11

AMPERES AMPERES Enseigner de façon Enseigner de façon

dynamique le produit dynamique le produit scalaire en première S ?scalaire en première S ?

22

RECITRECITd’uned’une

EXPERIENCEEXPERIENCE

Françoise BarachetFrançoise Barachet

LYCEE MONTDORYLYCEE MONTDORYdede

THIERSTHIERS

33

OBJECTIF DE L’AEROBJECTIF DE L’AER

Introduire le produit scalaire de façon Introduire le produit scalaire de façon motivéemotivée– Ne pas partir d'une des définitions du produit Ne pas partir d'une des définitions du produit

scalairescalaire– Prendre en compte ses connaissances Prendre en compte ses connaissances

antérieuresantérieures– Mettre l'accent sur la nécessité de se situer Mettre l'accent sur la nécessité de se situer

en repère orthonormalen repère orthonormal

44

Premier moment de l'étudePremier moment de l'étude

En moduleEn module

Travail en groupeTravail en groupe

55

Première questionPremière question

On sait analytiquement démontrer que On sait analytiquement démontrer que deux droites sont parallèles.deux droites sont parallèles.

Qu’en est-il pour deux droites Qu’en est-il pour deux droites perpendiculaires?perpendiculaires?

66

Les différentes approches Les différentes approches élaborées dans les groupesélaborées dans les groupes

A1: situation connue où les droites sont A1: situation connue où les droites sont perpendiculaires et sécantes à l’origine du perpendiculaires et sécantes à l’origine du repère ( axes des abscisses, bissectrices)repère ( axes des abscisses, bissectrices)

A2: à partir de la formule " aa’= -1"(bien que A2: à partir de la formule " aa’= -1"(bien que non au programme de seconde mais connu par non au programme de seconde mais connu par certains élèves)certains élèves)

A3: directement dans un cas généralA3: directement dans un cas général

77

Intervention dans les groupesIntervention dans les groupes

Pour un rappel de la condition de Pour un rappel de la condition de parallélismeparallélisme "xy'-x'y=0 " . "xy'-x'y=0 " .

Que représente x, x',y, y'?Que représente x, x',y, y'? (x,y), (x',y') coordonnées de points?(x,y), (x',y') coordonnées de points? de vecteurs?de vecteurs?

Choix du repèreChoix du repère

88

Situation A1Situation A1

x

y

o-3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

AB

repère orthonormé Points A(1,1) et B(-1,1) , 1 x ( -1) + 1 x 1 = 0

99

Situation A1Situation A1

Des questions Des questions – "Si on translate les droites (OA) et (OB), "Si on translate les droites (OA) et (OB),

quelle relation obtient-on ?"quelle relation obtient-on ?"Avec les coordonnées des pointsAvec les coordonnées des pointsAvec les coordonnées de vecteursAvec les coordonnées de vecteurs

1010

Situation A1Situation A1

x

y

o-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-0.5

0.5

1

1.5

2

AB

A1

B1

o1

1111

Situation A1Situation A1

Questions Questions – "Si on translate les droites (OA) et (OB), "Si on translate les droites (OA) et (OB),

quelle relation obtient-on ?"quelle relation obtient-on ?"Avec les coordonnées des pointsAvec les coordonnées des pointsAvec les coordonnées de vecteursAvec les coordonnées de vecteurs

– "Pourquoi avez-vous choisi votre repère "Pourquoi avez-vous choisi votre repère orthonormé?"orthonormé?"

1212

Situation A1Situation A1

x

y

o-2 2 4

-1

-0.5

0.5

1AB

C

D

1313

Situation A1Situation A1

Questions Questions – "Si on translate les droites (OA) et (OB), "Si on translate les droites (OA) et (OB),

quelle relation obtient-on ?"quelle relation obtient-on ?"Avec les coordonnées des pointsAvec les coordonnées des pointsAvec les coordonnées de vecteursAvec les coordonnées de vecteurs

– "Pourquoi avez-vous choisi votre repère "Pourquoi avez-vous choisi votre repère orthonormé?"orthonormé?"

– Quelle relation obtient-on en prenant un autre Quelle relation obtient-on en prenant un autre point sur chaque bissectrice?point sur chaque bissectrice?

1414

Situation A1Situation A1

Prise de conscience d'un travail sur Prise de conscience d'un travail sur les coordonnées des vecteurs Oles coordonnées des vecteurs O11AA11et et OO11BB11 égaux aux vecteurs OA et OB égaux aux vecteurs OA et OB par une translation de vecteur upar une translation de vecteur u

vers une généralisation : l'utilisation vers une généralisation : l'utilisation du théorème de Pythagore est parue du théorème de Pythagore est parue naturelle.naturelle.

1515

Situation A2Situation A2

Que représente a et a'?Que représente a et a'?

Comment le démontrer ?Comment le démontrer ?

On revient au théorème de On revient au théorème de Pythagore Pythagore

1616

Premier bilanPremier bilan

Nous avons:Nous avons:

DDD'D'

OAB triangle rectangle en OOAB triangle rectangle en O

ABAB22=OA=OA22 +OB +OB22

2(x'x+y'y)=02(x'x+y'y)=0

x'x+y'y=0x'x+y'y=0

1717

Premier BilanPremier Bilan

Soit (Ω,

i ,

j ) un repère orthonormé,

OA ( x,y) et

OB (x',y') (OA) (OB) OA² + OB² = AB² xx' + yy' = 0 Soit

u ( x,y) et

v ( x', y') .

u et

v sont orthogonaux équivaut à xx' + yy' = 0

1818

Deuxième moment de l’étudeDeuxième moment de l’étudeEn classe entièreEn classe entière

Deuxième questionDeuxième question

On a précédemment 'avec les notations On a précédemment 'avec les notations introduites plus haut' prouvé que :introduites plus haut' prouvé que :

D D D' D' xx' + yy' = 0 xx' + yy' = 0 AB² = OA² + OB² .AB² = OA² + OB² . Que vaut xx' + yy' quand D et D' ne sont Que vaut xx' + yy' quand D et D' ne sont

pas perpendiculaires? pas perpendiculaires?

1919

Deuxième moment de l’étudeDeuxième moment de l’étude

Il est naturel de calculer:Il est naturel de calculer:

AB² – OA² – OB² = – 2 xx' – 2 yy' AB² – OA² – OB² = – 2 xx' – 2 yy' d'oùd'où

xx' + yy' = 12 ( OA² + OB² – AB² )

= 12 ( ||

u || ² + ||

v || ² – ||

v –

u || ²)

Donc xx' +yy' ne dépend pas du repère choisi

2020

Deuxième bilanDeuxième bilan

Soit

u et

v de coordonnées ( x,y) et (x',y') dans un repère orthonormal R et de coordonnées ( X,Y) et ( X',Y') dans un repère orthonormal R' On a xx' + yy' = XX'+ YY'. Autrement dit, " xx' + yy'" ne dépend pas du repère choisi. C'est un invariant appelé produit scalaire de

u et

v noté

u .

v

2121

Troisième moment de l’étudeTroisième moment de l’étude

En classe entièreEn classe entière

Troisième QuestionTroisième Question

On a :

OA .

OB = 0 (

OA ;

OB ) = 2

ou (

OA ;

OB ) = – 2

cos (

OA ;

OB) = 0 . Qu'en est-il quand

OA .

OB 0 ?

2222

Troisième moment de l’étudeTroisième moment de l’étude

Utilisation d'un repère particulier pour dégager une autre Utilisation d'un repère particulier pour dégager une autre signification et une autre expression du produit scalairesignification et une autre expression du produit scalaire

On peut choisir un repère ( O,

i ,

j ) tel que

OA et

i soient colinéaires et de même sens

Avec ce repère le calcul donne:

OA .

OB = OA OB cos θ

2323

Bilan intermédiaire: Utilité du Bilan intermédiaire: Utilité du produit scalaireproduit scalaire

1° pour démontrer par le calcul 1° pour démontrer par le calcul une orthogonalité;une orthogonalité;

2° Pour déterminer un angle, 2° Pour déterminer un angle, avec la détermination du cosinusavec la détermination du cosinus

Peut-il servir à autre chose?Peut-il servir à autre chose?

2424

Le produit scalaireLe produit scalairepeut-il être d'une autre utilité?peut-il être d'une autre utilité?

Si OA =OB alors on a Si OA =OB alors on a

OA . OAOA . OA

=[OA]=[OA]22=OA=OA22,,

le carré d'une le carré d'une longueur!!longueur!!

On peut donc se On peut donc se demander si le demander si le produit scalaire produit scalaire pourrait nous servir pourrait nous servir pour calculer des pour calculer des longueurs longueurs

2525

Vers Al-KashiVers Al-Kashi

Soit OAB un triangle Soit OAB un triangle et supposons que l'on et supposons que l'on connaisse OAconnaisse OA, , OB et OB et l'angle en O. l'angle en O.

Peut-on calculer la Peut-on calculer la longueur AB? longueur AB?

On peut penser à On peut penser à calculercalculer le carré de le carré de AB avec le produitAB avec le produit AB AB²²

2626

AB = AO + OB AB = AO + OB

Calcul de ABCalcul de AB22

ABAB22 = (AO + OB).(AO + OB) = (AO + OB).(AO + OB)

Mais, le produit scalaire est-il distributif par rapport à la somme Mais, le produit scalaire est-il distributif par rapport à la somme

vectorielle?vectorielle?

2727

Ce qui donne une raison d'être des Ce qui donne une raison d'être des propriétés ….propriétés ….

… … Pour justifier le théorème de Pour justifier le théorème de Pythagore généralisé (AL Kashi)Pythagore généralisé (AL Kashi)

ABAB22 = OA = OA22 + OB + OB22 – 2 OA.OB cos (AOB) – 2 OA.OB cos (AOB)