Algèbre - unebellefacon.files.wordpress.com · RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS 1. Résolution d'équations 1.1. Équations du premier degré Forme générale Solution ax + b = 0 (a, b ∈

Algèbre

Didier Müller, août 2012

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Table des matières

1. Résolution d'équations1.1. Équations du premier degré...........................................................................................................................................11.2. Équations du second degré............................................................................................................................................11.3. Équations bicarrées........................................................................................................................................................21.4. Division de polynômes..................................................................................................................................................21.5. Résolution d'équations de degré supérieur à 2..............................................................................................................41.6. Équations irrationnelles.................................................................................................................................................41.7. Où est l'erreur ?..............................................................................................................................................................51.8. Ce qu'il faut absolument savoir.....................................................................................................................................5

2. Systèmes d'équations2.1. Systèmes d'équations linéaires.......................................................................................................................................72.2. Systèmes d'équations non linéaires..............................................................................................................................102.3. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................10

3. Déterminants3.1. Définition.....................................................................................................................................................................113.2. Formules de Cramer....................................................................................................................................................143.3. Quelques propriétés des déterminants.........................................................................................................................153.4. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................16

4. Inéquations4.1. Définition.....................................................................................................................................................................174.2. Intervalles....................................................................................................................................................................174.3. Propriétés des inégalités..............................................................................................................................................184.4. Méthode générale de résolution...................................................................................................................................194.5. Domaines du plan........................................................................................................................................................204.6. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................21

5. Introduction à la programmation linéaire5.1. L'artisan chocolatier.....................................................................................................................................................235.2. Exercices......................................................................................................................................................................255.3. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................25

6. Progressions6.1. Les progressions arithmétiques...................................................................................................................................276.2. Les progressions géométriques....................................................................................................................................286.3. Exercices supplémentaires...........................................................................................................................................296.4. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................32

7. Suites et séries7.1. Suites...........................................................................................................................................................................337.2. Séries...........................................................................................................................................................................367.3. Convergence des séries................................................................................................................................................367.4. Séries entières..............................................................................................................................................................417.5. Développement des fonctions en séries entières.........................................................................................................427.6. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................44

8. Nombres complexes8.1. Introduction.................................................................................................................................................................458.2. Définitions des nombres complexes............................................................................................................................468.3. Opérations sur les nombres complexes.......................................................................................................................478.4. Forme trigonométrique................................................................................................................................................488.5. Formule d'Euler...........................................................................................................................................................508.6. Théorème fondamental de l'algèbre.............................................................................................................................518.7. Fonctions complexes...................................................................................................................................................518.8. Ce qu'il faut absolument savoir...................................................................................................................................52

RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS

1. Résolution d'équations1. Résolution d'équations1.1. Équations du premier degré

Forme générale

Solution

ax + b = 0 (a, b ∈ ℝ et a ≠ 0)

x=–ba

Exercice 1.1 Résolvez les équations suivantes :

a. 2x + 1 = 0 b. 53

x –45=0 c. –4x = 3 d. 3x – 4 = –2x

e. 4x = 4x f. 3 = –3x + 1 g. 3x + 2 = 3x – 5


a. x – 3x – 5

=5 b. x – 3x – 5

=1 c. x – 3x – 5

=0

d. x – 54

–x – 5

8=1

8e. 5

x1= 3

x11

2f. 1

x – 4= 1

2 x1


a. 5[3(2x – 1) + 7x] = 10(x + 20.5) b. x43

–x – 4

5–

3 x – 115

– 1=1

c. x2 3 x

4–

5 x – 13

=20 – 5 x12

d. x – a2

–x – b

3= ab

6

1.2. Équations du second degréForme générale

Solutions

Mohammed Al'Khwarizmi (788-850)

ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ et a ≠ 0)

La valeur ∆ = b2 – 4ac est le discriminant de l'équation.

Si ∆ > 0, l'équation a deux solutions réelles : x1=– b

2 a et x2=

– b−2 a

Si ∆ = 0, x1 = x2 ; l'équation a une solution réelle (solution double) : x= – b2 a

Si ∆ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle.

FactorisationSi ∆ ≥ 0, ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2). Si ∆ < 0, le polynôme n'est pas factorisable dans ℝ .

Exemple

Factorisons 2x2 + 12x + 10. On trouve les deux racines :

x1=–12122−4⋅2⋅10

2⋅2=−1 et x2=

– 12−122−4⋅2⋅102⋅2

=−5

Donc : 2x2 + 12x + 10 = 2(x+1)(x+5)

Dans le traité Hisâb al-jabr wa'l-muqqâbala (Science de la transposition et de la réduction) du mathématicien d'Asie centrale Al'Khwarizmi, les équations du second degré sont classées en six types et résolues.

Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Algèbre

1

CHAPITRE 1


a. x2 – 3x + 2 = 0 b. 4 – 5x + x2 = 0 c. x2 – 4x = –5

d. x2 + 6x + 9 = 0 e. 2x2 – 5x – 2 = 0 f. –x2

2x6=0

g. 3 x2 – 4 x23=0 h. x x5=2 x

Exercice 1.5 Pour quelle(s) valeur(s) de k l'équation x2 + kx – k + 3 = 0 a-t-elle une seule solution ?

1.3. Équations bicarréesForme générale

Solutions

Si x2 = y, alors x=± y

(n'oubliez pas le ± !)

ax4 + bx2 + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ et a ≠ 0)

Poser x2 = y et substituer pour obtenir l'équation ay2 + by + c = 0. Trouver les solutions y1 et y2 de cette équation intermédiaire comme indiqué au § 1.2. Les solutions finales sont :

x1= y1 et x2=− y1 si y1 existe dans ℝ et si y1 ≥ 0.x3= y2 et x4=− y2 si y2 existe dans ℝ et si y2 ≥ 0.


a. x4 – 5x2 + 4 = 0 b. x4 – 2x2 + 1 = 0 c. 4u4 – 4u2 + 3 = 0

d. 7x6 – 48x3 – 7 = 0

1.4. Division de polynômes

Un polynôme de degré n a n racines, mais certaines peuvent être des nombres complexes.

Un polynôme est une combinaison linéaire de puissances entières et positives d'une variable : P n =an xnan –1 xn –1a1 xa 0

Le degré d'un polynôme est la valeur de l'exposant le plus grand (n).On appelle racine d'un polynôme la valeur x = r telle que P(r) = 0. Si r est une racine, P(x) est alors divisible par (x – r) et le reste est nul. Si r n'est pas une racine, alors le reste n'est pas nul et la valeur numérique du reste est égale à P(r). Un polynôme de degré n peut avoir jusqu'à n racines réelles. Un polynôme de degré impair a toujours au moins une racine réelle.

Un exemple

Tartaglia (1499-1557)

Soit P(x) = x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12. Ce polynôme est de degré 4, il y a donc quatre racines réelles au maximum, peut-être moins.

Divisons P(x) par (x – 3) :

Étape 1 : division de x4 – 2x3 par x – 3. Quotient x3, reste x3.

x4 – 2x3– 7x2+ 8x + 12 | x – 3 x 4 – 3 x 3 x3

x3

Étape 2 : division de x3– 7x2 par x – 3. Quotient x2, reste – 4x2.

x4 – 2x3– 7x2+ 8x + 12 | x – 3 x 4 – 3 x 3 x3 + x2

x3– 7x2

x 3 – 3 x 2 – 4x2

Cahier Algèbre Didier Müller - LCP - 2012

2


Jérôme Cardan (1501-1576)

P(x) est divisible par (x – 3) car le reste est nul. 3 est donc une racine, ce qu'on peut facilement vérifier en remplaçant x par 3 dans P(x).

Étape 3 : division de –4x2 + 8x par x – 3. Quotient –4x, reste –4x.

x4 – 2x3– 7x2+ 8x + 12 | x – 3 x 4 – 3 x 3 x3 + x2 – 4x

x3– 7x2

x 3 – 3 x 2 – 4x2+ 8x– 4 x 2 +12 x

– 4x

Étape 4 : division de –4x + 12 par x – 3. Quotient –4, reste 0.

x4 – 2x3– 7x2+ 8x + 12 | x – 3 x 4 – 3 x 3 x3 + x2 – 4x – 4

x3– 7x2

x 3 – 3 x 2 – 4x2+ 8x– 4 x 2 +12 x

– 4x + 12– 4 x + 12

0

P(x) peut alors se factoriser : P(x) = (x – 3)(x3 + x2 – 4x – 4).

Niels Henrik Abel (1802-1829)

Essayons maintenant de diviser P(x) par (x – 1) :

x4 – 2x3– 7x2+ 8x + 12 | x – 1 x4 – x3 x3 – x2 – 8x

– x3 – 7x2

– x3 + x2

– 8x2+ 8x– 8x2+ 8x

12On voit que P(x) n'est pas divisible par (x – 1), car le reste vaut 12. 1 n'est donc pas une racine. D'autre part, on remarque que P(1) = 12.

Méthode de Horner

William George Horner(1786-1837) est un mathématicien britannique. Il est connu pour « sa » méthode déjà publiée par Zhu Shijie vers 1300, mais aussi utilisée (en Angleterre) par Isaac Newton 150 ans avant Horner.

La méthode (ou schéma) de Horner utilise un tableau pour calculer l'image d'un polynôme P pour une valeur r donnée. Sa force est que, tout en calculant cette image, on peut obtenir une factorisation de P si r est une racine de P.

1. On commence par reporter les coefficients du polynôme dans la première ligne. 2. On place la racine évidente dans la case de gauche sur la deuxième ligne. 3. On reporte le premier coefficient dans la première case de la troisième ligne. 4. Multiplier le nombre de la dernière ligne par la racine évidente. 5. Reporter le résultat dans la case située à droite sur la deuxième ligne. 6. Effectuer l'addition des chiffres de la première et la deuxième ligne et reporter

le résultat dans la troisième ligne. 7. Aller au point 4 tant que la dernière case de la troisième ligne n'est pas remplie.

an an-1 an-2 ... a1 a0 1ère ligne

+ + + + +

r r·bn−1 r·bn-2 ... r·b1 r·b0 2ème ligne

= = = = = =

bn−1 bn−2 bn-3 b0 P(r) 3ème ligne


3

http://fr.wikipedia.org/wiki/1786

http://fr.wikipedia.org/wiki/1837

CHAPITRE 1

Un exemple Reprenons le polynôme suivant : P(x) = x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12 (*)L'objectif est de mettre (*) sous la forme (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0On commence par rechercher une racine évidente du polynôme (une racine évidente est une solution comme −2, −1, 1, 2, 3, ...). Dans notre cas, 3 est une racine évidente de (*).

1 −2 −7 8 12 ← coefficients de (*)

racine évidente → 3 3 3 −12 −12

1 1 −4 −4 0

Comme la dernière case de la troisième ligne contient un 0, cela confirme que 3 est une racine de P.

À partir des coefficients obtenus sur la troisième ligne on peut effectuer la factorisation :(*) devient (x – 3)(x3 + x2 – 4x – 4) = 0On peut ensuite recommencer avec le polynôme : x3 + x2 – 4x – 4 = 0 (**)(**) a encore une racine évidente : −1. D'où le tableau de Horner suivant :

1 1 −4 −4 ← coefficients de (**)

racine évidente → −1 −1 0 4

1 0 −4 0 On factorise donc (*) comme suit : (x − 3)(x + 1)(x2 − 4) = 0On peut alors résoudre le polynôme du second degré. La factorisation de (*) donne donc finalement : (x − 3)(x + 1)(x − 2)(x + 2) = 0.

* * * *

Pour terminer, calculons encore P(1) avec le schéma de Horner :

1 −2 −7 8 12 ← coefficients de (*)

1 1 −1 −8 0

1 −1 −8 0 12

1.5. Résolution d'équations de degré supérieur à 2Si on connaît une ou plusieurs racines d'un polynôme de degré supérieur à 2, on peut le factoriser et ainsi obtenir un produit de polynômes de degré inférieur (par une division de polynômes ou par la méthode de Horner). Si le plus grand degré de ces polynômes est 2 ou 1, alors on peut trouver les autres racines.

Les formules de résolution des équations de degré 3 (trouvées par Tartaglia, puis généralisées et publiées par Cardan) et 4 sont d'un emploi peu fréquent.Il n'existe aucune formule générale pour la résolution des équations de degré supérieur à 4 (théorème d'Abel, 1826).

Exercice 1.7 Trouvez les racines de x3 – 3x2 – 46x + 168, sachant que –7 est une racine.Faites deux fois cet exercice : d'abord par une division de polynômes, puis avec un schéma de Horner.

Exercice 1.8 Trouvez les racines de x4 – 14x3 + 68x2 – 136x + 96, sachant que 2 est une racine double.


4


Exercice 1.9 Trouvez les racines de x3 – 2x2 – x + 2.

Exercice 1.10 Trouvez les racines de 2x3 – 5x – 6, sachant que 2 est une racine.

Exercice 1.11 Résolvez l'équation x4 – x3 – 6x2 = 0.

1.6. Équations irrationnellesUne équation où l'inconnue figure sous un radical est dite irrationnelle. Pour résoudre une telle équation, on est amené à élever les deux membres d'une égalité à la puissance n pour éliminer le radical n .

Un exemple résolu

x2 = 2 est une solution étrangère qui est apparue suite à l'élévation au carré. Il faut donc toujours vérifier les résultats obtenus.

Résolvons l'équation 2x4 – 10 – 3 x=0 .

2x4=10 – 3 x on a isolé un radical

2x82x16=10 – 3 x on a élevé au carré

82x=−8−4 x on a isolé le radical restant

2 2x=−2−x on a simplifié par 4

4 2x=44 xx2 on a élevé au carré une deuxième fois

x2=4 on a simplifié

On obtient deux solutions : x1 = –2 et x2 = 2. Cependant, seule la solution x1 = –2 satisfait l'équation proposée.


a. x – 4 x−19=4 b. 2 x4 x x6=16 c. x3 x1=5

d. x18 x – 8= x2 e. x21=7 – x f. x2=32 x34

g. 5x5– x= 12

5x

1.7. Où est l'erreur ?

Exercice 1.13 a = ba2 = aba2 − b2 = ab − b2

(a + b)(a − b) = b(a − b)(a + b) = ba + a = a2a = a2 = 1

Exercice 1.14 Soit x le poids d'un éléphant et y le poids d'un moustique. Appelons la somme des deux poids 2v ; donc x + y = 2v. De cette équation, nous pouvons tirer :

a) x − 2v = −yb) x = −y + 2v

En multipliant a) par x, on obtient : x2 − 2vx = −yxEn utilisant b) dans la partie droite : x2 − 2vx = y2 − 2vyAdditionnons v2 : x2 − 2vx + v2 = y2 − 2vy + v2

On peut réécrire : (x − v)2 = (y − v)2

Prenons la racine carrée : x − v = y − vDonc, au final : x = y.Le poids d'un éléphant est donc égal au poids d'un moustique !


5

CHAPITRE 1

1.8. Ce qu'il faut absolument savoirReconnaître et résoudre des équations du premier degré ❏ okReconnaître et résoudre des équations du second degré ❏ okReconnaître et résoudre des équations bicarrées (ou bicubiques) ❏ okSavoir diviser un polynôme par un autre ❏ okSavoir diviser un polynôme par un autre avec la méthode de Horner ❏ okRésoudre des équations d'un degré supérieur à 2 par des divisions de polynômes successives ❏ okReconnaître et résoudre des équations irrationnelles ❏ ok


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SYSTÈMES D'ÉQUATIONS

2. Systèmes d'équations2. Systèmes d'équations2.1. Systèmes d'équations linéaires

Exemple

Un système d'équations linéaires est composé de plusieurs équations du type :

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

où ai et b sont des nombres réels et les xi sont les inconnues (aussi appelées variables).

(1) 3x1 – 5.4 x2 – x3 = 3.4(2) x1 + 2 x2 = 0 (3) x2 + x3 = –2

C'est un système de trois équations à trois inconnues.

Résolution

L'opération 2 est appelée combinaison linéaire.

Pour résoudre un tel système, on dispose de deux opérations :

1. la substitution d'une inconnue par une autre ou par une valeur ;2. l'addition d'un multiple d'une ligne au multiple d'une autre ligne. Les

coefficients multiplicatifs devront être choisis de façon à obtenir une nouvelle équation où au moins une inconnue aura été éliminée.

Nous allons faire un exemple complet mettant en œuvre ces deux opérations. Résolvons :

RemarqueQuand les inconnues sont peu nombreuses, on utilise volontiers les lettres x, y, z.

(1) 2x – 5y + z = –10(2) x + 2y + 3z = 26(3) –3x – 4y + 2z = 5

(4) = (1)(5) = -2·(2) Addition des deux lignes.

(7) = 3·(2)(8) = (3) Addition des deux lignes.

On peut éliminer la variable y en multipliant la ligne (6) par 2 et la ligne (9) par 9, puis en additionnant les deux.

Décidons d'éliminer la variable x en combinant des lignes (1) et (2).

(4) 2x – 5y + z = –10(5) – 2 x – 4 y – 6 z = –52 (6) – 9y – 5z = –62

Il faut maintenant une deuxième équation avec y et z comme variables.

(7) 3x + 6y + 9z = 78(8) –3 x – 4 y + 2 z = 5 (9) 2y +11z = 83

Nous avons réussi à éliminer x. Nous nous retrouvons maintenant avec un système de deux équations avec deux inconnues (y et z).

(6) – 9y – 5z = –62(9) 2y + 11z = 83

(10) –18y – 10z =–124(11) 18 y + 99 z = 747

– 89z = –623z = 7


7

CHAPITRE 2

Nous avons trouvé la valeur de z. On peut substituer cette valeur dans l'équation (6) pour trouver la valeur de y.

(6) −9 y−5⋅7z

=−62 ⇒ y= 62 – 359

=3

Enfin en substituant les valeurs de y et z dans l'équation (2), on trouvera la valeur de x.

(2) x2⋅3y

3⋅7z

=26 ⇒ x = 26 − 6 − 21 = −1

La solution est : x = –1, y = 3 et z = 7.

Prenez l'habitude de vérifier vos solutions en introduisant les valeurs trouvées dans toutes les équations du système de départ.

Remarques

Si on soustrait les deux lignes,on obtient 0 = 1 !

Une équation indépendante ne peut pas être obtenue en combinant d'autres équations du système.

En combinant les deux lignes,on obtient 0 = 0 !

Avoir une infinité de solutions ne signifie pas que tout est solution !

1. Il n'y a pas de règles précises pour décider s'il faut faire une combinaison de lignes plutôt qu'une substitution ; il faut essayer l'opération qui paraît la plus simple.

2. Faites de même pour choisir les lignes à combiner : choisissez celles qui demandent le moins d'effort.

3. Attention de ne pas tourner en rond ! Décidez quelle variable éliminer et ne changez pas d'avis avant qu'elle ait disparu.

4. On ne trouve pas toujours une solution ; des équations sont parfois contradictoires. Par exemple :

{x y = 1x y = 2

Il n'y a pas non plus de solutions quand il y a plus d'équations indépendantes que d'inconnues. On dit que le système est surdéterminé.

5. Il y a une infinité de solutions quand il y a plus d'inconnues que d'équations indépendantes : le système est dit sous-déterminé. Par exemple :

{ x y = 12 x 2 y = 2

Dans ce cas, il y a une infinité de solutions. Pour exprimer l'ensemble des solutions, on peut choisir la valeur d'une variable arbitrairement, et la valeur de l'autre sera déterminée d'après la valeur de la première :

x = λ, avec λ ∈ ℝDe la première ligne, on tire que y = 1 – λ

λ n'est pas une inconnue, mais un paramètre, c'est-à-dire une valeur que l'on peut choisir arbitrairement.

Soient ni le nombre d'inconnues et ne le nombre d'équations indépendantes. Le nombre n = ni – ne est appelé nombre de degrés de liberté.

Si on a deux degrés de liberté, on peut choisir les valeurs de deux variables comme on veut. Dans l'exemple ci-dessus, n = 2 – 1 = 1 degré de liberté.


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SYSTÈMES D'ÉQUATIONS

Exercice 2.1 Résolvez les systèmes linéaires suivants :

a. {2 x y = 5x – y = 3

b. {12

x – 3 y = – 2

x 2 y = 0

c. { 3 x – 2 y = x 4– 1 y = – 5 x 1

d. { x 4 y = – 2 x – 1– 6 x – y = 2 7 y

Exercice 2.2 a. { x y z = 5– x – y 2 z = 10

x – 2 y = – 1

b. { 2 x – 3 y z = x– x – y – 5 z = 2

x 2 y 3 z = – 1

c. {−x 2 z = 3y z = −1

2 x y − 3 z = – 7

d. { x y = 3– 2 x 2 y = y

x = 4

Exercice 2.3 Un camion transporte 20 caisses de masse différente : les rouges pèsent 28 kilos, les bleues 16 kilos. Le chauffeur a pesé son chargement avant de partir : il avait un poids total de 416 kilos.Combien y a-t-il de caisses de chaque couleur dans le camion ?

Exercice 2.4 Des amis dînent ensemble au restaurant. Au moment de payer l'addition, l'un d'entre eux fait le partage :« Il faut donner 21 € chacun ! »« Mais non ! », répond un autre, « il manquera alors 10,50 € sur le total. Donnons plutôt 25 € chacun !"« Alors, cette fois-ci cela fera trop : une différence en plus de 17,50 € sur le total », répond le premier.

Combien y a-t-il de convives et combien devront-ils payer chacun ?

Exercice 2.5

m n'est pas une inconnue !

Résolvez et discutez le système suivant en fonction du paramètre m.

{m2 x y = 2x y = 2 m

« Discuter » signifie repérer les valeurs de m où il se passe des choses « spéciales ».


9

CHAPITRE 2

2.2. Systèmes d'équations non linéaires

Exemple

On est aussi amené à résoudre des systèmes d'équations qui ne sont pas (toutes) linéaires. Dans ce cas, la seule méthode de résolution est la substitution.

Imaginons par exemple le système :

(1) x2 + y = 26(2) x – y = 4

De (1) on peut tirer que y = 26 – x2, et remplacer y dans l'équation (2) pour obtenir

x – 26 – x2y

=4

On obtiendra ainsi une équation du second degré que l'on sait résoudre facilement :

x2 + x – 30 = 0

On peut factoriser :

(x – 5)(x + 6) = 0 ⇒ x1 = 5, x2 = –6

Pour trouver les valeurs de y, il suffit de reprendre la relation y = 26 – x2, et on trouve y1 = 26 – 25 = 1 et y2 = 26 – 36 = –10.

Exercice 2.6 Résolvez : { x 2 y x – y = 02 x – 5 y = 1

Exercice 2.7 a. Trouvez deux entiers consécutifs dont le produit vaut 210.b. Trouvez deux entiers dont la somme est 26 et le produit 165.

2.3. Ce qu'il faut absolument savoirReconnaître un système d'équations linéaires ❏ okMaîtriser les opérations sur les lignes d'un système d'équations linéaires ❏ okMaîtriser les substitutions ❏ ok


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DÉTERMINANTS

3. Déterminants3. Déterminants3.1. Définition

C'est Lewis Carrol (l'auteur d'Alice aux pays des merveilles) qui écrivit le premier ouvrage didactique sur les déterminants, en 1870.

On appelle déterminant d'ordre deux, et on note 1 2

1 2 x xy y , le nombre x1y2 – x2y1.

Ainsi 5 21 4 = 5 ⋅ 4 − 1 ⋅ 2 = 1 8 , mais

2 54 1 = 2 ⋅ 1 − 4 ⋅ 5 = − 1 8 .

Dans un plan repéré d'origine O, considérons deux points A et B de coordonnées (x1, y1) et (x2, y2). L'aire du parallélogramme construit sur OAB vaut exactement x1y2 – x2y1. Démontrez-le à l'aide d'un dessin (solution à la dernière page de ce chapitre) !

On constate qu'en inversant les deux colonnes, on trouve le résultat opposé. Le déterminant d'ordre deux peut donc être interprété comme une aire signée. On peut facilement voir que le déterminant est nul si les trois points O, A et B sont alignés.

Exercice 3.1 Calculez les déterminants suivants :

a. ∣ 0 – 1– 1 0∣ b. ∣ 2 0

– 5 1∣ c. ∣3 21 – 4∣ d. ∣2 – 10

3 – 15∣

Joseph-Louis Lagrange(1736 - 1813)

C'est un déterminant d'ordre trois.

Dans l'espace à trois dimensions, Lagrange avait réussi à montrer que le volume du parallélépipède construit sur le parallélépipède OABC pouvait lui aussi s'exprimer en fonction des coordonnées des points A, B et C.

Voici l'expression qu'il avait trouvée pour ce volume :

V=x1 y2 z3 y1 z2 x3z1 x2 y3 – y1 x2 z3 – x1 z2 y3 – z1 y2 x3

Plus tard, vers 1850, on décida de noter ce nombre comme ceci :

∣x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z 2 z3∣

DM - LCP - 2008 Cahier Algèbre

11

CHAPITRE 3

Pierre Frédéric Sarrus(1798–1861)

Attention ! La règle de Sarrus ne marche que pour des déterminants d'ordre trois.

Règle de Sarrus

Pour calculer un déterminant d'ordre trois, on peut utiliser le schéma suivant :

Exemple ∣ 1 2 – 3– 3 – 5 4

6 – 2 2∣ = 1·(–5)·2 + (–3)(–2)(–3) + 6·2·4 – (–3)·2·2 – 1·(–2)·4 – 6·(–5)(–3)

= –50

Exercice 3.2 Calculez les déterminants suivants avec la règle de Sarrus :

a. ∣2 −1 – 26 – 1 14 5 3∣ b. ∣2 0 – 5

5 3 30 4 6∣ c. ∣3 7 4

0 5 03 13 6∣

Un déterminant 3x3 est le produit des éléments de la première colonne, multiplié par le déterminant 2x2 obtenu en supprimant cette première colonne et la ligne contenant l'élément considéré. Attention ! Le produit obtenu est précédé d'un signe qui alterne entre « + » et «− ».

Cahier Algèbre DM - LCP - 2008

12

DÉTERMINANTS

On peut comparer ce tableau de signes à un échiquier, où les « + » seraient les cases blanches et les « − ≈ les cases noires.

On peut développer un déterminant par rapport à n'importe quelle ligne, ou n'importe quelle colonne.

Pour simplifier les calculs, il est bon d'avoir en tête ce tableau de signes :

∣ – –1 n1

– – ⋮ – −1i j

⋮ ⋱⋮ ⋱ ⋮⋮ –

– 1n1 – ∣

Exemple Développons ce déterminant par rapport à la première colonne.

∣– 1 2 0 – 22 – 1 1 21 4 – 3 – 11 1 0 1∣ =

– 1⋅∣– 1 1 24 – 3 – 11 0 1∣– 2⋅∣2 0 – 2

4 – 3 −11 0 1∣ 1⋅∣ 2 0 −2

−1 1 21 0 1∣− 1⋅∣ 2 0 −2

−1 1 24 −3 −1∣ =

– 1⋅– 1⋅∣– 3 – 10 1∣ – 4⋅∣1 2

0 1∣ 1⋅∣ 1 2– 3 – 1∣

– 2⋅2⋅∣– 3 –10 1∣ – 4⋅∣0 −2

0 1∣ 1⋅∣ 0 −2– 3 –1∣

1⋅2⋅∣1 20 1∣ – −1⋅∣0 −2

0 1∣ 1⋅∣0 −21 2∣

−2⋅∣ 1 2−3 −1∣ – −1⋅∣ 0 −2

−3 −1∣ 4⋅∣0 −21 2∣ =

– 1⋅– 1– 3– 4⋅11⋅5– 2⋅2 – 3– 4⋅01⋅61⋅2⋅11⋅01⋅2– 2⋅51 –6 4⋅2 =

– 4 – 0412=12 (ouf !)

Même exemple

Il est intéressant de choisir une ligne ou une colonne qui contient beaucoup de 0, afin d'accélérer les calculs.

On voit qu'en choisissant bien comment développer, on peut s'épargner bien des calculs.

Reprenons l'exemple précédent et développons ce déterminant par rapport à la troisième colonne.

∣– 1 2 0 – 22 – 1 1 21 4 – 3 – 11 1 0 1∣ = – 1 ⋅∣ – 1 2 – 2

1 4 – 11 1 1∣ – 3⋅∣– 1 2 – 2

2 – 1 21 1 1∣ =

– 1– 1 ∣4 –11 1∣ – ∣2 – 2

1 1∣∣2 – 24 – 1∣ – 3–1 ∣– 1 2

1 1∣ – 2⋅∣2 – 21 1∣∣ 2 – 2

– 1 2∣ = – 1– 5 – 46– 3 3 –82=39=12

Exercice 3.3 Recalculez les déterminants de l'exercice 3.2 en les développant par rapport à une ligne ou à une colonne.


13

CHAPITRE 3

Exercice 3.4 Calculez les déterminant suivants :

a.

1 0 1 23 1 4 21 1 1 2

3 0 5 1

−−

−b.

2 4 2 61 1 0 21 2 1 3

2 1 1 1

−−

− − −− −

c.

1 1 2 0 02 0 1 0 10 0 0 1 12 0 1 1 01 2 0 1 0

−−

−−

−

3.2. Formules de Cramer

Théorème 1

Gabriel Cramer(1704 -1752)

Soit le système d'équations linéaires suivant : {a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2 (1)

Si a1 b2 – a 2b1≠0 , le système (1) a pour solution unique le couple (x ; y) tel que :

x=c1b2 – c2 b1

a 1b2 – a 2b1, y=

a 1c2 – a 2c1

a1 b2 – a 2b1 (formules de Cramer)

Si a1 b2 – a 2b1=0 , le système (1) peut ne pas avoir de solution ou avoir une infinité de solutions.

En utilisant la notation des déterminants, les formules de Cramer s'écrivent :

D =∣a1 b1

a 2 b2∣ . Si D≠0 , alors x =∣c1 b1

c2 b 2∣D , y =

∣a1 c1

a 2 c2∣D

Exercice 3.5

Quand ce n'est pas possible, utilisez une autre méthode.

Résolvez les systèmes suivants en utilisant les formules de Cramer quand c'est possible.

a. {4 x – y = – 62 x + 2 y = 7

b. { 6 – 6 y = −x3 x – 3 = 4 y

c. { x + y = 22 x + 2 y = 7 d. { x + 3 y = 2

2 x + 6 y = 4

Théorème 2 Soit le système d'équations linéaires suivant : {a1 x + b1 y + c1 z = d 1

a2 x + b2 y + c2 z = d 2

a3 x + b3 y + c3 z = d 3

(2)

D =∣a 1 b1 c1

a 2 b2 c2

a 3 b3 c3∣ est son déterminant principal.

Si D ≠ 0, le système (2) admet pour solution unique le triplet (x ; y ; z) tel que :

x =∣d 1 b1 c1

d 2 b2 c2

d 3 b3 c3∣

D

y =

∣a1 d 1 c1

a2 d 2 c2

a3 d 3 c3∣

D

z =

∣a 1 b1 d 1

a 2 b2 d 2

a 3 b3 d 3∣

D

Si D = 0, le système (2) peut ne pas avoir de solution ou avoir une infinité de solutions.

Pour se souvenir facilement de ces formules, il suffit de remarquer que, au numérateur, on remplace dans le déterminant principal la colonne de l'inconnue par la colonne des constantes.


14

DÉTERMINANTS

Exercice 3.6 Résolvez les systèmes suivants en utilisant les formules de Cramer, quand c'est possible. Quand ce n'est pas possible, utilisez une autre méthode.

a. { x + 3 y + 2 z = – 132 x – 6 y + 3 z = 323 x – 4 y – z = 12

b. {– 6 – 3 y + 2 z = – 2 xx + 3 z + 8 y = – 31

3 x – 2 y + z = –5

c. {x + y – z = 1x – y – z = – 1x + y – z = 1

d. {2 x + y = 2– 4 y + z = 0

4 x + z = 6

e. {2 x + 3 y – 4 z = 13 x – y + 2 z = – 25 x – 9 y + 14 z = 3

f. { x + y + z = 12 x + 2 y + 2 z = 2

– 5 x – 5 y – 5 z = – 5

3.3. Quelques propriétés des déterminants

Cette propriété a pour conséquence que l'on peut lire « ligne » à la place de « colonne » dans toutes les propriétés qui suivent.

Un cas particulier est λ = 0. Cela fait apparaître une colonne formée uniquement de 0.

Voici quelques propriétés des déterminants particulièrement utiles (il y en a bien d'autres). Elles s'appliquent aux déterminants de tous les ordres, mais nous utiliserons des déterminants d'ordre trois pour illustrer le propos.

1. En échangeant le rôle des lignes et des colonnes, le déterminant reste inchangé :

∣a 1 b1 c1

a 2 b2 c2

a 3 b3 c3∣=∣a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3∣

2. En échangeant deux colonnes d'un déterminant, le déterminant change de signe :

∣a 1 b1 c1

a 2 b2 c2

a 3 b3 c3∣=−∣b1 a 1 c1

b2 a 2 c2

b3 a 3 c3∣

3. Si deux colonnes sont identiques ou multiples l'une de l'autre, le déterminant est nul :

∣a 1 a 1 c1

a 2 a 2 c2

a 3 a 3 c3∣=0

4. Les déterminants sont linéaires relativement à chacune de leurs colonnes.

∣a 1 b1 c1 d 1

a 2 b2c2 d 2

a 3 b3 c3 d 3∣=∣a1 b1 d 1

a2 b2 d 2

a3 b3 d 3∣∣a1 c1 d 1

a2 c2 d 2

a3 c3 d 3∣

Conséquence (que vous démontrerez facilement) :

∣a 1 b1 a1b1

a 2 b2 a2b2

a 3 b3 a3b3∣=0


15

CHAPITRE 3

Exercice 3.7 Soient une droite orientée (AB) et un point C.Imaginez une méthode, utilisant les déterminants, qui permettra de déterminer si le point C est à droite ou à gauche de la droite (AB). Autrement dit, en allant de A vers B, voit-on C à notre droite ou à notre gauche ?

Applications numériques : a. A(1 ; 1), B(5 ; 7), C(4 ; 6)b. A(–1 ; 4), B(4 ; –3), C(2 ; –1)c. A(–1 ; –1), B(3 ; 7), C(2 ; 5)

Indication : rappelez-vous qu'un déterminant d'ordre 2 peut être interprété comme une aire signée.

3.4. Ce qu'il faut savoir absolumentCalculer des déterminants d'ordre 2 ❏ okCalculer des déterminants d'ordre 3 avec la règle de Sarrus ❏ okDévelopper des déterminants d'ordre 3 ou plus selon une ligne ou une colonne ❏ okRésoudre un système d'équations avec les formules de Cramer ❏ okConnaître les propriétés des déterminants ❏ ok

Illustration qu'un déterminant d'ordre deux donne l'aire d'un parallélogramme.L'aire vaut bien x1y2 – x2y1.


16

INÉQUATIONS

4. Inéquations4. Inéquations4.1. DéfinitionExemple : x < 4 + 2x Une inéquation affirme que deux expressions contenant une variable ne sont pas égales.

Une expression peut être plus petite (<), plus petite ou égale (≤), plus grande (>), ou encore plus grande ou égale (≥) à une autre expression.

La droite réelle

Le symbole ∞ utilisé pour les

intervalles infinis est une notation et ne représente pas un nombre réel.

Vous savez que l'on peut représenter les nombres réels sur une droite allant de moins l'infini (–∞) à plus l'infini (+∞).

� ∞ +∞

Sur la droite réelle, le nombre a est à gauche du nombre b si a est plus petit que b. On voit immédiatement que tous les nombres à gauche de b satisfont l'inéquation x < b. La solution d'une inéquation n'est donc pas un nombre, mais un ensemble de nombres, aussi appelé intervalle.

4.2. Intervalles

Le symbole ∅ (lu « ensemble vide ») représente un intervalle vide.

L'intervalle no 1 est un intervalle ouvert (les extrémités ne sont pas comprises). L'intervalle no 2 est un intervalle fermé (les extrémités sont comprises). Les intervalles 3 et 4 sont semi-ouverts. Les intervalles 5 à 9 sont des intervalles infinis. L'intervalle 10 est en fait la réunion (∪) de deux sous-intervalles.

Notations Inéquations Représentations graphiques

1 ]a ; b[ a < x < b

2 [a ; b] a ≤ x ≤ b

3 [a ; b[ a ≤ x < b

4 ]a ; b] a < x ≤ b

5 ]a ; +∞[ x > a

6 [a ; +∞[ x ≥ a

7 ]–∞ ; b[ x < b

8 ]–∞ ; b] x ≤ b

9 ]–∞ ; +∞[ (ou ℝ ) –∞ < x < +∞

10 ]–∞ ; a[ ∪ [b ; c[ x < a ou b ≤ x < c

Remarquez que –∞ est toujours précédé d'un « ] » et +∞ toujours suivi d'un « [ » . On ne peut pas borner l'infini, sinon il serait fini !

Exercice 4.1 Parmi les affirmations suivantes, dites lesquelles sont fausses. Quand c'est le cas, donnez un contre-exemple.

a. Si x > 1 et y > 2, alors x + y > 3. b. Si x < 5 et y < 6 alors x·y < 30.

c. Si x < 0, alors x < x2 d. Si x < y < –2, alors 1x 1

y .


17

CHAPITRE 4

Exercice 4.2 Écrivez sous forme d'intervalles les inégalités ci-dessous et dessinez ces intervalles sur la droite réelle.a. –5 ≤ x ≤ 2 b. 0 < x < 7 c. –6 ≤ x < 0d. –2 < x < 4 e. x < –2 f. 1 < xg. x < 0 ou 4 < x < 10 h. x < 3 ou x ≥ 4

Exercice 4.3 Écrivez sous forme d'inégalités et d'intervalles chacun des dessins ci-dessous.

a. b.

c. d.

4.3. Propriétés des inégalités

Propriété d'inversionCette propriété est similaire pour a ≤ b, a > b et a ≥ b.

Pour tous les réels a et b de même signe (donc a·b > 0), on a :

Si a < b et a·b > 0 alors 1a 1

b .

Propriété d'additionIllustration :Si 2 < 4, alors 2 + 8 < 4 + 8

Pour tous les réels a, b et c, on a :

Si a < b, alors a + c < b + c

La propriété d'addition est similaire pour a ≤ b, a > b et a ≥ b.

Cette propriété va nous permettre de résoudre l'inégalité suivante :

–4x – (3 – 5x) > 8On enlève les parenthèses –4x – 3 + 5x > 8On simplifie x – 3 > 8On additionne 3 des deux côtés x – 3 + 3 > 8 + 3Et on trouve x > 11

La solution est donc l'ensemble des nombres réels qui sont plus grands que 11.

Propriété de multiplicationCette propriété est similaire pour a ≤ b, a > b et a ≥ b.

Pour tous les réels a, b et c, on a :

Si a < b et c positif, alors a·c < b·c.Si a < b et c négatif, alors a·c > b·c.

Illustrations :Si 2 < 4, alors 2·8 < 4·8Si 2 < 4, alors 2·(–8) > 4·(–8)

Cette propriété va nous permettre de résoudre l'inégalité suivante :

5(3 – 2x) ≥ 10

On multiplie tout par 15

15

5(3 – 2x) ≥ 15

(10)

On simplifie 3 – 2x ≥ 2On soustrait 3 des deux côtés 3 – 2x + (–3) ≥ 2 + (–3)On simplifie –2x ≥ –1

On multiplie tout par −12

−12

(–2x ) ≤ −12

(–1)

Et on trouve x ≤ 12


18

INÉQUATIONS

Exercice 4.4 Résolvez les inéquations suivantes :

a. 5x – 7 > 11x + 9 b. 5x + 5 < 5x c. 2(4x – 1) ≤ 3x – 6

d. 3(x + 1) – x ≤ 1 + 2(1 + x) e. 12

x – 5 > 14

x + 3 f. −35

x – 6 < −25

x + 7

g. 3 ≤ 2 x – 35

< 7 h. | 2x + 5 | < 4

4.4. Méthode générale de résolutionSi l'inéquation ne se ramène pas après simplifications à une inéquation du premier degré, on suit la démarche suivante :

1. On regroupe tous les termes dans le membre de gauche pour que celui de droite soit égal à 0.

2. On factorise (si possible) le membre de gauche en le mettant sous forme d'un produit ou d'un quotient.

3. On étudie le signe de chacun des facteurs dans un tableau de signes (voir les exemples ci-après).

4. On conclut en observant la dernière ligne du tableau.

Exemple 1 Résoudre l'inéquation x – 1x – 2

0 .

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser un tableau de signes. Le quotient x – 1x – 2

est positif si x–1 > 0 et x–2 > 0, ou si x–1 < 0 et x–2 < 0.

Important ! Dans la première ligne du tableau, les racines sont classées par ordre croissant.

x<1 x =1 1<x<2 x =2 x >2

signe de (x – 1) – 0 + + +

signe de (x – 2) – – – 0 +

signe de x – 1x – 2

+ 0 – +

On lit sur la dernière ligne du tableau que l'inéquation proposée a pour solution tous les réels x tels que x < 1 ou x > 2.


19

CHAPITRE 4

Exemple 2 Résoudre l'inéquation –x3 + 4x2 + x – 4 ≤ 0.Le polynôme –x3 + 4x2 + x – 4 a trois racines : –1, 1 et 4. On peut donc le factoriser : –x3 + 4x2 + x – 4 = (x + 1)(1 – x)(x – 4)

x <–1 x =–1 –1<x<1 x =1 1<x<4 x =4 x >4signe de (x + 1) – 0 + + + + +signe de (1 – x) + + + 0 – – –signe de (x – 4) – – – – – 0 +

signe de (x + 1)(1 – x)(x – 4) + 0 – 0 + 0 –

On lit sur la dernière ligne du tableau que l'inéquation proposée a pour solution tous les réels x tels que –1 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 4.

Il faut se méfier des fractions ! On n'a pas le droit de multiplier l'inégalité par le dénominateur de la fraction s'il contient une variable ; en effet, comme la valeur de x est inconnue, on ne sait pas si c'est un nombre positif ou négatif ! On ne sait donc pas si le sens de l'inéquation changera après multiplication. On ne peut multiplier (ou diviser) les deux côtés d'une inégalité que par des valeurs connues (des constantes).


a.x –3

x2 – 3 x20 b. x1

x – 1 x – 1

x1

c. 1xx d. 13

2– x7 – 4

3 x1


a. x2 – 5x + 9 > x(x – 1) + 12 b. x2 – 5x + 6 ≤ 0 c. x2 – 3x – 28 > 0

d. x4 – 5x2 + 4 < 0 e. 4x3 – 10x2 + 48x < 0

Exercice 4.7PrérequisPour pouvoir faire cet exercice, il faut avoir étudié le cahier « Fonction d'une variable ».

Résolvez les inéquations suivantes :

a. (x2 – 6x + 8)·sin(x) > 0, pour x∈[0;8 ]

b. (x2 + 5x + 6)·cos(x) > 0, pour x∈[−6 ;0 ]

c. tan(x)·(x–4) < 0, pour x∈[0;7 ]

d. ex ln x4 – x0

Exercice 4.8 Pour qu'un médicament soit efficace, il faut que sa concentration dans le sang dépasse une certaine valeur, appelée niveau thérapeutique minimal. Admettons que la concentration c (en mg/l) d'un certain médicament t heures après qu'on l'a pris oralement est donnée par

c= 20 tt 24

.

Si le niveau thérapeutique minimal est 4 mg/l, déterminez quand ce niveau sera dépassé.

4.5. Domaines du planSi D est la droite d'équation ax + by + c = 0 dans le repère canonique, alors l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) vérifiant ax + by + c ≥ 0 est un demi-plan P1 de frontière D. Sur l'autre demi-plan P2 de frontière D, on a donc ax + by + c ≤ 0.


20

INÉQUATIONS

Exemple Le système {2 x 4 y ≤ 103 x – 4 y ≥ 2x y ≥ 0

se représente graphiquement en utilisant les trois

droites D1 , D2 et D3 d'équations : D1 : 2x + 4y = 10 D2 : 3x − 4y = 2 D3 : x + y = 0

L'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) vérifiant 2x + 4y ≤ 10 est donc un des demi-plans de frontières D1. Cette droite passe, par exemple, par les points A de coordonnées (5 ; 0) et B de coordonnées (1 ; 2). On trace cette droite, puis on prend un point test, c'est-à-dire, un point n'appartenant pas à D1 qui permettra de savoir dans quel demi-plan on a 2x + 4y ≤ 10. Prenons, par exemple, le point O (0 ; 0). Les coordonnées de O vérifient bien 2x+ 4y ≤ 10. Donc ce point appartient à l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que 2x + 4y ≤ 10. L'ensemble des points M dont les coordonnées vérifient 2x + 4y ≤ 10 est donc le demi-plan de frontière D1 et contenant le point O. Par commodité, on hachure l'autre demi-plan (celui qui n'est pas solution). Il ne reste plus qu'à tracer la droite D1 et à hachurer le demi-plan non-solution.On fait de même pour 3x − 4y ≥ 2, en traçant la droite D2. Pour x + y ≥ 0, on trace D3

mais on ne peut pas prendre le point O comme point test car ce point est situé sur la droite D3. On choisit alors un autre point, par exemple C de coordonnées (1 ; 1).Après avoir hachuré les trois demi-plans de frontières D1, D2 et D3 qui ne vérifient pas les inéquations correspondant aux droites, la partie non-hachurée est alors la solution.

Exercice 4.9 Dessinez les domaines correspondant aux contraintes suivantes :

a. {2 x 3 y ≤ 123 x y ≤ 9x y ≥ 2x ≥ 0

y ≥ 0

b. {−x 2 y ≥ 02 x y ≥ 02 x y ≤ 5

4.6. Ce qu'il faut absolument savoirMaîtriser les notations des intervalles ❏ okConnaître les propriétés des inégalités ❏ okRésoudre des inéquations ❏ okDessiner un domaine du plan défini par un ensemble d'inégalités ❏ ok


21

INTRODUCTION À LA PROGRAMMATION LINÉAIRE 23

5. Introduction à la programmation linéaire5. Introduction à la programmation linéaireLa programmation linéaire est une branche de l'optimisation permettant de résoudre de nombreux problèmes économiques et industriels.

5.1. L'artisan chocolatier

RemarqueLe chocolat est composé de beaucoup plus d'ingrédients (notamment du sucre), mais, pour la clarté de l'exemple, on s'est ici limité à trois.

C'est l'expression du bénéfice.

L'artisan ne peut pas utiliser plus de : 18 kg de cacao 8 kg de noisettes 14 kg de lait.Il ne peut pas produire un nombre négatif d'œufs !

À l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des œufs en chocolat. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 kg de lait. Il a deux spécialités : l'œuf Extra et l'œuf Sublime. Un œuf Extra nécessite 1 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 kg de lait. Un œuf Sublime nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 kg de lait.Il fera un profit de 20 fr. en vendant un œuf Extra, et de 30 fr. en vendant un œuf Sublime.Combien d'œufs Extra et Sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice possible ?

Formulation du problème

Notons x1 le nombre d'œufs Extra et x2 le nombre d'œufs Sublime à produire. Le chocolatier cherche à maximiser la fonction objectif :

max z = 20x1 + 30 x2

Étant données les réserves du chocolatier, les contraintes suivantes devront être satisfaites :

{ x1 3 x2 ≤ 18x1 x2 ≤ 8

2 x1 x2 ≤ 14

Évidemment, on a encore les deux contraintes : x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0.

Une inéquation définit un demi-plan où la condition est satisfaite (voir chapitre 4).

Démarche1. On dessine les demi-plans des

contraintes. On trace la droite frontière et on indique par un petit triangle le demi-plan défini par l'inéquation (la droite frontière est obtenue en remplaçant ≤ par =).

2. On détermine le domaine D définissant l'ensemble des points satisfaisant toutes les contraintes. Le domaine D est l'intersection de tous les demi-plans.

3. On trace la droite représentant la fonction objectif et passant par l'origine.

4. On translate la droite de la fonction objectif selon son vecteur normal, ici (20, 30).

5. Le point optimal est le dernier point du domaine D que la droite de la fonction objectif touchera lors de son déplacement.

Résolution graphique


CHAPITRE 5

Truc pour repérer rapidement le bon demi-plan défini par une inéquation : regarder si le point (0 ; 0) est du bon côté de la droite frontière.

Réponse au problèmeLe point optimal est (3 ; 5), ce qui signifie que x1=3 et x2=5.S'il veut maximiser son bénéfice, le chocolatier doit donc confectionner 3 œufs Extra et 5 œufs Sublime. Son bénéfice sera de 20·3 + 30·5 = 210 fr.Il utilisera 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 11 kg de lait.

Remarques générales

Une autre méthode (plus sûre mais plus longue) pour trouver le point optimal consisterait à tester tous les sommets et garder le meilleur.

Voir l'exercice 5.8

1. Dans cet exemple introductif, le résultat est en nombres entiers, ce n'est de loin pas toujours le cas.

2. On constate que le chocolatier va utiliser complètement deux de ces trois ingrédients.

3. Seuls les couples (x1 ; x2) ∈ D satisfont toutes les contraintes. Mais en fait, la solution optimale sera toujours l'un des sommets du polygone délimitant le domaine D.

4. Faites un dessin suffisamment grand pour être précis. Ne le placez pas tout en bas de votre feuille, car vous serez embêté pour dessiner la droite de la fonction objectif.

5. Le vecteur normal de la droite définissant la fonction objectif indique le sens dans lequel on doit la translater pour trouver le point optimal.

Il se trouve facilement : la droite ax1 + bx2 + c a pour vecteur normal ab .

6. Si le vecteur normal indique un déplacement vers le haut, la fonction objectif doit couper l'axe Ox2 le plus haut possible dans le cas d'une maximisation, et le plus bas possible dans le cas d'une minimisation, tout en touchant le domaine D.

7. Si le vecteur normal indique un déplacement vers le bas, la fonction objectif doit couper l'axe Ox2 le plus bas possible dans le cas d'une maximisation, et le plus haut possible dans le cas d'une minimisation, tout en touchant le domaine D.

8. Si le vecteur normal est un vecteur horizontal (cas rare mais possible), la fonction objectif ne coupera pas l'axe Ox2. Le point optimal sera, selon les cas, le plus éloigné ou le plus proche de l'axe Ox2.


24

INTRODUCTION À LA PROGRAMMATION LINÉAIRE 25

5.2. ExercicesPour chacun des exercices, donnez la fonction objectif à maximiser ou à minimiser, énumérez toutes les contraintes, déterminez graphiquement la solution et calculez-la algébriquement.

Exercice 5.1 Une entreprise suisse fabrique deux produits qu'elle désire vendre aux USA. Le produit A rapporte 400 fr./kg et le produit B rapporte 600 fr./kg. Ayant des moyens financiers limités, la société ne peut affréter qu'un seul avion. Celui-ci ne peut transporter que 50'000 kg et a un volume de 2000 m3.Le produit A a un volume de 0.032 m3 par kg ; le produit B a un volume de 0.1 m3 par kg.Combien de kg de chaque produit l'entreprise doit-elle mettre dans l'avion afin de maximiser ses gains ?

Exercice 5.2 Pour produire des pièces de fonte, une entreprise dispose d'une fonderie et d'un atelier de mécanique. On donne le tableau des consommations suivant :

Fonderie Atelier Énergie Recette par tonneUne tonne de pièces de type 1 10 h 5 h 14 kWh 2000 fr.Une tonne de pièces de type 2 12 h 4 h 30 kWh 3000 fr.Quantités disponibles 100 h 45 h 210 kWh –

Combien de tonnes de pièces de chaque type faut-il fabriquer pour maximiser la recette ?

Exercice 5.3 Une menuiserie s'est spécialisée dans la fabrication de boîtes en bois. En prévision d'une grosse commande, elle décide de remplir ses stocks. Un ouvrier produit de grandes boîtes rouges et un autre de petites boîtes jaunes. Chaque boîte rouge a un volume de 20 dm3, chaque boîte jaune a un volume de 10 dm3.L'armoire prévue pour stocker les boîtes a un volume de 4000 dm3.Pour des raisons techniques, le premier ouvrier ne peut produire au maximum que 150 boîtes rouges et le deuxième que 200 boîtes jaunes.Sachant que les boîtes rouges rapportent 80 fr. et les boîtes jaunes 30 fr., combien la menuiserie doit-elle fabriquer de boîtes rouges et de boîtes jaunes pour maximiser son profit ?

Exercice 5.4 Un fabricant de raquettes de tennis fait un bénéfice de 8 fr. sur chaque raquette ordinaire et de 15 fr. sur chaque grande raquette. Pour satisfaire à la demande des vendeurs, la production journalière de raquettes ordinaires devrait se situer entre 30 et 80, et la production journalière de grandes raquettes entre 10 et 30. Pour maintenir une bonne qualité, le nombre total de raquettes produites ne devrait pas dépasser 80 par jour.Combien de raquettes de chaque type faudrait-il fabriquer quotidiennement pour réaliser un bénéfice maximum ?

Exercice 5.5 Pour nourrir sa vache, un paysan dispose de deux poudres alimentaires P1 et P2 composées d'ingrédients A, B et C.Un sac de poudre P1 pèse 900 g et contient 100 g d'ingrédients A, 200 g de B et 600 g de C.Un sac de poudre P2 pèse 600 g et contient 200 g de chacun des trois ingrédients.Chaque jour, la vache doit consommer au moins 300 g de A, 500 g de B et 700 g de C.Les prix respectifs par kg de P1 et P2 sont respectivement 3 fr. et 2 fr.Quelle dépense journalière minimale le paysan doit-il envisager, de sorte que sa vache reçoive une nourriture suffisante ?


CHAPITRE 5

Exercice 5.6 Un teinturier dispose de deux différents produits sous forme de poudre pour colorer du tissu brut en couleur indigo. Ces deux produits, IND1 et IND2, contiennent trois substances différentes :La substance A est contenue à raison de 500 g par kg de poudre dans IND1 et à raison de 400 g par kg de poudre dans IND2.La substance B est contenue à raison de 150 g par kg de poudre dans IND1 et à raison de 50 g par kg de poudre dans IND2. La substance C n'est contenue que dans le produit IND1 et ceci à raison de 20 g par kg.Dans un bain qui permet de teinter 10 kg de tissu, il faut au moins 500 g de la substance A, 100 g de B et 5 g de C. De plus, la quantité de substance C ne doit pas dépasser 15 g par bain.Sachant que le produit IND1 coûte 20.- par kg et que le produit IND2 coûte 40.- par kg, quel est le prix minimal que le teinturier devra payer pour pouvoir colorer 10 kg de tissu ?

Exercice 5.7 Un distributeur de lecteurs de DVD a deux entrepôts E1 et E2. Il y a 80 unités entreposées à E1 et 70 unités à E2. Deux clients, A et B, commandent respectivement 35 et 60 unités. Les coûts de transport à partir de chaque entrepôt jusque chez A et B sont déterminés en fonction du tableau ci-dessous :

Entrepôt Client Coût de transport par unité

E1 A 8 fr.

E1 B 12 fr.

E2 A 10 fr.

E2 B 13 fr.

Comment répartir la commande pour que le coût de transport soit minimum ?

Exercice 5.8 Trois substances X, Y et Z contiennent chacune quatre ingrédients A, B, C et D. Le pourcentage de chaque ingrédient et le coût, en centimes par gramme, de chaque substance sont indiqués dans le tableau ci-dessous :

Ingrédients Coût parSubstance A B C D gramme

X 20% 10% 25% 45% 25 ct.Y 20% 40% 15% 25% 35 ct.Z 10% 20% 25% 45% 50 ct.

a. Si le coût doit être minimal, combien de grammes de chaque substance faudrait-il amalgamer pour obtenir un mélange de 20 grammes contenant au moins 14% de A, 16% de B et 20% de C?

b. Quel serait le mélange le plus coûteux ?

Exercice 5.9 Peut-il y avoir plusieurs solutions optimales à un problème de programmation linéaire ?Si oui, quand cela arrive-t-il ?Si non, pourquoi cela ne peut-il pas arriver ?

5.3. Ce qu'il faut absolument savoirPoser et résoudre graphiquement un problème d'optimisation linéaire ❏ ok


26

PROGRESSIONS

6. Progressions6. Progressions

Johann Carl Friedrich Gauss

(Brunswick, 30/4/1777 -

Göttingen, 23/2/1855)

L'instituteur prit sa grosse voix et annonça une punition générale : « Vous additionnerez tous les nombres de 1 à 100 ! Et je ne veux rien entendre avant que vous ayez fini ! » Il pensait bien avoir la paix pour le reste de la journée. Moins de deux minutes plus tard pourtant, l'un des enfants lève la main et annonce : « 5050 ». L'instituteur croit à une farce, mais l'élève explique que 100+1 font 101, 99+2 font 101, 98+3 font 101, etc. La somme des nombres de 1 à 100 est donc égale à 50 fois 101, c'est-à-dire 5050. On a oublié le nom de l'instituteur, mais son élève, Carl Friedrich Gauss, est devenu l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps... On le surnommait le « Prince des mathématiciens ».

6.1. Les progressions arithmétiques

Exemples

–1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, ...

35, 32, 29, 26, 23, ...

Définition

On appelle progression arithmétique (P.A.) une suite de nombres tels que chacun est égal au précédent augmenté d'un nombre constant appelé raison.

Exemple

Soit la suite 4, 10, 16, 22, ...

Quel est le 66e terme ?

t1 = 4, r = 6, n = 66donc t66 = 4+65·6 = 394

Le calcul d'un terme connaissant son rang (tn)Soit t1 le premier terme et r la raison. Par définition, on a :

t2 = t1 + rt3 = t2 + r = t1 + 2rt4 = t3 + r = t1 + 3r

tn = tn−1 + r = t1 + (n–1)·r

On a donc :

tn = t1 + (n–1)·r

Il ne faut pas confondre tn et n ! Pour prendre une image, n est le numéro d'un siège de cinéma et tn est la personne assise dans ce siège.n est le rang (ou parfois le nombre d'éléments), tn est l'élément de rang n.n est un nombre entier, tn ne l'est pas forcément.

Le calcul de la somme de n termes (Sn)On peut écrire :

Sn = t1 + t2 + t3 + ... + tn–2 + tn–1 + tn

ou Sn = tn + tn–1 + tn–2 + ... + t3 + t2 + t1

En additionnant ces deux expressions terme à terme, on obtient :

2 Sn = (t1 + tn) + (t2 + tn–1) + (t3 + tn–2) + ... + (tn–1 + t2) + (tn + t1)


27

CHAPITRE 6

Exemples

La somme des 100 premiers

nombres entiers:

S 100=100

2299⋅1=5050

La somme des 38 premiers

nombres entiers impairs :

S 38=382 237⋅2=1444

Il y a n parenthèses formées de la somme de termes valant chacun t1 + tn, donc :

2 Sn = n·(t1 + tn)D'où :

S n=n2t1t n

En remplaçant tn par t1 + (n–1)·r, on obtient :

S n=n2 2 t 1n – 1⋅r

Exercice 6.1 Soit une P.A. avec t1 = 8 et t3 = 18. Calculez t10.

Exercice 6.2 Calculez la somme de tous les multiples de cinq compris entre 101 et 1001.

Exercice 6.3 La somme des 19 premiers termes d'une progression arithmétique est nulle et le dernier terme 27. Déterminez le premier terme et la raison.

Exercice 6.4 Démontrez que dans une progression arithmétique on a toujours la relation :

t n1=t nt n2

2

Exercice 6.5 Insérez huit termes entre 7 et 61 de manière à obtenir une progression arithmétique.

Exercice 6.6 La somme du 8ème et du 14ème terme d'une P.A. est 50. On sait aussi que t3 = 13. Définissez cette progression arithmétique en donnant t1 et r.

Exercice 6.7 Déterminez le triangle rectangle dont les trois côtés sont en P.A. et dont le périmètre vaut 84.

6.2. Les progressions géométriquesExemples

27, 9, 3, 1, 13

, ...

3, –6, 12, –24, ...

Définition

On appelle progression géométrique (P.G.) une suite de nombres tels que chacun est égal au précédent multiplié d'un nombre constant appelé raison.

Exemple

Soit la suite 4, 8, 16, 32, ...

Quel est le 19e terme ?

t1 = 4, r = 2, n = 19

donc t19 = 4·218 = 1'048'576

Le calcul d'un terme connaissant son rang (tn)Soit t1 le premier terme et r la raison. Par définition, on a :

t2 = t1 · rt3 = t2 · r = t1 · r2

t4 = t3 · r = t1 · r3

Mtn = tn–1· r = t1 rn–1

Donc :

tn = t1 rn–1


28

PROGRESSIONS

On peut décaler les termes

sans problèmes.

Exemple

Que vaut la somme des 10

premières puissances de 3 ?

t1 = 3, r = 3, n = 10

S 10=3310 – 13 – 1

=88572

Le calcul de la somme de n termes (Sn)Le calcul de la somme se fait au moyen des deux relations suivantes :

Sn = t1 + t2 + t3 + ...+ tn–2 + tn–1 + tn

et r·Sn = r·t1 + r·t2 + r· t3 + ...+ r· tn–2 + r·tn–1 + r· tn

En retranchant terme par terme la première relation de la deuxième, on obtient :

r· Sn – Sn = tn·r – t1

D'où :

11

11 1

nn

nt r t rS tr r

− −= =− −

Exemple

1121

41

8 1

16+ ... = ?

S ∞=1

1 –12

=2

Somme des termes d'une P.G. illimitée (S∞)

Si | r | < 1, alors S∞= limn∞

S n=t1

1 – r. Autrement, la somme tend vers l'infini.

En effet, si | r | < 1, alors 0r ∞ → .

Exercice 6.8 Soit une P.G. avec t1 = 8 et t3 = 18. Calculez t10.

Exercice 6.9 Déterminez quatre nombres formant une P.G. de raison 32

et de somme 52.

Exercice 6.10 Les côtés d'un triangle rectangle sont en progression géométrique. Déterminez la raison de la progression.

Exercice 6.11 Trouvez trois nombres positifs en P.G. connaissant leur somme (248) et la différence des extrêmes t3– t1 (192).

6.3. Exercices supplémentaires

Exercice 6.12 Dans un carré de 10 cm de côté, on inscrit un cercle. Puis dans ce cercle on inscrit un carré, puis dans le nouveau carré un cercle, etc. On construit ainsi une infinité de carrés. Quelle est la somme des aires des carrés ?

Exercice 6.13Inspirez-vous du calcul de la

somme des termes d'une P.G.

Déterminez les fractions irréductibles qui engendrent les nombres périodiques suivants :a. 3.212121212121...b. –11.890909090…

Exercice 6.14

C'est la formule des intérêts

composés.

Lorsque vous placez un capital C à la banque, au taux d'intérêt annuel i, votre capital est accru chaque année des intérêts de l'année. Il s'élève donc :

au bout d'un an à C1 = C(1+i)au bout de deux ans à C2 = C1(1+i) = C(1+i)2

etc.

a. Si vous placez 2500 fr. le 1er janvier 1999 à un taux d'intérêt de 3%, quel sera votre capital le 1er janvier 2063 ?

b. Un 1er janvier, vous constatez que votre capital se monte à 5234.45 fr. En quelle année êtes-vous ?


29

CHAPITRE 6

Exercice 6.15 Emplacement des frettes d'une guitare

Mesurez les longueurs L0, L1, L2,..., L12 définies par les différentes frettes du manche. Mesurez en cm avec un chiffre après la virgule.

L0 =L1/L0= d1 =

L1 =L2/L1= d2 =

L2 =L3/L2= d3 =

L3 =L4/L3= d4 =

L4 =L5/L4= d5 =

L5 =L6/L5= d6 =

L6 =L7/L6= d7 =

L7 =L8/L7= d8 =

L8 =L9/L8= d9 =

L9 =L10/L9= d10 =

L10 =L11/L10= d11 =

L11 =L12/L11= d12 =

L12 =

L12/L0 =

Claude Ptolémée

(Egypte, env. 85 -

Alexandrie, env. 165)

Référence

Calculs bien tempérés, par Ian

Stewart, revue POUR LA

SCIENCE N0 151,

mai 1990, pp. 108-114

a. Calculez les quotients L1L0

, L2L1

, L3L2

, ..., L12L11

ainsi que L12L0

.

Que remarquez-vous ?

b. Les propriétés des cordes vibrantes et la définition de la gamme dite tempérée sont telles que :- si une corde de longueur L émet un certain son (mi par exemple), la même

corde de longueur L/2 émet le son situé à l'octave au-dessus ;- les notes (mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, si, do, do#, ré, ré#, mi) s'obtiennent avec

des longueurs de corde L0, ..., L12, longueurs qui forment une progression géométrique.

Calculez la raison de la suite et comparez-la avec les quotients du point a.

c. Claude Ptolémée est surtout connu pour son système cosmologique, mais il fut aussi l'auteur d'un traité des Harmoniques, où il présente le système pythagoricien, selon lequel les notes doivent être représentées par des rapports de nombres entiers. Les principaux rapports sont la quarte, associé au rapport 3/4, et la quinte, associée au rapport 2/3. Retrouvez-vous ces rapports dans le système tempéré ?

d. Montrez que les distances d1, d2, d3, ... qui séparent deux frettes consécutives du manche forment également une suite géométrique de même raison.


30

PROGRESSIONS

Exercice 6.16

La Suisse s'étend sur une

superficie de 41'288 km2

Un nommé Sissa, l'inventeur du jeu d'échecs, présenta son jeu au Sultan. Enthousiasmé, ce dernier lui proposa de choisir sa récompense. Sissa, d'après la légende, répondit :« Que tes serviteurs mettent un grain de blé sur la première case, deux sur la seconde, quatre sur la troisième, huit sur la quatrième et ainsi de suite en doublant chaque fois le nombre de grains de blé jusqu'à la soixante-quatrième case. »a. Combien de grains de blé aurait-il fallu pour récompenser Sissa selon ses désirs ?b. En supposant qu'un grain de blé occupe un volume de 1 mm3, quelle serait

l'épaisseur de la couche de blé qui recouvrirait une surface équivalente à celle de la Suisse ?

Exercice 6.17 Une balle de caoutchouc est lâchée d'une hauteur de 2 mètres. Après chaque rebond, elle remonte aux sept dixièmes de la hauteur atteinte après le précédent rebond.a. Après le 7ème rebond, quelle sera sa hauteur à l'apogée de sa trajectoire ?b. Quelle longueur de chemin aura-t-elle parcourue quand elle se sera immobilisée

sur le sol ?

Exercice 6.18

Les nombres représentent la

numérotation des segments.

Dans la décoration d'un palais, on peut remarquer le motif symétrique ci-dessous, composé de plusieurs segments :

a bd1

8

1 1

a. Les segments sont-ils en progression arithmétique ou géométrique ?b. Sachant que la longueur du segment no 8 est 16.25 cm et que celle du segment no

11 est 21.5 cm, quelle est la raison de la progression ?c. Quelle est la longueur du segment 1 ?d. Quelle distance parcourrait une fourmi du point a au point b en suivant les

segments du dessin ?e. Quelle est la distance « à vol d'oiseau » entre a et b ?f. Que vaut d ?

Exercice 6.19Un segment M1M2 a une longueur de 12 cm. Soit M3 le milieu de M1M2, M4 le milieu de M2M3, M5 le milieu de M3M4, et ainsi de suite. Calculez la longueur du segment M1Mn quand n∞ .

Exercice 6.20 Trois nombres différents en progression géométrique forment une progression arithmétique si on permute les deux premiers. Sachant que les raisons sont les mêmes, déterminez ces trois nombres.

Exercice 6.21 Calculez la somme Sn = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + ...

Indication : calculez d'abord 9·Sn puis extrayez une P.G.

Exercice 6.22 Soit S n=1 3

225

247

269

28 +...

Calculez S n –14

S n et déduisez Sn quand n∞ .


31

CHAPITRE 6

Exercice 6.23 Le « flocon de neige » de von Koch est une figure fractale qui se construit de manière itérative. En partant d'un triangle équilatéral, on remplace chaque côté par :

Voici les figures obtenues après 0, 1 et 2 itérations du processus :

Quand le nombre d'itérations tend vers l'infini :a. que vaut le périmètre du flocon si le côté du triangle équilatéral initial a une

longueur c ?b. que vaut l'aire du flocon ?

Exercice 6.24

Les poumons se rapprochent

d'une éponge de Menger.

La construction d'une éponge de Menger peut être décrite de la manière suivante :

1. débuter par un cube, 2. réduire le cube au tiers et en faire 20 copies, 3. placer ces copies de telle façon qu'elles forment un nouveau cube de la même

taille que l'original, sans les parties centrales, 4. répéter le processus à partir de l'étape 2 pour chacun des 20 cubes ainsi créés.

Le solide obtenu à la limite, après un nombre infini d'itérations, est l'éponge de Menger.

À chaque itération, on multiplie le nombre de cubes par 20, ce qui fait que le solide créé à l'itération n contient 20n cubes.

Quand le nombre d'itérations tend vers l'infini :a. que vaut l'aire de l'éponge de Menger si le côté du cube initial a une longueur c ?b. que vaut le volume de l'éponge de Menger ?

6.4. Ce qu'il faut absolument savoirConnaître les formules pour les progressions arithmétiques ❏ okConnaître les formules pour les progressions géométriques ❏ okÀ la lecture d'un problème, savoir de quel type de progression il s'agit ❏ ok


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SUITES ET SÉRIES

7. Suites et séries7. Suites et séries7.1. Suites

Définition

Exemples

Listeu1 = 5, u2 = 18, u3 = − 4, u4 = 11, …

Formuleun = n2 ⇒ 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; …

Récurrence

{u1 = 2un = 2un – 1 1

⇒ 2 ; 5 ; 11 ; 23 ; ...

Représentation de la suite

un=1 – 1n

Une suite réelle est une liste ordonnée (ou liste numérotée) de nombres réels, appelés termes.

La suite {u1 ; u2 ; u3 ; …} est aussi notée (un).

Une suite peut être déterminée :• par la liste de tous ses termes (s'il n'y a pas de règle de formation)• par une formule qui donne un par rapport à n (donner f(n) = un)• par récurrence : le deuxième terme de la suite est donné en fonction du premier,

le troisième en fonction du deuxième, et ainsi de suite.

On peut aussi représenter une suite par un dessin :

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

Définitions

Rappel des notations∃ : il existe, ∀ : pour tout

Une suite est croissante si un ≤ un+1, ∀ n ∈ ℕ* .

Une suite est décroissante si un ≥ un+1, ∀ n ∈ ℕ* .

Une suite est strictement croissante si un < un+1, ∀ n ∈ ℕ* .

Une suite est strictement décroissante si un > un+1, ∀ n ∈ ℕ* .

Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Une suite est alternée si ses termes sont alternativement positifs et négatifs.

Une suite est majorée si ∃ un réel α tel que ∀ entier n∈ ℕ* , un ≤ α.

Une suite est minorée si ∃ un réel α tel que ∀ entier n∈ ℕ* , un ≥ α.

Une suite est bornée si elle est majorée et minorée.

Exercice 7.1 Pour déterminer si une suite est croissante ou décroissante, il faut étudier le signe de la

différence (un+1 – un), ou comparer u n1

un avec 1.

Les suites ci-dessous sont-elles croissantes, décroissantes ?

a. –1 ; 1 ; –1 ; 1 ; … b. un=3 n –15n – 2

c. un=n

n21

Convergence On dit qu'une suite (un) est convergente si elle admet une limite réelle en +∞, autrement dit si lim

n∞un=L∈ℝ .

Si elle existe, la limite d'une suite est unique. Si une suite n'est pas convergente, elle est divergente.


33

CHAPITRE 7

Théorème 7.1 a. Toute suite monotone et bornée converge.b. Toute suite convergente est bornée.c. Soit (un) une suite convergente vers a et (vn) une suite convergente vers b. Alors

(un + vn) converge vers (a + b)

(un⋅vn) converge vers (a⋅b)

u n

vn converge vers ab

(λ un) converge vers (λ a)

Exercice 7.2 Montrez que :

a. limn∞

2 n1n3

=2 b. limn∞

n1n2 =0

Exercice 7.3 Les suites suivantes sont-elles convergentes ? Si oui, vers quelle valeur ?

a. 2n3n1

b. n2 – 1n2

c. (–1)n

d. 1ln n1 e. ln n

n f. n !nn

Exercice 7.4 Étudiez la convergence des suites dont on donne le terme général :

a. n21n2n – 1

b. n42 n2n4

c. n26nn1n2

d. nn e. na , 0 < a < 1 f. na , a > 1

Exercice 7.5 Soit (un) une suite telle que la suite (|un|) converge. Peut-on en déduire que (un) converge ?

Exercice 7.6 On définit la suite de terme général vn de la façon suivante : {v1 = 1vn 1 = 12 vn

a. Montrez que 0 < vn < 4 pour tout n strictement positif.

b. On pose 4 – vn = wn. Démontrez que wn+1 < 14 wn.

c. Déduisez-en que la suite converge et calculez la limite de wn.

d. Donnez la limite de vn, lorsque n tend vers l'infini.

Exercice 7.7 Expliquez pourquoi ce dessin donne visuellement la réponse de l'ex. 7.6.


34

SUITES ET SÉRIES

Exercice 7.8 Héron d'Alexandrie, savant grec du 1er siècle après J.-C., a inventé un algorithme qui permet de s'approcher très vite de la racine carrée d'un nombre réel m positif, en itérant la formule récursive :

{u1 = m ,m 1

un 1 = 12 un

mun

Utilisez et justifiez cet algorithme.

Exercice 7.9

La fonction b. (appelée logistique) modélise quelques situations d'équilibre. On la retrouve en particulier dans les systèmes proies-prédateurs.

De nombreux algorithmes itératifs sont fondés sur des suites du type

{u1 = a valeur initialeun 1 = f un, pour n1

où f est une fonction réelle d'une variable réelle.Observez sur un ordinateur que :

a. si f(x) = cos(x), la suite convergera vers la solution de l'équation cos(x) = xb. si f(x) = 4x(1−x) et u1∈]0;1 ] , la suite aura un comportement chaotique.

Suite de SyracuseSyracuse est ici le nom d'une ville universitaire américaine (New York).

Vous pourrez étudier cette suite sur le web.

La suite de Syracuse est définie par :

{x1 = a∈ℕ*

xn 1 = {xn

2si xn est pair

3 xn1 si xn est impair

La conjecture de Syracuse dit que cette suite se termine toujours par le cycle 4, 2, 1. Il n'existe pour l'instant aucune démonstration.

Exercice 7.10 On considère deux suites (un) et (vn) définies simultanément ∀ n > 0 par

un=1 11!

12!

1n ! , vn=u n

1n!

Montrez que : a. ∀ n ∈ ℕ* , un < vn

b. (un) est croissantec. (vn) est décroissanted. lim

n∞u n – vn=0

e. La limite commune de ces deux suites est le nombre e. Montrez par l'absurde que e est irrationnel (procédez par encadrement).

Nombres pseudo-aléatoires

Un ordinateur ne sait pas générer du hasard. Il construit en fait une suite de nombres entiers qui a l'apparence du hasard, mais qui est tout à fait déterministe. Par exemple, la suite suivante est couramment utilisée :

un+1 = (un·16807) mod (231 – 1)

Ces nombres sont ensuite divisés par 2 31 – 1, pour obtenir des nombres dans l'intervalle [0 ; 1[.


35

CHAPITRE 7

7.2. Séries

Définition Soit (uk) une suite infinie et sn = u1 + u2 + … + un = ∑k=1

n

uk .

On appelle série de terme général uk la suite (sn). sn est la n-ième somme partielle de la série.

Exercice 7.11 Écrivez la quatrième somme partielle des séries suivantes :

a. ∑n=1

∞ 2 n – 1n2 b. ∑

n=1

∞ 3 n – 2n21

c. ∑k=0

∞

– 1k 2k1

k !

Exercice 7.12 Donnez une expression du terme général des séries suivantes :

a. 113 1

51

7 b. 12

23

44

8

c. 124

6 7

1010

14 d. 4

10 9

17 16

2625

3736

50

e. 12

– 1⋅32⋅4

1⋅3⋅52⋅4⋅6

– 1⋅3⋅5⋅72⋅4⋅6⋅8

7.3. Convergence des séries

Si la suite (sn) converge, on dit que la série de terme général uk converge et, dans ce cas,

la limite de la suite (sn) s'appelle somme de la série et on la note : ∑k=1

∞

uk .

Une série qui ne converge pas diverge.

Calculer la somme exacte d'une série est, en général, une tâche difficile. Voilà pourquoi nous allons nous intéresser à des tests qui permettent de savoir si une série est convergente ou divergente, sans en calculer explicitement la somme.

Théorème 7.2 Si limk ∞

∣uk∣≠0 , alors la série ∑k =1

∞

uk diverge.

Par contraposée, si la série ∑k=1

∞

uk est convergente, alors limk ∞

∣uk∣=0 .

La réciproque n'est en général pas vraie. Si limk∞

∣uk∣=0 , on ne peut pas conclure

que ∑k=1

∞

uk converge.

On cherche une série qui est inférieure à la série harmonique et qui diverge. Cela implique que la série harmonique diverge aussi.

Montrons que la série harmonique ∑k=1

∞ 1k diverge.

∑k=1

∞ 1k=11

21

3 1

41

51

61

71

81

9 1

10...

> 1121

4 1

4 1

81

81

81

8 1

16 1

16...

= 112 1

4 1

4

2 termes

181

81

81

8

4 termes

116

... 116

8 termes

132

... 132

16 termes

...

= 1121

2 1

2 1

21

2


36

SUITES ET SÉRIES

s2m est la somme partielle des

2m premiers termes de la série harmonique.

Donc, s2m1m⋅12 . Ceci montre que s2m∞ lorsque m → ∞. Il s'ensuit que (sn)

diverge. Pourtant 1k0 .

Q.E.D

Exercice 7.13 Montrez que la série ∑n=1

∞ 1nn1

est convergente et calculez sa somme.

Exercice 7.14 Démontrez que la série ∑n=1

∞ n2

5n24 diverge.

Série alternée

Exemple

Une série alternée est une série dont les termes sont alternativement positifs et négatifs.

∑k =1

∞

−1k−1 1k=1−1

21

3− 1

41

5− 1

61

7− 1

81

9− 1

10...

Théorème 7.3 Soit la somme d'une suite alternée s=∑k=1

∞

– 1k – 1 bk , avec bk > 0

Si la série alternée satisfaita. 0 < bk+1 < bk , ∀ k ∈ ℕ*

b. limk∞

bk=0

alors la série est convergente.

La première somme partielle s1 = b1 est positive. La deuxième s2 = b1−b2 est encore positive, car b2 < b1. La somme suivante s2 = b1−b2+b3 se trouve à droite de s2, mais à gauche de s1. Les sommes partielles oscillent vers l'avant et vers l'arrière, et, puisque la distance entre elles tend vers zéro, elles finissent par converger.

Exercice 7.15 La série harmonique alternée ∑k =1

∞

−1k−1 1k converge-t-elle ?

Exercice 7.16 La série ∑k =1

∞ – 1 k 3 k4 k – 1

converge-t-elle ?


∞

– 1k1 k 2

k 31 converge-t-elle ?

Convergence absolue

Une série ∑k=1

∞

uk est dite absolument convergente lorsque la série des valeurs absolues

∑k =1

∞

∣uk∣ est convergente.

Théorème 7.4 Si une série ∑k=1

∞

uk est absolument convergente, alors elle est convergente.

La réciproque n'est pas vraie. En effet, la série harmonique alternée converge, mais pas la série harmonique.


37

CHAPITRE 7

Démonstration Une des propriétés de la valeur absolue est |a + b| ≤ |a| + |b|.

On peut la généraliser pour obtenir : ∣∑k=1

∞

uk∣≤∑k=1

∞

∣uk∣ .

Comme la série est absolument convergente, ∑k=1

∞

∣uk∣ = s ∈ ℝ , la suite ∑k=1

∞

uk est réelle

et comprise entre –s et s. Elle est donc convergente.

Test de comparaison

L'emploi du test de comparaison est subordonné à la connaissance d'un certain nombre

de séries ∑k=1

∞

vk qui servent de repère.

Supposons que ∑k=1

∞

uk et ∑k=1

∞

v k soient des séries à termes positifs.

a. Si ∑k =1

∞

v k est convergente et uk ≤ vk, ∀ k, alors ∑k=1

∞

uk converge.

b. Si ∑k =1

∞

v k est divergente et uk ≥ vk, ∀ k, alors ∑k=1

∞

uk diverge.

Exercice 7.18 On sait que 1 12a

13a converge si a > 1 et diverge si a ≤ 1.

La série ∑k =1

∞ cos kk2 converge-t-elle ?

Quelques séries connues

Séries alternées

1121

4 1

2k =2 11⋅2

12⋅3

1k k1

=1

11⋅3

13⋅5

12k−12 k1

= 12

11⋅3

12⋅4

1 k−1 k1

= 34

13⋅5

17⋅9

14 k−14 k1

=12−

8

1141

9 1

k2=2

61 1

16 1

81 1

k 4=2

90

119 1

15 1

2 k12=2

81 1

1! 1

2 ! 1

k !=e

1 – 121

3– 1

41

5–=ln 2 1 – 1

31

5– 1

71

9–=

4

Exemple 1 Soit v k=1

2k – 1 , ∑k=1

∞

vk = 1121

4 1

2k =2 et uk=1k ! .

k⋅ k – 1⋅k – 2⋅⋅2⋅12⋅2⋅2⋅⋅2k –1fois

⋅1 et donc 1k !

12k –1

, ∀ k∈ℕ*

Il s'ensuit que ∑k=1

∞

uk=112 1

6 1

24... converge et vaut moins que 2.

Exemple 2 Soit v k=1k , ∑

k=1

∞

v k=1121

3 1

4... qui diverge et u k=

1 k

.

kk et donc 1 k

1k pour tout k∈ℕ* .

Il s'ensuit que ∑k=1

∞

uk=1 12

13

14

... diverge.


38

SUITES ET SÉRIES

Exercice 7.19 Dites si les séries suivantes convergent ou non :

a. 233

5 n1

2n1 b.

111

122 1

nn

c. 121

4 1

2 n d. 1

11 1

22 1

11n

e.1

1⋅2 12⋅3

1n n1

f. 22⋅3

43⋅4

2 nn1n2

g.122

152 1

3 n – 12


∞ ln kk

est-elle convergente ?

Test du quotient Le test du quotient (ou test de D'Alembert) est efficace pour déterminer si une série donnée est absolument convergente.

Théorème 7.6 Soit c=limk∞ ∣uk 1

u k∣ .

a. Si c < 1, la série ∑k=1

∞

uk est absolument convergente.

b. Si c > 1, la série ∑k=1

∞

uk diverge.

c. Si c = 1, le test ne donne aucune information.

Démonstration La démonstration du test du quotient repose sur la comparaison de la série donnée avec une progression (ou série) géométrique. Il n'est pas étonnant qu'interviennent des séries géométriques parce qu'elles sont caractérisées par le fait que le rapport q des termes consécutifs est constant et elles sont convergentes lorsque |q| < 1. Ici, le rapport des termes consécutifs n'est pas constant mais il tend vers c, et donc, pour k grand, ce rapport est presque constant et la série converge lorsque c < 1.

Exemple 1 Soit la série harmonique : ∑k=1

∞ 1k . c=lim

k∞ ∣ 1k1

1k

∣= limk∞

∣ kk1∣=1

Il y a donc doute.

Exemple 2 Soit la série ∑k=1

∞ 1k ! . c=lim

k∞ ∣ 1k1 !

1k !

∣=limk∞

∣ k !k1 !∣= lim

k ∞∣ 1k1∣=0

La série est donc convergente.

Exercice 7.21 Utilisez le test du quotient pour déterminer si les séries suivantes convergent.

a.1!10

2!100

n !10n b.

32 4

22n22n

c. 12 3

2232

233n –1

2n d. 131⋅2

3⋅5 1⋅2⋅3

3⋅5⋅7 n !

3⋅5⋅7⋅⋅2n1

e. 1 122

132 1

n2


39

CHAPITRE 7

Test de la racine Soit c=limk∞

k∣uk∣ .

a. Si c < 1, la série ∑k=1

∞

uk converge.

b. Si c > 1, la série ∑k=1

∞

uk diverge.

c. Si c = 1, le test ne donne aucune information.

Exercice 7.22 Utilisez le test de la racine pour dire si les séries suivantes convergent.

a. 1121

4 1

2n b. 1180

1120

180

3n

180⋅2n

c. 12 4

7 2

610

3

2n3n1

n

Test de l'intégrale Soit f une fonction continue, positive et jamais croissante dans l'intervalle [p ; ∞] et soit uk = f(k).

La série ∑k =p

∞

u k converge ou diverge, selon que ∫p

∞

f xdx existe ou non.

De plus : ∫p

∞

f xdx ≤ ∑k=p

∞

u k ≤ u p∫p

∞

f xdx

Exemple 1

Exemple 2

Soit la série harmonique ∑k =1

∞ 1k .

La fonction est donc f x=1x et p = 1.

∫1

∞

f xdx=limt∞∫1

t1x

dx=limt ∞

ln t– ln 1 0

=∞ . La série est donc divergente.

Soit la série ∑k=1

∞ 1k2 .

La fonction est donc f x= 1x2 et p = 1.

∫1

∞

f xdx=limt∞∫1

t1x2 dx=lim

t ∞−1

t1 =1 .

La série est donc convergente et comprise entre 1 et 2.

Exercice 7.23 Démontrez le critère de comparaison avec une intégrale.

Indication : Approchez l'aire sous la courbe par des rectangles de largeur 1.

Exercice 7.24 Utilisez le test de l'intégrale pour déterminer si ces séries convergent.

a.13

15

17

19

... b. 14 1

16 1

36 1

64

c. sin 14

sin2 19

sin3 116

sin4 d. 1 1

2a13a 1

n a


40

SUITES ET SÉRIES

7.4. Séries entières

Remarquez que f ressemble à un polynôme. La seule différence est que f a un nombre infini de termes.

Une série entière est une série de la forme ∑k =0

∞

a k xk où x est une variable et les ak sont

des constantes, appelées les coefficients de la série.

Chaque fois qu'une valeur est attribuée à x, la série entière est une série de constantes qui peut être testée quant à sa convergence ou à sa divergence.

La somme de la série est une fonction f x=∑k=0

∞

a k x k dont le domaine de définition est

l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles la série converge.

Théorème 7.7 Il existe un nombre positif r, appelé rayon de convergence de la série, tel que :• la série entière converge absolument si |x| < r,• la série entière diverge si |x| > r.

Dans la plupart des cas, le rayon de convergence peut être déterminé par le test du quotient, mais ce test échoue toujours quand x est l'une des extrémités de l'intervalle de convergence. Il faut donc un autre test pour savoir ce qui se passe aux extrémités.

Exemple

Test du quotient (p. 37)

Rayon de convergence

Déterminons le rayon et l'intervalle de convergence de ∑k=0

∞ – 3k x k

k1.

Soit u k=– 3 k xk

k1

Alors ∣uk 1

u k∣=∣– 3 k1 x k1

k2⋅ k1– 3k xk∣=3 k1

k2∣x∣3⋅∣x∣ si k→ ∞.

La série est donc convergente si 3⋅|x| < 1 et divergente pour 3⋅|x| > 1.

Elle converge donc pour ∣x∣13

et diverge pour ∣x∣13

. Cela signifie que le rayon de

convergence est r = 13 .

Maintenant que l'on sait la série converge dans l'intervalle ]– 13

; 13

[, on regarde ce qui

se passe aux extrémités de l'intervalle.

Si x = – 13

, ∑k =0

∞ – 3k−13

k

k1=∑

k=0

∞ 1 k1

, qui est divergente.

Si x = 13

, ∑k =0

∞ – 3k 13

k

k1=∑

k=0

∞ −1 k

k1, qui est convergente d'après le test des séries

alternées (théorème 7.3).

Finalement, la série proposée converge pour – 13

< x ≤ 13

.


41

CHAPITRE 7

Exercice 7.25 Trouvez l'intervalle de convergence des séries entières suivantes.

a. 2 3 42 3 4 ...x x x x+ + + + b.2 3 4

...2 3 4x x xx − + − +

c.2 3 4

...1 2 2 3 3 4 4 5

x x x x+ + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

d.2 3 4

2 3 4...

5 2 5 3 5 4 5

x x x x− + − +⋅ ⋅ ⋅

e.2 41 ...

1 2 3 2 3 4 3 4 5x x+ + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅f.

2 3 4

2 3 4...

(ln 2) (ln 3) (ln 4)

x x x+ + +

7.5. Développement des fonctions en séries entières

Brook Taylor(1685 – 1731)

La série de Taylor porte le nom du mathématicien anglais Brook Taylor (1685-1731) et la série de Maclaurin celui de mathématicien Colin Maclaurin (1698-1746). L'idée de représenter certaines fonctions comme des sommes de séries entières revient à Newton, et la série générale de Taylor était connue du mathématicien écossais James Gregory en 1668 et du mathématicien Johann Bernoulli en 1690. Il semble que Taylor ne connaissait pas les œuvres de Gregory et de Bernoulli quand il publia sur ce sujet en 1715 dans son livre intitulé Methodus incrementorum directa et inversa. Colin Maclaurin rendit les séries éponymes populaires dans son traité d'analyse Treatise of Fluxions publié en 1742.

Certaines fonctions admettent un développement en série entière. Nous verrons que cette approche permet en outre d'intégrer certaines fonctions qui n'ont pas de primitives élémentaires et d'approcher des fonctions par des polynômes.Par exemple, si vous vous souvenez des progressions géométriques, vous savez que

11 – x

=1xx2x3=∑k=0

∞

x k , pour |x| < 1.

Au départ, nous faisons l'hypothèse que f est une fonction quelconque qui peut être écrite sous la forme d'une série entière

f(x) = c0 + c1(x – a) + c2(x – a)2 + c3(x – a)3 + … , pour |x – a| < r.

Essayons de déterminer comment doivent être les coefficients cn en termes de f.

Avant tout, remarquons qu'en posant x = a dans l'équation ci-dessus, tous les termes après le premier sont nuls et il ne reste que : f(a) = c0

Dérivons la série ci-dessus terme à terme:

f ' (x) = c1 + 2c2(x – a) + 3c3(x – a)2 + 4c4(x – a)3 + … , pour |x – a| < r.

Posons x = a : f ' (a) = c1 et dérivons une deuxième fois :

f '' (x) = 2c2 + 2⋅3c3(x – a) + 3⋅4c4(x – a)2 + 4⋅5(x – a)3 + … , pour |x – a| < r.

Posons x = a : f '' (a) = 2c2 et dérivons une troisième fois :

f ''' (x) = 2⋅3c3+ 2⋅3⋅4c4(x – a) + 3⋅4⋅5(x – a)2 + 4⋅5⋅6(x – a)3 + … , pour |x – a| < r.

Posons x = a : f ''' (a) = 2⋅3c3

La régularité est claire : si nous continuons à dériver et à faire la substitution x = a, nous obtiendrons :

f(k)(a) = 2⋅3⋅4⋅…⋅k⋅ck = k!⋅ ck

d'où nous tirons que ck=f k a

k ! .

Ce développement nous permet de tirer la conclusion suivante :

Si f admet une représentation en série entière en a, c'est-à-dire si

f x=∑k=0

∞

ck x – ak , |x – a| < r,

alors ses coefficients sont donnés par la formule c k=f k a

k !.


42

SUITES ET SÉRIES

Colin Maclaurin(1698 - 1746)

Nous obtenons la série de Taylor de la fonction f en a :

f x=∑k=0

∞ f k a k !

x – a k

= f a f ' a 1!

x – a f ' ' a 2!

x – a 2 f ' ' ' a 3!

x – a 3

Dans le cas particulier où a = 0 (un cas qui se présente extrêmement souvent), on parle de la série de Mac Laurin.

f x=∑k=0

∞ f k 0k !

x k= f 0 f ' 01!

x f ' ' 02!

x2 f ' ' ' 03!

x3

Exercice 7.26 Déterminez la série de Maclaurin des fonctions suivantes ainsi que leur rayon de convergence.a. sin(x) b. ex c. ln(1 + x)

Qu'est-ce qui fait qu'une fonction f(x) est égale à la somme de Taylor ? Comme pour n'importe qu'elle série convergente, cela signifie que f(x) est la limite des sommes partielles. Dans le cas de la série de Taylor, les sommes partielles sont :

T n x=∑k=0

n f k a k !

x – ak

Tn(x) est un polynôme de Taylor de degré n de f en a.

Soit Rn(x) = f(x) – Tn (x) le reste de la série. Donc f(x) = Tn(x) + Rn(x).

S'il est possible d'une manière ou d'une autre de démontrer que limn∞

Rn x=0 , alors il

s'ensuit que limn∞

T n x= f x . C'est la condition pour que la fonction soit égale à la

série.Q.E.D

Théorème 7.8C'est l'erreur commise à la n-ième étape.

Inégalité de Taylor

Si ∣f n1 x∣M pour |x – a| < r, alors le reste Rn(x) de la série de Taylor satisfait l'inégalité

∣Rn x∣ Mn1 !

∣x – a∣n1 pour |x – a| < r


43

CHAPITRE 7

Démonstration Posons pour commencer n = 1. On suppose f '' (x) ≤ M.

On trouve alors ∫a

x

f ' ' t dt∫a

x

M dt

Donc f ' (x) – f ' (a) ≤ M(x – a), d'où f ' (x) ≤ f ' (a) + M(x – a)

De là : ∫a

x

f ' t dt∫a

x

f ' aM t – a dt

f(x) – f(a) ≤ f ' (a)(x – a) + M x – a2

2

f(x) – f(a) – f ' (a)(x – a) ≤ M x – a2

2

Mais R1(x) = f(x) – T1(x) = f(x) – (f(a)+ f ' (a)(x – a)) = f(x) – f(a) – f ' (a)(x – a)

Donc : R1(x) ≤ M2 x – a 2

La même démarche menée à partir de f '' (x) ≥ – M conduit à :

R1(x) ≥ – M2 x – a2

Finalement : ∣R1 x∣≤M2∣x – a∣2 .

Ceci démontre l'inégalité de Taylor dans le cas n = 1. Le résultat pour n quelconque est obtenu de la même façon en intégrant n + 1 fois.

Q.E.D

Exercice 7.27 Approchez ln(1.1), grâce à une série de MacLaurin, avec cinq chiffres significatifs.

Pour cet exercice, il est utile de savoir que si on a une série alternée convergente (voir théorème 7.3), alors ∣Rn∣bn1 .

Exercice 7.28 Déterminez la valeur de l'intégrale ∫0

1

e– x2

dx à 0.001 près.

Exercice 7.29 Calculer π avec trois décimales exactes, en utilisant un développement limité de

f(x) = arcsin(x) et l'égalité arcsin 12=

6 .

7.6. Ce qu'il faut absolument savoirConnaître les définitions d'une suite ❏ okConnaître la définition d'une série ❏ okConnaître les critères de convergence d'une série et savoir les utiliser ❏ okCalculer le rayon de convergence d'une série entière ❏ okDévelopper une fonction en une série entière ❏ ok


44

NOMBRES COMPLEXES

8. Nombres complexes8. Nombres complexes8.1. Introduction

Rafael Bombelli

(1526 - 1572)

En 1535, en Italie, lors d’un tournoi mathématique, figuraient des problèmes se ramenant à une équation du troisième degré. Niccolo Fontana, dit Tartaglia (« Le Bègue ») triompha en utilisant la formule de résolution simplifiée x3 + px = q, découverte en 1526 par Scipion del Ferro (del Ferro l’avait confiée à son disciple Fior, qui l’avait utilisée lors d’un duel avec Tartaglia). Tartaglia connaissait déjà une méthode de résolution d’une équation du type x3 + ax2 = b. Cardan, qui participait à ce tournoi, arriva à convaincre Tartaglia de lui dévoiler ses formules, en lui promettant de ne pas les divulguer.En 1545, Cardan ne tint pas sa promesse et publia, dans son « Ars magna », la méthode générale de résolution des équations du troisième degré. La formule de résolution fut alors appelée Formule de Cardan, et cette appellation est encore actuelle !En 1546, Tartaglia publia à son tour sa théorie du troisième degré, en y ajoutant diverses considérations sur la science des nombres et des curiosités mathématiques.En 1550, Bombelli approfondit la Formule de Cardan. Il constata, après d’autres, que dans certains cas, la résolution conduit à des expressions de la −1 , −3 , … Dans son Algebra (publié en 1572), il fut le premier à donner un sens à ces racines de nombres négatifs. Il les traita comme des nombres réels ; il les appela « nombres sophistiques », décida d’opérer sur eux comme si c’étaient des nombres réels et formula des règles de multiplication.Par la suite, les mathématiciens tentèrent de bâtir une théorie avec ces nombres imaginaires. Vers 1750, le Suisse Euler introduisit la notation i=−1 . Selon Euler (1770) : « Toutes les expressions comme −1 , −2 , … sont des nombres impossibles ou imaginaires, puisqu’ils représentent les racines carrées de quantités négatives ; de ces nombres, nous pouvons seulement affirmer qu’ils ne sont ni zéro, ni supérieurs à zéro, ni inférieurs à lui, ce qui nécessairement les rend imaginaires ou impossibles. »Wessel (1798), Argand (1806) et finalement Gauss (1831-1832) donnèrent une interprétation géométrique des nombres imaginaires.Gauss introduisit l’expression « nombres complexes » pour désigner ces nombres imaginaires, et il montra que tout nombre complexe peut s’écrire sous la forme a + ib avec a ,b∈ℝ .En 1835, Hamilton (mathématicien irlandais) donna une théorie complète des nombres complexes, théorie encore conservée de nos jours.Les nombres complexes ont été difficilement acceptés par la communauté mathématique. Introduits peu après les nombres relatifs, eux-mêmes longtemps rejetés, ils ont permis de résoudre des types d'équations dont les recherches de solutions n'étaient même pas envisageables à l'époque.


45

46 CHAPITRE 8

∆ = 16–4·9 = –20

En effet,

5·i2 = 5·(–1) = –5

Un exemple pratique

Soit l'équation du deuxième degré x2 + 4x + 9 = 0. Cette équation n'a pas de solutions réelles, car le discriminant est négatif. Pourtant, lorsque l'on demande au logiciel Mathematica de trouver les racines, il donne quand même comme résultats x1=−2−i 5 et x2=−2i5 .

Que se passe-t-il ? Et que signifie le symbole i ?

On désigne par i (comme imaginaire) le nombre tel que i2 = −1. Si on préfère, on peut aussi dire que i=−1 .

Vérifions que les nombres trouvés ci-dessus par Mathematica sont bien les racines de x2 + 4x + 9.

Si x1=−2−i 5 , −2−i 5 24 −2−i 59 = 445 i5 i 2−8−4 5 i9 =

4 – 5 – 8 + 9 = 0

Si x2=−2i5 , −2i 5 24 −2i 59 = 4−45 i5 i 2−84 5 i9 =

4 – 5 – 8 + 9 = 0

Les deux solutions sont bien correctes.

8.2. Définitions des nombres complexesOn appelle nombres complexes les expressions de la forme z = a + ib, avec i=−1 . L'ensemble des nombres complexes est désigné par ℂ .On appelle a la partie réelle et b la partie imaginaire du nombre complexe z. On les note a = Re(z) et b = Im(z).On dit que les deux nombres complexes z=aib et z=a−ib sont conjugués s'ils ne diffèrent que par le signe de leur partie imaginaire.Deux nombres complexes z1=a1ib1 et z2=a 2ib2 sont égaux si a1=a2 et b1=b2 .Un nombre complexe est égal à zéro si et seulement si a = 0 et b = 0.

Représentation géométrique des nombres complexes

Tout nombre complexe z=aib peut être représenté sur le plan Oxy par un point P(a, b), et réciproquement, tout point M(x, y) du plan Oxy peut être considéré comme l'image géométrique du nombre complexe z=xiy . On représente souvent le nombre complexe z=xiy par le vecteur OM . L'angle que forme ce vecteur avec l'axe Ox est appelé l'argument de z. La longueur du vecteur ∣z∣ est appelée module.Un nombre complexe peut également être écrit sous la forme trigonométrique z=cosisin .

0

z = x + i y

a x e r é e l

a x e i m a g i n a i r e

y

x

ρ

ϕ

Le plan sur lequel on représente les nombres complexes est appelé plan complexe. Tout point de l'axe Ox correspond à un nombre réel (quand b = 0). Tout point de l'axe Oy correspond à un nombre purement imaginaire puisque a = 0. C'est pourquoi on appelle l'axe Ox l'axe réel et l'axe Oy l'axe imaginaire.


NOMBRES COMPLEXES

8.3. Opérations sur les nombres complexes

Addition

Soustraction

Soient z1=a1ib1 et z2=a 2ib2

z1z2=a1a 2ib1b2

z1−z2=a1−a 2i b1−b2

Multiplication z1 z2=a1 a2−b1b2i b1 a2a1b 2

En effet, z1 z2=a1i b1a2i b2=a1 a 2ib1 a2i a1b2i2 b1 b2 .En regroupant les termes et en se rappelant que i2=−1 , on trouve la formule proposée.

Multiplication avec le conjugué

Le produit d'un nombre complexe avec son conjugué est un nombre réel :

(a + ib)(a – ib) = a2 + b2

Division z1

z2

=a 1a 2b1b 2

a22b2

2 ia 2b1−a1b2

a22b2

2

En effet, on cherche un nombre complexe tel que a1i b1

a2i b2

=xi y .

On a donc bien a1i b1=a 2ib 2 xi y , que l'on peut également écrire a1i b1=a 2 x−b2 yi a2 yb2 x .

x et y sont déterminés par le système d'équations : {a1=a2 x – b2 yb1=b2 xa 2 y

En résolvant ce système, on trouve la formule proposée.

Si on ne se rappelle plus la formule, on peut la retrouver en amplifiant la fraction par le conjugué du dénominateur :

a1i b1

a2i b2

=a 1ib1

a 2ib 2

a 2−ib 2

a 2−ib 2

=a1 a2b1 b2

a 22b2

2 ia2 b1−a1 b2

a 22b2

2

InverseÀ vérifier en exercice !

1z= a−i b

a 2b2

Exercice 8.1 Soit z1=23 i et z2=i−3

Calculez a. z1z2 b. z1z2 c. z1z1 d. z1

z2

Exercice 8.2 Soit z1=4− 23

i , z2=−3−45

i , z3=−25 7

3i .

Calculez a. z2−z3 b. z1 z2 c. z1 z3z2 z3 d. z1

z2

Exercice 8.3 Soit : z1 = 7 – 5i z2 = 2 + i z3 = –5 + 2iz4 = –10 – 3i z5 = 8 z6 = 8i

Calculez

a. z1 – z3 – z5 b. z1 z3 z4 c. z32z4

2 d. i·z4 – z3z6 e. Im(z4)

f. Re z12 z3 g. Im(2z2 – 3z3) h.

z1

z6

i. z1

z2

j. z4z 4


47

48 CHAPITRE 8

Exercice 8.4 a. Calculez i2 , i3 , i4 , i5 , … Représentez ces valeurs sur le plan complexe. Donnez la formule générale pour in .

b. Soit z = 3 + 4i. Calculez zi, z i2 , z i3 , z i 4 . Représentez ces valeurs sur le plan complexe. Que constatez-vous géométriquement ?

8.4. Forme trigonométriqueComment exprimer z=aib sous la forme z=cosisin ? On a les relations suivantes pour trouver le module et l'argument :

=∣z∣=a 2b2 (d'après le théorème de Pythagore)

=arctan ba

Attention! ϕ est déterminé à π près : =arctan ba si a > 0,

=arctan ba si a < 0.

Si les nombres complexes sont exprimés sous leur forme trigonométrique, certaines opérations sont plus simples à mémoriser.

Multiplication z1 z2=12cos 12isin 12

Le produit de deux nombres complexes est un nombre complexe dont le module est égal au produit des modules des facteurs et dont l'argument est égal à la somme des arguments des facteurs.En effet, z1 z2=1cos1isin12cos2isin 2 =

12cos1cos2i sin1cos2i cos1 sin2i2 sin1 sin2 =12cos1cos2−sin 1sin 2isin1cos2cos1sin2 =12cos 12isin 12

Rappels sur les relations trigonométriques :

sin =sin cos cos sin cos =cos cos −sin sin

Division z1

z2

=1

2

cos 1−2isin 1−2

Le quotient de deux nombres complexes est un nombre complexe dont le module est égal au quotient des modules des facteurs ; l'argument est égal à la différence des arguments respectifs du dividende et du diviseur.

Soit 1 cos1i sin12 cos2i sin2

=1

2

cos 1−2isin 1−2 .

Pour vérifier cette égalité, multpilions la partie droite de l'égalité par le dénominateur de la partie gauche. Cela revient à multiplier deux nombres complexes.

2cos2i sin21

2

cos 1−2isin 1−2 = (selon la formule de multiplication)

2

1

2cos 21−2i sin21−2=1cos1 isin1

On a bien retrouvé le numérateur de la partie gauche.


NOMBRES COMPLEXES

InverseÀ vérifier en exercice !

1z=1cos−i sin

Cette formule découle de celle de la division, avec 1=1 et 1=0 .

Élévation à une puissance

zn=[cosisin ]n=ncos nisin n

Cette formule découle de celle de la multiplication. Elle est appelée formule de Moivre. Elle montre que quand on élève un nombre complexe à une puissance entière positive, le module de ce nombre est élevé à cette puissance et l'argument est multiplié par l'exposant de cette puissance.

Exercice 8.5 Écrivez sous la forme z=aib les nombres complexes dont le module et l'argument sont les suivants :

a. =2 ,= b. =2 ,=6 c. =1

2,=5

4

Exercice 8.6 Donnez le module et l'argument des nombres complexes ci-dessous.Conseil : faites un petit schéma afin de donner le bon argument.

a. i b. 3 – 4i c. –5i – 2

d. 2−i2i

30

e. 1−i 3i3

17

Extraction des racines On appelle racine nième d'un nombre complexe le nombre complexe qui, élevé à la puissance n, donne le nombre figurant sous la racine. Ainsi, nous avons que

ncosisin=r cosi sin si rn cos nisin n=cosisin .

Puisque, pour deux nombres complexes égaux, leurs modules sont égaux et la différence de leurs arguments est un multiple de 2π, nous pouvons écrire :

rn= et n=2 k .

Et nous trouvons :

r= n et =2 kn

où k est un entier arbitraire et n la racine arithmétique (c'est-à-dire un nombre réel positif) du nombre positif . Par conséquent :

ncosisin=ncos2k

nisin

2 kn , avec k = 0, …, n–1.

Il y a n racines nièmes différentes situées sur un cercle de rayon n et formant un

polygone régulier.

Exercice 8.7 Résolvez z5 = –32.Représentez les cinq solutions dans le plan complexe.

Exercice 8.8 Calculez toutes les solutions (réelles et complexes) :

a. 158 i b. 38 c. 41i

Représentez ces solutions dans le plan complexe.


49

50 CHAPITRE 8

Exercice 8.9

Résolvez dans ℂ :

a. (z – 2)2 = 289 b. (z – 3)2 = –64c. z2 + (2 − 4i)z + 1 − 4i = 0 d. z4 + 2(2i – 1)z2 – (3 – 4i) = 0

Exercice 8.10 Résolvez dans ℂ le système :

{3 z12 z2=7i5 z1−3 z2=−18 i

Exercice 8.11 Soient z1 = 1 – i et z2 = 1 deux nombres complexes qui sont les premiers termes d'une progression géométrique. a. Déterminez les trois termes suivants z3, z4 et z5.b. Représentez ces points dans le plan complexe.c. Déterminez la longueur de la ligne polygonale joignant z1 à z2, z2 à z3, …, zn-1 à zn,

quand n tend vers l'infini.

Exercice 8.12 Déterminez les racines du polynôme x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.Dessinez-les dans le plan complexe.

Indication : cherchez une progression géométrique.

Exercice 8.13 Trouvez les solutions de l'équation z∣z∣=−410 i .

Rappel : ∣z∣ est le module de z.

8.5. Formule d'Euler

cosisin =e i

On peut démontrer cette formule en utilisant les développements de Taylor.

Quand = , on trouve une des plus belles formules des mathématiques, qui met en relation les deux fameuses constantes e et π :

e i=−1

De la formule d'Euler, il suit que l'on peut aussi écrire un nombre complexe sous la forme :

cosi sin=e i

Exercice 8.14 Donnez sous la forme cartésienne a + ib :

a. ln (cosx + i sinx) b. e3 − 2i c. ln (i–1)

d. log4(i–1) e. ln(–1) f. 3−i14

Pour f, ne donnez qu'une solution (il y en a quatre).

Exercice 8.15 Soit z = 2 – i. Calculez le module et l'argument de :

a. e −2iz b. ln(2z) c. ln(3+iz)


NOMBRES COMPLEXES

8.6. Théorème fondamental de l'algèbreQue pouvons-nous dire sur les racines d'un polynôme quelconque ? Tant que l'on ne travaille qu'avec des nombres réels, la situation est assez compliquée (0, 1 ou 2 racines pour les polynômes de degré 2, les polynômes de degré 3 ont toujours une racine réelle, etc.) L'introduction des nombres complexes simplifie radicalement les choses.

Théorème 1(théorème fondamental

de l'algèbre)

Soient a0, a1, a2, …an n nombres complexes (ou réels), n ≥ 1, an ≠ 0. Soit le polynôme :

Pn z=∑k=0

n

ak zk=a0a 1 za 2 z2...an zn

Alors il existe n solutions réelles ou complexes à l’équation : Pn(z) = 0.

Corollaire 1 Dans ℂ , si Pn(z) est un polynôme de degré n, on peut le décomposer en un produit de n polynômes de degré 1 :

Pn(z) =an(z−z1)(z−z2)·...·(z−zn)

où z1, z2, … zn sont les n solutions de l’équation Pn(z) = 0.

Théorème 2 Soient a0, a1, a2, …an sont n nombres réels, n ≥ 1, an ≠ 0.Soit le polynôme :

Pn z=∑k=0

n

ak zk=a0a 1 za 2 z2...an zn

Si z1 est une solution complexe de l’équation Pn(z) = 0, alors son conjugué l’est aussi : Pn z1=0⇔Pn z1=0 .

Donc, dans ℂ , les zéros complexes d’un polynôme Pn(z) à coefficients réels sont deux à deux conjugués.

Corollaire 2 Tout polynôme à coefficients réels peut se décomposer de manière unique en un produit de facteurs de degré 1 et de degré 2 irréductible.

Exercice 8.16 Dans ℂ , décomposez en un produit de facteurs :

a. x2 – 4x + 5b. 2x3 – 5x – 6, sachant que 2 est une racinec. 4x4 – 4x2 + 3

Exercice 8.17 Déterminez le nombre réel k pour que les solutions de l'équation z3 – 9z2 + kz – 39 = 0 soient alignées dans le plan complexe. Calculez k et les solutions de l'équation.

8.7. Fonctions complexesUne fonction complexe f est une fonction qui associe à un nombre complexe z (faisant partie d'un domaine D) un nombre complexe f(z).

Contrairement aux fonctions réelles, on ne peut pas dessiner de graphes pour les fonctions complexes. Il faudrait en effet utiliser une représentation graphique en quatre dimensions ! Pour décrire graphiquement une fonction complexe, on dessine deux plans complexes, l'un représentant le domaine de départ (D) et l'autre représentant l'ensemble d'arrivée.

Point fixe Soit f une fonction complexe. On dit que z0 est un point fixe de f si f(z0) = z0.


51

52 CHAPITRE 8

Exercice 8.18 On considère la fonction f : z f z =−2 iz1i .

a. Décrivez f.b. Décrivez l'image par f du sous-ensemble de ℂ caractérisé par la condition

1) ∣z∣=1

2) 12

< Im(z) < 2.

Exercice 8.19 Dans ℂ , on donne la fonction g telle que g(z) = iz + 8 et l'ensemble E des nombres complexes z tel que le module de z − 7i vaut 5. En d'autres termes :

E={z∈ℂ :∣z−7 i∣=5}

a. Calculez le point fixe de la fonction g.b. Représentez graphiquement l'ensemble des nombres z = x + yi de l'ensemble E.c. Interprétez géométriquement la fonction g, puis dessinez l'image F de E par la

fonction g (F = g(E)).

Exercice 8.20

Faire cet exercice comme

répétition juste avant

l'examen de maturité.

Soit f : ℂ \ {0} ℂ la fonction définie par f z=−i−2z

.

a. Déterminez les nombres complexes z qui satisfont l’équation : f(z) = z.b. Déterminez, puis représentez graphiquement (unité 1 cm) l’image par la fonction f

de l’ensemble ℝ \ {0}.c. Déterminez, puis représentez graphiquement (unité 1 cm) l’ensemble des nombres

complexes z tels que f z∈ℝ .d. Soit E l’ensemble des nombres complexes de la forme z = cos(t) + i·sin(t) avec

t∈[0 ;2] . Déterminez la nature géométrique de E. Calculez, puis représentez graphiquement les images par f des nombres z correspondant aux valeurs t = 0, t=

2 , t= et t=32 . Prouvez que l’image de E par f est un cercle dont vous

donnerez le centre et le rayon.

8.8. Ce qu’il faut absolument savoirConnaître les trois représentations d’un nombre complexe (algébrique, trigonométrique et formule d’Euler) ❏ okCalculer avec les nombres complexes dans les trois représentations ❏ okReprésenter un nombre complexe dans le plan complexe ❏ okRésoudre des équations dans ℂ ❏ okConnaître le théorème fondamental de l’algèbre ❏ okMaîtriser des fonctions complexes simples ❏ ok

L'ensemble de Mandelbrot est une fractale qui est définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite récurrente définie par zn1=zn

2c et la condition z0 = 0 ne tend pas vers l'infini (en module).


SOLUTIONS DES EXERCICES

Solutions des exercicesSolutions des exercicesChapitre 1

1.1. a. –1/2 b. 12/25 c. –3/4 d. 4/5 e. ℝf. –2/3 g. pas de solution

1.2. a. 5.5 b. pas de solution c. 3 d. 6e. 3 f. –5

1.3. a. 4 b. 3 c. ℝ d. 4a – b

1.4. a. 1 ; 2 b. 1 ; 4 c. pas de solutions

d. –3 e. 5±414

f. 1±13

g. pas de solutions h. 0 ; 2 – 5

1.5. k1 = –6, k2 = 2

1.6. a. 2 ; –2 ; 1 ; –1 b. 1 ; –1

c. pas de solutions d. 37 ; –1

371.7. x1 = –7, x2 = 4, x3 = 6

1.8. x1 = 2, x2 = 2, x3 = 4, x4 = 6

1.9. x1 = –1, x2 = 1, x3 = 2

1.10. x1 = 2, x2 et x3 ∉ ℝ

1.11. x1 = 0, x2 = 3, x3 = –2

1.12. a. 7 et 5 b. 2 c. 4.29 d. pas de solutione. 24/7 f. 31±5 g. 4 et 3

1.13. On n'a pas le droit de simplifier par 0 (a − b)

1.14. Le problème vient du fait (y − v)2 = (v − y)2

Chapitre 2

2.1. a. (8/3 ; −1/3) b. (−1 ; 1/2)

c. (2/3 ; −4/3) d. (λ ; –13

4)

2.2. a. (−1/3 ; 1/3 ; 5) b. (1/2 ; 0 ; −1/2)c. (−3+2λ ; −1−λ ; λ) d. pas de solution

2.3. 8 rouges et 12 bleues

2.4. Il y a 7 convives qui paieront 22.50 € chacun.

2.5. x= – 2m1

; y= 2 m2m1m1

si m=1, il y a une infinité de solutions de la forme (λ ; 2−λ). Si m = −1, il n'y a pas de solution.

2.6. (2/9 ; −1/9) ; (−1/3 ; −1/3)

2.7. a. 14 et 15 ou −15 et −14 b. 11 et 15

Chapitre 3

3.1. a. –1 b. 2 c. –14 d. 0

3.2. a. –70 b. –88 c. 30

3.4. a. –61 b. 0 c. –20

3.5. a. x = –1/2 ; y = 4 b. x = 3 ; y = 3/2

c. pas de solution d. x = λ ; y= 2 – 3

3.6. a. x = –2 ; y = –5 ; z = 2

b. x = –5 ; y = –4 ; z = 2

c. x = λ ; y = 1 ; z = λ

d. x = 1/2 ; y = 1; z = 4

e. pas de solution

f. x = λ ; y = µ ; z = 1−λ−µ

3.7. a. gauche b. droite c. A, B, C alignés

Chapitre 4

4.1. a. vrai b. faux c. vrai d. vrai

4.2. a. [–5 ; 2] b. ]0 ; 7[ c. [–6 ; 0[d. ]–2 ; 4[ e. ]−∞ ; −2[ f. ]1 ; +∞[g. ]−∞ ; 0[ ∪ ]4 ; 10[h. ]−∞ ; 3[ ∪ [4 ; +∞[

4.3. a. ]–2 ; 7[ b. ]3 ; 8] c. [−4 ; +∞[d. ]−∞ ; 1[ ∪ [2 ; 3[

4.4. a. ]–∞ ; – 83 [ b. ∅ c. ]–∞ ; – 4

5 ]

d. ℝ e. ]32 ; +∞[ f. ]–65 ; +∞[

g. [9 ; 19[ h. ] – 92 ; – 1

2 [


53


4.5. a. ]1 ; 2[ ∪ [3 ; +∞[ b. ]–1 ; 0[ ∪ ]1 ; +∞[

c. ]–∞; –1] ∪ ]0 ; 1] d. ]–∞; – 13 [ ∪ ]2; +∞[

4.6. a. ]–∞ ; – 34 [ b. [2 ; 3]

c. ]–∞ ; –4[ ∪ ]7 ; +∞[d. ]–2 ; –1[ ∪ ]1 ; 2[ e. ]–∞ ; 0[

4.7. a. ]0 ; 2[ ∪ ]π ; 4[ ∪ ]2π ; 8]b. [–6 ; – 3

2 [ ∪ ]–3 ; –2[ ∪ ] – 2 ; 0]

c. ]0 ; 2 [ ∪ ]π ; 4[ ∪ ] 3

2 ; 2π[

d. ]1 ; 4[

4.8. 1 < t < 4

4.9. a.

b.

Chapitre 5

5.1. L'entreprise devra envoyer aux USA 44'117.65 kg de produit A et 5'882.35 kg de produit B. Le gain sera de 21'176'470 fr.

5.2. 40/11 tonnes de pièces de type 1 et 175/33 tonnes de pièces de type 2. La recette sera de 23'181.82 fr.

5.3. 150 boîtes rouges et 100 boîtes jaunes. Le profit sera de 15'000 fr.

5.4. 50 raquettes ordinaires et 30 grandes. Le bénéfice maximum est de 850 fr.

5.5. Le paysan doit donner 450 g de poudre P1 et 1.2 kg de P2 à sa vache. Le coût journalier minimum se monte à 3.75 fr.

5.6. Le teinturier doit acheter 750 g de produit IND1 et 312.5 g de produit IND2. Il paiera 27.50 fr.

5.7. Le distributeur doit livrer tous les lecteurs DVD chez A à partir de E1 et aucun à partir de E2. De plus, il doit livrer 45 lecteurs chez B à partir de E1 et 15 unités à partir de E2. Le coût de transport minimum est de 1015 fr.

5.8. a. X: 16 g, Y: 4 g, Z: 0 gb. X: 0 g, Y: 8 g, Z: 12 g

5.9. Il peut y avoir plusieurs solutions optimales si la droite de la fonction objectif est parallèle à un des bords du domaine D.

Chapitre 6

6.1. t10 = 53

6.2. 99'450

6.3. t1 = –27, r = 3

6.5. 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61

6.6. t1 = 10, r = 1.5

6.7. t1 = 21, t2 = 28, t3 = 35

6.8. t10 = 307.546875 ou t10 = –307.546875

6.9. 6.4, 9.6, 14.4, 21.6

6.10. r= 152

6.11. 8, 40, 200

6.12. 200 cm2

6.13. a. 10633 b. – 654

55

6.14. a. 16'577 fr. b. par tâtonnement : 2024


54


6.15. b. 1

12 2

6.16. a. 1.84·1019 grains de blé b. env. 45 cm

6.17. a. 0.165 m b. 34/3 m

6.18. a. P.A. b. r = 1.75 c. 4 cmd. 327 cm e. 21 cm f. 7 cm

6.19. 8 cm

6.20. – 23

; 43

; – 83

6.21. S n=10 10n – 181

– n9

6.22. S∞=209

6.23. a. ∞ b. 23

5c2

6.24. a. ∞ b. 0

Chapitre 7

7.1. a. - b. décroissante c. décroissante

7.3. a. 2 b. diverge c. diverged. 0 e. 0 f. 0

7.4. Les suites convergent vers...a. 1 b. diverge c. 0d. 1 e. 1 f. 1

7.5. non

7.11. a. 1345

9 7

16 b. 124

5 7

1010

17

c. 21

– 418

2– 16

6

7.12. a. ∑k=1

∞ 12 k – 1 b. ∑

k=1

∞ k2 k – 1

c. ∑k =1

∞ 3 k – 24k – 2

d. ∑k =1

∞ k1 2

k221

e. ∑k =1

∞

– 1k1∏i=1

k 2 i –12 i

7.13. la somme vaut 1

7.14. oui

7.15. non

7.16. non

7.17. oui

7.18. oui

7.19. a. non b. oui c. non d. none. non f. non g. oui

7.20. non

7.21. a. diverge b. converge c. diverged. converge e. il y a doute

7.22. a. converge b. diverge c. converge

7.24. a. diverge b. converge c. converged. converge si a>1, diverge sinon

7.25. a. – 1x1 b. – 1x≤1c. – 1≤x≤1 d. – 5x≤5e. – 1≤x≤1 f. tout x

7.28. 0.7468

Chapitre 8

8.1. a. –1 + 4i b. –3 – 11i c. 13

d. – 910

710

i

8.2. a. – 135

– 4715

i b. – 18815

– 65

i

c. 13645

7325

i d. – 860723

130241

i

8.3. a. 4 – 7i b. 367 – 315i c. 112 + 40id. 19 + 30i

e. –3 f. 20 g. –4

h. – 58

– 78

i i. 95

– 175

i j. 109

8.4. a. −1, −i, 1, i, …b. −4 + 3i, −3 – 4i, 4 – 3i, 3 + 4i

8.5. a. –2 b. 1.225 + 0.707ic. –0.353 – 0.353i


55


8.6. a. =1 ,=2 b. =5 ,≈−0.927

c. =29 ,≈4.332 d. =1 ,≈−2.686

e. =1 ,=32

8.7. 2cos2 k5 i sin2 k

5 ,

avec k = 0, 1, 2, 3, 4

8.8. a. 4 + i, –4 – i b. 2, – 1±i 3c. 1.069 + 0.213i, –0.213 + 1.069i, –1.069 – 0.213i, 0.213 – 1.069i

8.9. a. z1 = 19, z2 = –15 b. z1 = 3+8i, z2 = 3–8ic. z1 = –1, z2 = –1 + 4i d. i ; −i ; 2−i ; −2+i

8.10. z1 = 1 + i, z2 = 2 – i

8.11. a. z3=121

2i , z4=

12

i , z5=−141

4i

c. 22

8.12. x k=cos k3 isin k

3 , avec k = 1, …, 5

8.13. pas de solutions

8.14. a. ix b. –8.358–18.264i

c. ln 22

34

i d. 14 3

8 ln2i

e. πi f. 1.179 – 0.155i

8.15. a. ≈0.135 ,≈2.28 b. ≈1.568 ,≈−0.3

c. ≈1.568 ,≈0.3

8.16. a. (x−2−i)(x−2+i)

b. 2 x – 2x1 i2x1 – i

2 c. 4x2 – 1

2– i2x2 – 1

2 i2

8.17. k = 31

8.18. a. symétrie par rapport à l'axe réel, suivie d'une rotation de 90° autour de 0, d'une homothétie de facteur −2 et enfin d'une translation de 1 + i.

b. 1) L'ensemble de départ est le cercle de rayon 1 centré à l'origine. Son image est le cercle de rayon 2 centré en 1 + i.2) L'ensemble de départ est la bande horizontale comprise entre i/2 et 2i. Son image est une bande verticale comprise entre −3 et 0.

8.19. a. point fixe : z = 4 + 4ib. cercle de rayon 5 centré en (0 ; 7)c. g : rotation de +90° suivie d'une translation de

vecteur 80 .

g(E) : cercle de rayon 5 centré en (1 ; 0)

8.20. a. z1 = −2i, z2 = ib. droite y = −1 sans le point (0 ; −1)c. cercle de rayon 1, centré en (0 ; 1), sans le point (0 ; 0)d. E : cercle de rayon 1 centré à l'originef(1) = −2−i, f(i) = i, f(−1) = 2−i, f(−i) = −3if(E) : cercle de centre (0 ; −1) et de rayon 2


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Algèbre - unebellefacon.files.wordpress.com · RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS 1. Résolution d'équations 1.1. Équations du premier degré Forme générale Solution ax + b = 0 (a, b ∈