ALGˆBRE COMMUTATIVE - mat. Produit tensoriel de deux modules, 75 ; Produit tensoriel de modules

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  • ALGBRE COMMUTATIVE

    Cours lUniversit de Rennes 1 (20052006)

    Antoine Chambert-Loir

  • Antoine Chambert-Loir

    IRMAR, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex.

    E-mail : antoine.chambert-loir@univ-rennes1.frUrl : http://name.math.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir

    Version du 27 dcembre 2005La version la plus jour est disponible sur le Web ladresse http://name.math.univ-rennes.fr/antoine.chambert-loir/2005-06/g1/

  • Mais je ne marrte point expliquer ceci plus en dtail, cause queje vous terais le plaisir de lapprendre par vous-mme, et lutilit decultiver votre esprit en vous exerant...

    Ren Descartes (1596-1659)

  • TABLE DES MATIRES

    1. Anneaux, idaux, algbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Premires dfinitions, 1 ; lments inversibles, etc., 6 ; Idaux, 10 ;Algbres ; polynmes, 16 ; Anneaux quotients, 21 ; Anneaux de fractions (cascommutatif), 27 ; Idaux maximaux, 36.

    2. Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Premiers pas, 43 ; Oprations sur les modules, 48 ; Gnrateurs, bases,modules libres, 53 ; Quotients de modules, 56 ; Espaces vectoriels, 60 ;Localisation des modules (cas dun anneau commutatif), 64 ;Longueur, 67.

    3. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Produit tensoriel de deux modules, 75 ; Produit tensoriel de modules sur unanneau commutatif, 80 ; Algbres tensorielle, symtrique, extrieure, 83 ;Algbre extrieure et dterminant, 88.

    4. Modules de type fini sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Anneaux principaux, anneaux euclidiens, 95 ; Oprations lmentaires sur lesmatrices, 100 ; Matrices coefficients dans un anneau principal, 103 ;Modules de type fini sur un anneau principal, 106 ; Application : Groupesabliens de type fini, 112 ; Application : Endomorphismes dun espace vectorielde dimension finie, 114.

    Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119Le thorme de Cantor-Bernstein, 119 ; Le lemme de Zorn, 119 ;Le langage des catgories, 121.

    Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

  • CHAPITRE 1

    ANNEAUX, IDAUX, ALGBRES

    Ce chapitre introduit les notions danneaux et didaux. Ces deux notions forma-lisent les mthodes de calcul bien connues avec les nombres entiers ou les matrices :on dispose dune addition, dune multiplication, de deux symboles 0 et 1 et desrgles de calcul usuelles.

    1.1. Premires dfinitions

    DFINITION 1.1. On appelle anneau un groupe ablien A not additivement munidune loi de multiplication A A A, (a, b) 7 ab vrifiant les proprits suivantes :

    il existe un lment 1 A tel que pour tout a A, 1a = a1 = a (lment neutre pourla multiplication) ;

    pour tous a, b et c dans A, (ab)c = a(bc) (associative) ; pour tous a, b et c dans A, a(b+ c) = ab+ac et (b+ c)a = ba+ ca (distributivit de

    la multiplication sur laddition).

    On dit que lanneau A est commutatif si de plus

    pour tous a et b dans A, ab = ba (commutativit).Comme exemples vidents danneaux commutatifs, citons Z, Z/nZ pour n > 1, les

    corps Q, R, C, lanneau K [X ] des polynmes une indtermine coefficients dans uncorps (voire un anneau commutatif) K . Si A est un anneau, lensemble des fonctionsdun ensemble S dans un anneau A muni des lois videntes (( f + g )(s) = f (s)+ g (s)et ( f g )(s) = f (s)g (s)) est un anneau. Lensemble des fonctions continues dun espacetopologique dans R est un anneau, de mme lensemble des fonctions de classe C k

    dun ouvert de Rn dans R ou C (k N {}).Voici des exemples non commutatifs bien connus :

    Exemples 1.2. a) Soit A un anneau et soit Mn(A) lensemble des matrices n n coefficients dans A muni des rgles de calcul habituelles : la somme de deux matrices

  • 2 CHAPITRE 1. ANNEAUX, IDAUX, ALGBRES

    est obtenue en ajoutant terme terme, le produit des matrices P = (pi , j ) et Q = (qi , j )est la matrice R = (ri , j ) dont le terme (i , j ) est donn par

    ri , j =n

    k=1pi ,k qk, j .

    Si n > 2, ou si A nest pas commutatif, lanneau Mn(A) nest pas commutatif.b) Si K est un corps (pour linstant commutatif), lensemble EndK (V ) des endomor-

    phismes dun K -espace vectoriel V est un anneau, non commutatif ds que dimV > 2.En fait, EndK (V ) est aussi un K -espace vectoriel et sa multiplication est K -linaire. Ondit que cest une K -algbre.

    c) Soit G un groupe ablien. Si et sont deux endomorphismes de G , lapplica-tion g 7(g )+(g ) est encore un endomorphisme de G quon note+ ; cela munitEnd(G) dune structure de groupe commutatif, dlment neutre lapplication g 7 0.La composition des endomorphismes (,) 7 est une loi associative et distri-butive par rapport laddition ; lapplication identique de G en est un lment neutre.Ces lois munisent ainsi lensemble End(G) des endomorphismes du groupe ablien Gdun structure danneau.

    Voici un exemple un peu moins connu.

    Exemple 1.3. Soit A un anneau et soit G un groupe. Le groupe ablien A(G) des fonc-tions de G dans A de support fini est muni dun produit de convolution dfini par laformule

    ()(g ) = hG

    (h)(h1g ).

    Le produit de convolution est bien dfini : la somme est finie, et la convole de deuxfonctions de support fini est encore de support fini. En outre, le produit de convolu-tion est associatif, llment neutre est la fonction ( de Dirac ) qui vaut 1 en llmentneutre de G et 0 ailleurs. Cela munit A(G) dune structure danneau. Surtout lorsque Aest un anneau commutatif, on lappelle lalgbre du groupe G ( coefficients dans A).

    Les axiomes des anneaux permettent un calcul analogue celui dont on a lhabitudedans les entiers ou les matrices. Si a est un lment dun anneau A et si n est un entierpositif ou nul, on dfinit an par rcurrence en posant a0 = 1 et, si n > 1, an = a(an1).

    Un sous-anneau B dun anneau A est un sous-groupe de A pour laddition quicontient 1 et est stable par la multiplication, de sorte que muni des lois induites parles lois de A, B est un anneau dont les lments neutres sont encore 0 et 1.

    Lintersection dune famille de sous-anneaux dun anneau A est un sous-anneaude A.

    Soit A un anneau et S une partie de A. Lintersection de tous les sous-anneaux de Aqui contiennent S est un sous-anneau de A quon appelle le sous-anneau de A engendr

  • 1.1. PREMIRES DFINITIONS 3

    par S. Si S est de la forme B T o B est un sous-anneau de A, on note aussi B[T ] lesous-anneau de A engendr par S.

    Soit A un anneau. Lensemble Z des lments a A tels que ax = xa pour tout x Aest un sous-anneau de A, appel centre de A.

    DFINITION 1.4. Soit A et B deux anneaux. Un homomorphisme danneaux f : A B est une application vrifiant les proprits suivantes

    on a f (0) = 0 et f (1) = 1 ; pour tous a et b dans A, on a f (a +b) = f (a)+ f (b) et f (ab) = f (a) f (b).Le mot morphisme est un synonyme pour homomorphisme. Un endomorphisme

    dun anneau A est un homomorphisme de A dans A. Si A est un anneau, lapplicationidentique idA : A A est un homomorphisme danneaux. La composition de deux ho-momorphismes danneaux est encore un homomorphisme danneaux. Cela permet dedfinir la catgorie des anneaux.

    Conformment aux dfinitions de thorie des catgories, on dit quun homomor-phisme danneaux f : A B est un isomorphisme sil existe un homomorphisme dan-neaux g : B A tel que f g = idB et g f = idA. Le morphisme g est alors appelhomomorphisme rciproque de f . On note f : A

    B pour signifier que lhomomor-phisme f : A B est un isomorphisme ; si A et B sont isomorphes, cest--dire sil existeun isomorphisme A

    B, on crit A ' B. Si A est un anneau, un automorphisme de Aest un isomorphisme de A sur A. Lensemble des automorphismes dun anneau est ungroupe pour la composition.

    PROPOSITION 1.5. Un homomorphisme danneaux est un isomorphisme si et seule-ment si il est bijectif.

    Dmonstration. Si f : A B est un isomorphisme, son homomorphisme rci-proque est en particulier une bijection rciproque de f , donc f est bijectif. Rcipro-quement, supposons que f est bijectif et notons g sa bijection rciproque. Il nous fautalors prouver que g est un homomorphisme danneaux de B dans A.

    Comme f (0) = 0, g (0) = 0. Si a et b B,f (g (a +b)) = a +b = f (g (a))+ f (g (b)) = f (g (a)+ g (b))

    et

    f (g (ab)) = ab = f (g (a)) f (g (b)) = f (g (a)g (b)).Comme f est bijectif, g (a +b) = g (a)+ g (b) et g (ab) = g (a)g (b).Exemples 1.6. a) Soit A un anneau et soit a un lment de A qui est inversible, cest--dire quil existe un lment b A tel que ab = ba = 1. Alors, lapplication x 7 axbest un automorphisme de A, appel automorphisme intrieur. Tout automorphismede Mn(C) est un automorphisme intrieur (exercice 12).

  • 4 CHAPITRE 1. ANNEAUX, IDAUX, ALGBRES

    b) Soit A = C[X1, . . . ,Xn] lanneau des polynmes en n variables coefficients dans C.Soit Q1, . . . ,Qn des lments de A. Lapplication de A dans lui-mme qui un poly-nme P associe le polynme P(Q1, . . . ,Qn) dans laquel on substitue le polynme Qi lindtermine Xi est un endomorphisme danneaux. Soit une permutationde {1, . . . , n} et choisissons Qi = X(i ) ; notons lendomorphisme de A ainsi dfini.On a (Xi ) = X((i )) =(X(i ) =((Xi )) ; on en dduit que (P) = (P)pour tout polynme P A. Par suite, lapplication 7 est un homomorphisme degroupes du groupe symtrique Sn dans Aut(C[X1, . . . ,Xn]).

    Si f : A B est un homomorphisme danneaux, limage f (A) de A par f est un sous-anneau de B. Limage rciproque f 1(C ) dun sous-ann