théorie. S’il y a une divergence notable, les causes possibles doivent être discutées.
S'il s'agit d'un laboratoire visant à découvrir un phénomène, il est important d'expliquer clairement toutes les constatations et, dans le détail, en quoi elles permettent de tirer des conclusions.
Généralement, le protocole de l’expérience comporte une série de questions spécifiques qui facilitent l’analyse des résultats.
7. ConclusionCe paragraphe rappelle le but de l’expérience et explique si celui-ci a été atteint, en résumant les résultats importants. C'est également le lieu pour faire la synthèse de ce qui a été appris et émettre quelques remarques personnelles concernant, par exemple, l'amélioration de l'expérience.
IDS – Rapport scientifique 6 Dernière modification : 29.08.09
Rédaction des calculs
Tout comme un texte rédigé en français, la rédaction d'un calcul scientifique se doit de respecter certaines règles de structure et de présentation, afin de le rendre lisible et compréhensible.
Légendes
Chaque valeur doit être accompagnée d'une légende qui permette de comprendre sans effort à quoi elle correspond. NB : on peut soit l'indiquer en français, soit utiliser les symboles usuels (ex.: mtot pour masse totale, Vcube pour volume d'un cube...).
Unités
La plupart des valeurs sont exprimées dans une certaine unité. Il est indispensable de l'indiquer clairement, sous peine de perdre toute la signification de la valeur.NB : on place souvent l'unité entre crochets, pour ne pas la confondre avec un autre symbole (ex.: m pour masse ou [m] pour mètre).
Symboles
Chaque symbole possède une signification bien précise, qu'il faut respecter :
a. A = B A est égal à Bb. A B A correspond à B (dans un produit en croix, par exemple)c. A B A implique B (si A est vrai donc B est vrai)d. A B A est équivalent à B ( A B et B A )e. A B (en chimie) A réagit pour donner B
Exemple 1 :a. 2000 g = 2 kg mais : 2 kg ≠ 2 L (masse ≠ volume)
b. 60 kg 0,2 m3 (pour un objet de masse volumique 300 kg/m3 )
c. « tous les chats sont gris » « le chat Mistigris est gris »
d. =mV m = ⋅V
e. H2 + ½ O2 H2O
Formules ou produit en croix
Tout calcul doit clairement montrer les éléments suivants :
1° la grandeur que l'on veut obtenir (à quoi correspond le résultat)2° la formule qu'on utilise ou les deux grandeurs proportionnelles
employées dans un produit en croix3° les valeurs numériques employées (les « données »)4° les éventuelles étapes intermédiaires du calcul, puis le résultat (avec
un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données utilisées)
NB: les numéros 1° à 4° sont indiqués dans les exemples en page suivante
IDS – Rédaction des calculs 7 Dernière modification : 01.06.10
Exemple 2 :
Calculer la masse en grammes de 6,02·1023 atomes de carbone, sachant qu'un atome de carbone possède une masse de 12,0 uma (unité de masse atomique : 1 uma = 1,66·10–24 g).
Solution A : (calcul faux et incompréhensible, exemple à ne pas suivre)
12,0 uma = 12,0 · 1,66·10–24 = 1,99·10–23 · 6,02·1023 = 12,0Réponse : 12,0 g
Explication de ce qui ne va pas :– les légendes manquent pour chaque valeur, y compris pour la « réponse »– la première égalité est incorrecte sans unités : 12,0 ≠ 12,0 · 1,66·10–24 – il faut séparer les étapes de calcul : 12,0 · 1,66·10–24 = 1,99·10–23 puis,
sur une autre ligne : 1,99·10–23 · 6,02·1023 = 12,0– le résultat du calcul est sans unité et l'unité de la « réponse » est sans justification
Solution B : (bien présentée, à l'aide de formules)
Transformation de la masse d'un atome de carbone (m1) en grammes :
m11°
= 12 ,0 uma3 °
= 12 ,0 uma⋅ 1 ,66⋅10−24 g1 uma
2 °
= 1 ,99⋅10−23 g4 °
Masse totale de N = 6,02·1023 atomes de carbone :
mtot1°
= m1⋅N2 °
= 1 ,99⋅10−23 g ⋅ 6 ,02⋅10−233°
= 12 ,0 g4 °
Solution C : (bien présentée, à l'aide de produits en croix)
Transformation de la masse d'un atome de carbone (m1) en grammes :
2 °{ 1 uma3 °
↔ 1 ,66⋅10−24 g3 °
12 ,0 uma3 °
↔ m1 = ?1 °
⇔ m1
1°
= 12 uma ⋅ 1 ,66⋅10−24 g1 uma
3 °
= 1 ,99⋅10−23 g4 °
Masse totale de N = 6,02·1023 atomes de carbone :
2 °{ 1 atome3 °
↔ 1 ,99⋅10−23 g3 °
6 ,02⋅1023 atomes3°
↔ m tot = ?1°
⇔ mtot
1°
= 6 ,02⋅1023 ⋅ 1 ,66⋅10−24 g13°
= 12 ,0 g4 °
IDS – Rédaction des calculs 8 Dernière modification : 01.06.10
Résolution d'un problème
Soyons clairs : il n’existe pas « une » méthode permettant de résoudre tous les problèmes. Voici toutefois un cheminement qui a fait ses preuves.
1. Quelle est la situation ? Souvent un petit dessin ou schéma clarifie les choses; son côté artistique importe peu, mais il doit être lisible et comporter une légende.
2. Que cherche-t-on ? Rien ne sert d’aller plus loin tant qu’on ne le sait pas !
3. Quelles informations faudrait-il pour obtenir la réponse ? En d’autres termes : de quoi dépend la grandeur recherchée ? Ou, s’il s’agit d’un calcul : quelles sont les formules qui seraient utilisables ?
4. De quelles informations dispose-t-on ? C’est le moment d’extraire un maximum d’informations de l’énoncé, et de consulter les documents autorisés.
5. Comment procéder ? Une simple comparaison des points 3 et 4 devrait permettre de choisir le type de raisonnement ou le calcul à effectuer. A ce stade la majorité du travail est déjà faite !
6. Le temps des réponses. Rédiger les explications et faire les calculs nécessaires. Ne pas oublier les légendes des calculs, ainsi que les unités !
7. Est-ce complet ? Relire l’énoncé et vérifier que l’on a répondu à tout.
8. La réponse est-elle plausible ? Les problèmes présentés se veulent généralement réalistes, même s’ils représentent souvent une situation légèrement simplifiée. Il faut impérativement ajouter un commentaire si l'on trouve qu'un escargot est sensé avancer à 50 km/h ou un chat peser 10 tonnes...
Remarques :– A chaque étape, ne pas hésiter à écrire les informations récoltées : ce n’est pas du temps perdu ! (Et le correcteur pourrait y trouver des éléments utiles...)– Il se peut que l’énoncé contienne trop de données : il est absurde de vouloir à tout prix utiliser tout ce qui est fourni.– Tout raisonnement est bon à prendre, même s’il est incomplet.– Se tromper une fois dans un calcul n’est pas très grave, mais donner un résultat absurde sans le faire remarquer est bien pire !
Exemple d’application :
Un ami vous offre une bille, soit disant en or, mais elle vous semble suspecte. Son diamètre est de 3,0 cm et sa masse de 121,2 g. Elle ne flotte pas sur l’eau, son aspect est effectivement doré et sa surface se raye facilement avec un couteau. A l’aide de ces informations et de votre table numérique, expliquez s’il est possible qu’il s’agisse d’or pur et massif. (NB : La résolution est donnée en page suivante.)
IDS – Résolution d'un problème 9 Dernière modification : 08.07.09
Exemple de résolution, en suivant chaque étape :
1. On a une bille de composition inconnue (peut-être de l'or).
2. On veut vérifier si la matière qui la constitue est de l'or pur.
3. Il faudrait comparer les propriétés de la bille à celles de l'or pur : la masse volumique est-elle correcte ? l'or massif flotte-t-il ? est-il mou ? se raye-t-il facilement ?
4. Classons les données en deux colonnes :bille à tester (données de l'énoncé) données table CRM
– masse : m = 121,2 g – diamètre : d = 3,0 cm– coule dans l'eau– aspect doré– se raye avec un couteau (donc assez mou)
– masse volumique de l'or solide (p. 166) : ρor = 19 300 kg·m–3
= 1,93·104 kg/m3 – masse volumique de l'eau liquide (p. 162) : ρeau = 998 kg·m–3
On trouve dans la table CRM , les formules suivantes :
– calcul de la masse volumique (p. 132) :( ρ : masse volumique, m : masse, V : volume)
– calcul du volume d'une sphère (p. 43) :(V : volume, π : pi (≈ 3,14), r : rayon)
5. Les formules ci-dessus permettent de calculer la masse volumique de la bille :– connaissant le diamètre, on a également le rayon (la moitié du diamètre);– avec le rayon on peut calculer le volume de la bille;– avec le volume et la masse, on obtient la masse volumique.
Ceci permettra de confronter la valeur obtenue avec la masse volumique de l'or.
La comparaison entre les masses volumiques de l'or et de l'eau permettra de déterminer si l'or est sensé flotter dans l'eau.
N'ayant pas trouvé la dureté de l'or dans les documents à disposition, l'information sur les rayures par un couteau n'est pas exploitable. (NB : avec d'autres sources, on pourrait trouver que l'or est en effet plus mou que le fer d'une lame de couteau.)
6. Calcul du volume de la bille : V bille = 43r 3 = 4
3⋅3 ,14⋅3 ,0 cm
2 3
= 14 cm3
Calcul de la masse volumique de la bille : bille =mV
=121 ,2 g14 cm3 = 8 ,6 g
cm3
Une transformation d'unités est nécessaire pour comparer les masses volumiques :
bille = 8 ,6 gcm3⋅
1 kg103 g
⋅ 106 cm3
1 m3 = 8 ,6⋅103 kgm3
Les deux valeurs de masse volumiques sont très différentes, il ne peut donc pas s'agir d'or pur et massif. Peut-être est-ce un alliage, ou la bille est-elle creuse ?
7. On a répondu à la seule question : la bille n'est pas en or pur et massif.
8. La masse volumique de la bille est nettement supérieure à celle de l'eau, donc le résultat trouvé est cohérent avec le fait que la bille coule dans l'eau.
IDS – Résolution d'un problème 10 Dernière modification : 08.07.09
d = 3,0 cm
m =121,2 g
=mV
V =43r 3
Croquis – schéma – diagramme
Une même situation expérimentale peut être représentée par plusieurs types de dessins, suivant l'aspect que l'on veut mettre en évidence. Les exemples ci-dessous décrivent tous la même réalité, mais à travers des représentations différentes.
Croquis
Un croquis représente de façon simplifiée directement ce que l'expérimentateur observe. Le dessin doit être simple et détailler spécifiquement les éléments importants de l'observation. Une légende doit être ajoutée pour identifier chaque partie digne d'intérêt.
Exemple : une ampoule attachée à une pile par deux fils électriques.
Schéma
Un schéma donne une représentation abstraite ou simplifiée de la réalité observée, en suivant des conventions précises. Chaque type de schéma a des règles spécifiques qui doivent être respectées. Lorsqu'un élément pourrait ne pas être interprété correctement (par exemple parce qu'il n'est pas défini dans la convention employée), il faut ajouter une légende.
Exemple : schéma du circuit électrique ci-dessus.
Diagramme
Un diagramme donne une représentation abstraite d'un modèle théorique décrivant un aspect de la réalité observée.
Exemple : diagramme de transfert d'énergie pour le système électrique ci-dessus.
(t.é. = transfert d'énergie)
IDS – Croquis – schéma – diagramme 11 Dernière modification : 01.06.10
Pile Lampe Environnementt.é. électrique
t.é. par rayonnement thermique
t.é. par rayonnement lumineux
Puissances de dix
Les puissances de dix servent de base à la « notation scientifique » (cf. fiche du même nom). Leur avantage est de permettre d'exprimer des valeurs à la fois très petites et très grandes, de manière condensée et claire. Le choix du nombre 10 vient de notre système de numération décimal.
Puissance de dix d'exposant positif Puissance de dix d'exposant négatif
Pour n entier positif, 10n est le produit de n facteurs tous égaux à 10 :
10n = 10⋅10⋅...⋅10n facteurs
= 100. ..0n zéros
Donc 10n est un « 1 » suivi de n zéros.
Exemples : 100 = 1 (0 zéro)101 = 10 (1 zéro)103 = 1 000 (3 zéros)106 = 1 000 000 (6 zéros)
Pour n entier positif, 10–n est le quotient de 1 par n facteurs tous égaux à 10 :
10−n =1
10⋅10⋅...⋅10n facteurs
= 0 ,00. ..0n zéros
1
NB : on compte également le zéro situé à gauche de la virgule.
Exemples : 10–1 = 0,1 (1 zéro)10–3 = 0,001 (3 zéros)10–6 = 0,000 001 (6 zéros)
Produit de deux puissances de dix Quotient de deux puissances de dix
Pour multiplier deux puissances de 10, on additionne les exposants :
10n⋅10p = 10np
Exemples : 102·103 = 102+3 = 105 102·10–3 = 102–3 = 10–1 10–2·10–3 = 10–2–3 = 10–5
Pour diviser deux puissances de 10,on soustrait les exposants :
10n
10p = 10n−p
Exemples : 102 / 103 = 102–3 = 10–1 102 / 10–3 = 102–(–3) = 105 10–2 / 10–3 = 10 –2–(–3) = 101
Inverse d'une puissances de dix Somme et différence de puissances de dix
10–n est l'inverse de 10n :
110n = 10−n et 10n⋅10−n = 1
Exemples : 1 / 102 = 10–2 1 / 10–3 = 103 105·10–5 = 1
Pour additionner ou soustraire des puissances de 10, il faut d'abord uniformiser les exposants (cf. fiche « Notation scientifique »).
Exemples :
102 + 103 = 0,1·103 + 1·103 = 1,1·103 102 – 103 = 1·102 – 10·102 = –9·102
IDS – Puissances de dix 12 Dernière modification : 07.07.09
Notation scientifique
En notation (ou écriture) scientifique, un nombre s'écrit sous la forme :
a⋅10n
où : ▪ a est la « mantisse » (ou « significande ») du nombre, qui est unnombre réel (à virgule) et vaut obligatoirement : 1 ≤ a < 10;
▪ tous les chiffres du nombre a sont significatifs;▪ n est l' « exposant », qui est un nombre entier (positif ou négatif).
La notation scientifique offre ainsi les avantages suivants, en comparaison avec la notation décimale :
▪ on peut écrire des valeurs très petites ou très grandes sous une forme condensée (sans avoir à compter les zéros);
▪ on voit immédiatement l'ordre de grandeur approximatif de la valeur(il est égal à n ou n+1, selon la valeur de a, cf. « Ordre de grandeur »);
▪ le nombre de chiffres significatifs est déterminé sans ambiguïté(car on écrit uniquement les chiffres qui le sont).
Exemples : x = 5,06·106 m ( = 5 060 000 m)t = 9,7·10–3 s ( = 0,0097 s)m = 1,50·1012 kg ( = 1 500 000 000 000 kg)
Calculs en notation scientifique
a. Multiplication et division
Il est assez aisé de multiplier et de diviser des nombres en écriture scientifique, en utilisant les propriétés des puissances. Il faut traiter séparément les mantisses, les exposants et les unités, puis remettre le tout en écriture scientifique.
Exemples :
1) 5 ,20⋅106 m2 ⋅ 3 ,00⋅104 m = 5 ,20⋅3 ,00 ⋅106⋅104 ⋅m2⋅m= 15 ,6⋅1010 m3 = 1 ,56⋅1011 m3
2) 5 , 2⋅106 m8 ,0⋅109 s
= 5 ,28 , 0
⋅ 106
109 ⋅ m s
= 0 ,65⋅10−3 m/s = 6 ,5⋅10−4 m/s ou m⋅s-1
3) 3 ,20⋅1012 mol-1 ⋅ 4 ,00⋅10−8 mol = 3 ,20⋅4 ,00⋅1012⋅10−8 ⋅1
mol⋅mol
= 12 ,8⋅104 = 1 ,28⋅105 sans unité
Remarque : les unités se multiplient, se divisent et se simplifient comme s'il s'agissait de nombres ou de variables.
IDS – Notation scientifique 13 Dernière modification : 01.06.10
b. Addition et soustraction
Avant de pouvoir additionner ou soustraire des nombres en notation scientifique, il est nécessaire d'uniformiser leurs exposants. On limite généralement le nombre d'étapes nécessaires en choisissant de conserver l'exposant le plus grand.
Exemples :
1) 2⋅102 cm2 3 ,40⋅104 cm2 = 0 ,02⋅104 cm2 3 ,40⋅104 cm2
= 0 ,02 3 ,40 ⋅104 cm2 = 3 ,42⋅104 cm2
2) 1 ,2⋅10−4 kg − 3⋅10−5 kg = 1 ,2 − 0 ,3⋅10−4 kg = 0 ,9⋅10−4 kg = 9⋅10−5 kg
Note : 10–4 est plus grand que 10–5 !
Remarque importante : On ne peut additionner et soustraire que des valeurs qui portent la même unité; il faut donc effectuer les transformations nécessaires au préalable. Par ailleurs, additionner ou soustraire deux valeurs de grandeurs physiques différentes n'a aucun sens.
Exemples :
3) 2 ,000⋅102 dm 3 , 4⋅10−4 km = 2 ,000⋅101 m 3 ,4⋅10−1 m= 2 ,000 0 ,034⋅101 m = 2 ,034⋅101 m
4) 1 ,2⋅10−4 kg − 3⋅10−5 m3 = ... ne peut être calculé, car la masse (kg) et le volume (m3) sont deux grandeurs différentes.
Remarque concernant la précision (chiffres significatifs) :
Lorsque les valeurs à additionner ou soustraire sont d'un ordre de grandeur très différent, le résultat est « très proche » de la valeur la plus grande (en valeur absolue). Si la précision (nombre de chiffres significatifs) de celle-ci n'est pas suffisante, le résultat n'est pas significativement différent de cette plus grande valeur.
Exemples : les valeurs en gras ne sont pas affectées
3) 3 ,40⋅108 2⋅102 = 3 ,40 0 , 000002 ⋅108 = 3 ,400002⋅108 ≈ 3 ,40⋅108
Pour que l'addition puisse être perçue dans le résultat, il faudrait que la plus grande valeur ait une précision de 7 chiffres significatifs au minimum :
3 ,400000⋅108 2⋅102 = 3 ,400000 0 ,000002 ⋅108 = 3 ,400002⋅108
4) −1 ,2⋅10−4 3⋅10−9 = −1 ,2 0 ,00003 ⋅10−4
= −1 ,19997⋅10−4 ≈ −1 ,2⋅10−4
De même, il faudrait ici une précision de 6 chiffres significatifs au minimum :
−1 ,20000⋅10−4 3⋅10−9 = −1 ,20000 0 ,00003 ⋅10−4 = −1 ,19997⋅10−4
IDS – Notation scientifique 14 Dernière modification : 01.06.10
Ordre de grandeur
L'ordre de grandeur d'un nombre est une estimation, qui permet de le comparer rapidement à d'autres valeurs.
Pour trouver l'ordre de grandeur d'un nombre, il faut exprimer ce nombre en notation scientifique et l'arrondir à la plus proche puissance de 10.
si a < 5 l'ordre de grandeur est 10n Ainsi, pour a·10n
si a ≥ 5 l'ordre de grandeur est 10n+1
Exemples :
nombre 4,11·107 7,32·108 2,36·10–3 5,64·10–11 –3,8·104 –8,41·100
ordre de grandeur
107 109 10–3 10–10 –104 –101
Comparaison des ordres de grandeur
Avant de pouvoir comparer des ordres de grandeur, il faut :1) exprimer les valeurs dans une même unité;2) écrire les valeurs en notation scientifique;3) calculer les ordres de grandeurs.
On compare ensuite les puissances de 10 des ordres de grandeurs et on indique la différence entre les exposants.
Exemples :
1) La longueur d'une mouche est d'environ 0,7 cm (= 7·10–3 m) et celle d'un moustique d'environ 6 mm (= 6·10–3 m). La mouche et le moustique ont une taille du même ordre de grandeur : 10–2 m .
2) En moyenne, la masse d'un homme est de 80 kg (= 8·101 kg ≈ 102 kg) et celle d'un moineau d'environ 30 g (= 3·10–2 kg ≈ 10–2 kg). La masse d'un homme est donc plus élevée de 4 ordres de grandeur par rapport à celle d'un moineau (différence entre 2 et –2).
IDS – Ordre de grandeur 15 Dernière modification : 06.07.09
Système international d'unités
Afin de comparer deux quantités sans les avoir sous les yeux, les hommes ont inventé l'étalon de mesure, c'est à dire une grandeur de référence dont la définition suffit à la comparaison.
Unités S.I.
On a soigneusement défini un étalon pour sept unités de base, qui définissent le système international des unités, abrégé « S.I. ». Ces unités sont combinées entre-elles, pour donner des unités dites « dérivées », servant de référence pour d'autres grandeurs. Le tableau ci-dessous donne les sept unités de base S.I. et quelques exemples d'unités dérivées (voir l'Annexe pour une liste complète).
grandeur unité de base S.I. grandeur unité dérivée S.I.longueur mètre (m) surface mètre carré (m2)masse kilogramme (kg) volume mètre cube (m3)temps seconde (s) vitesse mètre par seconde (m/s)
courant électrique ampère (A) masse volumique
kilogramme par mètre cube (kg/m3)température kelvin (K)
quantité de matière mole (mol) concentration molaire
mole par mètre cube (mol/m3)intensité lumineuse candela (cd)
Préfixes S.I.
Lorsque les unités de base (ou dérivées) sont d'un ordre de grandeur mal adapté à la valeur à mesurer, on leur adjoint un préfixe, qui augmente ou réduit la taille de l'unité d'un certain nombre de facteurs de 10. Les préfixes les plus courants sont donnés ci-dessous (cf. table CRM p. 121 pour la liste complète).
valeur symbole nom valeur symbole nom101 da déca 10–1 d déci102 h hecto 10–2 c centi103 k kilo 10–3 m milli
106 M méga 10–6 m (mu) micro109 G giga 10–9 n nano1012 T téra 10–12 p pico
Note : on emploie au maximum un préfixe avant l'unité, ainsi on ne rajoute pas de préfixe au kilogramme, mais au gramme. Exemples : milligramme (mg) ou microgramme (g)... mais pas « millikilogramme » (mkg).
IDS – Système international d'unités 16 Dernière modification : 01.06.11
Suppression de préfixes S.I.
Pour supprimer un préfixe, il faut remplacer le préfixe par la puissance de 10 qui lui correspond. Lorsque l'unité est au carré ou au cube, il faut également mettre la puissance de dix au carré ou au cube.
Ceci permet également d'obtenir le facteur d'équivalence nécessaire pour appliquer les méthodes de transformation d'unités (cf. pages suivantes).
Exemples :
1) équivalence entre des milligrammes (mg) et des grammes (g) :1 mg = 1 · 10–3 g (car le préfixe milli correspond au facteur 10–3)donc : 1 mg = 10–3 g
2) équivalence entre des kilomètres carrés (km2) et des mètres carrés (m2) :1 km2 = 1 (km)2 = 1 · (103)2 m2 = 1 · 106 m2 donc : 1 km2 = 106 m2
3) équivalence entre des micromètres cubes (mm3) et des mètres cubes (m3) :1 mm3 = 1 (mm)3 = 1 · (10–6)3 m3 = 1 · 10–18 m3 donc : 1 mm3 = 10–18 m3
4) équivalence entre des centilitres (cL) et des litres (L) :1 cL = 1 · 10–2 Ldonc : 1 cL = 10–2 L
Note : le litre est une unité de volume, mais n'est pas au cube, donc le facteur 10–2
ne doit pas être mis au cube.
Ajout de préfixes S.I.
Pour ajouter un préfixe, il faut diviser par la puissance de 10 correspondant au préfixe ajouté. Lorsque l'unité est au carré ou au cube, il faut également mettre la puissance de dix au carré ou au cube.
Exemples :
1) équivalence entre des grammes (g) et des milligrammes (mg) :
1 g =110 -3
mg = 103 mg (car le préfixe milli correspond au facteur 10–3)
donc : 1 g = 103 mg
2) équivalence entre des mètres carrés (m2) et des kilomètres carrés (km2) :
1 m2 =1
103 2km2 = 10−6 km2
donc : 1 m2 = 10–6 km2
IDS – Système international d'unités 17 Dernière modification : 01.06.11
Transformation d'unités
Il est possible de changer l'unité dans laquelle une valeur est exprimée, pour autant que la nouvelle unité décrive la même grandeur et que l'on connaisse le facteur de conversion à employer.
Exemples :
1) Il est possible de transformer des centimètres carrés (cm2) en mètres carrés (m2), car ces deux unités mesurent la même grandeur (la surface) et car on connaît leur équivalence : 1 cm2 = 10–4 m2.
2) Il est impossible de transformer des mètres cubes (m3) en kilogrammes (kg), car le mètre cube mesure un volume, alors que le kilogramme est une unité de masse, qui sont deux grandeurs différentes.
Méthode du produit en croix (ou règle de trois)
Pour chaque changement d'unité, il est possible de poser une proportion, que l'on résout mathématiquement sous forme d'un produit en croix (ou règle de trois).
Exemple 3 : Transformer la surface S = 1,27 m2 en km2,sachant que 1 km2 = 106 m2.
{S km2 = 1 ,27 m2
1 km2 = 106 m2 ⇔ S = 1 ,27 m2⋅ 1 km2
106 m2 = 1 ,27⋅10−6 km2
Méthode de la « fraction unité »
Il est possible de poser le calcul de manière différente, en multipliant la valeur à transformer par une fraction qui vaut « 1 ». On choisit cette fraction de manière à opérer une simplification dans les unités, qui mène à la transformation voulue.
Cette méthode présente l'avantage de permettre plusieurs changements en un seul calcul. On introduit alors plusieurs fractions, valant chacune « 1 ».
Exemple 4 : Transformer la surface S = 1,27 m2 en km2,sachant que 1 km2 = 106 m2.
Si 1 km2 = 106 m2 , alors 1 km2
106 m2 = 1 .
Donc S = 1, 27 m2 = 1, 27 m2⋅ 1 = 1 ,27 m2⋅ 1 km2
106 m21
On peut alors éliminer les m2 (par simplification) :
S = 1 ,27 m2⋅ 1 km2
106 m2 = 1,27 ⋅ 1 km2
106 = 1 ,27⋅10−6 km2
IDS – Transformation d'unités 18 Dernière modification : 04.07.09
multiplier par « 1 » ne change pas la valeur
Exemple 5 : Transformer la masse m = 12,0 uma en g, sachant que 1 uma = 1,66·10–24 g.
m = 12 , 0 uma = 12 ,0 uma⋅ 1 ,66⋅10−24 g1 uma
1
= 12 ,0⋅ 1,66⋅10−24 g1
⇒ m = 1 ,99⋅10−23 g
Exemple 6 : Transformer le volume V = 3,5 mL en dm3,sachant que 1 mL = 10–3 L et que 1 L = 1 dm3.
V = 3 ,5 mL = 3 ,5 mL⋅ 10−3 L1 mL
1
⋅ 1 dm3
1 L1
= 3 ,5⋅ 10−3
1⋅1 dm3
1= 3 ,5 ⋅10−3 dm3
Note : il y a ici deux simplifications d'unités : mL et L.
Exemple 7 : Transformer la masse volumique ρ = 2,75 kg/m3 en g/mm3,sachant que 1 kg = 103 g et que 1 mm3 = 10–9 m3.
= 2 ,75 kg/m3 = 2 ,75 kgm3 ⋅
103 g1 kg
1
⋅ 10−9 m3
1 mm31
= 2 ,75⋅ 103 g1
⋅ 10−9
1 mm3
⇒ = 2 ,75⋅10−6 gmm3
Note : il faut introduire les fractions dans le sens adéquat pour pouvoir simplifier les unités indésirables : kg et m3.
Exemple 8 : Transformer la vitesse v = 7,2 km/h en m/s, sachant que 1 km = 103 m et que 1 h = 3600 s.
v = 7 ,2 km /h = 7 ,2 kmh
⋅103 m1 km
1
⋅ 1 h3600 s
1
= 7 ,2⋅ 103 m1
⋅ 13600 s
= 2 , 0 m /s
Note : on peut également effectuer cette transformation en une seule étape, en employant l'équivalence 3,6 km/h = 1 m/s.
v = 7 ,2 km /h = 7 ,2 km /h⋅ 1 m/s3 ,6 km/h
1
= 7 ,2⋅ 1 m/s3 ,6
= 2 ,0 m /s
IDS – Transformation d'unités 19 Dernière modification : 04.07.09
Remarque importante sur ces deux méthodes
Le produit en croix (ou règle de trois) et la « fraction unité » ne peuvent s'appliquer que si les unités emploient des échelles proportionnelles et dont l'origine (le zéro) est identique. Heureusement, ceci est généralement le cas. Citons toutefois quelques exceptions ci-dessous, qui ne suivent donc pas les règles habituelles.
Exemples :
1) Les échelles de température en degrés Celsius (°C), en degrés Fahrenheit (°F) et en kelvin (K) ont trois origines différentes :
32 °F = 0 °C et 0 °F = −17 ,7 °C
273 ,15 K = 0 °C et 0 K = −273 ,15 °C
Les conversions se font à l'aide de fonctions affines :
F °F = °C⋅9
5 32
T K = °C 273 ,15
où : θF est la température en degrés Fahrenheit (°F);θ est la température en degrés Celcius (°C);T est la température en kelvins (K).
2) L'intensité sonore mesurée en décibels (dB) n'est pas proportionnelle à cette même intensité mesurée en Watts par mètre carré (W/m2). Quelques valeurs significatives :
• seuil de perception de l'oreille humaine (à 1 kHz) : 0 dB = 1·10–12 W/m2
• conversation normale ou télévision (à 1 m) : 60 dB = 1·10–6 W/m2
• seuil de la douleur (oreille humaine, à 1 kHz) : 120 dB = 1 W/m2
La conversion emploie un logarithme de base 10 :
dB = 10⋅log 10 I W/m2I 0 W/m2
où : β est l'intensité sonore (ou niveau sonore) en décibels (dB);I est l'intensité sonore en Watts par mètre carré (W/m2);I0 est l'intensité sonore de référence, choisie égale à 1·10–12 W/m2.
NB : la fonction logarithme sera abordée en mathématiques en 2e année.
IDS – Transformation d'unités 20 Dernière modification : 04.07.09
Transformation d'unités de température
Les échelles de température ont des origines (point « zéro ») différentes et, par conséquent, les transformations d'unités ne peuvent s'effectuer par une simple proportion. Les formules à employer sont données ci-dessous.
Notations : température en kelvins (K) : Ttempérature en degrés Celcius (°C) : θtempérature en degrés Fahrenheit (°F) : θF
Degrés Celcius (°C) en kelvins (K)
Températures : T K = °C 273,15 et °C = T K − 273,15
Différences de température : T K = °C
Exemples :
Transformer θ = 20 °C en K :T = 20 ° C 273 ,15 = 293 K
Transformer T = 20 K en °C : = 20 K − 273 ,15 = −253 °C
Transformer ΔT = 273,15 K en °C : = T = 273 , 15 °C
Degrés Celcius (°C) en degrés Fahrenheit (°F)
Températures : F°F =°C ⋅9
5 32 et °C =
59⋅[F°F − 32 ]
Différences de température : F °F = °C⋅95 et °C = F°F⋅ 5
9
Exemples :
Transformer θ = 20 °C en °F :
F =20 ° C⋅9
5 32 = 68 °F
Transformer θ F = 20 °F en °C :
=59⋅[20 °F − 32 ] = −7 °C
Transformer Δ θ F = 32,00 °F en °C :
= 32 ,00 °F⋅ 59
= 17 ,78 °C
IDS – Transformation d'unités 21 Dernière modification : 29.08.09
0 ,00 K−273 ,15 °C
=273 ,15 °C
T =273 ,15 K
F =32 ,00 °F
0 ,00 °F
=17 ,78 °C
−17 ,78 °C
0 ,00 °C 273 ,15 K
0 ,00 °C 32 ,00 °F
Transformation d'unités de temps
Les différentes unités de temps sont proportionnelles et peuvent être transformées de manière habituelle, en employant les conversions ci-dessous :
minute : 1 min = 60 s heure : 1 h = 60 min = 3600 s jour : 1 j = 24 h = 1440 min = 86 400 s
Temps et durées en unités mixtes
Les temps et durées sont couramment exprimés simultanément à l'aide de plusieurs unités (par exemple : 6 heures, 20 minutes et 15 secondes). Pour transformer de telles valeurs, il faut procéder par étapes, en commençant de préférence par l'unité la plus grande.
Il est conseillé d'enchaîner les étapes dans la calculatrice, de manière à conserver un maximum de précision. Le résultat doit être arrondi une seule fois en fin de calcul, de façon à ne pas excéder la précision de la valeur de départ.
Exemple 1 : transformer 0,2267 jours en minutes et secondes :
On transforme les jours en minutes (unité la plus grande entre min et s) :
0 ,2267 j⋅ 24 h1 j
⋅60 min
1 h= 326 ,45 min
Donc 326 minutes pleines et un « reste » de 0,45 min à transformer en secondes :
0 ,45 min⋅ 60 s1 min
= 27 s
Au final, 0,2267 j = 326 min 27 s (± 4 s).
NB : la valeur initiale est donnée au 1/10 000e de seconde, donc on conserve
l'incertitude correspondante, qui est de ± 0,00005 j ≈ ± 4 s.
Exemple 2 : transformer 203 189 secondes en jours, heures et minutes :
On transforme les secondes en jours : 203 189 s⋅ 1 j86 400 s
= 2 ,351724 j .
Donc 2 jours entiers, plus un reste de 0,351724 j, à transformer en heures :
0 ,351724 j⋅ 24 h1 j
= 8 ,44138 h
Donc 8 heures entières, plus un reste de 0,44138 h, à transformer en minutes :
0 ,44138 h⋅ 60 min1 h
= 26 ,483 min ≈ 26 ,48 min
Au final, 203 189 s = 2 j 8 h 26,48 min (± 0,01 min).
NB : on arrondit à 26,48 min, car l'incertitude est de ± 0,5 s ≈ ± 0,01 min.
IDS – Transformation d'unités 22 Dernière modification : 29.08.09
Proportionnalité
Facteur de proportionnalité
Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, leur rapport est constant (et réciproquement). On appelle cette constante « facteur de proportionnalité ».
Ces facteurs sont souvent caractéristiques et dignes d'intérêt. Certains sont même considérés comme des grandeurs à part entière.
Exemples :
1) La masse volumique (ρ) d'une matière est constante, c'est le facteur de proportionnalité entre la masse (m) d'un corps fait de cette matière et son volume (V).
2) La concentration massique (Cm ) d'une solution est constante, c'est le facteur de proportionnalité entre la masse (m) de soluté contenu dans un certain volume (V) de solution.
Résolution d'un problème de proportion
Voici un guide détaillé et accompagné d'un exemple, étape par étape.
Exemple d'énoncé : Sachant qu'une brique de 2,0 L de thé froid contient 180 g de sucre, calculer combien de grammes de sucre se trouvent dans une canette de 33 cL de cette même boisson.
1) Repérer les deux grandeurs impliquées et vérifier qu'elles soient effectivement proportionnelles (sans quoi cette méthode n'est pas applicable).
1° la masse de sucre (en g) 2° le volume de thé froid (en L ou mL)
Il s'agit du même thé dans les deux contenants et le sucre est réparti de façon homogène, donc la masse de sucre est bien proportionnelle au volume de thé.
2) Mettre les données de chaque grandeur aux mêmes unités.
Le volume de thé froid doit être exprimé dans une seule unité :dans la brique : Vthé,brique = 2,0 L dans la canette : Vthé,canette = 33 cL = 0,33 L
3) Identifier la valeur recherchée et lui attribuer un symbole clair (pas « x »).
On cherche la masse de sucre dissout dans une canette de thé : msucre,canette = ?
IDS – Proportionnalité 23 Dernière modification : 07.07.09
grandeur A
grandeur Bproportionnelles équivalent A
B= constante
mV
=
mV
= Cm
facteur de proportionnalité :
pour la suite, deux méthodes sont proposées
Méthode du produit en croix (ou règle de trois)
4) Poser la proportion permettant de trouver l’inconnue (en gras ci-dessous).
{msucre , canette ↔ V thé, canette
msucre, brique ↔ V thé, brique{msucre , canette ↔ 0 ,33 L
180 g ↔ 2 ,0 L
5) Calculer le résultat (appliquer la règle de trois), sans oublier les unités.
msucre , canette =V thé ,canette
V thé , brique⋅mbrique = 0 ,33 L
2 ,0 L⋅180 g = 30 g
6) Formuler le résultat clairement, avec les unités appropriées.
Une canette de thé froid contient 30 g de sucre.
Méthode du facteur de proportionnalité
4) Calculer le facteur de proportionnalité, à l'aide des valeurs connues.
Le rapport entre la masse de sucre dissout et le volume de thé est constant; il s'agit de la concentration massique (Cm) en sucre. Elle peut être calculée pour le thé contenu dans la brique, car on connait à la fois sa masse de sucre et son volume :
Cm =msucre ,brique
V thé , brique= 180 g
2 L= 90 g
L
5) Employer le facteur de proportionnalité pour calculer l'inconnue.
On transforme la formule pour isoler la masse, que l'on veut déterminer :
Cm =msucre , canette
V thé , canette⇔ msucre ,canette = Cm⋅V thé , canette = 90 g
L⋅0 ,33 L = 30 g
NB : Cm est identique dans la brique et la canette, car c'est le même thé.
6) Formuler le résultat clairement, avec les unités appropriées.
Une canette de thé froid contient 30 g de sucre.
Remarque : Cette seconde méthode est préférable s'il est nécessaire de calculer plusieurs inconnues. On pourrait en effet réutiliser le facteur de proportionnalité qui a déjà été calculé, par exemple pour déterminer la masse de sucre dans un verre de 2 dL, ou encore le volume de thé qu'il faut prendre pour avoir 10 g de sucre.
IDS – Proportionnalité 24 Dernière modification : 07.07.09
La concentration en sucre est de 90 grammes par litre de thé.
Chiffres significatifs
Toute valeur d'origine expérimentale a une précision limitée. Il faut donc prêter attention au nombre de chiffres que l'on écrit, sous peine d'indiquer des chiffres qui n'ont aucune signification ou, inversement, de perdre une partie de l'information.
La règle veut que l'on écrive tous les « chiffres significatifs » (ceux qui ont été mesurés), mais seulement ceux-ci. La notation scientifique est sans ambiguïté à ce sujet, au contraire de la notation décimale (cf. ci-dessous).
Exemples :
écriture : signification : chiffres significatifs :
4·101 ans entre 35 et 45 ans un : précision à la dizaine d'années
4,0·101 ans entre 39,5 et 40,5 ans deux : précision à l'année
21 cm entre 20,5 et 21,5 cm deux : précision au centimètre
21,0 cm entre 20,95 et 21,05 cm trois : précision au millimètre
Nombre de chiffres significatifs en notation scientifique :
– chaque chiffre de la mantisse (nombre qui précède la puissance) est significatif.
Exemples : 1,23·1045 trois chiffres significatifs (indiqués en gras)1,0·10–2 deux chiffres significatifs
Nombre de chiffres significatifs en notation décimale :
– tous les chiffres différents de zéro (de 1 à 9) sont toujours significatifs;– les zéros situés au milieu ou à droite* du nombre sont significatifs;– les zéros situés à gauche du nombre ne sont pas significatifs.
* certains zéros à droite du nombre sont obligatoires pour indiquer l'ordre de grandeur et doivent être ajoutés même s'ils ne sont pas significatifs, d'où un manque de clarté de la notation décimale.
Exemples : 120,3 quatre chiffres significatifs 123,0 quatre chiffres significatifs 0,012 deux chiffres significatifs
1,23·103 = 1230 trois chiffres significatifs1,230·103 = 1230 quatre chiffres significatifs
Exemple concernant l'ambiguïté de la notation décimale :On annonce qu'une manifestation a réuni « 80 000 personnes ». Est-ce un nombre exact ou une approximation ? La notation scientifique permet de lever le doute en n'écrivant que les zéros significatifs : 8,0000·104 ou 8,00·104 ...
IDS – Chiffres significatifs 25 Dernière modification : 07.07.09
La notation décimale manque ici de clarté. Le zéro est en effet
obligatoire pour indiquer le millier, mais
est-il significatif ?
Incertitude
Marge d’incertitude
Le fait que la précision d'une valeur soit limitée se traduit concrètement par une « marge d’incertitude ». Ceci signifie que la valeur n'est pas représentée par un nombre exact, mais par un intervalle d'une certaine largeur.
On peut indiquer la valeur (x) de plusieurs manières :
1) par la valeur mesurée (xmes) et l'incertitude absolue (x) : x = xmes ± x
2) par les valeurs extrêmes (xmin et xmax) de l'intervalle : x ∈ [xmin ; xmax]
3) par une double inégalité délimitant l'intervalle : xmin x xmax
La valeur mesurée est au centre de l'intervalle : xmes =xmax xmin
2
L'intervalle est centré sur xmes et sa largeur est 2·Dx : x ∈ [xmes−x ; xmesx ]
Exemple 1 : un botaniste estime l'âge d'un arbre entre 35 et 45 ans.
On indique l'âge (a) ainsi : 1) a = 40 ans 5 ans2) a [35 ans ; 45 ans]3) 35 ans a 45 ans
Exemple 2 : un élève mesure la largeur d'une feuille A4 à l'aide d'une règle en plastique graduée au millimètre et trouve 21,0 cm.
La valeur mesurée est L = 21,0 cmL'incertitude est L = 0,5 mm = 0,05 cm (voir fiche « Précision d'une mesure »)
On indique la largeur ainsi : 1) L = 21,0 cm 0,05 cm2) L [20,95 cm ; 21,05 cm]3) 20,95 cm L 21,05 cm
IDS – Incertitude 26 Dernière modification : 29.08.09
35 40 45 âge en années
intervalle :[35 ans ; 45 ans]
incertitude absolue :a = 5 ans (en plus ou moins)
mesure :ames = 40 ans
x
xmin xmes xmax
x
Incertitudes absolue et relative
La valeur (x) est représentée par l'intervalle [xmin ; xmax], centré sur la valeur mesurée xmes.
L'incertitude absolue (x) est la demi-largeur de l'intervalle décrivant la valeur (x) :
L'incertitude relative (x) correspond à la même incertitude, mais exprimée par rapport à la valeur mesurée (xmes), le plus souvent en pourcentage :
Exemple 1 : On mesure la masse d'un gros chien : mchien = 78,5 kg 0,5 kg
L'incertitude absolue sur la masse du chien est : Dmchien = 0,5 kg
L'incertitude relative correspondante est :
mchien =mchien
mmes, chien= 0,5 kg
78 ,5 kg= 6, 4⋅10−3 = 6 , 4⋅10−3⋅100 % = 0 ,64 %
Exemple 2 : On mesure la masse d'un petit chat : mchat = 2,5 kg 0,5 kg
L'incertitude absolue sur la masse du chat est : Dmchat = 0,5 kg
L'incertitude relative correspondante est :
mchat =mchat
mmes,chat= 0,5 kg
2,5 kg= 0, 20 = 0 ,20⋅100 % = 20 %
Comparaison entre incertitudes absolues et relatives
L'incertitude relative permet d'interpréter l'incertitude en la comparant avec la valeur mesurée. On peut ainsi mieux évaluer l'importance de celle-ci.
Exemple 3 : en comparant les exemples 1 et 2 ci-dessus, on se rend compte que les incertitudes absolues sont identiques (Dm = 0,5 kg). Cette imprécision sur la masse a une relativement faible influence sur la masse du chien ( 0,64 %), alors qu'elle modifie de manière importante celle du chat ( 20 %).
IDS – Incertitude 27 Dernière modification : 29.08.09
x
xmin xmes xmax
x
x =xmax − xmin
2
x = xxmes
= xxmes
⋅100 %
Précision d'une mesure
A quelques rares exceptions près, toutes les mesures sont entachées d’incertitudes et ne sont par conséquent pas exactes.
La précision d’une mesure unique peut dépendre de trois facteurs :
1° l’instrument de mesure employé2° les facultés de l’expérimentateur3° les conditions expérimentales
Instrument de mesure analogique
Un instrument « analogique » indique le résultat sur une échelle graduée. L’expérimentateur estime le résultat en observant la graduation.
Avec de tels instruments, on considère en général que la précision maximale est donnée par la moitié de la plus petite graduation, en plus ou en moins. On indique donc la mesure sous forme d'un intervalle dont la largeur correspond à la plus petite graduation.
Exemple 1 : On mesure la longueur d’une ellipse à l’aide d’une règle graduée à 0,1 cm. La règle indique environ 3,2 cm. Pour tenir compte de la précision limitée, on indiquera que l'ellipse mesure entre 3,15 et 3,25 cm. On peut noter cela sous la forme 3,2 ± 0,05 cm. La largeur de l'intervalle correspond à la plus petite graduation, soit 0,1 cm.
Le résultat obtenu (entre 3,15 et 3,25 cm) possède deux chiffres significatifs. Si l'on veut donner une seule valeur (sans intervalle), il faut se limiter à « 3,2 cm ».
Remarque : si le positionnement de la gauche de l'ellipse sur le zéro de la règle est également sujet à imprécision, l'incertitude est alors doublée.
Instrument de mesure numérique
Comme son nom l'indique, un instrument « numérique » affiche une valeur numérique sur un écran. L'expérimentateur n'a plus alors qu'à relever le nombre affiché. La lecture est donc généralement plus aisée, ce qui ne veut pas dire que l'instrument soit plus précis.
La précision d'un instrument numérique dépend du dernier chiffre qui est affiché de manière stable (sans que ce chiffre ne change incessamment). Le nombre affiché est un arrondi de la véritable valeur. La précision maximale correspond donc à la moitié du plus petit intervalle affichable, en plus ou en moins. On indique le résultat sous forme d'un intervalle dont la largeur correspond au plus petit intervalle affichable.
IDS – Précision d'une mesure 28 Dernière modification : 01.06.10
0 1 2 3 cm
Remarque : il est judicieux de regarder les indications placées par le fabricant sur l'appareil (ou dans son manuel), qui mentionnent souvent la précision. Celles-ci sont généralement fiables (surtout si le fabricant est sérieux et l'appareil bien entretenu), ce qui n'exclut pas d'être vigilant et critique face aux résultats obtenus.
Exemple 2 : On mesure la masse d'un objet sur une balance qui possède un affichage à deux grammes près (152, 154, 156 g...). Si l'affichage indique 154 g, il faut comprendre que la valeur réelle est supérieure à 153 g et inférieure à 155 g. On note alors que la masse est de 154 ± 1 g. La largeur de l'intervalle indiqué correspond à la précision de l'affichage, soit 2 g.
En termes de chiffres significatifs, le résultat obtenu (entre 153 et 155 g) offre en quelque sorte deux chiffres « et demi ». En effet, les « 1 » et « 5 » sont certains, alors que le troisième n'est que partiellement déterminé. Pour donner le résultat sous forme d'une seule valeur fiable, il faut indiquer « 1,5·102 g ». NB : dans ce cas, la notation décimale (154 g) serait trompeuse, car le « 4 » n'est pas assuré.
Facultés de l'expérimentateur et conditions expérimentales
Les conditions expérimentales (température élevée, vibrations, position inconfortable de l'expérimentateur...) peuvent dégrader la qualité de la mesure. La précision n'est alors généralement plus limitée par l'instrument seulement, mais également par des facteurs extérieurs.
Pour estimer l'incertitude globale, on détermine expérimentalement les valeurs minimale et maximale admissibles pour la mesure. Il est souvent nécessaire de répéter l'expérience afin d'observer comment les résultats varient. On fixe alors l'incertitude de manière à ce que la fourchette englobe les résultats « raisonnables » obtenus. (Lorsqu'on dispose d'un grand nombre de mesures, on se permet généralement d'écarter les résultats trop éloignés de la moyenne, considérés comme statistiquement non significatifs, d'où le terme « raisonnable » ci-dessus.)
Exemple 3 : Lors d'un chronométrage manuel, on obtient plusieurs résultats compris entre 2,3 s et 3,1 s. La valeur centrale est 2,7 s et l'écart entre les extrêmes est de 3,1 s – 2,3 s = 0,8 s. La mesure est donc 2,7 ± 0,4 s, et ce même si le chronomètre employé est capable de mesurer le 1/100e s.
Exemple 4 : Une balance de précision d'excellente qualité est posée sur un socle peu stable, qui vibre. On observe que l'affichage oscille entre 12,208 et 12,276 g. Le résultat est :12,242 ± 0,034 g. Si l'on veut donner une seule valeur, il faut arrondir à 12,2 g, et ne conserver que trois chiffres significatifs. On voit alors que les deux derniers chiffres de l'affichage ne sont pas exploitables.
IDS – Précision d'une mesure 29 Dernière modification : 01.06.10
0154 g
Valeur moyenne & statistique
Certains phénomènes ne peuvent être caractérisés qu'en collectant un grand nombre de résultats. En d'autres termes, il se peut que l'incertitude liée à une mesure unique soit tellement importante que le résultat n'ait quasiment plus aucune signification. Ceci se produit typiquement lorsqu'on considère des êtres vivants, en biologie ou en sciences humaines.
Exemple : Si on voulait mesurer le temps de survie des bactéries en présence d'un antibiotique, on ne pourrait pas tester une bactérie unique, car celles-ci peuvent avoir des sensibilités très différentes face à un antibiotique selon leurs gènes. Dans ce cas, il est bien possible que l'une meure rapidement, mais que la bactérie voisine résiste dix ou cent fois plus (ou moins) longtemps. Les résultats individuels pourraient être très variés. Il est donc nécessaire d'observer un très grand nombre de bactéries avant de tirer une quelconque conclusion.
Avantage et calcul d'une valeur moyenne
On distingue deux catégories de sources d'incertitude :
1° les perturbations aléatoires (ex : réflexes de l'expérimentateur...)2° les perturbations systématiques (ex : mauvais réglage d'un appareil...)
Lorsqu'on est en présence de perturbations aléatoires (qui ne se reproduisent pas de manière régulière), la répétition d'une même mesure (dans des conditions identiques) permet de limiter l'incertitude. On combine alors tous les résultats pour calculer une valeur moyenne, qui est plus fiable que chaque résultat individuel.
Si x1, x2... xN, sont N résultats différents d'une même mesure, la moyenne x est :
x =x1x2...xN
N
Exemple : Si trois personnes chronomètrent simultanément la durée de chute d'un objet et obtiennent : t1 = 2,3 s, t2 = 2,8 s et t3 = 3,1 s, la moyenne sera donnée par :
t =t1t2t3
3= 2 ,3 s 2 ,8 s 3 ,1 s
3= 2 ,73 s
IDS – Valeur moyenne & statistique 30 Dernière modification : 04.06.09
Incertitude sur la valeur moyenne
La précision d'une mesure augmente avec le nombre de résultats que l'on récolte. Pour estimer l'incertitude x sur la moyenne obtenue, on emploie la formule :
x = xN
où Δx est l'incertitude sur un résultat et N le nombre de résultats.
Note : Cette formule est valable si l'incertitude Δx est la même pour tous les résultats et si ceux-ci ont été obtenus indépendamment les uns des autres.
Exemple : Cent personnes mesurent la hauteur d'un arbre, avec une incertitude identique : Δh = 0,2 m. Ils obtiennent des résultats : h1 = 2,3 m, h2 = 2,6 m... (100 résultats au total). On calcule la moyenne pour obtenir, h = 2,47 m (par exemple). Dans ce cas, l'incertitude sur la moyenne des 100 résultats sera :
h =hN
=0 ,2 m100
= 0 ,02 m
Chaque résultat peut être donné sous la forme : h1 = 2,3 ± 0,2 m, h2 = 2,6 ± 0,2 m ... ce qui correspond à des intervalles d'une largeur de 0,4 m : h1 [2,1 m ; 2,5 m], h2 [2,4 m ; 2,8 m]... La moyenne sera h = 2,47 ± 0,02 m, ce qui donne un intervalle de 0,04 m : h [2,45 m ; 2,49 m].
On constate que l'on gagne un chiffre significatif sur la moyenne, en récoltant 100 résultats. Pour gagner deux chiffres significatifs, il faudrait réunir 10 000 résultats !
IDS – Valeur moyenne & statistique 31 Dernière modification : 04.06.09
Propagation de l'incertitude
Lorsque l’on effectue des calculs à partir de valeurs inexactes, l’incertitude se propage et s'amplifie au fil des calculs. Il faut pouvoir estimer la précision du résultat à partir des incertitudes sur les valeurs employées.
La méthode simple présentée ici, consiste à calculer les résultats minimum et maximum qu'il est possible d'obtenir en cumulant les incertitudes des arguments du calcul.
Remarques :
– De manière à ne pas sous-estimer l'incertitude, on arrondit le résultat minimum vers le bas et le maximum vers le haut.
– Lorsque l'on s'intéresse à la propagation de l'incertitude, il est plus pratique de travailler avec la notation sous forme d'intervalle et de transformer sous la forme x x en fin de calcul uniquement.
Cas de l'addition et de la multiplication
On obtient le résultat minimum en employant les arguments minimaux, idem pour le maximum :
somme min = x1min x2min produit min = x1min⋅x2min
somme max = x1max x2max produit max = x1max⋅x2max
Exemple 1 : calcul de l’aire, avec son incertitude, d’une feuille dont on a mesuré :- la longueur : a = (21,0 ± 0,1) cm ou a [20,9 cm ; 21,1 cm];- la largeur : b = (16,5 ± 0,1) cm ou b [16,4 cm ; 16,6 cm].
Calcul de l'aire minimale : Amin = amin⋅bmin = 20 , 9 cm⋅16 ,4 cm = 342 ,76 cm2
Calcul de l'aire maximale : Amax = amax⋅bmax = 21 ,1 cm⋅16 ,6 cm = 350 ,26 cm2
Donc l'aire est comprise dans l'intervalle [342,76 cm2 ; 350,26 cm2] .
On arrondit ensuite (le minimum vers le bas, le maximum vers le haut) pour conserver le nombre de chiffres significatifs des arguments, soit trois.
L'aire calculée est donc : A [342 cm2 ; 351 cm2] .
Calcul de la valeur centrale de l'intervalle :
Calcul de l'incertitude (demi largeur de l'intervalle) :
Le résultat peut aussi être écrit sous la forme : A = (346,5 ± 4,5) cm2 .
NB: la valeur « centrale » de l'intervalle est appelée « mesurée » dans la fiche « Incertitude », mais le terme serait maladroit ici car il s'agit d'une valeur calculée.
IDS – Propagation de l'incertitude 32 Dernière modification : 01.06.10
A = 351 cm2−342 cm2
2= 4 ,5 cm2
Acentrale =342 cm2351 cm2
2= 346 , 5 cm2
Cas de la soustraction et de la division
On obtient les résultats extrêmes, en croisant les arguments comme suit :
différence min = x1min − x2max quotient min =x1minx2max
différence max = x1max − x2min quotient max =x1maxx2min
Note : attention à la position des minimum et maximum !
Exemple 2 : incertitude sur le calcul d’une vitesse, en connaissant :- la distance parcourue : x = (5,4 ± 0,1) m ou x [5,3 m ; 5,5 m];- la durée du déplacement : t = (2,3 ± 0,1) s ou t [2,2 s ; 2,4 s].
Vitesse minimale : v min =x min
tmax= 5 ,3 m
2 ,4 s= 2 ,208 m⋅s−1 ≈ 2 ,2 m⋅s−1
Vitesse maximale : v max =x max
tmin= 5 ,5 m
2 ,2 s= 2 ,500 m⋅s−1 ≈ 2 ,5 m⋅s−1
La vitesse calculée est : v [2,2 m·s–1 ; 2,5 m·s–1] ou v = (2,35 ± 0,15) m·s–1 (voir exemple 1 pour le calcul de la valeur centrale et de l'incertitude).
Exemple 3 : incertitude sur le calcul de la durée d'une chanson, sachant :- qu'elle commence à t1 = 10 h 20 min ± 30 s = (620 ± 0,5) min
ou t1 [619,5 min ; 620,5 min]- qu'elle se termine à t2 = 10 h 23 min ± 30 s = (623 ± 0,5) min
ou t2 [622,5 min ; 623,5 min]
Durée minimale : dmin = t2 min − t1 max = 622 ,5 min − 620 ,5 min = 2 minDurée maximale : dmax = t2 max − t1 min = 623 ,5 min − 619 ,5 min = 4 min
La durée calculée est : d [2 min ; 4 min] ou d = (3 ± 1) min (voir exemple 1 pour le calcul de la valeur centrale et de l'incertitude).
IDS – Propagation de l'incertitude 33 Dernière modification : 01.06.10
Construire un graphique
En sciences expérimentales, le but d’un graphique est de présenter des données chiffrées sous une forme visuelle, facilitant leur compréhension et leur interprétation. Deux séries de valeurs sont ainsi confrontées, l’une représentée sur l’axe horizontal et l’autre sur l’axe vertical. Suivant l’alignement des points, on peut déterminer la nature de la relation entre les grandeurs représentées.
1. Regrouper les données expérimentales
On commence par recenser des données expérimentales, que l’on ordonne généralement dans un tableau. Les colonnes (ou lignes) du tableau comportent un titre (tête de colonne/ligne) qui indique la grandeur et son unité, de sorte que les cases du tableau ne comportent que les valeurs chiffrées.
Exemple : on mesure la température (θ) en fonction du temps (t) :
t (min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10θ (°C) 8,5 4,4 2,1 0,7 0,2 0,1 0,0 –0,1 –0,2 –1,6 –4,0
2. Préparer le graphique
a. Choisir les échelles et la disposition de la feuille
Identifier dans les données expérimentales les valeurs minimale et maximale de chaque grandeur, et en déduire l’étendue (l’écart) à placer sur le graphique. Appliquer à cette étendue une échelle simple (un multiple simple de l’unité doit correspondre à un multiple simple du nombre de carreaux ou de centimètres, par exemple : 0,5 min à 1 cm ou 3 °C à 1 cm) et occupant au moins la moitié de la longueur de l'axe. Le choix de la disposition de la feuille (verticale ou horizontale) tient compte des meilleures échelles possibles.
Remarque : s’il s’agit d’un graphique d’évolution, l’expérimentateur contrôle la variation d’une grandeur (souvent le temps) : c’est la variable contrôlée, qui se place sur l'axe horizontal. Puis il mesure une grandeur qui varie en fonction de la variable contrôlée : c’est la variable mesurée, que l'on place sur l'axe vertical.
b. Tracer les axes du graphique
Tracer deux axes perpendiculaires orientés par une flèche, l’ordonnée (axe vertical) et l’abscisse (axe horizontal). Indiquer sur chaque axe le nom de la grandeur correspondante et son unité (entre parenthèses). Graduer les axes en écrivant des valeurs à intervalles réguliers (ex : 5, 10, 15, 20... ou 1000, 2000, 3000...).
IDS – Construire un graphique 34 Dernière modification : 13.07.09
θ(°C)
t (min)2
4
–4
0
8
4 6 8 10
Evolution de la température de l'eau en fonction du temps
c. Ajouter un titre au graphique
De manière simplifiée, le titre peut toujours être exprimé comme étant [l’évolution de] « la variable de l’axe vertical » en fonction de « la variable de l’axe horizontal ».
3. Réaliser le graphique
a. Placer les points
A partir des valeurs du tableau, placer chaque point en le représentant à l’aide d’une croix (+).
b. Tracer la droite ou la courbe
Déterminer si les points sont positionnés plutôt selon une droite ou une courbe. Choisir si cette dernière doit passer par l’origine, c’est-à-dire le point (0 ;0). Pour ces deux choix, il est judicieux de tenir compte d'une éventuelle théorie déjà connue et applicable à la situation mesurée.
Tracer alors une droite ou la courbe de manière à passer au plus près des points expérimentaux. On appelle ce tracé « droite moyenne » ou « courbe moyenne ».
Remarques :
● Pour relier les points d’un graphique, il faut que les points situés entre deux valeurs mesurées existent, même si elles n'ont pas été mesurées.
● S’il y a plusieurs droites/courbes représentées sur le même graphique, ajouter une légende pour les distinguer.
● NE PAS RELIER LES POINTS par des segments de droite (A) mais tracer la droite (B) ou la courbe (C) correspondant le mieux à l’expérience. Dans le cas d’une droite, équilibrer au mieux les écarts entre les points et la droite. Dans le cas d’une courbe, lisser celle-ci pour être au plus près de tous les points
A B C
IDS – Construire un graphique 35 Dernière modification : 13.07.09
θ(°C)
t (min)2
4
0
8
4 6 8 10
Evolution de la température de l'eau en fonction du temps
θ(°C)
t (min)2
4
–4
0
8
4 6 8 10
Evolution de la température de l'eau en fonction du temps
Pente d'une droite
Dans le cas où une relation de proportionnalité existe entre les deux grandeurs portées sur un graphique, une droite passant par l’origine peut être tracée.
Détermination de la pente
On détermine la pente p de la droite par la mesure du triangle de pente (le plus grand possible) :
p =yx
Note : il est plus simple de choisir l'origine (0;0) comme l'un des deux points pour calculer la pente.
Exemple : La distance parcourue par une voiture en fonction du temps doit donner une droite si le mouvement a lieu a vitesse constante.
La pente de cette droite vaut : p = y x
=d t
=38 m20 s
= 1 ,9 ms
Signification de la pente
La pente de la droite correspond au coefficient de proportionnalité entre les deux grandeurs portées sur le graphique, qui a généralement une signification.
Exemple : Sur le graphique ci-dessous, la pente de la droite correspond à la vitesse de la voiture, exprimée en mètres par seconde.
IDS – Pente d'une droite 36 Dernière modification : 10.07.09
distanced (m)
4 temps, t (s)8 12 160 20
Mouvement de la voiture
20
10
0
30
estimation de la meilleure droite
points mesurés50
~38
d
t triangle de pente
y (unité)
x (unité)00
y
x
triangle de pente
Incertitude sur un graphique
Lorsqu'on établit un graphique à partir de valeurs expérimentales, on se rend compte que les points ne sont généralement pas exactement alignés, même si les deux grandeurs sont manifestement proportionnelles. Ceci tient au fait que les mesures effectuées ont une précision limitée.
Fenêtre d'incertitude
Les points expérimentaux doivent se placer sur le graphique selon des coordonnées qui souffrent toutes deux d'une marge d'incertitude. On représente donc ces valeurs par des « fenêtres d'incertitude », dont la taille reflète l'imprécision des valeurs expérimentales.
Les fenêtres d'incertitude sont centrées sur les coordonnées (xmes;ymes) de chaque point. Elles ont une largeur égale au double de l'incertitude absolue (x) sur la grandeur x (en abscisse) et une hauteur égale au double de l'incertitude absolue (y) sur la grandeur y (en ordonnée).
Droites minimale et maximale – incertitude sur la pente
Il est généralement possible de tracer plusieurs droites passant par l'origine des coordonnées et traversant toutes les fenêtres d'incertitude. Ceci montre que la pente de la droite moyenne est également connue avec une marge d'incertitude.
Pour déterminer la pente de la droite moyenne, ainsi que son incertitude, on trace les droites extrêmes (de pentes minimale et maximale) qui passent par toutes les fenêtres.
Valeur moyenne de la pente :
pmoy =pmax pmin
2
Incertitude absolue sur la pente :
p =pmax − pmin
2
IDS – Incertitude sur un graphique 37 Dernière modification : 29.08.09
y
x
point(xmes;ymes)
y
x
y (unité)
x (unité)00
droite de pente maximale
point représenté par une fenêtre
d'incertitude
droite de pente minimale
droite de pente moyenne
Annexe : unités de mesure S.I.
Le document ci-dessous est produit par l'Office fédéral de métrologie (METAS), qui est l'autorité suisse en matière de mesure, dans les domaines du commerce, du trafic, de la sécurité publique, de la santé et de l'environnement. Il contient une liste exhaustive des unités de base et dérivées du système international. D'autres informations à ce sujet sont disponibles sur le site Internet http://www.metas.ch .
* NB : les chimistes emploient souvent l'abréviation uma au lieu de u pour désigner l'unité de masse atomique
IDS – Annexe : unités de mesure S.I. 38 Dernière modification : 01.06.10
*
IDS – Annexe : unités de mesure S.I. 39 Dernière modification : 01.06.10
CEC Emilie-Gourd
Introduction à la Démarche Scientifique (IDS)
Objectifs d'apprentissage
Fond
amen
tum
p
age(
s)
vu a
u C
.O.
(re)v
u en
IDS
com
pris
*
maî
trisé
*
Prérequis élémentaires (en principe non repris en IDS)1 Employer les opérations de base (dont puissance et racine) X2 Transformer des formules (algèbre élémentaire) X3 Calculer une aire et un volume (formes géométriques simples) X4 Calculer ou employer une masse volumique 9-10 X5 Calculer une moyenne 30 X
Expérimentation6 Formuler puis tester ses hypothèses X7 Confronter une théorie (ou un modèle) aux expériences X8 Etablir un protocole d'expérience X9 Suivre un protocole d'expérience X
10 Apprendre à travailler en groupe X11 Apprendre à employer le matériel (x)
Communication et rédaction12 Rédiger et structurer un rapport scientifique 5-613 Rédiger et présenter un calcul 7-8 (x)14 Représenter une situation par un croquis 1115 Tracer un schéma ou un diagramme 1116 Présenter oralement un résultat ou un avis (x)
Ordres de grandeur17 Employer les puissances de dix et la notation scientifique 12-14 X18 Employer la calculatrice en notation scientifique (x)19 Estimer et comparer les ordres de grandeur 15
Unités20 Connaître les unités de base du Système International (S.I.) 16 (x)21 Connaître les préfixes S.I. usuels (nano - giga) 16 (x)22 Ajouter et supprimer des préfixes aux unités S.I. 17 (x)23 Transformer les unités non S.I. (litres, années lumière, heures...) 18-22 (x)24 Transformer les unités dérivées (vitesse, masse volumique...) 18-22
Proportionnalité25 Repérer les grandeurs proportionnelles 23 X26 Déterminer un facteur de proportionnalité 23 X27 Poser et résoudre un produit en croix (règle de trois) 23-24 X28 Interpréter une droite linéaire sur un graphique 36
Précision et incertitudes29 Comprendre et employer la notion de chiffre significatif 2530 Exprimer une valeur avec son incertitude absolue 2631 Calculer l'incertitude relative sur une valeur 2732 Estimer la précision d'une mesure et son incertitude 28-2933 Améliorer la précision par le calcul d'une moyenne 3034 Propager l'incertitude aux grandeurs calculées 32-3335 Représenter l'incertitude sur un graphique 37
Graphiques36 Construire un tableau de valeurs 34 (x)37 Tracer un graphique (y en fonction de x) 34-35 X38 Choisir des échelles appropriées 34-35 X39 Tracer une droite moyenne 3540 Calculer la pente d'une droite 36 (x)
Dernière modification : 17.06.11 * auto-évaluation
