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Algèbre linéaire d’un point de vue algorithmique
chapI. SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES
(1 séance)
1. Equations linéaires
Définition 1. Equation d’une droite dans le plan a1x+ a2y= b
Définition 2. Equation d’un plan dans l’espace a1x+ a2y+ a3z= b
Définition 3.
Equation linéaire en les variables x1, .,xn: a1x1+a2x2+ .+anxn=b
Définition 4. Soit l’équation a1x1+ a2x2+ .+ anxn= b
Une solution de l’équation est un n-uplet (s1, , sn) de réels tels quea1s1+ a2s2+ .+ ansn= b.
Résoudre l’équation c’est rendre apparentes les valeurs (toutes lesvaleurs!) que peuvent prendre les inconnues.
La résolution se fait au moyen d’équivalences (� !)
on remplace le système S1 par un système équivalent S2 :
si S1 est vrai S2 l’est aussi et si S2 est vrai S1 l’est aussi
jusqu’à ce qu’on arrive
à une description de l’ensemble des solutions
ou
à la conclusion qu’il n’y en a pas.
Exercice 1. x1-4x2+13x3=5
1
Solution. x1-4x2+13x3=5� x1=4x2-13x3+5; l’ensemble des solutions est {(x1, x2,
x3)∈R3, x1=4x2-13x3+5} ou si vous préférez {(4x2-13x3+5, x2, x3), (x2, x3)∈R
2}.
On ne peut aller plus loin il y a deux variables qui sont « libres » et la troisième,x1, est déterminée chaque fois que nous avons choisi (x2, x3).
Les solutions sont déterminées par le choix de (x2, x3).
Exercice 2. x1-6x2+3x3-8x4=15
à vous .......
2. Systèmes d’équations linéaires
Exemple 5. On désire savoir si deux droites du plan ont un point commun et, si oui, le déterminer
x1
x2
La première droite a pour équation: x1-4x2+4=0
La seconde droite a pour équation: 2x1-x2-6=0
Les points communs aux deux droites, s’il y en a, vérifient les deux équations à la fois c’est à dire
le système:
{
x1− 4x2+4=02x1− x2− 6= 0
Définition 6. Un système d’équations linéaires est un ensemble finid’équations
2
a11x1+ a12x2+ .+ a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ .+ a2nxn= b2
ap1x1+ ap2x2+ .+ apnxn= bp
.
Définition 7. Une solution du système d’équations linéairesci-dessus est un n-uplet (s1, , sn) de réels tels que
a11s1+ a12s2+ .+ a1nsn= b1a21s1+ a22s2+ .+ a2nsn= b2
ap1s1+ ap2s2+ .+ apnsn= bp
pour tout i=1,..,m .
Exercice 3. Résoudre le système
{
x1− 3x2+ x3=1−x1+4x2− 3x3=9
.
Solution.
sans méthode nous dépendons de la chance, avec méthode nous dépendons de notre seul travail.
Si nous conservons la première équation L1 et nous ajoutons cette équation à laseconde ( L2), en appelant le résultat L2
′ ce sera une opération « réversible », nouspourrons reconstituer l’ancienne L2 en retranchant L1 à L’2; donc nous n’avons pasmodifié l’ensemble des solutions.
Donc
{
x1− 3x2+x3=1−x1+4x2− 3x3=9
�
{
x1− 3x2+x3=1x2− 2x3= 10
.
Recommençons
Ajoutant à la première équation « actuelle » le produit de la seconde par 3; ce seraencore une opération réversible, donc nous avons un nouveau système qui possèdeles mêmes solutions{
x1− 3x2+x3=1x2− 2x3= 10
�
{
x1-5x3= 31x2− 2x3= 10
�
{
x1=5x3+1x2=2x3+ 10
.
Donc l’ensemble des solutions est {(5x3+1, 2x3+ 10, x3), x3∈R}
Une variable, x3, est « libre », mais pour chaque valeur de x3, les deux autres ontleur valeur « déterminée ».
Attention il y a des systèmes d’équations linéaires qui ont des solutions,il y en a qui n’en ont pas :
3
Définition 8.
Un système d’équations linéaires est dit
consistant lorsqu’il possède au moins une solution
et
incompatible lorsqu’il n’a pas de solution.
Exercice 4. Résoudre le système
{
x1+x2=111x1+ 11x2=9
Solution. Opérons de même{
x1+ x2=111x1+ 11x2=9
�
{
x1+x2=10= -29
!!!!! bizarre !
Remarque 9. Toute équation de la forme 0x1+ 0x2+ .+ 0xn= b,où b� 0 est incompatible.
3. La méthode de résolution
Définition 10. Opérations élémentaires
Soit un système d’équations linéaires
L1
L2
.
Lp
, on appelle opérations élé-
mentaires
i) Multiplier une équation par une constante k non nulle: Li�kLi.
4
ii) Echanger (permuter) deux équations: Li↔Lj
iii) Ajouter un multiple d’une équation à une autre équation: Li�
Li+ kLj
Théorème 11.
Les opérations élémentaires conservent l’ensemble des solutions du sys-tème.
Exercice 5. Résoudre le système ci-dessus en utilisant des opérations élémen-taires.
Solution.
x1+x2+2x3=−1−x1− 3x2− 4x3=−52x1−x2+2x3=−5
�
x1+ x2+2x3=−10− 2x2-2x3=−62x1−x2+2x3=−5
�
x1+ x2+2x3=−1−2x2-2x3=−60− 3x2− 2x3=−3
�
x1+x2+2x3=−1x2+x3=3−3x2− 2x3=−3
�
x1+x2+2x3=−1x2+ x3=3x3=6
�
x1+ x3=−4x2+ x3=3x3=6
�
x1=−10x2=−3x3=6
.
D’où l’ensemble des solutions est le singleton {(−10,−3,+6)}.
Exercice 6. Résoudre le système suivant en utilisant des opérations élémen-taires
x1− 2x2+3x3− 4x4=40x1+ x2−x3+x4=−3x1+3x2+0x3− 3x4=10x1− 7x2+3x3+ x4=−3
�
x1− 2x2+3x3− 4x4=40x1+ x2−x3+x4=−30x1+5x2-3x3+x4= -30x1− 7x2+3x3+ x4=−3
�
x1− 2x2+3x3− 4x4=40x1+x2−x3+ x4=−30x1+0x2+2x3-4x4= 120x1− 7x2+3x3+x4=−3
5
�
x1− 2x2+3x3− 4x4=40x1+x2−x3+ x4=−30x1+0x2+2x3-4x4= 120x1+0x2-4x3+8x4=−24
�
x1− 2x2+3x3− 4x4=40x1+x2−x3+ x4=−30x1+0x2+x3-2x4=60x1+0x2-4x3+8x4=−24
�
x1− 2x2+3x3− 4x4=40x1+x2−x3+ x4=−30x1+0x2+x3-2x4=60x1+0x2+0x3+0x4=0
�
x1− 2x2+3x3− 4x4=40x1+x2+0x3-x4=30x1+0x2+x3-2x4=60x1+0x2+0x3+0x4=0
�
x1− 2x2+0x3+2x4= -140x1+x2+0x3-x4=30x1+0x2+x3-2x4=60x1+0x2+0x3+0x4=0
�
x1+0x2+0x3+0x4= -80x1+x2+0x3-x4=30x1+0x2+x3-2x4=60x1+0x2+0x3+0x4=0
.
CONCLUSION:
Le système donné est équivalent à
x1= -8x2-x4=3
x3-2x4=60x1+0x2+0x3+0x4=0
c’est à dire à
x1= -8x2=3+ x4
x3=6+2x4
0x1+0x2+0x3+0x4=0
,
on remarquera que x4 est libre et que les autres s’expriment en fonction de x4.
l’ensemble des solutions est {(-8,3+x4,6+ 2x4, x4), x4 libre}.
3. La matrice augmentée d’un systèmed’équations linéaires
Pour éviter ces longues lignes nous allons garder seulement ce qui est nécessaire:
Définition 12. L’OUTIL
6
La Matrice augmentée du système
a11x1+ a12x2+ .+ a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ .+ a2nxn= b2
ap1x1+ ap2x2+ .+ apnxn= bp
Ce sera la matrice (le tableau)
a11 a12 a1n b1a21 a22 b2
ap1 ap2 apn bp
Exercice 7. Déterminer la matrice augmentée du système
x1+ x2+2x3=−1-x1− 3x2-4x3=−52x1−x2+2x3=−5
Solution.
1 1 2 −1-1 −3 -4 −52 −1 2 −5
Méthode algorithmique de résolution d’un système d’équations linéairesau moyen de la matrice augmentée:
Nous allons effectuer les opérations élémentaires sur les lignes de lamatrice augmentée
1 1 2 −1
-1 −3 -4 −5
2 −1 2 −5
L2 � L2 + L1:
1 1 2 −1
0 −2 -2 −6
2 −1 2 −5
L3 � L3-2L1:
1 1 2 −1
0 −2 -2 −6
0 -3 -2 −3
L2 � -1/
2L2:
1 1 2 −1
0 1 1 3
0 −3 -2 −3
L3 � L3 + 3L2:
1 1 2 −1
0 1 1 3
0 0 1 6
L2 � L2-L3:
1 1 2 −1
0 1 0 -30 0 1 6
L1 � L1-2L3:
1 1 0 −130 1 0 -30 0 1 6
L1� L1−L2
1 0 0 −100 1 0 -30 0 1 6
Et là on retourne au système
x1= -10x2= -3x3=6
.
l’ensemble des solutions est {(−10,−3,+6)}
Exemple 13. Résoudre le système
x1− 2x2+3x3− 4x4=40x1+x2− x3+x4=−3x1+3x2+0x3− 3x4=10x1− 7x2+3x3+ x4=−3
en utilisant la matrice augmentée
7
Solution.
La matrice augmentée du système est
1 −2 3 −4 4
0 1 −1 1 −3
1 3 0 −3 1
0 −7 3 1 −3
1 −2 3 −4 4
0 1 −1 1 −3
1 3 0 −3 1
0 −7 3 1 −3
L3 � L3-L1
1 −2 3 −4 4
0 1 −1 1 −3
0 5 -3 1 -30 −7 3 1 −3
L3 � L3-5L2
1 −2 3 −4 4
0 1 −1 1 −3
0 0 2 -4 120 −7 3 1 −3
L4 � L4 +
7L2
1 −2 3 −4 4
0 1 −1 1 −3
0 0 2 -4 120 0 -4 8 −24
L3 � 1/2L3
1 −2 3 −4 4
0 1 −1 1 −3
0 0 1 -2 6
0 0 -4 8 −24
L4 � L4 + 4L3
1 −2 3 −4 4
0 1 −1 1 −3
0 0 1 -2 6
0 0 0 0 0
L2 � L2 +
L3
1 −2 3 −4 4
0 1 0 -1 3
0 0 1 -2 6
0 0 0 0 0
L1-3L3
1 −2 0 2 -140 1 0 -1 3
0 0 1 -2 6
0 0 0 0 0
L1� L1+2L2
1 0 0 0 -80 1 0 -1 3
0 0 1 -2 6
0 0 0 0 0
C’est fini, on retourne au système
x1= -8x2-x4=3x3-2x4=60x4=0
qui est équivalent à
x1= -8x2=x4+3x3=2x4+6x4= libre
L’ensemble des solutions est donc {(-8,3+x4,6+ 2x4, x4), x4 libre}.
la vérification consistera à remplacer dans chacune des équations x1 par -8, x2 par x4+3,x3 par 2x4+6 et x4 « par lui-même ».
Expliquons comment on opère
4. Elimination Gaussienne
Définition 14. Matrice échelonnée
Une matrice M=(m ij)(i=1,..,p;j=1,..,n)=(M1, , Mn) est dite échelonnée
lorsque
i) Dans toute ligne non nulle le premier élément (en lisant de gauche àdroite) non nul vaut 1; il est appelé 1 directeur.
ii) Les lignes dont les éléments sont tous nuls sont regroupées au bas dela matrice.
iii) Dans deux lignes non nulles successives le 1 directeur de la ligneinférieure est situé plus à droite que le 1 directeur de la ligne supérieure.
Elle est dite réduite lorsque, de plus, toute colonne qui a 1 directeur ades zéros ailleurs.
Exercice 8. Déterminer parmi les matrices suivante celles, s’il y en a, qui sont
échelonnées et réduites
1 0 0 −30 0 1 10 0 0 0
,
1 0 1 20 0 1 10 0 0 0
8
Théorème 15. Toute matrice peut être transformée par une suited’opérations élémentaires en une matrice échelonnée réduite.
1. Déterminer la colonne la plus à gauche M j contenant un élémentnon nul, m ij.
2. Si cet élément se trouve dans la première ligne passer à l’étape 3,sinon, s’il se trouve dans la i-ème ligne, échanger la première et la i-ème ligne.
3. Si le premier élément non nul de la première ligne est égal à 1 passerà l’étape 4, s’il est égal à k�1 multiplier la première ligne par 1/k, cequi permet d’obtenir un 1 directeur.
4. Ajouter à toutes les lignes se situant au-dessus et au-dessous
un bon multiple de la première ligne pour annuler tous les termes en-dessous du 1 directeur.
5. Retourner à l’étape 1 pour la matrice restante.
Exercice 9. Mettre sous forme échelonnée réduite en utilisant des opérations
élémentaires:
0 0 1 30 3 0 10 3 1 2
Solution.
0 0 1 30 3 0 10 3 1 2
�
0 3 0 10 0 0 10 3 1 2
�
0 1 0 1/30 0 0 10 0 1 2/3
�
0 1 0 1/30 0 1 2/30 0 0 1
Théorème 16. Résolution d’un système dont la matrice augmentée estéchelonnée réduite
0. S’il existe une équation de la forme 0x1+ 0x2+ .+ 0xn= β, oùβ � 0, le système est incompatible.
Sinon
Les variables correspondant à des 1 directeurs seront appelées variablesdirectrices, les autres variables seront appelées variables libres.
Les variables libres peuvent prendre des valeurs arbitraires, les variablesdirectrices s’expriment en fonction des variables arbitraires.
Exercice 10. Résoudre les systèmes d’équations linéaires dont les matriceséchelonnées réduites sont les suivantes:
9
1 0 0 −20 1 0 40 0 1 1
;
0 1 3 0 −10 0 0 1 50 0 0 0 0
(on donnera les réponses sous la forme x1= , x2=.....)
Solution.
1 0 0 −20 1 0 40 0 1 1
; le système est
x1= -2x2=4x3=1
; d’où solution unique (-2,4,1).
0 1 3 0 −10 0 0 1 50 0 0 0 0
; le système est
x2+3x3= -1x4=50=0
; d’où l’ensemble des solutions est {(x1,
-3x3-1,x3, 5), (x1, x3)∈R2}
Remarque 17. Un système d’équations linéaires a
soit aucune solution (incompatible),
soit une seule solution (pas de variables libres),
soit une infinité de solutions ( dues à des variables libres)
6. Systèmes homogènes d’équations linéaires
Définition 18.
Un système d’équations linéaires est dit homogène lorsqu’il est de la
forme
a11x1+ a12x2+ .+ a1nxn=0a21x1+ a22x2+ .+ a2nxn=0
ap1x1+ ap2x2+ .+ apnxn=0
.
Théorème 19.
Tout système homogène d’équations linéaires est consistant.
Dans le cas d’un système homogène de p équations linéaires à n incon-nues, où p<n, l’ ensemble des solutions est infini.
10
Exercice 11. Résoudre le système homogène d’équations linéaires
3x1+3x2− 2x3 −x5=0−x1−x2+ x3+3x4+x5=02x1 +2x2−x3+2x4+2x5=08x4+4x5=0
Solution.
La matrice augmentée du système est
3 3 -2 0 -1 0-1 -1 1 3 5 02 2 -1 2 2 00 0 0 8 4 0
�
1 1 -2/3 0 -1/3 0-1 -1 1 3 5 02 2 -1 2 2 00 0 0 8 4 0
�
1 1 -2/3 0 -1/3 00 0 1/3 3 14/3 02 2 -1 2 2 00 0 0 8 4 0
�
1 1 -2/3 0 -1/3 00 0 1/3 3 14/3 00 0 1/3 2 8/3 00 0 0 8 4 0
�
1 1 -2/3 0 -1/3 00 0 1/3 3 14/3 00 0 0 -1 -2 00 0 0 8 4 0
�
1 1 -2/3 0 -1/3 00 0 1 9 14 00 0 0 -1 -2 00 0 0 8 4 0
�
1 1 -2/3 0 -1/3 00 0 1 9 14 00 0 0 1 2 00 0 0 8 4 0
�
1 1 -2/3 0 -1/3 00 0 1 0 -4 00 0 0 1 2 00 0 0 8 4 0
�
1 1 -2/3 0 -1/3 00 0 1 0 -4 00 0 0 1 2 00 0 0 0 -12 0
�
1 1 -2/3 0 -1/3 00 0 1 0 -4 00 0 0 1 2 00 0 0 0 1 0
�
1 1 0 0 -3 00 0 1 0 -4 00 0 0 1 2 00 0 0 0 1 0
�
1 1 0 0 0 00 0 1 0 -4 00 0 0 1 2 00 0 0 0 1 0
�
1 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 2 00 0 0 0 1 0
�
1 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0
;
d’où l’ensemble des solutions:
{(-x2,x2,0,0,0), x2∈R}.
On vérifie ?
Objectifs:
0) Savoir ce qu’est une solution d’un système d’équations linéaires et savoir vérifier si un n-upletest solution.
1) Savoir effectuer de manière efficace l’Elimination Gaussienne.
2) Savoir reconnaître si un système d’équations linéaires possède des solutions.
3) Savoir décrire l’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires.
4) Activités informatiques: néant, il faut d’abord apprendre à manipuler à la main.
Problème 1.
1. Ecrire la matrice échelonnée du système suivant :
x1+ x2-2x3=32x1− x2+2x3=3−x1− 3x2+6x3=−5
2. Résoudre c’est à dire déterminer l’ensemble des solutions.
3. Vérifier si (2,1,0) est une solution.
Problème 2.
11
1. Ecrire la matrice échelonnée du système suivant :
x1+ x2=1x1+ x2+x3=4x2+ x3+x4= -3x3+ x4+x5=2x4+ x5= -1
2. Résoudre, c’est à dire déterminer l’ensemble des solutions.
3. Vérifier votre réponse.
Travaux Dirigés
Exercice 12. Mettre les matrices suivantes sous forme échelonnée réduite en utilisant des opérations élémen-
taires:
1 4 0 −1
0 1 2 1
0 0 1 −3
*,
0 1 −1 5 −1
0 1 −2 0 3
1 −3 2 0 −1
.*
Exercice 13. Résoudre les systèmes d’équations linéaires:
2x1+ x2+ x3=03x1+2x2− 6x3=07x1+4x2− 5x3=0x1+7x3=0
*;
x1+4x2+2x3− 3x5=02x1+9x2+5x3+2x4+x5=0x1+3x2+ x3− 2x4− 9x5=0
*;
2x1− 5x2+4x3=03x1− 4x2+7x3=04x1− 9x2+8x3=0−9x1+18x2− 19x3=0
*
Exercice 14. Montrer que le système suivant n’a pas de solutions
3x1+ x2− 2x3+ x4− x5=12x1− x2+7x3− 3x4+5x5=2x1+3x2− 2x3+5x4− 7x5=33x1− 2x2+7x3− 5x4+8x5=3
.*
Exercice 15. Soit le système
3x1+2x2+ x3=−17x1+6x2+5x3= a
5x1+4x2+3x3=2; * déterminer la (les) valeur(s) du réel a pour laquelle(
lesquelles) ce système possède des solutions.
Exercice 16. Soit le système
x1+ x2+ ax3=1x1+ ax2+ x3=1ax1+ x2+ x3=1
; * déterminer la (les) valeur(s) du réel a pour laquelle(
lesquelles) ce système possède des solutions.
Exercice 17. Soit le système
x1+ x2+ ax3=2x1+ ax2+ x3= -1ax1+ x2+ x3= -1
; * déterminer la (les) valeur(s) du réel a pour laquelle(
lesquelles) ce système possède des solutions.
Exercice 18. Déterminer le (les) polynômes de degré inférieur ou égal à deux tels que
P (0)= 0P (1)= 1P (2)= -4
*
Exercice 19. Montrer qu’il existe un poynôme P(X) de degré inférieur ou égal à 3 tel que
P (1)= 45P ′(1)= 45P ′′(1)= 45P ′′′(1)= 45
.
12
Algèbre linéaire d’un point de vue algorithmique
chapII. CALCUL MATRICIEL
(1.5 séances cours; 1.5 séances td)
0. Comme de nouveaux nombres
Définition 1. Matrices rectangulaires
On appelle matrice à p lignes et n colonnes un tableau de nombres à plignes et n colonnes
exemple:
1 5 0 −9 232 6 −1 55 0
3 10 2 2 0
4 2 3 17 2
Définition 2. L’ensemble des matrices à p lignes et n colonnes estdésigné parMpn(R).
p et n donnent la « taille » de la matrice
1. Le calcul matriciel
Définition 3. Somme de deux matrices de même taille
Soient (A,B)∈Mpn(R)2,
où A=(aij)(i,j)∈{1, ,p}×{1, ,n}
et B=(bij)(i,j)∈{1, ,p}×{1, ,n},
alors A+B = (cij)(i,j)∈{1, ,p}×{1, ,n} où ∀(i, j)∈ {1, , p}× {1, , n},cij= aij+ bij.
Exemple 4.
1 2 3
1 2 4
1 2 5
+
0 3 4
1 0 5
2 4 6
=
1 5 7
2 2 9
3 6 11
Définition 5. La matrice nulle de Mpn(R) Opn=
0 0 . 0
0 0
; on voit
vite que ∀A∈Mpn(R), A+Opn=Opn+A=A.
1
Définition 6. Produit d’une matrice par un scalaire (cad un réel)
Soient A ∈ Mpn(R), où A = (aij)(i,j)∈{1, ,p}×{1, ,n} et k ∈ R, alors
kA=(cij)(i,j)∈{1, ,p}×{1, ,n} où ∀(i, j)∈{1, , p}×{1, , n}, cij= kaij.
5
1 2 3
−1 −2 −3
0 0 0
=
5 10 15−5 −10 −150 0 0
et de même
1 2 3
−1 −2 −3
0 0 0
5=
5 10 15−5 −10 −150 0 0
Remarque 7. (-1)A=(−aij)(i,j)∈{1, ,p}×{1, ,n} et donc A+(-1)A=0; (-1)A sera noté -A.
Définition 8. Produit de deux matrices
(attention il y a une condition de type « Chasles » pour que le produitexiste)
Soient (A,B)∈Mpn(R)×Mnq(R),
où A=(aij)(i,j)∈{1, ,p}×{1, ,n}
et B=(bjk)(j ,k)∈{1, ,n}×{1, ,q},
alors AB=(cik)(i,k)∈{1, ,p}×{1, ,q}
où ∀(i, k)∈{1, , p}×{1, , q}, cik=∑
j=1naijbjk.
ATTENTION (A,B)∈Mpn(R)×Mnq(R) et AB∈Mpq(R)
Exemple 9.(
1 0 −12 0 −2
)
1 0 0 11 2 −2 11 4 −4 1
=(
0 −4 4 00 −8 8 0
)
Remarque 10. On peut écrire (pour apprendre)
b11 b12 b1k b1q b2k b3kbj1 bj2 . bjq
bn1 bn2 bnk bnq
2
a11 a12 a1n
ai1 ai2 . aiq
ap1 ap2 . apn
=
c11 c12 c1k c1q c2k
ci1 ci2 cik ciq
cp1 cp2 cpk cpq
.
où ∀(i, k)∈{1, , p}×{1, , q}, cik=∑
j=1naijbjk
Définition 11. La matrice unité de taille n I n=
1 0 00 1 00 0
. 00 0 . 1
; on
voit vite que ∀A∈Mpn(R),AIn= IpA=A.
Exercice 1. Calculer le produit AB où A=
1 1 11 1 11 1 1
et B=
1 −1 1 −10 2 2 01 1 1 1
.
Que pensez-vous du produit BA ?
Solution. AB peut se calculer car 3=3
AB=
1+ 1+1 −1+ 2+1 1+2+1 −1+ 11+1+1 −1+ 2+1 1+2+1 −1+ 11+1+1 −1+ 2+1 1+2+1 −1+ 1
=
2 2 4 02 2 4 02 2 4 0
et on ne peut calculer BA car 4�3
Exercice 2. Calculer les produits AB et BA, avec A=
1 0 2 1−1 0 −2 −11 2 0 −1
et B =
0 0 11 1 5−1 −1 02 2 −1
Solution. Ici AB et BA sont possibles, AB∈M33(R) et BA∈M44(R)
AB=
0 0 00 0 00 0 12
. BA=
1 2 0 −15 10 0 −50 0 0 0−1 −2 0 1
2. Les vecteurs colonnes
Définition 12. On appelle vecteurs colonnes les matrices à une seulecolonne
3
exemple:
15−967
∈M51(R)
Remarque 13. Le produit d’une matrice deMpn(R) par un vecteurcolonne deMq1(R) n’est possible que lorsque n=q
et le résultat est un vecteur colonne deMp1(R).
Exemple 14.
1 0 4
4 −2 6
5 3 0
1 2 4
7
4
0
=
7
204715
Remarque 15.
Le système d’équations linéaires
a11x1+ a12x2+ .+ a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ .+ a2nxn= b2
.
ap1x1+ ap2x2+ .+ apnxn= bp
se lit
a11 a12 . a1n
a21 a22 a2n
ap1 ap2 apn
x1
x2
xn
=
b1b2
bp
.
Exercice 3.
Résoudre le système
2 2 23 0 31 2 −1
x1
x2
x3
=
−221−9
Le système s’écrit
2x1+2x2+2x3=−23x1+0x2+3x3= 211x1+2x2+−1x3=−9
pour le résoudre on écrit la matrice augmentée du système
2 2 2 −2
3 0 3 211 2 −1 −9
.
4
2 2 2 −2
3 0 3 211 2 −1 −9
�
1 1 1 −1
3 0 3 211 2 −1 −9
�
1 1 1 −1
0 -3 0 241 2 −1 −9
�
1 1 1 −1
0 -3 0 240 1 −2 −8
�
1 1 1 −1
0 1 -2 -80 -3 0 24
�
1 1 1 −1
0 1 -2 -80 -3 0 24
�
1 1 1 −1
0 1 -2 -80 0 -6 0
�
1 1 1 -10 1 -2 -80 0 1 0
�
1 1 1 -10 1 0 -80 0 1 0
�
1 1 0 -10 1 0 -80 0 1 0
�
1 0 0 7
0 1 0 -80 0 1 0
; d’où x1=7, x2=-8, x3=0
Donc la solution est (7, 8,0) .
Si on regarde de manière plus précise
Théorème 16. le rôle des colonnes de la matrice de droite
Soient les matrices (A, B) ∈ Mpn(R) × Mnq(R), où B=( B1, B2, , Bq )
(écriture des colonnes), alors AB= ( AB1,AB2, ,ABq ).
Théorème 17. le rôle des lignes de la matrice de gauche
Soient les matrices (A,B)∈Mpn(R)×Mnq(R), où A=
L1
L2
Lp
(écriture
des lignes), alors AB=
L1B
LpB
.
( à lire et relire après le TD; ceci peut faire gagner du temps)
2. Règles du calcul matriciel
Proposition 18. ∀(A,B,C) telles que les opérations soient possibles
A+B=B+A (commutativité)
A+(B+C)=(A+B)+C (associativité de l’addition)
5
A(BC)=(AB)C (associativité de la multiplication)
A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC (distributivité de la multiplica-tion sur l’addition)
A+O=O+A=A
AI=A, IA=A
AO=OA=O
Comme les réels et les complexes
sauf
attention la multiplication n’est pas commutative.
Exercice 4. Soit les matrices A=
1 −1 11 −1 11 −1 1
, B=
1 −1 11 −1 21 −1 1
, C=
0 0 01 1 1-1 -1 -1
; cal-
culer ABC.
Solution. AB=
1 −1 01 −1 01 −1 0
on utilise les lignes de A
(AB)C=
1 −1 01 −1 01 −1 0
0 0 01 1 1-1 -1 -1
=
-1 -1 -1-1 -1 -1-1 -1 -1
tandis que A(BC)=
1 −1 11 −1 11 −1 1
−2 −2 −2−3 −3 −3−2 −2 −2
=
-1 -1 -1-1 -1 -1-1 -1 -1
Welcome Maxima !!!!!!!
Le but de la vie n’est pas de calculer mais de comprendre les calculs dont on a besoin, de savoirles faire effectuer et de savoir les contrôler et ensuite d’en tirer des conclusions.
4. Matrice inverse
Définition 19. Matrice inversible
6
Une matrice carrée A∈Mnn(R) est dite inversible lorsqu’il existe unematrice B ∈Mnn(R) telle que AB= In et BA= In.
Proposition 20. Soit A ∈Mnn(R) s’il existe des matrices (B, C)∈Mnn(R)2 telles que AB=BA= In et AC=CA= In alors B=C.
d’où B sera appelée l’inverse de A et sera notée A−1.
Exemple 21. Le cas des matrices deM22(R).
La matrice A=(
2 15 3
)
a comme inverse A−1=(
3 −1−5 2
)
.
2. Soit la matrice A=(
a b
c d
)
pour laquelle ad-bc �0 et B =(
d −b−c a
)
,
effectuer le produit AB, en déduire l’expression de A−1;
malheureusement ce ne sera pas aussi simple pour des matrices carréesde taille plus élevée.
Exercice 5.
A=
1 0 00 1 01 0 1
; vérifier que
1 0 00 1 0-1 0 1
est son inverse
Définition 22. Puissances d’une matrice carrée
Am=AA lorsque m∈N
Si A est inversible et m∈−N, Am=AA (valeur absolue de m fois).
Si A est inversible A−k=(A−1)k.
Exercice 6. A=
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
A2=
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
=
A3=
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
=A2
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
=
A4=
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
=A3
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
=....
7
oh! surprise
Théorème 23. Si A et B sont dans Mnn(R) et inversibles alors ABest inversible et (AB)−1=B−1A−1.
Théorème 24. Soit une matrice A ∈ Mnn(R) et une matrice B ∈Mnn(R), les deux propriétés suivantes sont équivalentes
i) AB= In
ii) BA= In.
Donc pour qu’une matrice carrée soit inversible il suffit qu’elle admetteune inverse à gauche ou une inverse à droite.
Question 25.
Et à quoi ça sert ?
Pour résoudre l’équation 2x=1246 on multiplie les deux membres par1/2 comme suit:
2x=1246�(1/2)2x=(1/2)1246� x=(1/2)1246� x= 623
Pour résoudre l’équation AX=b , si A est CARRE ET INVERSIBLEon multiplie les deux membres par A−1
AX=b � A-1(AX) = A-1b �(A-1A)X = A-1b�IX=A-1b�X =A-1b
et hop! on a trouvé X.
Exercice 7.
8
Soit A=
1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1
1. Vérifier que A-1=
1 -1 1 -10 1 -1 10 0 1 -10 0 0 1
2. Trouver l’ensemble des solutions du système
x1+ x2=4x2+ x3=3x3+ x4=1x4=7
Problème 1.
Soient les quatre matrices
A=
1 0 −1 00 1 0 11 0 1 00 0 0 1
, B=
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
, C =
0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0
D=
1/2 0 1/2 00 1/2 0 −1/2
−1/2 0 1/2 00 0 0 1
Trouver qui est l’inverse de qui.
Problème 2.
1 Soit la matrice M =
0 0 0 11 0 0 00 −1 0 00 0 1 0
; calculer ses puissance successives jusqu’à
trouver une puissance égale à I4.
2. Soit la matrice N=
1 −1 2 01 −1 2 01 −1 2 01 −1 2 0
et les vecteurs V1 =
1111
, V2 =
−1111
, V3 =
1−111
, V4=
0001
,V5=
0000
, V6=
−1115
Trouver parmi ces six vecteurs celui ou ceux qui vérifient NV=
0000
.
3. Soit P=
−1 1 0 01 −1 0 01 −1 0 01 −1 0 1
, calculer NP et PN.
9
Travaux Dirigés
Exercice 8. Soient les matrices A=
0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0
, B=
-1 0 0 00 -1 0 00 0 -1 00 0 0 -1
, C =
0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0
; calculer leurs carrés.
Exercice 9. Soit les matrices A=(
aij
)
(i,j)∈{1, ,p}×{1, ,n} et B=(
bjk
)
(j,k)∈{1, ,n}×{1, ,q}.
a. Montrer que si la 1ère colonne de B est nulle, il en est de même pour la 1ère colonne du produit AB
b. Montrer que si la kième colonne de B est nulle, il en est de même pour la kième colonne du produit AB
c. Enoncer et prouver une condition suffisante sur une ligne de A pour que le 1ère ligne de AB soit nulle.
Cette condition est-elle nécessaire ? penser à A=
0 -1 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0
, B=
-1 0 0 00 1 0 10 1 -1 00 1 0 1
.
Exercice 10. Déterminer si la matrice M =(
1 32 0
)
est inversible et , si oui, calculer son inverse en vous aidant
du cours.
Exercice 11. Soit la matrice N =
1 0 5 01 0 4 11 0 3 02 0 2 0
, en vous aidant de résultats d’un exercice au-dessus montrer
qu’elle n’est pas inversible.
Exercice 12. Soit la matrice Q=
1 0 1 00 1 0 11 0 −1 00 1 0 −1
, calculer Q2 en déduire si Q est inversible et si oui déterminer
son inverse.
Exercice 13. Soit la matrice A=
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
.
a. Calculer A2, A3.
b. Enoncer et prouver une conjoncture sur l’expression de Ak.
c. Déterminer si A est inversible.
LE THEOREME DU CARRE
Théorème 26. Pour une matrice A ∈Mnn(R)les proposi-tions suivantes sont équivalentes:
i ) A est inversible
ii) Quelle que soit la matrice b ∈Mn1(R) le système AX=b
possède une solution unique X=A−1b.
10
iii) L’équation matricielle AX=0 possède une solution uniqueX=0.
iv) A est équivalente par lignes à la matrice I n.
.
∀b∈Mn1(R), ∃!X,AX= b
A inversible
AX=(0)� X =(0)
A equivalente par lignes à In
Remarque 27. Calcul réaliste de l’inverse
Soit A ∈ Mnn(R), pour calculer son inverse on pose le système
a11x1+ a12x2+ .+ a1nxn= y1a21x1+ a22x2+ .+ a2nxn= y2
an1x1+ an2x2+ .+ annxn= yn
et on entreprend sa résolution (on
verra au chapitre suivant qu’il existe des outils pour savoir à l’avance siA est inversible); si il n’y a pas de solution unique, A n’est pas inversible,
et si il y a une solution elle s’écrira
x1=α11y1+α12yy2+ .+α1nyn
x2=α21y1+α22y2+ .+α2nyn
xn=αn1y1+αn2y2+ .+αnnyn
11
ce qui permet de récupérer A−1=
α11 α12 α1n
αi1 αi2 . αiq
αn1 αn2 . αnn
.
Attention, si la question est le calcul de l’inverse c’est une méthode, maissi la question est l’inversibilité de A, il y aura plus utile et plusrapide bientôt.
Exercice 14. Déterminer par cette méthode l’inverse de la matrice A=
2 3 41 2 31 1 2
.
Solution.
On pose le système
2 3 41 2 31 1 2
x1x2x3
=
y1y2y3
.
2 3 4 y11 2 3 y21 1 2 y3
�
1 3/2 2 y1/21 2 3 y21 1 2 y3
�
1 3/2 2 y1/20 1/2 1 y2-y1/21 1 2 y3
�
1 3/2 2 y1/20 1/2 1 y2-y1/20 -1/2 0 y3-y1/2
�
1 3/2 2 y1/20 1 2 2y2-y10 -1/2 0 y3-y1/2
�
1 3/2 2 y1/20 1 2 2y2-y10 0 1 -y1+y2+y3
�
1 0 -1 2y1-3y20 1 2 2y2-y10 0 1 -y1+y2+y3
�
1 0 0 y1-2y2+y30 1 2 2y2-y10 0 1 -y1+y2+y3
�
1 0 0 y1-2y2+y30 1 0 y1-2y30 0 1 -y1+y2+y3
.
D’où A−1=
1 -2 11 0 -2-1 1 1
On vérifie
1 -2 1
1 0 -2-1 1 1
2 3 4
1 2 3
1 1 2
=
5 bis. Activité informatique (Maxima):
à rendre par campus, suivant les modalités fixées.
Pour utiliser Maxima voir le Maxima-intro.1
12
Avertissement 28. syntaxe de maxima
(%i1) a:matrix([1,2,3],[4,5,6]; déclare une matrice à 2 lignes et 3 colonnes
(%i2) a.b; calcule le produit de deux matrices de tailles convenables
(%i3) invert(m); calcule l’inverse d’une matrice , si celle-ci est inversible
Soit la matrice A=
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
(4 lignes et 4 colonnes).
1. Vous allez réaliser à la main des opérations élémentaires successives sur A pour la transformeren une matrice échelonnée, si possible réduite.
2. Faites calculer par Maxima la matrice A−1.
3. Déterminer gràce à la question 2. si l’équation
x1+x2+x3+ x4= 4x1+x3+x4= 6x1+x2+x4= 7x1+x2+x3= 0
possède des solutions;
si oui les trouver à l’aide du 2.
4. Déterminer gràce à la question 2. si l’équation
x1+x2+x3+ x4= 0x1+x3+x4= 0x1+x2+x4= 0x1+x2+x3= 0
possède des solutions;
si oui les trouver à l’aide du 2.
5. A l’aide de Maxima calculer A2, expliquer pourquoi elle est inversible.
Sans aucun calcul expliquer quelles sont les solutions de A2X=(0).
6. A l’aide de Maxima calculer B=A2+A; à l’aide de Maxima déterminer si B est inversible.
Expliquer sans calcul si l’équation BX=(0) a des solutions ou pas; si une seule ou plus.
Résoudre à la main.
7. A l’aide de Maxima calculer C=A2-A et son inverse; en vous aidant du théorème du carrétrouver sans calcul supplémentaire les solutions du système CX=(0).
6. Matrices triangulaires
Définition 29. A=(aij)∈Mnn(R) est appelée triangulaire supérieurelorsque ∀i > j aij=0
13
cad A=
a11 a12 a13
0 a22 a23 0 a33 00 0
, les aij indiqués par des lettres peuvent aussi
être (ou ne pas être) nuls.
A∈Mnn(R) est appelée triangulaire inférieure lorsque ∀i < j aij=0
cad A=
a11 0 0 0a21 a22 0 0 a31 a33 0
a41
Exemple 30.
A=
5 32 1 0
0 0 3 250 0 2 0
0 0 0 3
B=
7 0 0 0
0 0 0 0
5 0 2 0
0 56 0 3
C=
5 32 1 0
0 0 3 250 0 2 0
7 0 0 3
.
Remarque 31.
La somme de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures)est triangulaire supérieure (resp. inférieure).
Exemple 32.
1 4 80 2 90 0 15
+
17 5 630 25 360 0 -15
14
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures)est triangulaire supérieure (resp. inférieure).
Exemple 33.
12 25 60 2 50 0 1
5 1 -20 2 40 0 8
Question 34.
Quand une matrice triangulaire supérieure est-elle inversible ?
Solution. Penser au calcul réaliste de l’inverse ......
Exemple 35. A=
2 2 60 1 50 0 -1/2
A−1=
1/2 -1 -40 1 100 0 -2
Exemple 36. A=
2 25 -60 3 50 0 0
A−1=
15
Théorème 37. Une matrice triangulaire est inversible si et seulementsi les termes de sa diagonale sont tous non nuls.
Objectifs:
1. Savoir additionner et multiplier des matrices rapidement et juste.
2. Comprendre et savoir utiliser le lien entre le système AX=b et la matrice A: existence et nombrede solutions et l’inversibilité éventuelle de A.
3. Savoir trouver l’inverse d’un produit.
4. Savoir trouver à la main l’inverse d’une matrice de petite taille.
5. Comprendre les particularités de l’addition et de la multiplication de matrices triangulaires.
7. La transposée d’une matrice
Définition 38. Soit A= (aij) ∈Mpn(R) on désigne par tA (ou AT) lamatrice obtenue en échangeant lignes et colonnes de A, cad
16
A =
a11 a12 a1j a1n
ai1 ai2 aij. aiq
ap1 ap2 . apn
∈Mpn(R) et
tA=
a11 a21 ap1
a1j a2j . apj
a1n a2n . anp
∈Mnp(R)
Exemple 39.
A=
1 2 34 5 67 -8 9
At =
1 4 72 5 -83 6 9
Proposition 40. Propriétés de la transposition
i) ∀(A,B)∈Mpn(R)2, t(A+B)= At + Bt
ii) ∀(k,A)∈R×Mpn(R), t(kA)= k At
iii) ∀(A,B)∈Mpn(R)×Mnq(R), t(AB)= Bt At
iv) ∀A∈Mpn(R), (t t(A))=A
v) Si A∈Mnn(R) est inversible, At aussi et (t(A))−1= (t A−1)
Exercice 15. Déterminer les transposées des matrices
A=
1 4 32 5 23 4 1
et B=(
1 3 41 −3 −4
)
.
Exercice 16. Calculer AAt et A At , Bt B et BBt . (avec A et B comme au-dessus)
17
Solution. AAt =
1 2 34 5 43 2 1
1 4 32 5 23 4 1
=
14 26 1026 57 2610 26 14
tandis que A At =
1 4 32 5 23 4 1
1 2 34 5 43 2 1
=
26 28 2228 31 2822 28 26
ce qui suit est cadeau, à lire seuls
8. La trace d’une matrice carrée
Définition 41. Soit A = (aij) ∈ Mnn(R) on appelle trace(A) le réel∑
i=1naii, somme des termes de la diagonale.
Exemple 42.
la trace de
1 4 22 0 53 1 -1
est 1+0+(-1)=0
la trace de
1 2 3 42 0 2 643 2 -1 124
est ......
Proposition 43. Propriétés de la trace
i) ∀(A,B)∈Mnn(R)2, trace(A+B)= trace(A)+ trace(B)
ii) ∀(k,A)∈R×Mnn(R), trace(kA)= ktrace(A)
iii) ∀(A,B)∈Mpn(R)×Mnp(R), trace(AB)= trace(BA)
iv) ∀A∈Mnn(R), trace( At )=trace(A)
v) Si A∈Mnn(R) est inversible, At aussi et (t(A))−1= (t A−1).
18
Exercice 17. Soit A=(
1 −22 1
)
et B =(
1 −11 −1
)
, calculer AB et BA, comparer
leurs traces et comparer trace(AB) avec le produit trace(A)trace(B).
Exercice 18.
A=
a p u
b q v
c r t
et B=
0 3 41 -1 02 0 5
a. Calculer AB et t(AB)
b. Calculer Bt At
c. Conclure sur cet exemple
(on admettra que ce résultat est toujours vrai).
Exercice 19.
Sachant que A=
−1 0 1 00 1 0 11 0 1 00 0 0 1
a pour inverse U=
−1/2 0 1/2 00 1 0 −1
1/2 0 1/2 00 0 0 1
, déterminer sans calcul l’inverse de
At .
10. Matrices symétriques, matrices antisy-métriques
Définition 44. Matrices symétriques
A=(aij)∈Mnn(R) est appelée symétrique lorsque ∀(i, j)∈1n,aij=aji,
cad At =A.
Proposition 45.
i) Si A et B sont symétriques et de mêmes tailles, A+B aussi.
ii) Si k est un scalaire et A symétrique , kA aussi.
iii) ∀A∈Mpn(R), At A et A At sont symétriques.
Exercice 20.
Soient A=
1 2 32 5 73 7 0
et B=
0 1 01 5 10 1 4
.
Que pensez-vous de la somme A+B ?
19
Que pensez-vous du produit AB ?
Exercice 21. Soit A=(
a b
c d
)
∈M22(R), calculer A At et montrer l’implication
suivante
trace(A At )=0�A=0.
Solution.
Exercice 22.
Soit une matrice symétrique et inversible S, est-ce que son inverse est symétrique?
exemple: A=
−1 0 1 00 −1 0 11 0 1 00 1 0 1
Définition 46. Matrices antisymétriques
A = (aij) ∈ Mnn(R) est appelée antisymétrique lorsque ∀(i, j) ∈ 1n,
aij=−aji, cad At =−A.
Proposition 47. Toute matrice A=(aij)∈Mnn(R) est la somme d’unematrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.
A=1
2(A+tA)+
1
2(A− At )
Exercice 23.
Soit M=
1 5 44 0 67 9 5
; la décomposer en la somme d’une matrice symétrique et d’une
matrice symétrique
Objectifs:
1. Savoir additionner et multiplier des matrices rapidement et juste.
2. Comprendre et savoir utiliser le lien entre le système AX=b et la matrice A: existence et nombrede solutions et l’inversibilité éventuelle de A.
3. Savoir trouver l’inverse d’un produit, d’une transposée.
4. Savoir trouver à la main l’inverse d’une matrice de petite taille.
5. Comprendre les particularités de l’addition et de la multiplication de matrices triangulaires.
6. Savoir ce qu’est la trace d’une matrice et ses propriétés.
7. Savoir ce qu’est une matrice symétrique, une matrice antisymétrique; savoir décomposer unematrice en la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.
20
Travaux Dirigés
Exercice 24. Soit T =
2 3 4 53 3 4 54 4 4 55 5 5 5
, déterminer, en utilisant le « calcul réaliste » de l’inverse, si elle est inversible
et si oui trouver son inverse. *
Exercice 25. Soit U =
1 5 8 42 6 7 33 7 6 24 8 5 1
, la décomposer en la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice
antisymétrique.
Exercice 26. Soit M=(mij)(i,j)∈{1, ,n}2 une matrice antisymétrique, déterminer sa trace.
Exercice 27. Soit T =
p 3 4 50 q 4 50 0 r 50 0 0 s
.*
a. En vous aidant du théorème sur l’inversibilité et du système TX=b, montrer qu’elle est inversible si et
seulement si p,q,r et s sont non nuls.
b. Dans le cas où T est inversible montrer, en vous aidant du « calcul réaliste », que son inverse est triangulaire
supérieure.
c. Soit W =
4 0 0 00 15 0 00 23 −89 051 652 273 0.64
; montrer sans calculs que W est inversible.
Exercice 28. Soit la matrice triangulaire supérieure T =
0 1 0 00 0 1
0
0 0 . 10 0 0 0
appartenant à Mnn(R), que
l’on notera (tij).
1. Ecrire l’expression du réel tij suivant les valeurs de i et j.
2. On notera T2=(uij), déterminer T2.
3. Que peut-on conjecturer sur la suite des matrices (Tk) ?
4. Le démontrer.
11. Archives
1. Résoudre le système d’équations linéaires
2x1+ x2+4x3+ x4=0
3x1+2x2− x3− 6x4=07x1+4x2+6x3− 5x4=0x1+8x3+7x4=0
.
Attention: résoudre c’est trouver et donner l’ensemble des solutions !!
2. Résoudre le système d’équations linéaires
2x1+ x2+4x3+ x4=6
3x1+2x2− x3− 6x4=27x1+4x2+6x3− 5x4= 13x1+8x3+7x4=9
.
21
3. Résoudre le système d’équations linéaires
2x1+ x2+4x3+ x4=0
3x1+2x2− x3− 6x4=07x1+4x2+6x3− 5x4=0x1+8x3+7x4=9
.
4. Question:
En vous aidant du théorème adéquat déterminer si la matrice A=
2 1 4 1
3 2 −1 −6
7 4 6 −5
1 0 8 7
est inversible.
Si elle l’est trouver son inverse, si elle ne l’est pas justifier votre réponse.
5. Inverser une matrice
Soit la matrice B=
1 1 1 1
1 0 1 1
0 0 1 0
0 0 1 1
.
a. Déterminer B−1.
b. Déterminer l’ensemble des solutions du système d’équations linéaires BX=
1
0
−1
0
.
corPremier devoir d’Algebre lineaire
1. Résoudre le système d’équations linéaires
2x1+ x2+4x3+ x4=0
3x1+2x2− x3− 6x4=07x1+4x2+6x3− 5x4=0x1+8x3+7x4=0
.
La matrice augmentée du système est
2 1 4 1 0
3 2 −1 −6 0
7 4 6 −5 0
1 0 8 7 0
; L1← L1− L2 donne
−1 −1 5 7 0
3 2 −1 −6 0
7 4 6 −5 0
1 0 8 7 0
;
l’ opération L1 ← −L1 donne
1 1 −5 −7 0
3 2 −1 −6 0
7 4 6 −5 0
1 0 8 7 0
; les opérations
L2←L2− 3L1
L3←L3− 7L1
L4←L4−L1
donnent
1 1 −5 −7 0
0 −1 14 15 0
0 −3 41 44 0
0 −1 13 14 0
;puis L2 ← −L2 donne
1 1 −5 −7 0
0 1 −14 −15 0
0 −3 41 44 0
0 −1 13 14 0
; d’où
L3←L3+3L2
L4←L4+L2
L1←L1−L2
nous con-
duit à
1 0 9 8 0
0 1 −14 −15 0
0 0 −1 −1 0
0 0 −1 −1 0
; effectuons maintenant L3� −L3 d’où
1 0 9 8 0
0 1 −14 −15 0
0 0 1 1 0
0 0 −1 −1 0
, qui après
l’opération L4← L4 + L3 devient
1 0 9 8 0
0 1 −14 −15 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
; maintenant effectuons
L1←L1− 9L3
L2←L2+ 14L3
ce
qui transforme la matrice augmentée comme suit
1 0 0 −1 0
0 1 0 −1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
; ; d’où l’ensemble des solutions
{(x4, x4,−x4, x4), x4∈R} et ON VERIFIE !!
22
2. Résoudre le système d’équations linéaires
2x1+ x2+4x3+ x4=6
3x1+2x2− x3− 6x4=27x1+4x2+6x3− 5x4= 13x1+8x3+7x4=9
.
La matrice augmentée du système est
2 1 4 1 6
3 2 −1 −6 2
7 4 6 −5 131 0 8 7 9
; L1←L1−L2 donne
−1 −1 5 7 4
3 2 −1 −6 2
7 4 6 −5 131 0 8 7 9
;
l’ opération L1 ← −L1 donne
1 1 −5 −7 −4
3 2 −1 −6 2
7 4 6 −5 131 0 8 7 9
; les opérations
L2←L2− 3L1
L3←L3− 7L1
L4←L4−L1
donnent
1 1 −5 −7 −4
0 −1 14 15 140 −3 41 44 410 −1 13 14 13
;puis L2 ← −L2 donne
1 1 −5 −7 −4
0 1 −14 −15 −140 −3 41 44 410 −1 13 14 13
; d’où
L3←L3+3L2
L4←L4+L2
L1←L1−L2
nous
conduit à
1 0 9 8 100 1 −14 −15 −140 0 −1 −1 −1
0 0 −1 −1 −1
; effectuons maintenant L3� −L3 d’où
1 0 9 8 100 1 −14 −15 −140 0 1 1 1
0 0 −1 −1 −1
,
qui après l’opération L4 ← L4 + L3 devient
1 0 9 8 100 1 −14 −15 −140 0 1 1 1
0 0 0 0 0
; maintenant effectuons
L1←L1− 9L3
L2←L2+ 14L3
ce qui transforme la matrice augmentée comme suit
1 0 0 −1 1
0 1 0 −1 0
0 0 1 1 1
0 0 0 0 0
; ; d’où
l’ensemble des solutions
D’où l’ensemble des solutions {(x4+1, x4,−x4+1, x4, x4), x4∈R}.
ON VERIFIE !!
3. Résoudre le système d’équations linéaires
2x1+ x2+4x3+ x4=0
3x1+2x2− x3− 6x4=07x1+4x2+6x3− 5x4=0x1+8x3+7x4=9
.
Même chose
La matrice augmentée du système est
2 1 4 1 0
3 2 −1 −6 0
7 4 6 −5 0
1 0 8 7 9
; L1← L1− L2 donne
−1 −1 5 7 0
3 2 −1 −6 0
7 4 6 −5 0
1 0 8 7 9
;
l’ opération L1 ← −L1 donne
1 1 −5 −7 0
3 2 −1 −6 0
7 4 6 −5 0
1 0 8 7 9
; les opérations
L2←L2− 3L1
L3←L3− 7L1
L4←L4−L1
donnent
1 1 −5 −7 0
0 −1 14 15 0
0 −3 41 44 0
0 −1 13 14 9
;puis L2 ← −L2 donne
1 1 −5 −7 0
0 1 −14 −15 0
0 −3 41 44 0
0 −1 13 14 9
; d’où
L3←L3+3L2
L4←L4+L2
L1←L1−L2
nous con-
duit à
1 0 9 8 0
0 1 −14 −15 0
0 0 −1 −1 0
0 0 −1 −1 9
; effectuons maintenant L3� −L3 d’où
1 0 9 8 0
0 1 −14 −15 0
0 0 1 1 0
0 0 −1 −1 9
, qui après
l’opération L4 ← L4 + L3 devient
1 0 9 8 0
0 1 −14 −15 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 9
; ce qui met en évidence une 4ième équa-
tion inconsistante, d’où le système tout entier est inconsistant.
23
4. Question:
D’après le théorème 25 du chapitre II, si la matrice A était inversible, le système AX=b aurait unesolution unique quel que soit le vecteur colonne b; les trois exercices précédents suffisent, chacunséparément, pour conclure que ce n’est pas vrai, donc par contraposée A n’est pas inversible.
5. Inverser une matrice
Soit la matrice B=
1 1 1 1
1 0 1 1
0 0 1 0
0 0 1 1
.
a. B−1=
0 1 0 -11 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 -1 1
; qui se trouve par la méthode que j’ai appelée « calcul réaliste de l’inverse
»):
on résoud le système
1 1 1 1
1 0 1 1
0 0 1 0
0 0 1 1
x1
x2
x3
x4
=
y1
y2
y3
y4
:
la matrice augmentée du système est
1 1 1 1 y1
1 0 1 1 y2
0 0 1 0 y3
0 0 1 1 y4
, qui devient
1 1 1 1 y1
0 -1 0 0 y2-y1
0 0 1 0 y3
0 0 1 1 y4
, puis
1 1 1 1 y10 1 0 0 -y2+y1
0 0 1 0 y30 0 1 1 y4
, ensuite
1 0 1 1 y2
0 1 0 0 -y2+y1
0 0 1 0 y3
0 0 1 1 y4
, et
1 0 0 1 y2-y3
0 1 0 0 -y2+y1
0 0 1 0 y30 0 1 1 y4
, d’où
1 0 0 1 y2-y3
0 1 0 0 -y2+y1
0 0 1 0 y3
0 0 0 1 y4-y3
et
enfin
1 0 0 0 y2-y4
0 1 0 0 -y2+y1
0 0 1 0 y3
0 0 0 1 y4-y3
; de cette dernière matrice (échelonnée et réduite) on déduit la solution
du système: (x1= y2-y4, x2= y1-y2, x3= y3, x4= -y3+ y4), donc B−1=
0 1 0 -11 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 -1 1
.
b. Déterminer l’ensemble des solutions du système d’équations linéaires BX=
1
0
−1
0
.
D’après le th 25 (i) comme B est inversible BX =
1
0
−1
0
� X = B−1
1
0
−1
0
=
0 1 0 −1
1 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 -1 1
1
0
−1
0
=
0
1
-11
.
ON VERIFIE .
24
Algèbre linéaire d’un point de vue algorithmique
chapIII. DETERMINANTS
(2 séances cours; 2 séances td)
Question 1. Nous connaissons l’aire du parallélogramme construit surdeux vecteurs xiQ + yjQ et x′iQ + y’jQ et qui peut se calculer par la formulexy’-yx’
Nous concevons l’idée d’un parallélépipède (en clair une « boîte ») cons-truit sur trois vecteurs de l’espace
xiQ + yjQ + zkQ, x′iQ + y’jQ + z′kQ et x′′iQ + y”jQ + z′′kQ
et nous aimerions calculer son volume
et même continuer dans des dimensions plus grandes.
1
1. Le déterminant d’une matrice carrée.
Définition 2.
1. Le déterminant de A∈M2,2(R):
Soit A=(
a11 a12a21 a22
)
, det(A)= a11a22-a12a21
2. Le déterminant de A∈M3,3(R) (règle de Sarrus):
Soit A=
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
,
det(A)= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)−(a13a22a31 + a12a21a33 +a11a23a32).
Que l’on retient par un petit schéma.
ATTENTION : cette règle ne convient que pour le cas n=3 !!!!
Exercice 1. Calcul du déterminant de A=
0 1 53 −6 92 6 1
.
Solution. Appliquer la régle de Sarrus
2
Définition 3. Le Déterminant d’une matrice CARREE de taille n
AVANT TOUT
1. Si A possède une ligne ou une colonne nulle det(A)=0.
2. Si A est triangulaire supérieure ou inférieuredet(A)=
∏
i=1naii
i∈{1, ,n}.
3. Si A possède deux lignes égales det(A)=0.
DE MANIERE GENERALE
4. Le déterminant de A ne change pas si on ajoute à une ligne unmultiple d’une autre.
5. Le déterminant est multiplié par -1 si on échange deux lignes.
6. Le déterminant est multiplié par k lorsqu’on multiplie une de seslignes par k.
Exercice 2. Soit B =
1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8
; montrer par un minimum de calculs que
det(B)=0.
Solution. Si on soustrait deux fois la première ligne de la deuxième ligne on obtient
la matrice
1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8
, dont le déterminant est nul donc det(B)=0
Proposition 4. Stratégie de calcul d’un déterminant
Soit une matrice carrée A
pour calculer det(A)
on peut effectuer une suite d’opérations élémentaires sur les lignes afind’aboutir à une matrice triangulaire
(en appliquant les 4, 5 et 6)
3
si en route on trouve une ligne nulle, on peut s’arrêter, det(A)=0
si on aboutit à une matrice triangulaire son déterminant est immédiat
.
Exercice 3.
Calculer les déterminants suivants∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 0 −1
1 2 1 0
1 3 2 1
1 4 3 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 1 25−1 1 4 211 0 1 25
−1 1 23 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
DEUX GRANDES PROPRIETES DES DETERMINANTS
Théorème 5. det(A) et l’inversibilité
1. Soit A∈Mnn(R), A est inversible si et seulement si det(A)�0.
2. Dans ce cas det(A−1)=1/det(A).
Exercice 4.
1. Soit B=
1 3 −2 4
2 6 −4 8
3 9 1 5
1 1 4 8
; déterminer à l’aide de son déterminant si B est inversible
2. Soit
2 0 0 0
1 2 0 0
5 1 2 0
0 5 1 2
; déterminer à l’aide de son déterminant si T est inversible
3. Si l’une de ces deux matrices est inversible, que feriez-vous pour la calculer ?
Théorème 6. Le déterminant est multiplicatif
∀(A,B)∈Mnn(R)2, det (AB)= det (A)det(B).
Exercice 5.
4
Soient les deux matrices
A=
0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0
et B=
2 0 0 00 3 0 00 0 −3 00 0 0 −2
1. Calculer leurs déterminants
2. Calculer leur produit.
3. Vérifier que det(A)det(B)=det(AB)
Théorème 7. le déterminant est invariant par transposition
∀A∈Mnn(R), det ( At )= det (A).
Remarque 8. Ceci est très important
Donc toutes les propriétés des déterminants relatives aux lignes sontaussi vraies pour les colonnes.
Exercice 6.
1. M=
4 8 5 0
2 4 4 0
1 2 3 0
0 0 2 15
; prouver que det(M)=0.
2. N=
1 1 3 101 1 2 8
1 1 1 4
0 a 0 2
; choisir une valeur de a pour que det(N)=0
Proposition 9. Stratégie de calcul d’un déterminant
Soit une matrice carrée A
pour calculer det(A)
on peut effectuer une suite d’opérations élémentaires sur les lignes ousur les colonnes afin d’aboutir à une matrice triangulaire
si en route on trouve une ligne ou une colonne nulle, on peut s’arrêter,det(A)=0
5
si on aboutit à une matrice triangulaire son déterminant est immédiat
Exercice 7.
R=
1 1 4 2
2 1 8 4
6 7 24 110 2 1 1
; calculer det(R).
Problème 1.
1. Soit B=
1 3 −2 4
2 6 −4 8
3 9 1 5
1 1 4 8
; montrer par un minimum de calculs que det(B)=0.
2. Calculer
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 1 25−1 1 4 211 0 1 25−1 1 23 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
Problème 2.
1. Calculer
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2. Calculer
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 1 0
0 1 1 1
1 0 1 1
0 1 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Travaux Dirigés
Exercice 8. Soit les matrices M=
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
et N =
0 −1 0 0 0
0 0 −1 0 0
0 0 0 −1 0
0 0 0 0 −1
−1 0 0 0 0
calculer det(M) et det(N).
Exercice 9. Soit A∈Mnn(R) et d=det(A) (n>1)
a. Déterminer det(-A).
b. Déterminer det(kA), où k est un réel.
Exercice 10. Pour montrer que la matrice suivante a un déterminant nul
A=
1 2 3 4 1112 3 4 5 1213 4 5 6 1324 5 6 7 1575 6 7 8 158
.
a. Ecrire sa transposée.
b. Dans la transposée soustraire la troisième ligne de la quatrième ligne puis la première de la deuxième ligne.
c. Conclure.
Exercice 11. Soient les matrices de Mnn(R) A et B; on suppose que le déterminant de la matrice produit AB
est nul, montrer que l’une au moins n’est pas inversible.
Exercice 12. Trouver le déterminant de la matrice suivante en effectuant une suite d’ opérations élémentaires:
A=
1 2 −2 0
2 3 −4 1
−1 −2 0 2
0 2 5 3
.
Exercice 13. Soit une matrice A∈Mnn(R), montrer que le déterminant de tAA est positif.
6
Exercice 14. Soit les matrices (A,B,M)∈Mnn(R)3, oùMest inversible; on suppose queA=M−1BM, comparer
det(A) et det(B).
3. Mineurs et Cofacteurs
Définition 10. Mineurs, cofacteurs
Soit A∈Mnn(R), où A=(aij)(i,j)∈{1, ,n}×{1, ,n}
On appelle mineur de l’élément aij le déterminant de la matrice extraiteobtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ième colonne; on le noteMij.
On appelle cofacteur de l’élement aij la quantité Cij=(−1)i+jMij.
Exemple 11.
A=
1 −1 02 −2 53 −3 0
mineur de a11: M11=∣
∣
∣
∣
−2 5−3 0
∣
∣
∣
∣
=15; cofacteur de a11: C11=(−1)1+1∣
∣
∣
∣
−2 5−3 0
∣
∣
∣
∣
=
15
7
mineur de a12: M12=∣
∣
∣
∣
2 53 0
∣
∣
∣
∣
=−15; cofacteur de a12: C12=(−1)1+2∣
∣
∣
∣
2 53 0
∣
∣
∣
∣
=
−15
mineur de a13: M13=∣
∣
∣
∣
2 −23 −3
∣
∣
∣
∣
=0; cofacteur de a13: C13=(−1)1+3∣
∣
∣
∣
2 −23 −3
∣
∣
∣
∣
=0
mineur de a31: M31=∣
∣
∣
∣
−1 0−2 5
∣
∣
∣
∣
=−5; cofacteur de a13: C13=(−1)3+1∣
∣
∣
∣
−1 0−2 5
∣
∣
∣
∣
=
−5
etc..
Théorème 12. Calcul d’un déterminant par la méthode des cofacteurs
Soit A∈Mnn(R), où A=(aij)(i,j)∈{1, ,n}×{1, ,n}
1. (développement par rapport à la i-ème ligne)
Quel que soit i∈{1, , n}, det(A)=∑
j=1naij(−1)i+jMij.
2. (développement par rapport à la j-ème colonne)
Quel que soit j ∈{1, , n}, det(A)=∑
i=1naij(−1)i+jMij.
Exercice 15. Soit A=
1 2 0 14 2 1 00 1 1 11 0 2 0
; calculer det(A) en développant
suivant une ligne ou une colonne, choisie parce qu’elle contient beau-coup de 0.
8
4. Systèmes de Cramer, formules de Cramer
Définition 13.
Soit A ∈ Mnn(R), où A = (aij)(i,j)∈{1, ,n}×{1, ,n}, B ∈ Mn1(R), où
B=(bj)j∈{1, ,n} et le système AX=B.
On désignera pour tout j par Aj la matrice A, modifiée en remplaçantla j-ième colonne par la colonne B.
Théorème 14. Formules de Cramer
Soit A ∈ Mnn(R), où A = (aij)(i,j)∈{1, ,n}×{1, ,n}, B ∈ Mn1(R), où
B=(bj)j∈{1, ,n} et le système AX=B.
Le système sera dit de Cramer lorsque det(A)�0.
Dans ce cas le système possède une solution unique X =
x1
xn
et pour
tout i xi=det (Ai)
det (A).
Exercice 16. Appliquer le résultat au-dessus au système
2x1+3x2=5101x1− 52x2− 32x3= 4946x1+ 42x2+ 23x3= 111
.
Problème 3.
1. Le système suivant est-il de Cramer pour résoudre le système
x1+ x2+ x3+ x4= 4x1+ x3= 2x2− x4=−2x1+ x4= 4
?
9
2. Et celui-ci ? (soyez paresseux)
x1+ x2+ x3+ x4= 4x1+ x4= 2x2− x4=−2x1− x3= 4
?
Problème 4. avec Maxima
la commande pour calculer le déterminant de la matrice a est « determinant(a) »
1. A l’aide de Maxima calculer
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 1
1 2 3 5
1 4 9 251 8 27 125
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2. Déterminer si la matrice M=
1 1 1 1
1 2 3 5
1 4 9 251 8 27 125
est inversible
3. A l’aide de Maxima calculer det(A)=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 0 0 1
1 0 0 −1
0 1 0 1
0 0 1 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
, déterminer si A est inversible
Objectifs:
1. Savoir calculer immédiatement le déterminant d’une matrice triangulaire.
2. Savoir que le déterminant est nul lorsqu’une ligne ou une colonne est nulle, ou deux lignes (oucolonnes) sont égales.
3. Connaître et savoir utiliser les propriétés du déterminant (produit, inverse, transposée).
4. Savoir ce que sont les mineurs, les cofacteurs.
5. Connaître, comprendre et appliquer les formules de développement d’un déterminant suivantune ligne ou une colonne pour effectuer des calculs de déterminants.
6. Connaître la caractérisation des matrices carrées inversibles par le déterminant; savoir ce qu’estl’adjointe d’une matrice carrée, comprendre pourquoi l’inverse d’une matrice carrée inversible àdroite est le même qu’à gauche.
7. Savoir reconnaître un système de Cramer; connaître les formules de Cramer et savoir les utiliser(en basse dimension).
Travaux Dirigés
Exercice 17. Que pensez-vous de l’égalité det(A+B)=det(A)+det(B) ?
Exercice 18. Soit les matrices C =
0 0 0 0 5
1 0 0 0 660 2 0 0 770 0 3 0 880 0 0 4 99
, D =
11 0 0 0 3
1 0 0 0 0
4 2 0 0 0
5 5.6 5 0 0
87 120 −65 4 0
; calculer det(C) et det(D) en
développant suivant une ligne ou une colonne bien choisie.
Exercice 19. On désignera par An la matrice à n lignes et n colonnes
0 1 0 0 .. 0
−1 0 1 0 ..
0 −1 0 1 ..
0 0 −1 0 ..
. 0 −1 .. 1 0
0 0 .. 0 1
0 0 0 0 .. −1 0
10
a. Calculer det(A2)
b. Calculer det(A3)
c. Calculer det(A4)
d. Conjecturer la valeur de det(An) en fonction de n; démontrer la conjecture.
Exercice 20. Soit une matrice A dont les termes sont des entiers et dont le déterminant est égal à -1, montrer
que A−1 existe et ses termes sont des entiers.
Exercice 21. Soit An=
2 1 0 . . . . 0
1 2 1 0 . . . 0
0 1 2 1 0 . . 0
. . 1 2 1 0 . 0
. . . . . . . .
0 0 . . . . . 0
0 . . . . 1 2 1
0 . . . . 0 1 2
.
a. Calculer det(A1) et det(A2).
b. En développant det(An+2) suivant la première ligne (ou la première colonne) et en répétant l’opération,
déterminer une relation exprimant det(An+2) en fonction de det(An+1) et det(An).
c. Déterminer l’expression de det(An).
Exercice 22. Soit An=
1 -1 0 . . . . 0
-1 1 -1 0 . . . 0
0 -1 1 -1 0 . . 0
. . -1 1 -1 0 . 0
. . . . . . . .
0 0 . . . . . 0
0 . . . . -1 1 -10 . . . . 0 -1 1
.
a. Calculer det(A1) et det(A2).
b. En développant det(An+2) suivant la première ligne (ou la première colonne) et en répétant l’opération,
déterminer une relation exprimant det(An+2) en fonction de det(An+1) et det(An).
c. Déterminer l’expression de det(An).
5. Activité informatique Maxima
à rendre par Campus suivant les modalités fixées
Avertissement 15. syntaxe maxima
determinant(A); donne le déterminant (pas d’accent, c’est de l’anglais)
Pour résoudre un système
1. Ecrire les équations comme suit E1:x+2*y+6*z=4, ....
2. solve([E1,E2,...],[x,y,z]);
Pour toute liste de réels (a1,a2, .,an) on désigne par D(a1, a2, ., an) le déterminant de la matrice
a1+ a2 −a2
−a2 a2+ a3 −a3
0 −a3 a3+ a4 . .
0 −an−1
an−1+ an −an
0 0 −an an
.
1. Etudier sur des exemples les affirmations suivantes:
a. Si les (a1, a2, ., an) sont des entiers le déterminant aussi.
b. Si les (a1, a2, ., an) sont des entiers positifs le déterminant aussi
c. Si l’un des (a1, a2, ., an) est nul le déterminant aussi
11
2. Résoudre le système d’équations linéaires
2x1− x2=1−x1+2x2− x3=1−x2+2x3− x4=1
−x8+2x9− x10=1−x9+ x10=1
. avec Maxima bien sûr
3. Etudier sur des exemples l’inversion de la matrice
2 −1−1 2 −10 −1 2 . .
0 −1 2 −10 0 −1 1
. avec Maxima
4. En déduire l’expression possible de son inverse; vérifier.
6. Archives
CE Algèbre Linéaire 2014
Ni documents, ni machines, ni téléphone
Remarque: chaque fois qu’un théorème peut économiser des calculs il est conseiller de le faire, encitant clairement le théorème , en vérifiant clairement que les hypothèses de celui-ci sont réalisées.
Exercice 23. On désigne par A la matrice
1 −1 1 0
−1 1 0 1
0 0 1 −1
0 0 −1 1
. (8 pts)
a. Calculer A2.
b. Résoudre le système d’équations linéaires
2x1− 2x2+2x3− 2x4=2−2x1+2x2− 2x3+2x4=−22x3− 2x4=0−2x3+2x4=0
.
c. On pose B=
2 −2 2 −2
−2 2 −2 2
0 0 2 −2
0 0 −2 2
; B est-elle inversible ? Justifier votre réponse
d. En vous aidant d’un théorème du cours répondre à la même question pour A.
Exercice 24. On désigne par C la matrice
1 −1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1
1 1 1 1
. (8 pts)
a. Montrer que la matrice C est inversible.
b. Déterminer les solutions du système d’équations linéaires
x1− x2+x3+ x4=0x1+ x2−x3+ x4=0x1+ x2+x3− x4=0x1+ x2+x3+ x4=0
.
c. Déterminer la matrice inverse C−1.
d. Sachant que le système
x1−x2+ x3+x4=1x1+x2− x3+x4=1x1+x2+ x3−x4=1x1+x2+ x3+x4=1
possède comme solution le quadruplet (1,0,0,0)
déterminer toutes ses solutions.
Exercice 25.
a. En vous aidant des résultats de l’exercice 1 et d’un théorème du cours que l’on détaillera déterminer le
déterminant de la matrice B. (3 pts)
12
b. En vous aidant des techniques du cours calculer le déterminant de la matrice C. (4 pts)
corCE Algèbre Linéaire
Ni documents, ni machines, ni téléphone
Remarque: chaque fois qu’un théorème peut économiser des calculs il est conseillé de le faire, encitant clairement le théorème , en vérifiant clairement que les hypothèses de celui-ci sont réalisées.
Exercice 26. On désigne par A la matrice
1 −1 1 0
−1 1 0 1
0 0 1 −1
0 0 −1 1
.
a. A2=
2 −2 2 −2
−2 2 −2 2
0 0 2 −2
0 0 −2 2
. 2 points
b. Pour résoudre le système d’équations linéaires
2x1− 2x2+2x3− 2x4=2−2x1+2x2− 2x3+2x4=−22x3− 2x4=0−2x3+2x4=0
écrivons sa matrice aug-
mentée:
2 −2 2 −2 2
−2 2 −2 2 −2
0 0 2 −2 0
0 0 −2 2 0
�
1 −1 1 −1 1
−2 2 −2 2 −2
0 0 2 −2 0
0 0 −2 2 0
�
1 −1 1 −1 1
0 0 0 0 0
0 0 2 −2 0
0 0 −2 2 0
�
1 −1 1 −1 1
0 0 −2 2 0
0 0 2 −2 0
0 0 0 0 0
�
1 −1 1 −1 1
0 0 1 −1 0
0 0 2 −2 0
0 0 0 0 0
�
1 −1 1 −1 1
0 0 1 −1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
�
1 −1 0 0 1
0 0 1 −1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
; d’où l’ensemble des solutions {(x2+1,x2, x4, x4),
(x2, x4)∈R2}. 2 points
c. On pose B=
2 −2 2 −2
−2 2 −2 2
0 0 2 −2
0 0 −2 2
; comme nous avons montré au b. que l’équation BX=
2
−2
0
0
possède plus
d’une solution la matrice B n’est pas inversible (théorème de caractérisation des matrices inversibles). 2 points
d. Nous savons que si A est inversible alors B=A2 l’est aussi; comme B ne l’est pas, A non plus. 2points
le déterminant de A est aussi une méthode acceptée
Exercice 27. On désigne par C la matrice
1 −1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1
1 1 1 1
.
a. Pour montrer que C est inversible on peut soit étudier le système CX=(0), soit calculer sondéterminant, soit faire des opérations élémentaires.
1 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −11 1 1 1
�
1 −1 1 10 2 −2 00 2 0 −20 2 0 0
�
1 −1 1 10 1 −1 00 1 0 −10 1 0 0
�
1 −1 1 10 1 0 00 1 0 −10 1 −1 0
�
1 0 1 10 1 0 00 0 0 −10 0 −1 0
�
1 0 1 10 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
�
1 0 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 −1
�
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1
�
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
.
C est équivalente par lignes à la matrice unité donc elle est inversible (th de caractérisation) 2 points
(sinon son déterminant)
b. Par suite le système d’équations linéaires
x1− x2+ x3+x4=0x1+ x2− x3+x4=0x1+ x2+ x3−x4=0x1+ x2+ x3+x4=0
possède une solution unique
(0,0,0,0). 2 points
c. Pour déterminer C−1 résolvons le système
x1−x2+ x3+x4= y1x1+x2− x3+x4= y2x1+x2+ x3−x4= y3x1+x2+ x3+x4= y4
.
13
1 −1 1 1 y1
1 1 −1 1 y2
1 1 1 −1 y3
1 1 1 1 y4
�
1 −1 1 1 y1
0 2 −2 0 y2− y1
0 2 0 −2 y3− y1
0 2 0 0 y4− y1
�
1 −1 1 1 y1
0 1 −1 0y2− y1
2
0 1 0 −1y3− y1
2
0 1 0 0y4− y1
2
�
1 −1 1 1 y1
0 1 0 0y4− y1
2
0 1 0 −1y3− y1
2
0 1 −1 0y2− y1
2
�
1 0 1 1y4+ y1
2
0 1 0 0y4− y1
2
0 0 0 −1y3− y4
2
0 0 −1 0y2− y4
2
�
1 0 1 1y4+ y1
2
0 1 0 0y4 − y1
2
0 0 −1 0y2 − y4
2
0 0 0 −1y3 − y4
2
�
1 0 1 1y4+ y1
2
0 1 0 0y4 − y1
2
0 0 1 0−y2+ y4
2
0 0 0 −1y3 − y4
2
�
1 0 0 1y1 + y2
2
0 1 0 0y4− y1
2
0 0 1 0−y2+ y4
2
0 0 0 −1y3− y4
2
�
1 0 0 1y1+ y2
2
0 1 0 0y4− y1
2
0 0 1 0−y2+ y4
2
0 0 0 1y4− y3
2
�
1 0 0 0y1+ y2
2+
y3− y4
2
0 1 0 0y4− y1
2
0 0 1 0−y2+ y4
2
0 0 0 1y4− y3
2
c’est à dire C−1=
1/2 1/2 1/2 −1/2−1/2 0 0 1/2
0 −1/2 0 1/20 0 −1/2 1/2
=1/2
1 1 1 −1−1 0 0 10 −1 0 10 0 −1 1
.
2 points
d. Comme la matrice C est inversible alors ( théorème de caractérisation) le système CX=
1111
a une solution unique; sachant que le système
x1−x2+ x3+ x4=1x1+x2− x3+ x4=1x1+x2+ x3− x4=1x1+x2+ x3+ x4=1
possède comme solution le
quadruplet (1,0,0,0) celle-ci sera la seule. 2 points
Exercice 28.
a. En vous aidant des résultats de l’exercice 1 et d’un théorème du cours que l’on détaillera déterminer le
déterminant de la matrice B.
B n’est pas inversible ( exercice 1) donc (théorème sur le déterminant) son déterminant est nul. 3 points
( 2 points seulement si l’étudiant a choisi le calcul du déterminant)
b. En vous aidant des techniques du cours calculer le déterminant de la matrice C.
det
1 −1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1
1 1 1 1
= det
1 −1 1 1
0 2 −2 0
0 2 0 −2
0 2 0 0
= 8 det
1 −1 1 1
0 1 −1 0
0 1 0 −1
0 1 0 0
= −8det
1 −1 1 1
0 1 0 0
0 1 0 −1
0 1 −1 0
= −
8det
1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 0 −1
0 0 −1 0
=8det
1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
=−8det
1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
=−8det
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
=8det
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
=8.
4 points
14
Algèbre linéaire d’un point de vue algorithmique
chapIV. ESPACES Rn ET APPLICATIONS LINEAIRES
(1 séance)
1. Espaces de dimension n
Nous connaissons la droite, qui représente l’ensemble R des réels,nous dirons que c’est un espace de dimension 1.
Nous connaissons le plan où les points sont définis par des couples(
a1a2
)
de réels, nous le noterons R2 et nous dirons que c’est un
espace de dimension 2.
Nous connaissons l’espace « usuel » de dimension 3, que nous note-
rons R3, il est constitué des triplets
a1a2a3
.
On remarquera qu’un couple(
a1
a2
)
peut représenter aussi bien un point A du plan
que le vecteur OA.
De même un triplet
a1
a2
a3
pourra représenter aussi bien un point A de l’espace usuel
que le vecteur OA dans l’espace.
On notera Rn l’ensemble des n-uplets de réels
a1a2
an
.
« c’est pas des maths c’est le monde des données »
Définition 1. Opérations sur les vecteurs
Soient deux vecteurs uQ
=
u1
u2
un
et vQ
=
v1v2
vn
et un scalaire k.
1
1. Leur somme u+v est définie comme le vecteur
u1+ v1u2+ v2
un+vn
2. Le produit ku est défini comme le vecteur kuQ
=
ku1ku2
kun
3. Le vecteur
00
0
sera appelé le vecteur nul et noté 0Q .
4. On désignera par -uQle vecteur
−u1
−u2
−un
.
Théorème 2. Propriétés des opérations sur les vecteurs
Soient trois vecteurs (uQ, vQ, wQ) ∈Rn ×Rn ×Rn et deux scalaires
(k,p)∈R×R.
1. uQ
+ vQ
= vQ
+ uQ
2. (uQ
+ vQ
)+wQ
= uQ
+(vQ
+wQ
)
3. uQ+0Q =0Q + u
Q= uQ
4. uQ+(−u)=0Q
5. k(puQ)=(kp)u
Q
6. k(uQ
+ vQ
)= kuQ
+ kvQ
7. (k+p)uQ=ku
Q+pu
Q
8. 1.uQ=uQ
Définition 3. La base standard de Rn
On appelle base standard de Rn les vecteurs ε1Q =
100
0
, ε2=
010
0
, ...,
εkQ =
0001
0
,..,εnQ =
000
01
.
2
Proposition 4. A quoi sert la base standard ?
Tout vecteur uQ=
u1
u2
un
de Rn s’écrit u1
100
0
+u2
010
0
+uk
0001
0
+..,+un
000
01
=u1ε1Q + .+
ukεkQ + .+ unεnQ .
Exercice 1.
1. Ecrire le vecteur
4
3
211
à l’aide de la base standard.
2. Calculer dans 2ε1Q +5ε2Q − 10ε3Q + 30ε4Q -5(ε1Q + ε2Q +4ε3Q +6ε4Q ).
« Agir c’est transformer des données en résultats au moyend’un processus »
données
résultats
processus
= ensemble source
=ensemble cible
= application
Les résultats sont la conséquence des données
Les résultats se calculent à partir des données
le cas le plus simple: lorsque les calculs sont linéaires
c’est
2. Applications linéaires
Définition 5. Définition des applications linéaires
Une application f :Rp� R
n est linéaire si et seulement si ∀(k,uQ
, vQ
)∈R×Rp×Rp,
3
f(uQ+ vQ)=f(u
Q)+f(v
Q)
f(kuQ
)=kf(uQ
).
Exercice 2.
Déterminer parmi les applications suivantes de R3 vers R3 celles quisont des applications linéaires
i) f :(x1, x2, x3)� (y1, y2, y3) tel que
y1= x1+ x2+ x3
y2=4x1+4x2+4x3
y3= x12+ x2
2+ x32
.
ii) g:(x1, x2, x3)� (y1, y2, y3) tel que
y1= x1+x2+x3
y2= x1+4x2+ 16x3
y3= x1-x2+7x3
iiih:(x1, x2, x3)� (y1, y2, y3) tel que
y1= x1 +x3
y2= x1 +x3
y3= x1 -2x3
Théorème 6. Pour définir une application linéaire f :Rp� R
n
il suffit de connaître les images par f des vecteurs de la basestandard
(ε1Q , ., εkQ , ., εpQ ) de Rp.
Exemple 7. On veut définir une application linéaire f:R2�R
3
On désigne par (ε1Q , ε2Q ) la base standard de R2 et par (u1Q , u2Q , u3Q )
la base standard de R3 ; on décide f(ε1Q ) = u1Q + u2Q , c’est à dire
110
et f(ε2Q )=u1− u2Q + 10u3Q , c’est à dire
1−110
Alors on sait tout sur f !
Par exemple f(4ε1Q + 5ε2Q ) = 4f(ε1Q )+5f(ε2Q ) = 4
110
+5
1−110
=
4+ 54− 50+ 50
=
9−150
.
Calculer f(7ε1Q − 2ε2Q ).
Question 8. Peut-on zipper les applications linéaires ?
4
Existe-t-il une manière compactée de représenter les applica-tions linéaires ?
Définition 9. La matrice standard d’une application linéaire
Soit une application f de Rp vers Rn définie par
f(ε1)=
a11a21
an1
, f(ε2)=
a12a22
an2
, , f(εk)=
a1ka2k
ank
, , f(εp)=
a1pa2p
anp
On appelle matrice standard de f la matrice
Mat(f)=
a11 a12 a1pa21 a22 . a2p
an1 an2 anp
Autant de colonnes que l’espace de départ (ou source)
Autant de lignes que l’espace d’arrivée (ou cible)
Les colonnes portent une information
Les lignes ne donnent pas d’information directe
Théorème 10. A quoi sert M(f) ?
Soit l’application linéaire f de Rp vers Rn de matrice standard
M(f)=
a11 a12 a1pa21 a22 . a2p
an1 an2 anp
.
Alors l’image d’un vecteur xQ=
x1
x2
xp
= x1ε1Q + . + xkεkQ + . +
xpεpQ se calcule comme suit f(xQ)=
a11 a12 a1pa21 a22 . a2p
an1 an2 anp
x1
x2
xp
=
a11x1+ a12x2+ + a1pxp
a21x1+ a22x2+ + a2pxp
an1x1+ an2x2+ + anpxp
.
5
Exemple 11.
On veut définir une application linéaire f:R2� R
3
On désigne par (ε1Q , ε2Q ) la base standard de R2; on décide
f(ε1Q )=
110
et f(ε2Q )=
1−110
.
Alors M(f)=
1 11 −10 10
.
f(4ε1Q +5ε2Q )=
1 11 −10 10
(
45
)
=
9−150
f(7ε1Q − 2ε2Q )=
1 11 −10 10
(
7−2
)
=
59
−20
.
Exercice 3. Soit une application linéaire f:R4� R
3
On désigne par (u1, u2, u3, u4) la base standard de R4; on décide f(u1) =
1
5
−1
, f(u2) =
−5
0
4
,
f(u3) =
4
5
11
, f(u4)=
−3
1524
1. Déterminer la matrice m(f).
2. Déterminer f(u1+u2+2u3−u4).
Exercice 4. Soit une application linéaire f:R4� R
3
On désigne par (u1, u2, u3, u4) la base standard de R4 et la matrice standard de f est M(f)=
1 2 0 0
2 1 0 1
3 0 0 1
4 5 1 0
.
1. Que valent f(
u1
)
, f(u2), f(u3), f(u4))
?
2. Que vaut f(
0Q)
?
Quelques exemples d’applications linéaires: (à lire seuls)
L’application identique, dont la matrice sera In.
L’application nulle, dont la matrice standard sera 0n.
La réflexion par rapport à l’axe Oy: f : R2� R
2, f :(
x
y
)
�
(
-xy
)
, dont la matrice standard sera(
-1 00 1
)
.
6
La réflexion par rapport à la droite d’équation y=x: f :R2�
R2, f :
(
x
y
)
�
(
yx
)
, dont la matrice standard sera(
0 11 0
)
.
La réflexion dans l’espace par rapport au plan Oxy: f :R3�
R3, f :
x
y
z
�
x
y
-z
, dont la matrice standard sera
1 0 00 1 00 0 -1
.
La projection orthogonale sur l’axe Ox (dans R2): f :R2� R
2,
f :(
x
y
)
�
(
x
0
)
, dont la matrice standard sera(
1 00 0
)
.
La projection orthogonale sur le plan Oxy (dans R3): f :R3�
R3, f :
x
y
z
�
x
y
0
, dont la matrice standard sera
1 0 00 1 00 0 0
.
Le glisser de côté dans R2: f :R2� R
2, f :(
x
y
)
�
(
x
y+x
)
, dont
la matrice standard sera(
1 01 1
)
.
Exercice 5. Soit l’application de R4� R
3 définie par
w1=−2x1+5x2+2x3− 7x4
w2=4x1+2x2− 3x3+3x4
w3=7x1− 3x2+9x4
; déterminer sa matrice standard.
Solution.
Attention à ne pas confondre les lignes et les colonnes
A=
−2 5 2 −74 2 −3 37 −3 0 4
7
Théorème 12. Composition d’applications linéaires
Soient deux applications linéaires f A:Rp� R
n, de matrice A,et f B: R
n� R
q, de matrice B, alors f B◦fA: Rp� R
q est uneapplication linéaire, de matrice BA; f B◦fA= fBA.
Exercice 6. Soient les applications linéaires f:R3� R
2 et g:R2� R
2
définies dans cet ordre par
i)y1=2x1+5x2− 8x3
y2=−x1+ x2+3x3et ii)
z1=4y1− y2z2= y1+3y2
.
a. Déterminer les matrices standard de f et g
b. En déduire la matrice standard de g ◦ f
c. En déduire l’expression de g ◦ f .
Solution.
matrice standard de f :A=(
2 5 −8−1 1 3
)
; matrice standard de g: B=(
4 −11 3
)
matrice standard de g ◦ f : BA=(
4 −11 3
)(
2 5 −8−1 1 3
)
=(
9 19 −35−1 2 1
)
pour tout x=
x1
x2
x3
g ◦ f(x)=(
9 19 −35−1 2 1
)
x1
x2
x3
=(
9x1+ 19x2− 35x3
−x1+2x2+ x3
)
8
Exercice 7.
Soit f:R4� R
3 définie par
y1= x1-x2+x3+x4
y2=2x1-x2+x3+2x4
y3= x1+2x2-2x3+x4
On désigne par (ε1, ε2, ε3, ε4) la base standard de R4 et par (ϕ1, ϕ2, ϕ3)
la base standard de R3.
1. Décrire f(ε1), f(ε2), f(ε3), (ε4) sous la forme de combinaisons linéairesde (ϕ1, ϕ2, ϕ3).
2. Déterminer la matrice standard de f.
Solution.
Les images des vecteurs de la base standard sont
f(ε1) = ϕ1+2ϕ2+ ϕ3
f(ε2) = -ϕ1-ϕ2+2ϕ3
f(ε3) = ϕ1+ ϕ2-2ϕ3
f(ε4) = ϕ1+2ϕ2+ ϕ3
2. La matrice standard de f est
1 −1 1 12 −1 1 21 2 −2 1
Théorème 13. Propriétés des applications linéaires de Rp�
Rn
Soit une matrice A=
a11 a12 a1pa21 a22 . a2p
an1 an2 anp
application linéaire f A:
Rp� R
n
9
i) f A est injective si et seulement si la matrice échelonnéeréduite de A montre p VARIABLES DIRECTRICES ( c’està dire AUCUNE VARIABLE LIBRE).
ii) f A est surjective si et seulement si la matrice échelonnéeréduite de A montre n VARIABLES DIRECTRICES.
i) si n<p f ne peut être injective
ii) si n>p f ne peut être surjective
Remarque 14.
à mon humble avis on ne peut retenir ce résultat « par coeur» sans risque de se tromper; il faut l’avoir compris, pour leretenir, pour le retrouver !!
(à bon entendeur salut !)
10
Théorème 15. Propriétés des applications linéaires de Rn�
Rn
ATTENTION CAS PARTICULIER CAR n ET n.
1. Soit A∈Mn,n(R), les propriétés suivantes sont équivalentes:
i) A est inversible
ii) ∀w∈Mn,1(R),∃x∈Mn,1(R),Ax=w
iii) ∀w∈Mn,1(R),∃!x∈Mn,1(R),Ax=w
2. Soit A∈Mn,n(R) et l’application linéaire associée f A:Rn�
Rn, les propriétés suivantes sont équivalentes:
i) f A:Rn� R
n
est surjective
ii) f A:Rn� R
n
est injective
ii) f A:Rn� R
n
est bijective
Remarque: dans ce cas (fA)−1=fA−1, ce qui signifie que dans ce cas la
matrice standard de (fA)−1 c’est A−1.
Exercice 8.
Soient les applications linéaires f:R3� R
2 et g:R2� R
2 définies danscet ordre par
i)y1=2x1+5x2− 8x3
y2=−x1+ x2+3x3et ii)
z1=4y1− y2z2= y1+3y2
i) Déterminer au moyen de leurs matrices si f et (ou) g sont inversi-bles.
ii) Déterminer alors la (ou les) matrice(s) inverse(s).
iii) En déduire l’expression de f−1 et (ou) de g−1.
11
Solution.
i. a. det(B)=det
(
(
4 −11 3
)
)
= 13� 0, donc f est inversible
b. A =(
2 5 −8−1 1 3
)
n’est pas carrée donc pas de déterminant; par ailleurs(
2 5 −8−1 1 3
)
�
(
-1 1 32 5 -8
)
�
(
1 -1 -32 5 -8
)
�
(
1 -1 -30 7 -2
)
�
(
1 -1 -30 1 -2/7
)
�
(
1 0 -23/70 1 -2/7
)
; la troisième colonne montre que A n’est pas inversible.
ii) L’inverse A-1 est1
13
(
3 1-1 4
)
iii) donc seule f−1 existe, a pour matrice A-1, c’est donc f−1:(
y1y2
)
�
1
13
(
3 1-1 4
)(
y1y2
)
=1
13
(
3y1+ y2y1+4y2
)
Problème 1.
1. Soit la matrice A=
1 1 1 0 0
1 0 1 1 1
1 0 0 1 0
1 1 0 1 1
et l’application linéaire fA de R? vers R? associée; déterminer
si fA est injective, surjective.
2. Soit la matrice B=
1 1 1 1
1 0 0 1
1 1 0 0
0 1 1 1
0 1 0 1
et l’application linéaire gA de R? vers R? associée; déterminer
si gA est injective, surjective.
Problème 2. Soient (ε1Q , ε2Q , ε3Q , ε4Q ) la base standard de R4 et (α1, α2, α3) la base standard de R3 et
les matrices
P=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
, Q=
1 0 0
1 1 1
1 2 2
, R=
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 0
1. Déterminer laquelle est la matrice standard d’une application linéaire de R3 vers R4, cette
application sera désignée par h.
2. Déterminer h(α1 − α2 + α3) , que l’on exprimera comme combinaison linéaire des vecteurs
(ε1Q , ε2Q , ε3Q , ε4Q )
3. Déterminer laquelle est la matrice standard d’une application linéaire de R4 vers R3, cette
application sera désignée par ϕ.
4. La composée ϕ ◦h est une application linéaire de R3 vers R3
et la composée h◦ϕ est une application linéaire de R4 vers R4.
Déterminer la matrice standard A de ϕ ◦h
et la matrice standard B de h◦ϕ.
Travaux Dirigés
Exercice 9. Déterminer les valeurs de
12
1
0
1
0
+
−1
0
−1
0
+
0
1
0
1
+
1
1
1
1
=
1
2
1
2
;
−2
1
0
0
+
1
−2
1
0
+
0
1
−2
1
+
0
0
1
−2
*
Exercice 10.
On définit les applications
i) f : R4� R
4 définie par
x1
x2
x3
x4
�
y1
y2
y3
y4
tels que
y1= x2y2= x3y3= x4y4= x1
ii) g: R4� R
4 définie par
x1
x2
x3
x4
�
y1
y2
y3
y4
tels que
y1= x1+2x2
y2= x2+3x3
y3= x3-2x4
y4= x3-4x4
iii) h: R4� R
4 définie par
x1
x2
x3
x4
�
y1
y2
y3
y4
tels que
y1= x1.x2
y2= x2+ sin (x3)y3= x3-2x4y4= x1-4x4
iv) k: R4� R
4 définie par
x1
x2
x3
x4
�
y1
y2
y3
y4
tels que
y1= x1+ x2+ x3
y2= x2+ x3+ x4
y3= x1+ x3+ x4
y4= x1+x2+x4
v) m: R4� R
4 définie par
x1
x2
x3
x4
�
y1
y2
y3
y4
tels que
y1= x1+ x2+ x3+x4
y2= x1+ x2 + x3+x4y3= x1+ x2+ x3+x4
y4= x1+ x2+ x3+x4
vi) n: R4� R4 définie par
x1
x2
x3
x4
�
y1
y2
y3
y4
tels que
y1= x1-x2+ x3-x4
y2= -x1+ x2 + x3-x4
y3= x1-x2-x3+x4
y4= x1+ x2-x3-x4
Déterminer celles qui sont des applications linéaires. *
Exercice 11. Avec les notations de l’exercice au-dessus
a. Déterminer la matrice standard de m ◦n *
b. Déterminer la matrice standard de k◦n
c. Déterminer la matrice standard de m ◦ k
Exercice 12. *
a. Déterminer s’il existe une application linéaire f de R4� R
4 telle que f(ε1) = ε1+2ε2+3ε3-ε4;
f(ε2) = -ε1+2ε2+3ε3+ε4; f(ε3)= ε3; f(ε4) = ε1-2ε2-3ε3-ε4.
b. Si non, terminé; si oui déterminer sa matrice standard.
c. Et dans ce cas déterminer si f est une bijection de R4� R
4.
Exercice 13. *
Soit f une application linéaire non injective de R4� R
4
a. Montrer qu’il existe un vecteur z � 0, tel que f(z)=0.
b. Montrer qu’il existe b∈R4 tel que l’équation f(x)=b n’ait pas de solution.
c. Soit c∈R4 tel que l’équation f(x)=c ait (au moins) une solution x0, montrer qu’alors
f(x0+ z)=c.
d. Avec les mêmes hypothèses qu’au c. montrer que {x∈R4, f(x)= c}= {x0+ z, f(z)= 0}. *
Exercice 14. *
Soit f l’application linéaire de R4� R4 dont la matrice standard est A=
1 −1 4 1
0 1 0 −1
1 −1 4 1
0 1 0 −1
13
a. Est-elle injective ?
b. Est-elle surjective ?
c. Déterminer l’ensemble des x de R4 tels que f(x)=0.
d. Si le chapitre suivant est assez avancé montrer que cet ensemble est un espace vectoriel.
e. Déterminer l’ensemble des x de R4 tels que f(x)=
1
0
1
0
.
f. Déterminer l’ensemble des x de R4 tels que f(x)=
1
1
1
0
g. Si le chapitre suivant est assez avancé montrer que l’ensemble des y de R4 tels qu’il existe x
de R4 tel que f(x)=y est un espace vectoriel.
Exercice 15. Soit f l’application linéaire de R3� R
4 dont la matrice standard est A=
1 −1 1
0 1 0
1 −1 1
0 1 0
a. Est-elle injective ?
b. Est-elle surjective ?
c. Déterminer l’ensemble des x de R3 tels que f(x)=0.
d. Si le chapitre suivant est assez avancé montrer que cet ensemble est un espace vectoriel.
e. Déterminer l’ensemble des x de R3 tels que f(x)=
1
0
1
0
.
f. Déterminer l’ensemble des x de R3 tels que f(x)=
1
−1
1
1
g. Si le chapitre suivant est assez avancé montrer que l’ensemble des y de R4 tels qu’il existe x
de R3 tel que f(x)=y est un espace vectoriel.
Exercice 16. Soit f l’application linéaire de R4� R
3 dont la matrice standard est A=
1 −1 1 1
0 1 1 0
1 −1 1 0
a. Est-elle injective ?
b. Est-elle surjective ?
c. Déterminer l’ensemble des x de R4 tels que f(x)=0.
d. Si le chapitre suivant est assez avancé montrer que cet ensemble est un espace vectoriel.
e. Déterminer l’ensemble des x de R4 tels que f(x)=
1
0
1
.
f. Déterminer l’ensemble des x de R4 tels que f(x)=
1
1
1
g. Si le chapitre suivant est assez avancé montrer que l’ensemble des y de R4 tels qu’il existe x
de R3 tel que f(x)=y est un espace vectoriel.
Objectifs:
1. Savoir additionner des vecteurs dans Rn, multiplier des vecteurs par des scalaires.
2. Savoir reconnaître une application linéaire et déterminer sa matrice standard.
3. Connaître des exemples d’applications linéaires et savoir reconnaître une applica-tion linéaire.
4. Comprendre le lien entre la matrice standard d’une application linéaire et la basestandard
14
5. Connaître la matrice standard de la composée de deux applications linéaires.
6. Savoir et comprendre le problème de l’injectivité et de la surjectivité d’applicationslinéaires de Rp vers Rn
7. Connaître et comprendre le lien entre injectivité, surjectivité, bijectivité d’appli-cations linéaires de Rn vers Rn.
8. Connaître la base standard de Rn.
3. Activité informatique Maxima
à rendre par Campus suivant les modalités fixées
Exercice 17.
Pour tout entier n on pose An=
0 1 1
1 0 .
1 1
1
1 1 0
.
1. Après des essais informatiques déterminer son déterminant en fonction de n.
2. Après des essais informatiques déterminer son inverse en fonction de n.
3. Déterminer fAn
−1(εk) pour chacun des vecteurs de la base standard (Maxima); vérifier.
Exercice 18.
Soit l’application linéaire f de R5 vers R5 définie de la manière suivante:
si on désigne par (ε1, ε2, ., ε5) la base standard
f(ε1)=ε2, f(ε2)=ε3, f(ε3)=ε4, f(ε4)=ε5, f(ε5)=aε1+(a+1)ε2+(a+2)ε3+(a+3)ε4+(a+4)ε5
1. Déterminer la matrice standard de f, que l’on désignera par M
2. A l’aide du déterminant trouver pour quelles valeurs de a f est une bijection de R5 sur R5
3. Lorsque f est une bijection déterminer la matrice standard de f−1.
4. En déduire les images fAn
−1(εk) de chacun des vecteurs de la base standard.
4. Archives
Deuxième devoir d’Algèbre linéaire
Il est conseillé de traiter les questions dans l’ordre car certains questions utilisent des résultats dequestions précédentes.
I. On désigne par A la matrice
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
.
1. Calculer A2.
2. Déterminer deux réels (u,v) tels que A2=uI+vA.
3. On sait que M4(R) est un espace vectoriel et on désigne par F le sous-espace vectoriel Vect(I,A),montrer que I et A en constituent une base.
15
II. Calculer le déterminant de A
(il est conseillé de commencer par ajouter à la première ligne, l’une après l’autre, les trois autreset d’observer la matrice obtenue afin de développer son déterminant).
III. Montrer que A est inversible et déterminer son inverse.
IV. On désigne par f l’application linéaire de R4vers lui-même dont la matrice standard est M=A-3I4.
a. Montrer que f n’est pas bijective.
La suite relève des chapitres 5 et 6
b. Déterminer le noyau de f et montrer qu’il possède une base formée d’un vecteur, on en choisiraun que l’on appellera v.
c. Déterminer le rang de M.
d. Déterminer trois vecteurs colonnes de M linéairement indépendants, on les désignera par(w1, w2, w3)
e. Montrer que B ′=(v, w1, w2, w3) constitue une base de R4 .
V. Exprimer les quatre vecteurs (ε1, ε2, ε3, ε4) de la base standard relativement à la nouvelle base B’.
corDeuxième devoir d’Algèbre linéaire
I. On désigne par A la matrice
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
.
1. A2=
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
=
3 2 2 22 3 2 22 2 3 22 2 2 3
2. Pour déterminer deux réels (u,v) tels que A2=uI+vA (et même vérifier s’il y en a) on pose
l’équation
3 2 2 22 3 2 22 2 3 22 2 2 3
=
u 0 0 00 u 0 00 0 u 00 0 0 u
+
0 v v v
v 0 v v
v v 0 v
v v v 0
, ce qui équivaut à
3= u
2= v.
3. On sait que M4(R) est un espace vectoriel et on désigne par F le sous-espace vectoriel Vect(I,A),montrer que I et A en constituent une base.
La définition de f en fait un espace vectoriel, engendré par I et A; pour montrer qu’ils en formentune base il suffit de montrer la liberté de cette famille; pour cela on pose xI + yA = 0, d’où
x 0 0 00 x 0 00 0 x 00 0 0 x
+
0 y y y
y 0 y y
y y 0 y
y y y 0
=
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
, par suite
x y y y
y x y y
y y x y
y y y x
=
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
et x=y=0.
II. Calculer le déterminant de A
|A|=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 3 3 31 0 1 11 1 0 11 1 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 10 -1 0 00 0 -1 00 0 0 -1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= -3.
III. Son déterminant est non nul donc A est inversible. et déterminer son inverse.
Le plus simple c’est d’exploiter le résultat de I.2. A2=3I+2A, d’où A(A − 2I) = 3I et donc
A((1/3)A− (2/3)I)= I; donc A−1=1/3(A− 2I)=
−2/3 2/3 2/3 2/32/3 −2/3 2/3 2/32/3 2/3 −2/3 2/32/3 2/3 2/3 −2/3
. On vérifie.
16
IV. On désigne par f l’application linéaire de R4vers lui-même dont la matrice standard est M=A-3I4.
a. Ecrivons la matrice standard de f M=
−3 1 1 11 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −3
, donc |M | =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−3 1 1 11 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=0 0 0 01 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −3
=0, donc f n’est pas bijective.
Voir chapitres 5 et 6
b. Pour déterminer le noyau de f on résoud le système f(x)=0 d’où la matrice augmentée
−3 1 1 1 01 −3 1 1 01 1 −3 1 01 1 1 −3 0
�
1 -3 1 1 0-3 1 1 1 01 1 −3 1 01 1 1 −3 0
�
1 -3 1 1 00 -8 4 4 00 4 −4 0 00 4 0 −4 0
�
1 -3 1 1 00 -2 1 1 00 1 −1 0 00 1 0 −1 0
�
1 -3 1 1 00 1 0 -1 00 1 −1 0 00 -2 1 1 0
�
1 0 -2 1 00 1 0 -1 00 0 −1 1 00 0 1 -1 0
�
1 0 0 -1 00 1 0 -1 00 0 −1 1 00 0 0 0 0
, d’où Ker(A)={(x4, x4, x4, x4), x4 ∈
R}=Vect(1, 1, 1, 1)=Vect(ε1+ ε2+ ε3+ ε4) ; il possède une base formée de ε1+ ε2+ ε3+ ε4=v.
c. Le rang de M est donc égal à 4-1=3
d. Montrons que les trois premiers vecteurs colonnes de M sont linéairement indépendants:
−3 1 1 01 −3 1 01 1 −3 01 1 1 0
�
1 -3 1 0-3 1 1 01 1 −3 01 1 1 0
�
1 -3 1 00 -8 4 00 4 −4 00 4 0 0
�
1 -3 1 00 -2 1 00 1 −1 00 1 0 0
�
1 -3 1 00 1 0 00 1 −1 00 -2 1 0
�
1 0 -2 00 1 0 00 0 −1 00 0 1 0
�
1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 0
, d’où 3 »1 » directeurs, donc une soluion unique 0,0,0, donc famille
libre.
On posera ω1= -3ε1+ ε2+ ε3+ ε4, ω2= ε1-3ε2+ ε3+ ε4, ω3= ε1+ ε2-3ε3+ ε4.
e. Pour montrer que B ′ = (v, w1, w2, w3) constitue une base de R4 , considérons la matrice
1 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −31 1 1 1
, montrons que l’équation
1 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −31 1 1 1
x1x2x3x4
=
0000
n’a que la solution nulle.
Calculons le déterminant:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 -3 1 11 1 -3 11 1 1 -31 1 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 -3 1 10 4 -4 01 1 1 -31 1 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 -3 -2 10 4 0 01 1 2 -31 1 2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 -2 11 2 -31 2 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 -2 01 2 -41 2 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
16∣
∣
∣
∣
1 -21 2
∣
∣
∣
∣
= 64
V. Exprimer les quatre vecteurs (ε1, ε2, ε3, ε4) de la base standard relativement à la nouvelle base B’.
Pour exprimer ε1 dans la base B ′=(v,w1,w2,w3) on cherche (a,b,c,d) tq ε1=av+bw1+ cw2+dw3,
ce qui conduit à un système d’équations linéaires
1 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −31 1 1 1
a
b
c
d
=
1000
; d’où la résolution :
1 −3 1 1 11 1 −3 1 01 1 1 −3 01 1 1 1 0
�
1 −3 1 1 10 4 −4 0 -10 4 0 −4 -10 4 0 0 -1
�
1 −3 1 1 10 1 −1 0 -1/40 4 0 −4 -10 4 0 0 -1
�
1 −3 1 1 10 1 −1 0 -1/40 0 4 −4 00 0 4 0 0
�
1 0 -2 1 1/40 1 −1 0 -1/40 0 4 −4 00 0 4 0 0
�
1 0 -2 1 1/40 1 −1 0 -1/40 0 1 −1 00 0 4 0 0
�
1 0 0 -1 1/40 1 0 -1 -1/40 0 1 −1 00 0 0 4 0
�
1 0 0 -1 1/40 1 0 -1 -1/40 0 1 −1 00 0 0 4 0
�
1 0 0 -1 1/40 1 0 -1 -1/40 0 1 −1 00 0 0 1 0
; donc ε1=1/4v-1/4w1.
17
Pour exprimer ε2 dans la base B ′=(v,w1,w2,w3) on cherche (a,b,c,d) tq ε2=av+bw1+ cw2+dw3,
ce qui conduit à un système d’équations linéaires
1 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −31 1 1 1
a
b
c
d
=
0100
; d’où la résolution :
1 −3 1 1 01 1 −3 1 11 1 1 −3 01 1 1 1 0
�
1 −3 1 1 00 4 −4 0 10 4 0 −4 00 4 0 0 0
�
1 −3 1 1 00 1 −1 0 1/40 4 0 −4 00 4 0 0 0
�
1 0 -2 1 3/40 1 −1 0 1/40 0 4 −4 −10 0 4 0 −1
�
1 0 -2 1 3/40 1 −1 0 1/40 0 1 −1 −1/40 0 4 0 −1
�
1 0 0 -1 1/40 1 0 -1 00 0 1 −1 −1/40 0 0 4 0
�
1 0 0 -1 1/40 1 0 -1 00 0 1 −1 −1/40 0 0 1 0
; d’où ε2=1/4v-1/4w2
Pour exprimer ε3 dans la base B ′=(v,w1,w2,w3) on cherche (a,b,c,d) tq ε3=av+bw1+ cw2+dw3,
ce qui conduit à un système d’équations linéaires
1 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −31 1 1 1
a
b
c
d
=
0010
; d’où la résolution :
1 −3 1 1 01 1 −3 1 01 1 1 −3 11 1 1 1 0
�
1 −3 1 1 00 4 −4 0 00 4 0 −4 10 4 0 0 0
�
1 −3 1 1 00 1 −1 0 00 4 0 −4 10 4 0 0 0
�
1 0 -2 1 00 1 −1 0 00 0 4 −4 10 0 4 0 0
�
1 0 -2 1 00 1 −1 0 00 0 1 −1 1/40 0 4 0 0
�
1 0 0 -1 1/20 1 0 -1 00 0 1 −1 1/40 0 0 4 −1
�
1 0 0 -1 1/20 1 0 -1 00 0 1 −1 00 0 0 1 −1/4
; d’où ε3=1/4v-1/4w3.
Et enfin pour exprimer ε4 dans la base B ′= (v, w1, w2, w3) on cherche (a,b,c,d) tq ε4=av+ bw1+
cw2+dw3, ce qui conduit à un système d’équations linéaires
1 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −31 1 1 1
a
b
c
d
=
0001
; d’où la
résolution :
1 −3 1 1 01 1 −3 1 01 1 1 −3 01 1 1 1 1
�
1 −3 1 1 00 4 −4 0 00 4 0 −4 00 4 0 0 1
�
1 −3 1 1 00 1 −1 0 00 4 0 −4 00 4 0 0 1
�
1 0 -2 1 00 1 −1 0 00 0 4 −4 00 0 4 0 1
�
1 0 -2 1 00 1 −1 0 00 0 1 −1 00 0 4 0 1
�
1 0 0 -1 1/20 1 0 -1 00 0 1 −1 00 0 0 4 1
�
1 0 0 -1 00 1 0 -1 00 0 1 −1 00 0 0 1 1/4
; d’où ε4=1/4v + 1/4w1 + 1/4w2 +
1/4w3.
En désignant par B la base standard et par B’ la base (v, w1, w2, w3)
PB,B ′=
1/4 1/4 1/4 1/4−1/4 0 0 1/4
0 −1/4 0 1/40 0 −1/4 1/4
tandis que PB ′,B=
1 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −31 1 1 1
(ne pas les confondre !!)
et on peut vérifier leur produit.
18
Algèbre linéaire d’un point de vue algorithmique
chapV. ESPACES VECTORIELS, BASES ET DIMENSIONS
(1 séance cours; 1.5 séances td)
1. Définitions
Définition 1. Espace vectoriel
Un ensemble V, muni de deux opérations, une addition et une multipli-cation par les scalaires
V ×V� V
(uQ,vQ)�u
Q+ vQ
R×V� V
(k,uQ)�ku
Q
sera appelée « espace vectoriel » si il existe un élément 0 de V et si pourtout (k,p)∈R2 et pour tout (u,v,w)∈V ×V ×V
1. uQ+vQ=vQ+uQ
2. (uQ
+vQ
)+wQ
= uQ
+(vQ
+wQ
)
3. 0Q +uQ
=uQ
+0Q=uQ
4. Il existe -uQdans V, u
Q+−u=0Q
5. k(uQ+vQ)=ku
Q+kv
Q
6. (k+p)uQ
=kuQ
+puQ
7.k(puQ)=(kp)u
Q
8.1uQ=uQ.
Exemples d’espaces vectoriels:
Pour tout entier strictement positif Rn
Pour tout couple d’entiers strictement positifs Mn,p(R)
L’ensemble des fonctions de R vers R
1
L’ensemble des fonctions continues de R vers R
L’ensemble des polynômes à coefficients réels R[X ]
Théorème 2. Soit un espace vectoriel V, un scalaire k, un vecteur uQ
0.uQ
=0Q
k.0Q=0Q
(-1)uQ
=-uQ
Si k.uQ
=0Q , k est le scalaire nul ou uQ
est le vecteur nul.
2
2. Sous-espaces vectoriels
Définition 3. sous-espace vectoriel de
Un sous-ensemble W d’un espace vectoriel V est un sous-espace vec-
toriel de V lorsqu’il est un espace vectoriel pour les opérations de V.
Théorème 4. Caractérisation des sous-espaces vectoriels
Soit V un espace vectoriel et W un sous-ensemble de V, W est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si:
i) 0Q ∈W
ii) ∀(uQ
, vQ
)∈W ×W ,uQ
+ vQ
∈W
iii) ∀(k, uQ
)∈R×W , kuQ
∈W
On en déduira qu’un sous-espace vectoriel d’un espace vecto-
riel est un espace vectoriel lui-même.
(remarque :il vaut mieux vérifier 4 conditions que 8 conditions)
Exercice 1. Soit un entier n>1 et Sn l’ensemble des matrices symétriques à nlignes et colonnes; montrer que c’est un sous-espace vectoriel de Mn,n(R).
Exercice 2. Soit un entier n et Rn[X ] l’ensemble des polynômes à coefficientsréels et de degré inférieur ou égal à n ; montrer que c’est un sous-espace vectorielde R[X ].
Exercice 3. SoitR[X] et l’ensemble des polynômes de degré 3; expliquer pourquoi ce n’est pas un sous-espace
vectoriel de R[X ].
Théorème 5. L’espace vectoriel des solutions d’un système d’équationslinéaires homogènes
Soit A ∈ Mn,p(R), l’ensemble des solutions du système AX=0 est unsous-espace vectoriel de Rp.
3
3. Combinaison linéaire
Définition 6. Combinaison linéaire
Dans un espace vectoriel un vecteur w est appelé combinaison linéairedes vecteurs (v1, , vt) lorsqu’il existe des scalaires (λ1, , λt) tels quew=λ1v1+ +λtvt.
Théorème 7. Soient des vecteurs (v1Q , , vtQ ) dans un espace vectorielV; alors l’ensemble W des combinaisons linéaires des vecteurs (v1Q , , vtQ )est un sous-espace vectoriel de V.
W sera noté Vect(v1Q , , vtQ ) et appelé le sous-espace vectoriel engendrépar les vecteurs(v1Q , , vtQ ).
C’est le plus petit sous-espace vectoriel de V qui contienne les vecteurs(v1Q , , vtQ ).
On dira aussi que les vecteurs (v1Q , , vtQ ) forment une famille génératricede W.
Exercice 4. Soient dansR3 les vecteurs t1Q =
111
, t2Q =
101
, t3Q =
110
, t4Q =
00-1
;
déterminer s’ils forment une famille génératrice de R3.
4
Solution. posons le système x1t1Q + x2t2Q + x3t3Q + x4t4Q = vQ et cherchons s’il a dessolutions pour tous les seconds membres vQ possibles
écrivons la matrice du système
1 1 1 01 0 1 01 1 0 -1
�
1 1 1 00 -1 0 00 0 -1 -1
�
1 1 1 00 1 0 00 0 -1 -1
�
1 0 1 00 1 0 00 0 -1 -1
�
1 0 1 00 1 0 00 0 1 1
�
1 0 0 -10 1 0 00 0 1 1
; il y a trois « 1 directeurs »
donc quel que soit v le système a des solutions; donc c’est une famille génératricede R3
Exercice 5. Même question pour les vecteurs zQ1 =
111
, z2Q =
101
, z3Q =
212
,
z4Q =
0-20
5
Solution. posons le système x1z1Q + x2z2Q + x3z3Q + x4z4Q = vQ et cherchons s’il a dessolutions quel que soit le second membre vQ
écrivons la matrice du système
1 1 2 01 0 1 -21 1 2 0
�
1 1 2 00 -1 -1 -20 0 0 0
�
1 1 2 00 1 1 20 0 0 0
; il n’y a
3 « 1 directeurs » donc
on voit il y aura des cas où le système n’a pas de solutions donc ce n’est pas unefamille génératrice de R3
Théorème 8. Deux familles génératrices d’un même espace vectoriel
Soient dans l’espace vectoriel V les familles de vecteurs S = (v1Q , , vtQ )
et S ′=(
v1′Q , , vs
′Q
)
; alors
Vect(v1Q , , vtQ ) = Vect(
v1′Q , , vs
′Q
)
si et seulement si tout vecteur de S
est une combinaison linéaire de vecteurs de S’ et tout vecteur de S’ estune combinaison linéaire de vecteurs de S.
6
4. Indépendance linéaire
Remarque 9. Soit dans un espace vectoriel V une famille de vecteursS=(v1Q , , vtQ ), alors forcément 0v1Q +0v2Q + + vtQ )=0Q .
Définition 10. Indépendance linéaire
Soit dans un espace vectoriel V une famille de vecteurs S = (v1Q , , vtQ ),on dira qu’elle est linéairement indépendante lorsque la seule solution àl’équation λ1v1Q + λtvtQ )=0Q est λ1=λ2= =λt=0.
On dira aussi que cette famille est libre.
Exercice 6. Soient dans R3 les vecteurs v1Q =
111
, v2Q =
101
, v3Q =
010
;
déterminer s’ils forment une famille libre ou liée.
7
Solution. on pose donc le système x1v1Q + x2v2Q + x3v3Q = 0Q , c’est à dire , sous
forme matricielle
1 1 0 01 0 1 01 1 0 0
; échelonnons
1 1 0 01 0 1 01 1 0 0
�
1 1 0 00 -1 1 00 0 0 0
déjà qu’il n’y
aura pas trois « 1 directeurs », donc le système, qui a forcément la solution nulle(x1=x2= x3=0) n’aura pas de solution unique, donc la famille est liée.
Remarque 11. Une famille qui contient le vecteur nul n’est pas linéai-rement indépendante (on dira aussi qu’elle est liée).
Exercice 7. Soient dans R3 les vecteurs wQ 1 =
111
, w2 =
1-101
, w3 =
011
;
déterminer s’ils forment une famille libre ou liée.
Solution. on pose le système on pose donc le système x1w1 + x2w2 + x3w3 = 0Q ,
c’est à dire , sous forme matricielle
1 1 0 01 -10 1 01 1 1 0
; échelonnons
1 1 0 00 -11 1 00 0 1 0
�
1 1 0 00 1 -1/11 00 0 1 0
; trois « 1 directeurs », donc solution unique x1=x2=x3=0; la famille
est libre.
Théorème 12. Caractérisation des familles liées
Soit dans un espace vectoriel V une famille de vecteurs S = (v1Q , , vtQ );elle est liée si et seulement si au moins un des vecteurs est combinaisonlinéaire des autres.
OUI, mais lequel ?
8
Théorème 13. Interprétation géométrique de la dépendance linéairedans Rn
Soit dans Rn une famille de vecteurs S = (v1, , vt) où v1Q =
v11v21
vn1
,
v2Q =
v12v22
vn2
,.., vkQ =
v1kv2k
vnk
,..,vtQ =
v1tv2t
vnt
.
La famille S = (v1Q , , vtQ ) est libre si et seulement si le système
v11x1+ v12x2+ .+ v1txt=0v21x1+ v22x2+ .+ v2txt=0
vn1x1+ vn2x2+ .+ vntxt=0
ne possède que la solution nulle.
D’où
Théorème 14. Dans Rn une famille de vecteurs de plus de n élémentsest nécessairement liée.
5. Bases et dimension
Définition 15. Base d’un espace vectoriel
Soit un espace vectoriel V et la famille de vecteurs S=(v1Q , , vtQ ).
On dit que S est une base de V lorsque S est libre et génératrice deV (cad Vect(S)=V).
9
A QUOI SERVENT LES BASES ?
Théorème 16.
Soit un espace vectoriel V et S=(v1Q , , vtQ ) une famille de vecteurs de V.
Tout vecteur wQde V s’exprime de manière unique comme combinaison
linéaire d’éléments de S: wQ
=λ1v1Q + +λtvtQ si et seulement si S est unebase de V.
Définition 17. Coordonnées d’un vecteur par rapport à une base
Les coefficients (λ1, , λt) sont appelés les « coordonnées » de wQ
parrapport à la base S.
Exemple 18. FONDAMENTAL
Dans Rn la base standard est une base
si n=4, ε1=
1000
, ε2=
0100
, ε3=
0010
, ε4=
0001
est une base
1. Elle est libre car, si x1
1000
+ x2
0100
+ x3
0010
+x4
0001
=
0000
, alors
x1
x2
x3
x4
=
0000
, d’où
x1=0x2=0x3=0x4=0
2. Elle est génératrice car le système x1
1000
+ x2
0100
+ x3
0010
+x4
0001
=
a
b
c
d
a toujours des
solutions comme le prouve son écriture matricielle
1 0 0 0 a
0 1 0 0 b
0 0 1 0 c
0 0 0 1 d
.
c’est donc une base.
3. Dans cette base les coordonnées de
x1
x2
x3
x4
sont justement x1, x2, x3 et x4
Exercice 8.
Soient dans R3 les vecteurs wQ 1=
111
, w2=
1-101
, w3=
011
; nous avons déjà vu qu’elle est libre
1. Montrer qu’elle est génératrice.
2. Soit le vecteur xQ =
123
; déterminer ses coordonnées dans la base W=(w1, w2, w3).
10
3. Même question pour yQ =
020
Définition 19. Dimension finie
Soit un espace vectoriel V; on dit que V est de dimension finie lorsqu’ilpossède une base finie; sinon on dira qu’il est de dimension infinie.
Théorème 20.
Soit un espace vectoriel V de dimension finie et S=(v1Q , , vtQ ) une basede V.
1) Toute famille de V qui possède plus de t éléments est liée.
2. Aucun sous-ensemble de moins de t éléments ne peut engendrer V.
Donc toutes les bases de V ont le même nombre d’éléments.
Définition 21. Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie:
C’est le nombre d’éléments de chacune de ses bases.
Par convention la dimension de{
0Q}
est 0.
Exercice 9. Déterminer la dimension de Rn
ouf !
Exercice 10. On désigne par Rn[X ] l’espace vectoriel des polynômes de degréinférieur ou égal à n; montrer que (1, X , X2, , Xn) en constitue une base etdonc déterminer sa dimension.
Solution. tout polynôme de Rn[X ] s’écrit (et forcément de manière unique)∑
k=0
nakX
k, donc les vecteurs (1, X , X2, , Xn) en forment une base et la dimen-sion de Rn[X ] est N+1 !!!attention
Remarque 22. On admettra , pour éviter des vérifications fastidieuses,
que Mp,n(R) a comme base la famille des matrices Mij=
0 0 00 0
1 0
0
0 0 0 0
(
un seul terme non nul , égal à 1, à la i-ème ligne, j-ème colonne); doncla dimension de Mp,n(R) est pn.
11
Note 23. (entre nous)
La dimension d’un espace vectoriel c’est lenombre d’informations indépendantes néces-saires pour y connaître un élément)
{ IMPORTANT mais difficile
Proposition 24. Soit V un espace vectoriel et S une famille de vecteursde V.
1. Si S est libre et si vQ� Vect(S), S∪{v
Q} reste libre.
2. Si vQ
est combinaison linéaire de vecteurs de S\{vQ},
Vect(S)=Vect(S\{vQ}).
}
IMPORTANT mais facile
Théorème 25. Caractérisation des bases d’un espace vectoriel dedimension n
Soit V un espace vectoriel de dimension n et S une famille de vecteursde V contenant exactement n vecteurs; les affirmations suivantes sontéquivalentes:
1. S est une base de V.
2. S engendre V.
3. S est libre.
12
Théorème 26.
Comment reconnaître une base ?
Soit dans Rn une famille de vecteurs S = (v1, , vn) où v1Q =
v11
v21
vn1
, v2Q =
v12v22
vn2
,.., vkQ =
v1kv2k
vnk
,..,vnQ =
v1tnv2n
vnn
.
La famille S = (v1Q , , vnQ ) est libre si et seulement si le système
v11x1+ v12x2+ .+ v1nxn= b1
v21x1+ v22x2+ .+ v2nxn= b2
vn1x1+ vn2x2+ .+ vnnxn= bnn
a une solution unique pour tout b=( b1, ., bn )
C’est à dire si et seulement si le déterminant
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
v11 v1nv21
.
vn1 vnn
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
� 0.
Exercice 11. On considère l’espace vectoriel R3[X ]
a. Rappeler sa dimension (cf exercice au-dessus)
b. Soient les polynômes P0 = (X-1)(X-2)(X-3), P1=X(X-2)(X-3),P2=X(X-1)(X-3),P3=X(X-1)(X-2) , montrer qu’ils forment une famille libre
c. Montrer qu’ils forment une base de R3[X ].
Solution.
a. 4
b. soient (x0, x1, x2, x3) tels que x0P0+x1P1+x2P2+x3P3=0 alors, en particulier,
(x0P0 + x1P1 + x2P2 + x3P3)(0) = 0 , d’où , en calculant, x0(0-1)(0-2)(0-3)+ 0+0+0=0; d’où -6x0=0 donc x0=0
13
(x0P0 + x1P1 + x2P2 + x3P3)(1) = 0 , d’où, en calculant, 0+ x1(1)(1-2)(1-3)+0+0=0; d’où 2x1=0, donc x1=0
(x0P0+x1P1+x2P2+x3P3)(2)=0 , d’où, en calculant, 0+0+x2(2)(2-1)(2-3)+0=0;d’où -2x2=0, donc x2=0
(x0P0+x1P1+x2P2+x3P3)(3)=0 , d’où, en calculant, 0+0+0+x3(3)(3-1)(3-2)=0;d’où 6x3=0, donc x3=0.
la famille est donc libre.
c. voir « caractérisation des bases des espaces vectoriels de dimension finie »
Théorème 27. régime minceur régime gourmand
Soit V un espace vectoriel de dimension finie et S une famille finie de V.
1. Si S engendre V sans être libre on peut rétrécir S en une base de V.
2. Si S est libre mais pas génératrice on peut la compléter en une basede V.
Exercice 12. Soit dans R4 la famille v1=
1101
, v2=
1011
Si elle liée, c’est fini, mais si elle est libre, la compléter en une base de R4.
Exercice 13. Soit dans R4 la famille u1=
1111
, u2=
1001
, u3=
0111
, u4=
1000
,
u5=
0001
.
a. Si elle est libre passer à b, mais si elle est liée, la rétrécir en une famille librepuis passer à b.
b. Et maintenant est-elle une base de R4?
Solution. a. u1-u3-u4=(0) donc cette famille est liée,
b. retirons par exemple u1; cherchons si (u2, u3, u4, u5) est libre
14
étudions le système x2u2 + x3u3 + x4u4 + x5u5 = (0) : det
1 0 1 00 1 0 00 1 0 01 1 0 1
= 1(-
1)4+4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 10 1 00 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=0
et si on continue à retirer il y aura une famille de 3 vecteurs qui ne peut pas engendrerR
4.
D’où
Théorème 28. Inclusion et dimensions
Soit un espace vectoriel de dimension finie V et un sous-espace vectorielW.
1. dim(W)6dim (V )
2. Si dim(W)=dim(V) alors V=W. (important)
6. Coordonnées d’un vecteur dans une base
Définition 29. Coordonnées
Soit un espace vectoriel E et la base B=(e1, e2, ., en)
Tout vecteur v s’écrit de manière unique v= x1e1+ x2e2+ .+ xnen.
Les scalaires (x1, x2, ., xn) s’appellent les coordonnées de v dans la base B.
Exemple 30. Soit R3[X]
1. On connaît sa base C=(1, X ,X2, X3)
Dans la base C
les coordonnées du polynôme −6+ 11X − 6X2+X3 sont (-6,11,-6,1)
les coordonnées du polynôme 6X − 5X2+X3 sont (0,6,–5,1)
les coordonnées du polynôme 3X − 4X2+X3 sont (0,3,-4„1)
les coordonnées du polynôme 2X − 3X2+X3 sont (0,2,-3,1)
2. On connaît sa base C ′ formée des vecteurs P0=(X-1)(X-2)(X-3), P1=X(X-2)(X-3),P2=X(X-1)(X-3),P3=X(X-1)(X-2)
Dans la base C ′
−6+ 11X − 6X2+X3=P0=1P0+0P1+0P2+0P3,
donc cette base les coordonnées de −6+ 11X − 6X2+X3 sont (1,0,0,0)
de même 6X − 5X2+X3=P1=0P0+1P1+0P2+0P3
donc dans cette base es coordonnées du polynôme 6X − 5X2+X3 sont (0,1,0,0)
15
Le polynôme X=0P0+1
2P1−P2+
1
2P3; ses coordonnées dans cette base sont (0, 1/2,−1, 1/2)
6. Matrice de passage d’une base à une autre
Définition 31. Matrice de passage
Soit un espace vectoriel E et deux bases différentes
B=(e1, e2, ., en) et B′=(e1
′ , e2′ , ., en
′ )
On désigne par PBB ′ la matrice dont les colonnes représentent les coordonnées dans cet ordre de
e1′ , e2
′ , ., en′ dans la base B.
Exemple: E =R4, B= (ε1, ε2, ., ε4) est la base standard et ε1′ = ε1+ ε2, ε2
′ = ε2− ε3, ε3′ = ε3+ ε4,
ε4′ = ε1+5ε4.
On admet que B ′=(ε1′ , ε2
′ , ., ε4′ ) est une base PBB ′=
1 0 0 11 1 0 00 −1 1 00 0 1 5
Théorème 32. Comment changent les coordonnées d’un vecteur lorsqu’on change de base ?
Soit un espace vectoriel E et deux bases différentes B=(e1, e2, ., en) et B ′=(e1′ , e2
′ , ., en′ ).
Soit un vecteur v de E
On désigne par vB le vecteur colonne des coordonnées de v dans la base B
on désigne par vB ′ le vecteur colonne des coordonnées de v dans la base B’
alors vB=PBB ′vB’
Exemple 33. Avec les notations de l’exemple précédent
On considère le vecteur v=ε1′ +2ε2
′
vB ′=
1200
; exprimons v relativement à la base B’, v=(ε1+ ε2)+ 2(ε2− ε3)= ε1+3ε2− 2ε3
donc vB=
13−20
Vérifions la formule
13−20
=
1 0 0 11 1 0 00 −1 1 00 0 1 5
1200
Problème 1.
On considère l’espace vectoriel R4 et sa base standard ε1Q =
1000
, ε2Q =
0100
, ε3Q =
0010
, ε4Q =
0001
.
16
1. Montrer que les vecteurs α1=
1100
, α2=
0110
, α3=
0011
, α4=
0001
forment une base que l’on désignera
par A.
2. Montrer que les vecteurs β1=
1010
, β2=
0101
, β3=
0010
, β4=
1121
ne forment pas une base.
Problème 2.
On considère l’espace vectoriel R3[X] dont on admettra que les polynômes (1,X,X2,X3) forment une base que
l’on désignera par C.
1. Montrer que les polynômes (1+X,X +X2,X2+X3, X3) en forment une base de R3[X ] que l’on désignera
par D.
2. Montrer que les polynômes (1+X2,X +X3, X2, 1+X +2X2+X3) ne forment pas une base de R3[X ].
Travaux Dirigés
Exercice 14. Soit A∈ M3,4(R), montrer que l’ensemble K = {B ∈M4,4(R),AB=0}, muni de l’addition des
matrices et du produit des scalaires par les matrices, est un espace vectoriel.
Exercice 15. Soit dans R4 la famille constituée par les vecteurs v1 =
1−11−1
, v2 =
2−21−1
, v3 =
100−1
,
v4=
0−110
, que feriez-vous pour montrer qu’elle n’est pas génératrice de R4 ?
Vous terminerez cet exercice avec Maxima.
Exercice 16. Soit dansR4 la famille constituée par les vecteurs v1=
1−11−1
, v2=
2−21−1
, v3=
100−1
, v4=
0110
,
que feriez-vous pour montrer qu’elle est libre dans R4 ?.
Vous terminerez cet exercice avec Maxima
Exercice 17. Soit dans Rn une famille libre (v1, , vp), montrer que la famille (v1, , vp−1) est aussi libre.
Exercice 18. Soit dans Rn une famille génératrice (v1, , vp) et un vecteur w tel que w=λ1v1 +
λ2v2+λp−1vp−1+ vp, montrer que la famille (v1, , vp−1, w) est aussi génératrice.
Exercice 19. Soit dans R4 la famille constituée par les vecteurs v1=
101−1
, v2=
1−11−1
.
On voit vite qu’elle est libre dans R4, la compléter en une base de R4.
Exercice 20. Soit dans R4 l’ensemble E={x= x1ε1+ x2ε2+ x3ε3+x4ε4, x1+2x2+ x3+4x4=0}
a. Montrer que E est un espace vectoriel.
b. Déterminer une base et la dimension de E.
Exercice 21. Soit A=
1 −1 11 1 −1
−1 −1 1
a. On pose F = {X ∈M3,1(R),AX=0}; on voit vite que F est un espace vectoriel„ déterminer une base de F
et sa dimension.
Rappeler comment il est dénommé dans le cours.
b. On pose G= {M ∈M3,2(R),AM=0}; on voit vite que G est un espace vectoriel, déterminer une base de G
et sa dimension.
Rappeler comment il est désigné dans le cours.
Exercice 22. Soit E=R4 et B=(ε1, ε2, ε3, ε4) la base standard
17
On pose ε1′ = ε1+ ε3, ε2
′ = ε2+ε4, ε3′ = ε4+ ε1, ε4
′ = ε3+ ε4;
1. Montrer qu’ils forment une base que l’on désignera par B ′
2. Déterminer PBB ′
3. Soit v=2ε2′ +3ε3
′ − 2ε4′ , déterminer le vecteur colonne de ses coordonnées dans B ′, puis, en utilisant la bonne
formule, dans B.
REVISION
Exercice 23.
Soit la matrice A=
0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 −10 0 0 1 0 10 0 0 0 1 −1
et l’application linéaire fA :R6� R
6.
a. Montrer que le déterminant de A est nul.
b. Déterminer si fA est injective, surjective.
e. On désigne par g l’application composée fA ◦fA ; déterminer sa matrice standard, que l’on désignera par G.
f. Prouver, sans calcul que det(G)=0.
i. On désigne par h l’application composée g ◦fA ; déterminer sa matrice standard, que l’on désignera par H.
j. Mêmes questions pour h que les questions f,g,h,
k. On désigne par m l’application composée h ◦fA ; déterminer sa matrice standard, que l’on désignera par M.
l. Mêmes questions.
Exercice 24. On considère l’espace vectoriel R4, sa base standard B=(ε1, ε2, ε3, ε4) et la famille de vecteurs
(ω1, ω2, ω3, ω4), définie par ω1=
1010
, ω2=
1110
, ω3=
0001
, ω4=
1001
.
a. Montrer que ces vecteurs forment une base que l’on notera B ′.
b. Déterminer la matrice de passage PBB ′.
c. Déterminer la matrice de passage PB ′B.
d. Le vecteur v a pour expression ε1+ 2ε2− 2ε3+ ε4; déterminer son expression dans la base B ′.
e. Le vecteur w a pour expression 3ω1+ 4ω2− 5ω3+ω4; déterminer son expression dans la base B′.
Objectifs:
1. Connaître la définition d’espace vectoriel et savoir déterminer si un ensemble est (ou n’est pas)un espace vectoriel.
2. Savoir ce qu’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel, utiliser cette notion pour recon-naître des espaces vectoriels.
3. Savoir ce qu’est une combinaison linéaire de vecteurs d’un espace vectoriel, savoir déterminer siun vecteur est combinaison linéaire de vecteurs donnés.
4. Savoir ce qu’est le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs; savoir déterminersi une famille de vecteurs de V est génératrice de V.
5. Savoir ce qu’est une famille libre de vecteurs d’un espace vectoriel, savoir déterminer si unefamille de vecteurs est libre.
6. Savoir ce qu’est une base, savoir ce qu’est la dimension d’un espace vectoriel de dimension finie;savoir utiliser l’inclusion et la dimension.
18
7. Savoir déterminer si une famille de vecteurs de V est une base, en utilisant éventuellement lesinformations: nombre d’éléments, liberté, génératrice.
8. Savoir ce que sont les coordonnées d’un vecteur dans une base
9. Savoir ce qu’est la matrice de passage d’une base à une autre; savoir la trouver.
8. Activité informatique Maxima
Exercice 25. On considère l’espace vectoriel E=R6 et sa base standard B=(ε1,ε2,ε3, ε4, ε5,ε6)
1. Soit la famille de vecteurs:
v1= ε1+ε2+ε3+ ε4+ ε5+ ε6
v2= ε1+2ε2+3ε3+4ε4+5ε5+6ε6
v3= ε1+3ε2+4ε3+5ε4+6ε5+ 7ε6
v4= ε1+4ε2+5ε3+6ε4+7ε5+ 8ε6
v5= ε1+5ε2+6ε3+ 7ε4+8ε5+9ε6
v6= ε1+6ε2+7ε3+ 8ε4+ 9ε5+ 10ε6
Déterminer à l’aide de Maxima si c’est une base de E
Et sans Maxima ?
2. Soit la famille de vecteurs:
w1= ε1+ε2+ε3+ ε4+ ε5+ ε6
w2= ε1+2ε2+4ε3+8ε4+ 16ε5+ 32ε6
w3= ε1+3ε2+6ε3+ 12ε4+ 24ε5+ 48ε6
w4= ε1+4ε2+8ε3+ 16ε4+ 32ε5+64ε6
w5= ε1+5ε2+10ε3+ 20ε4+ 40ε5+ 80ε6
w6= ε1+6ε2+12ε3+ 24ε4+ 48ε5+ 96ε6
Déterminer à l’aide de Maxima si c’est une base de E
et sans Maxima ?
3. Soit la famille de vecteurs:
z1= ε1+ε2+ε3+ ε4+ ε5+ ε6
z2= ε1−ε2+ε3− ε4+ ε5− ε6
z3= ε1+2ε2+4ε3+8ε4+16ε5+ 32ε6
z4= ε1− 2ε2+4ε3− 8ε4+ 16ε5− 32ε6
z5= ε1+3ε2+9ε3+ 27ε4+ 81ε5+ 243ε6
z6= ε1−3ε2+9ε3−27ε4+ 81ε5− 243ε6
Montrer à l’aide de Maxima que c’est une base de E: B’
4. Et la famille (z3,z6,z1, z4, z5,z2) ? B”
et sans Maxima ?
5. Dans le cas où on a affaire à une base donner chaque fois les deux matrices de passage
a. de la base standard à la nouvelle base
b de la nouvelle base à la base standard
6. Soit le vecteur t= ε1+ε2+5ε3+10ε4+ 20ε5+40ε6
déterminer avec Maxima ses coordonnées dans chacune des « nouvelles bases » B’ et B”
19
9. Problèmes de révision
Ce premier problème a pour objectif de montrer que les connaissances du cours permettent parfoisd’éviter de longs calculs.
Exercice 26.
Soit l’espace vectoriel R4 muni de sa base standard B= (ε1, ε2, ε3, ε4) et l’application linéaire f de R4 vers R4
définie par les données suivantes:
f(ε1)=ε2 ,f(ε2)= ε1+ ε3, f(ε3)=ε2+ε4, f(ε4)=ε3.
a. Déterminer la matrice standard de f , que l’on désignera par M.
b. Déterminer le déterminant de M.
c. Déterminer ( si possible sans calcul) le noyau de M .
d. Montrer (si possible sans nouveau calcul) que les vecteurs colonnes de M sont linéairement indépendants.
e. Montrer (si possible sans calcul) que les vecteurs v1 = ε2 , v2=ε1+ ε3, v3=ε2+ε4, v4 = ε3 forment une base
de R4 que l’on désignera par B ′.
f. Déterminer la matrice de passage PBB ′.
g. Exprimer ε1, ε2, ε3, ε4 en fonction de v1, v2, v3, v4.
h. En déduire PB ′B.
i. Déterminer si M est inversible, et si oui déterminer (si possible sans calcul) M−1.
j. Soit b=
1234
, justifier l’existence (ou la non-existence) d’un vecteur X de R4 tel que MX=b.
k. Si X existe, le déterminer avec un minimum de calculs.
Solution.
a. La matrice standard de f est celle dont les colonnes contiennent les images des vecteurs de la base standard
donc M=
0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0
.
b. Nous allons développer det(M) suivant la première colonne ( car il n ’ y a qu’un terme non nul):
det(M)=1(-1)3∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 01 0 10 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
; on continue suivant la première ligne
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 01 0 10 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=1∣
∣
∣
∣
0 11 0
∣
∣
∣
∣
=−1; d’où det(M)=(-1)×(−1)=1.
c. Dans ce cas M est inversible, donc injective, d’oùKer(M)={X,MX=(0)} ne contient qu’un élément le vecteur nul.
d. Pour savoir si les vecteurs colonnes de M, que je désignerai par M1,M2,M3,M4 , sont liées ou pas on considère des
scalaires (a,b,c,d) tels que aM1+ bM2+cM3+dM4=(0). Or aM1+ bM2+cM3+dM4=M
a
b
c
d
; donc nus avons supposé
queM
a
b
c
d
=
0000
, mais commeM est injective il en découle que
a
b
c
d
=
0000
, d’où ces vecteurs colonnes sont libres.
e. Les vecteurs v1= ε2 , v2=ε1+ ε3, v3=ε2+ε4, v4= ε3 sont justement les vecteurs colonnes de M, nous venons de
montrer qu’ils sont libres, il s’agit de quatre vecteurs libres dansR4, qui est de dimension 4, donc c’est une base deR4.
f. La matrice de passage PBB ′ est la matrice dont les colonnes représentent dans la base B les vecteurs de la base
B ′, donc c’est exactement la matrice M.
g. Nous savons que v1= ε2 , v2=ε1+ ε3, v3=ε2+ε4, v4= ε3, ce qui nous donne déjà ε2= v1 et ε3=v4; pour les deux
autres il suffit d’éliminer ε3 entre les deux égalités : v2=ε1+ ε3 et ε3=v4, d’où ε1=v2-v4 et, de même, ε4=−v1+ v3.
h. Pour construire PB ′B il suffit de savoir exprimer les vecteurs de B en fonction de ceux de B′, c’est juste ce que
nous venons de faire:
20
ε1= v2-v4, ε2= v1, ε3=v4, ε4=−v1+ v3; donc nous connaissons les colonnes de PB ′B: donc PB ′B=
0 1 0 −11 0 0 00 0 0 1−1 0 1 0
.
i. Nous savons, depuis le c queM est inversible ( sinon elle est inversible car c’est unematrice de changement de base);
et nous savons aussi( cf cours) que PB ′B=
PBB’)−1, et PBB ′=M; donc M−1=
PBB’)−1=PB ′B=
0 1 0 −11 0 0 00 0 0 1−1 0 1 0
.
Remarque: sinon il fallait poser
0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0
x1x2x3x4
=
y1y2y3y4
et résoudre ce système pour en déduire M−1.
j. Comme M est inversible MX=b est équivalent à X=M−1b.
k. Donc X=
0 1 0 −11 0 0 00 0 0 1
−1 0 1 0
1234
=
2− 414
−1+ 3
=
−2142
Exercice 27.
Toutes les matrices considérées sont dans M3(R).
Définition 34. Une matrice M=(aij )∈M3(R) est dite magique lorsque les huit sommes suivantes sont égales:
a11 +a12+ a13a21 +a22+ a23a31 +a32+ a33a11 +a21+ a31a12 +a22+ a32a13 +a23+ a33a11 +a22+ a33a31 +a22+ a13
sont égales.
Une matrice M=(aij )∈M3(R) est symétrique lorsque M = Mt et antisymétrique lorsque M =− Mt .
On définit les trois matrices: A=
−1 2 −10 0 01 −2 1
, B=tA et C =
1 1 11 1 11 1 1
.
1. Sont-elles magiques ? symétriques ? antisymétriques ?
2. Soit M=(aij)∈M3(R) montrer que M ′=M + Mt
2et M ′′=
M − Mt
2; les utiliser pour établir que toute matrice
est la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique; montrer que cette décomposition est
unique.
solution:
i. on remarque queM’ est symétrique, car égale à sa transposée etM” antisymétrique car opposée à sa transposée.
ii. l’unicité ? Si M=S+A, où S est symétrique et A antisymétrique, alors tM=S-A, d’où 2S=M+t
M et 2A=M-t
M
donc S=M’ et A=M”, ce qui établit l’unictié
3. Soit MAG l’ensemble des matrices magiques, montrer que
i) MAG est un espace vectoriel
voir caractérisation des sous ev
ii) la transposée d’une matrice magique est une matrice magique
voir def des matrices magiques et faire un schéma pour se convaincre
iii) si M ∈MAG il en est de même pour M ′ et M” (définies au dessus).
découle du i)
4. Montrer que les matrices qui sont à la fois magiques et antisymétriques forment un espace vectoriel de
dimension 1 dont vous déterminerez une base, que l’on désignera par A .
Soit M magique et antisymétrique elle a nécessairement l’air suivant :
0 −a aa 0 −a
−a a 0
=a
0 −1 11 0 −1−1 1 0
, d’où on
prend A=
0 −1 11 0 −1−1 1 0
.
21
5. Montrer que les matrices qui sont à la fois magiques et symétriques et dont la trace est nulle forment un
espace vectoriel de dimension 1 dont vous déterminerez une base que l’on désignera par S.
SoitMmagique et symétrique et de trace nulle, elle a nécessairement l’air suivant :
a b −a− b
b 2a+2b −2a− 3b−a− b a −3a− 2b
, ce
qui vérifie 6 conditions et il faut en plus que -6a-6b=0, -3a-3b=0, d’où il faut b=-a; c’est à dire
a −a 0−a 0 a
0 a −a
=
a
1 −1 0−1 0 10 1 −1
; on posera S =
1 −1 0−1 0 10 1 −1
.
6. Soit une matrice M, magique et symétrique, dont la trace est égale à t, montrer qu’elle est la somme d’un
multiple de S et d’un multiple de C.
M=(M-tC/3)+tC/3 et (M-tC/3) vérifie les hyppothèses du 5 donc c’est un multiple de S.
7. En déduire une base B de l’espace vectoriel MAG et sa dimension.
synthèse du 2,3,4 et du 6
Si M est magique , elle est la somme d’une symétrique M’ et d’une antisymétrique M” (2), celles-ci sont
magiques (3), la première est une combinaison linéaire de S et C, la seconde est un multiple de A, donc M est
une combinaison linéaire de ces trois matrices; donc elles forment une famille génératrice de MAG.
Soient (a,c,s) telles que aC+cC+sS=(0) alors (0) est la somme d’une symétrique aC+sS et d’une antitymé-
trique aA; or (0)=(0)+(0), et la décomposition entre symétrique et antisymétrique est unique donc aA=(0) et
cC+sS=(0), d’où a=0
pour le reste on a cC+sS=
c c c
c c c
c c c
+
s −s 0−s 0 s
0 s −s
=
c+ s c− s c
c− s c c+ s
c c+ s c − s
, si cette matrice est nulle, c est nul,
et alors s aussi
nous avons donc une base de MAG: A, C, S.
et donc sa dimension :3.
8. Montrer que (A,B,C) forment une base B ′ de MAG; comme la dimension de MAG est 3, il suffit de montrer
que cette famille est génératrice, et pour cela qu’elle engendre A, B, C:
Or
A=(1/2)A− (1/2)B+0C
S =(−1/2)A+(−1/2)B+0C
C =1C
9. Déterminer les deux matrices de passage PBB ′ et PB ′B.
PBB ′=
1/2 −1/2 0−1/2 −1/2 0
0 0 1
et PB ′B est son inverse
1 −1 0−1 −1 00 0 1
22
Algèbre linéaire d’un point de vue algorithmique
chapVI. NOYAU ET IMAGE D’UNE APPLICATION LINEAIRE
(1 séance cours; 1.5 séance td)
1. Espace des lignes et espace des colonnesd’une matrice
Définition 1. Vecteurs lignes et vecteurs colonnes d’unematrice
Soit la matrice A=
a11 a12 a1p
ai1 ai2 . aip
an1 an2 . anp
.
1. Les vecteurs l1Q = (a11, , a1p), l2Q = (a21, , a2p), .., liQ = (ai1, ,
aip),..,lnQ =(an1, , anp) sont appelés vecteurs-lignes de A.
Les vecteurs c1Q =
a11
ai1
an1
, ..,cjQ =
a1j
aij
anj
,..,cpQ =
a1p
aip
anp
sont appelés
vecteurs-colonnes de A.
2. Le sous-espace de Rp engendré par les vecteurs-lignes de Aest appelé espace des lignes de A.
Le sous-espace de Rn engendré par les vecteurs-colonnes de Aest appelé espace des colonnes de A (noté col(A)).
1
Définition 2. Noyau d’une application linéaire
Soit f une application linéaire de matrice standard A∈Mnp(R),on appelle noyau de f, noté Ker(f), l’espace des solutions de
l’équation f(xQ)=0Q , c’est à dire du système d’équations AX=0,
c’est un sous-espace vectoriel de Rp.
Exercice 1. Soit A=
1 −2 1 01 −2 1 01 −2 1 00 0 0 1
et f de matrice standard A.
On désignera par (ε1, ε2, ε3, ε4) la base standard de R4.
a. Déterminer Ker(f).
b. Déterminer une base de Ker(f).
c. Montrer que col(A) est de dimension 2 et en déterminer une base.
Solution.
a. on résoud f(x)=(0):
1 −2 1 0 01 −2 1 0 01 −2 1 0 00 0 0 1 0
�
1 −2 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 0
donc Ker(f)={(2x2-x3,x2, x3, 0), (x2, x3)∈R2}=
{x2(2, 1, 0, 0, 0) + x3(0, 0, 1, 0, 0), (x2, x3 ) ∈ R2} ={
x2(2ε1 + ε2) + x3ε3,
(x2, x3)∈R2}
=Vect(2ε1+ ε2, ε3); d’où
une famille génératrice de Ker(f):(2ε1+ ε2, ε3)
b. Pour savoir si cette famille est une base il reste à vérifier si elle est libre.
c. les 3 premières colonnes sont des multiples de la première; la premièreet la quatrième sont linéairement indépendantes.
Remarque 3.
2
Lorsqu’on écrit que Ker(f)=Vect(2ε1+ ε2, ε3) cela signifie que Ker(f) est l’ensemble deTOUS LES VECTEURS de la forme {a(2ε1+ ε2) + bε3}.
Ne pas confondre l’ensemble de ces vecteurs avec la simple liste de sa base
Définition 4. Image d’une application linéaire
Soit f une application linéaire de matrice standard A∈Mnp(R),on appelle image de f, notée Im(f), l’espace des vecteurs de laforme y
Q=f(x
Q), c’est à dire l’ensemble des vecteurs bQ, tels que le
système d’équations AX=b est résoluble, c’est un sous-espacevectoriel de Rn.
Avertissement 5.
Ce qui suit concerne l’injectivité, la surjecti-vité , la bijectivité
si vous ne savez pas , vous êtes mal
très mal
3
Question 6.
Soit une application f de A vers B
lire la suite de propositions
i) tout élément y de B possède au moins unantécédent
ii) si deux éléments x et x’ de A ont lamême image f(x)=f(x’) ils sont forcémentégaux
iii) si deux éléments x et x’ de A sont égauxalors leurs images f(x) et f(x’) sont égales
4
iv) tout élément x de A possède une seuleimage f(x)
v) tout élément y de B possède un et un seulantécédent x dans A
Déterminer ce qui exprime l’injectivité de f,ce qui exprime la surjectivité de f , ce quiexprime la bijectivité de f et ce qui est sansintérêt.
Solution. Soit une application f de A vers B
5
i) tout élément y de B possède au moins un antécé-dent SURJECTIVITE
ii) si deux éléments x et x’ de A ont la même imagef(x)=f(x’) ils sont forcément égaux INJECTIVITE
iii) si deux éléments x et x’ de A sont égaux alorsleurs images f(x) et f(x’) sont égales banalité
iv) tout élément x de A possède une seule image f(x)banalité
v) tout élément y de B possède un et un seul antécé-dent x dans A BIJECTIVITE
Théorème 7.
Soit A ∈Mnp(R) et f l’application linéaire de Rp vers Rn dontla matrice standard est A alors
1. L’espace des colonnes de A est égal à Rn si et seulement sif est surjective.
2. Le noyau Ker(f) est égal à {0} si et seulement si f est inje-ctive.
3. AX=b admet une solution (au moins) si et seulement si bappartient à l’espace des colonnes de A.
4. Lorsque f n’est pas injective la résolution du système AX=0permet d’obtenir une base du noyau de f.
5. Soit x0 un vecteur solution du système AX=b et (v1Q , , vtQ )une base de Ker(f A), alors l’ensemble des solutions du systèmeAX=b est {x0+λ1v1Q + , λtvtQ , (λ1, , λt) réels}.
6
6. L’image de f, Im(f), est engendrée par les vecteurs colonnesde la matrice A
Exercice 2. Soit A =
1 −2 1 01 −2 1 01 −2 1 00 0 0 1
et l’application linéaire f: R4� R
4
dont la matrice standard est A.
On désigne ici par (ε1, ε2, ε3, ε4) la base standard de R4
a. Déterminer si f est surjective .
b. Déterminer si f est injective .
c. Déterminer un vecteur b tel que le système AX = b possède dessolutions et un vecteur b tel que ce système n’en possède pas.
d. Soit le système AX =
1111
; déterminer une solution et en vous
aidant des résultats de l’exercice précédent déterminer l’ensemble dessolutions.
Solution.
a. échelonnons la matrice
1 −2 1 01 −2 1 01 −2 1 00 0 0 1
�
1 −2 1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1
on voit que le système
associé n’a pas toujours de solutions, donc pas surjective.
7
b. On voit immédiatement sur les colonnes 1 et 3 que f(e1Q )=f(e3Q ), doncf n’est pas injective.
Le noyau de f se trouve en résolvant
1 −2 1 01 −2 1 01 −2 1 00 0 0 1
x1x2x3x4
=
0000
; on obtient
ker(f)=Vect(2ε1+ε2,ε1−ε3).
c. Aidons-nous de la première colonne f(ε1)=ε1+ ε2+ ε3.
Si on regarde bien les colonnes de la matrice on voit que les colonnes A2
et A3 sont des multiples de A1 donc les colonnes sont des combinaisonslinéaires de A1 et de A4.
Donc les images sont des combinaisons linéaires de ε1+ ε2+ ε3 et de ε4.
Alors si on prend le vecteur ε1 il ne peut être dans l’image.
d. Le calcul montre qu’une solution est ε1+ ε4.
Mais aussi tout vecteur de la forme ε1+ ε4 +vQ ,où vQ appartient à Ker(f),aura pour image ε1+ ε2+ ε3+ ε4.
Est-ce tout ?
réciproque :
si f(xQ )=f(ε1 + ε4) alors f(xQ -(ε1 + ε4))=0Q donc xQ -(ε1 + ε4) appartient aunoyau
Conclusion: nous avons montré par double inclusion que {x, f(xQ ) = ε1 +ε2+ ε3+ ε4= {ε1+ ε4+ vQ , vQ ∈Ker(f)}.
Question: cet ensemble est-il un espace vectoriel ?
Revoir la caractérisation des sous-espaces vectoriels
8
Théorème 8. « les lignes »
Soit une matrice A et l’application linéaire f.
Les opérations élémentaires sur les lignes ne changent pas lenoyau de l’application f;
Les opérations élémentaires sur les lignes ne changent pasl’espace des lignes de la matrice.
Les lignes non nulles de la matrice échelonnée réduite formentune base de l’espace des lignes de A.
Théorème 9.
Soit A∈Mnp(R) alors la dimension de l’espace des lignes de Aest égale à la dimension de l’espace des colonnes de A; cettedimension sera appelée le rang de A et notée rg(A); c’est aussila dimension de Im(f); on la note alors aussi rang(f).
Définition 10. Soit f une application linéaire de Rp vers Rn, onappelle nullité de f la dimension du noyau de f: dim(Ker(f)).
Attention : TRES IMPORTANT
Théorème 11. Théorème du rang
Soit A∈Mnp(R) et l’application linéaire f de matrice standardA, alors rg(f)+dim(Ker(f))=p.
9
Exercice 3. Soit A=
1 0 1 00 1 1 01 1 2 0-1 1 1 1
. On désigne par f l’application linéaire
de R4
vers R4 dont la matrice standard est A.
On désigne par (ε1, ε2, ε3, ε4) la base standard de R4.
a. Déterminer le noyau de f.
b. En déduire le rang de f.
c. Déterminer une base de col(A).
Solution.
a. Il s’agit de résoudre le système
1 0 1 00 1 1 01 1 2 0-1 1 1 1
x1x2x3x4
=
0000
, de matrice
associée
1 0 1 0 00 1 1 0 01 1 2 0 0-1 1 1 1 0
; réduisons:
1 0 1 0 00 1 1 0 01 1 2 0 0-1 1 1 1 0
�
1 0 1 0 00 1 1 0 00 1 1 0 00 1 2 1 0
�
1 0 1 0 00 1 1 0 00 0 0 0 00 0 1 1 0
�
1 0 0 -1 00 1 0 -1 00 0 0 0 00 0 1 1 0
; d’où le noyau
{(x4, x4, -x4,x4)}=Vect(1, 1, -1,1) =Vect((ε1+ ε2−ε3+ ε4) ); donc le noyau estde dimension 1
b. Par suite le rang est 4-1=3
c. Une base de col(A) est formée par les 3 premiers vecteurs colonnes,puisqu’ils sont indépendants.
Une base de Im(f) est donc (ε1+ ε3− ε4, ε2+ε3+ ε4, ε1+ ε2+2ε3+ ε4).
Questions:
1. Comment montrer facilement que f n’est pas surjective ?
2. Comment montrer facilement que ε4 est dans Im(f) ?
3. Comment tester si ε1+ ε3 est dans Im(f) ?
4. Comment montrer facilement que ε1+ ε3 n’est pas dans Ker(f) ?
10
Théorème 12. Le cas des matrices carrées
Soit A ∈Mnn(R), alors les affirmations suivantes sont équiva-lentes
1. A est inversible
2. rg(A)=n
3. null(f A)=0
Exercice 4. Soit A=
0 1 1 1 1 11 0 1 1 1 11 1 0 1 1 11 1 1 0 1 11 1 1 1 0 11 1 1 1 1 0
. (n>1).
On désigne par f l’application linéaire de R6 vers R6 dont la matricestandard est A.
On désigne par (ε1, ε2, ε3, , ε6) la base standard de R6
a. Montrer que la résolution du système AX=0 conduit à une solutionunique que l’on trouvera.
b. Déduire le rang de A.
c. Déterminer une base (simple !) de col(A).
Solution.
a. A=J-I, où =J =
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
et I est la matrice unité; donc AX=(0)
équivaut à JX=X; mais JX=
x1+ x2+ x3+ .+ x6x1+ x2+ x3+ .+ x6
x1+ x2+ x3+ .+ x6
, donc JX=X entraine x1=
x2= x3= .=x6. Désignons par u cette valeur commune
11
X=
u
u
et JX=
nunu
nu
, donc AX=(0) entraîne que u=6u, d’où u=0, et par
suite X=(0)
b. Donc rang(A)=6.
c. col(A) est un sous-ev de dimension 6 dans R6, c’est donc R6.
Problème 1.
Soit A=
1 2 11 0 −11 2 12 5 3
et l’application linéaire f de R3 vers R4 de matrice standard A; on désigne par
(ε1, ε2, ε3) la base standard de R3 et par (α1, α2, α3, α4) la base standard de R4.
a. Déterminer le noyau de f.
b. En déduire le rang de f.
c. Déterminer une base de Im(f).
Problème 2.
Soit A=
1 0 1 0 10 1 0 1 01 0 1 0 10 1 0 1 0
et l’application linéaire f de R5 vers R4 de matrice standard A; on désigne
par (ε1, ε2, , ε5) la base standard de R4 et par (α1, α2, α3, α4) la base standard de R4.
a. Déterminer le noyau de f.
b. En déduire le rang de f.
c. Déterminer une base de Im(f).
2. Changements de bases
Remarque 13. Coordonnées d’un vecteur dans une base
12
Soit V un espace vectoriel de dimension n et une base B=(v1Q , ,
vtQ ).
Un vecteur vQ
∈V s’écrit de manière unique vQ
=λ1v1Q + λnvnQ , lesréels (λ1, , λn) sont appelés les coordonnées de v
Q
dans la base
B, on note (vQ)B=
λ1
λn
.
Définition 14. Matrice de passage de la base B’ à la base B
Soit V un espace vectoriel de dimension n et deux bases B =
(u1Q , , unQ ) (« l’ancienne base ») et B ′=(
u1′Q , , un
′Q
)
(« la nouvelle
base »)
On désigne par PB,B ′ la matrice((
u1′Q
)
B,(
u2′Q
)
B, ,
(
u′Q
n
)
B
)
,
appelée « matrice de passage de B à B’).
Exemple 15. Soit R4 et
1. la base standard B formée de ε1=
1
0
0
0
, ε2=
0
1
0
0
, ε3=
0
0
1
0
, ε4=
0
0
0
1
2. la base C formée de γ1=
1
1
0
0
, γ2=
0
1
1
0
, γ3=
0
0
1
1
, ε4=
0
0
0
1
La matrice de passage PBC est
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
3. la base D formée de δ1=
1
−1
0
0
, δ2=
0
1
−1
0
, δ3=
0
0
−1
1
, ε4=
0
0
0
1
La matrice de passage PBD est
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 −1 1 0
0 0 −1 1
4. Si on veut maintenant la matrice PCD il faut exprimer les vecteurs de D en fonctionde ceux de C
bien sûr ε4= ε4
δ3=
0
0
−1
1
=−
0
0
1
1
+2
0
0
0
1
=−γ3+2ε4=
δ2=
0
−1
1
0
=−
0
1
1
0
+2
0
0
1
1
− 2
0
0
0
1
=−γ2+2γ3− 2ε4
13
δ1=
−1
1
0
0
=−
1
1
0
0
+2
0
1
1
0
− 2
0
0
1
1
+2
0
0
0
1
=−γ1+2γ2− 2γ3+2ε4
D’où PCD=
−1 0 0 0
2 −1 0 0
−2 2 −1 0
2 −2 2 1
Théorème 16. Formule de changement de base
Soit V un espace vectoriel de dimension n et deux bases B =
(u1Q , , unQ ) et B ′=(
u1′Q , , un
′Q
)
.
Quel que soit vQ
∈V, (vQ
)B=PB,B ′(vQ
)B ′.
Exercice 5. Soit la base standard B=(ε1Q , , ε4Q ) de R4.
a. Montrer que les vecteurs v1Q =
1110
, v2Q =
1101
,v3Q =
1011
,v4Q =
0011
forment
une base B’ de R4.
b. Parmi les deux matrices PB,B ′ et PB ′,B l’une des deux est immédiate,laquelle ? que vaut-elle ?
Solution.
a. On calcule le déterminant
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 1 1 03 1 0 13 0 1 13 1 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 01 1 0 11 0 1 11 1 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 00 0 -1 10 -1 0 10 0 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 -1 1-1 0 10 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=3∣
∣
∣
∣
0 -1-1 1
∣
∣
∣
∣
= 3.
b. PB,B ′=
1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1
Proposition 17.
Soit V un espace vectoriel de dimension n et deux bases B =
(u1Q , , unQ ) et B ′=(
u′Q
1, , u′Q
n
)
.
PB,B ′PB ′,B=I n.
Exercice 6. (suite du précédent)
Calculer l’autre matrice de passage.
14
Solution.
PB ′,B est l’inverse de PB,B ′=
1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1
; pour la trouver on pose le système
1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1
x
y
z
t
=
x′
y ′
z ′
t′
.
D’où PB ′,B=1
3
1 1 1 -21 1 -2 11 -2 1 1-2 1 1 1
Proposition 18.
Soit V un espace vectoriel de dimension n et trois bases B =
(u1Q , , unQ ), B ′=(
u′Q
1, , un′Q
)
et B ′′=(
u′′Q
1, , un′′Q
)
PB,B ′′=PB,B ′PB ′,B ′′.
Exercice 7. Soit la base standard B=(ε1Q , , ε4Q ) de R4.
On désigne par B’ la base v1Q =
1110
, v2Q =
1101
, v3Q =
1011
, v4Q =
0111
.
Soit le vecteur xQ =
12-2-1
, déterminer ses coordonnées dans la base B’
en utilisant la bonne formule.
Solution. PB ′,B
12-2-1
; c’est à dire1
3
1 1 1 -21 1 -2 11 -2 1 1-2 1 1 1
12-2-1
=
12-2-1
, bizarre mais
vrai
Exercice 8. Soit la base standard B=(ε1Q , , ε4Q ) de R4.
On désigne par B’ la base v1Q =
1110
, v2Q =
1101
, v3Q =
1011
, v4Q =
0111
.
Soit le vecteur xQ =
14-4-1
, déterminer ses coordonnées dans la base B’
en utilisant la bonne formule.
15
Solution. PB ′,B
140-1
; c’est à dire1
3
1 1 1 -21 1 -2 11 -2 1 1-2 1 1 1
140-1
=
7/34/3-8/31/3
.
Théorème 19. Formule de changement de base pour lesmatrices
Soit V un espace vectoriel de dimension n et deux bases B =
(u1Q , , unQ ) et B ′=(
u1′Q , , un
′Q
)
.
On considère une application linéaire f de V vers V et samatrice A relativement à la base B, alors sa matrice rela-tivement à la base B’ est A’= PB ′,BAPB,B ′.
(on rappelle que l’image z=f(v) d’un vecteur v s’exprime dansla base B: zB=AvB et zB
′ =PB ′,BAPB,B ′vB ′).
Exercice 9. Soit la base standard B=(ε1Q , , ε4Q ) de R4.
16
On désigne par B’ la base v1Q =
1110
, v2Q =
1101
, v3Q =
1011
, v4Q =
0111
.
Soit l’application linéaire f de V vers V, qui est représentée dans la
base B par la matrice A=
1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 1
; déterminer la matrice A’ qui la
représentera dans la base B’
Solution. A’= PB ′,BAPB,B ′ c’est à dire
A’=1
3
1 1 1 -21 1 -2 11 -2 1 1-2 1 1 1
1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 1
1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1
=1
3
1 2 3 -21 2 -6 11 -4 3 1-2 2 3 1
1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1
=
1
3
6 1 2 3−3 4 −4 −30 −2 5 03 1 2 6
Nous verrons dans le chapitre sur la diagonalisation quel est l’usage réel de ces chan-gements de base.
Problème 3.
Soit R4, avec la base standard B formée de ε1=
1000
, β2=
0100
, ε3=
0001
, ε4=
0001
et la base C formée de γ1=
1100
, γ2=
0110
, γ3=
0011
, ε4=
0001
et la base D formée de δ1=
1−100
, δ2=
01−10
, δ3=
00−11
, ε4=
0001
1. Déterminer la matrice de passage PDC.
2. Soit Le vecteur v=2γ1− γ2+3γ3− ε4
Ecrire ses coordonnées dans la base C c’est à dire (vQ )C
Calculer ses coordonnées dans la base D c’est à dire (vQ )D.
Problème 4.
Avec les mêmes données qu’au-dessus
1. Déterminer PCB.
2. Soit le vecteur w=2ε1- β2+3ε3− ε4; Calculer ses coordonnées dans la base C.
3. Soit l’application linéaire f de R4 vers R4 dont la matrice, relativement à la base standard B
est A=
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
; poser les opérations nécessaires pour calculer la matrice de f relativement à
la base C.
17
Faire exécuter par maxima.
Travaux Dirigés
Exercice 10.
Soit la matrice A=
0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 −10 0 0 1 0 10 0 0 0 1 −1
et l’application linéaire fA :R6� R
6.
a. Montrer que le déterminant de A est nul.
b. Déterminer si fA est injective, surjective.
c. Déterminer le noyau de fA , une base et sa dimension.
d. En déduire la dimension de Im(fA ) et en déterminer une base.
e. On désigne par g l’application composée fA ◦fA ; déterminer sa matrice standard, que l’on
désignera par G.
f. Prouver, sans calcul que det(G)=0.
g. Déterminer le noyau de g , une base et sa dimension.
h. En déduire la dimension de Im(g) et en déterminer une base.
i. On désigne par h l’application composée g ◦fA ; déterminer sa matrice standard, que l’on
désignera par H.
j. Mêmes questions pour h que les questions f,g,h,
k. On désigne par m l’application composée h ◦fA ; déterminer sa matrice standard, que l’on
désignera par M.
l. Mêmes questions.
Exercice 11.
On considère l’espace vectoriel R4, sa base standard B = (ε1, ε2, ε3, ε4) et la famille de vecteurs
(ω1, ω2, ω3, ω4), définie par ω1=
1010
, ω2=
1110
, ω3=
0001
, ω4=
1001
.
a. Montrer que ces vecteurs forment une base que l’on notera B ′.
b. Déterminer la matrice de passage PBB ′.
c. Déterminer la matrice de passage PB ′B.
d. Le vecteur v a pour expression ε1+ 2ε2− 2ε3+ ε4; déterminer son expression dans la base B ′.
e. Le vecteur w a pour expression 3ω1+4ω2−5ω3+ω4; déterminer son expression dans la base B.
f. L’application linéaire f a pour matrice dans la base standard la matrice A=
1 −1 0 12 −2 0 21 −1 0 12 −2 0 2
; ce qui
signifie que l’image z d’un vecteur v s’exprime dans la base B comme suit: zB = AvB; comment
s’expriment les coordonnées zB ′ de z dans la base B’ en fonction des coordonnées vB ′ de v dans
la base B’?
On trouvera une matrice que l’on désignera sous le nom de matrice de f dans la base B’; si on la
nomme A’ exprimer A’ en fonction de A.
Exercice 12.
On considère l’espace vectoriel R4, sa base standard B=(ε1, ε2, ε3, ε4) et l’ application linéaire de
R4 vers R4 de matrice standard A=
1 −1 1 11 −1 −1 11 −1 0 11 −1 0 1
.
1. Déterminer le noyau de f et une base de celui-ci.
18
2. Déterminer la dimension du noyau de f.
3. En déduire la dimension de l’image et une base de celle-ci.
4. Montrer que la concaténation de ces deux bases donne une base de R4 , que vous appellerez B ′.
5. Déterminer la matrice de passage de B à B ′.
6. Calculer (éventuellement par Maxima ) la matrice PB ′B.
7. Déterminer, sans utiliser la formule du cours, la matrice de f relativement à la base B ′
(vous penserez à la signification des colonnes de la matrice d’une application relativement à une
base)
8. Résoudre la question au moyen de la formule du cours (éventuellement avec Maxima).
Exercice 13.
On considère l’espace vectoriel R4, sa base standard B=(ε1, ε2, ε3, ε4) et l’ application linéaire de
R4 vers R4 de matrice standard A=
1 −1 1 11 −1 1 11 −1 0 11 −1 0 1
.
1. Déterminer le noyau de f et une base de celui-ci.
2. Déterminer la dimension du noyau de f.
3. En déduire la dimension de l’image et une base de celle-ci.
4. Montrer que la concaténation de ces deux bases ne donne pas une base de R4.
Objectifs:
1. Savoir ce qu’est l’espace des lignes, l’espace des colonnes d’une matrice.
2. Savoir la signification des colonnes d’une matrice représentant une applicationlinéaire relativement à une base de l’espace de départ et une base de l’espace d’arrivée.
3. Savoir ce qu’est le noyau d’une application linéaire, savoir que le noyau est un sous-espace vectoriel de l’espace de départ.
4. Savoir ce qu’est l’image d’une application linéaire, savoir que c’est un sous-espacede l’espace d’arrivée.
5. Savoir ce qu’est le rang d’une application linéaire, savoir ce qu’est la nullité d’uneapplication linéaire.
6. Connaître le théorème du rang et savoir l’utiliser pour découvrir le rang ou lanullité.
7. Savoir ce qu’est la matrice de passage d’une base à une autre.
8. Savoir ce que sont les coordonnées d’un vecteur dans une base.
9. Savoir que les matrices de passage sont inversibles.
10. Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une nouvelle base à partirdes anciennes et de la matrice de passage.
11. Savoir déterminer la matrice d’une application linéaire dans une nouvelle base àpartir de la matrice dans l’ancienne et de la matrice de passage.
19
8. Activité informatique Maxima
le rang d’une matrice M s’obtient avec « rank(M) »
le noyau de la matrice M s’obtient avec « nullspace(M) »
l’espace des colonnes de M s’obtient avec « columnspace(M) »
Exercice 14.
Soit l’espace E=R6 et sa base standard B=(ε1, ε2, ε3, ε4, ε5, ε6)
On considère l’application linéaire f de R6 vers R6 de matrice standard A=
0 1 0 −1 0 12 0 −2 0 2 0−1 1 1 −1 1 10 −1 0 1 0 1−1 0 1 0 1 02 −1 −2 1 2 −1
a. Avec Maxima étudier les rangs de f,f2,, ..., jusqu’à être sûr que ces valeurs sont stationnaires
b. (raisonnement) Montrer que les images de ces applications linéaires sont incluses les unes dans
les autres
c. (raisonnement) Montrer que les noyaux forment une suite de sous-espaces vectoriels inclus les
uns dans les autres.
9. Problèmes de révision
Ce premier problème a pour objectif de montrer que les connaissances du cours permettent parfois
d’éviter de longs calculs.
Exercice 15.
Soit l’espace vectoriel R4 muni de sa base standard B= (ε1, ε2, ε3, ε4) et l’application linéaire f de R4 vers R4
définie par les données suivantes:
f(ε1)=ε2 ,f(ε2)= ε1+ ε3, f(ε3)=ε2+ε4, f(ε4)=ε3.
a. Déterminer la matrice standard de f , que l’on désignera par M.
b. Déterminer le déterminant de M.
c. Déterminer ( si possible sans calcul) le noyau de M .
d. Montrer (si possible sans nouveau calcul) que les vecteurs colonnes de M sont linéairement indépendants.
e. Montrer (si possible sans calcul) que les vecteurs v1 = ε2 , v2=ε1+ ε3, v3=ε2+ε4, v4 = ε3 forment une base
de R4 que l’on désignera par B ′.
f. Déterminer la matrice de passage PBB ′.
g. Exprimer ε1, ε2, ε3, ε4 en fonction de v1, v2, v3, v4.
h. En déduire PB ′B.
i. Déterminer si M est inversible, et si oui déterminer (si possible sans calcul) M−1.
j. Soit b=
1234
, justifier l’existence (ou la non-existence) d’un vecteur X de R4 tel que MX=b.
k. Si X existe, le déterminer avec un minimum de calculs.
Solution.
a. La matrice standard de f est celle dont les colonnes contiennent les images des vecteurs de la base standard
donc M=
0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0
.
b. Nous allons développer det(M) suivant la première colonne ( car il n ’ y a qu’un terme non nul):
20
det(M)=1(-1)3∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 01 0 10 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
; on continue suivant la première ligne
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 01 0 10 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=1∣
∣
∣
∣
0 11 0
∣
∣
∣
∣
=−1; d’où det(M)=(-1)×(−1)=1.
c. Dans ce cas M est inversible, donc injective, d’oùKer(M)={X,MX=(0)} ne contient qu’un élément le vecteur nul.
d. Pour savoir si les vecteurs colonnes de M, que je désignerai par M1,M2,M3,M4 , sont liées ou pas on considère des
scalaires (a,b,c,d) tels que aM1+ bM2+cM3+dM4=(0). Or aM1+ bM2+cM3+dM4=M
a
b
c
d
; donc nus avons supposé
queM
a
b
c
d
=
0000
, mais commeM est injective il en découle que
a
b
c
d
=
0000
, d’où ces vecteurs colonnes sont libres.
e. Les vecteurs v1= ε2 , v2=ε1+ ε3, v3=ε2+ε4, v4= ε3 sont justement les vecteurs colonnes de M, nous venons de
montrer qu’ils sont libres, il s’agit de quatre vecteurs libres dansR4, qui est de dimension 4, donc c’est une base deR4.
f. La matrice de passage PBB ′ est la matrice dont les colonnes représentent dans la base B les vecteurs de la base
B ′, donc c’est exactement la matrice M.
g. Nous savons que v1= ε2 , v2=ε1+ ε3, v3=ε2+ε4, v4= ε3, ce qui nous donne déjà ε2= v1 et ε3=v4; pour les deux
autres il suffit d’éliminer ε3 entre les deux égalités : v2=ε1+ ε3 et ε3=v4, d’où ε1=v2-v4 et, de même, ε4=−v1+ v3.
h. Pour construire PB ′B il suffit de savoir exprimer les vecteurs de B en fonction de ceux de B′, c’est juste ce que
nous venons de faire:
ε1= v2-v4, ε2= v1, ε3=v4, ε4=−v1+ v3; donc nous connaissons les colonnes de PB ′B: donc PB ′B=
0 1 0 −11 0 0 00 0 0 1−1 0 1 0
.
i. Nous savons, depuis le c queM est inversible ( sinon elle est inversible car c’est unematrice de changement de base);
et nous savons aussi( cf cours) que PB ′B=
PBB’)−1, et PBB ′=M; donc M−1=
PBB’)−1=PB ′B=
0 1 0 −11 0 0 00 0 0 1−1 0 1 0
.
Remarque: sinon il fallait poser
0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0
x1x2x3x4
=
y1y2y3y4
et résoudre ce système pour en déduire M−1.
j. Comme M est inversible MX=b est équivalent à X=M−1b.
k. Donc X=
0 1 0 −11 0 0 00 0 0 1
−1 0 1 0
1234
=
2− 414
−1+ 3
=
−2142
Exercice 16.
Toutes les matrices considérées sont dans M3(R).
Définition 20. Une matrice M=(aij )∈M3(R) est dite magique lorsque les huit sommes suivantes sont égales:
a11 +a12+ a13a21 +a22+ a23a31 +a32+ a33a11 +a21+ a31a12 +a22+ a32a13 +a23+ a33a11 +a22+ a33a31 +a22+ a13
sont égales.
Une matrice M=(aij )∈M3(R) est symétrique lorsque M = Mt et antisymétrique lorsque M =− Mt .
On définit les trois matrices: A=
−1 2 −10 0 01 −2 1
, B=tA et C =
1 1 11 1 11 1 1
.
1. Sont-elles magiques ? symétriques ? antisymétriques ?
2. Soit M=(aij)∈M3(R) montrer que M ′=M + Mt
2et M ′′=
M − Mt
2; les utiliser pour établir que toute matrice
est la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique; montrer que cette décomposition est
unique.
solution:
i. on remarque queM’ est symétrique, car égale à sa transposée etM” antisymétrique car opposée à sa transposée.
21
ii. l’unicité ? Si M=S+A, où S est symétrique et A antisymétrique, alors tM=S-A, d’où 2S=M+t
M et 2A=M-t
M
donc S=M’ et A=M”, ce qui établit l’unictié
3. Soit MAG l’ensemble des matrices magiques, montrer que
i) MAG est un espace vectoriel
voir caractérisation des sous ev
ii) la transposée d’une matrice magique est une matrice magique
voir def des matrices magiques et faire un schéma pour se convaincre
iii) si M ∈MAG il en est de même pour M ′ et M” (définies au dessus).
découle du i)
4. Montrer que les matrices qui sont à la fois magiques et antisymétriques forment un espace vectoriel de
dimension 1 dont vous déterminerez une base, que l’on désignera par A .
Soit M magique et antisymétrique elle a nécessairement l’air suivant :
0 −a aa 0 −a
−a a 0
=a
0 −1 11 0 −1−1 1 0
, d’où on
prend A=
0 −1 11 0 −1−1 1 0
.
5. Montrer que les matrices qui sont à la fois magiques et symétriques et dont la trace est nulle forment un
espace vectoriel de dimension 1 dont vous déterminerez une base que l’on désignera par S.
SoitMmagique et symétrique et de trace nulle, elle a nécessairement l’air suivant :
a b −a− b
b 2a+2b −2a− 3b−a− b a −3a− 2b
, ce
qui vérifie 6 conditions et il faut en plus que -6a-6b=0, -3a-3b=0, d’où il faut b=-a; c’est à dire
a −a 0−a 0 a
0 a −a
=
a
1 −1 0−1 0 10 1 −1
; on posera S =
1 −1 0−1 0 10 1 −1
.
6. Soit une matrice M, magique et symétrique, dont la trace est égale à t, montrer qu’elle est la somme d’un
multiple de S et d’un multiple de C.
M=(M-tC/3)+tC/3 et (M-tC/3) vérifie les hyppothèses du 5 donc c’est un multiple de S.
7. En déduire une base B de l’espace vectoriel MAG et sa dimension.
synthèse du 2,3,4 et du 6
Si M est magique , elle est la somme d’une symétrique M’ et d’une antisymétrique M” (2), celles-ci sont
magiques (3), la première est une combinaison linéaire de S et C, la seconde est un multiple de A, donc M est
une combinaison linéaire de ces trois matrices; donc elles forment une famille génératrice de MAG.
Soient (a,c,s) telles que aC+cC+sS=(0) alors (0) est la somme d’une symétrique aC+sS et d’une antitymé-
trique aA; or (0)=(0)+(0), et la décomposition entre symétrique et antisymétrique est unique donc aA=(0) et
cC+sS=(0), d’où a=0
pour le reste on a cC+sS=
c c c
c c c
c c c
+
s −s 0−s 0 s
0 s −s
=
c+ s c− s c
c− s c c+ s
c c+ s c − s
, si cette matrice est nulle, c est nul,
et alors s aussi
nous avons donc une base de MAG: A, C, S.
et donc sa dimension :3.
8. Montrer que (A,B,C) forment une base B ′ de MAG; comme la dimension de MAG est 3, il suffit de montrer
que cette famille est génératrice, et pour cela qu’elle engendre A, B, C:
Or
A=(1/2)A− (1/2)B+0C
S =(−1/2)A+(−1/2)B+0C
C =1C
9. Déterminer les deux matrices de passage PBB ′ et PB ′B.
PBB ′=
1/2 −1/2 0−1/2 −1/2 0
0 0 1
et PB ′B est son inverse
1 −1 0−1 −1 00 0 1
22
Algèbre linéaire d’un point de vue algorithmique
chap.VII MATRICES DIAGONALISABLES ET APPLICATIONS
Remarque 1. Multiplier entre elles deux matrices de Mn(R) exige n3
multiplications
Multiplier entre elles deux matrices triangulaires supérieures de Mn(R)demande à peu près la moitié
Multiplier entre elles deux matrices diagonales de Mn(R) se contentede n multiplications
Conclusion:
Il vaut mieux avoir à mutiplier des matrices diagonales que des matricesqui ne le sont pas.
OUI, mais
Si j’étudie une application linéaire f de Rn vers Rn, elle est représentéepar sa matrice standard A
que faire si A n’est diagonale ?
?????????
IL FAUT TRAVAILLER DANS UNE AUTRE BASE
Nous savons que
si f est représentée dans la base standard B par A
elle sera représentée dans la base B ′ par (PBB ′)−1APBB ′
1
Mais comment savoir si il existe une base B ′
dans laquelle f sera représentée par une matrice diagonale ?
et si oui comment la trouver ?
Nous avons vu que
lorsque la matrice M représente dans la base B ′= (ε′1, ε′2, ., ε′n) uneapplication linéaire f de Rn vers Rn
les colonnes de la matrice M décrivent les images f(ε′1), f(ε′2), .,
f(ε′n)
donc
si la matrice de f dans la base B ′ = (ε′1, ε′2, ., ε′n) est la matrice
diagonale
d1 0 . . 00 d2 . . 00 0 . . 0 . 00 0 dn
cela veut dire que f(ε′1)=d1ε′1, f(ε′2)= d2ε
′2, ., f(ε′n)= dnε′n
D’où notre tâche
i) chercher des vecteurs v tels que f(v)= un multiple de v
VECTEURS PROPRES DE f
ii) chercher si on peut fabriquer une base formée de tels vecteurs.
2
1. Vecteurs propres et valeurs propres
Définition 2. Vecteur propre, valeur propre d’une matrice carrée
Soit A∈Mnn(R)
On dit qu’un vecteur colonne X�(0) est un vecteur propre pour Alorsqu’il existe λ∈R tel que AX=λX.
On dit alors que λ une valeur propre de A et que X est un vecteur propreassocié à la valeur propre λ.
Exercice 1. Soit A=
1 a 11 b 11 c 1
a. Déterminer pour quelles valeurs de a, b et c les vecteurs
111
,
10−1
,
1−10
sont vecteurs propres pour A.
b. Déterminer les valeurs propres associées.
Solution.
a. Il suffit de calculer les images de ces vecteurs
1 a 11 b 11 c 1
111
=
1+ a+11+ b+11+ c+1
, le vecteur
111
est propre si et seulement si il est colinéaire à son image, cad si et
seulement si a=b=c;
1 a 11 b 11 c 1
10−1
=
000
, le vecteur
10−1
est propre et associé à la valeur propre 0.
1 a 11 b 11 c 1
1−10
=
1− a
1− b
1− c
, le vecteur
1−10
est propre si et seulement 1-c=0 et 1-a=-(1-b)
En conclusion il faut et il suffit que c=1 et a=b=c=1
b. Auquel cas les valeurs propres sont, dans l’ordre, 0,0,0
Proposition 3.
λ une valeur propre de A si et seulement si det(λIn−A)=0.
3
Définition 4. Le polynôme caractéristique de la matrice A
Soit A∈Mnn(R) on appelle polynôme caractéristique de A le polynômeP (λ)= det (λI −A).
Il est de degré n, son terme de plus degré est λn, son terme constant est(−1)ndet(A).
Théorème 5. Les valeurs propres de la matrice A sont les racines dupolynôme caractéristique de A.
(donc la matrice A a un « au plus » n valeurs propres distinctes).
Exercice 2. Soit B=
3 2 −2−1 0 11 −1 6
.
a. Vérifier que 1 est valeur propre de B.
b. Déterminer le polynôme caractéristique de B.
c. Déterminer l’ensemble des valeurs propres de B.
Solution.
a. Observons la matrice I-B=
−2 −2 21 1 −1−1 1 −5
, comme ses deux premières lignes sont colinéaires son déterminant est
nul.
b. Le polynôme caractéristique de B est
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 3 −2 21 λ −1−1 1 λ− 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 3 −2 01 λ λ− 1−1 1 λ− 5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (λ − 3)∣
∣
∣
∣
λ λ− 11 λ− 5
∣
∣
∣
∣
+2∣
∣
∣
∣
1 λ− 1−1 λ− 5
∣
∣
∣
∣
=
(λ− 3)(λ2− 6λ+1)+2(2λ− 6)=λ3− 9λ2+ 23λ− 15
(on vérifie que 1 est bien racine)
c. Factorisons par λ− 1 (puisque 1 est racine du polynôme caractéristique) : λ3−9λ2+23λ−15=(λ− 1)(λ2−8λ+
15)=(λ− 1)(λ− 3)(λ− 5), d’où les valeurs propres.
Théorème 6.
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les éléments de sadiagonale.
Théorème 7. Les vecteurs propres associés à une valeur propre λ
Soit A∈Mnn(R) et λ une valeur propre de la matrice A
Les vecteurs propres asociés à λ sont les vecteurs non nuls deKer (λI −A).
On appelle sous-espace propre associé à λ le noyau Ker(λI −A).
4
On trouve les vecteurs propres associés à λ en résolvant le système(λI −A)X =0.
Remarque 8.
Soit A∈Mnn(R) , A est inversible si et seulement si 0 n’est pas valeurpropre de A.
Exercice 3. Soit C =
1 −1 0−1 1 10 0 3
; déterminer les valeurs propres de C et les sous-espaces propres associés.
Solution.
λI − C =
λ− 1 1 01 λ− 1 −10 0 λ− 3
, donc det(λI − C)=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 1 1 01 λ− 1 −10 0 λ− 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (λ − 3)∣
∣
∣
∣
λ− 1 11 λ− 1
∣
∣
∣
∣
= (λ − 3)(λ2 − 2λ) =
(λ− 3)λ(λ− 2), donc trois valeurs propres 0,2,3.
Ker(-A)=Vect(e1+e2); Ker(3I-A)=vect(e1-2e2-3e3); Ker(2I-A)=vect(e1-e2).
2. Diagonalisation
Définition 9. Diagonalisabilité d’une matrice carrée
Soit A∈Mnn(R), on dit qu’elle est diagonalisable lorsqu’il existe une base de Rn formée de vecteurspropres pour A.
Théorème 10. Diagonalisation d’une matrice diagonalisable
Soit A∈Mnn(R), une matrice diagonalisable, et soit la matrice P =(P1,P2, ,Pn) dont les colonnes
représentent une base formée de vecteurs propres de A, alors P−1AP est la matrice diagonale
D=
λ1 0 00 λ2
0 .
00 0 λn
, où les λi sont les valeurs propres associées, dans cet ordre, aux vecteurs
formant la base de vecteurs propres.
Proposition 11. (1ère) Application de la diagonalisation
Soit A une matrice diagonalisable et P,D comme au-dessus, alors pour tout entier naturel k
Ak=PDkP−1.
Exercice 4. Soit la matrice C de l’exercice précédent.
a. Montrer que si on prend dans chaque sous-espace propre un vecteur non nul on obtient une base formée de
vecteurs propres.
b. Déterminer une matrice P inversible et une matrice D diagonale telles que P−1AP=D.
c. Déterminer P−1.
d. Déterminer la valeur de An.
Solution.
a. Soit la famille (e1+ e2,e1− 2e2− 3e3,e1− e2); elle forme une base car
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 11 −2 −10 −3 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=3∣
∣
∣
∣
1 11 −1
∣
∣
∣
∣
=−6� 0.
b. Appelons B′ la base (e1+e2,e1−2e2− 3e3,e1−e2) et B=(
e1, e2, e3)
la base standard, alors PB,B ′=
1 1 11 −2 −10 −3 0
et
5
PB,B ′
−1 APB,B ′ sera la matrice diagonale
0 0 00 3 00 0 2
.
c. Le calcul de PB,B ′
−1 donne
3 3 −10 0 −23 −3 3
.
d. PB,B ′
−1 APB,B ′=D �∀n, PB,B ′
−1 AnPB,B ′=Dn�∀n, An=PB,B ′DnPB,B ′
−1 =
PB,B ′
0 0 00 3n 00 0 2n
PB,B ′
−1
3. Méthode pour diagonaliser une matrice carrée
Théorème 12. (admis)
Soit A∈Mnn(R), {λ1, , λp} les racines distinctes de son polynôme caractéristique, pour chaque λi
on désignera par E i le sous-espace propre associé à λi.
La concaténation de bases des différents E i fournit une famille libre de vecteurs de Rn.
Théorème 13. Pour diagonaliser une matrice carrée A∈Mnn(R)
1. Calculer le polynôme caractéristique de A.
2. Déterminer les racines réelles de A: {λ1, , λp}
3. Pour chaque λi calculer la dimension de Ker(λiI −A); si la somme des dimensions est stricte-ment inférieure à n, il n’y a pas diagonalisabilité, si elle est égale à n, passer à 4.
4. Déterminer une base pour chaque Ker (λiI −A), concaténer ces bases en une base B′ de Rn et
construire la matrice P, dont les colonnes sont les vecteurs de B′.
Alors P−1AP=D est la diagonalisée de A.
Exercice 5. Soit la matrice M=
1 1 1 −11 1 −1 11 −1 1 1−1 1 1 1
.
a. Déterminer si elle est diagonalisable
b. Si oui déterminer une matrice inversible P et une matrice diagonalisable D telles que D=P−1MP.
4. Applications: (un peu comme PageRank de Google)
4.1 Premier cas
Soit A=
1/3 0 1/3 1/30 1/3 1/3 1/3
1/3 1/3 0 1/31/3 1/3 1/3 0
.
4.1.1 Diagonalisation éventuelle ( calculs par Maxima)
1. Calculer le polynôme caractéristique de P en essayant avant tout de l’obtenir sous forme facto-risée.
6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 1/3 0 −1/3 −1/30 λ− 1/3 −1/3 −1/3
−1/3 −1/3 λ −1/3−1/3 −1/3 −1/3 λ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 1 0 −1/3 −1/3λ− 1 λ− 1/3 −1/3 −1/3λ− 1 −1/3 λ −1/3λ− 1 −1/3 −1/3 λ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (λ − 1)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 −1/3 −1/31 λ− 1/3 −1/3 −1/31 −1/3 λ −1/31 −1/3 −1/3 λ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=(λ −
1)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 −1/3 −1/30 λ− 1/3 0 00 −1/3 λ+1/3 −λ
0 0 0 λ+1/3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=(λ−1)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 1/3 0 0−1/3 λ+1/3 −λ
0 0 λ+1/3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=(λ−1)(λ+1/3)∣
∣
∣
∣
λ− 1/3 0−1/3 λ+1/3
∣
∣
∣
∣
=(λ−
1)(λ+1/3)(λ− 1/3)(λ+1/3)2.
2. On résoud les systèmes
(A+1/3I)X =(0); base de l’ensemble des solutions −ε1/2− ε2/2+ ε4,−ε1/2− ε2/2+ ε3
(A− 1/3I)X =(0); base de l’ensemble des solutions −ε1+ ε2
(A− I)X =(0); base de l’ensemble des solutions ε1/2+ ε2+ ε3+ ε4
4=2+1+1 donc diagonalisabilité
3. D’où à l’aide de la formule de changement de base
-1/2 -1/2 -1 1-1/2 -1/2 1 10 1 0 11 0 0 1
−1
A
-1/2 -1/2 -1 1-1/2 -1/2 1 10 1 0 11 0 0 1
=
-1/3 0 0 00 -1/3 0 00 0 1/3 00 0 0 1
.
D’où A=
-1/2 -1/2 -1 1-1/2 -1/2 1 10 1 0 11 0 0 1
-1/3 0 0 00 -1/3 0 00 0 1/3 00 0 0 1
-1/2 -1/2 -1 1-1/2 -1/2 1 10 1 0 11 0 0 1
-1
=
-1/2 -1/2 -1 1-1/2 -1/2 1 10 1 0 11 0 0 1
-1/3 0 0 00 -1/3 0 00 0 1/3 00 0 0 1
-1/4 -1/4 -1/4 3/4-1/4 -1/4 3/4 -1/4-1/2 1/2 0 01/4 1/4 1/4 1/4
.
4. Par suiteAn=
-1/2 -1/2 -1 1-1/2 -1/2 1 10 1 0 11 0 0 1
-1/3 0 0 00 -1/3 0 00 0 1/3 00 0 0 1
n
-1/4 -1/4 -1/4 3/4-1/4 -1/4 3/4 -1/4-1/2 1/2 0 01/4 1/4 1/4 1/4
X(0)=
-1/2 -1/2 -1 1-1/2 -1/2 1 10 1 0 11 0 0 1
(-1/3)n 0 00 (-1/3)n 00 0 (1/30 0 0
Ne vous laissez pas impressionner par ces nombres et calculez combien de multiplications vousauriez dû faire pour obtenir Pn sinon:
P 2=P , P 3=P 2∗P , P 4=P 3∗P , ..., Pn=Pn-1∗P
n-1 fois 4*4*4= 64(n-1)
alors qu’ici 16 !!!!!
6. Souvent on s’intéresse à ce qui se passe « au bout d’un temps très long », ce que les Mathéma-ticiens (ou plutôt les Informaticiens) appelleraient l’infini
Lorsque n tend vers l’infini,
(-1/3)n 0 0 00 (-1/3)n 0 00 0 (1/3)n 00 0 0 1
tend vers
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1
d’où An tend vers
-1/2 -1/2 -1 1-1/2 -1/2 1 10 1 0 11 0 0 1
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1
-1/4 -1/4 -1/4 3/4-1/4 -1/4 3/4 -1/4-1/2 1/2 0 01/4 1/4 1/4 1/4
=
-1/2 -1/2 -1 1-1/2 -1/2 1 10 1 0 11 0 0 1
0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
1/4 1/4 1/4 1/4
=
1/4 1/4 11/4 1/4 11/4 1/4 11/4 1/4 1
4.2 Deuxième cas
On suppose que la matrice P est
3/4 1/4 0 0 01/4 3/4 0 0 00 0 3/4 1/4 00 0 1/4 3/4 00 0 0 0 1
7
4.2.1 Diagonalisation éventuelle ( calculs idem)
1. Le polynôme caractéristique est (λ-1/2)2(λ-1)3
2. La résolution des systèmes linéaires donne comme base de l’espace propre pour 1/2: −ε2+ ε3,−ε1+ ε2
et comme base de l’espace propre associé à 1: ε5, ε3+ ε4, ε1+ ε2
2+3=5 donc diagonalisabilité
3. D’où par application de la formule de changement de base pour les matrices
0 -1 0 0 10 1 0 0 1-1 0 0 1 01 0 0 1 00 0 1 0 0
-1
A
0 -1 0 0 10 1 0 0 1-1 0 0 1 01 0 0 1 00 0 1 0 0
=
1/2 0 0 0 00 1/2 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
.
4. D’où A=
0 -1 0 0 10 1 0 0 1-1 0 0 1 01 0 0 1 00 0 1 0 0
1/2 0 0 0 00 1/2 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
0 -1 0 0 10 1 0 0 1-1 0 0 1 01 0 0 1 00 0 1 0 0
-1
=
0 -1 0 0 10 1 0 0 1-1 0 0 1 01 0 0 1 00 0 1 0 0
1/2 0 0 0 00 1/2 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
0 0 -1/2 1/2 0-1/2 1/2 0 0 00 0 0 0 10 0 1/2 1/2 0
1/2 1/2 0 0 0
5. Donc An=
0 -1 0 0 10 1 0 0 1-1 0 0 1 01 0 0 1 00 0 1 0 0
(1/2)n 0 0 0 00 (1/2)n 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
0 0 -1/2 1/2 0-1/2 1/2 0 0 00 0 0 0 10 0 1/2 1/2 0
1/2 1/2 0 0 0
6. Lorsque n tend vers l’infini
An tend vers
0 -1 0 0 10 1 0 0 1-1 0 0 1 01 0 0 1 00 0 1 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
0 0 -1/2 1/2 0-1/2 1/2 0 0 00 0 0 0 10 0 1/2 1/2 0
1/2 1/2 0 0 0
=
0 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 1 00 0 0 1 00 0 1 0 0
0 0 -1/2 1/2 0-1/2 1/2 0 0 00 0 0 0 10 0 1/2 1/2 0
1/2 1/2 0 0 0
=
1/2 1/2 0 0 01/2 1/2 0 0 00 0 1/2 1/2 00 0 1/2 1/2 00 0 0 0 1
.
4.3 Diagonalisation éventuelle ( idem calculs)
On suppose que A=
0 1/2 0 1/21/2 0 1/2 00 1/2 0 1/2
1/2 0 1/2 0
1. Le polynôme caractéristique est (λ− 1)(λ+1)λ2.
Trois sous-espaces propres
(A+I)X=(0) donne comme vecteur propre −ε1− ε2+ ε3+ ε4
AX=(0) donne comme vecteurs propres −ε3+ ε4, -ε1+ ε2
(A-I)X=(0) donne comme vecteur propre ε1+ ε2+ ε3+ ε4
2+1+1=4 donc diagonalisabilité
2.
−1 0 −1 1−1 0 1 11 −1 0 11 1 0 1
−1
A
−1 0 −1 1−1 0 1 11 −1 0 11 1 0 1
=
−1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1
; donc pour tout n An =
Q
(−1)n 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1
Q−1, où Q=
−1 0 −1 1−1 0 1 11 −1 0 11 1 0 1
.
8
Ici la suite An n’a pas de limite et prend alternativement les valeurs
(−1) 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1
et
1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1
.
Exercice 6. Soit la matrice A=
1 5 52 −2 −23 3 3
a. Déterminer les réesl x tels que rang(A-xI)<3 (on remarquera que toutes les colonnes de la matrice A-xI ont
la même somme).
b. Pour chacun des réels trouvés au-dessus déterminer une base de Ker(A-xI).
c. Montrer que la concaténation de ces bases est une base B′=(υ1, v2, v3) de R3.
d. Déterminer la matrice de passage PBB ′ , où B désigne la base standard (ε1, ε2, ε3) de R3
e. En vous servant de la formule de changement de base montrer que ?PBB ′
100
=APBB ′
100
, ??PBB ′
010
=
APBB ′
010
, ???PBB ′
001
=APBB ′
001
, où les ? représentent des réels que vous trouverez.
f. Montrer que PBB ′
−1APBB ′ est une matrice diagonale que l’on notera D.
g. En déduire un moyen de calculer (plus facilement) A1000.
Solution.
a. On sait que rang(A-xI)<3�det (A-xI) = 0;
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1-x 5 52 -2-x -23 3 3-x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6-x 6-x 6-x2 -2-x -23 3 3-x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=(6-x)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 12 -2-x -23 3 3-x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (6-
x)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 02 -4-x -43 0 -x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=(6-x)(1)∣
∣
∣
∣
-4-x -40 -x
∣
∣
∣
∣
=(6-x)x(4+x); d’où A-xI est de rang inférieur à 3 si et seulement si x=0, x=6
ou x=-4.
b1. Ker(A) ? Il suffit de regarder les deux dernières colonnes de A , on en déduit que ε2-ε3 appartient au noyau de A.
D’autre part pour connaître « tout » Ker(A) on résoud AX=(0), cad sous forme matricielle
1 5 5 02 −2 −2 03 3 3 0
�
1 5 5 00 −12 −12 00 -12 -12 0
�
1 5 5 00 1 1 00 -12 -12 0
�
1 0 0 00 1 1 00 0 0 0
d’où AX=(0)�x1=0, x2= -x3, donc Ker(A)={x3(0, -1,1),
x3∈R}=Vect(0, -1, 1)=Vect(ε3-ε2).
b2. Ker(A-6I) ?
Ce qui nous conduit à poser le système de matrice augmentée
-5 5 5 02 −8 −2 03 3 -3 0
�
1 -1 -1 01 −4 −1 01 1 -1 0
�
1 -1 -1 00 −3 0 00 2 0 0
�
1 -1 -1 00 1 0 00 1 0 0
�
1 0 -1 00 1 0 00 0 0 0
; d’où Ker(A-6I)=Vect(1,0,1)=Vect(ε1+ ε3).
b3. Ker(A+4I) ?
Ce qui nous conduit à poser le système de matrice augmentée
5 5 5 02 2 −2 03 3 7 0
�
1 1 1 01 1 −1 03 3 7 0
�
1 -1 -1 00 0 2 00 0 4 0
�
1 -1 -1 00 0 1 00 0 4 0
�
1 1 0 00 0 1 00 0 0 0
; Ker(A+4I)=Vect(1,-1,0)=Vect(ε1-ε2).
c. Pour découvrir si la famille ε3-ε2, ε1+ ε3, ε1-ε2 est libre considérons (a, b, c) tq a(ε3-ε2 )+b(ε1+ ε3)+c(ε1-ε2)=0
d’où (b+c)ε1-(a+c)ε2+(a+b)ε3=0, et comme ε1,ε2,ε3 est libre on en déduit
b+ c=0a+ c=0a+ b=0
; résolvons ce système
0 1 1 01 0 1 01 1 0 0
�
1 0 1 00 1 1 01 1 0 0
�
1 0 1 00 1 1 00 1 -1 0
�
1 0 1 00 1 1 00 0 -2 0
; il y aura 3 « un » directeurs docnsolution unique et
ce sera 0,0,0, donc cette famille est libre; elle possède 3 vecteurs (= dimension de l’espace c’est donc une base de R3.
d. par def PBB ′ , la matrice de passage de B à B’ est la matrice dont les colonnes décrivent les vecteurs de la
NOUVELLE BASE B’ relativement à l’ANCIENNE BASE B
cad
9
PBB ′=
0 1 1-1 0 -11 1 0
.
e. D’après le formule de changement de base PBB ′
100
décrit les coordonnées , dans B, du premier vecteur de la
base B’, celui qui engendre Ker(A), donc son image par A est 0 fois lui même, cad APBB ′
100
=0PBB ′
100
.
De même PBB ′
010
décrit les coordonnées , dans B, du deuxième vecteur de la base B’, celui qui engendre Ker(A-
6I), donc son image par A est 6 fois lui-même, cad APBB ′
010
=6PBB ′
010
.
Et de même APBB ′
001
= -4PBB ′
001
.
f. D’où APBB ′
1 0 00 1 00 0 1
=PBB ′
0 0 00 6 00 0 -4
, c’est à dire APBB ′=PBB ′
0 0 00 6 00 0 -4
, et comme PBB ′ est inversible ,
PBB ′-1APBB ′=
0 0 00 6 00 0 -4
, ou si on veut PBB ′
0 0 00 6 00 0 -4
PBB ′
-1 =A.
g. D’où A1000 = PBB ′
0 0 00 6 00 0 -4
PBB ′
-1 ......PBB ′
0 0 00 6 00 0 -4
PBB ′
-1 , 1000 fois; et comme il y aura télescopage de PBB ′
et de son inverse on obtient finalement
A1000=PBB ′
0 0 00 61000 00 0 (-4)1000
PBB ′
-1 =
0 1 1-1 0 -11 1 0
0 0 00 61000 00 0 (-4)1000
-1/2 −1/2 1/21/2 1/2 1/21/2 -1/2 -1/2
, ce qui est bien plus simple.
Objectifs:
1. Comprendre ce qu’est un vecteur propre d’une matrice carrée A, savoir vérifier si un vecteurdonné est (ou pas) propre.
2. Comprendre ce qu’est une valeur propre d’une matrice carrée, savoir vérifier si un réel est (oupas) valeur propre.
3. Comprendre ce qu’est le polynôme caractéristique d’une matrice carrée et pourquoi ses racinesréelles sont les valeurs propres.
4. Savoir ce que sont les sous-espaces propres, savoir en déterminer les dimensions, savoir endéterminer une base.
5. Savoir comment on construit une base de vecteurs propres pour A.
6. Comprendre l’algorithme de diagonalisation d’une matrice carrée.
7. Savoir appliquer la diagonalisation pour calculer les puissances d’une matrice diagonalisable.
8. Savoir déterminer l’expression du terme général d’une suite vérifiant une relation de récurrencelinéaire d’ordre 2.
6. Archives
DE ALGEBRE LINEAIRE MAI 2014
Tous documents, machines,téléphones, interdits
On indiquera clairement les numéros des exercices qui seront rédigés séparément.
Toutes les réponses devront être justifiées, soit par un calcul, soit par un résultat du cours que l’onénoncera.
Les résultats seront encadrés.
10
Travaillez méthodiquement, il n’est pas nécessaire d’avoir répondu à toutes les questionspour avoir la note maximale.
Exercice 7. (environ 5 points)
Soit la matrice A=
0 −1 1−1 0 −11 −1 0
et l’application linéaire f de R3 vers lui-même de matrice standard A.
a. Calculer le déterminant de la matrice A.
b. Déterminer si f est bijective, injective.
Pour c et d aucun calcul supplémentaire n’est nécessaire
c. Déterminer l’ensemble des vecteurs-colonne b tel que l’équation AX=b possède (au moins) une solution.
d. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation AX=(0).
Exercice 8. (environ 9 points)
a. Calculer A2 -A− 2I3.
b. Montrer que les matrices (I3, A,A2) sont liées dans M33(R).
c. Montrer que la matrice A2 appartient à F=Vect(I3, A).
d. Déterminer une base et la dimension de F.
e. Déterminer si F=M33(R).
f. Déterminer une matrice B ∈F , telle que AB=BA=I3 (ne nécessite pas de calculs nouveaux).
g. Montrer que la matrice J =
1 1 11 1 11 1 1
n’appartient pas à F.
Exercice 9. (environ 6 points)
Soit l’application linéaire g de R3 vers lui-même de matrice standard J et on désigne par (ε1, ε2, ε3) la base
standard B de R3.
a. Déterminer une base B1 et la dimension de Ker(J).
b. Déterminer la dimension et une base B2 de col(J).
c. Déterminer l’ensemble U = {y ∈R3, ∃x∈R3, y= g(x)}.
Exercice 10. (environ 10 points)
On pose M=A+J.
a. Déterminer les réels x tels que Ker(M − xI)� {0}.
b. Pour chacun des x trouvés au a. déterminer une base de Ker(M −xI).
c. Montrer que la concaténation de ces bases fournit une base B′ de R
3.
d. Déterminer la matrice de changement de base PBB ′.
e. Déterminer la matrice PBB ′
−1
f. Montrer qu’il existe une matrice diagonale D, que l’on déterminera, telle que DPBB ′
(
1 00 1
)
=MPBB ′
(
1 00 1
)
.
g. En déduire l’expression de M1000 sous la forme d’un produit de 3 matrices (on détaillera ces matrices, mais
on ne calculera pas le résultat).
corDE ALGEBRE LINEAIRE MAI 2014
Tous documents, machines,téléphones, interdits
On indiquera clairement les numéros des exercices qui seront rédigés séparément.
Toutes les réponses devront être justifiées, soit par un calcul, soit par un résultat du cours que l’onénoncera.
Les résultats seront encadrés.
11
Travaillez méthodiquement, il n’est pas nécessaire d’avoir répondu à toutes les questionspour avoir la note maximale.
Exercice 11. (environ 5 points)
Soit la matrice A=
0 −1 1−1 0 −11 −1 0
et l’application linéaire f de R3 vers lui-même de matrice standard A.
a.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 −1 1−1 0 −11 −1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 0 1−1 −1 −11 −1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=1(−1)1+3∣
∣
∣
∣
−1 −11 −1
∣
∣
∣
∣
=2. ( 1point)
b. Donc f est bijective. (1 point )
Pour c et d aucun calcul supplémentaire n’est nécessaire
c. Donc (surjectivité) pour tout vecteur-colonne b l’équation AX=b possède (au moins) une solution. (1 point)
d. Et (injectivité) l’ensemble des solutions de l’équation AX=(0) est réduit à un élément :0. (2 points)
Exercice 12. (environ 9 points)
A2=
2 −1 1−1 2 −11 −1 2
a. Alors A2 -A− 2I3=0. (1 point)
b. D’où les matrices (I3, A,A2) sont liées dans M33(R). (1 point)
c. Et la matrice A2 appartient à F=Vect(I3, A). (1 point)
d. Par contre (I3, A) sont libres donc forment une base de F, qui est de dimension 2. (1 point)
e. Comme sa dimension est 2 et la dimension de M33(R) ils ne sont pas égaux. (2 points)
f. Comme A2 -A=2I3 alors A(1/2A− 1/2I3)=I3, donc A admet comme inverse à droite 1/2A− 1/2I3, et nous
savons que si une matrice carrée admet une inverse à droite, celle-ci est aussi son inverse à gauche. (2 points)
g. Comme F a pour base I3 et A il suffit pour montrer que la matrice J =
1 1 11 1 11 1 1
n’appartient pas à F de
montrer que l’équation J=xI3+yA n’a pas de solution:
J=xI3+yA�
1= x
1= -y1= y
, qui n’a pas de solution.. (2 points)
Exercice 13. (environ 6 points)
Soit l’application linéaire g de R3 vers lui-même de matrice standard J et on désigne par (ε1, ε2, ε3) la base
standard B de R3.
a. Déterminer une base B1 et la dimension de Ker(J):
Pour déterminer Ker(J) on résoud le système J
x
y
z
=
000
, ce qui est équivalent à x+y+z=0 , d’où Ker(J)={(-
y-z,y,z)}={y(-1,1,0)+ z(-1,0,1)}=Vect(-ε1+ ε2, -ε1+ ε3), qui sont linéairement indépendants donc forment une
base de Ker(J), dont la dimension est alors 2. (2 points)
b. Déterminer la dimension et une base B2 de col(J).
d’après le théorème du rang la dimension de col(J) est 3-2=1; et col(J) est engendré par le vecteur
111
, c’est
à dire ε1+ε2+ ε3. (2 points)
c. Déterminer l’ensemble U = {y ∈R3, ∃x ∈R
3, y = f(x)}; il s’agit des vecteurs colonnes qui appartiennent à
col(J) donc de Vect(ε1+ε2+ ε3). (2 points)
Exercice 14. (environ 10 points)
On pose M=A+J.
a. M=
1 0 20 1 02 0 1
donc Ker(M −xI)� {0}�
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1-x 0 20 1-x 02 0 1-x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=0� (1-x)3-4(1-x)=0�(1-x)(-1-x)(3-x)=0�
x∈{1,+1,3} ( 2 points)
b. Ker(M + I): on résoud
2 0 20 2 02 0 2
x
y
z
=
000
; on trouve Vect(ε1-ε3)
12
Ker(M-I): on résoud
0 0 20 0 02 0 0
x
y
z
=
000
; on trouve Vect(ε2)
Ker(M-3I): on résoud
-2 0 20 -2 02 0 -2
x
y
z
=
000
; on trouve Vect(ε1+ε3) (2 points)
c. Montrer que la concaténation de ces bases fournit une base B′ de R
3: par exemple on calcule le déterminant∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 10 1 0-1 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(développement suivant 2 ème ligne) : 2, donc cette famille est libre, vu son cardinal c’est une base
B′ de R
3. (2 points)
d. La matrice de changement de base PBB ′ est donc
1 0 10 1 0-1 0 1
(1 point)
e. D’où son inverse PBB ′
−1 =
1/2 0 -1/20 1 0
1/2 0 1/2
( 1 point)
f. Comme dans l’exercice vu en TD la formule de changement de base appliquée pour exprimer chacun des
vecteurs de B’, nous donne
PBB ′
100
= -1MPBB ′
100
, PBB ′
010
= 1MPBB ′
010
, PBB ′
001
=3MPBB ′
001
et en concaténant les trois colonnes PBB ′
-1 0 00 1 00 0 3
=MPBB ′
1 0 00 1 00 0 1
.
D’où PBB ′
-1 0 00 1 00 0 3
PBB ′-1=M ( 2 points)
g. D’où M1000 =PBB ′
(-1)1000 0 00 11000 00 0 31000
PBB ′-1. (1 point)
Rattrapage d’Algèbre linéaire
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Exercice 15.
Soient les matrices A=
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
, I=
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
, J =
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
a. Calculer A2− 2A− 3I. ( 1pt)
b. Montre que A2 appartient à F=Vect(I,A). (1 pt)
c. Déterminer une base de l’espace vectoriel F. (1 pt)
d. Montrer que toutes les matrices appartenant à F sont symétriques. (2 pts)
e. Montrer qu’il y a des matrices symétriques qui n’appartiennent pas à F. (2 pts)
f. Déterminer si A3 appartient à F=Vect(I,A). (1 pt)
g. Calculer le déterminant de A. (2 pts)
h. Déterminer si A est inversible, et si oui, déterminer son inverse. (1 pt)
i. Déterminer les valeurs des réels x pour lesquels A+xI n’est pas inversible (2 pts)
Exercice 16. Soit la matrice M=
1 −1 0 −11 0 −1 −11 0 0 −11 0 0 −1
et l’application linéaire f deR4 vers R4, de matrice standard
M (c’est à dire: représentée dans la base canonique par M)
On notera (ε1, ε2, ε3, ε4) la base standard de R4 (les élèves de L2 diront peut-être base canonique)
a. M appartient-elle à F ? (1 pt)
b. Résoudre le système d’équations linéaires MX=
0000
. (2 pts)
13
c. Déterminer le noyau de M ( de f ) et une base de celui-ci. (2 pts)
d. Déterminer la dimension de l’espace engendré par les colonnes de M et une base de col(M) ( c’est à dire :
Im(f)). (2 pts)
e. Déterminer, si possible sans calcul, la valeur du déterminant de M. (2 pts)
f. Soit l’application linéaire f de R4 vers R
4, de matrice standard M; en vous aidant éventuellement de la base
que vous avez obtenue déterminer au plus vite parmi les vecteurs suivants
Y1=
1111
, Y2=
1101
, Y3=
1001
, Y4=
1011
ceux qui ont (au moins) un antécédent par f. (2 pts)
g. On désigne par B = (ε1, ε2, ε3, ε4 ) la base standard ( c’est à dire: la base canonique) et on considère la
famille constituée (dans cet ordre) par la base définie au c. concaténée avec celle définie au d.; montrer qu’elle
forme une base B ′ de R4. (1 pt)
h. Déterminer la matrice de passage de la base B à la base B′ , notée PBB ′. (1 pt)
i. Déterminer les coordonnées dans la base B du vecteur qui s’écrit (1,1,1,1) dans la base B ′. (2 pts)
j. Déterminer les coordonnées dans la base B ’du vecteur qui s’écrit (1,1,1,1) dans la base B. (2 pts)
corRattrapage d’Algèbre linéaire
Exercice 19 corrigé
Soient les matrices A=
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
, I=
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
, J =
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
a. Calculer A2− 2A− 3I=0. ( 1pt)
b. Donc A2 appartient à F=Vect(I,A). (1 pt)
c. On vérifie vite que (A,I) est libre, comme elle engendre F c’en est une base. (1 pt)
d. A et I sont symétriques; soit M=aA+bI, alors sa transposée est atA+bI=aA+bI=M donc toutesles matrices appartenant à F sont symétriques. (2 pts)
e. L’ensemble S des matrices symétriques à 4 lignes et colonnes est un ev de dimension 10, or Fest inclus dans S (cf d) mais est de dimension 2, donc F est inclus dans S mais pas égal.
f. Déterminer si A3 appartient à F=Vect(I,A). (1 pt):
A2=2A+3I donc A3=2A2+3A=2(2A+3I) + 3A=5A+6I ∈F .
g. Calculer le déterminant de A. (2 pts)∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 1 1 13 0 1 13 1 0 13 1 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
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∣
1 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 10 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=3× 1× (−1)2∣
∣
∣
∣
∣
∣
−1 0 00 −1 00 0 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=−3.
h. Déterminer si A est inversible, et si oui, déterminer son inverse. (1 pt) d’après a. A2− 2A=3Idonc A(1/3A− 2/3I)= I d’où A est inversible et son inverse est (1/3A− 2/3I).
i. Déterminer les valeurs des réels x pour lesquels A+xI n’est pas inversible (2 pts)
A+xI n’est pas inversible si et seulement si son déterminant est nul;∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3+ x 1 1 13+ x x 0 13+ x 1 x 13+ x 1 1 x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (3 + x)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 10 x− 1 0 00 0 x− 1 00 0 0 x− 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (3 + x) × (−
1)2∣
∣
∣
∣
∣
∣
x− 1 0 00 x− 1 00 0 x− 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=(3+x)(x− 1)3. Donc les réels demandés sont -3 et 1.
Corrgié de l’exercice 20
14
Soit la matrice M=
1 −1 0 −11 0 −1 −11 0 0 −11 0 0 −1
et l’application linéaire f de R4 vers R4, de matrice standard
M (c’est à dire: représentée dans la base canonique par M )
a. M appartient-elle à F ? (1 pt) Non car elle n’est pas symétrique.
b. Résoudre le système d’équations linéaires MX=
0000
. (2 pts).
La matrice augmentée du système est
1 −1 0 −1 01 0 −1 −1 01 0 0 −1 01 0 0 −1 0
que nous allons réduire
1 −1 0 −1 00 1 −1 0 00 1 0 0 00 1 0 0 0
�
1 0 -1 −1 00 1 −1 0 00 0 1 0 00 0 1 0 0
�
1 0 -1 −1 00 1 −1 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0
�
1 0 0 −1 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0
, d’où les solu-
tions {(x4, 0, 0, x4), x4∈R}
c. Déterminer le noyau de M ( de f ) et une base de celui-ci. (2 pts)
Donc le noyau est Vect(ε1+ ε4)
d. Déterminer la dimension de l’espace engendré par les colonnes de M et une base de col(M) (c’est à dire : Im(f)). (2 pts)
D’après le théorème du rang la dimension de col(M) est 3=4-1; de plus col(M) est engendré parles colonnes, comme les colonnes 1 et 4 sont colinéaires col(M) est engendré par les colonnes 1,2,3;comme il est de dimension 3 cela en est une base: col(M) a pour base ε1+ ε2+ ε3+ ε4, -ε1, -ε2 ouce qui est plus léger ε1+ ε2+ ε3+ ε4, ε1, ε2.
e. Déterminer, si possible sans calcul, la valeur du déterminant de M. (2 pts) le noyau est non nul,donc M n’est pas injective, donc det(M)=0.
f. Soit l’application linéaire f de R4 vers R4, de matrice standard M; en vous aidant éventuellementde la base que vous avez obtenue déterminer au plus vite parmi les vecteurs suivants
Y1=
1111
, Y2=
1101
, Y3=
1001
, Y4=
1011
ceux qui ont (au moins) un antécédent par f. (2 pts).
Y1= f(ε1), Y4= f(ε1+ ε2).
Par contre pour savoir si Y2 a un antécédent il faut essayer de résoudre le système MX=Y2, dematrice enrichie
1 −1 0 −1 11 0 −1 −1 11 0 0 −1 01 0 0 −1 1
que nous allons réduire
1 −1 0 −1 10 1 −1 0 00 1 0 0 −10 1 0 0 0
�
1 0 -1 −1 10 1 −1 0 00 0 1 0 −10 0 1 0 0
�
1 0 -1 −1 10 1 −1 0 00 0 1 0 −10 0 0 0 1
; la dernière ligne montre que le système est inconsistant donc Y2 n’a pas d’anté-
cédent; de même pour Y3:
il faut essayer de résoudre le système MX=Y3, de matrice enrichie
1 −1 0 −1 11 0 −1 −1 01 0 0 −1 01 0 0 −1 1
que nous allons réduire
1 −1 0 −1 10 1 −1 0 −10 1 0 0 −10 1 0 0 0
�
1 0 -1 −1 00 1 −1 0 −10 0 1 0 −10 0 1 0 0
�
1 0 -1 −1 00 1 −1 0 −10 0 1 0 −10 0 0 0 1
; la dernière ligne montre aussi un système inconsistant.
15
g. On désigne par B = (ε1, ε2, ε3, ε4 ) la base standard ( c’est à dire: la base canonique) et onconsidère la famille constituée (dans cet ordre) par la base définie au c. concaténée avec celledéfinie au d.; montrer qu’elle forme une base B ′ de R4. (1 pt)
Il s’agit de (v1,v2,v3,v4)=(ε1 + ε4,ε1 + ε2 + ε3 + ε4, ε1, ε2); c’est une famille de 4 vecteurs dansun espace de dimension 4 ce sera une base si et seulement si elle est libre.
Etudions pour cela la matrice
1 1 1 00 1 0 10 1 0 01 1 0 0
, son déterminant est égal à
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 00 1 0 10 1 0 01 1 0 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 1 × (−
1)6∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 10 1 01 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=1× 1× (−1)4×∣
∣
∣
∣
0 11 1
∣
∣
∣
∣
=−1; donc ces quatre vecteurs forment une base nommée B ′
h. Déterminer la matrice de passage de la base B à la base B ′ , notée PBB′. (1 pt) c’est
1 1 1 00 1 0 10 1 0 01 1 0 0
.
i. Déterminer les coordonnées dans la base B du vecteur qui s’écrit (1,1,1,1) dans la base B ′. (2 pts)
1 1 1 00 1 0 10 1 0 01 1 0 0
1111
=
3212
j. Déterminer les coordonnées dans la base B ’du vecteur qui s’écrit (1,1,1,1) dans la base B. (2 pts)
Ici il faut la matrice inverse ou bien remarquer qu’il s’agit du vecteur ε1+ ε2+ ε3+ ε4 qui s’écritv2 donc ses coordonnées s=dans la base B’ sont (0,1,0,0).
16
