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Ali Gannoun
Médiane et Quantiles Conditionnels Médiane et Quantiles Conditionnels multivariés. Application à la Modélisation multivariés. Application à la Modélisation
des Processusdes Processus
Workshop : Des Mathématiques à leurs Applications
18 juin 2008
Paris, 18 juin 2008
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Plan
Introduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés
Médiane (spatiale) conditionnel multivariée
Quantiles conditionnels multivariés
TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels
Mise en oeuvres des estimateurs
Application
Conclusion
Paris, 18 juin 2008
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Plan
Introduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés
Médiane (spatiale) conditionnel multivariée
Quantiles conditionnels multivariés
TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels
Mise en oeuvres des estimateurs
Application
Conclusion
Paris, 18 juin 2008
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Introduction : Médiane et Quantiles Conditionnels
(X,Y) couple de variables aléatoires, (Xi,Yi)i=1,n n observations de (X,Y)
est (la) racine de l’équation
est (la) racine de l’équation
0 1 011 1
1 1( , ) , ( )
n ni i i
n nk ki in n n n n
x X y Y x Xf x y K K g x K
nh h h nh h
( / ) / .F y x P Y y X x Y X x f.r.c. de sachant
( )x
( )n x
1( / )
2F y X x
1( / )
2nF y X x
( / ) ( / )y
n nF y x f t x dt
( , )( / )
( )n
nn
f x yf y x
g x
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Introduction : Médiane et Quantiles Conditionnels
Définition équivalente : solution d’un problème d’optimisation
Propriétés
- Faible sensibilité aux points aberrants
- Point de rupture à 50%
- Invariante par transformation affine
Généralisation aux quantiles conditionnels
( ) arg min ( ) ( ) ( )a R
x E Y a Y X x y a y F dy x
( ) min ( ) /a R
q x Arg E l Y a X x
( ) (2 1) ,l u u u 0,1
Paris, 18 juin 2008
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Introduction : Médiane et Quantiles Conditionnels
Exemple
5 10 15 20
020
40
60
80
100
Age (year)
Weig
ht (k
g)
5 10 15 20
020
40
60
80
100
Age (year)
Overweight
Underweight
Paris, 18 juin 2008
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Plan
Introduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés
Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
Quantiles conditionnels multivariés
TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels
Mise en oeuvres des estimateurs
Application
Conclusion
Paris, 18 juin 2008
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Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
Médiane arithmétique
un vecteur aléatoire,
une suite d’observations de Y1 2
1, 1,( , ,...., )di n i i i i nY Y Y Y
1 2 1( , ,..., ), (1/ 2)i
d iYF
Propriétés :
• non équivariante sous les rotations
• non équivariante sous des transformations affines générales
1 2( , ,...., )dY Y Y Y
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Médiane géométrique ou spatiale
Soit la fonction , dite fonction coût ou de perte, définie sur par
La médiane est définie comme suit
1. Résultat : si le support de Q n’est pas inclus dans une droite et si la
norme utilisée est euclidienne, existe et est unique.
2. Estimation : n-observations de Y, n un estimateur de
tel que
Un estimateur n de est obtenu
Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
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Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
Exemple
nn
== 1.011.01
-0.96-0.96nn = =
1.041.04
-1.02-1.02
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.
Médiane spatiale conditionnelle (X,Y) ,
- Définition : la médiane spatiale conditionelle est définie
- Estimation : n-observations de (X,Y)
un estimateur de Q(.|x) et n de
–
Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
Paris, 18 juin 2008
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Plan
Introduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés
Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
Quantiles conditionnels multivariés
TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels
Mise en oeuvres des estimateurs
Application
Conclusion
Paris, 18 juin 2008
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Quantiles conditionnels multivariés
Quantiles spatiaux
- Définition :
- Estimation :
1 2 1 1 2 2
,2 2, ,..., (2 1) , (2 1) ,..., (2 1)d d dY Y Y Y Y Y Y Y Y
2,2,( ) ( ) ( )a y a y Q dy
arg min ( )
da R
a
, ,arg min ( )d
n na R
a
, 2, 2, 2,2,1
1( ) ( ) ( ) ( )
n
n n ii
a y a y Q dy Y a yn
0,1 , dY R
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Quantiles conditionnels multivariés
Quantile spatiaux conditionnels
- Définition :
- Estimation :
( ) arg min ( , )da R
x a x
, 2,2,( , ) ( ) ( )n nx a y a y Q dy x
, ,( ) arg min ( , )d
n na R
x a x
2,2,( , ) ( ) ( )x a y a y Q dy x
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Plan
Introduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés
Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
Quantiles conditionnels multivariés
TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels
Mise en oeuvres des estimateurs
Application
Conclusion
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TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels
n ( resp. n (.)) est équivariante sous les transformations orthogonales mais non équivariante sous les transformations affines
Conséquence (Chakraborty, Chaudhuri, Gosh):
• Modélisation non efficaceModélisation non efficace
covariables corréléescovariables exprimées dans des échelles différentes
• Prédiction non efficacePrédiction non efficace
Comment combler cette défaillance?
!!
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TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels
Cas de la médiane spatiale1. Etape 1 : Transformation des données (n> d+1
et
- on définit la matrice
Y(t) inversible si les Yi sont iid ayant une distribution absolument continue.
- on note
- on calcule la médiane spatiale des Zi(t) telle que
Etape 2 : Retransformation de l’estimateur
{1,2,..., } ( ) 1nS I n card I d
)(Tn
1 0 2 0 0( ) , ,...,
di i i i i iY T Y Y Y Y Y Y
( ) 1( ) , 1,...,Ti iZ Y T Y i n
)(minarg )()()( Tj
Tj
Tj
Ra
Tn ZaZ
d
0 1{ , ,..., }dT i i i
)(),( )( Tn
RTn TY
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TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels
Cas de la médiane spatiale conditionnelle
1. La procédure Tansformation :
2. La procédure de Retransformation
Généralisation aux quantiles spatiaux conditionnels
1. La procédure de Transformation
2. La procédure de Retransformation
n
j
Tj
Tj
Tj
Ra
Tn h
XxKZaZx
d ,2,2
)(, minarg)(
)()()( )(),( xTYx Tn
RTn
n
j
Tj
Tj
Tj
Ra
Tn h
XxKZaZx
d ,2,2
)(, minarg)(
)()()( )(,
),(, xTYx T
nRTn
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Plan
Introduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés
Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
Quantiles conditionnels multivariés
TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels
Mise en oeuvres des estimateurs
Application
Conclusion
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Mise en oeuvres des estimateurs
Paramètres à choisir• le noyeau K
• la fenêtre hn
• la matice de transformation Y(T) Méthodes
• Noyau :
• Choix optimal (mais couteux) pour hn et Y(T)
• Choix effectif : Validation croisée
(on se fixe l’un des paramètres et on choisit l’autre)
)(...)()()( 21 kxKxKxKxK
Tj
iTni
hSTn hXYhT
n
),(minarg),( )(,
0,
^^
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Plan
Introduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés
Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
Quantiles conditionnels multivariés
TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels
Mise en oeuvres des estimateurs
Application
Conclusion
Paris, 18 juin 2008
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Ajustement de la pression artérielle (diastolique et systolique) en fonction de l’âge et du poids d’une population of afro-americainen ( Maywood, Illinois). n=720, d=2, âge [11,85], poids[30,170]
Application
Sys
toli
c b
loo
d p
ress
ure
DBPDBP
SBPSBP
Blo
od
pre
ssu
re
DBPDBP
SBPSBP
Blo
od
pre
ssu
reWeight
n
n̂̂
^̂
n̂̂
n̂̂
Diastolic blood pressure Age
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Age (années)
TR- estimation
Poids (kg)
TR- estimation
10 (106.98,63.26) 40 (105.43,64.31)
20 (108.15,64.45) 60 (109.78,66.06)
30 (110.56,67.95) 80 (115.09,70.07)
40 (114.19,70.63) 100 (118.18,71.67)
50 (119.60,72.49) 120 (118.94,69.62)
60 (127.41,75.69) 140 (123.51,71.36)
70 (133.68,74.99) 160 (125.18,75.58)
80 (140.71,75.00)
* TR/TR CSM/TR CW/TR
1.000 1.214 1.246
Comparaison de 3 méthodes d’estimation de la médiane spatialeComparaison de 3 méthodes d’estimation de la médiane spatiale
Application
* Critère: erreur quadratique* Critère: erreur quadratique
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Plan
Introduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés
Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée
Quantiles conditionnels multivariés
TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels
Mise en oeuvres des estimateurs
Application
Conclusion
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Conclusion Méthodes
– robustes
– invariantes
– Bien adaptées à la modélisation et à la prédiction
– Belles propriétés mathématiques
Références– Duffet, C., Gannoun, A., Guinot, C., Saracco, J. (2005). An affine equivariant estimator of
conditional spatial median, Preprint.
– Gannoun A., Saracco J., Yuan A., Bonney G. E. (2003). On adaptive transformation-retransformation estimate of conditional spatial median, Communications in Statistics Theory and methods, 32, 1981-2011.
– Berlinet A., Cadre B., Gannoun A., (2001). On the conditional L1-median and its estimation, Journal of Nonparametric Statistics, 13, 631-645
– Chakraborty, B., Chaudhuri, P. (1999). A note on the robustness of multivariate medians, Statistics and Probability letters, 45, 269-276.