ALINÉA Algèbre Linéaire Appliquée pour les nuls …icube-bfo.unistra.fr/fr/img_auth.php/8/83/Alinea.pdf · Pierre Collet : Algèbre Linéaire Appliquée 3 Notion de Corps (nécessaire

Valérie1 et Pierre2 Collet 1 Professeur agrégé de Mathématiques 2 Professeur des Universités

Laboratoire des Sciences de l’Image, de l’Informatique et de la Télédétection Chef de l'Equipe Fouille de Données et Bioinformatique Théorique

ALINÉA Algèbre Linéaire Appliquée pour les

nuls informaticiens

L2S4 Informatique

Pierre Collet : Algèbre Linéaire Appliquée 2

Plan du cours

  Rappel sur les espaces vectoriels et les matrices   Matrices en informatique   Comatrices, déterminants, systèmes linéaires   Polynôme caractéristique, valeurs propres, ss-espace

propre   Diagonalisation   Matrices de covariance ?   ...


Notion de Corps (nécessaire pour un e.v.)

  Un corps commutatif est un ensemble avec 2 lois internes (appelées addition et multiplication).

  L'addition est associative, commutative, a un élément neutre, et tout élement doit avoir un symétrique.

  La multiplication doit aussi être associative, commutative (car c'est un corps commutatif), avec un élément neutre, et tout élément doit avoir un symétrique (sauf 0, car 1/0 n'est pas défini).

  La multiplication doit être distributive par rapport à l'addition.

  Exemples de corps : Q, R ou C,...   N est-il un corps ?

N n'est pas un corps car un entier n'a pas d'inverse.


Rappel sur les Espaces Vectoriels

  Un Espace Vectoriel (e.v.) est un ensemble avec 2 lois :   1 loi interne   1 loi externe faisant intervenir un élément d'un corps

commutatif « à nombres » appelé « scalaire ».   Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel.


Loi interne (notée +)

(la loi est « interne » car un vecteur de l'e.v. + un autre vecteur de l'e.v. donne un vecteur de l'e.v.)

La loi interne d'un e.v. doit être :

  Associative : (v+u)+w = v+(u+w)

  Commutative : v+u = u+v

  Elt neutre (noté 0 du fait que la loi est notée +).

  Tout elt a un symétrique (ici appelé « opposé » du fait que la loi est « + »).


Loi externe (notée *)

(la loi est externe, car elle fait intervenir un élement extérieur à l'e.v. (appelé scalaire) qui doit appartenir à un corps contenant des nombres (cf. 1er transparent)).

  Loi externe : scalaire * vecteur donne vecteur.   Le scalaire doit être un réel, un rationnel ou un

complexe, car le scalaire doit être dans un corps qui contient des nombres.

  La loi externe doit :   posséder un élement neutre (noté 1 du fait que la

loi est notée *),   être associative,   être distributive par rapport à la loi interne +.


Exercice

  Notation : on dit qu'un vectoriel est « sur X » si X est le corps auquel appartient le scalaire nécessaire à la loi externe. On note un vectoriel « sur X » un X-e.v.

  Les vectoriels R, Q et C sont-ils des vectoriels sur R, sur Q ou sur C ?

  Exemple : R est -il un R-e.v. ? (les vecteurs sont des réels, et on prend les scalaires sur R).

  R est-il un C-e.v. ?   Remplissez le tableau suivant :

C R Q

C est-il un

R est-il un

Q est-il un


Exemples d'e.v. de base (autres que C R Q)

  Ensemble des suites (qu'on n'utilisera pas).   Ensemble des fonctions F(R,R) est-il un R-e.v. ?   Ensemble des matrices (donc une matrice est un

vecteur ! car l'ensemble des matrices est un espace vectoriel, et on appelle vecteur tout élément d'un espace vectoriel).

  Ensemble des n-uplets (Rn).   Ensemble des polynômes.   ...


Espace et sous-espace vectoriel

  Un s.e.v. est un e.v. inclus dans un autre e.v.   Un s.e.v. doit être « stable » pour les deux lois :

Ex : Dans R3, une droite (passant par 0) est un s.e.v. :   Un vecteur de cette droite est un vecteur directeur de la

droite.   Un s.e.v. est « stable » par les deux lois : la somme de

2 vecteurs directeurs est un vecteur directeur, et la multiplication d'un vecteur directeur par un scalaire est un vecteur directeur.


Rappel sur les matrices

  Tableau de nombres, décomposé en lignes et colonnes   Les matheux notent les matrices par une majuscule A,

dont les coefficients sont notés avec des minuscules (ai,j, avec i ligne, j colonne).

  Une matrice carrée a autant de lignes que de colonnes, donc il suffit de donner un seul des 2 nombres : matrice de taille 3 = matrice carrée 3x3

  Une matrice diagonale a des 0 partout sauf sur sa diagonale

  Attention : dans une matrice de mathématicien, il n'y a qu'une seule diagonale !!!


Rappel sur les matrices (2)‏

  Une matrice triangulaire a des 0 partout dans un des triangles de la matrice (diagonale non incluse). On parle de matrice triangulaire inférieure ou supérieure.

  La matrice nulle est une matrice ne contenant que des 0 (c'est l'élement neutre pour l'addition).

  La transposée d'une matrice est une autre matrice dont les lignes sont les colonnes de la matrice d'origine, et les colonnes sont les lignes de la matrice d'origine.

A = 1 2 3 4 5 6

TA = 1 4 2 5 3 6


Rappel sur les matrices (3)

  Attention : pour les matrices, le mot « symétrique » a deux sens :   Le symétrique d'une matrice est la matrice inverse de

cette matrice (au sens où la matrice multipliée par son inverse = la matrice identité). On verra ça plus tard.

  On parle aussi de matrice symétrique, lorsque les coefficients sont identiques de part et d'autre de la diagonale.

  On parle aussi de matrice antisymétrique, lorsque les coefficients de part et d'autre de la diagonale sont opposés. Une conséquence est que tous les coefficients de la diagonale d'une matrice antisymétrique sont ... nuls.


Somme de deux matrices

  La somme C de deux matrices A et B est une troisième matrice dont les coefficients sont la somme des coefficients des matrices A et B.

  ci,j = ai,j + bi,j   Conséquence : la somme de 2 matrices n'est définie

que si les deux matrices sont de même dimensions (même nombre de lignes et de colonnes).

  Calculer la somme de :

A = 1 2 3 4 5 6 B = 1 3 5

2 4 6 et


Multiplication d'une matrice par un réel

  Le réel multiplie chaque coefficient de la matrice.

1 2 7 3 4 8 5 6 9

2x =


Multiplication de 2 matrices

  Chaque coefficient de la matrice produit est la somme sur k des ai,k bk,j (avec k, numéro de la colonne de la première matrice).

  Il faut donc que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la seconde.

  Il existe une disposition permettant de multiplier facilement des matrices (et même d'enchaîner les multiplications) :

1 2 3 4 5 6

1 2 7 3 4 8 5 6 9

2 3 4


Matrice identité et matrice inverse

  La matrice identité est l'élément neutre de la multiplication entre deux matrices. Il s'agit d'une matrice diagonale dont les coefficients valent tous 1 :

  La matrice inverse A-1 est celle qui, multipliée par A, donne la matrice identité. Pour que A ait un inverse, A doit être carrée.

1 0 0 0 1 0 0 0 1


Exercices

  Soient A = , B = , C =

  Calculer :   BA + CA et (B + C)A   T(B + A) et TB + TA   T(BA), TBTA et TATB   A2 – B2, (A - B) (A + B) et (A + B) (A – B)‏   (B – I3) (B – 2I3) (B – 3I3) (1, 2, 3 sont valeurs

propres).   Le produit AB et BA pour A= 1 1 1 et B =

-1 4 5 4 1 3 5 3 2

1 0 0 -3 2 0 -1 2 3

1 -1 2 2 1 -1 -1 2 1

1 1 1


Implémentation informatique

  Implémentation d'une matrice en mémoire (différence C et Fortran).

  Ecrire un programme effectuant :   La somme de 2 matrices   La transposée d'une matrice   La multiplication de deux matrices   La multiplication de deux matrices est-elle

parallélisable ? http://carbon.cudenver.edu/csprojects/CSC5809S01/Simd/parmult.html


Multiplication SIMD de 2 matrices

On souhaite multiplier :

A = et B =

Que valent x, y, z ? :

x = –1 x 1 + 4 x –3 + 5 x – 1 x y z sont calculables y = –1 x 0 + 4 x 2 + 5 x 2 en parallèle (pas de z = –1 x 0 + 4 x 0 + 5 x 3 dépendances)

-1 4 5 4 1 3 5 3 2

1 0 0 -3 2 0 -1 2 3

-1 4 5 4 1 3 5 3 2

x y z 0 0 0 0 0 0


Algorithme parallèle pour C = AxB   Si l'on dispose de j ALUs capables d'effectuer une opération identique

sur des valeurs différentes (processeur parallèle SIMD)‏   Pour i:= 0 jusqu'à n-1 // calcul de la iè ligne de C C[i,j] := 0; // en parallèle sur j processeurs (0<=j<=n-1)‏ pour k:= 0 jusqu'à n-1 C[i,j]:= C[i,j] + A[i,k] * B[k,j]; // en parallèle sur j processeurs


Bases

  Une combinaison linéaire est une somme de vecteurs ei multipliés par des scalaires λi : Σλiei.

  Un ensemble de vecteurs (appelé « famille ») est dit libre s'il est impossible d'exprimer un des vecteurs de la famille en fonction de l'autre. Dans le cas contraire, la famille est dite « liée ».

  Une famille engendre un ev si tout vecteur de l'ev peut s'écrire comme une combinaison linéaire de cette famille. Cette famille est dite « génératrice » de l'ev.

  Si v = Σλiei, les scalaires λi sont appelés les coordonnées de v dans la base (e1, e2, ...).

  Une Base d'un ev est une famille libre et génératrice de cet ev.


Exemples de bases

  Le vecteur directeur d'une droite est la base de cette droite.   Deux vecteurs non colinéaires d'un plan forment une base de

ce plan.   Trois vecteurs non colinéaires d'un plan forment une famille

génératrice du plan (mais pas une base car ils ne sont pas libres).

  Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace (souvent notée i, j, k).

  Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre de R3.   Quatre vecteurs de R3 sont forcément liés.


Dimension d'un ev

  Dans un ev, toutes les bases ont le même nombre de vecteurs, qui s'appelle la dimension de l'ev.

  L'espace Rn est de dimension n.   Certains espaces sont de dimension infinie, comme les

espaces de fonctions (toute fonction n'est pas exprimable comme une somme finie d'autres fonctions). Toute fonction pourra éventuellement être définie comme une somme infinie d'exponentielles.


Base canonique

  Dans les ev « génériques » de dimension finie, on défnit la base canonique (implicite) dont les vecteurs sont notés ei.

  Pour chaque vecteur ei, une seule coordonnée n'est pas nulle et vaut 1. Le i représente la position du 1 dans les coordonnées du vecteur.

  Les vecteurs e1, e2, e3 de la base canonique de R3. valent respectivement (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1).

  Lorsqu'on ne précise pas la base, on utilise la base canonique.


Polynômes

  Quelle est le degré de ax2+bx+c (avec a non nul) ?   Quelle est la base de l'ev des polynômes de degré ≤ 2

(de degré 2, de degré 1, de degré 0 et 0)* ?   Quelle est la dimension de l'ev des polynômes de

degré ≤ n ?   L'ensemble des polynômes de degré 2 est-il un ev ?

  ax2+bx+c est un polynôme de degré 2. Quelles sont ses coordonnées dans la base canonique de l'ev des polynômes de degré <=2 ?

*(attention : par convention, pour certaines démonstrations, les polynômes constants sont de degré 0, et le polynôme nul est de degré -∞).

(x2,x,1)

n+1

Non, car 0 n'est pas dedans, ou (x2+x) + (-x2)


Matrices

  Quelle est la dimension de l'ensemble des matrices 2x3 ?   Quelle est la base canonique de l'ensemble des matrices 2x3 ?

(pour simplifier, on parlera de vecteur Ei,j pour la matrice où le 1 est sur la ième ligne et jème colonne)‏

  Quelle est la dimension de l'ensemble des matrices diagonales de taille 5 ?

  Quelle est la dimension de l'ensemble des matrices triangulaires de taille 5 ?


Matrices antisymétriques de taille 3

  Elles forment un sev des matrices 3x3.   Quelle est la dimension de cet espace ?   Quelle est la base de l'ev des matrices antisymétriques de taille 3

Quelles sont les coordonnées de cette première matrice dans la base canonique des matrices 3x3 ?

0 1 0 -1 0 0 0 0 0

...

0 1 0 -1 0 0 0 0 0

= 0 E11 + 1 E12 + 0 E13 - 1 E21 + 0 E22 + ...


Déterminant d'une matrice carrée   Le déterminant de la matrice vaut ad - bc.

  Le déterminant de la matrice vaut ?

a b c d

a b c d e f g h i aei + dhc + gbf – gec – ahf – dbi

e f h i

d f g i

d e g h a – b + c

à noter que cela vaut : a (ei – hf) – b (di – gf) + c (dh – ge), c.-à-d. :

On « développe » par rapport à la première ligne. Ca marche aussi pour la 2è ligne et la 3è ligne, (mais aussi pour

chaque colonne) sauf qu'à chaque fois, le signe change. Le signe par lequel il faut multiplier vaut (-1)i+j


Exemple

  Calculer en développant par rapport à

la 2è ligne (ne pas oublier de x par -1)

3 4 -2 2 3 1 1 2 3

= -2(12+4)+3(9+2)-1(6-4)


Calcul de déterminants

  Calculer ,

  Calculer ,

  Calculer ,

1 2 3 0 0 0 4 5 6

1 2 0 0 1 6 2 4 2

= 2

0 1 6 1 2 0 2 4 2

0 1 2 1 2 4 6 0 2

0 1 6 1 2 0 2 614 l3+2l1

0 1 2 3 612 6 0 2

3l2


Quelques propriétés des déterminants

1)  Si une ligne (ou une colonne) ne contient que des zéros, le déterminant est nul.

2)  Si l’on permute 2 lignes (ou 2 colonnes), on multiplie le déterminant par – 1.

3)  La matrice et sa transposée ont le même déterminant (donc tout ce qui est valable sur les lignes est valable sur les colonnes).

4)  A une ligne, on peut ajouter une combinaison linéaire des autres lignes sans changer le déterminant.

5)  Si l’on multiplie une ligne par un réel, on multiplie le déterminant par ce réel (et si l’on multiplie la matrice par un réel, on multiplie le déterminant par le réel^taille de la matrice)


Calcul de déterminants à la mode matheuse

  Plus tard, on aura besoin d'avoir le résultat d'un déterminant sous forme d'un produit de facteurs (pour trouver les solutions d'une équation).

  Pour simplifier, les matheux font apparaître des zéros par la méthode du Pivot de Gauss (4è propriété précédente).

  Le but est de faire apparaître le maximum de zéros sur une ligne, puis de développer par rapport à cette ligne.

  L'intérêt de tout ceci est de se ramener à un déterminant 2x2

1 1 -2 -1 3 4 -1 1 8

= 20

1 1 -2 0 4 2 0 2 6

= l2+l1

l3+l1

On peut maintenant développer par rapport à la 1è colonne


Déterminants 4x4 et nxn

a b c d e f g h i j k l m n o p

= a f g h j k l n o p

– b e g h i k l m o p

+ ...

Ecrivez un algorithme calculant un déterminant nxn


Matrices de passage

  Changement de base :   Soit un e.v. de dimension finie avec 2 bases (base

canonique + autre base).   On cherche la représentation d'un vecteur de la

première base dans la deuxième base.   Ex dans R3 : la base canonique (e1, e2, e3) et la base f1=

(-1, 0, 1), f2=(2, -1, 2), f3=(1, -1, 1)   On écrira la matrice de passage (de la base canonique

vers la base f ) en colonne : f1 f2 f3 -1 2 1 0 -1 -1 1 2 1

P(e1, e2, e3)→(f1, f2, f3) =

X(1,2,-1), bases e (canonique) et f (f1,f2,f3)

f1 f2 f3!

-1 2 1! 0 -1 -1! 1 2 1!

X (1,2,-1)

e1 e2 e3!

1 0 0! 0 1 0! 0 0 1!

Quelles sont les coordonnées de X dans la base f ?


Utilisation de la matrice de passage

  Soit un vecteur de coordonnées (x1, x2, x3). Ses coordonnées dans la base B ' seront (x'1, x'2, x'3).

  Attention : la matrice de passage fonctionne... « à l'envers ». On aura :

X = P X' ou encore : (x1, x2, x3) = P (x'1, x'2, x'3)   Le problème, c'est qu'on veut X' en fonction de X, et

pas X en fonction de X'. Il nous faut donc l'inverse de la matrice pour écrire :

X' = P-1 X


Calcul de l'inverse d'une matrice

  L'inverse d'une matrice est (tA*) / det(A).   On commence par calculer le déterminant (s'il est nul,

c'est fini !)   A* est la matrice des cofacteurs (comatrice). C'est une

matrice dont les coefficients sont (-1)i+jDij où Dij est le déterminant de la matrice dont on a supprimé les lignes i et j.

-1 2 1 0 -1 -1 1 2 1

1 -1 1 0 -2 4 -1 -1 1

=

*

Le déterminant vaut -2

1 0 -1 -1 -2 -1 1 4 1

Transp: -1/2 0 1/2 1/2 1 1/2 -1/2 -2 -1/2

Inverse :


Exemple d'utilisation de la matrice de passage

  Soit un vecteur X ayant pour coordonnées (x,y,z) dans la base canonique.

  Quelles sont ses coordonnées dans la base f1=(-1,0,1), f2=(2, -1, 2), f3=(1, -1, 1) ?

-1/2 0 1/2 1/2 1 1/2 -1/2 -2 -1/2

X'= x y z


Ecrire une fonction inversant une matrice


Passage de B à B' et de B' à B

  A noter que si, pour calculer X' sachant X = P X', on a inversé l'équation en X' = P-1 X, cela signifie que si P permet de passer de B à B', alors, P-1 permet de passer de B' à B.


Application linéaire

  Une application K-linéaire est une application d'un K-e.v. E dans un autre F qui « transmet » les deux lois :

  ∀ x,y ∈E, f(x +E y) = f(x) +F f(y) (l'image de la somme est la somme des images).

  ∀ x,y ∈E, f (λ*Ex) = λ*Ff(x) (l'image du produit par un scalaire est le produit de l'image).

  f de R4 dans R3 tq f(x1,x2,x3,x4) = (2x1-5x3, 3x2,4x3-5x4) est-elle une application linéaire ?

  g, de R dans R tq g(x) = x+1 est-elle une application linéaire ?   h, de R dans R tq h(x) = x2 est-elle une application linéaire ?


Rappel surjection injection bijection

Application : surjective injective

Bijective Seule une application bijective peut mettre

en relation deux ensembles isomorphes


Isomorphismes

  Application linéaire bijective, impliquant que les e.v. de départ et d'arrivée ont la même structure.

  Pour information, il existe un isomorphisme entre tout espace vectoriel de dimension n et Rn, donc on peut toujours travailler sur Rn.

  L'isomorphisme est la transformation (de représentation) qui permet de passer d'un espace à un autre.

  Ex : R4 est isomorphe à l'e.v. des matrices 2x2 de réels.


Représentation matricielle d'applications linéaires

  Soit une application linéaire entre 2 e.v. de dimension finie (ex. de Rn dans Rp). Grâce à la notion d'isomorphisme, on peut représenter cette application linéaire par une matrice dont les colonnes sont les images des vecteurs de la base de l'e.v. de départ.

  Ex : f de R4 dans R3 tq f(x1,x2,x3,x4) = (2x1-5x3, 3x2,4x3-5x4)‏   Représentation matricielle. f(e1) = (2,0,0), f(e2) = (0,3,0), f

(e3) = (-5,0,4), f(e4) = (0,0,-5), ce qui donne la matrice :

2 0 -5 0 0 3 0 0 0 0 4 -5

f(x1,x2,x3,x4) =

x1 x2 x3 x4

isomorphisme


Matrices et applications linéaires

  A noter que toute matrice représente une application linéaire.   La matrice précédente a 4 colonnes, donc l'espace de départ

peut être n'importe quel e.v. de dimension 4 (car ils sont isomorphes), donc par ex, l'e.v. des polynômes de degré <=3.

  La matrice a 3 lignes, donc l'e.v. d'arrivée est de dimension 3, donc par exemple, prenons, l'e.v. R3 (mais on pourrait prendre ce qu'on veut).

  u(a0+a1x+a2x2+a3x3) = ? 2 0 -5 0 0 3 0 0 0 0 4 -5

a0 a1 a2 a3

= (2*a0-5*a2, 3*a1, 4*a2-5*a3)‏


Matrices de rotation

  Rotation de Pi/2 autour de l'axe des Z.   r(e1) = ? r(e2) = ? r(e3) = ?   La matrice est donc :

  Quelle est l'image du vecteur (1,2,3) par cette matrice ?

A noter que le déterminant d'une matrice de rotation vaut 1.

0 -1 0 1 0 0 0 0 1

0 -1 0 1 0 0 0 0 1

1 2 3

= -2 1 3

r(e1) = (0,1,0) r(e2) = (-1,0,0) r(e3) = (0,0,1)


Avec un autre angle...

  Rotation de θ autour de l'axe des Z.   r(e1) = , r(e2) = r(e3) =   Quelle est la matrice ?

  Quelle est l'image du vecteur (1,2,3) par cette matrice ?

cos θ -sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1

1 2 3

= ... ... ...

cos θ -sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1

(cos θ, sin θ, 0) (-sin θ, cos θ,0), (0, 0, 1)


Composition de matrices

  Soit u,v 2 applications linéaires ayant pour matrices respectives U et V,

  uov a pour matrice UxV.   On peut donc faire des rotations autour de plusieurs

axes en composant des rotations autour d'un seul axe.


Changement de base pour une a.l.

  Soit une application linéaire u entre 2 e.v. E et F ayant chacun 2 bases : D et D' dans l'espace de départ E et A et A' dans l'espace d'arrivée F (D et A sont canoniques).

  Si la matrice U entre les 2 bases canoniques D et A des 2 espaces est notée M(u,D,A), quelle sera cette matrice expression si on change la base d'arrivée, M(u,D,A') ? Rappel : X' = P-1 X

  Si l'on note PA→A' la mat de passage de A à A', et PA'→A la matrice de passage de A' à A, alors, on peut écrire :

X' = P-1A→A'

X, mais aussi X' = PA'→A X car on a vu

précédemment que PA'→A est la matrice inverse de PA→A'


M(u,D,A) → M(u,D,A’)

  Soit X l'image du vecteur (x1,x2,x3,x4) par u. Dans les bases canoniques D et A de E et F, on note U: M(u,D,A).

Or, X'=M(u,D,A') donc tout comme on avait X'=P-1X,

on a : M(u,D,A') = P-1A→A'M(u,D,A) = PA'→AM(u,D,A)‏

x1 x2 x3 x4

X= U X' = P-1A→A' U = PA'→AM(u,D,A)

x1 x2 x3 x4

x1 x2 x3 x4

x1 x2 x3 x4


M(u,D,A) → M(u,D',A), M(u,D,A)→ M(u,D',A')‏

  De même : M(u,D',A) = M(u,D,A) PD→D'

  et lorsqu'on change les 2 bases en même temps : M(u,D',A') = PA'→Α M(u,D,A) PD→D'

  Cas particulier : lorsque la matrice est carrée, et que les e.v. de départ et d'arrivée sont identiques, alors, les bases canoniques sont les mêmes (D = A) et les nouvelles bases sont les mêmes (D' = A').

  La formule devient : M(u,D',D') = P-1 M(u,D,D) P ou : M' = P-1 M P (à retenir pour la diagonalisation des matrices)‏


Pivot de Gauss

  Soit un système de n équations à n inconnues dont on veut trouver les solutions :

  Si le système n'est pas triangulaire, le « trigonaliser »:

x +y+z = 1 3y+z = 2 2z = 8

x+2y+z = 2 2x+y+z = -1 x-3y+2z = -1


Cas particuliers

  1 ligne disparaît (les autres variables s'expriment en fonction de z).

  0z = 4 : il n'y a pas de solutions.

x - y+2z = 1 2x-3y+ z = 4 x -3y- 4z = 5

2x - y+3z = 1 x +y - z = 2 x -2y+4z = 1


Programmer un Pivot de Gauss


Inversion de matrice (le retour)

  Si l'on considère la matrice comme une matrice de passage, alors, la première colonne contient les coor- données du nouveau vecteur.

  On a donc e'1 = -3e1 +2e2 + e3, e'2 = e1 + 0e2 + 2e3 et e'3 = 0 e1 + e2 – e3.

  Si l'on écrit e1 e2 e3 en fonction de e'1 e'2 e'3 (ce que permet de faire le pivot de Gauss) alors, on a inversé la matrice !

  La matrice inverse vaut alors :

-3 1 0 2 0 1 1 2 -1

e'1 e'2 e'3

?

e1 e2 e3


Inversion de matrice par pivot de Gauss


Notion de valeurs propres

  Soit (e1, e2, e3) la base canonique de R3.   Soit la projection orthogonale sur le plan (e1, e2).   La matrice de cette projection est :

  Une valeur propre représente un facteur multiplicatif le long d'un vecteur appelé vecteur propre.

  Ici, A va multiplier x par 1, y par 1 et z par 0.

  Les valeurs propres 1 donnent une isométrie sur le plan (e1, e2).   La valeur propre 0 donne une projection le long de la droite

engendrée par (e3)

1 0 0 0 1 0 0 0 0

A =

x y z


Valeurs propres d'autres transformations

  Soit une matrice de transformation (rotation, symétrie, homothétie, projection...). On peut détecter si, dans la transformation, il y a symétrie ou homothétie par rapport à un point ou un axe en déterminant les valeurs propres λ.

  Une valeur propre de 2 représente un grossissement x2. Une valeur propre de -1/2 représente une symétrie avec homothétie d'un facteur 1/2.


Détermination d'une valeur propre

  On dit que λ est valeur propre si on peut trouver des vecteurs tels que :

  Si les vecteurs sont invariants, la valeur propre est 1.   Si les vecteurs se transforment en leur opposé

(symétrie), on a une valeur propre de -1.

x y z

A x y z

= λ


Exemple   Trouver les valeurs propres de :

  Pour cela, il faut trouver toutes les valeurs de λ pour lesquelles AX = λX . Cela revient à chercher λ tq (A–λI ) X = 0.

  Pour que ce système possède plusieurs solutions (une pour X=0 et une non nulle), il faut que son déterminant soit nul (qu'1 ou plusieurs vecteurs soient liés).

  det(A–λI)=0 est appelée l'équation caractéristique de A. C'est le polynôme caractéristique de A dont les racines sont les valeurs propres de A.

1 -2 -2 -2 1 -2 -2 -2 1

A = 1/3

1/3–λ –2/3 –2/3 –2/3 1/3–λ –2/3 –2/3 –2/3 1/3–λ

P(λ) =

Si on fait c3=c3-c2, puis l2=l2+l3, on a :

1/3–λ –2/3 –4/3 –1/3–λ

1/3–λ –2/3 0 –4/3 –1/3–λ 0 –2/3 –2/3 1–λ

= (1–λ)

= (1–λ)(λ2–1) = (1–λ)(λ–1)(λ+1)


Résultat...

  On a : (1–λ)(λ–1)(λ+1)   -1 est valeur propre : on a donc une symétrie.   1 est valeur propre d'ordre 2 (double) : on a donc peut-

être un plan invariant.   Pour en trouver l'équation, résoudre AX=λX pour 1 et -1:

1/3 x – 2/3 y –2/3 z = x –2/3 x + 1/3 y –2/3 z = y –2/3 x – 2/3 y + 1/3 z = z

Pour λ=1, on trouve, le plan ayant pour équation : x+y+z=0 Pour λ= -1, on trouve la droite le long de laquelle on a la

symétrie.


Exercice

  Quelle transformation effectue la matrice :

2 -1 2 2 2 -1 -1 2 2

A = 1/3

Rotation autour de (1,1,1), mais de quel angle ? Prendre un vecteur orthogonal à l'axe de rotation (dont le produit scalaire avec l'axe est nul car ||u||*||v||*cos(u,v)) Vecteur suggéré : (1,-1,0) Quelle en est l'image par A ?

(1,0,-1) ? u.v = ||u||*||v||*cos(u,v). Quelle est la valeur de cos(u,v) ? 1/2

Angle de rotation : Pi/3 ? Dernière chose : sens de la rotation ! On le connaît grâce au signe du déterminant.

Détermination des valeurs propres

2/3–λ –1/3 2/3 2/3 2/3–λ –1/3 –1/3 2/3 2/3–λ

–λ –1+λ 1 2/3 2/3–λ –1/3 –1/3 2/3 2/3–λ

l1-l2

–λ –1 1 2/3 4/3–λ –1/3 –1/3 1/3 2/3–λ

c2+c1

–λ 0 1 2/3 1–λ –1/3 –1/3 1–λ 2/3–λ

c2+c3

–λ 0 1 1 0 –1+λ –1/3 1–λ 2/3–λ

l2-l3 –(1–λ) –λ 1

1 –1+λ

(λ–1) (λ–λ2–1)

Vp=1 donc un axe, mais Δ<0 donc pas d’autre vp.


Diagonalisation d'une matrice

  Diagonaliser une matrice, c'est trouver une matrice inversible P tq (P-1A P) soit diagonale.

  Ex : Soit A la matrice de u de R3 → R3:   (x,y,z) → (2x+2y, x+2y+z, 2y+2z).   La matrice diagonale (P-1A P) sera toujours la matrice

de u, mais dans une autre base.   Dans cette base, u aura pour matrice :

où λ1, λ2, λ3 sont les valeurs propres.   Le premier vecteur de la nouvelle base vérifiera :

u(f1) = λ1f1 : c'est donc un vecteur propre associé à λ1.

2 2 0 1 2 1 0 2 2

λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3


Diagonalisation : 2 étapes

  Pour diagonaliser une matrice, il faut donc :   Trouver les valeurs propres, qui seront les valeurs de la

matrice diagonale.   Trouver les vecteurs propres dont les coordonnées

seront les coefficients des colonnes de P.  Attention : toutes les matrices ne sont pas

diagonalisables.  Toute matrice symétrique est diagonalisable (mais

l'inverse n'est pas vrai).

Revenons à l'exemple

  Matrice A = Quelles en sont les vp ?

  L'équation caractéristique est det(A–λI)=0.

2 2 0 1 2 1 0 2 2

Valeurs propres de A


2–λ 2 0 1 2–λ 1 0 2 2–λ

2–λ 2 0 0 2–λ 1 λ–2 2 2–λ

c1=c1-c3 :

2–λ 2 0 0 2–λ 1 0 4 2–λ

l3=l3+l1 : = (2–λ) 2–λ 1 4 2–λ = (2–λ)((2–λ)2–4)

= (2–λ)(λ2–4λ) = (2–λ) λ (λ–4) donc 3 vp : 0, 2, 4, qui seront la diagonale de la matrice de u dans la base de vp à déterminer.


Détermination des vecteurs propres   Il faut choisir une matrice diagonale, qui déterminera l'ordre des

vecteurs propres de la base :

  Supposons qu'on prenne la 2è.   Pour la 1è vp (2) on aura :

4 0 0 0 2 0 0 0 0

0 0 0 0 2 0 0 0 4

2 0 0 0 0 0 0 0 4

ou ou ou ...

x y z

A x y z

= λ

2x + 2y = 2x x + 2y + z = 2y 2y + 2z = 2z

2y = 0 x + z = 0 2y = 0

C'est normal qu'on ait une infinité de solutions car il y a une infinité de vecteurs le long de l'axe.

Ce qui donne y = 0 et z = – x


Notion de sous-espace propre

  Tous les vecteurs de la forme (x, 0, -x) sont associés à la vp 2. L'ensemble de ces vecteurs est appelé le sous-espace propre associé à 2, noté Eλ=2 ou E2.

  On choisira un vecteur de cet espace pour fabriquer f1   Quels sont les vecteurs propres pour 0 et 4 ?

1 0 -1

Pour 0, on trouve z = – y et x = – y, donc on pourra prendre f2

-1 1 -1

Pour 4, on pourra prendre f3 1 1 1


Résultat de la diagonalisation

  Soit A la matrice de u de R3 → R3:

  (P-1A P) vaudra :

  Avec P =

2 2 0 1 2 1 0 2 2

2 0 0 0 0 0 0 0 4

1 -1 1 0 1 1 -1 -1 1


Autre exercices

  A = P = (P-1A P) =

  Moins simple : A =

  Le polynôme caractéristique est (4 – λ) λ (λ – 4)   Pour 0, pas de pb (on trouve (1, 1, –2)), mais 4 est vp double. Il

faudra donc trouver 2 vecteurs propres. L'équation trouvée pour 4 est z = x + y ce qui est bien l'équation d'un plan.

  E4 = {(x, y, x+y) / x,y ∈ R} = {x(1,0,1)+ y(0,1,1) / x,y ∈ R}

5 1 -1 2 4 -2 1 -1 3

1 0 1 0 1 1 1 1 0

4 0 0 0 2 0 0 0 6

3 -1 1 -1 3 1 2 2 2

1 0 1 0 1 1 1 1 -2

on a P = 4 0 0 0 4 0 0 0 0

Pour (P-1A P) =


Cas où cela ne fonctionne pas...

  A = les vp sont 3 et – 1 qui est double

  Pour –1, on trouve E–1 = {(z, 2z, z) / z ∈ R}   Ce n'est que de dimension 1, alors que comme –1 est

valeur propre double, on aurait dû trouver un plan...   Pas de base possible, donc la matrice n'est pas

diagonalisable.

1 -3 4 4 -7 8 6 -7 7


Projet à rendre pour le ?? décembre

  Programme qui effectue :   Transposée d’une matrice   Somme de 2 matrices   Multiplication de 2 matrices de tailles différentes.   Résolution d’un système par pivot de Gauss   Déterminant d'une matrice de taille quelconque.   Inversion d’une matrice :

–  Par la comatrice –  Par pivot de Gauss

  Calcul des valeurs propres d’une matrice (détermination de l’équation caractéristique = det (A – λI) puis résolution par pivot.

  N'oubliez pas de m'envoyer un petit rapport sous LaTeX expliquant comment fonctionnent vos programmes.

Documents

ALINÉA Algèbre Linéaire Appliquée pour les nuls …icube-bfo.unistra.fr/fr/img_auth.php/8/83/Alinea.pdf · Pierre Collet : Algèbre Linéaire Appliquée 3 Notion de Corps (nécessaire