ABDELKADER BENHARI -

ALGBRE LINAIRE Lalgbre linaire est la branche des mathmatiques qui s'intresse l'tude des espaces vectoriels (ou espaces linaires), de leurs lments les vecteurs, des transformations linaires et des systmes d'quations linaires (thorie des matrices). on s'interesse dans ce cours aux: Espaces vectoriels, K-algbres, Espaces vectorielsfinis, Matrices, Dterminants, Produit scalaire sur un R-espace vectoriel, Espace vectoriel euclidien, R-espace vectoriel euclidien orient de dimension 2, R-espace vectoriel euclidien orient de dimension 3, Espaces affines,Gomtrie dans un espace affine euclidien ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA Linear algebra is the branch of mathematics that deals with the study of vector spaces (or linear spaces), of their vectors, linear transformations and systems of linear equations (matrix theory).we are interested in this course to: Vector spaces, K-algebras, finite vector spaces, matrices, determinants, scalar product on R-vector space, Euclidean space, R-Euclidean oriented vector space of dimension 2, R-Euclidean oriented vector space of dimension 3, Spaces affine geometry in a Euclidean affine space A.Benhari2 Table des matires Espaces vectoriels ...................................................................................................................... 7 I Dfinitions ............................................................................................................................ 7 A) Dfinition ...................................................................................................................... 7 B) Rgles de calcul ............................................................................................................. 7 C) Exemple important ........................................................................................................ 8 D) Vecteurs, combinaisons linaires ................................................................................ 10 II Sous-espace vectoriel ....................................................................................................... 10 A) Dfinition .................................................................................................................... 11 B) Intersection de sous-espaces vectoriels ....................................................................... 11 C) Dfinitions quivalentes .............................................................................................. 12 D) Sous-espace vectoriel engendr par ............................................................................ 12 III Sommes et sommes directes ............................................................................................ 14 IV Applications linaires ...................................................................................................... 16 A) Dfinition .................................................................................................................... 16 B) Noyau et image ............................................................................................................ 17 C) Image directe, image rciproque dun sous-espace vectoriel ...................................... 18 D) Structure sur des ensembles dapplications linaires .................................................. 19 V Quelques endomorphismes intressants ........................................................................... 22 A) Homothtie (vectorielle) ............................................................................................. 22 B) Projecteurs (vectoriels) ................................................................................................ 22 C) Symtries (vectorielles) ............................................................................................... 24 VI Familles libres (finies) .................................................................................................... 25 A) Dfinition .................................................................................................................... 25 B) Proprits gnrales ..................................................................................................... 26 VII Bases (finies) ................................................................................................................. 26 K-algbres ................................................................................................................................. 28 VIII Dfinition ...................................................................................................................... 28 IX Sous-algbres .................................................................................................................. 28 X Morphisme de K-algbre .................................................................................................. 28 Espaces vectoriels de type fini ................................................................................................. 29 XI Les thormes fondamentaux .......................................................................................... 29 A) Existence de base ........................................................................................................ 29 B) Dimension ................................................................................................................... 29 XII Rang dune famille de vecteurs ..................................................................................... 33 XIII Somme de sous-espaces vectoriels et dimension ......................................................... 33 XIV Applications linaires en dimension finie .................................................................... 35 A) Dtermination dune application linaire par la donne des images des vecteurs dune base ................................................................................................................................... 35 B) Applications linaires et images des vecteurs dune base ........................................... 36 C) Isomorphismes ............................................................................................................ 37 D) Le thorme noyau - image ................................................................................... 38 E) Rang dune application linaire ................................................................................... 38 XV Formes linaires et hyperplan ........................................................................................ 39 A) Formes linaires de E. ................................................................................................. 39 B) Hyperplan .................................................................................................................... 39 A.Benhari3 Matrices .................................................................................................................................... 41 XVI Dfinition ..................................................................................................................... 41 A) Matrice ........................................................................................................................ 41 B) Reprsentation dune matrice ...................................................................................... 41 XVII Matrice dune famille de vecteurs dans une base ....................................................... 41 XVIII Matrice dune application linaire dans des bases..................................................... 42 XIX Le K-ev Mn,p(K). ........................................................................................................... 43 A) Somme ........................................................................................................................ 43 B) Produit par un scalaire ................................................................................................. 43 C) Le K-ev Mn,p(K) ........................................................................................................... 44 D) Dimension ................................................................................................................... 44 XX Produit matriciel ............................................................................................................ 45 A) Dfinition .................................................................................................................... 45 B) Composantes de limage dun vecteur ........................................................................ 46 C) Proprits du produit ................................................................................................... 47 XXI La K-algbre Mn(K) ...................................................................................................... 48 A) Rappel ......................................................................................................................... 48 B) Thorme ..................................................................................................................... 48 C) Consquences : rgles de calcul .................................................................................. 49 XXII Transposition .............................................................................................................. 50 A) Dfinition .................................................................................................................... 50 B) Proprits ..................................................................................................................... 50 C) Matrices symtriques, antisymtriques ....................................................................... 50 XXIII Matrices inversibles ................................................................................................... 51 A) Dfinitions rappels ................................................................................................... 51 B) Thorme essentiel ...................................................................................................... 52 C) Exemples ..................................................................................................................... 53 D) Diverses caractrisations ............................................................................................. 53 E) Exemples importants ................................................................................................... 56 XXIV Changement de base .................................................................................................. 59 A) Changement de base : matrice de passage, composantes dun vecteur....................... 59 B) Les formules de changement de base pour une application linaire ........................... 61 XXV Matrices quivalentes et rang ..................................................................................... 61 A) Rang dune matrice ..................................................................................................... 61 B) Matrice quivalente ..................................................................................................... 62 C) Thorme ..................................................................................................................... 63 XXVI Transformations lmentaires ................................................................................... 65 A) Sur les colonnes .......................................................................................................... 65 B) Transformation lmentaire sur les lignes .................................................................. 66 C) Intrt de ces thormes .............................................................................................. 67 XXVII Retour la mthode du pivot ................................................................................... 68 A) Cas des matrices inversibles ....................................................................................... 68 B) Cas dune matrice quelconque .................................................................................... 70 XXVIII Synthse et complments sur les systmes ............................................................. 72 A) Dfinition .................................................................................................................... 72 B) Interprtation ............................................................................................................... 72 C) Rsolution .................................................................................................................... 74 D) Complments .............................................................................................................. 75 A.Benhari4 Dterminants ............................................................................................................................ 77 XXIX Applications n-linaires ............................................................................................. 77 A) Dfinition .................................................................................................................... 77 B) Application n-linaire antisymtrique ......................................................................... 78 C) Applications n-linaires alternes ............................................................................... 79 D) Formes n-linaires alternes en dimension n. ............................................................. 79 XXX Dterminant dans une base dune famille de n vecteurs ............................................ 80 XXXI Dterminant dun endomorphisme ............................................................................ 82 XXXII Dterminant dune matrice carre ............................................................................ 83 A) Dfinition et proprit ................................................................................................. 83 B) Proprits portant sur les colonnes et les lignes .......................................................... 84 C) Dterminant dune matrice triangulaire ...................................................................... 85 XXXIII Dveloppement selon une range ........................................................................... 86 A) Petit lemme ................................................................................................................. 86 B) Dveloppement selon une colonne .............................................................................. 87 C) Dveloppement selon une ligne .................................................................................. 88 XXXIV Application linverse dune matrice carre (si inversible) .................................. 88 XXXV Formules de Cramer................................................................................................. 89 XXXVI Complment : polynme caractristique dune matrice carre .............................. 90 Produit scalaire sur un R-ev ..................................................................................................... 92 XXXVII Dfinition .............................................................................................................. 92 XXXVIII Proprits essentielles .......................................................................................... 93 A) Thorme de CauchySchwarz ................................................................................... 93 B) Norme associe un produit scalaire .......................................................................... 93 C) Distance associe un produit scalaire ....................................................................... 94 D) Orthogonalit .............................................................................................................. 94 E) Divers .......................................................................................................................... 95 F) Familles orthogonales, orthonormales ......................................................................... 95 G) Sous-espaces orthogonaux .......................................................................................... 96 Espace vectoriel euclidien ........................................................................................................ 97 XXXIX Dfinition et notations ............................................................................................ 97 XL Bases orthonormales ...................................................................................................... 98 A) Gnralits .................................................................................................................. 98 B) Produit scalaire et base orthonormale ....................................................................... 100 XLI Orthogonal dun sous-espace vectoriel, projecteurs et symtries orthogonaux ......... 101 A) Orthogonal dun sous-espace vectoriel (rappel) ....................................................... 101 B) Projecteur orthogonal ................................................................................................ 101 C) Distance dun lment un sous-espace vectoriel .................................................... 102 D) Symtries orthogonales ............................................................................................. 102 XLII Formes linaires et hyperplans .................................................................................. 103 A) Formes linaires ........................................................................................................ 103 B) Hyperplans ................................................................................................................ 104 C) Projection orthogonale sur un hyperplan .................................................................. 104 D) Rflexion ................................................................................................................... 105 A.Benhari5 XLIII Automorphismes orthogonaux ................................................................................. 106 A) Dfinition, thorme ................................................................................................. 106 B) Matrices orthogonales ............................................................................................... 107 C) Dterminant dun automorphisme orthogonal .......................................................... 108 XLIV Orientation et changement de base .......................................................................... 109 A) Orientation dun R-ev E de dimension n. ................................................................. 109 B) Changement de base orthonormale ........................................................................... 110 C) Automorphismes orthogonaux et orientation ............................................................ 110 D) Dterminant en base orthonorme directe................................................................. 111 R-ev euclidien orient de dimension 2 ................................................................................... 111 XLV Rappels : droites du plan E. ...................................................................................... 111 XLVI Angle orient de deux vecteurs non nuls du plan .................................................... 112 XLVII Etude de O(E) et O2. ............................................................................................... 113 A) Etude ......................................................................................................................... 113 B) Etude de SO(E) et SO2. .............................................................................................. 114 C) Etude de O(E)\SO(E) et O2\SO2. ............................................................................... 115 D) Rsum, tableau : classification des lments de O(E) lorsque dim E = 2 ............... 116 E) Composes de rflexions ........................................................................................... 116 XLVIII Complments propos dangles orients .............................................................. 116 R-ev euclidien orient de dimension 3 ................................................................................... 117 XLIX Prliminaires ............................................................................................................ 117 A) Brefs rappels ............................................................................................................. 117 B) Orientation induite ..................................................................................................... 117 C) Angle non orient ...................................................................................................... 118 L Produit vectoriel .............................................................................................................. 118 A) Proposition, dfinition ............................................................................................... 118 B) Composantes en base orthonorme directe ............................................................... 118 C) Proprits diverses ..................................................................................................... 119 D) Produit vectoriel, angles ............................................................................................ 120 LI Etude de O(E) et O3. ...................................................................................................... 120 A) Deux lemmes ............................................................................................................. 120 B) Classification des lments de O(E) selon la dimension de lespace des invariants . 121 C) Etude de SO(E) .......................................................................................................... 123 D) Tableau rsumant la classification ............................................................................ 125 E) Compose de rflexions ............................................................................................ 125 LII Divers angles non orients en dimension 3 .................................................................. 126 Espaces affines ....................................................................................................................... 127 LIII Dfinitions et notations ............................................................................................... 127 A) Dfinition .................................................................................................................. 127 B) Translation ................................................................................................................. 127 C) Vecteur dfini par deux point .................................................................................... 128 D) Exemples et visualisation .......................................................................................... 128 LIV Repres dun espace affine de dimension finie .......................................................... 128 A) Dfinitions ................................................................................................................. 128 A.Benhari6 B) Changement de repre ............................................................................................... 129 LV Barycentres .................................................................................................................. 129 A) Dfinition .................................................................................................................. 130 B) Proprits ................................................................................................................... 130 LVI Sous-espaces affines ................................................................................................... 131 A) Gnralits ................................................................................................................ 131 B) Paralllisme et inclusion entre deux sous-espaces affines ........................................ 133 C) Intersection entre deux sous-espaces affines ............................................................. 133 D) Equations et paramtrages en dimension 2 ou 3. ...................................................... 134 LVII Applications affines ................................................................................................... 136 A) Gnralits ................................................................................................................ 136 B) Exemples ................................................................................................................... 138 C) Applications affines et composition .......................................................................... 138 D) Application affine, et sous-espace affine .................................................................. 140 LVIII Applications affines particulires ............................................................................ 141 A) Translations ............................................................................................................... 141 B) Homothties .............................................................................................................. 141 C) Projections ................................................................................................................. 144 D) Symtries ................................................................................................................... 145 E) Affinits ..................................................................................................................... 145 F) Une remarque gnrale en dimension finie ............................................................... 147 LIX Parties convexes dun espace affine ........................................................................... 147 Gomtrie dans un espace affine euclidien ............................................................................ 149 LX Gnralits en dimension finie ..................................................................................... 149 A) Divers ........................................................................................................................ 149 B) Les isomtries ............................................................................................................ 151 LXI Etude dun espace affine euclidien orient de dimension 2 ....................................... 152 A) Les isomtries en dimension 2 .................................................................................. 152 B) Gomtrie analytique en dimension 2 ....................................................................... 155 C) Les similitudes du plan .............................................................................................. 156 D) Coordonnes polaires ................................................................................................ 159 LXII En dimension 3 .......................................................................................................... 160 A) Les dplacements ...................................................................................................... 160 B) Gomtrie analytique en dimension 3 ....................................................................... 163 C) Coordonnes cylindriques et sphriques ................................................................... 164 Bibliographie A.Benhari7 Espaces vectoriels Dans tout ce chapitre,R K =ou C (ou un sous corps de C). (Muni des lois + et naturelles) I Dfinitions A) Dfinition Soit E un ensemble, muni dune loi de composition interne et dune loi externe oprateurs dans K, note , c'est--dire : v u v uE E E ) , ( et u uE E ) , (K . Onditque) , , ( E estunespacevectorielsurK/unK-espacevectoriel(K-ev) lorsque : ) , ( Eest un groupe commutatif Pour tousE v u , ,K , , on a : u uu uv u v uu u u= = = = +1) ( ) () () ( Exemples : ) , , ( + R ,) , ), , ( ( + R R F ,) , , ( + Csont des R-ev. ) , ], [ ( + X Kest un K-ev. B) Rgles de calcul Soit) , , ( Eun K-ev. Alors : (1) Eu E u 0 0 , = (neutre pour du groupe) , ( Eappel le vecteur nul de E) Dmonstration : u u u u E u = + = 0 0 ) 0 0 ( 0 , . Donc Eu 0 0 = (2) E E0 0 , = KDmonstration : E E E E E0 0 ) 0 0 ( 0 = = Donc E E0 0 = . (3) E Eu u E u 0 ou0 0 , , = = = KDmonstration : Le sens a t vu avec (1) et (2). Pour : Supposons que Eu 0 = et que0 .Montrons qualors Eu 0 = . On introduit 1 (ce qui est possible car0 ). A.Benhari8 Alorsu u u u = = = 1 ) ( ) (1 1 dune part, Et E Eu 0 0 ) (1 1= = dautre part. Donc Eu 0 =(4)) ( ) ( ) ( , , u u u E u = = KDmonstration : ( ) ( )Eu u u 0 )) ( ( ) ( = + = . Donc) ( ) ( u u = ( )E Eu u u u 0 0 ) ( )) ( ( = = = . Donc) ( ) ( u u = . (5)u n u n n E u = . , , Z(A gauche de lgalit : itration dans) , ( E; droite : produit externe) Dmonstration : Par rcurrence pour les0 n , puis la proposition (4) pour0 n . Ces rgles permettent des critures simplifies : + pour,.pourvoire omis,u pour la valeur commune de) ( , ) ( u u et) ( u . Vocabulaire : Dans un K-ev) , , ( + E , les lments de E sont appels des vecteurs, et les lments de K des scalaires. C) Exemple important Soit* N nOn munit nK ) ... ( K K K de la loi et de la loi externe oprateurs dans K dfinis ainsi : Pour tous KKKnnnny y yx x x) ,... , () ,... , (2 12 1 : ) ,... , ( ) ,... , ( ) ,... , (2 2 1 1 2 1 2 1 n n n ny x y x y x y y y x x x + + + = ) ,... , ( ) ,... , (2 1 2 1 n nx x x x x x = . Alors) , , ( nKest un K-ev. Dmonstration : Dj,) , ( nKest un groupe commutatif : Le neutre pour est videmment) 0 ,... 0 , 0 ( , qui est bien dans nK . Associativit : Soient nz y x K , , . Alors) ,... , (2 1 nx x x x = ,) ,... , (2 1 ny y y y =et) ,... , (2 1 nz z z z =o K n n nz z z y y y x x x ,... , , ,... , , ,... ,2 1 2 1 2 1 Alors : z y xz y x z y x z y xz y x z y x z y xz z z y y y x x x z y xn n nn n nn n n = =+ + + + + + =+ + + + + + = = = ) ( ...) ) ,...( ) ( , ) (()) ( ),... ( ), ( ( ...)) ,... , ( ) ,... , (( ) ,... , ( ) (2 2 2 1 1 12 2 2 1 1 12 1 2 1 2 1 A.Benhari9 Commutativit : Soient ny x K , ,) ,... , (2 1 nx x x x = ,) ,... , (2 1 ny y y y = . Alors : x yx y x y x yy x y x y xy y y x x x y xn nn nn n =+ + + =+ + + = = ) ,... , () ,... , () ,... , ( ) ,... , (2 2 1 12 2 1 12 1 2 1 Existence dun inverse pour de tout lment de nK . Soit nx K ,) ,... , (2 1 nx x x x = .Alors) ,... , ( '2 1 nx x x x =est dans nKet est videmment inverse de x pour. Soient maintenantK K , , ,ny x , avec) ,... , (2 1 nx x x x = ,) ,... , (2 1 ny y y y = . On a : x xx x x x x xx x x x x xx x x x x xx x xx x x xn nn nn nnn = = =+ + + =+ + + = + = + ) ,... , ( ) ,... , () ,... , ( ) ,... , () ,... , () ) ,...( ) ( , ) (() ,... , ( ) ( ) (2 1 2 12 1 2 12 2 1 12 12 1 y xy y y x x xy x y x y xy x y x y xy x y x y x y xn nn nn nn n = =+ + + =+ + + =+ + + = ) ,... , ( ) ,... , () ,... , ()) ( ),... ( ), ( () ,... , ( ) (2 1 2 12 2 1 12 2 1 12 2 1 1 ) () ,... , ()) ( ),... ( ), ( () ) ,...( ) ( , ) (( ) (2 12 12 1xx x xx x xx x x xnnn = === x x x xx x x xnn= == ) ,... , () 1 ,... 1 , 1 ( 12 12 1 Gnralisation : Si E et F sont deux K-ev, on peut munir naturellementF Edune structure de K-ev en posant, pour tousK , ' , , ' , F v v E u u: = + + = +) , ( ) , () ' , ' ( ) ' , ' ( ) , (v u v uv v u u v u v u Et plus gnralement nE E E ...2 1 o les iEsont des K-ev. A.Benhari10 D) Vecteurs, combinaisons linaires Ici,) , , ( + Edsigne un K-ev. Dfinition : Soit) ,... , (2 1 nu u uune famille finie dlments de E.Unecombinaisonlinairedelafamille) ,... , (2 1 nu u u /des[ ] n i ui, 1 , estun lment de E du type n nu u u + + + ...2 2 1 1, c'est--dire =nii iu1o les isont des lments de K. Dfinition : SoitE u . Si Eu 0 = , tout lment de E est dit colinaire u. Si Eu 0 , les vecteurs de E colinaires u sont lesK , u . Proposition : La relation tre colinaire est une relation dquivalence. En effet : -Dj, elle est rflexive -Symtrique : Supposons v colinaire u : Si Eu 0 = , u est bien colinaire v carv u = 0Si Eu 0 , alors v scritu oK . Donc soit0 = et alors Ev 0 =et donc u est colinaire v, Soit0 , et alorsv u1 = donc u est colinaire v. -Transitivit : immdiate. Dfinition quivalente : SoientE v u , . On a lquivalence : u et v sont colinaires ( ){ }) 2 ( 0 , 0 , 0 \ ) , () 1 ( , ou0EEv uu v u= + = = KKDmonstration : (1) est simplement une autre faon dcrire la dfinition. Montrons que) 2 ( ) 1 ( . Supposons (1). Si Eu 0 = , on peut prendre) 0 , 1 ( ) , ( = Si Eu 0 , alors il existeK tel queu v = .Ainsi, avec) 1 , ( ) , ( = , on a bien Ev u 0 = + Montrons maintenant que) 1 ( ) 2 ( . Supposons (2). Soit( ) { } 0 , 0 \ ) , ( K tel que Ev u 0 = + . Si0 , alorsu v = Si0 = , alors Eu 0 = . Or,0 car( ) 0 , 0 ) , ( . Donc Eu 0 = . II Sous-espace vectoriel ) , , ( + Edsigne toujours un K-ev. A.Benhari11 A) Dfinition Soit F une partie de E.On dit que F est un sous-espace vectoriel (sev) de E lorsque : F contient E0 . F est stable par + :F v u F v u + , ,F est stable par:F u F u , , K . Proposition : SiFestunsous-espacevectorieldeE,alors+constitueuneloidecomposition interne sur F,constitue une loi externe oprateurs dans K, et) , , ( + Fest un K-ev : -Dj,) , ( + F estbienungroupecommutatifpuisqueFestunsous-groupede ) , ( + EcarFE 0 , F est stable par + etF u u F u = ) 1 ( , . -De plus, on vrifie immdiatement que les quatre rgles sont bien vrifies Exemples : 2Rest un R-ev. Quels en sont les sous-espaces vectoriels ? -{ }20R - Pour{ }20 \2RR u ,{ } R , uest un sous-espace vectoriel de 2R . - 2R . Il ny en a pas dautres : si un sous-espace vectoriel de 2Rcontient deux vecteurs non colinaires, cest 2R . Si E est un K-ev quelconque : { }E0et E sont deux sous-espaces vectoriels de E. Si{ }EE u 0 \ ,{ } R , u estunsous-espacevectorieldeEappelladroite vectorielle de E engendre par u. Les sous-espaces vectoriels de 3Rsont exactement : -{ }30R - Pour{ }30 \3RR u ,{ } R , u . -Pour{ }30 \ ,3RR v u avecuetvnoncolinaires,{ } R + , , v u (plan vectoriel) -3RDes sous-espaces vectoriels de) , ( R R F: { } 0 ) ( ), , ( = = a f f HaR R Fo a est un lment de R fix. = Alensemble des fonctions du typeb x a x + ,R b a, . Ou mme] [ X R ,] [ XnR(oN n ) ),... , ( ), , (1 0R R R R D CLensemble des fonctions paires, impaires B) Intersection de sous-espaces vectoriels Thorme : Toute intersection de sous-espaces vectoriels de E en est un sous-espace vectoriel. A.Benhari12 Dmonstration : Soit I i iF) (une famille de sous-espaces vectoriels de E. Soit{ }iI iiF u I i E u F F = =, , AlorsFE 0car i EF I i 0 ,F est stable par + : SoientF v u , . Alors i iF v F u I i , , , donc iF v u I i + , . DoncF v u +F est stable par: SoientK , F u . Alors iF u I i , , donc iF u I i , , doncF u . C) Dfinitions quivalentes SoitE F . Alors : + + + ) t 3 ( linaire ncombinaiso parstable est ) 0 ( 0) b 3 ( , , ,) 0 ( 0) 3 ( , , , ,) 0 ( 0) 2 ( , ,) 1 ( , ,) 0 ( 0de sev unest FFF v u F v uFF v u F v uFF u F uF v u F v uFE FEEEE KKK Pour (3t) :F u F u u u nnii innnn =12 1 2 1, ) ,... , ( , ) ,... , ( *, K NDmonstration : ) 3 ( ) 2 ( et) 1 ( : vident. ) b 3 ( ) 3 ( : immdiat. ) t 3 ( ) 3 ( : immdiat par rcurrence. ) 3 ( ) t 3 ( : cas particulier. ) 2 ( et) 1 ( ) 0 ( et) b 3 ( :Si on a) 0 ( et) b 3 ( , on applique) b 3 (avec Eu 0 =et on obtient (2), puis (3b) avec 1 = et on obtient (1). Do toutes les quivalences. De plus, on peut partout remplacer (0) par (0b) : F. D) Sous-espace vectoriel engendr par Dfinition : SoitE A .Lesous-espacevectorielengendrparA,not) ( Vect A ,estleplus petit des sous-espaces vectoriels de E contenant A. A.Benhari13 Justification : Lensemble dessous-espacesvectorielsdeEcontenantAnestpasvide, puisquil contient E, et lintersection XXest un sous-espace vectoriel de E contenant A, et est contenu dans chaque X de , cest donc bien le plus petit lments de . Proposition : { }E0 ) ( Vect = Si{ }EE u 0 \ ,{ } { } K = , ) ( Vect u u , not aussi) ( Vect u . A est un sous-espace vectoriel de E si et seulement siA A= ) ( Vect . Si F est un sous-espace vectoriel de E, et siF A , alorsF A ) ( Vect(En effet, Fet{ } X AX = min ) ( Vect ) SiB A , alors) ( Vect ) ( Vect B A: ) ( Vect B B A . Donc) ( Vect B A . Donc) ( Vect ) ( Vect B A(daprs le point prcdent). Cas particulier : Sous-espace vectoriel engendr par une partie finie : Soient nu u u ,... ,2 1 des vecteurs de E. Alors{ }) ,... , ( Vect2 1 nu u u ,pluttnot) ,... , ( Vect2 1 nu u u ,estappellesous-espace vectoriel de E engendr par la famille) ,... , (2 1 nu u uou par les iu Proposition : ) ,... , ( Vect2 1 nu u uest lensemble des combinaisons linaires des iu , c'est--dire : { }nn n nu u u K + + + ) ,... , ( , ...2 1 2 2 1 1 Dmonstration : Notons{ }nn n n nu u u u u u C K + + + = ) ,... , ( , ... ) ,... , (2 1 2 2 1 1 2 1 . Alors) ,... , (2 1 nu u u Ccontient E0et est stable par + et(car = = =+ = +nii i inii inii iu u u1 1 1) ' ( ' et = == nii inii iu u1 1) ( ) Donc) ,... , (2 1 nu u u Cest un sous-espace vectoriel de E contenant les iu , et cest le plus petit car si un sous-espace vectoriel de E contient les iu , il en contient alors toutes les combinaisons linaires. Donc) ,... , ( ) ,... , ( Vect2 1 2 1 n nu u u C u u u = . Vocabulaire : SiFestlesous-espacevectorielengendrparunefamille(finie) ) ,... , (2 1 nu u u = Fde vecteurs de E, on dit que F est une famille gnratrice de F. Si un espace vectoriel E admet une famille gnratrice finie, on dit que E est de type fini. Exemple : nKest de type fini, une famille gnratrice tant[ ] ) 1 ,..., 0 , 0 ( ),..., 0 ,..., 0 , 1 , 0 ( ), 0 ,... 0 , 1 (] [ X K nestpasdetypefini.Eneffet,supposonsquiladmetteunefamille gnratricefinie) ,... , (2 1 mP P P;sionprend [ ])) (deg( max, 1im iP N= ,onauraitalors N P X P deg ], [ Kce qui est faux. A.Benhari14 Proprits : Pour tout mmE u u u ) ,... , (2 1, on a : Pour tous[ ] m j i , 1 , avecj i : ) ,..., ,..., ,..., , ( Vect ) ,..., ,..., ,..., , ( Vect2 1 2 1 m i j m j iu u u u u u u u u u =Pour tout[ ] m i , 1 et tout{ } 0 \ K a: ) ,..., ,..., , ( Vect ) ,..., ,..., , ( Vect2 1 2 1 m i m iu u u u u au u u =Pour tout[ ] m j i , 1 , distincts et toutK : ) ,..., ,..., , ( Vect ) ,..., ,..., , ( Vect2 1 2 1 m i m j iu u u u u u u u u = + Dmonstration (3me point) : Soit ) ,..., ,..., , ( Vect'''2'12 1 miumuj iu uu u u u u w

+ = ==+ + = =mkk kj i ii kk kmkk kuu u u u w11) ( ' Alors Avec = +=j kj ki jkksisi Lautre inclusion est analogue. On a donc un algorithme pour dterminer le Vect (sur un exemple) : { }{ } RR + = + + = = = = = = = z y x z y x z y xz y x z y xu u u u, , ), 9 14 , , , (, , ), , 1 , 0 , 0 ( ) 9 - , 0 , 1 , 0 ( ) 14 , 0 , 0 , 1 ()] , 1 , 0 , 0 ( ), 9 , 0 , 1 , 0 ( ), 14 , 0 , 0 , 1 [( Vect)] 8 , 3 , 0 , 0 ( ), 9 , 0 , 1 , 0 ( ), 14 , 0 , 0 , 1 [( Vect)] 8 , 3 , 0 , 0 ( ), 9 , 0 , 1 , 0 ( ), 4 , 0 , 2 , 1 [( Vect)] 8 , 3 , 0 , 0 ( ), 1 , 3 , 1 , 0 ( ), 4 , 3 , 2 , 1 [( Vect)] 16 , 6 , 0 , 0 ( ), 1 , 3 , 1 , 0 ( ), 4 , 3 , 2 , 1 [( Vect] ) 2 , 6 , 2 , 0 ( , ) 14 , 12 , 2 , 0 ( ), 4 , 3 , 2 , 1 [( Vect )] 2 , 9 , 4 , 1 ( ), 2 , 0 , 6 , 4 ( ), 4 , 3 , 2 , 1 [( Vect38383841 3 1 2 Ainsi, on a lquivalence : Pour tout 4) , , , ( R t z y x , z y x t t z y x389 14 )] 2 , 9 , 4 , 1 ( ), 2 , 0 , 6 , 4 ( ), 4 , 3 , 2 , 1 [( Vect ) , , , ( + = Autre rsultat : Sim p 1 , alors) ,..., , ( Vect ) ,..., , ( Vect2 1 2 1 m pu u u u u u . Pour toutE v ,) ,..., , ( Vect ) , ,..., , ( Vect ) ,..., , ( Vect2 1 2 1 2 1 m m mu u u v u u u u u u v = III Sommes et sommes directes ) , , ( + Edsigne ici encore un K-ev. Dfinition et proposition : A.Benhari15 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. La somme de F et G est : { } { } v u w G F v u E w G v F u v u G F + = = + = + , ) , ( , , ,df AlorsG F +est un sous-espace vectoriel de E, et cest mme) ( Vect G F . En effet : Dj,G F + estunsous-espacevectorieldeE,carilcontient E0 eteststablepar +,(vident en utilisant la deuxime galit de la dfinition deG F + ) De plus,G F +contient F (car tout u de F scrit Eu 0 +oGE 0 ) et G. Il contient doncG F . Enfin, si un sous-espace vectoriel de E contientG F , alors il contient au moinsG F +car il contient tous les lments de F, tous les lments de G et est stable par +, donc contient tous lesv u +pourF uetG v . Exemple : - Dans) , ( R R F = E: Soit F lensemble des fonctions polynomiales de degr3 , G lensemble des fonctions de classe 2Cet ngligeables devant 2x x au voisinage de 0. Alors) , (2R R C G F = + . En effet : Une premire implication est dj vidente. Pour lautre : Soit) , (2R R C f . Alors f admet un DL lordre 2 en 0 : ) (2) (22 1 0) ( ) ( ,x h x Px x x a x a a x f x + + + = RAlors h est de classe 2CcarP f h = , et de plus) (2x o h =en 0. Do lautre inclusion et lgalit. - Dans 4R:{ } 0 , ) , , , ( )), 0 , 0 , 2 , 1 (( Vect4= = = = t y z x t z y x G F RAlors{ } )) 1 , 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 , 1 (( Vect , ), , , , ( = = R y x y x y x GEt donc)) 1 , 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 , 1 ( ), 0 , 0 , 2 , 1 (( Vect = +G F . Somme directe, dfinition : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. OnditquelasommeG F + estdirectelorsquetoutlmentdeG F + scritde manire unique sous la formev u +avecF uetG v . Autrementdit,tantdonnquonconnatdjlexistence(pardfinition)delcriture, la dfinition devient : La somme de F et G est directe ) ' et' ' ' (, ) ' , ' ( , ) , (v v u u v u v uG F v u G F v u= = + = + Exemple : La somme de deux droites vectorielles distinctes dans 2R . Proposition : On a lquivalence entre les propositions suivantes : (1) La somme de F et G est directe (expression de la dfinition prcdente) (2)) 0 et0 0 ( , ) , (E E Ev u v u G F v u = = = + (3){ }EG F 0 = ((1) :) ' et' ' ' ( , ) ' , ' ( , ) , ( v v u u v u v u G F v u G F v u = = + = + ) Dmonstration : A.Benhari16 -On voit dj que) 2 ( ) 1 ( (cest un cas particulier avec) 0 , 0 ( ) ' , ' (E Ev u = ) -Montrons que) 3 ( ) 2 ( . Supposons (2) : Soit alorsG F w On a : Ew w 0 ) ( = + . Or,F wetG w (carG wet G est stable par ) Donc, daprs (2), Ew 0 =(et Ew 0 = ), do une inclusion et lgalit. -Montrons que) 1 ( ) 3 ( . Supposons (3). SoientG F v u G F v u ) ' , ' ( , ) , ( . Supposons que' ' v u v u + = + . Alorsv v u u = ' ' , etG v v F u u ' , ' , doncG F v v G F u u ' , ' . Donc Eu u 0 ' = et Ev v 0 ' = , c'est--dire' u u =et' v v = . Do les quivalences. Notation : Si la somme de F et G est directe, on peut la noterG F . Dfinition : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.On dit que F et G sont supplmentaires dans E lorsque : { }= = +EG FE G F0 Ainsi, lorsque F et G sont supplmentaires dans E, on peut noterG F E = . Deux sous-espaces vectoriels F et G sont supplmentaires dans E si et seulement si tout lment de E scrit de manire uniquev u + , oF uetG v . IV Applications linaires Dans ce paragraphe, E, F et G sont trois K-ev. A) Dfinition SoitF E : .On dit queest linaire/un morphisme du K-ev E vers le K-ev F lorsque : ) ( ) ( , ,) ' ( ) ( ) ' ( , ' ,u u E uu u u u E u u = + = + K Proposition : Siest une application linaire de E dans F, alorsest un morphisme du groupe ) , ( + Evers) , ( + F . Vocabulaire : Lensemble des applications linaires de E vers F est not) , ( F E LUne application linaire de E vers E sappelle aussi un endomorphisme de E, et ) , ( E E Lest plutt not) (E L . Une application linaire de E vers K sappelle forme linaire de E.) , ( K E Lest not* E . Lensemble des formes linaires de E sappelle le dual de E. Caractrisations quivalentes : A.Benhari17 SoitF E : . ) 3 ( ) ' ( . ) ( ) ' . ( , ) ' , ( ,) 2 ( ) ' ( . ) ( . ) ' . . ( , ) ' , ( , ) , ( ) , ( ) 1 (22 2u u u u E u uu u u u E u u F E L + = + + = + KK En effet : ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( : vident. Montrons que) 1 ( ) 3 ( . On applique (3) avec1 = . Donc) ' ( ) ( ) ' ( , ) ' , (2u u u u E u u + = + Donc avec) 0 , 0 ( ) ' , (E Eu u = , F E0 ) 0 ( = . Donc) ( ) ( 0 ) ( ) 0 ( ) 0 ( , , u u u u E uF E E = + = + = + K Exemple : Lapplication nulle de E dans F est linaire. Lapplication identit de E dans E est linaire. LesapplicationslinairesdeRdansRsontexactementlesapplicationsdela formex a x oR a: oDj, si f est de la formex a x f : , alors f est linaire, car : ) ' ( . ) ( ) ' .( ) ' . ( ) ' . ( , ' , , x f x f ax ax x x a x x f x x + = + = + = + R RoInversement, soit) (R L f . Alors, pour toutR x ,) 1 ( . ) 1 . ( ) ( f x x f x f = =Ainsi, avec) 1 ( f a = , on a bienx a x f x . ) ( , = R . Lapplication ') , ( ) , ( :1f fD DR R R R F est linaire. Lapplication ) lim() , (u uSCR R N est une forme linaire de) , ( R NCS( ) , ( R NCSest lensemble des suites convergentes) Lapplication ) () , ( :f f R R R Fest linaire : Pour tous) , ( , R R F g f ,) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( g f g f g f g f + = + = + = +Pour tout) , ( R R F fetR ,) ( . ) ( . ) )( . ( ) . ( f f f f = = = . Lapplication xy y x ) , (2R R nest pas linaire. Mais, x fix, xy yR R est linaire (idem si y est fix) On dit alors que xy y x ) , (2R R est bilinaire. B) Noyau et image Soit) , ( F E L . Le noyau de , cest le noyau du morphisme de groupe : { }Ex E x 0 ) ( , ker = = . Alors ker ' ) ' ( ) ( ( , ' , = u u u u E u u . Doncest injective{ }E0 ker = . En effet : A.Benhari18 - Siest injective : Soit ker u . Alors) 0 ( 0 ) (E Fu = = . Donc Eu 0 = . Do une premire inclusion, et lgalit, lautre inclusion tant vidente. - Supposons maintenant que{ }E0 ker = . Si) ' ( ) ( u u = , alors ker ' u u , donc Eu u 0 ' = . Donc' u u = .Doncest injective. Proposition : kerest un sous-espace vectoriel de E. Dmonstration : Dj,E ker , et ker 0 E. SoientK , ' , E u u . On a : F F Fu u u u 0 0 . 0 ) ' ( . ) ( ) ' . ( = + = + = + Limage deest{ } { } v u E u F v E u u E = = = = ) ( , , ), ( ) ( Im . Alorsest surjective si et seulement siF = Im . Proposition : Imest un sous-espace vectoriel de F. Dmonstration : Dj,F Imet Im 0 F car F E0 ) 0 ( = . Imest stable par + et: SoientK , Im ' , v v . Il existe alorsE u u ' ,tels que) ' ( ' ), ( u v u v = = . Alors) ' . ( ) ' ( . ) ( ' . u u u u v v + = + = + . Donc Im ' . + v v . C) Image directe, image rciproque dun sous-espace vectoriel Proposition : Soit) , ( F E L . Limagedirectepar dunsous-espacevectorieldeEestunsous-espace vectoriel de F. Limagerciproquepar dunsous-espacevectorieldeFestunsous-espace vectoriel de E. Cas particulier : ) (E est un sous-espace vectoriel de F (cest Im ) { }) 0 (1Fest un sous-espace vectoriel de E (cest ker ) (On adapte aisment la dmonstration de ces cas particuliers pour le cas gnral de la proposition) A.Benhari19 D) Structure sur des ensembles dapplications linaires 1) Somme, produit par un rel Soient) , ( , F E L ,K . On dfinit : ) ( ) (:u u uF E + + et ) ( .: .u uF E Alors) , ( . , F E L + . Onpeutdoncconsidrer) , ), , ( ( + F E L ,et) , ), , ( ( + F E L estunK-ev(et mme un sous-espace vectoriel de) , ), , ( ( + F E F ). Dmonstration : Dj, on vrifie que) , ), , ( ( + F E Fest un K-ev ) , ( F E Lest une partie de) , ( F E F , contient Fx 0 et est stable par + et: Soient) , ( , F E L ,K . On a, pour tousE u u ' ,et toutK : ) ' )( .( ) )( () ' ( . ) ( ) ' ( . ) () ' . ( ) ' . ( ) ' . )( (u uu u u uu u u u u u + + + =+ + + =+ + + = + + )) ' )( . .(( ) )( . ()) ' ( . .( )) ( .()) ' ( . ) ( .() ' . ( . ) ' . )( . (u uu uu uu u u u + =+ =+ =+ = + Donc) , ( . , F E L + ,et) , ( F E L estunsous-espacevectorielde ) , ), , ( ( + F E F , donc un K-ev. 2) Composition Proposition : Lacompose,quandelleestdfinie,dedeuxapplicationslinairesest linaire. Dmonstration : Soient) , ( F E L et) , ( G F L . Alors est bien dfinie et va de E dans G. Et de plus, elle est linaire : Pour tousE u u ' ,et toutK , on a : ) ' )( .( ) )( ()) ' ( ( . )) ( ()) ' ( . ) ( ()) ' . ( ( ) ' . )( (u uu uu uu u u u

+ =+ =+ =+ = + Proprits : Pour tous) , ( ' , F E L ,) , ( ' , G F L et toutK , on a : ) 2 ( ' ) ' () 1 ( ' ) ' (

+ = ++ = + A.Benhari20 ) 4 ( ) .( ) . () 3 ( ) .( ) . ( == Dmonstration : Dj, les applications sont bien dfinies et vont de E dans G. De plus, pour toutE u: ) ]( ' [) )( ' ( ) )( ( )) ( ' ( )) ( ()] ( ' ) ( [ )] )( ' [( ) )]( ' ( [uu u u uu u u u

+ =+ = + =+ = + = + Do (1). ) ]( ' [ ) )( ' ( ) )( ()) ( ( ' )) ( ( )) ( )( ' ( ) ]( ) ' [(u u uu u u u

+ = + =+ = + = + Do (2) (ici, on na pas utilis la linarit) ) )]( .( [) )( .( )) ( ( . )] ( . [ )] )( . [( ) )]( . ( [uu u u u u

== = = = Do (3) ) )]( .( [) )( .( )) ( ( .( )) ( )( . ( ) ]( ) . [(uu u u u

== = = Do (4) (on na pas non plus utilis la linarit) Consquence : dfinituneloidecompositioninternesur) (E L ,et) , ), ( (+ E L estun anneau : ) ), ( ( + E Lest un groupe commutatif (car) , ), ( ( + E Lest un K-ev). De plus, il rsulte de (1) et (2) queest distributive sur +, et on sait queest associative (vrai dans) , ( E E F ). Enfin, il y a un neutre, savoir EId . Attention, lanneau nest ni commutatif ni intgre en gnral. Exemple : ) , ( ) , (:2 2x x y xfR R , ) 0 , ( ) , (:2 2y x y xgR R . Alors) (2R L f : SoientR R , ' ,2u u ,) ' , ' ( ' ), , ( y x u y x u = = . Alors : ) ' ( . ) () ' , ' .( ) , ( ) ' . , ' . () ' . , ' . ( )) ' , ' .( ) , (( ) ' . (u f u fx x x x x x x xy y x x f y x y x f u u f + =+ = + + =+ + = + = + Et) (2R L g : SoientR R , ' ,2u u ,) ' , ' ( ' ), , ( y x u y x u = = . Alors : ) ' ( . ) () 0 , ' ' .( ) 0 , ( ) 0 ), ' . ( ' . () ' . , ' . ( )) ' , ' .( ) , (( ) ' . (u g u gy x y x y y x xy y x x g y x y x g u u g + = + = + + =+ + = + = + On a alors : ) , ( ) , (:2 2y x y x y xg f R Ret ) 0 , 0 ( ) , (:2 2

y xf g R R Ce qui montre la non commutativit et la non intgrit. A.Benhari21 3) Inversion (ventuelle) Proposition : Soit) , ( F E L .Si estbijective,alors) , (1E F L .Onditalorsque est un isomorphisme de E vers F. Deuxespacesvectorielssontdisisomorpheslorsquilexisteun isomorphisme de lun vers lautre. Dmonstration : SoientF v v ' ,etK . Ondoitmontrerque) ' ( . ) ( ) ' . (1 1 1v v v v + = + ,c'est--direque ' .v v + apourantcdent) ' ( . ) (1 1v v + par ,cequiestvraicar ' . )) ' ( ( . )) ( ( )) ' ( . ) ( (1 1 1 1v v v v v v + = + = + Vocabulaire : Automorphisme de E = application linaire bijective de E dans E. = isomorphisme de E dans E. = endomorphisme bijectif de E. Lensemble des automorphismes de E est not) (E GL . Alors) (E GLest stable , et) ), ( (E GLest un groupe (le groupe linaire de E). Cest le groupe des lments inversibles de lanneau) , ), ( (+ E L . Attention, ce groupe nest pas non plus commutatif en gnral. Exemple : Soient ) , ( ) , (:2 2y x y x y xf +R Ret ) , ( ) , (:2 2x y y xgR R Alors f et g sont linaires et bijectives. (g est bijective car involutive, et 2Id 2R= f f, doncf f211=) Et : ==)`+ +) 0 , 2 ( ) 1 , 1 () 2 , 0 ( ) 1 , 1 (car ) , ( ) , ( :) , ( ) , ( :g ff gg f f gy x y x y x f gx y x y y x g f

4) Autre opration Soit f une application linaire de E dans K (une forme linaire de E). SoitF w0. Alors lapplication 0). (:w u f uF E est linaire. En effet : SoientK , , E v u . Alors : ) ( . ) ( ). ( . ). ( ). . ( ) . (0 0 0v u w v f w u f w v u f v u + = + = + = + Exemple : Lapplication x z y xP ) , , (:31R R est linaire : Pour tous 3) ' , ' , ' ( ' ), , , ( R = = z y x u z y x uetR , on a : ) ' ( . ) ( ' . )) ' . , ' . , ' . (( ) ' . (1 1 1 1u P u P x x z z y y x x P u u P + = + = + + + = +1Pest la premire projection canonique de 3Rsur R A.Benhari22 De mme, y z y xP ) , , (:32R R et z z y xP ) , , (:33R R sont linaires. -Ilrsultedu1)quepourtousR c b a , , , z c y b x a z y xf. . . ) , , (:3+ +R R est linaire, car 3 2 1cP bP aP f + + = . -Etdu4)quepourtoutR c b a , , , ) 0 , . . . ( ) , , (:2 31z c y b x a z y xf+ +R R est linaire, car) 0 , 1 .(1f f =: ) 0 , 1 ).( (:31u f ufR R De mme, ) '. '. '. , 0 ( ) , , (:2 32z c y b x a z y xf+ +R RDo ) '. '. '. , . . . ( ) , , (:2 3z c y b x a z c y b x a z y xF+ + + +R Rest linaire. On verra que toutes les applications de 3Rdans 2Rsont de ce type. (On peut gnraliser le rsultat p nK K , ) V Quelques endomorphismes intressants E dsigne toujours un K-ev. A) Homothtie (vectorielle) Dfinition : Une homothtie de E est une application du type : u uE E. , oK . Proposition : Pour toutK , lapplication u uE E f.: , appele homothtie de rapportest linaire. Elle est nulle si0 = , sinon elle est bijective, dinverse / 1f

B) Projecteurs (vectoriels) Dfinition : Soient F, G deux sous-espaces vectoriels supplmentaires de E.Le projecteur sur FselonGestlapplication v uE E p : ,ovestllmentdeEtelquew v u + = avec G w F v , .(ladfinitionabienunsens,cartoutlmentdeEscritw v + de manire unique avecF vetG w ) On crit parfois v w v uE G F E p + = = : . Proposition : Lapplication p est linaire, de noyau G et dimage F. Dmonstration : SoientK , ' , E u u . Alors G F G Fw v u w v u + = + = ' ' ' , . Donc G Fw w v v u u + + + = + ' . ' . ' . , soit) ' ( . ) ( ' . ) ' . ( u p u p v v u u p + = + = + . A.Benhari23 Noyau : SoitE u , G Fw v u + = . On a les quivalences : G u v u p p uE E = = 0 0 ) ( kerImage : OnvoitdjqueF p Im .Inversement,p F Im cartoutlmentvdeFest limage dun lment de E, par exemple lui-mme. Dfinition : SoitE E f : .Onditquefestunprojecteurlorsquilexistedeuxsous-espaces vectoriels supplmentaires dans E tels que f est le projecteur sur F selon G. Vocabulaire : p est le projecteur sur F selon G. PourE u ,) (u pest la projection de u sur F selon G. Thorme : Soit) (E L f . Alors f est un projecteurf f f = . Dmonstration : Soit f un projecteur, disons sur F selon G oE G F = Alorsf f =2 : SoitE u . G Fw v u + = , etv u f = ) ( . De plus,) ( ) ( )) ( ( ) ( u f v v f u f f u f f = = = =.Cest valable pour tout u, doncf f =2. Soit) (E L f , supposons quef f f =. Posonsf F Im =etf G ker = . AlorsdjFetGsontdeuxsous-espacesvectorielsdeE.Montronsquilssont supplmentaires. SoitE u . AlorsF u f ) ( , et on a :

) ( ) ( u f u u f uF + = Eu f f u f u f u f 0 )) ( ( ) ( )) ( ( = = , doncG u f u ) (Donc djE G F = + . Montrons maintenant que{ }EG F 0 = : SoitG F u . F u . Donc) ' (u f u =oE u ' . CommeG u , Eu f 0 ) ( = , soit Eu f f 0 )) ' ( ( = . Commef f =2, Eu f 0 ) ' ( = . Donc Eu f u 0 ) ' ( = = ,dounepremireinclusion,etlgalit,lautreinclusion tant vidente. DoncE G F = Montrons maintenant que f es le projecteur sur F selon G. SoitE u . Alors GFu f u u f u + = )) ( ( ) ( .Donc) (u f estlacomposanteselonFdansla dcomposition de u sous la forme G Fw v +A.Benhari24 Remarque : Si p est le projecteur sur F selon G, alors : { }) Id ker(parinvariants des ensemble) ( ,Eppu u p E u F === = En effet,F u w u v u u pE Eu p = = == 0 ) (0 ) )( Id (

Dfinition : Soit p la projection sur F selon G. Le projecteur associ p est le projecteur q sur G selon F. Ainsi, Eq p Id = + . ) ( ) ( u q u p u + =FG Cas particuliers : Le projecteur sur E selon{ }E0est lidentit sur E. Le projecteur sur{ }E0selon E est lapplication nulle. C) Symtries (vectorielles) Dfinition : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E supplmentaires. La symtrie par rapport F selon G est lapplication w v w v uE G F E f + = =: . A.Benhari25 Proposition : Si f est le symtrique par rapport F selon G, alors : ) (E L f . En effet, on remarque que Ep q p f Id 2 = = , o p est le projecteur sur F selon G et q le projecteur associ p) f est bijective, et mme involutive. Ainsi, Ef f Id =,E f = Im (carfestsurjective),et{ }Ef 0 ker = (carfest injective) { }{ } ) Id ker( ) ( ,) Id ker( ) ( ,EEf u u f E u Gf u u f E u F+ = = = = = = Thorme : Soit) (E L f . Alors f est une symtrie Ef f Id = ( f est involutive) ( f est lment dordre2 du groupe) (E GL ) Dmonstration : a dj t vu. : supposons que Ef Id2= . Posons) Id ker(Ef F =et) Id ker(Ef G + = . AlorsFetGsontdeuxsous-espacesvectorielsdeE,carcesontdesnoyaux dendomorphismes de E. { }EG F 0 = car siG F u , alorsu u f = ) (etu u f = ) ( , donc Eu 0 . 2 = , soit Eu 0 =(car0 2 )De plus tout lment u de E scrit G Fw v u + = , car)) ( ( )) ( (2121u f u u f u u + + = . Or,F u f u + ) (car x xu f u u u f u f f u f u f u f ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ) ( ( + = + = + = +EtG u f u ) (car)) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( u f u u u f u f f u f u f u f + = = = Enfin, f est la symtrie par rapport F selon G. En effet : Si G Fw v u + = , on a)) ( (21u f u v + =et)) ( (21u f u w = . Donc) (u f w v = . VI Familles libres (finies) E dsigne toujours un K-ev. A) Dfinition Soit) ,... , (2 1 nu u u = Fune famille de vecteurs de E. Festlibre dflaseulecombinaisonlinairedes iu quidonne E0 estcelledont tous les coefficients sont nuls. [ ] ||

\|= = =0 , , 1 0 , ) ,... , (12 1 i Enkk knnn i u KA.Benhari26 Vocabulaire : ) ,... , (2 1 nu u u est lie) ,... , (2 1dfnu u u nest pas libre. Lorsque) ,... , (2 1 nu u uest lie, une relation du type Enkk ku 01==o les ksont non tous nuls sappelle une relation de dpendance linaire. Pour dire que) ,... , (2 1 nu u uest libre, on dit parfois que les iusont linairement indpendants. Exemples : -Par convention, une famille vide est libre. -Cas dune famille de 1 vecteur 1u . La famille) (1uest libre Eu 01 -Cas dune famille de 2 vecteurs 2 1, u u) , (2 1 u uest libre si et seulement si 1uet 2une sont pas colinaires. B) Proprits gnrales Si une famille contient E0 , elle est lie : Si E iu 0 = , alors E iu 0 . 10= Si une famille contient deux vecteurs gaux, elle est lie : Si j iu u=(avecj i ), alors E j iu u 0 = Si une sous-famille dune famille F est lie, alors F est lie. Si) ,... , (2 1 nu u u = Fest libre, alors) ,... , () ( ) 2 ( ) 1 ( n nu u u S est libre. Si) ,... , (2 1 nu u uest libre et) , ,... , (2 1v u u un est lie, alors) ,... , ( Vect2 1 nu u u v . En effet : Il existe , ,... ,2 1 n scalaires non tous nuls tels que :E n nv u u u 0 . ...2 2 1 1= + + + . Alors0 ,carsinonlundes i aumoinsseraitnonnuletonauraitalorsune relation de dpendance entre lesn i ui 1 , . Donc ==nkk ku v11 ) ,... , (2 1 nu u u estliesietseulementsilunaumoinsdes iu estcombinaison linaire des autres. VII Bases (finies) Dfinition, proposition : Soit) ,... , (2 1 nu u uune famille de vecteurs de E. ) ,... , (2 1 nu u uest une base de E ) ,... , (2 1dfnu u u est une famille libre et gnratrice de E. tout vecteur v de E scrit de manire unique comme combinaisonlinairedesn i ui 1 , ,souslaforme =nkk ku x1.Les kx sappellentalorsles composantes de v dans la base) ,... , (2 1 nu u u . A.Benhari27 Dmonstration : : supposons que) ,... , (2 1 nu u uest une base de E. Soit alorsE v .Comme) ,... , (2 1 nu u uest gnratrice de E, il existe nnx x x K ) ,... , (2 1 tel que ==nkk ku x v1. Supposons quon ait aussi ==nkk k u x v1' . Alors Enkk k ku x x 0 ) ' (1= =.Comme) ,... , (2 1 nu u u estlibre,ona[ ] 0 ' , , 1 = k kx x n k , soit[ ]k kx x n k ' , , 1 = . Do lexistence et lunicit de lcriture. : Supposons que tout vecteur v de E scrit de manire unique Dj,) ,... , (2 1 nu u uest gnratrice de E. Ensuite, si Enii iu 01== , alors ncessairement[ ] 0 , , 1 = in i , car sinon on aurait deux critures diffrentes de E0 , savoir =nii iu1et =niiu1. 0 . Exemples : )] 1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 0 , 1 [(est une base de 3R , on lappelle la base canonique de 3R . )] 1 , 1 , 1 ( ), 1 , 1 , 1 ( ), 1 , 1 , 1 [( enestaussiune.Letripletdescomposantesdunvecteur ) , , ( z y xde 3Rdans cette base est ||

\| + + +2,2,2y x x z y z. ] ) 0 , 0 , 1 ( , ) 1 , 4 , ( , ) 12 , , 1 ( [

w v ue est aussi une base de 3R: Soit 3) , , ( R = c b a x

.On doit montrer quil existe un unique triplet de 3Rtel quew z v y u x x . . . + + =

Lquation vectorielle quivaut au systme : = += += + +c y xb y xa z y e xS124.) ( Or, === + +48412484.) (c bc yc bxa z y e xSDonc (S) a bien une unique solution. A.Benhari28 K dsigne ici toujours un corps (commutatif) VIII Dfinition SoitEunensemble,munidedeuxloisinterneset,etduneloiexterne oprateurs dans K, . Alors) , , , ( Eest une K-algbre lorsque : -) , , ( Eest un K-ev. - La loi est associative et admet un lment neutre (quon note E1 ) - La loi est distributive sur la loi. - Pour tousE v u , , et toutK ,) ( ) ( ) ( v u v u v u = = Notation : les lois et sont gnralement notes + et. Exemples : R est une R-algbre (pour les lois usuelles), et C aussi. (C est aussi une C-algbre). ) , , ), , ( ( + K X Fest une R-algbre, X tant un ensemble quelconque. IX Sous-algbres Dfinition : Une sous-algbre dune K-algbre) , , , ( + E , cest une partie F de E qui contient E1et qui est stable pour chacune des trois lois, c'est--dire : -FE 1 -F v u F v u F v u + et, ) , (2-F u K u , , KProposition : Une sous-algbre dune K-algbre est une K-algbre. Exemple : LensembledesfonctionspolynomialesdeKdansKconstitueunesous-algbrede lalgbre) , , ), , ( ( + K K F . X Morphisme de K-algbre Dfinition : Soient) , , , ( + E ,) , , , ( + F deuxK-algbres.SoitF E : .Alors estun morphisme de K-algbres lorsque : -) ( ) ( ) ( , ) , (2v u v u E v u + = + -) ( ) ( ) ( , ) , (2v u v u E v u = -) ( ) ( , , u u E u = K - F E1 ) 1 ( = Exemple : LensembledessuitesconvergentesestunesousalgbredelaR-algbredessuites relles,etlapplicationquiunesuiteconvergenteassociesalimiteestunmorphisme dalgbres. K-algbres A.Benhari29 E dsigne ici un K-ev (o K est un sous corps de C) XI Les thormes fondamentaux A) Existence de base Thorme : OnsupposequeEadmetunefamillegnratricefinieg.Alors,deg,onpeut extraire une base de E. Dmonstration : Montronsparrcurrenceque,pourtoutN m , siEadmetunefamille gnratrice g de cardinal m, alors, de g, on peut extraire une base de E (P(m)) P(0) :SiEadmetunefamilledecardinal0,cestque{ }EE 0 = etlafamille vide est une base de E. P(1) : Si E admet une famille gnratrice de cardinal 1, disons) (1u g =: -Si Eu 01 = , alors{ }EE 0 = , et est alors une base de E, extraite de g. -Si Eu 01 ,) (1u estunefamillelibreetgnratricedeE,extraitedeg(car gale g). P(2) :SiEadmetunefamillelibreetgnratricedecardinal2,disons ) , (2 1u u g =: -Si) , (2 1u uest libre, alors cest une base de E, extraite de g. -Siellenelestpas,alorslundes iu ,disons 2u ,estcombinaisonlinairedes autres (c'est--dire 1u ).Alors) (1u estgnratricedeE.DaprsP(1),on peut donc en extraire une base de E. Soit* N m .SupposonsP(m).Montrons) 1 P( + m .SiEadmetunefamille gnratrice de cardinal1 + m , disons) ,... , (1 2 1 +=mu u u g: -Si) ,... , (1 2 1 + mu u uest libre, alors elle est une base de E, extraite de g. -Si elle ne lest pas, alors lun des iu , disons 1 + muest combinaison linaire des autres. Alors) ,... , (2 1 mu u uest gnratrice de E. Daprs P(m), on peut donc en extraire une base de E, ce qui achve la rcurrence. Consquence : (1) Tout K-ev de type fini admet une base (finie) (2) thormedextractiondebase :detoutefamillegnratricefiniedunK-ev, on peut extraire une base (finie) de ce K-ev. B) Dimension Thorme et dfinition : Soit E un K-ev de type fini. Alors toutes les bases de E ont le mme cardinal, il est appel la dimension de E, not) dim(E . Espaces vectoriels de type fini A.Benhari30 Dmonstration : Lemme : PourtoutentierN n ,1 + n vecteursquisontcombinaisonslinairesden vecteurs de E forment toujours une famille lie. En effet, montrons ce lemme par rcurrence sur n : Pour0 = n: 1 vecteur combinaison linaire de 0 vecteur est li . Cest vrai car une combinaison linaire de 0 vecteurs, cest E0Pour1 = n: 2vecteurscombinaisonlinairede1vecteurformentune famille lie . Si 1 0 0u v =et 1 1 1u v = , alors) , (1 0v vest lie : Si00 , alors 0011v v= . Sinon Ev 00 = . Donc 0vet 1vsont colinaires. Soit2 n , supposons le rsultat vrai pour1 n .Considrons1 + n vecteurs nv v v ,... ,2 1,combinaisonslinairesdenvecteurs nu u u ,... ,2 1. On a donc des scalaires j i ,avecn i 0etn j 1tels que : + + + =+ + + =+ + + =) ( ...) ( ...) ( ..., 2 2 , 1 1 ,1 , 1 2 2 , 1 1 1 , 1 10 , 0 2 2 , 0 1 1 , 0 0n n n n n n nn nn nL u u u vL u u u vL u u u v -Si[ ] 0 , , 0,= n in i ,alors nv v v ,... ,2 1sontcombinaisonslinairesdes1 nvecteurs 1 2 1,... , nu u u .Parhypothsedercurrence,) ,... , (1 2 1 nv v v estlie. Donc) ,... , (2 1 nv v vlest aussi. -Si lun des n i , , pour[ ] n i , 0 nest pas nul, disons n n,(sinon on change les lignes), alors les transformations

nn nn ii iL L Ln,, pour[ ] 1 , 0 n idonnent : = = = ..... .......... .......... .......... .......... ............... .......... .......... .......... .......... ..........,... , de linaire nCombinaiso1 12 1 0 0n n nnn nv vv vu u u v v Les vecteurs[ ] 1 , 0 , n i v vn i iforment donc une famille lie puisque ce sont n vecteurs combinaisons linaires de1 n(hypothse de rcurrence). Il existe donc desscalaires 1 2 1,... , n nontousnulstelsque0 ) (10= =nin i i iv v .Donc 0 .10= +=nin i iv v avec = =10nii i ,cequiprouveque) ,... , (2 1 nv v v estliecar au moins lun des iest non nul, ce qui achve la rcurrence. Maintenant : Soient B, B deux bases (finie) de E, notons m, n leur cardinal. BestgnratricedeE.doncchacundesmvecteursdeBestcombinaison linaire des n vecteurs de B. doncn m (sinon, selon le lemme, B serait lie) De mme,m n . Doncm n =A.Benhari31 Exemple important : nKest de dimension n : on en connat une base de cardinal n (la base canonique) Remarque : Si E est de dimension 0, alors{ }EE 0 =Si E est de dimension 1, alors E est une droite vectorielle. Vocabulaire : "E de type fini" = "E de dimension finie". Thorme de la base incomplte : SoitEunK-evdedimensionfinien.AlorstoutefamillelibredeEpeuttre complte en une base de E. Dmonstration : Soit L une famille libre de E. Si L est vide, il suffit de la complter avec une base de E. Sinon,) ,... , (2 1 pu u u L = , o* N pSoit) ,... , (2 1 ne e e = Bune base de E. -Si L est gnratrice de E, alors L est une base de E. -Sinon,lunaumoinsdes[ ] n i ei, 1 , nestpascombinaisonlinairede pu u u ,... ,2 1(carsinonLseraitgnratrice).Soitalors[ ] n i , 11 telque ) ,... , ( Vect2 11p iu u u e . Alors la famille) , ,... , ( '12 1 i pe u u u L =est libre. Si elle est gnratrice,cestunebasedeE.Sinon,onrecommence.Auboutdun moment,onobtientunefamillelibreetgnratrice(puisque,aupire, ) ,... , , ,... , (2 1 2 1 n pe e e u u uest gnratrice). Consquence du thorme : Soit E un K-ev de dimension n. Alors : (1) Les familles libres de E ont au plus n vecteurs. (2) Si une famille libre de E est de cardinal n, alors cest une base de E. Remarque : la dmonstration du thorme montre que, pour complter une famille libre en une base de E, on peut imposer de piocher les lments qui compltent dans une base, fixe davance, de E. Consquence du thorme dextraction de base : Soit E un K-ev de dimension n. Alors : (1) Les familles gnratrices de E sont de cardinaln . (2) Si une famille gnratrice de E est de cardinal n, alors cest une base de E. Thorme : Soit E un K-ev. Alors : major estde libres familles des cardinal lefinie base une admetilfinie e gnratric famille une admetil finie dimensionde est EE A.Benhari32 Dmonstration : (les deux premires quivalences sont des rappels) : Evident, lensemble est major par) dim(E : Supposons que le cardinal des familles libres de E est major. Lensemble des cardinaux des familles libres est donc une partie non vide (contient 0) et majore de N. On note n le maximum de cette partie. Soit alors une famille L de cardinal n. -Si0 = n , alors{ }EE 0 =car est la seule famille de cardinal 0. -Sinon,) ,... , (2 1 nu u u L = .Alorscettefamilleestgnratrice,carsinonon pourraittrouverE v quinestpascombinaisonlinairedes iu ,etainsila famille) , ,... , (2 1v u u unseraitlibredecardinal1 + n ,cequicontreditla dfinition de n. Thorme : Soit E un K-ev de dimension finie n. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors F a une dimension finie etn , et si elle vaut n, alorsE F =Dmonstration : LesfamilleslibresdlmentsdeFsontdesfamilleslibresdlmentsdeE. Doncleurcardinalestmajorparn.DoncFestdedimensionfinien p (puisquesi) ,... , (2 1 pu u u estunebasedeF,alorscestaussiunefamillelibre de E, doncn p ) Sin p = ,alorssoit) ,... , (2 1 pu u u unebasedeF.Cestdoncunefamillelibre de E de cardinaln p = . Cest donc une base de E. DoncE F = . Thorme : Soit E un K-ev de dimension finie n. Alors tout sous-espace vectoriel de E admet un supplmentaire dans E (mais pas un seul en gnral). Dmonstration : Soit F un sous-espace vectoriel de E. Si E F = ,{ }E0est supplmentaire de F. (et vice-versa) Sinon,Festdedimensionfiniepavecn p < 1 .Soit) ,... , (2 1 pu u u unebase de F. Cest aussi une famille libre de E. on peut donc la complter en une base ) ,... , ,... , (1 2 1 n p pu u u u u+deE.Onposealors) ,... ( Vect1 n pu u G+= .AlorsGest un supplmentaire de F dans E. En effet : -SoitE v .Donc Gn n p pFp pu x u x u x u x v+ ++ + + + + = ... ...1 1 1 1.(car) ,... , (2 1 nu u uest gnratrice de E) Cest vrai pour toutE v . DoncG F E + = . -Montrons maintenant que la somme est directe, soit que{ }EG F 0 = : SoitG F v ,alors p pu x u x v + + = ...1 1et n p n pu y u y v ++ + = ...1 1.Donc 0 ... ...1 1 1 1= + + + n p n p p pu y u y u x u x .Commelafamille) ,... , (2 1 nu u u est libre,0 ... ...2 1 2 1= = = = = = = = p n py y y x x x . Donc0 = v . Donc{ }EG F 0 . Donc{ }EG F 0 = . DoncG F E = A.Benhari33 XII Rang dune famille de vecteurs Dans ce paragraphe, E est un K-ev. Dfinition : Soit F une famille de vecteurs de E. Le rang de F est :)) ( Vect dim( ) ( rgdfF F = . Exemples : Si 3R = E . ] ) 9 , 8 , 7 ( , ) 6 , 5 , 4 ( , ) 3 , 2 , 1 ( [3 2 1

u u u= F . Alors2 ) ( rg = F(car) (213 1 2u u u + = ) Si) , ( R R F = Ex x f e x f x fx : : 1 :3 2 1 Alors3 ) , , rg(3 2 1= f f f( ) , , (3 2 1f f fest libre, donc une base de) , , Vect(3 2 1f f f ) Dmonstration :SoientR 3 2 1, , , supposons que03 3 2 2 1 1= + + f f f . Alors0 ) ( ) ( ) ( ,3 3 2 2 1 1= + + x f x f x f x R .Do,enprenanttroisvaleurspourx, par exemple -1, 0, 1, on trouve03 2 1= = = . Proprits : Soit E de dimension finie n. Soit F une famille dlments de E de cardinal p, disons) ,... , (2 1 pu u u = FNotons) Vect(F = F . Soit) ( rg F = r(ainsi,F r dim = ) Alors : *p r :) ,... , (2 1 pu u uest gnratrice de F doncr p *n r : F est un sous-espace vectoriel de E doncE F dim dim * = p rF est libre :) ,... , ( dim2 1 pu u u p F p r = =est une base de F. * = n rF est gnratrice de E : = = = E F n F p r dimF engendre E. * = = p n rF est une base de E (rsulte des deux derniers points) Exemple : famille de 5 vecteurs de rang 3 dans un espace vectoriel de dimension 4 : )] 0 , 3 , 2 , 49 ( ), 0 , 2 , 5 , 7 ( ), 0 , 1 , 0 , 0 ( ), 0 , 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 0 , 0 , 1 [( XIII Somme de sous-espaces vectoriels et dimension Ici, E est un K-ev de dimension finie n. Thorme : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E en somme directe. Si) ,... , (2 1 pu u uest une base de F. Et si) ,... , (2 1 qv v vest une base de G. Alors) ,... , , ,... , (2 1 2 1 q pv v v u u uest une base deG F . A.Benhari34 En effet : *) ,... , , ,... , (2 1 2 1 q pv v v u u uest gnratrice deG F : vident. *Cettefamilleestlibre :si EG vq qF up pv v v u u u 0 ... ...2 2 1 1 2 2 1 1= + + + + + + + = = ,alors Eu v 0 = =car F et G sont en somme directe. Or, si Eu 0 = , alors[ ] 0 , , 1 = ip i car) ,... , (2 1 pu u uest libre. Et si Ev 0 = , alors[ ] 0 , , 1 = i q icar) ,... , (2 1 qv v vest libre. Donc) ,... , , ,... , (2 1 2 1 q pv v v u u uest libre. Cest donc une base deG F . Consquence : si F et G sont en somme directe, alors) dim( ) dim( ) dim( G F G F + = Thorme :Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors) dim( ) dim( ) dim( ) dim( G F G F G F + = +Dmonstration : PosonsG F H = . Alors H est un sous-espace vectoriel de E, F et G. H est un sous-espace vectoriel de G, il a donc un supplmentaire dans G, disons 1G . Donc 1G H G = . Alors 1G F G F + = + , et F et 1Gsont en somme directe : (1)Lasommeestdirecte :si 1G F u ,alorsH G F u = ,et 1G u .Donc { }

EOG H u= 1. Donc Eu 0 =(2) 1G F G F + = +: Dj, 1G F G F + +(si

G GFw v u + =11, alorsG F u + ) SoitG F u + . Alors G Fw v u + = . Or,G w . Donc

11GHw h w+ = . Donc

11car GF H hFw h v u + + =Donc 1G F G F = +Ainsi,) dim( ) dim( ) dim(1G F G F + = +Or,) dim( ) dim( ) dim(1H G G + =(car 1G H G = ) Donc) dim( ) dim( ) dim( ) dim( H G F G F + = + Consquence : Soient F, G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors : { }{ }= += += = += = +) 1 () 3 ( dim dim) 2 ( 0) 3 ( dim dim) 2 ( 0) 1 (dans aires supplment sontet E G Fn G FG Fn G FG FE G FE G FEE A.Benhari35 En effet : { }EG F G Fn G F n E G FE G F n G FG F G F G F G F0 donc 0 ) dim( Doncdim dim et) dim( ) dim( : ) 2 ( ) 1 ( et) 3 (donc ) dim( Ainsi,) dim( ) dim( ) dim( ) dim( ) dim( ) dim( : ) 1 ( ) 3 ( et) 2 (formule la selonvident: ) 3 ( ) 2 ( et) 1 (= = = + = = + = + = ++ = + = + XIV Applications linaires en dimension finie Dans ce paragraphe : E est un K-ev de dimension finie1 p . F est un K-ev de dimension finie1 n . A) Dterminationduneapplicationlinaireparladonnedesimagesdes vecteurs dune base Thorme : Soit) ,... , (2 1 p Ee e e = Bune base de E. Soit) ,... , (2 1 pv v vun p-uplet de vecteurs quelconques de F. Alorsilexisteuneuniqueapplicationlinaire deEdansFtelleque [ ]i iv e p i = ) ( , , 1 Dmonstration : Unicit :si convient,alors,tantdonnE u , ==pjj je x u1.Donc = == =pjj jpjj jv x e x u1 1) ( ) ( . Existence : Soit lapplication de E dans F dfinie par : =pjj jx xu u xF EE p1dans ) ,... (s composante de:1B(La dfinition a un sens car la dcomposition dans une base est unique) Alorsest linaire : SoientE u u ' , , de composantes) ,... , (2 1 px x x ,) ' ,... ' , ' (2 1 px x xdans EBetK . Alors' u u +a pour composantes) ' ,... ' , ' (2 2 1 1 p px x x x x x + + +dans EB . Donc) ' ( ) ( ' ) ' ( ) ' (1 1 1u u v x v x v x x u upjj jpjj jpjj j j + = + = + = + = = = Enfin, on a bien[ ]i iv e p i = ) ( , , 1 : Pourtout[ ] p i , 1 , ie apourcomposantes) 0 ,... 1 ,..., 0 (idans EB ,donc i i i iv v x e = = ) ( A.Benhari36 Consquence : Si) ,... , (2 1 p Ee e e = Best une base de E, et) ,... , (2 1 n Ff f f = Best une base de F. AlorsladonneduneapplicationlinairedeEdansFrevientladonnede p nscalaires, savoir les j ia,, pour[ ] [ ] p j n i , 1 , , 1 tels que : [ ][ ] ) ( ) ( , , 1) dans les s composante de (vecteur) ( , , 11,,jnii j i jF j i jv f a e p ja e p j= = = = B Onrangecesscalairesdansuntableaunlignes,pcolonnes,desorteque,pour tout[ ] [ ] p n j i , 1 , 1 ) , ( , j ia, est plac sur la i-me ligne de la j-me colonne : ||||||

\|p n n nppa a aa a aa a a, 2 , 1 ,, 2 2 , 2 1 , 2, 1 2 , 1 1 , 1 Ce tableau sappelle la matrice dedans les bases EBet FB(attention : le et nest pas commutatif) La j-me colonne de cette matrice est la colonnedes composantes de) (je dans la base FB . B) Applications linaires et images des vecteurs dune base Proposition :Soit) , ( F E L ,) ,... , (2 1 p Ee e e = Bune base de E. Alors : (1) Im )) ( ),... ( ), ( ( Vect2 1=pe e e(2)est surjective si et seulement si)) ( ),... ( ), ( (2 1 pe e e est gnratrice de F. (3)est injective si et seulement si)) ( ),... ( ), ( (2 1 pe e e est libre. (4)est bijective si et seulement si)) ( ),... ( ), ( (2 1 pe e e est une base de F. Dmonstration : (1) * Si)) ( ),... ( ), ( ( Vect2 1 pe e e v , alors Im ) (1 1|||

\|= = = =pjj jpjj je e v . * Si Im v , alors) (u v = , oE u . Or, ==pjj je x u1 (dcomposition de u dans EB ). Donc)) ( ),... ( ), ( ( Vect ) (2 11 1ppjj jpjj je e e e e v =|||

\|= = = (2) Consquence vidente de (1) (3) *Si)) ( ),... ( ), ( (2 1 pe e e estlibre :soit ker u , ==pjj je x u1.Alors ( ) == =pjj je x u1) ( 0 .)) ( ),... ( ), ( (2 1 pe e e est libre, donc[ ] 0 , , 1 = jx p j. Donc{ }E0 ker = . Doncest injective. A.Benhari37 *Si estinjective :soientK px x x ,... ,2 1.Supposonsque Fpjj je x 0 ) (1== . Alors Fpjj je x 01=|||

\|= .Donc Epjj je x 01==(car{ }E0 ker = ).Donc [ ] 0 , , 1 = jx p j (car) ,... , (2 1 pe e e estlibre).Donc)) ( ),... ( ), ( (2 1 pe e e est libre. (4) Consquence directe de (2) et (3) Consquence : Sip E = dim ,n F = dim , alors : surjectivep n injectiven p C) Isomorphismes Proposition : Soit E de dimension p, F de dimension n. Alors E et F sont isomorphes si et seulement si ils ont mme dimension. Dmonstration : SiEetFsontisomorphes,alorsilexiste) , ( F E L bijective.Onaalors F E dim dim =(car alorsF E dim dim etE F dim dim ) Sip F E = = dim dim .Soientalors) ,... , (2 1 p Ee e e = B unebasedeEet ) ,... , (2 1 p Ff f f = B unebasedeF.Ilexistealorsuneapplicationlinaire ) , ( F E L telleque[ ]i if e p i = ) ( , , 1 .Cetteapplicationestdoncun isomorphisme (car la famille)) ( ),... ( ), ( (2 1 pe e e est libre et gnratrice) Proposition : Soient E et F de mme dimension finie. Alors, pour tout) , ( F E L , on la les quivalences : surjective est injective estbijective est Dmonstration : Supposons quen F E = = dim dim . Soit alors) ,... , (2 1 p Ee e e = Bune base de E. Alors : bijective est ) dim (carde base une est)) ( ),... ( ), ( (libre est)) ( ),... ( ), ( ( injective est 2 12 1 = n F F e e ee e enn On fait la mme chose pour lautre quivalence. Proposition : Les isomorphismes conservent le rang,c'est--dire que siest un isomorphisme deEdansE,alors,pourtoutefamille) ,... , (2 1 qu u u devecteursdeE, )) ( ),... ( ), ( ( rg ) ,... , ( rg2 1 2 1 q qu u u u u u = . A.Benhari38 En effet : Sionnote) ,... , ( Vect2 1 qu u u F = ,alors)) ( ),... ( ), ( ( Vect ) (2 1 qu u u F = ,etralise alors un isomorphisme de F dans) (F . Donc) ( dim dim F F = . Exemple : Soit E de dimension n,) ,... , (2 1 n Ee e e = Bune base de E. Alors [ ]=nii i n i ine x xE1, 1) (:K est un isomorphisme. D) Le thorme noyau - image Thorme : Soient E, F deux K-ev, o E est de dimension finie. Soit) , ( F E L . Alors Imest de dimension finie, et) dim(Im ) dim(ker dim + = E . Dmonstration : On peut introduire un supplmentaire G de kerdans E. Ainsi,G E = ker . On dfinit alors ) (Im : u uG . Alorsest linaire (Cest en quelque sorte "G / ") Alors : est injective :{ } { } { }EG u G u u G u 0 ker 0 ) ( , 0 ) ( , ker = = = = = = estsurjective :Soit Im v .vscrit) (u ,oE u .Alors Gw w u + = ker' . Doncv w w w u = = + = ) ( ) ( ) ' ( ) ( . Doncest un isomorphisme. DoncG dim ) dim(Im = . Or,) dim(ker dim dim = E G . Donc) dim(Im ) dim(ker dim + = E . Consquence : On retrouve le fait que : injective surjective bijective , dim dim Sidim dim surjectivedim dim injectivedim ) dim(Im = F EF EF EE E) Rang dune application linaire Soit) , ( F E L , o E est de dimension finie. Alors) dim(Im rgdf =Propositions : - Si) ,... , (2 1 pe e eest une base de E, alors : )) ( ),... ( ), ( ( rg))) ( ),... ( ), ( ( Vect dim( ) dim(Im rg2 12 1ppe e ee e e == = A.Benhari39 - Si on notep E = dim ,n F = dim ,r = ) ( rg , alors : bijective ; surjective ; injective; = = = = p n r n r p rp r n r (dcoule directement du thorme noyau image) XV Formes linaires et hyperplan Dans ce paragraphe, E dsigne un K-ev de dimension2 n . A) Formes linaires de E. Rappel :uneformelinairedeEestuneapplicationlinairedeEdansK. Lensemble des formes linaires de E est) , ( K E L , not aussi* E(dual de E). ( * Eest un K-ev). Proposition : Soit) ,... , (2 1 ne e e = Bune base de E. Les formes linaires de E sont exactement les applications du type : n nx x xu x a x a x aEn+ + +...2 2 1 1dans ) ,... , (s composante de2 1BK , o nna a a K ) ,... , (2 1. En effet : Lapplication : = ==nii inii ia x e x uE1 1K estluniqueapplicationlinairedeEdansK telle que[ ]i ia e n i = ) ( , , 1 . La matrice de cette application linairedans les bases B et (1) est la matrice ligne) ,... , (2 1 na a a(1 ligne, n colonnes) Cas particulier :Pour[ ] n i , 1 , on note ipla forme linaire : ix x xuixE pndans ) ,... , (s composante de2 1BK (matrice) 0 ,... 1 ,... 0 (i) ; on les appelle les projections relatives B. La famille des ipestvidemment gnratrice de* E(lire E dual ),et elle est libre :[ ]Eajnii i Enii ije p a n j p a 0 ) ( , , 1 01*1= ||

\| === =

. Donc [ ] n i ip, 1) ( est une base de* E . Donc* Eest de mme dimension que E. La base) ,... , (2 1 np p pest appele la base duale de) ,... , (2 1 ne e e . B) Hyperplan Dfinition : Un hyperplan de E est un sous-espace vectoriel de E de dimension1 n . A.Benhari40 Exemple : En dimension 2, les hyperplans sont des droites. En dimension 3, les hyperplans sont des plans. Thorme : Les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linaires non nulles de E. Plus prcisment : (1) Si{ }) , (0 \ ) , (KKE LE L , alors kerest un hyperplan de E. (2) Si H est un hyperplan de E, alors il existe{ } 0 \ ) , ( K E L tel que ker = H . (3) Si) , ( ,2 1K E L tels que 2 1ker ker = , alors 1et 2sont colinaires,c'est--dire quil existe{ } 0 \ K tel que 1 2 = . Dmonstration : chapitre 4:1Si{ }) , (0 \ ) , (KKE LE L ,alors Im estunsous-espace vectoriel de K, qui est de dimension 1. Donc Imest de dimension 0 ou 1. Si 0 ) dim(Im = ,alors{ } 0 Im = et ) , (0K E L= .Donc1 ) dim(Im = (et K = Im ). Donc1 ) dim(Im dim ) dim(ker = = n E chapitre 4:2Soit H un hyperplan de E. Soit) ,... , (1 2 1 nu u uune base de H.On la complte en une base de E :) ,... , (2 1 nu u u . Soit la forme linaire qui envoie les[ ] 1 , 1 , n i ui sur 0 et nusur 1.AlorsH = ker(car pourH v x v u x vnnii i = = = =0 0 ) ( ,1 ) chapitre 4:3Si01 = ,E =1ker; doncE =2ker , donc 1 2. 1 0 = = . Si01 ,lenoyaude 1 estunhyperplanHdebase) ,... , (1 2 1 nu u u ,quelon complte en une base) ,... , (2 1 nu u ude E. Alors : { } { } = == == = 0 \ ) ( ; 0 \ ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) (2 11 2 1 11 2 1 1K K b u a uu uu un nn n Donc 1 2 ab=(puisque[ ] ) ( ) ( , , 11 2 j abju u n j = et la donne des images des vecteurs dune base dtermine lapplication linaire) Consquence : Soit) ,... , (2 1 ne e e = Bune base de E. Alors les hyperplans de E sont exactement les partiesdeEquiadmettentdanslabaseB,unequationdutype0 ...2 2 1 1= +n nx a x a x aoules ia sontdesscalairesnontousnuls.Deplus,siunhyperplanadmetdeux quations, alors elles sont proportionnelles. Rappel :Etantdonne) , ( K KnF F ,lapartieEdquation0 ) ,... , (2 1=nx x x FdanslabaseBest,pardfinition,lensembledescomposantes) ,... , (2 1 nx x x dansB vrifiant0 ) ,... , (2 1=nx x x F . A.Benhari41 OnverraquesiFestunsevdeEdedimensionp,alorsFestlintersection dhyperplans (et peut donc tre dfini par un systme dquations), le nombre minimum dquations ncessaires tantp n . Danscechapitre,Kestuncorpscommutatif(souventunsouscorpsdeC).Leslettresn,p, q dsignent des lments de N*. XVI Dfinition A) Matrice Unematricedetype) , ( p n coefficientsdansKestunefamille p jn i j ia 11 ,) (dlments de K indexe par[ ] [ ] p n , 1 , 1 . Leur ensemble est not) (,Kp nM;) (,Kn nMest not aussi) (KnM B) Reprsentation dune matrice Une matrice p jn i j ia A =11 ,) (de) (,Kp nMest reprsente par un tableau n lignes, p colonnes de sorte que, pour tout[ ] [ ] p n j i , 1 , 1 ) , ( , j ia, est plac sur la i-me ligne de la j-me colonne. Ainsi : ) (,, 2 , 1 ,, 2 2 , 2 1 , 2, 1 2 , 1 1 , 1Kp np n n nppMa a aa a aa a aA ||||||

\|= La i-me ligne de A est) ( ) ... , (, 1 , 2 , 1 ,Kp p i i iM a a a (matrice ligne) La j-me colonne de A est) ( ) ... , (1 , , , 2 , 1Kn j n j jM a a a (matrice colonne) Une matrice de type) , ( n nsappelle une matrice carre dordre n. XVII Matrice dune famille de vecteurs dans une base Ici, E est un K-ev de dimension p, muni dune base) ,... , (2 1 p Ee e e = B . SoitE v , on lui associe la matrice colonne ||||||

\|pxxx21 de ses composantes dans la base EBMatrices A.Benhari42 Lapplication : ||||||

\|ppxxxvM E211 ,) ( : K est videmment bijective (dinverse =||||||

\|pii ipe xxxx121) Plusgnralement,tantdonneunefamille) ... , (2 1 qv v v = F dlmentsdeE,on introduit la matrice) (,Kq pM Atelle que, pour tout[ ] q j , 1 , la j-me colonne de A soit la colonne des composantes de jvdans la base EB . Cette matrice sera note) , ( matEB F . Exemple : 2 21 ; 3 ; 2 1 X X R X Q X P + + = + = =Matrice de) , , ( R Q Pdans la base naturelle de] [2X R( ) , , 1 (2X X ) : ||||

\|1 1 01 0 21 3 1 Cest aussi la matrice de( ) ) 1 , 1 , 1 ( ), 1 , 0 , 3 ( ), 0 , 2 , 1 ( dans la base canonique de 3R . XVIII Matrice dune application linaire dans des bases Soit E un K-ev de dimension p, muni dune base) ,... , (2 1 p Ee e e = B . Soit F un K-ev de dimension n, muni dune base) ,... , (2 1 n Ff f f = B . Soit) , ( F E L Dfinition : Lamatricede danslesbases EB et FB est,pardfinition,lamatricenlignes,p colonnes, qui donne, par colonne, les) (je dans la base FB: Cest) )), ( )... ( ), ( (( mat2 1 F pe e e B , note) , , ( matF EB B Proposition :lamatrice) (,Kp nM A dtermineuneuniqueapplicationlinaire ) , ( F E L telle que) , , ( matF EA B B = . Cestlefaitqueladonnedesimagesdesvecteursdedtermineuneetuneseule application linaire. Ainsi, lapplication ) , , ( mat) ( ) , ( :, ,F Ep nM F E LF EB BB B K est bijective. Cas particulier : SiF E =et F EB B = , alors) , , ( matE EB B , note) , ( matEB est la matrice dedans la base EB EBA.Benhari43 XIX Le K-ev Mn,p(K). Ide :transporteravec F EB B , lastructuredeK-evde) , ( F E L desorteque F EB B ,devienne un isomorphisme (et pas seulement une bijection) A) Somme Etude : Soit E un K-ev de dimension p, muni dune base) ,... , (2 1 p Ee e e = B . Soit F un K-ev de dimension n, muni dune base) ,... , (2 1 n Ff f f = B . Soit) , ( F E L f , de matrice p jn i j ia A =11 ,) (dans EBet FB . Soit) , ( F E L g , de matrice p jn i j ib B =11 ,) (dans EBet FB . Alors, pour tout[ ] p j , 1 : = = =+ = + = + = +nii j i j inii j inii j i f j jf b a f b f a e g e f e g f1, ,1,1,) ( ) ( ) ( ) (La matrice deg f +dans EB , FBest donc la matrice p jn i j ic C =11 ,) (dfinie par : [ ] [ ]j i j i j ib a c p j n i, , ,, , 1 , , 1 + = Dfinition : Soient p jn i j ia A =11 ,) ( et p jn i j ib B =11 ,) ( deuxlmentsde) (,Kp nM .B A+ estla matrice p jn i j ic C =11 ,) (telle que[ ] [ ]j i j i j ib a c p n j i, , ,, , 1 , 1 ) , ( + = . Thorme : Soit E un K-ev de dimension p, muni dune base) ,... , (2 1 p Ee e e = B . Soit F un K-ev de dimension n, muni dune base) ,... , (2 1 n Ff f f = B . Soient) , ( , F E L g f Alors) , , ( mat ) , , ( mat ) , , ( matF E F E F Eg f g f B B B B B B + = +Dmonstration : rsulte de ltude. B) Produit par un scalaire Ltude est analogue celle de la somme, avec) , ( F E L f etK Dfinition : Soient p jn i j ia A =11 ,) ( ,K . A est la matrice p jn i j ia A =11 ,) ' ( 'telle que[ ] [ ]j i j ia a p n j i, ,' , , 1 , 1 ) , ( = . A.Benhari44 Thorme : Soit E un K-ev de dimension p, muni dune base EB . Soit F un K-ev de dimension n, muni dune base FB . Soit) , ( F E L f Alors) , , ( mat . ) , , . ( matF E F Ef f B B B B = C) Le K-ev Mn,p(K) Thorme : .) , ), ( (,+ Kp nMest un K-ev Soit E un K-ev de dimension p, muni dune base EBSoit F un K-ev de dimension n, muni dune base FB . Alors ) , , ( mat) ( ) , ( :, ,F Ep nM F E LF EB BB B K est un isomorphisme de K-ev. Dmonstration : VrificationimmdiatesdesdiffrentesrglesdecalculdansunK-ev(le neutre est not) (,0Kp nM, matrice dont tout les coefficients sont nuls) Idem Cas particulier : Si pE K =muni de sa base canonique pBEt nF K =muni de sa base canonique nBAlorslisomorphisme ) , , ( mat) ( ) , ( :,n pp nn pf fM LB B K K K estlisomorphisme canonique de) , (n pL K Kvers) (,Kp nM . D) Dimension Thorme :) (,Kp nM estdedimensionp n ,unebasenaturellede) (,Kp nM tantlafamille des j iE,pour[ ] [ ] p n j i , 1 , 1 ) , ( o j iE,estlamatricede) (,Kp nM donttousles coefficients sont nuls sauf celui dindice) , ( j iqui vaut 1. Dmonstration :Repose sur le fait que pour toute matrice p jn i j ia A =11 ,) ( , =j ij i j iE a A,, ,. Consquence :Soit E un K-ev de dimension p, muni dune base EB . Soit F un K-ev de dimension n, muni dune base FB . Alors) , ( F E Lest de dimensionp n . Dmonstration :) , ( F E Lest isomorphe ) (,Kp nM . A.Benhari45 XX Produit matriciel A) Dfinition Etude : Soit E un K-ev de dimension p, muni dune base) ,... , (2 1 p Ee e e = B . Soit F un K-ev de dimension n, muni dune base) ,... , (2 1 n Ff f f = B . Soit G un K-ev de dimension m, muni dune base) ,... , (2 1 m Gg g g = B . SoitG E : linaire. SoitF G : linaire. Alors est linaire de E dans F. Soit) ( ) ( ) , , ( mat, ,Km n j i E GM a A = = B B Soit) ( ) ( ) , , ( mat, ,Kp m j i G EM b B = = B B Soit) ( ) ( ) , , ( mat, ,Kp n j i F EM c C = = B B Pour tout[ ] p j , 1 , on a : [ ][ ] = == = = == =||

\|= =||

\|= ||

\|== ||

\|= =nimki j k k im kn ii j k k imknii j k k imknii k i j kmkk j kmkk j k j jf b a f b af b a f a bg b g b e e1 1, ,, 1, 1, ,1 1, ,1 1, ,1,1,) ( )) ( ( ) ( Donc[ ]== mkj k k i j ib a c n i1, , ,, , 1Donc[ ] [ ]== mkj k k i j ib a c p n j i1, , ,, , 1 , 1 ) , ( Dfinition : Soit) (,Km nM A ,) (,Kp mM B .OnnoteB A lamatriceC,lmentde ) (,Kp nM , dfinie par[ ] [ ]== mkj k k i j ib a c p j n i1, , ,, , 1 , , 1 Thorme : Soit E un K-ev de dimension