25
Table des matières 1 Introduction 2 2 Rappels 5 1 K-Algèbre ....................................... 5 1.1 Sous-algèbre .................................. 5 2 Morphisme d’algèbre ................................. 6 3 Algèbre de Banach 7 1 Algèbre normée .................................... 7 1.1 Involution d’Algèbre ............................. 8 1.2 la norme homogène N * de la norme . * .................. 8 1.3 Norme sur une algèbre de matrices ..................... 9 1.4 Changement de norme par automorphisme ................. 13 1.5 Norme définie par un élément inversible ................... 15 2 Algèbre de Banach .................................. 16 3 Inversibilité dans une algèbre de Banach ...................... 17 4 Séries dans une algèbre de Banach .......................... 21 4.1 Produit de Cauchy de deux séries ...................... 21 5 Spectre ......................................... 23 5.1 Spectre ponctuel, résiduel, continu ..................... 24 5.2 Rayon spectral ................................ 25 1

algèbre de banach

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: algèbre de banach

Table des matières

1 Introduction 2

2 Rappels 51 K-Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Sous-algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Morphisme d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Algèbre de Banach 71 Algèbre normée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Involution d’Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 la norme homogène N∗ de la norme ‖.‖∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Norme sur une algèbre de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Changement de norme par automorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Norme définie par un élément inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Algèbre de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Inversibilité dans une algèbre de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Séries dans une algèbre de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1 Produit de Cauchy de deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1 Spectre ponctuel, résiduel, continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Rayon spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1

Page 2: algèbre de banach

Chapitre 1

Introduction

Ce mémoire a pour objectif l’étude de la structure d’Algèbre de Banach. Pour celà, on afait appel à plusieurs notions d’Analyse fonctionnelle et essentiellement d’algèbre.Ce qui caractérise principalement l’algèbre de Banach c’est la notion d’inversibilité des élémentset leur propriétés spectrales. Le plan qu’on a suivi pour élaborer ce travail est le suivant : ona commencé par un rappel qui concerne les K-algèbres et les morphismes... puis on a passé àl’étude de l’algèbre, de la norme et puis la complétion et on a fini par entamer la théorie desspectres.

Stefan Banach.

Biographie :Stefan Banach est né le 30 mars 1892 à Ostrowsko près de Cracovie alors territoire de l’EmpireAutrichien. Son père s’appelait Stefan Greczek et était l’époux de Katarzyna Banach. Il fait sesétudes primaires et secondaires à Cracovie, puis est allé poursuivre ses études universitaires àLviv en Pologne (Ukraine actuelle) de 1910 à 1914. Pendant la guerre, il est réformé, travailleà la construction de routes et suit à l’Université de Cracovie les leçons de mathématiques.En 1916, traversant un parc de Cracovie, Hugo Dyonizy Steinhaus entend prononcer les motsmesure de Lebesgue ; c’est ainsi qu’il fit la connaissance de deux jeunes mathématiciens OttoNikodým et Stefan Banach. Ce fut le début d’une fructueuse collaboration.En 1919, à l’initiative de Steinhaus, est créée la Société de Mathématiques de Cracovie, trans-formée en 1920 en Société de Mathématiques de Pologne. Banach y fait de nombreuses com-munications. En 1920, il devient assistant de Lomnicki à l’Université Technique de Lviv et en1922 passe son habilitation. Il est nommé professeur en 1924.En 1929, avec Steinhaus, il crée la revue Studia Mathematica consacrée à l’analyse fonction-nelle, et fonde l’école mathématique de Lwów. En 1931 commence une série de publicationssous le titre de Mathematical Monographs ; la direction est assurée par Banach et Steinhaus àLviv ainsi que par Kuratowski, Mazurkiewicz, et Sierpinski à Varsovie.En 1939, il est nommé président de la Société de Mathématiques de Pologne. La Seconde Guerremondiale fut une période de difficultés avec les occupationsTravauxIl est un des fondateurs de l’analyse fonctionnelle. La théorie généralise les contributions deVolterra, Fredholm et Hilbert sur les équations intégrales.

2

Page 3: algèbre de banach

Pour résoudre ces problèmes, il a approfondi la théorie des espaces vectoriels topologiques. Danssa thèse en 1920, il donne la définition des espaces de type (B) que nous appelons aujourd’huiespaces de Banach (les mathématiciens ayant accepté le nom proposé par Frechet).Plusieurs de ses théorèmes portent son nom, tels

le théorème de Hahn-Banach (1927) sur l’extension d’une forme linéaire non-nécessairementcontinue définie sur un sous-espace d’un espace vectoriel à l’espace tout entierle théorème de Banach-Steinhaus (1927) sur les familles d’applications linéaires continues bor-nées, conséquence très importante de la propriété de Bairele théorème de Banach-Alaoglu, traitant de compacitéle théorème de Banach-Schauder (ou encore théorème de l’application ouverte).

Banach a étudié les algèbres dites aujourd’hui de Banach.Son livre Théorie des opérations linéaires (Teoria operacji liniowych, 1932) expose une synthèsede son travail.Ses autres travaux touchent à la théorie de la mesure de l’intégration, de la théorie des en-sembles et des séries orthogonales.Il est à l’origine, avec Alfred Tarski, du paradoxe de Banach-Tarski qui par la simplicité appa-rente de son énoncé et l’étrangeté de sa conclusion, souligne les difficultés de compréhension quise cachent dans la notion de parties non-mesurables de R3. Ces difficultés sont aussi intimementattachées à l’axiome du choix, outil de base de la démonstration.Depuis 1992, année du centenaire de sa naissance, l’Académie polonaise des sciences attribuela Médaille Stefan Banach en son honneur.Un Prix Stefan-Banach est attribué par la Société mathématique de Pologne à des mathéma-ticiens polonais.

3

Page 4: algèbre de banach

4

Page 5: algèbre de banach

Chapitre 2

Rappels

K désigne un corps commmutatif.

1 K-AlgèbreDéfinition 1.1 Soit E un ensemble muni de deux loi internes + et ×, et d’une loi externe · àopérateur dans K alors (E,+,×, ·) est une K-algèbre lorsque :i) (E,+, ·) est un K-evii) (E,+,×) est un anneauiii) ∀λ ∈ K,∀x, y ∈ E, λx× y = x× λy = λ(x× y)Exemple 1.2 1. (F(R,R),+, ., ◦) est un R-algèbre

2. K, K[X], Mn(K) et L(E) sont des K-algèbres3. F(N,R) est une R-algèbre

Proposition 1.3 si A1, A2, A3, ....., An sont des K-algèbres alors A1 ×A2 ×A3 × .....×An estune K-algèbre pour les lois produits

1.1 Sous-algèbreDéfinition 1.4 On appelle sous-algèbre d’une K-algèbre E, toute partie F de E verifiant :

1. 1E ∈F2. ∀λ ∈ K ,∀x, y ∈,F on a x+ y ∈F3. Pour tous λ ∈ IK et x, y ∈ F, on a λx ∈F et x× y ∈F

Exemple 1.5 1. Soit u∈L(E) ; l’ensembleC = {v ∈ L(E)/u ◦ v = v ◦ u}

est un sous-algèbre de L(E)2.

ϕ = {(un)n ∈ F(N,R)/un converge}est une sous algèbre de F(N,R)

3. l’ensemble des fonctions polynomiales de K dans K est une sous-algèbre de l’algèbre(F(K,K),+,×, •)

Proposition 1.6 Une sous-algèbre d’une K-algèbre est une K-algèbre

5

Page 6: algèbre de banach

2 Morphisme d’algèbreDéfinition 2.1 Soient A et B deux K-algèbres ; on appelle morphisme d’algèbre de A vers Btoute application f : A→B verifiant :

1. f(1A) = 1B2. ∀λ, µ ∈ K,∀x, y ∈ A, f(λx+ µy) = λf(x) + µf(y)3. ∀x, y ∈ A, f(x · y) = f(x) · f(y)

Un morphisme d’algèbre est une application linéaire qui est un morphisme d’anneau.

Exemple 2.2 1. L’application f : z → z̄ est un automorphisme de la R-algèbre C.2. Pour P ∈ GLn(K),M −→ PMP−1 l’application est un automorphisme de R-algèbre C .3. ϕ = {(un)n ∈ F(N,R)/un converge} l’application :

ϕ −→ Run −→ lim un

est un morphisme d’algèbre

6

Page 7: algèbre de banach

Chapitre 3

Algèbre de Banach

1 Algèbre norméeDéfinition 1.1 On dit qu’une K-algèbre A munie d’une norme ‖ . ‖ est un algèbre normée sielle vérifie

∀a, b ∈ A, ‖ab‖ ≤ µ ‖ a ‖‖ b ‖

où µ est une constante strictement positive.

Exemple 1.2 Soit (A, ‖.‖) un espace vectoriél normé ; la norme |‖ · ‖| est définie sur L(A)par :

|‖a‖| = supx 6=0

‖a(x)‖‖x‖

Alors L(A) est une algèbre normée.

Théorème 1.3 Si (A, ‖.‖) est une algèbre normée, il existe une norme N équivalente à ‖.‖,telle que N(1) = 1, et ∀a, b ∈ A ,

N(ab) ≤ N(a)N(b)

Une telle norme sera dite homogène.

Démonstration. Soit a ∈ A. Considérons l’endomorphisme ψa de A, défini par

ψa : b −→ ab

On a‖ψa(b)‖ = ‖ab‖ ≤ µ‖a‖‖b‖.

Donc ψa est une application linéaire continue, alors ,

‖|ψa‖| ≤ µ‖a‖

L’application a 7→ ψa est un morphisme injectif de l’algèbre A dans l’algèbre L(A).Posons

N(a) = ‖|ψa‖|

7

Page 8: algèbre de banach

qui définit une norme sur AD’autre part, quel que soit b dans A, on a :

‖ψa(b)‖ ≤ N(a)‖b‖or

‖ψa(b)‖ = ‖ab‖en particulier si b=1

‖a‖ ≤ N(a)‖1‖.Finalement, pour tout a dans A ,

1µN(a) ≤ ‖a‖ ≤ ‖1‖N(a)

Donc les norme N et ‖.‖ sont équivalentes.

1.1 Involution d’AlgèbreDéfinition 1.4 Soit ‖.‖ une norme. La norme définie par :

‖ a ‖∗=‖ a∗ ‖est appelée norme adjointe.Proposition 1.5 Si (A, ‖.‖) est une algèbre normée, alors (A, ‖.‖∗) est aussi une algèbre nor-méeDémonstration. On a :

‖ ab ‖∗=‖ b∗a∗ ‖≤ µ ‖ a∗ ‖ ‖ b∗ ‖= µ ‖ a ‖∗‖ b ‖∗

alors‖ ab ‖∗≤ µ ‖ a ‖∗‖ b ‖∗

ce qui implique que (A, ‖.‖∗) est une algèbre normée.Les autres axiomes sont évidents.

1.2 la norme homogène N ∗ de la norme ‖.‖∗

|‖ψa‖|∗ = supb6=0

‖ψa(b)‖∗‖b‖∗

= supb 6=0

‖(ab)∗‖‖b∗‖

= supb 6=0

‖(ab)∗‖‖b∗‖

= supb6=0

‖b∗a∗‖‖b∗‖

= supb6=0

‖ρa∗b∗‖‖b∗‖

8

Page 9: algèbre de banach

On obtient :|‖ψa‖|∗ = sup

b6=0

‖ρa∗‖b∗‖‖b∗‖

|‖ψa‖|∗ = |‖ρ∗a|‖c’est-à-dire :

N∗(a) = |‖ρ∗a|‖

1.3 Norme sur une algèbre de matricesDans ce paragraphe on se place dans A = Mn(C). avec dim(Mn(C)) = n2 et toutes les

normes sont des normes d’algèbre, car, sur un éspace vectoriel de dimension finie, toutes lesapplications bilinéaires sont continues.Soit J la matrice carrée d’ordre n définie par :

J =

1 · · · 1... ... ...1 · · · 1

On a

J2 =

n · · · n... ... ...n · · · n

donc J2 = nJ .

1. ‖a‖ =∑i

maxj|aij|

On a

‖ab‖ =∑i

maxj|∑k

aikbkj|

≤∑i

maxj

∑k

|aik||bkj|

≤∑i

∑k

|aik|maxj|bkj|

≤∑i

∑k

maxk|aik|max

j|bkj|

≤ ‖a‖‖b‖Si a=b=J alors on obtient l’égalité.En effet

‖J‖ = n

et‖J2‖ = n‖J‖ = n2 = ‖J‖2

9

Page 10: algèbre de banach

Donc µ = 1 et par ailleurs ‖I‖ = n.En reprenant le calcul précédent

‖ab‖ ≤∑i

∑k

|aik|maxj|bkj|

≤∑k

maxj|bkj|

∑i

|aik|

≤∑k

maxj|bkj|max

k

∑i

|aik|

≤ ‖b‖maxk

∑i

|aik|

Soit k0 tel que maxk

∑i

|aik| =∑i

|aik0| Posons

bkj ={

1 si k = k00 si k 6= 0

alors on a

maxj|bkj| =

{1 si k = k00 si k 6= 0

et donc

‖b‖ =∑k

maxj|bkj| = 1.

Par ailleurs,pour tout couple (i,j),

∑k

aikbkj = aik0bk0j = aik0 ,

et donc‖ab‖ =

∑i

maxj|∑k

aikbkj| =∑i

maxj|aik0 |

alors‖ab‖ = ‖b‖max

k

∑i

|aik|,

finalement,N(a) = |‖ψa‖| = max

k

∑i

|aik|

2. ‖a‖∗ =∑i

maxj|aij|

Cette norme est l’adjointe de la précédente.Donc le nouveau µ = 1 et ‖I‖∗ = n.En majorant par la somme des modules,on obtient,

10

Page 11: algèbre de banach

‖ab‖∗ ≤∑j

maxi

∑k

|aik||bkj|

≤∑j

maxi

∑k

|aik|maxk|bkj|

≤∑j

maxk|bkj|max

i

∑k

|aik|

≤ ‖b‖∗maxi

∑k

|aik|

Soit i0 tel quemaxi

∑k

|aik| =∑k

|ai0k|.

Posons

bkj ={

1 si k = k00 si k 6= 0

alors on a

maxj|bkj| =

|ai0k|ai0k

si ai0k 6= 0

1 si ai0k = 0et donc

‖b‖∗ =∑j

maxk|bkj| =

∑j

1 = n.

Par ailleurs∑k

|ai0kbkj| =∑k

ai0k,

et si i 6= i0|∑k

aikbkj| ≤∑k

|aik||bkj| =∑k

|aik| ≤∑k

|ai0k|

‖ab‖∗ =∑j

maxi|∑k

aikbkj| =∑j

∑k

|ai0k| = n∑k

|ai0k| = ‖b‖∗maxi

∑k

|aik|.

doncN∗(a) = max

i

∑k

|aik|

3. ‖a‖ = maxij|aij|

‖ab‖ =∑i,j

|∑k

aikbkj| ≤∑i,j

∑k

|aik||bkj|

donc

‖ab‖ ≤∑i,j,k

|aik||bkj| ≤∑i,j,k,l

|aik||blj| = ‖a‖‖b‖.

11

Page 12: algèbre de banach

On a l’égalite pour la matrice a dont tous les éléments sont tous nuls sauf a11 = 1. Elle vérifiea2 = a, et ‖a‖ = 1. On a donc µ = 1. On a egalement ‖I‖ = n. En partant de (1),

‖ab‖ ≤∑k,j

∑i

|aik||bkj| =∑k,j

(|bkj|∑i

|aik|).

Et on majore∑i

|aik par maxk

∑i

|aikdonc

‖ab‖ ≤ maxk

∑i

|aik|∑k,j

|bkj| = ‖b‖maxk

∑i

|aik|

Soit donc k0 tel que

maxk

∑i

|aik| =∑i

|aik0|.

Posons

bkj ={

1 si k = k00 si k 6= 0

On a alors

‖b‖ =∑k,j

|bkj| =∑j

|bk0j| = n

alors,pour tout couple (i,j),

∑k

aikbkj = aik0bk0j = aik0

donc

‖ab‖ =∑i,j

‖∑k

aikbkj| = n∑i

|aik0|

on déduit que

‖ab‖ = ‖b‖maxk

∑i

|aik|

donc

N(a) = maxk

∑i

|aik

de même manière on obtient la norme N pour les autes normes

12

Page 13: algèbre de banach

1.4 Changement de norme par automorphismeSoit (E, ‖.‖) un espace vectoriel normé et soit ϕ un automorphisme de E.

On pose

‖Q‖′ = ‖ϕ(Q)‖‖ · ‖′ définit une norme sur E.Soit f un endomorphisme de E.On a

|‖f‖|′ = supx 6=0

‖f(x)‖′

‖x‖′

Or‖f‖′ = ‖ϕ(f)‖

donc

|‖f‖|′ = supx 6=0

‖ϕ ◦ f(x)‖‖ϕ ◦ x‖

alors

|‖f‖|′ = supx 6=0

‖ϕ ◦ f ◦ ϕ−1(ϕ(x))‖‖ϕ(x)‖

de plus ϕ est un automorphisme de Edonc

|‖f‖|′ = supy 6=0

‖ϕ ◦ f ◦ ϕ−1(y)‖‖y‖

d’ou

|‖f‖|′ = |‖ϕ ◦ f ◦ ϕ−1‖|ConclusionPar un changement de norme on peut passer dans certaines situations d’une norme à une autreconnue.

Exemple 1.6 Soit la norme ‖.‖ définit surM2(R) par

‖A‖ = max(|α|+ |β|, |λ|+ |δ|)tel que

A =(α δλ β

)soit B ∈M2(R)

B =(a bc d

)

13

Page 14: algèbre de banach

alors

‖B‖ = max(|a|+ |d|, |c|+ |b|)soit

C = ρ(A) =

α δ 0 0λ β 0 00 0 α δ0 0 λ β

on remarque que

max(|a|+ |d|, |c|+ |b|) = max(|a+ d|, |a− d|, |c+ b|, |c− b|)Soit alors ϕ l’automorphisme défini par

ϕ(a, b, c, d) = (a+ d, a− d, c+ b, c− b)P la matrice associé a ϕ

P =

1 0 0 11 0 0 −10 1 1 00 1 −1 0

On pose

ϕ(a, b, c, d) = (X, Y, Z, T )on obtient le système suivant

X = a+ dY = a− dZ = d+ cT = d− c

alors

a = X + Y

2b = Z + T

2c = Z − T

2d = X − Y

2d’ou

P−1 = 12

1 1 0 00 0 1 10 0 1 −11 −1 0 0

14

Page 15: algèbre de banach

donc

12PC =

α δ λ βα δ −λ −βλ β α δλ β −α −δ

donc

PCP−1 = 12

α + β α− β λ+ δ δ − λα− β α + β δ − λ λ+ δλ+ δ λ− δ α + β β − αλ− δ λ+ δ β − α α + β

la norme N associée est

N(A) = |‖ρ(A)‖| = |‖PCP−1‖| = maxi

∑k

|bik|

On a de plus∑k

|b1k| =∑k

|b2k| =∑k

|b3k| =∑k

|b4k|

Donc

N(A) = 12(|α + β|+ |α− β|+ |λ+ δ|+ |δ − λ|

On remarque que12(|x+ y|+ |x− y|) = max(|x|+ |y|)

donc

N(A) = max(|α|, |β|) + max(|λ|, |δ|)

1.5 Norme définie par un élément inversibleNotation. Soient A une algèbre normée. On défini un automorphisme ϕ par :

ϕ : a→ νaν−1

avec ν inversible de l’algèbre AOn note ‖ . ‖ν la norme définie par cet automorphisme tel que :

‖ . ‖ν=‖ νaν−1 ‖

Propriétés. Pour tout élément inversible ν, l’algèbre A muni de est une algebre normée‖ . ‖ν ∀ν ∈ A, et toues ces normes sont équivalentes.De plus si ‖ . ‖ est homogène, toutes les autres normes ‖ . ‖ν , ∀ν ∈ A le sont également.

Démonstration. En effet,si l’on a

‖ab‖ ≤ µ‖a‖‖b‖

15

Page 16: algèbre de banach

on obtient

‖ab‖ν = ‖νabν−1‖ = ‖νaν−1νbν−1‖ ≤ µ‖νaν−1‖‖νbν−1‖ = µ‖a‖ν‖b‖νalors (A, ‖.‖ν) est une algébre norméeor

‖a‖ν = ‖νaν−1‖ ≤ µ‖ν‖‖ν−1‖‖a‖

et

‖a‖ = ‖νaν−1‖ ≤ µ‖ν‖ν‖ν−1‖ν‖a‖ν = µ‖ν‖‖ν−1‖‖a‖νalors ‖.‖ν et ‖.‖ sont deux normes équivalentes.et si la norme ‖.‖ est homogéne,onobtientµ = 1,et

‖1‖ν = ‖µ1ν−1‖ν = ‖1‖

alors les normes ‖.‖ν sont hommogénes.en générale

Nν(a) = N(νaν−1) = Nν(a)

Remarque 1.7 Si ν et a commutent, en particulier si a = P (ν), oùP est un polynôme on a

‖a‖ν = ‖νaν−1‖ = ‖ν−1aν‖ = |‖a‖

2 Algèbre de BanachDéfinition 2.1 on dit qu’une K-algèbre E muni d’une norme ‖ . ‖ est un algèbre de Banachsi :i) E est une algèbre norméeii) E est un espace Banach et unitaire c-à-d elle posséde une unité ‖ ϕ ‖= 1

Exemple 2.2 :1. Les Rn,Cn, Mn(K) sont des algèbres de Banach.2. Une algèbre normée E avec dimE <∞ et un algèbre de Banach3. l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0,1] muni de la norme ‖ . ‖∞ est un algèbre

de Banach4. F(X,F ), l’espace des applications continues bornées d’un espace mťetrique (X, d) à valeurs

dans F, muni de la norme du sup ‖ . ‖ est une algèbre de Banach.

Définition 2.3 (Un homomorphisme d’algèbres de Banach) Un homomorphisme d’al-gèbres de Banach unitaire est une application linéaire continue f : A −→ B entre deux algèbresde Banach A et B, telle que f(ab) = f(a)f(b) pour tous a, b ∈ A et que f(1A) = 1B.

16

Page 17: algèbre de banach

3 Inversibilité dans une algèbre de BanachDéfinition 3.1 Soient A une algèbre de Banach unitaire, et a ∈ A ; on dit que a est inversibledans A s’il existe b ∈ A tel que ab = ba = 1A.

Exemple 3.2 Soit f ∈ A = F(K) ; si f est inversible il existe une fonction continue g telle quef(x)g(x) = 1 pour tout x ∈ K, donc f(x) 6= 0 pour tout x ∈ K. Inversement, si f ne s’annulepas sur K, la fonction x −→ 1/f(x) est définie et continue sur K, et elle est l’inverse de f dansA . On voit donc que f est inversible dans F(K) si et seulement si elle ne s’annule pas sur K.

Lemme 3.3 Soient A une algèbre de Banach unitaire et a ∈ A tel que ‖ a ‖< 1 , alors la série∞∑k=0

ak est convergente dans A et sa somme est inversible tel que :

(1A − a)−1 =∞∑k=0

ak

et de plus

(1A − a)−1 ≤ (1− ‖ a ‖)−1

Démonstration.∞∑k=0

ak est normalement convergente car ‖ a ‖< 1, donc convergente dans

l’espace complet A et on a Sa = aS =∞∑k=0

ak+1 (S est la somme de∞∑k=0

ak) alors

S − Sa =∞∑k=0

ak −∞∑k=0

ak+1 = 1A

d’ou

S(1A − a) = 1A

ce qui donne

(1A − a)−1 = S =∞∑k=0

ak

alors

‖ (1A − a)−1 ‖=‖∞∑k=0

ak ‖≤∞∑k=0‖ ak ‖≤

∞∑k=0‖ a ‖k= (1A− ‖ a ‖)−1

donc

‖ (1A − a)−1 ‖≤ (1A− ‖ a ‖)−1

17

Page 18: algèbre de banach

Exemple 3.4 1. Si A est une matrice carree diagonalisable dont toutes les valeurs propres ontun module strictement inferieur a 1, alors la serie

∑Ak est absolument convergente, et :

∞∑k=0

Ak = (In − A)−1

2. Pour A = C, la serie∑

zk est absolument convergente si et seulement si | z |< 1 et dans cecas :

∞∑k=0

zk = (1− z)−1

si | z |≥ 1 alors cette serie est grossierement divergente.

Remarque 3.5 Soient A une algèbre de Banach unitaire et a ∈ A tel que ‖ a ‖< 1, en enlevantle premier terme de la série géométrique

∑ak, on a obtenu l’égalité :

∞∑k=1

ak = (1A − a)−1 − 1A = a(1A − a)−1

de même, en enlevant les deux premiers termes on obtient :∞∑k=2

ak = (1A − a)−1 − 1A − a = a2(1A − a)−1

On en d’eduit les inégalités :

‖ (1A − a)−1 − 1A ‖≤‖ a ‖ (1A− ‖ a ‖)−1

et

‖ (1A − a)−1 − 1A − a ‖≤‖ a ‖2 (1A− ‖ a ‖)−1

Proposition 3.6 Soit A une algèbre de Banach unitaire, l’ensemble U des éléments inversiblesdans A est un ouvert non vide . L’application

ϕ : u −→ u−1

est continue et différentiable de U dans A, sa différentielle en u ∈ U est :

(dϕ)u : b −→ u−1bu−1.

Démonstration :On a éléments neutre est appartient a U donc U non vide Soit u ∈ A inversible soit v ∈ A telque

‖ u− v ‖<‖ u−1 ‖−1

on a‖ 1A − u−1v ‖=‖ u−1(u− v) ‖≤‖ u−1 ‖‖ (u− v) ‖< 1

1A − (1A − u−1v) = u−1v ∈ U

18

Page 19: algèbre de banach

donc v = uu−1v ∈ U alors B(u, ‖ u−1 ‖−1) ⊂ U alors U est ouvertMontrons que l’application a→ a−1 est continue sur U.D’abord en 1 soit r ∈]0; 1[ tel que la boule B (1,r) soit incluse dans U. Pour touth ∈ B(1, r) :

h−1 = (1− (1− h))−1 =+∞∑n=0

(1− h)n

alorsh−1 − 1 =

+∞∑n=1

(1− h)n

donc‖ h−1 − 1 ‖=‖

+∞∑n=0

(1− h)n ‖≤+∞∑n=0‖ (1− h) ‖n

d’où :‖ h−1 − 1 ‖≤‖ h− 1 ‖

+∞∑n=0

rn

et on général, pour tout a ∈ U et pour tout h ∈ B(0, r/ ‖ a−1 ‖) de sorte que 1 + a−1h ∈B(1, r),ona :

‖ (a+ h)−1 − a−1 ‖=‖ ((1 + a−1h−1)−1 − 1)a−1 ‖

‖ (a+ h)−1 − a−1 ‖≤‖ ((1 + a−1h−1)−1 − 1) ‖‖ a−1 ‖

‖ (a+ h)−1 − a−1 ‖≤‖ h ‖‖ a−1 ‖2+∞∑n=0

rn

l’application a −→ a−1 est localement lipschitzienne et donc continue sur Usoit b ∈ A tel que

‖ b ‖<‖ u−1 ‖−1

on écrit

u+ b = u(1A + u−1b)

et si on pose a = −u−1b on aura

‖ a ‖=‖ u−1b ‖≤‖ u−1 ‖‖ b ‖< 1

ce qui implique que 1A − a = 1A + u−1b est inversible dans A,donc u + b aussi, et

(u+ b)−1 = (1A − a)−1u−1.

En utilisant le développement en série obtenu au lemme 1, on obtient que lorsque

‖ b ‖<‖ u−1 ‖−1, on a (u+ b)−1 = (∞∑k=0

ak)u−1

ce qui peut s’écrire

(u+ b)−1 = u−1 − u−1bu−1 + u−1bu−1bu−1 − ...

19

Page 20: algèbre de banach

Considérons que u est fixé, b variable et petit, et gardons en évidence les deux premiers termesdu développement, sous la forme :

(*) (u+ b)−1 = u−1 − u−1bu−1 + V (b) où V (b) = (∞∑k=2

ak)u−1

Comme dans la remarque 4, on obtient la majoration de norme

‖ V (b) ‖≤‖ a ‖2 (1− ‖ a ‖)−1 ‖ u−1 ‖

, qui montre que

‖ V (b) ‖= O(‖ b ‖2)

lorsque b → 0A. Puisque ψ : b −→ u−1bu−1 est une application linéaire continue de A danselle-même, la relation (*) montre que l’application v −→ v−1 avec v ∈ U est différentiable aupoint u (donc continue au point u) et que sa différentielle au point u estψ.

Corollaire 3.7 Soient E, F deux espaces de Banach unitaire,l’ensemble U ⊂ L(E,F ) desapplications linéaires continues inversibles est ouvert dans l’espace L(E,F ). L’application :

ϕ : A −→ A−1 e

st continue et différentiable de U dans L(F,E), sa différentielle en T ∈ Uest

(dϕ)T : S −→ T−1ST−1.

Lemme 3.8 Soient A une algèbre Banach et a ∈ A . La suite (‖ ak ‖ 1k )k∈N? converge vers

infk∈N?‖ ak ‖

1k

Démonstration : Si a est nilpotent alors an = 0 pour un certain n ∈ N, le lemme est evident.Nous pouvons donc supposer que ‖ a ‖≥ 0 pour tout k ∈ N?, L.entier m ∈ N?, etant fixé, pourtout k ∈ N∗, il existe p(k), q(k) ∈ N? tels que :

k = p(k) ·m+ q(k) et 0 ≤ q(k) < m

alors

‖ ak ‖≤‖ am ‖p(k) · ‖ a ‖q(k)

donc

‖ ak ‖1k≤‖ am ‖

p(k)k · ‖ a ‖

q(k)k

puisque

limk

q(k)k

= 0 et limk

p(k)k

= limk

( 1m− q(k)m · k

) = 1m

donc

lim supk‖ ak ‖

1k≤‖ am ‖

1m

On en déduit

lim supk‖ ak ‖

1k≤ inf

m‖ am ‖

1m≤ lim inf

k‖ ak ‖

1k≤ lim sup

k‖ ak ‖

1k

20

Page 21: algèbre de banach

4 Séries dans une algèbre de BanachDéfinition 4.1 Soient A un algèbre normée unitaire (1E = e) et (xn)n une suite dans A.On dit que (xn)n est advertiblement convergente s’il existe un element a dans E tel que les suites(axn)n et (xna)n convergent vers l’unite e. L’algebre A est dite advertiblement de Banach, sitoute suite de Cauchy, advertiblement convergente, est convergente.

nous utilisons cette notion dans la Topologie algèbrique

Théorème 4.2 Soit A une algèbre de Banach, (un)n et (vn)n deux suites de A.Si (un)n admet une limite a et (vn)n une limite b, avec a, b ∈ A alors (unvn)n converge vers ab.

Démonstration. on a (un)n et (vn)n converge alors ils sont bornnées, soitM = max(U, V ) tel que ‖ un ‖≤ U et ‖ vn ‖≤ V alors pour ε > 0, il existen0 ∈ N tel que :

∀n ≥ n0 ⇒‖ un − a ‖≤ε

2M∀n ≥ n0 ⇒‖ vn − b ‖≤

ε

2MD’autre par :

‖ unvn − ab ‖≤‖ unvn − unb ‖ + ‖ unb− ab ‖‖ unvn − ab ‖≤‖ un ‖‖ vn − b ‖ + ‖ un − a ‖‖ b ‖

‖ unvn − ab ‖≤Mε

2M +Mε

2M ≤ ε

donc∀ε > 0, ∃n0 ∈ N,∀n ≥ n0 ⇒‖ unvn − ab ‖≤ ε

4.1 Produit de Cauchy de deux sériesSoit A une algèbre normée unitaire de dimension finie.

Définition 4.3 On appelle produit de Cauchy de deux séries∑

un et∑

vn d’éléments de Ala∑

wn série définie par :

∀n ∈ N, wn =n∑k=0

unvn−k

Théorème 4.4 Soit A une algèbre normée unitaire de dimension finie. Si les séries∑

unet∑

vn

d’éléments de E sont absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy∑

wn est absolu-ment convergent et :

+∞∑k=0

wk = (+∞∑k=0

uk)(+∞∑k=0

vk)

Démonstration. on pose :

Cn = {(i, j) ∈ N2/0 ≤ i, j ≤ n} et mathrmTn = {(i, j) ∈ C/i+ j ≤ n}

on a :n∑k=0

wk =∑

(i,j)∈Tnuivj et

n∑k=0

ukn∑k=0

vk =∑

(i,j)∈Cnuivj

21

Page 22: algèbre de banach

doncn∑k=0

ukn∑k=0

vk −n∑k=0

wk =∑

(i,j)∈Cn\Tnuivj

ce qui implique :‖

n∑k=0

ukn∑k=0

vk −n∑k=0

wk ‖≤∑

(i,j)∈Cn\Tn‖ ui ‖ ‖ vj ‖

D’où :‖

n∑k=0

ukn∑k=0

vk −n∑k=0

wk ‖≤n∑k=0‖ uk ‖

n∑k=0‖ vk ‖ −

∑(i,j)∈Tn

‖ ui ‖ ‖ vj ‖

on sait deja que∑‖ uk ‖ et

∑‖ vk ‖ coverge donc

n∑k=0‖ uk ‖

n∑k=0‖ vk ‖ −

∑(i,j)∈Tn

uivj tend

vers 0, ce qui prouve que la série converge et que∑

wk converge et que :

+∞∑k=0

wk = (+∞∑k=0

uk)(+∞∑k=0

vk)

La convergence est absolue car :n∑k=0‖ wk ‖≤

n∑k=0‖

n∑k=0

unvn−k ‖≤∑

(i,j)∈Tn‖ ui ‖ ‖ vj ‖

Théorème 4.5 Si les séries∑

unet∑

vn de réels positifs sont convergentes, alors leur produitde Cauchy

∑wn est convergent, et :

+∞∑k=0

wk =+∞∑k=0

uk+∞∑k=0

vk

Démonstration. on pose :

Cn = {(i, j) ∈ N2/0 ≤ i, j ≤ n} et mathrmTn = {(i, j) ∈ mathrmC/i+ j ≤ n}

on a :Tn ⊂ Cn ⊂ T2n

d’autre parn∑k=0

wk =∑

(i,j)∈Tnuivj et

n∑k=0

ukn∑k=0

vk =∑

(i,j)∈Cnuivj

D’où :n∑k=0

wk ≤n∑k=0

ukn∑k=0

vk ≤2n∑k=0

wk

on a dejatn∑k=0

ukn∑k=0

vk converge

en En passant à la limite dans l’inégalité, on obtient :+∞∑k=0

wk =+∞∑k=0

uk+∞∑k=0

vk

22

Page 23: algèbre de banach

Corollaire 4.6 Soit A une algebre normee unitaire de dimension finie. Si u et v sont deuxelements de A qui commutent, alors : exp(u+ v) = exp(u) exp(v).

Démonstration. Effectuons le produit de Cauchy des series∑ un

n! et∑ vn

n! , produit quiconverge absolument vers exp(u) exp(v) :

wn =n∑k=0

uk

k!vn−k

(n− k)! = 1n!

n∑k=0

Cknu

kvn−k

Comme u et v commutent, on peut leur appliquer la formule du binome de Newton :

wn = 1n! (u+ v)n

. La serie∑

wn converge absolument vers exp(u+ v). D’où :exp(u+ v) = exp(u) exp(v).

5 SpectreDéfinition 5.1 Soient A une algèbre de Banach unitaire complexe et a ∈ A, on appelle spectrede a et on note Sp(a) l’ensemble desλ ∈ C tels que a − λ1A ne soit pas inversible. On appellerésolvante de a l’application qui à λ ∈ C Sp(a) associe l’inverse a − λ1−1

A et on note quandλ ∈ Sp(T ) :

Rλ(a) = a− λ1−1A

Remarque 5.2 Pour tout α ∈ K, on aSp(a+ α1A) = Sp(a) + α

En effet λ ∈ Sp(a + α1A) est équivalent à ce que a + α1A − λ1A = a − (λ − α)1A ne soit pasinversible, donc à λ− α ∈ Sp(a)) donc λ ∈ Sp(a) + α

Exemple 5.3 1. soit A ∈ Mn(C) le spectre de A est l’ensemble des valeurs propres de lamatrice A

2. soit k un espace compact non vide considérons un espace de Banach B=F(K), donc si f-gs’annule alors f-g n’est pas inversible Sp(f)=g(K)

Théorème 5.4 (Gelfand) .Soit A une algèbre de Banach unitaire. Pour tout a ∈ A, Sp(a)est non vide

Corollaire 5.5 (Gelfand-Mazur) Si une algèbre de Banach unitaire A est telle que toutélément non nul est inversible, alors A est isomorphe à C

Démonstration. Soit a ∈ A un élément quelconque. Par le theoreme de Gelfand, Sp(a) n’estpas vide, il existe donc un λ ∈ C tel que a−λ n’est pas inversible. Par hypothese, ceci impliquea− λ = 0, donc a = λ. Ainsi, tout élément de A est multiple de l’unite, alors A est isomorpheà C

Propriétés. soient E un algèbre de banach unitaire complexe et T ∈ L(E), ona :Sp( tT ) = Sp(T )

généralementSp(T ∗) = {λ/λ ∈ Sp(T )}

23

Page 24: algèbre de banach

Théorème 5.6 Soient A une algèbre de Banach unitaire complexe et a ∈ A , le Sp(a) estcontenu dans le disque fermé du plan complexe centré en 0 et de rayon ‖ a ‖

Démonstration. soit λ ∈ Sp(a) si | λ |>‖ a ‖ donc

a− λ1A = −λ(1A − a/λ)

et on a| λ | / ‖ a ‖< 1

alors (1A − a/λ) est inversible se qui donne que a− λ1A ce qui absurde

Théorème 5.7 Soient A une algèbre de Banach unitaire complexe et a ∈ A ; le spectre de aest une partie compacte non vide de C, l’application

R(a) : λ −→ (a− λ1A)−1 = Rλ(a)

est holomorphe sur C \ Sp(a), avec R(a)′(λ) = (Rλ(a))2

Définition 5.8 (Spectre et Un homomorphisme d’algèbres de Banach)Soit f Un homomorphisme d’algèbres de Banach si a est inversible dans A, son image estinversible dans B et l’inverse de l’image est l’image de l’inverse. De plus f(a−1A) = f(a)−1B.Il en résulte que

Sp(f(a)) ⊂ Sp(a)

5.1 Spectre ponctuel, résiduel, continuDéfinition 5.9 Soient E un Algébre de Banach unitaire complexe etT ∈ L(E), on appelle spectre ponctuel de T l’ensemble Spp(T ) desλ ∈ C tel que T − λIdE ne soit pas injectif (c’est l’ensemble des valeurs propres de T). Onappelle spectre résiduel de T l’ensemble Spr(T )desλ ∈ C tels que T − λIdE soit injectif, maisson image ne soit pas dense. On appelle spectre continu de T l’ensemble Spc(T ) des λ ∈ C telsque T − λIdE soit injectif à image dense mais pas fermée

Proposition 5.10 Soient E un Algébre de Banach unitaire complexe et T ∈ L(E) on a :

1. Spr(T ) = Spp( tT )\Spp(T ) et Spp( tT ) ⊂ Spc(T )2. Le spectre résiduel d’un opérateur normal est vide.

Démonstration. : Soit T ∈ L(E) un opérateur normal, pour tout scalaire λ ∈ C, Tλ = T −λIdEest normal si λ est dans le spectre, ou bienλ ∈ Spp(T )(alors Tλ n’est pas injectif) , ou bien λ ∈ Spc(T ) (alors Tλ est injectif, donc à imagedense)

24

Page 25: algèbre de banach

5.2 Rayon spectralDéfinition 5.11 Soit A une algébre de Banach unitaire complexe,la quantité

ρ(a) = max{| λ |: λ ∈ Sp(A)}

s’appelle le rayon spectral de a ∈ A. On a déjà remarqué que le spectre de a est contenu dansle disque de C centré en 0 et de rayon ‖ a ‖,donc

ρ(a) ≤‖ a ‖

On dit que a est quasi-nilpotent si

ρ(a) = 0

Théorème 5.12 Soient A une algébre de Banach unitaire complexe et a ∈ A ; la suite (‖ an ‖ 1n

) est convergente et on a :lim

n→+∞‖ an ‖

1n= ρ(a)

Proposition 5.13 Soit H un espace de Hilbert complexe, le rayon spectral de tout élémentnormal T de L(H) est égal à sa norme, ρ(T ) =‖ T ‖

25