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9 782807 327498

ISBN : 978-2-8073-2749-8

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M O U R A D C H O U L L IAnalyse complexe

Cet ouvrage couvre l’ensemble du programme d’Analyse complexe enseigné en 3e année

de Licence mathématiques ainsi qu’en première année des écoles d’ingénieur. Il pourra être également utile aux candidats au Capes de mathématiques.

Les prérequis sont minimaux : propriétés élémentaires du corps des réels et de l’intégrale de Riemann, généralités sur les séries et intégrales généralisées. Chaque chapitre accueille une série d’exercices intégralement corrigés. Deux appendices – ajoutés en fin d’ouvrage – contiennent les connaissances requises en matière de séries numériques et d’intégrales généralisées.

Mourad Choull i est professeur à l’université de Lorraine. Il est spécialisé dans l’étude des équations aux dérivées partielles, spécialement dans l’analyse mathématique des problèmes inverses. Il a une très longue expérience d’enseignement en licence et master de mathématiques.

LES PLUSpp Toutes les démonstrations sont rédigées de façon claire et détailléepp Les exercices et problèmes sont intégralement corrigéspp Deux appendices sur les séries numériques et les intégrales généralisées

Analyse complexe

• Cours complet• Plus de 70 exercices• Tous les corrigés détaillés

LICENCE 3 MATHÉMATIQUES

ÉCOLES D’INGÉNIEURS

1. Éléments de topologie2. Suites et séries de fonctions3. Fonctions holomorphes et théorème

de Cauchy‑Goursat4. Développement en série entière d’une fonction

holomorphe5. Zéros et maximum du module de fonctions

holomorphes

6. Suites, séries, produits infinis et intégrales de fonctions holomorphes

7. Séries de Laurent et points singuliers isolés8. Théorème des résidus et applications9. Isomorphismes de domainesAppendice A : Séries numériquesAppendice B : Intégrales généraliséesBibliographie – Index

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Analyse complexe

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Aebischer B., Introduction à l’analyseAebischer B., Analyse. Fonctions à plusieurs variables et géométrie analytiqueAebischer B., Géométrie. Géométrie affine, géométrie euclidienne et introduction à la géométrie

projectiveAslAngul C., Des mathématiques pour les sciences. Corrigés détaillés et commentés des exercices

et problèmesbelhAj S., Mathématiques pour l’économie et la gestionbelhAj S., ben AissA A., Mathématiques pour l’informatiquebriAne M., PAgès G., Analyse. Théorie de l’intégration – 7e éditionburg P., Mathématiques. Les fondamentaux en Licence 1cAnon É., Analyse numériquecArAssus L., PAgès G., Finance de marché. Modèles mathématiques à temps discretcArton O., Langages formels. Calculabilité et complexitécommenges D., jAcqmin-gAddA H., Modèles bio statistiques pour l’épidémiologiecortellA A., Algèbre. Théorie des groupescottet-emArd F., 36 problèmes corrigés pour le CAPES de mathématiquescottet-emArd F., Probabilités et tests d’hypothèsescottet-emArd F., Algèbre linéaire et bilinéairecottet-emArd F., AnalysedAntzer J.-F., Mathématiques pour l’agrégation. Analyse et probabilités dePAuw J., StatistiquesgirArdin V., limnios N., Probabilités et introduction à la statistiquegirArdin V., limnios s N., Probabilités. Processus stochastiques et applicationsmAnsuy R., mneimné R., Algèbre linéaire. Réduction des endomorphismesPAgès G., 101 quizz qui banquent. Mathématiques et finances sont-elles indépendantes ?rombAldi J.-É., Mathématiques pour l’agrégation. Algèbre et géométrierombAldi J.-É., Exercices et problèmes corrigés pour l’agrégation de mathématiquesrombAldi J.-É., Leçons d’oral pour l’agrégation de mathématiques. Première épreuve : les exposésrombAldi J.-É., Leçons d’oral pour l’agrégation de mathématiques. Seconde épreuve : les exercicesstoltz G., rivoirArd V., Statistique mathématique en actionwAsseF P., Algèbre. Arithmétique pour l’informatique

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MOURAD CHOULLI

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En couverture : Coupe d’un nautile © AdrianHancu/Getty Images Maquette intérieure : Hervé Soulard/Nexeme Mise en pages de l’auteur Maquette de couverture : Primo&Primo Couverture : SCM, Toulouse

Dépôt légal : Bibliothèque royale de Belgique : 2020/13647/003 Bibliothèque nationale, Paris : janvier 2020 ISBN : 978-2-8073-2749-8

Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme ou de quelque manière que ce soit.

© De Boeck Supérieur SA, 2020 - Rue du Bosquet 7, B1348 Louvain-la-Neuve De Boeck Supérieur - 5 allée de la 2e DB, 75015 Paris

Du même auteur

choulli M., Analyse fonctionnelle. Équations aux dérivées partielles

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Table des matières

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 Éléments de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Le corps des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Topologie de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Continuité des fonctions de la variable complexe . . . . . . . . . . . . . 51.4 Parties compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Parties connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1 Les différentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Les critères de Cauchy et d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Continuité des limites uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Théorème de la double limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Intégration des limites uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Dérivée de la limite d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Fonctions holomorphes et théorème de Cauchy-Goursat . . . . 353.1 De la dérivée à la différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Fonctions holomorphes et conditions de Cauchy-Riemann . . . . . 373.3 Chemins et circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Intégrale d’une fonction continue sur un chemin . . . . . . . . . . . . . . 433.5 Théorème de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Développement en série entière d’une fonction holomorphe . 554.1 Généralités sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Étude d’une fonction définie par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . 58

# 5

vi Table des matières

4.3 Formules de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4 Développement en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Zéros et maximum du module de fonctions holomorphes . . . . 735.1 Zéros d’une fonction holomorphe dans un domaine . . . . . . . . . . . 735.2 Inégalités de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3 Théorème du module maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.5 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 Suites, séries, produits infinis et intégrales de fonctionsholomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.1 Suites et séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2 Produits infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.3 Fonctions définies par une intégrale sur un chemin . . . . . . . . . . . 906.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.5 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7 Séries de Laurent et points singuliers isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.1 Séries entières de puissances négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.2 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.3 Fonctions développables en séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.4 Points réguliers et points singuliers isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.5 Classification des points singuliers isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8 Théorème des résidus et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.1 Indice d’un point par rapport à un circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Résidu d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.3 Théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.4 Calcul d’intégrales par la méthodes des résidus . . . . . . . . . . . . . . 1228.5 Nombre de zéros d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9 Isomorphismes de domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.1 Image d’un domaine par une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . 1439.2 Fonctions holomorphes injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.3 Isomorphismes de domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.4 Automorphismes et isomorphismes usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.6 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

# 6

Table des matières vii

A Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153A.1 Rappel succinct sur les suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153A.2 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154A.3 Séries numériques à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157A.4 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163A.5 Produit de deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

B Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167B.1 Éléments de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167B.2 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169B.3 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172B.4 Formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

# 7

# 8

Avant-propos

J’ai rassemblé dans cet ouvrage l’essentiel de l’analyse complexe couvrantle programme généralement enseigné en dernière année de Licence de mathé-matiques. Cet ouvrage pourra aussi être utile aux étudiants de la plupart desécoles d’ingénieurs. Les prérequis sont minimaux. Le lecteur devra uniquementconnaître les propriétés élémentaires du corps des réels et de l’intégrale de Rie-mann, et les généralités sur les séries et les intégrales généralisées. Toutefois,j’ai inclus deux appendices à la fin de ce texte qui contiennent les connaissancesrequises sur les séries et les intégrales généralisées.

Le contenu de cet ouvrage correspond au cours d’analyse complexe quej’enseigne depuis plusieurs années à l’université Paul Verlaine de Metz puis àl’université de Lorraine. Mon cours s’inspire lui-même largement d’un courspolycopié, intitulé U5 et édité par l’université Paul Sabatier de Toulouse. Mal-heureusement ce cours polycopié ne comporte ni date, ni auteur.

Cet ouvrage est composé de neuf chapitres. Le premier chapitre est consacréà l’introduction des nombres complexes et des différentes notions topologiquesqui seront utilisées dans les autres chapitres. Le second chapitre contient lesrésultats basiques sur les suites et les séries de fonctions. Ces résultats serontbien utiles dans le reste de ce texte. Dans le chapitre trois, je fais le lien entre ladifférentiabilité et la dérivabilité par rapport à la variable complexe, au moyendes conditions dites de Cauchy-Riemann. Une fonction dérivable par rapportà la variable complexe dans un ouvert est usuellement appelée fonction ho-lomorphe dans cet ouvert. J’introduis ensuite l’intégration sur un chemin etje démontre le théorème fondamental de Cauchy-Goursat. Je débute le cha-pitre quatre par une étude sur les séries entières et j’établis ensuite que toutefonction holomorphe dans un ouvert coïncide localement avec une série entière.C’est l’une des principales particularités des fonctions holomorphes. Dès qu’unefonction est dérivable par rapport à la variable complexe une fois, alors elle estindéfiniment dérivable par rapport à cette variable. Elle est même analytique,ce qui signifie qu’elle coïncide localement avec une série entière. Une descriptionde l’ensemble des zéros d’une fonction holomorphe est donnée au chapitre cinq.Dans ce même chapitre, je démontre le théorème du module maximum. Dansun sixième chapitre, j’étudie les suites, séries et produits infinis de fonctions

# 9

x Avant-propos

holomorphes. Dans le chapitre sept, je démontre qu’une fonction holomorphedans une couronne est développable en série de Laurent et j’utilise ce dévelop-pement pour classifier les points singuliers isolés de fonctions holomorphes. Lechapitre huit est dédié au théorème des résidus, son application au calcul d’in-tégrales et au calcul du nombre de zéros d’une fonction holomorphe dans undomaine donné (théorème de Rouché). Dans un neuvième et dernier chapitre,je présente quelques automorphismes et isomorphismes de domaines. Chaquechapitre se termine avec une liste d’exercices corrigés.

Cet ouvrage constitue seulement une introduction concise à l’analyse com-plexe. Le lecteur pourra éventuellement enrichir ses connaissances par lesquelques références que je donne à la fin de cet ouvrage. Bien entendu, il existeune littérature abondante pour un sujet aussi central avec de multiples appli-cations.

# 10

Chapitre 1

Éléments de topologie

1.1 Le corps des complexes

On utilise la notation d’Euler 1 pour le nombre imaginaire unitaire :

i2 “ ´1.

On définit l’ensemble des complexes C par

C “ tz “ x` iy; x, y P Ru.

On munit cet ensemble des opérations

z1 ` z2 “ px1 ` x2q ` ipy1 ` y2q si z1 “ x1 ` iy1 et z2 “ x2 ` iy2,z1 ˆ z2 “ px1x2 ´ y1y2q ` ipx1y2 ` x2y1q si z1 “ x1 ` iy1 et z2 “ x2 ` iy2.

Si z “ x` iy ‰ 0 et

z̃ “x

x2 ` y2´ i

y

x2 ` y2

alors on vérifie sans peine que zˆ z̃ “ z̃ˆ z “ 1. Donc z admet un inverse pourle produit ˆ. On notera cet inverse par z´1 ou 1{z. Aussi, pour simplifier lesnotations, le produit z1 ˆ z2 est tout simplement noté z1z2.

Il n’est pas difficile de démontrer que pC,`,ˆq est un corps et que C est unR-espace vectoriel de dimension 2 ou un C-espace vectoriel de dimension 1.

On appelle z “ x ` iy, x, y P R, un nombre complexe, x “ ℜz la partieréelle de z et y “ ℑz la partie imaginaire de z.

On associe à chaque nombre complexe z “ x` iy son conjugué z “ x´ iy.Dans ce cas, on a

x “z ` z2

, y “z ´ z2i

.

Il sera parfois utile d’utiliser la représentation polaire d’un nombre complexe

z “ x` iy “ rpcos θ ` i sin θq.

1. Leonhard Euler, 1707-1783

# 1

2 1. Éléments de topologie

Quand z ‰ 0, les couples px, yq et pr, θq sont liés par les relations

px, yq “ pr cos θ, r sin θq,

r “a

x2 ` y2,tan θ “ y{x si x ‰ 0 et θ “ sgnpyqπ{2 si x “ 0.

Ici sgnpyq désigne le signe de y.La fonction tan étant 2π-périodique, θ n’est pas déterminé de manière

unique, sauf si on se restreint à des valeurs dans l’intervalle s ´ π, πs. A cettefin, on définit la détermination principale de l’argument, notée arg, par

arg z “

$

&

%

arctanpy{xq si x ą 0,arctanpy{xq ` π si x ă 0 et y ě 0,arctanpy{xq ´ π si x ă 0 et y ă 0,

et arg z “ sgnpyqπ{2 si x “ 0.On rappelle que la fonction arctan : R Ñs ´ π{2, π{2r désigne la bijection

réciproque de tan :s ´ π{2, π{2rÑ R.Si C0 “ Czs´8, 0s, on observe que z P C0 Ñ arg z est une fonction continue.On appelle r “ |z| le module de z et, pour θ P R, on pose

eiθ “ cos θ ` i sin θ.

Il est aisé de vérifier que l’on a les propriétés suivantes

|z|2 “ x2 ` y2 “ zz,z “ |z|ei arg z`2ikπ, k P Z.

Pour θ1, θ2 P R, on a, d’après la définition du produit de deux nombrescomplexes,

eiθ1eiθ2 “ pcos θ1 cos θ2 ´ sin θ1 sin θ2q ` ipcos θ1 sin θ2 ` sin θ1 cos θ2q.

Or, d’après les formules trigonométriques usuelles,

cos θ1 cos θ2 ´ sin θ1 sin θ2 “ cospθ1 ` θ2q,cos θ1 sin θ2 ` sin θ1 cos θ2 “ sinpθ1 ` θ2q.

Il en résulte queeiθ1eiθ2 “ eipθ1`θ2q,

et par récurrence, par rapport à n ě 1 entier, on conclut que

eiθ1eiθ2 . . . eiθn “ eipθ1`θ2`...`θnq, θ1, . . . , θn P R.

En particulier,`

eiθ˘n “ einθ, θ P R, n ě 1 entier.

# 2

1.2 Topologie de C 3

Maintenant, puisque θ ÞÑ eiθ est 2π-périodique, l’équation

wn “ z, (1.1)

s’écritwn “ |z|eiparg z`2kπq, k P Z.

Par conséquence, (1.1) admet n solutions

wk “ |z|1{neiparg z`2kπq{n, k “ 0, 1 . . . , n´ 1.

1.2 Topologie de C

On commence par noter que l’application

z P C ÞÑ |z| P r0,`8q

définit une norme sur C, considéré comme R-espace vectoriel ou C-espace vec-toriel. En effet, on peut vérifier sans peine que cette application possède lespropriétés d’une norme :

|z| “ 0 si et seulement si z “ 0,|λz| “ |λ||z| si z P C et λ P R ou λ P C,|z1 ` z2| ď |z1| ` |z2| si z1, z2 P C.

Soient z0 P C et r ą 0. On définit respectivement les disques ouvert et ferméde centre z0 et de rayon r par

Dpz0, rq “ tz P C; |z ´ z0| ă ru,Dpz0, rq “ tz P C; |z ´ z0| ď ru.

Il sera commode dans le reste de ce texte de noter le disque unité ouvert(resp. fermé) Dp0, 1q (resp. Dp0, 1q) par D (resp. D).

Une partie O de C est dite ouverte si O ne peut contenir l’un de ses pointssans contenir tout un disque de rayon ą 0 autour de ce point : pour tout z0 P O,il existe r ą 0 tel que Dpz0, rq Ă O.

Soient z0 P C et r ą 0. Si z1 P Dpz0, rq alors r1 “ r ´ |z1 ´ z0| ą 0 et, pourw P Dpz1, r1q, on a

|w ´ z0| ď |w ´ z1| ` |z1 ´ z0| ă r1 ` |z1 ´ z0| “ r.

D’où Dpz1, r1q Ă Dpz0, r0q. On vient donc de montrer qu’un disque ouvert estune partie ouverte.

De la même manière, on démontre queeDpz0, rq “ tz P C; |z ´ z0| ą ru

est une partie ouverte.

# 3

4 1. Éléments de topologie

L’ensemble de toutes les parties ouvertes de C, noté T , est appelé la topo-logie de C induite par la norme | ¨ |. Elle vérifie donc les propriétés habituellesd’une topologie :‚ H P T et C P T ,‚ stabilité par réunion quelconque : si pOjqjPJ est une famille quelconque deT alors

Ť

jPJ Oj P T ,‚ stabilité par intersection finie : si pOjqjPK est une famille finie de T alorsŞ

jPK Oj P T .Une partie F sera dite fermée, si son complémetaire Fc “ CzF , est une

partie ouverte.D’après ce qui précède, une intersection quelconque de parties fermées est

une partie fermée et une réunion finie de parties fermées est fermée. Les partiesH et C sont à fois ouvertes et fermées.

Soient z0 P C et r ą 0. On a vu plus haut que eDpz0, rq est une partieouverte. Donc Dpz0, rq “ reDpz0, rqsc est une partie fermée. En d’autres termes,les disques fermés sont des parties fermées.

Soit A une partie de C. L’intérieur de A, noté 8A, est la plus grande partieouverte contenue dans A. C’est donc la réunion de toutes les parties ouvertescontenues dans A. On définit de même la fermeture ou l’adhérence de A, qu’onnote A, comme étant la plus petite partie fermée contenant A. En d’autrestermes, A est l’intersection de de toutes les parties fermées contenant A.

On observe que, d’après les définitions,

8A Ă A Ă A,

A est ouverte si et seulement si A “ 8A et A est fermée si et seulement si A “ A.Aussi, on remarque que 8A peut être vide sans que A le soit. Pour le voir, il

suffit de prendre A “ tzu, où z est un point quelconque de C. Dans ce cas il

est aisé de voir que8"

tzu “ H.Partant du fait qu’une partie ouverte est contenue dans A si et seulement

si son complémentaire, qui est une partie fermée, contient Ac, on conclut que

8Ac “ Ac, Ac “8"Ac.

La frontière d’une partie A de C, notée BA, est définie par

BA “ AXAc.

On introduit à présent la notion de suite convergente. Soit pznqně0 unesuite d’éléments de C. On dit que la suite pznqně0 converge dans C vers unélément z P C si pour tout ϵ ą 0, il existe un entier n0, dépendant de ϵ, tel quezn P Dpz, ϵq pour tout n ě n0. On écrit z “ limnÑ`8 zn.

Lemme 1.1. Soit A Ă C. Alors z P A si et seulement si z est limite d’unesuite d’éléments de A.

Preuve. Soit pznqně0 une suite d’éléments de A qui converge vers z P C. Si

z R A alors z P8"Ac. D’où, il existe r ą 0 tel que Dpz, rq Ă Ac. Par conséquence,

# 4

1.3 Continuité des fonctions de la variable complexe 5

on trouve un entier n0, dépendant de r, tel que zn P Dpz, rq pour tout n ě n0.En particulier, zn P Ac pour tout n ě n0, ce qui entraine une contradiction.

Inversement, on affirme que si z P AzA alors tout disque de rayon nonnul rencontre A. Car sinon, il existerait r ą 0 tel que Dpz, rq Ă Ac et donc

z P8"Ac “ Ac, ce qui est impossible. Il en résulte que pour tout entier n ě 1, il

existe zn P A tel que |z ´ zn| ă 1{n. On a ainsi construit une suite pznqně1 deA telle que z “ limnÑ`8 zn. Finalement, pour z P A, la suite constante égaleà z convient. [\

Si A est une partie quelconque de C, la topologie sur C induit une topologiesur A dont la famille des ouverts est donnée par

TA “ tO XA; O P T u.

1.3 Continuité des fonctions de la variable complexe

Soient A une partie de C et f : A Ñ C. On dit que f est continue en z0 P Csi pour tout ϵ ą 0, il existe η ą 0, qui peut dépendre de z0 et ϵ, tel que

fpzq P Dpfpz0q, ϵq si z P Dpz0, ηq XA

ou de façon équivalente

f´1pDpfpz0q, ϵqq Ą Dpz0, ηq XA.

Si f est continue en tout point de A, on dira tout simplement que f estcontinue.

Théorème 1.1. Soient A une partie de C et f : A Ñ C. Les assertions sui-vantes sont équivalentes.(i) f est continue.(ii) Pour tout O P T , on a f´1pOq P TA.(iii) Pour tous z P A et pznqně0 suite de A telle que z “ limnÑ`8 zn, on apfpznqqně0 converge vers fpzq.

Preuve. ‚ (i) implique (ii) : soit O P T et z0 P f´1pOq. Puisque f est continueen z0, pour tout ϵ ą 0, il existe η “ ηpϵq ą 0 tel que

f´1pDpfpz0q, ϵqq Ą Dpz0, ηq XA.

Mais puisque O est une partie ouverte, il existe ϵ0 ą 0 tel que Dpfpz0q, ϵ0q Ă Oet par suite

f´1pOq Ą f´1pDpfpz0q, ϵ0qq Ą Dpz0, η0q XA, avec η0 “ ηpϵ0q.

‚ (ii) implique (i) : il suffit de prendre O “ Dpfpz0q, ϵq, avec z0 P A et ϵ ą0 arbitraire. En effet, puisque f´1pDpfpz0q, ϵqq P TA, il existe U une partieouverte de C contenant z0 telle que

f´1pDpfpz0q, ϵ0qq Ą U XA.

# 5

6 1. Éléments de topologie

Comme U P T , il existe η ą 0 tel que Dpz0, ηq Ă U . Il en résulte que

f´1pDpfpz0q, ϵ0qq Ą Dpz0, ηq XA.

‚ (i) implique (iii) : soient z P A et pznqně0 suite de A telle que z “ limnÑ`8 zn.Pour ϵ ą 0, il existe η ą 0 tel que

fpwq P Dpfpzq, ϵq si w P Dpz, ηq XA.

Mais il existe un entier n0, dépendant de ϵ, tel que |z ´ zn| ă η pour toutn ě n0. Et donc

|fpznq ´ fpzq| ă ϵ, pour tout n ě n0,

ce qui revient à dire que fpzq “ limnÑ`8 fpznq.‚ (iii) implique (i) : sinon, on trouverait z0 P A et ϵ ą 0 tels que, pour toutη ą 0, il existerait z P Dpz0, ηq X A et |fpzq ´ fpz0q| ą ϵ. En particulier, enprenant η “ 1{n, n ě 1 entier, il existerait une suite pznqně1 d’éléments de Aqui convergerait vers z0 telle que |fpznq ´ fpz0q| ą ϵ, pour tout n ě 1, ce quicontredirait (iii). [\

Remarque 1.1. Soit F est une partie fermé de C. Puisque f´1pFcq “ rf´1pFqsc,on conclut que l’assertion (ii) dans le Théorème 1.1 est équivalente à la suivante :(iv) Pour tout fermé F de C, on a f´1pFq est un fermé de A.

Si A est une partie quelconque, on définit la distance d’un point z P C à A,notée dpz,Aq, comme suit :

dpz,Aq “ inft|z ´ w|; w P Au.

Lemme 1.2. On a, pour tous z1, z2 P C,

|dpz1, Aq ´ dpz2, Aq| ď |z1 ´ z2|,

ce qui entraine que l’application dp¨, Aq : z P C ÞÑ dpz,Aq P R` est continue.

Preuve. Soient z1, z2 P C. D’après l’inégalité triangulaire, il est clair que, pourtout w P A, on a

dpz1, Aq ď |z1 ´ w| ď |z1 ´ z2| ` |w ´ z2|.

Par conséquence,dpz1, Aq ď |z1 ´ z2| ` dpz2, Aq. (1.2)

En intervertissant les rôles de z1 et z2, on voit qu’on a aussi

dpz2, Aq ď |z1 ´ z2| ` dpz1, Aq. (1.3)

Le résultat recherché s’ensuit comme conséquence de (1.2) et (1.3). [\

Lemme 1.3. Soient A une partie quelconque de C et z P C. Alors dpz,Aq “ 0si et seulement si z P A.

# 6

1.4 Parties compactes 7

Preuve. ‚ Si dpz,Aq “ 0 alors, par définition, pour tout n ě 1 entier, il existezn P A tel que |z ´ zn| ă 1{n. Il en résulte que pznqně1 est une suite de A quiconverge vers z. Par suite, z P A par le Lemme 1.1.

‚ Inversement, toujours d’après le Lemme 1.1, si z P A alors z est limited’une suite pznqně0 de A. D’où

dpz,Aq ď |z ´ zn| Ñ 0 quand n Ñ `8,

entrainant dpz,Aq “ 0. [\

On rappelle qu’un isomorphisme isométrique entre deux espaces vectoriels(sur le même corps) normés, de même dimension finie, est une bijection linéairequi conserve les normes. On note qu’avec cette définition, un isomorphismeisométrique est continue, ainsi que son inverse, puisqu’une application linéaireentre deux espaces vectoriels normés de dimension finie est automatiquementcontinue.

Identifier C avec R2 sera parfois bien utile dans la suite. Cette identificationest possible via l’isomorphisme isométrique suivant

I : pC, | ¨ |q Ñ pR2, | ¨ |2q : z ÞÑ pℜz,ℑzq,

où | ¨ |2 est la norme euclidienne sur R2.Cet isomorphisme isométrique permet de voir que la topologie induite par

la norme | ¨ |2 sur R2 est exactement T , ce qui permet d’identifier les partiesouvertes de C avec celles de R2.

1.4 Parties compactes

Soit K une partie de C. On dit que K est une partie compacte si toute suited’éléments de K admet une sous-suite convergente vers un élément de K. Etdonc un compact est nécessairement fermée et bornée.

On rappelle que, d’après le théorème de Bolzano 2-Weierstrass 3, toute suiteréelle bornée admet une sous-suite convergente. Il en résulte que toute partiefermée et bornée de C est compacte. Donc les compacts de C sont les partiesfermées et bornées de C.

Théorème 1.2. Soient K un compact de C et f : K Ñ R continue. Alors ilexiste z´, z` P K tels que

fpz´q “ mintfpzq; z P Ku, fpz`q “ maxtfpzq; z P Ku.

Preuve. Puisque mint´fpzq; z P Ku “ ´maxtfpzq; z P Ku, il suffira demontrer l’existence de z´. On suppose ´8 ă m et on pose alors

m “ inftfpzq; z P Ku.

2. Bernard Bolzano, 1781-18483. Karl Weiestrass, 1815-1897

# 7

8 1. Éléments de topologie

Pour chaque n ě 1, soit zn P K telle que fpznq ď m ` 1{n. Comme K estcompact, il existe pzφpnqqně1 sous-suite de pznq qui converge vers z´ P K.Maintenant f étant continue, on conclut que

fpz´q “ limnÑ`8

fpzφpnqq ď limnÑ`8

pm` 1{φpnqq “ m.

Pour terminer la preuve, on doit montrer que l’on ne peut pas avoir m “ ´8.En effet, si on avait m “ ´8, alors on aurait, pour tout n ě 1, l’existenced’un zn P K tel que fpznq ď ´n. De nouveau la compacité de K permettraitd’affirmer l’existence de pzφpnqqně1, sous-suite de pznq, qui convergerait versz̃ P K. Donc fpzφpnqq convergerait vers fpz̃q, ce qui contredirait

fpzφpnqq ď ´φpnq Ñ ´8 quand n Ñ `8.

D’où le résultat. [\

Proposition 1.1. Soient K une partie compacte de C et f : K Ñ C continue.Alors fpKq est aussi une partie compacte de C.

Preuve. Soit pwnqně0 une suite de fpKq. Pour chaque n, wn “ fpznq, oùpznqně0 est une suite de K. Puisque K est compacte, la suite pznqně0 admetune sous-suite pzφpnqqně0 qui converge vers z P K. On utilise alors la continuitéde f pour conclure que

limnÑ`8

wφpnq “ limnÑ`8

fpzφpnqq “ fpzq “ w P fpKq,

ce qui termine la preuve. [\

Si K est une partie compacte de C, on utilise dans le reste de ce texte lanotation CpKq pour désigner l’ensemble des fonctions continues définies sur Ket à valeurs dans C. Il est aisé de voir que CpKq est un sous-espace vectorielde l’espace vectoriel des fonctions définies sur K et à valeurs dans C.

D’après le Théorème 1.2, fpKq est borné si f P CpKq. On peut donc définirsur CpKq l’application

f ÞÑ }f}CpKq “ maxzPK

|fpzq| P R`.

Il n’est pas difficile de vérifier que cette application est une norme sur CpKq.

1.5 Parties connexes

Soit A une partie de C. On dit que A est connexe s’il n’existe pas O1,O2 PTA non vides telles que O1XO2 “ H et O1YO2 “ A. Ou, de façon équivalente,s’il n’existe pas deux parties fermées, dans A, non vides F1 et F2 telles queF1 XF2 “ H et F1 YF2 “ A. Ou encore que A est connexe si les seules partiesde A qui soient à la fois ouvertes et fermées sont H et A lui même.

Dans le reste de ce texte, un domaine désigne un ouvert connexe.

# 8

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de Cauchy‑Goursat4. Développement en série entière d’une fonction

holomorphe5. Zéros et maximum du module de fonctions

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6. Suites, séries, produits infinis et intégrales de fonctions holomorphes

7. Séries de Laurent et points singuliers isolés8. Théorème des résidus et applications9. Isomorphismes de domainesAppendice A : Séries numériquesAppendice B : Intégrales généraliséesBibliographie – Index

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