Analyse Complexe - · PDF fileII La formule de Cauchy et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ... Les ouverts du plan complexe peuvent être bien plus compliqués que

Analyse ComplexeP. Eyssidieux

Transcrit par Idriss Mazari

E.N.S Lyon, 2013-2014

Table des matières

I Holomorphie/équations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 2I Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.1 Rappels et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.2 Reformulation en termes de différentiabilité . . . . . . 3

II Dérivées partielles et équations de Cauchy-Riemann . . . . . . 3II.1 Reformulation en termes de dérivées partielles . . . . 3II.2 Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II.3 Application aux fonctions harmoniques . . . . . . . . 4

III Séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5IV Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II La formule de Cauchy et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . 6I Rappels : formes différentielles et intégrales curvilignes . . . . . 6

I.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.2 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II Formule de Cauchy 1.0 : le lemme de Goursat . . . . . . . . . . 7III Les compacts réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

III.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III.2 Quelques lemmes topologiques . . . . . . . . . . . . . 9III.3 Le théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 9III.4 La formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10III.5 Fonctions holomorphes sur un disque . . . . . . . . . 11III.6 Fonctions holomorphes sur un couronne . . . . . . . . 12III.7 Théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III Prolongement analytique/zéros isolés/fonctions méromorphes . . . . . 14I Principe du prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . 14II Principe des zéros isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14III Fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III.1 Fonctions méromorphes et singularités . . . . . . . . . 15III.2 Principe des zéros isolés méromorphe . . . . . . . . . 15

III.2.1 Premier point . . . . . . . . . . . . . . . . . 15III.2.2 Deuxième point . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III.3 Singularités essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 16IV Argument et logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 17V Un peu de calculs ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

V.1 Dénombrement de zéros et de pôles : le principe del’argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

V.2 Calculs par la formule des résidus . . . . . . . . . . . 18V.2.1 Forme générale d’un résidu . . . . . . . . . . 18V.2.2 Transformée de Fourier d’une fraction ration-

nelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18V.2.3 Intégrale de R[x]

xα . . . . . . . . . . . . . . . . 18V.2.4 Intégrale de R[x]log[x] . . . . . . . . . . . . . 19

IV Primitives et intégrales de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . 19I Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II Homotopie et simple connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

V Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

TABLE DES MATIÈRES L3-Maths

I Formule et inégalité de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.1 La formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.2 L’inégalité de la moyenne et ses conséquences . . . . . 21

II Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II.1 énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II.2 Le lemme de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

VI Suites de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23I Le théorème de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II Le théorème de Montel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

VII Inversion des fonctions holomorphes/ Représentation conforme . . . . 24I Théorème d’inversion locale holomorphe . . . . . . . . . . . . . 24

I.1 énoncé et preuve rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . 24I.2 Une deuxième preuve : les séries majorantes . . . . . 25

I.2.1 Analyse de la formule de récurrence . . . . . 25I.2.2 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.2.3 Convergence de q . . . . . . . . . . . . . . . 26I.2.4 Caractère ouvert de f . . . . . . . . . . . . . 26

II Une application : le théorème de l’image ouverte . . . . . . . . 27III Représentations conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

III.1 Introduction et premières définition . . . . . . . . . . 27III.2 Représentations conformes des ouverts du plan com-

plexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28III.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28III.4 Le demi-plan de Poincaré et le théorème de Riemann 30III.5 Poincaré (Demi-plan de) . . . . . . . . . . . . . . . . 30

VIII Quelques fonctions méromorphes remarquables . . . . . . . . . . . . . 32I Formule de Schwarz-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II.1 Formule de Riemann-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 35II.2 Pour un n-gone régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

I. Holomorphie/équations de Cauchy-Riemann

Les fonctions holomorphes sont les solutions d’équations aux dérivées partiellesparticulières.

I-A. Fonctions holomorphes

I-A- 1. Rappels et définitions

Définition. Une partie U de C est un ouvert ssi ∀z ∈ U∃r > 0,∆(z, r) ⊂ U

Les ouverts du plan complexe peuvent être bien plus compliqués que les disquesouverts : par exemple

..

A

.

B

.

C

Définition. U ⊂ C étant un ouvert, z0 ∈ U, f : U → C est dite C-dérivable en z0ssi

E.N.S Lyon page 2 2013-2014


∃ limz→z0

f(z)−f(z0)z−z0 =: f ′(z0) ∈ C

Définition : Holomorphie et fonction entière. f est dite holomorphe sur U sielle est C-dérivable en tout point de U. On note O(U) l’ensemble des fonctions ho-lomorphes sur U . Une fonction de C dans C holomorphe sur tout le plan complexeest dite entière.

Commencons par donner une liste de propriétés élémentaires :

Proposition. Les points suivants découlent de vérifications immédiates.

i Une fonction C-dérivable en z est continue en z.ii Les fonctions z → az + b, avec a, b ∈ C sont C-dérivables.iii L’holomorphie est une propriété locale.iv (f, g ∈ O(U)) ⇒ f + g, fg ∈ O(U), et fg ∈ O(U − g−1(0))

v Les fonctions polynômes sont holomorphes.vi Si f ∈ O(U), g ∈ O(U ′), si Im(f) ⊂ U ′ alors g f ∈ O(U)

vii Les formules usuelles de dérivation de la somme, du quotient, de la composée....restent identiques.

I-A- 2. Reformulation en termes de différentiabilité

Définition : Différentiabilité. Soit U un ouvert du plan complexe, z0 ∈ U .g : U → C est différentiable en z0 ⇔∃ dgz0 ∈ LR(C) 1,

∀z ∈ U g(z) = g(z0) + dgz0(z − z0) + ϵ(z)||(z − z0)||

avec ϵ(z) →z→z0

0, ϵ(z0) = 0.

Lemme. Les conditions suivantes sont équivalenti f est C-dérivable en z0

ii f est différentiable en z0 et dfz0 est C-linéaireiii f est différentiable en z0 et ∃a ∈ C, ∀h ∈ C dfz0(h) = ah.

Sous ces conditions, f ′(z0) = a.

Démonstration du lemme. (ii)⇔(iii), (iii) ⇒ (i) : immédiat(i) ⇒ (ii) : on introduit ϵ∗(z) := f(z)−f(z0)

z−z0 − f(z0) si z = z0, 0 sinon, on faitcoller les deux développements limités : on a f(z) = f(z0) + f ′(z0)(z − z0) + (z −z0)ϵ

∗(z) par un calcul rapide . On en déduit l’existence d’un développement limité.Par unicité de la différentielle, on en déduit dfz0(z) = f ′(z0)(z − z0).

Corollaire. f ∈ O(U) si et seulement si f est différentiable sur U et ∀z0 ∈ U on a dfz0 ∈LC(C).

I-B. Dérivées partielles et équations de Cauchy-Riemann

I-B- 1. Reformulation en termes de dérivées partielles

L’isomorphisme canonique ϕ :C −→ R2

z 7−→ (ℜ(z),ℑ(z))

fournit une base canonique de C comme R-espace vectoriel :(1,0),(0,1)≡1,i.



Lemme. ϕ ∈ LC(C) est C-linéaire ssi Mat(ϕ) =

(a −bb a

), a, b ∈ R. Si ϕ(h) =

αh, α = a+ ib. En effet, il s’agit d’une homothétie : l’image de (1,i) est donc (α, iα).

Notons qu’alors ϕ(x+ iy) = (ax− by) + i(ay + bx).

Corollaire : équations de Cauchy-Riemann, forme réelle. Soit f ∈ O(U), f = u+iv,avec u, v à valeurs réelles. Le système suivant est alors vérifié :

∂xu = ∂yv

∂xv = −∂yu

Démonstration du corollaire. On écrit en fait la jacobienne de f en z0 de deuxmanières différentes :

1. J(f)(z0) =(∂xu(z0) ∂yu(z0)∂xv(z0) ∂yv(z0)

)On conclut par la remarque précédente.

D’autre part, on peut choisir, dans le calcul de la dérivée, de se placer sur la droiteℑ(z0), i.e z − z0 ∈ R 2. On fait ainsi sortir ∂xf , puis on se rappelle que dfz0(h) =f ′(z0)h. Précisons cela : on a

f ′(z0) = limz 7→z0,z−z0∈R

f(z)− f(z0)

z − z0= ∂xf(z0) = ∂xu(z0) + i∂xv(z0) (I.1)

Par la remarque précédente on en déduit que J(f)(z0) =

(∂xu(z0) −∂yv(z0)∂xv(z0) ∂xu(z0)

)Le

même calcul à partie imaginaire constante nous donne alors f ′(z0) = −i∂yf(z0).

I-B- 2. Cauchy-Riemann

On déduit de ce qui précède que ∂xf + i∂yf = (∂xu−∂yv)+ i(∂xv−∂yu) = 0. Onen déduit une caractérisation importante des fonctions holomorphes :

Théorème : Cauchy-Riemann. Les propriétés suivantes sont équivalentes :i f ∈ O(U)

ii f est différentiable sur U de différentielle C-linéaireiii f est différentiable sur U et vérifie l’équation de Cauchy-Riemann :

∂xf + i∂yf = 0 (I.2)

Démonstration du théorème. . Le sens retour provient du fait que si les équa-tions de Cauchy-Riemann sont vérifiées, la matrice jacobienne est alors une matriced’application C-linéaire, comme vu plus haut.

Introduisons deux notations :∂z := 12 (∂x − i∂y), ∂z := 1

2 (∂x + i∂y). Alors si f estholomorphe,

∂zf(z0) = f ′(z0) (I.3)

I-B- 3. Application aux fonctions harmoniques

2. Le même procédé serait valide avec z − z0 ∈ iR, mais fait sortir un i, donc f ′(z0) = −i∂yf



Définition. f ∈ C2(U) est dite harmonique si ∆(f) = 0 avec ∆(f) := ∂2x2f +∂2y2f .

Proposition. Si f ∈ O(U) ∩ C2(U) , u et v sont alors harmoniques.

I-C. Séries formelles

Définition. On munit CN de 2 lois :— (u+ v)n = un + vn— (u · v)n =

∑k≤n ukvn−k

Notons CN0 := (an)n∈N ∈ CN,∃ m,n ≥ m ⇒ an = 0. C’est un ensemble stable

par addition et multiplication, appelé ensemble des suites presque nulles.Notons de même

— 1 := (1, 0, 0, . . . )— X := (0, 1, 0, . . . )

On a alors, pour tout n ∈ N, Xn = (0, . . . , 1︸︷︷︸n

, 0, . . . ).

Il s’agit du cadre naturel d’introduction des polynômes en tant qu’objets formels :(CN

0 ,+, ·) ∼= C[X].

Proposition : Anneau des séries formelles. (CN,+, ·) est un anneau commutatifintègre 3 noté C[[X]] dont C[X] est un sous-anneau. Il est appelé anneau des sériesformelles.

I-D. Rayon de convergence

Définition : Rayon de convergence. Soit Q =∞∑i=0

aiXi ∈ C[[X]]. On définit le

rayon de convergence de Q comme R(Q)−1 := limsup n√|an| ∈ [0;+∞].

Proposition. Soit r > 0.R(Q) > r ⇒ ∃M > 0,∀n ∈ N |an| ≤Mr−n. 4

Exercice 1. — R(p+Q) ≥ min(R(P ), R(Q))— R(P Q) ≥ min(R(P ), R(Q))— R(P ′) = R(P )

Théorème. Soit Q une série formelle de rayon strictement positif. La suite defonctions (fn)n∈N définie par

fn(z) =n∑i=0

aizi

converge uniformément sur ∆(0, r),∀r < R(Q). Sa limite σ(Q) appartient àO(∆(0, R(Q))) et (σ(Q))′ = σ(Q′).

Corollaire. σ(Q) ∈ C∞ ∩ O(∆(0, R(Q))).

3. La preuve est laissée à la discrétion du lecteur.4. La réciproque ne donne que R(Q) ≥ r.



Exemple 1. — Exponentielle : exp z =∞∑n=0

zn

n! ∈ O(U).

— (1 + z)α =∞∑n=0

α...(α−n+1)n! zn ∈ O(∆(0, 1))

— ln(1 + z) =∞∑n=0

(−1)n zn+1

n+1 ∈ O(∆(0, 1))

Faut-il rajouter les lemmes topologiques ?

II. La formule de Cauchy et ses conséquences

Figure 1 – Cauchy

II-A. Rappels : formes différentielles et intégrales curvilignes

II-A- 1. Formes différentielles

Soit U ⊂ Kn un ouvert, K = C ouR .

Définition. Une Ck-forme différentielle de degré 1 est une application de classek-fois continûment différentiable de U dans LR(K

n,K).

Exemple 2. 1. Si f ∈ Ck+1(U), sa différentielle df : x → df(x)(.) est une Ck

forme différentielle.2. Les projections sur les vecteurs de la base sont des applications linéaires, notées

fi. On note dxi := dfi. Dans ce cas, on voit les fi comme des formes linéaires.

Notons que les dxi permettent d’exprimer une forme différentielle générique α :∃!(αi)i∈1,...,n ∈ Ck(U,Kn), α =

∑αidxi. Dans toute la suite on considérera K =

R, n = 2

II-A- 2. Intégrales curvilignes

Soit U un ouvert de C. Soit γ = (x1, x2) : [a; b] → U un chemin continu et C1 parmorceaux. Soit α une forme différentielle continue, α = αxdx+αydy avec αx et αy continues.

Définition : Intégrale curviligne. On définit l’intégrale curviligne de α sur γ par∫γα =

∫ baα(γ(t))(γ′(t))dt =

∑2i=1

∫ baαi(γ(t))x

′i(t)dt

On choisit, aux points de discontinuité de la dérivée, la dérivée à gauche ou àdroite.



Notons que si f est une fonction continue, en notant dz := dx + idy, z → f(z)dzdéfinit une forme différentielle continue, ce qui autorise à poser, pour γ un chemin surlequel f est définie,

∫γf :=

∫γf(z)dz =

∫ baf(γ(t))(γ′(t))dt.

Proposition. —∫γ

est linéaire en α.

— Si α = dψ est exacte,∫ baα = ψ(γ(b))− ψ(γ(a))

— Si ϕ : [c, d] → [a, b] est une bijection continue C1 par morceaux telle que ϕ−1

soit C0 ∩ C1,∫γϕ =

∫γ

Ainsi, l’intégrale curviligne ne dépend que du support de l’arc et du sens de par-cours, pas de la manière dont le parcourt. Généralisons cela à l’aide des lacets : Soitγ : R → U ∈ C0 ∩ C1

pm 1-périodique. Cela définit γ′ : R/Z → U définie par passageau quotient et qui est un chemin continu et C1

pm. Alors pour toute forme différentielleα,∫γ′ α =

∫γ|[0,1]

α.

On dispose de l’inégalité suivante, γ étant un chemin de [a, b] dans U .

||∫γ

α|| ≤ long(γ)︸︷︷︸:=

∫||γ′(t)||dt

supz∈γ([a,b])

√|αx(z)|2 + |αy(z)|2 (II.1)

II-B. Formule de Cauchy 1.0 : le lemme de Goursat

Proposition : Lemme de Goursat. U étant un ouvert, soit A,B,C ∈ U,K :=conv(A,B,C) ⊂ U . Alors ∀f ∈ O(U),

∫∂K

f(z)dz = 0

On suppose que l’on a paramétré ∂K dans le sens trigonométrique, ie on est

toujours à gauche de l’intérieur de K =K ∪ ∂K.

Remarque. Si ϕ est C1,∫∂K

dϕ = 0. La proposition est donc correcte dans le casoù f est analytique : en effet, toute fonction analytique est intégrable et admet uneprimitive : si f =

∑anz

n, sa différentielle vaut df(z) =∑ an

n+1zn+1dz, qui est encore

une série entière.

Démonstration de la proposition. Raisonnons par l’absurde : soit f ∈ O(U), (A,B,C) ∈U3, tels que conv(A,B,C) ⊆ U et

∫∂K

f = 1

1. On coupe le triangle en 4 triangles plus petits

..

A

.

B

.

C



..

A

.

B

.

C

.

D

.

E

.

F

.

T2

.

T1

.

T4

.

T3

Alots T1, T3, T4 sont homothétiques au triangle initial, noté T0, par une homo-thétie de rapport 1/2. De plus, T2 a ses côtés de même longueur que T1, il estdonc isométrique à T0/2. On a alors∫

∂T

f(z)dz =

∫∂T1

f(z)dz +

∫∂T2

f(z)dz

∫∂T3

f(z)dz +

∫∂T4

f(z)dz (II.2)

2. ∃i ∈ N4, ||∫∂Ti

f(z)dz|| ≥ 14 . On introduit alors une suite Kn de triangles tels

que Ki est isométrique à T0/2i. On a alors une suite de compacts emboités dans

un complet, dont le diamètre tend vers 0. Ainsi ∃!z0,∞∩i=0

= z0

3. On applique la C dérivabilité en ce point : f(z) = f(z0) + (z − z0)f′(z0) + |z −

z0|ϵ(z). Posons q(z) = f ′(z0)(z−z0)2

2 + f(z0)(z − z0). Alors

f(z) = q′(z) + |z − z0|ϵ(z) (II.3)

et q est holomorphe sur U . Ainsi,∫∂Ki

f =∫∂Ki

|z − z0|ϵ(z)dz.

|∫∂Ki

f | = |∫∂Ki

|z − z0|ϵ(z)dz| ≤ supz∈Kn

|ϵ(z)|diam(Kn)long(∂Kn)√2

≤ supz∈Kn

|ϵ(z)|DiamT022n−1/2

long∂T0

En effet, |∫∂Ki

|z − z0|ϵ(z)dz| ≤ supz∈Kn |ϵ(z)|long(∂Kn) sup√2|z − z0|2. 5

On en déduit donc que 4n∫∂Kn

f(z)dz ≤M × supz∈Kn |ϵ(z)| limz→z0⇔n→∞

0

Mais par hypothèse ∀n ∈ N∫∂Kn

f(z)dz ≥ 1. C’est donc absurde.

II-C. Les compacts réguliers

II-C- 1. Définitions

Définition. Une chemin continue et C1 par morceaux γ : I → R2 est dit réguliersi

5. D’où vient le√2 ? Regardez l’inégalité précédemment évoquée : on a majoré le ϵ par sa norme

sup, le |z − z0| par le diamètre, puis on a appliqué l’inégalité avec l’intégrale curviligne de la forme

différentielle dz ( et sup√∑

dz2i =√2) le long de γ.



1. ∀t ∈ I point de dérivabilité, on a γ′(t) = 0

2. Si t0 est un point de discontinuité de la dérivée, alors γ′d(t0)et −γ′g(t0) nesont pas positivement liés. En somme, on demande qu’il n’y ait pas de re-broussement.

Définition : Compact régulier . Un compact K de C est dit régulier si— K = K − ∂K— ∂K est l’image d’un nombre fini de lacets disjoints réguliers et simplesi.e homéomorphes à R/Z.

II-C- 2. Quelques lemmes topologiques

Lemme. U ⊂ Rn étant un ouvert, γ : [0, 1] → U étant un chemin continu, si γ(0) ∈ Fun fermé de U , γ(1) ∈ U − F, alors ∃ t0, γ(t0) ∈ ∂F

Démonstration du lemme. On pose t0 := inft ∈ [0, 1], γ(t) ∈ U − F. Celaconvient manifestement : γ(t) est limite d’une suite de points de F qui est fermé.

Lemme. Soit U un ouvert de Rn, F un fermé de U . Les composantes connexes deU − ∂F sont

— Soit contenues dans F— Soit complétement disjointes de F

Démonstration du lemme. Un connexe ouvert d’un espace vectoriel normé est enfait connexe par arcs car localement cpa et connexe. Soit Ω une composante connexe deU−∂F . Soit x0, x1 ∈ Ω, x0 ∈ F−∂F, x1 ∈ U−F.∃γ : [0, 1] → Ω, γ(0) = x0, γ(1) = x1.Cela est interdit par le lemme précédent. Par suite, si l’un des points de la composanteest dans F, toute la composante est dans F.

Lemme : Structure locale des compacts réguliers. Soit K un compact régulier, γ :S1 7→ K une des composantes du bord , p := γ(t0), tO ∈ S1. Alors il existe un systèmede coordonnées cartésiennes orthonormal direct centrées en p appelé (ξ, η), un couple(ϵ, δ) ∈ (R∗

+)2 et ϕ : |ξ| < ϵ 7→ |η| < δ

2 une fonction continue et C1 par morceauxtelle que :

i t 7→ ξ(γ(t)) est une fonction croissante sur I := t, |ξ(t)| < ϵii (|ξ| < ϵ × |η| < δ) ∩K = (ξ, η), |η| < |ϕ(ξ) ou alors (ξ, η), η > |ϕ(ξ)|

..2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.

P

.

B

.

ε1

.

ε

.

η1

.

I

.

δ

.η

.

A

.

J

II-C- 3. Le théorème de Cauchy

Définition. K étant un compact régulier, on définit l’intégrale curviligne d’uneforme différentielle le long de la fontière de K comme∫

∂K:=∑ni=1

∫γi



où ∂K est formé de l’image des lacets réguliers simples disjoints γi parcourus detelle sorte que K est à gauche de γi quel que soit i.

Théorème : Cauchy. Si U est un ouvert du plan complexe, si K ⊂ U est uncompact régulier, si f est holomorphe sur U, alors∫

∂Kf(z)dz = 0

Démonstration du théorème. — Cas 1 : K est à bords polygonaux, ce quiest équivalent à dire que les γi définissant le bord de K sont affines par mor-ceaux. Notons D la droite engendrée par une arête du bord. On dit que Ddivise K ssi, si π+ et π− sont les demi-plans ouverts délimités par D, on aK ∩ π−,K ∩K+ = ∅.Sous ces hypothèses, on a K = π+ ∩K

=K1

⊔ π− ∩K=K2

et K1,K2 sont deux com-

pacts à bords polygonaux. Observons alors que∫∂K

=∫∂K1

+∫∂K2

. Si K avaitn droites clivantes, K1, K2 en ont au plus n-1. On se ramène donc au cas depolygones convexes, qui sont triangulables. On en déduit le théorème.

— Cas 2 : Comme K est supposé régulier, on approxime sa fronctière par desbords polygonaux, c’est à dire que l’on approxime les γi par des suites de fonc-tions affines et on se ramène au cas précédent.

II-C- 4. La formule de Cauchy

Théorème. Soit U un ouvert du plan complexe, K⊂⊂regU, f ∈ O(U), z0 ∈K.

Alorsf(z0) =

1

2iπ

∫∂K

f(z)

z − z0dz (II.4)

Ceci implique que f est entièrement déterminée par ses valeurs sur le bord de K,du moment que K est un compact régulier de U . Cela peut paraître surprenant, maissi on considère un autre compact régulier inclus dans U , le théorème de Cauchy nousdonne bien l’égalité des deux intégrales, comme on le verra dans la démonstration.Cela est par ailleurs incroyable, quand on compare aux fonctions dérivables de Rdans R, qui nous ont pourtant servi de point de départ pour l’introduction de la C-dérivabilité : il n’y a aucune raison pour que les valeurs à l’intérieur d’un intervalle[a ;b] sur lequel la fonction est définie soient déterminées par les valeurs en a et enb, sauf si la fonction est affine. Les fonctions holomorphes sont donc en ce sens plusproches de cette classe de fonctions.

Démonstration du théorème. En fait, il faut juste faire un joli dessin :

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..

K

.

z0

.

D(Z0,r)

.

r

.

T

.

U

.

V

On considère la compact régulier de frontière ∂K∪∂D(z0, r). On l’oriente de manièreà toujours avoir le compact à sa gauche. Attention, cela implique que ∂D(z0, r) estorienté dans le sens anti trigonométrique. En appliquant le théorème de Cauchy à lafonction z 7→ f(z)

z−z0 qui est holomorphe sur ce compact, on obtient donc∫∂K

f(z)z−z0 dz−∫ 2π

0f(z0+re

it)reit ireitdt = 0. On obtient ainsi par un rapide échange limite-intégrale∫

∂K

f(z)

z − z0dz = lim

r→0

∫ 2π

0

if(z0 + reit)dt = 2iπf(z0) (II.5)

ce qui achève la démonstration.

On en déduit un résultat fondamental : sur un disque, être holomorphe est équi-valent à être analytique.

II-C- 5. Fonctions holomorphes sur un disque

Au chapitre I, nous avons vu que les fonctions analytiques sur un disque sontholomorphes et, malgré nos efforts, nous n’avons pas réussi à en trouver d’autres. Etc’est normal, comme le montre la théorème/corollaire suivant :

Théorème. Soit f ∈ O(D(z0, R)). Alors ∃! q ∈ C[[X]] tel que R(q) ≥R et tel que ∀z ∈ ∆(z0, R) f(z) = σ(q)(z − z0).

Démonstration du théorème. On aplique la formule de Cauchy. On travaille surdes trucs bien compacts avec convergence uniforme, pas de problème pour les inter-

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versions. Soit z ∈ D(z0, r) =: D.

f(z) =1

2iπ

∫∂D

f(t)

t− zdt

=1

2iπ

∫∂D

f(t)

t− z0 + z0 − zdt

=1

2iπ

∫∂D

f(t)

(t− z0)(1− z−z0t−z0 )

dt

=1

2iπ

∫∂D

f(t)

t− z0

∞∑n=0

(z − z0)n

(t− z0)ndt

=

∞∑n=0

[1

2iπ

∫∂D

f(t)

(t− z0)n+1dt](z − z0)

n

L’unicité vient du principe des zéros isolés que l’on démontrera dans un chapitreultérieur.

On déduit de la démonstration une expression des coefficients du développementde f en z0 :

an(f, z0) =f (n)(z0)

n!=

1

2iπ

∫∂∆(z0),R

f(z)

(z − z0)n+1dz (II.6)

Corollaire. Toute fonction holomorphe est C∞ car localement développable en sérieentière.

Ce corollaire peut sembler surprenant, mais en fait, une équation holomorphe estsolution d’une équation aux dérivées partielles. Or la forme de certaines de ces EDPpeuvent faire que leurs solutions sont extrêmemnt régulières.On en déduit en outre les remarques suivantes :

Remarque. — La série de Taylor de f de terme général an = f(n)(z0)n! est

convergente dans le disque— Les valeurs de f sont contrôlées par les valeurs de f sur tout disque ξ tel que |ξ| =r < R.

Le disque est un exemple intéréssant, surout dans la mesure où l’on travaille surdes ouverts : on pourra donc développer f en série entière autour de chaque point.Intéréssons nous à présent au cas de la couronne :

II-C- 6. Fonctions holomorphes sur un couronne

Si o<r<R on appelle couronne de centre α Cr,R := z, r < |z − α| < R. On sup-pose fixé α.On va introduire ce que l’on appelle Développement en série de Laurent :

Théorème : Développement en série de Laurent. Soit f ∈ O(Cr,R) Alors

∃!q+ ∈ C[[X]], q− ∈ C[[X]], q−(0) = 0 , tel que R(q+) ≥ R et R(q−) ≥ 1r et ∀z ∈

Cr,Rf(z) = q+(z + α) + q−( 1z−α )

Démonstration du théorème. On peut supposer le couronne centrée en 0, on peutensuite conclure par une simple translation.Soit z0 ∈ Cr,R. On choisit ρ+, ρ− tels quer < ρ− < |z0| < ρ+ < R et on considère le compact régulier K := Cρ−,ρ+ . On obtientainsi

f(z0) =1

2iπ[

∫∂∆(0,ρ+)

f(t)

t− z0dt−

∫∆(0,ρ−)

f(t)

t− z0dt]

=∑n∈N

anzn0 (par une astuce analogue à celle du théorème précédent) +

1

z0

∫∂∆(0,ρ−)

f(z)

2iπ(1− tz0)dz

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Il est évident que les formules pour obtenir les coefficients à partir des dérivéesne sont plus valables. En revanche, on peut toujours les déterminer via une formuleanalogue à celle démontrée plus haut. Si jamais la couronne n’est pas centrée en z0on fait une simple translation.

Proposition : Coefficients du développement en série de Laurent. Sous les hypo-thèses du théorème précédent,

∀z ∈ Cα,r,R f(z) =∞∑

n=−∞anz

n (II.7)

où les an sont uniquement determinés par

∀n ∈ Z et ∀ψ ∈]r,R[ an =

∫|z−α|=ψ

f(z)

(z − α)n+1dz (II.8)

On verra dans la prochaine section qu’un des cas les plus intéréssants de déve-loppement en série de Laurent est celui où l’on a affaire à un disque épointé, c’està dire le cas où r=0. Notons que dans le cas d’un disque épointé de centre z0, ennotant an(f, z0) les coefficients du développement en série de Laurent et cn(f, z0, r)les coefficients de Fourier de z 7→ f(z0 + reit), on a alors rnan(f, z0) = cn(f, z0, r).

II-C- 7. Théorème des résidus

Définition : Résidu. Supposons f développable en série de Laurent autour d’unpoint a du plan complexe c’est à dire dans un disque épointé de centre a. On appellerésidu de f en a et on note Res(f : a) la terme d’indice -1 dans le développementen série de Laurent.

Le théorème suivant joue un rôle fondamental dans le calcul d’intégrales, notam-ment de type transformée de Fourier, et constitue une généralisation de la formule deCauchy (rappelons que si f est holomorphe sur l’ouvert tout entier, ses résidus sontnuls).

Théorème. Soit K un compact régulier de Ω ouvert de C, D un ensemble finide points de Ω. Soit f ∈ O(Ω−D). Alors si ∂K ∩D = ∅∫

∂K

f =∑

a∈K∩DRes(f : a) (II.9)

Démonstration du théorème. On travaille autour d’un point p.∫∂D(p,ϵ)

f(z)

2iπdz =

∫∂D(p,ϵ)

∑n∈Z

an1

2iπ(z − p)ndz

or∫∂D(p,ϵ)

(z − p)ndz = δn,−1.

= a−11

2iπ

∫∂D(p,ϵ)

dz

z − p

= Res(f : p).

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III. Prolongement analytique/zéros isolés/fonctionsméromorphes

III-A. Principe du prolongement analytique

Théorème. Soit U un ouvert connexe de C, f ∈ O(U). Si ∃z0 ∈ U,∀n ∈N on a f (n)(z0) = 0 alors f est identiquement nulle.

Démonstration du théorème. Si z0 = 0 et si U = D(0, R) alors le développementen série entière du chapitre précédent permet d’établir le résultat.Si z0 = 0 : Pour alléger les notations, on peut supposer R=1. On va utiliser unehomographie du disque pour se ramener au cas où z0 est le centre du disque. Considé-rons à cet effet la fonction qz0 : z 7→ z+z0

1+z0z. Alors qz0 ∈ O(C−− 1

z0). Par un rapide

calcul, on sait que (|z|, |z0| < 1) ⇒ |z + z0| < |1 + z0z|.Donc qz0(D(0, 1)) ⊂ D(0, 1), et qz0(0) = z0. On dispose également d’un inverse, q−z0 .Posons g := f qz0 . Cette fonction vérifie alors les mêmes hypothèses et il suffit delui appliquer le premier cas.Dans la cas d’un ouvert U connexe quelconque. Soit z1 ∈ U, z1 = z0. On veutmontrer que f(z1) = 0. Comme U est connexe et localement connexe par arcs, ilest connexe par arcs. Soit γ un chemin joignant les deux points considérés. Mais∀t ∈ [0, 1], ∃r(t) > 0, D(γ(t), r(t)) ⊂ U. Par compacité de γ([0, 1]) on extrait de ce re-couvrement ouvert un recouvrement fini D1, . . . Dn. On munit cet ensemble de disquesd’une relation d’équivalence :

i|j⇔∃i = i0, . . . , iq = j,Dik ∩Dik+1= ∅ (III.1)

De plus, si on a plusieurs classes d’équivalences, et non pas une seule, alors ∪ni=1Di

n’est pas connexe, ce qui est absurde, car elle est connexe par arcs. De plus, par lepremier cas, f est constante sur chaque classe d’équivalence. On en déduit que f estconstante.

Corollaire. Si f et g sont holomorphes sur U et si ∃z0 ∈ U,∀n ∈ Nf (n)(z0) =g(n)(z0) alors f = g.

III-B. Principe des zéros isolés

Si f et g coincident sur un ouvert de U connexe non vide et non réduit à un point,elles coincident sur U tout entier.

Théorème. Soit U un ouvert connexe de C, f ∈ O(U), f = cste.∀a ∈C l’ensemble f−1(a) est discret.

Démonstration du théorème. On suppose a = 0 (sinon on considère g : z 7→f(z) − a). O sait que f n’est pas constante. On en déduit, par analycité locale desfonctions holomorphes, que ∀z0 ∈ U∃n ∈ N, f (n)(z0) = 0.Posons vz0(f) = v = infn ∈ N, f (n)(z0) = 0.f(z) = (z−z0)v

∑n≥v an(z−z0)n−v = (z−z0)vg(z). De plus, av = 0 par construction.

Donc ∃ϵ > 0, g(z) = 0 sur D(z0, ϵ). Comme (z−z0) est non nulle sur le disque épointéen z0, on en déduit que f est non nulle sur ce disque, sauf éventuellement en z0. Ainsi,f−1(0) est discret.

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III-C. Fonctions méromorphes

III-C- 1. Fonctions méromorphes et singularités

Définition : Fonctions méromorphes. Soit U un ouvert de C et f : U 7→ C∪∞.On dit que f est méromorphe sur U si pour tout p ∈ U ∃V voisinage de p tel que

— soit f|V ∈ O(V )( et ainsi V ∩ f−1(∞) = ∅.)— soit 1

f |V∈ O(V )( et ainsi V ∩ f−1(0) = ∅.)

On note f ∈ M(U)

Notons qu’une fonction holomorphe est directement méromorphe. Si de plus f−1(0) =∅, les deux conditions de la définition sont vérifiées par les propriétés générales de l’ho-lomorphie.

III-C- 2. Principe des zéros isolés méromorphe

Proposition : Principe des zéros isolés. Soit f une fonction méromorphe sur U nonconstante. Alors Z(f) := f−1(0) ainsi que P (f) := f−1(∞) sont fermés, discrets etdisjoints dans U. De plus, f|U−P (f) ∈ O(U − P (f), 1f |U−Z(f)

∈ O(U − Z(f)).

Démonstration de la proposition. Il suffit de la faire pour Z(f) comme P (f) =Z( 1f ). Montrons que Z(f) est un fermé :

III-C-1 Premier point

Soit (zn)n∈N ∈ Z(f)N, zn →n→∞

z. Montrons que f(z) = 0. Comme f est méro-morphe, si V désigne un voisinage de méromorphie de z, la seule possibilité est quef ∈ O(V ). On prend V = D(z0, ϵ) de sorte que V est connexe. Si f|V = cste par leprincipe des zéros isolés, f est constante et donc f(z) = 0.Quoiqu’il en soit, f est continue sur V donc continue en z. Donc f(z) = limn→∞ f(zn) =0. (En outre, f−1(0 ∩ V est discret , z est isolé. Donc z ∈ Z(f)).

III-C-2 Deuxième point

Remarquons que si f ∈ M(U), f−1(∞) = ∅ ⇒ f ∈ O(U) En effet, 1f : U → C∗

et i : C∗ → C∗ est holomorphe. Donc i 1f ∈ O(V ). On en déduit le deuxième point.

Il est assez extraordinaire que l’on puisse caractériser les points de méromorphieà l’aide du développement en série de Laurent de f . Si z est un pôle de f 6, il suffit,pour que f soit méromorphe en z, que son DSL admette un nombre fini de termesd’indices négatifs.

Proposition. U étant un ouvert connexe de C, f ∈ M(U), f = cste, soit z0 un pôlede f . On sait, par le chapitre 2 et la proposition précédente que ∃R > 0 tel que f∈ O(D∗(z0, R). Alors le développement en série de Laurent de f en z0 n’a qu’unnombre fini de termes négatifs.

Démonstration de la proposition. Soit z0 un pôle de f . Alors sur un voisinagede la forme D(0, ϵ) := V , 1

f est holomorphe. Notons ψ la restricition de 1f à V .

Comme U est connexe et f non constante, ψ n’est pas constante par le principe deszéros isolés. De plus on peut écrire le développement en série entière de ψ autour dez0 : ψ(z) =

∑∞n=0 an(z − z0)

n. Mais ψ(z0) = 0 donc a0 = 0. Soit v := mink ∈N tel que ak = 0 ≥ 1. Donc ψ(z) = (z − z0)

v(av + ϕ(z)), avec ϕ(z0) = 0. Donclocalement f(z) = (z−z0)−v 1

av+ϕ(z)Mais 1

a+ϕ(z) admet un prolongement holomorphe

6. C’est à dire un des points où la méromorphie pose problème : la seule possibilité est que l’inversede f y soit holomorphe.

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sur le disque en posant 0 comme valeur en z0. Donc elle admet un développementen série entière de coefficients bn et ainsi f(z) = (z − z0)

−v∑∞n=0 bn(z − z0)

n. Onconclut par unicité de la série de Laurent.

Corollaire. Soit f ∈ M(U) et z0 ∈ P (f). Alors ∃ v ∈ N, z → (z − z0)vf(z) se

prolonge à f1 ∈ O(U − (P (f) ∪ z0) et réciproquement : si f ∈ O(U − z0) et s’ilexiste v ∈ N tel que z 7→ (z − z0)

vf(z) se prolonge à f∗ ∈ O(U) alors f admet unprolongement méromorphe f∗∗ sur U .

Démonstration du corollaire. Le premier point a été établi pendant la preuvede la proposition.

On en déduit qu’une fonction f méromorphe sur un ouvert ou bien est localementholomorphe ou bien admet un développement en série de Laurent avec un nombre finide termes d’indices négatifs.

Corollaire. Soit U un ouvert connexe de C, f, g ∈ M(U) = ∞. Alors f+g, fg ∈O(U − (P (f) ∪ P (g))) et se prolongent à des fonctions méromorphes que l’on noteraabusivement f + g et fg. On peut ainsi dire que M(U)− ∞ forme un corps.

Corollaire. Soit U un ouvert connexe de C, f une fonction méromorphe non constantesur U. Alors :∀a ∈ C− ∞ f−1(a) est un fermé discret.

III-C- 3. Singularités essentielles

On distingue trois genres de singularités : supposons que f soit holomorphe surU − z0. On peut alors considérer trois cas :

— Si f est bornée ou continue au voisinage de z0 alors f se prolonge en unefonction holomorphe sur U . 7 Le DSL de f en z0 n’a pas de termes d’indicesnégatifs.

— Si le développement en série de Laurent de f a un nombre fini de termesd’indices négatifs (appelons n le plus grand de ces indices), on parle alors depôle d’ordre n car on alors z 7→ (z − z0)

nf(z) →z→z0

an = 0.

— Si le développement de f en série de Laurent admet une infinité de termesd’indice négatifs, on parle de singularité essentielle. On précise cela dans ladéfinition suivante.

Définition : Singularité essentielle. Soit U un ouvert de C, z0 ∈ U, f ∈ O(U −z0).On dit que f présente une singularité essentielle en z0 si f ne se prolongepas en une fonction méromorphe sur U.

Globalement, la fonction oscille de manière complétement incontrôlée autour dupoint z0, ce qui est expliqué par le théorème de Casorati-Weierstrass :

Théorème : Casorati-Weierstrass. Si f a une singularité essentielle en z0, l’en-semble des valeurs d’adhérence de f quand z → z0 est C ∪ ∞.

La démonstration de ce théorème fait appel aux deux lemmes suivants :

Lemme : Estimation de Cauchy. Si g ∈ O(D(0, R)),∀r < R

|g(k)(O)| ≤ k!r−nmax|z|=r

|g(z)| (III.2)

7. Cela nécessite la théorème de Morera.

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Démonstration du lemme.

1

2iπ

∫|z|=r

g(z)

zk+1dz =

1

2iπ

∑n∈N

∫|z|=r

anzn−k−1dz

= ak

=g(k)(0)

k!

Lemme : Liouville. Si g ∈ O(C) vérifie ∀z ∈ C|g(z)| ≤ A + B|z|k alors g est unpolynôme de degré au plus k.

Démonstration du lemme. L’inégalité de Cauchy est de nouveau appliquée audisque de centre z et de rayon R :

∀z ∈ C, |f(k+1)(z)|(k+1)! ≤ sup|f(w)|,|w−z|=R

Rk+1 ≤ A+B(|z|+R)k

Rk+1 . à nouveau, en faisanttendre R vers l’infini, il vient : ∀z ∈ C, f (k+1)(z) = 0

Démonstration du théorème. On raisonne par l’absurde ; soit w0 ∈ C qui n’estvaleur d’adhérence d’aucune suite de la forme f(zn), zn = z0, zn →

n→∞z0. écrivons le

développement en série de Laurent de la fonction dans un disque convenable D(0, R) :

f(z) =∑n∈Z an(z − z0)

n = ϕ( 1z−z0 ) + g(z − z0) avec g ∈ O(D(0, R)) et ϕ ∈ O(C)

Ainsi w1 := w0−g(0) n’est valeur d’adhérence d’aucune suite de la forme ϕ(wn), wn →n→∞∞.

Ainsi, ψ : z 7→ 1ϕ(z)−w1

∈ M(C) n’a des pôles qu’en nombre fini : on utilise le principedes zéros et des pôles isolés méromorphe et, par hypothèse, ces pôles appartiennent àun ensemble borné. Notons ces pôles x1, . . . , xs. On fait un développement en série de

Laurent de ψ en chacun de ces pôles : en xi on a ψ(z) =1∑

k=−n

ai,1(z − xi)k

︸︷︷︸:=P,ψ,xi (z)

+ψi(z)

avec ψi une fonction holomorphe. Comme ψ est méromorphe sur le plan complexe en-tier, les ψi définissent des fonctions entières. Donc ψ −

∑si=1 P,ψ,xi est une fonction

entière. Elle est de plus bornée : Les P,ψ,xi sont clairement bornés ( on travaille surun nombre fini de termes) et ψ(z) →

|z|→∞0 comme w1 n’est plus valeur d’adhérence

pour |z| assez grand. Donc∑si=1 ψi est une fonction entière bornée par une constante.

Par le lemme de Liouville, c’est une constante. Donc ψ est une fonction méromorphe,holomorphe pour |z| suffisamment grand, et tend vers 0 quand |z| → ∞. Donc en par-ticulier ϕ est bornée sur C (en effet, ϕ est holomorphe et ne peut avoir de pôle doncψ ne peut pas s’annuler sur C). Mais ϕ est une fonction entière. On en déduit queϕ est une constante et donc que f est une série entière. Donc z0 n’est pas un pôle.Voilà qui est absurde.

III-D. Argument et logarithme complexe

Définition. Soit z ∈ C∗. On dit que w est un logarithme de z si ew = z et qu’unréel ω est un argument de z si z = |z|eiω.

On introduit alors la détermination principale du logarithme et de l’argument :Arg[z]est l’unique argument de z dans ]− π, π] et Log[z] = ln[|z|] + iArg[z].

III-E. Un peu de calculs !

III-E- 1. Dénombrement de zéros et de pôles : le principe de l’argument

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Théorème : Principe de l’argument. Soit U un ouvert connexe du plan complexeet f ∈ M(U) non constante. Soit a ∈ C. Soit K ⊂⊂ U un compact régulier telque la fonction f − a n’admette ni séro ni pôle sur ∂K. Notons Z[a] le nombrede zéros comptés avec multiplicité de la fonction f − a et P [a] le nombre de pôlescomptés avec multiplicité de la fonction f − a dans l’ouvert U . Alors

1

2iπ

∫∂K

f ′

f − a= Z[a]− P [a]

Démonstration du théorème. Pour simplifier les notations, on peut supposer a =0. Soit z un zéro ou un pôle d’ordre fini de f de multiplicité m. Notons n = m si c’estun zéro, n = −m si c’est un pôle. Alors on écrit

f [w] = (w − z)ng[w]

avec g holomorphe sur un voisinage de a. On en déduit

f ′[w]

f [w]=

n

w − z+g′[w]

g[w]

et ainsi Res( f′

f : z) = n. On applique ensuite simplement le théorème des résidus.

III-E- 2. Calculs par la formule des résidus

III-E-1 Forme générale d’un résidu

On vérifie immédiatement, par un calcul sur la série de Laurent de f en a que, sia est un pôle d’ordre n alors

Res(f : a) =1

(n− 1)!limz→a

dn−1

dzn−1((z − a)nf(z))

III-E-2 Transformée de Fourier d’une fraction rationnelle

On considére R une fraction rationnelle de la forme R = PQ où Q est sans pôles

réels et ou deg[Q] − deg[P ] ≥ 2 pour assurer l’intégrabilité. On introduit ensuite latransformée de Fourier de R en ω par TR[ω] :=

∫ +∞−∞ eiωxR[x]dx

Pour la calculer, on introduit le demi-cercle supérieurS(0, 1) orienté dans le sens directet on applique la formule des résidus (on prend les zéros de Q dans le demi-plan supé-rieur). On vérifie rapidement que l’intégrale sur le demi-cercle privé de son intersectionavec l’axe des abscisses tend vers 0 et on obtient donc

∀ω > 0 TR[ω] = 2iπ∑

a∈Z(Q) |ℑ(a)>0

Res(Reiωz : a)

III-E-3 Intégrale de R[x]xα

On choisit α ∈]0; 1[ et R une fraction rationnelle de degré négatif sans pôle réel. Demême, on choisit la détermination principale du logarithme. On considère l’intégrale

I :=

∫ ∞

0

R[x]

xαdx

bien définie car convergente en 0 et en +∞. On intègre sur un contour du type suivant :

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III-E-4 Intégrale de R[x]log[x]

avec deg(R) ≤ −2On intègre f [z] := R[z](log[z])2 sur le contour de l’exemple précédent où le logarithmeest cette fois ci choisi de sorte que ℑlog[z] ∈]0, 2π[ c’est à dire que l’on retire la droiteR+.Par les mêmes arguments, on obtient fatalement

2iπ∑z∈C

Res(f : z) =

∫ ∞

0

R[x]((ln[x])2 − (ln[x] + 2iπ)2)dx

=

∫ ∞

0

R[x](4π2 − 4iπlog[x])dx

intégrale que l’on sait calculer.

IV. Primitives et intégrales de fonctionsholomorphes

IV-A. Primitives

Si f ∈ O(U), f est localement développable en série entière, objet que l’on primi-tive aisément. On en déduit le

Lemme. Soit f ∈ D(z0, R). ∃F ∈ O(D(z0, R)), F′ = f .

Le corollaire qui en découle est toutefois beaucoup plus puissant, puisqu’il nousdonne un caractérisation des fonctions harmoniques à valeurs réelles : on a vu auChapitre 1 que si f est holomorphe, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont har-moniques. En voici la réciproque :

Corollaire. Soit h ∈ C2(D(z0, R),R),∆h = 0. ∃g ∈ O(D(z0, R), h = ℜ(g). Enparticulier, h ∈ C∞(D(z0, R),R).

Démonstration du corollaire. Par hypothèse, h est de classe C2. On peut doncposer f := ∂zh. Alors f est de classe C1 et ∂zf = 1

4∆h = 0 par hypothèse. Par leChapitre I, on en déduit que f est holomorphe. Soit ensuite F une primitive de f surle disque. Alors

∂zF = f

∂zF = 0

∂zRe(F ) =1

2∂zF +

1

2∂zF =

1

2f + (∂zF ) =

1

2

Un calcul du même genre nous donne aussi ∂zRe(f) = 12f . Comme h est à valeurs

réelles, ∂zRe(F ) = 12∂zh = 1

2∂zh.

Donc Re(F )− 1

2h︸︷︷︸

:=ϕ

est annulée par les deux opérateurs ∂z et ∂z. Comme ∂x = ∂z + ∂z

on en déduit ∂xϕ = ∂yϕ = 0. Comme on travaille sur un connexe, ϕ est constante àune valeur c. Alors g = 2(F − c) convient.

On peut se poser la question de savoir si f admet une primitive sur U tout entier.Le théorème suivant nous impose certaines restrictions :

Théorème. Soit U un ouvert connexe, f ∈ O(U) Les propriétés suivantes sontéquivalentes :

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(i) F admet une primitive sur U(ii) ∀γ ∈ C1

pm([0, 1], U), γ(0) = γ(1) ⇒∫γf(z)dz = 0

(iii) ∀γ ∈ C1pm([0, 1], U),

∫γf(z)dz ne dépend que des extrémités de γ.

Démonstration du théorème. (ii) et (iii) sont équivalentes. Pour avoir (i) ⇒ (ii)il suffit de voir que l’intégrale d’une forme différentielle exacte sur un chemin ferméest nulle. Pour le sens réciproque, il suffit de poser, avec un point a ∈ U fixé, F (z) =∫[a,z]

f(z)dz et (ii) nous assure que F est bien définie.

IV-B. Homotopie et simple connexité

Définition : Homotopie. Considérons 2 chemins γ0, γ1 ∈ Ck([0; 1], U) tels queγ0(0) = γ1(0) = z0, γ0(1) = γ1(1) = z1 . On dit qu’ils sont Ck-homotopes si ilexiste H : [0; 1]2 → U de classe Ck tel que :

— ∀t ∈ [0; 1] H(t, 0) = z0— ∀t ∈ [0; 1] H(t, 1) = z1— ∀t ∈ [0; 1] H(0, t) = γ0(t)— ∀t ∈ [0; 1] H(1, t) = γ1(t)

On indexe une famille de chemin par [0; 1] grâce à H. Dans la suite, on notera ceschemins γs. Ce que la définition veut dire, c’est que les deux chemins se transformentl’un en l’autre par une transformation Ck.

Lemme. Si γ0, γ1 ∈ C2([0; 1], U) sont C2-homotopes alors ∀f ∈ O(U) on a l’égalité∫γ0f =

∫γ1f

Démonstration du lemme. Pour tout s ∈ [0, 1] posons

ϕ(s) :=

∫γs

f =

∫ 1

0

f(H(s, t))∂tH(s, t)dt (IV.1)

ϕ est de classe C1. On doit montrer qu’elle est constante.

ϕ′(s) =

∫ 1

0

d

ds[(f H)(s, t)∂tH(s, t)]dt

=

∫ 1

0

[f(H(s, t))∂2H

∂s∂t+ f ′(H(s, t))∂sH∂tH]dt

=

∫ 1

0

∂t[f(H(s, t))∂sH(s, t)]dt

= f(H(s, 1))∂sH(s, 1)− f(H(s, 0))∂sH(s, 0)

= 0

Remarque. — La relation de Ck-homotopie est une relation d’équivalence pourk = 0 (le seul problème est la transitivité, mais on peu réussir à recoller H1 etH2 de manière continue).

— 2 chemins de classe Ck sont Ck-homotopes si et seulement si ils sont C0-homotopes. Donc la Ck-homotopie reste une relation d’équivalence : on ne ledémontre pas ici, mais on approche en fait le H de la C0-homotopie par desHn de classe Ck.

Introduisons une large classe d’ouverts : les ouvert simplement connexes.

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Définition : Simple connexité. U ⊂ C étant un ouvert connexe, U est dit sim-plement connexe si 2 chemins sontinues ayant les mêmes extrémités sont toujoursC0-homotopes.

Cette propriété topologique mesure le nombre de trous de l’ouvert : un ouvert"troué" alors il n’est pas simplement connexe.En particulier, sur un ouvert simplement connexe, toute fonction holomorphe admetune primitive. Qui plus est, si f est une fonction holomorphe sur U telle que f nes’annule pas sur U , alors il existe g holomorphe sur U telle que exp(g) = f : pourcela, on pose g =

∫f ′

f .Donnons des exmples d’ouverts simplement connexes : les convexes, C privé d’unedemi-droite fermée. . .

V. Le principe du maximum

V-A. Formule et inégalité de la moyenne

V-A- 1. La formule de la moyenne

Proposition : Formule de la moyenne. Soit f holomorphe sur U, z0 ∈ U, R >0, D(z0, R) ⊂ U . Alors

f(z0) =1

2π

∫ 2π

0

f(z0 +Reit)dt =1

πR2

∫ ∫D(z0,R)

f(x+ iy)dxdy (V.1)

Démonstration de la proposition. On utilise la formule de Cauchy :On sait que

f(z0) =1

2iπ

∫∂D(z0,R)

f(z)z−z0 dz

= 12iπ

∫ 2π

0f(z0+Re

it)Reit iReitdt

= 12π

∫ 2π

0f(z0 +Reit)dt

La deuxième formule ne pose pas beaucoup plus de problème.

Remarque. On a vu dans le chapitre précédent que les harmoniques à valeurs réellessont intimement liées aux fonctions holomorphes. Le résultat s’étend sans problèmesaux fonctions harmoniques de classe C2. Il en existe de plus une preuve directe via lelemme de Poincaré.

V-A- 2. L’inégalité de la moyenne et ses conséquences

Corollaire : Inégalité de la moyenne. On dispose, si f est holomorphe sur l’ouvertU, des propriétés suivantes :

— |f(z0)| ≤ 12π

∫ 2π

0|f(z0 +Reit)|dt

— |f(z0)| ≤ 1πR2

∫ ∫D(z0,R)

|f(x+ iy)|dxdyavec égalité si et seulement si f est constante sur le disque.

Démonstration du corollaire. 1. Premier cas :Supposons f(z0) = 0. Si on a égalité, alors ∀ξ ∈ [0, 2π] f(z0 + Reiξ) = 0. Uneapplication de la formule de Cauchy et du principe des zéros isolés nous fournitalors le résultat.

2. Deuxième cas :Supposons que f ne s’annule pas sur tout le disque ( dans le premier cas, unbiholomorphisme classique nous dit que si f s’annule en un point, on peut ra-mener la situation à celle où ce point est le centre du disque). Soit alors ξ0tel que f(z0) = |f(z0)|e−iξ0 . Par les théorèmes généraux, on sait que eiξ0f estholomorphe. De plus, par hypothèse et par la formule de la moyenne |f(z0)| =

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12π

∫ 2π

0|f(z0+Reit)|dt = |f(z0)| ≤ 1

2π

∫ 2π

0f(z0+Re

it)eiξ0dt. Par un lemme clas-sique, eiξ0f est à argument constant sur ∂D(z0, R). Quitte à multiplier par uneconstante, on peut même supposer que eiξ0f est à valeurs réelles sur ∂D(z0, R).Ainsi, si g = eiξ0f , ℑ(g)|∂D(z0,R) = 0. Mais ℑ(g) est une fonction harmoniqued’après le Chapitre I. Mais si u est une fonction harmonique à valeurs réelless’annulant sur ∂D(z0, R) alors u = 0. En effet, par la formule de la moyenneu(0) = 1

2π

∫ 2π

0u(eit)dt ⇒ u(0) = 0. Par un biholomorphisme (l’harmonicité se

préserve par transformations holomorphes) du disque, on étend le résultat à toutle disque. On en déduit donc que ℑ(g) = 0 sur tout D(z0, R). Par les équationsde Cauchy-Riemann, Re(g) est constante sur ce même disque donc que g estconstante, donc que f est constante.

On a même montré plus fort : une fonction à partie imaginaire ou réelle constantesur la frontière d’un disque est en fait constante sur tout le disque.

V-B. Principe du maximum

V-B- 1. énoncé

Théorème : Principe du maximum. Soit U un ouvert de C, K⊂⊂ U un compactrégulier, f ∈ O(U). Alors MK := |f(z)|

z∈Kest atteint sur ∂K. De plus, si ∃z0 ∈

K, |f(z0)| =MK , f est constante.

Par exemple, la surface suivante ne peut pas être la surface définie par le moduled’une fonction holomorphe :

Figure 2 – Cloche

C’est d’ailleurs vrai pour les fonctions harmoniques...

Démonstration du théorème. Supposons que z0 ∈K vérifie la propriété. On en

déduit qu’il existse R > 0, D(z0, R) ⊂K, ∀t ∈ [0, 2π], |f(z0 + Reit)| ≤ |f(z0)|. En

intégrant cette inégalité, il vient le cas d’égalité du théorème précédent. On en déduitque f est constante sur D(z0, R) puis, par le principe des zéros isolés, qu’elle estconstante.

Donnons de ce théorèeme une application fondamentale :

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V-B- 2. Le lemme de Schwarz

Théorème : Lemme de Schwarz . Soit f ∈ O(D(0, 1)) telle que ∀z |f(z)| ≤ 1 ettelle que f(0) = 0. Alors |f ′(0)| ≤ 1.

Démonstration du théorème. Comme f(0)=0, on peut considérer la fonction ho-lomorphe sur le disque g : z 7→ f(z)

z .Introduisons la fonction définie sur [0,1] M : r 7→ M(r) := max

|z|=r|f(z)|. Par le prin-

cipe du maximum, cette fonction M est une fonction croissante. Mais par hypothèse,∀0 ≤ r ≤ 1M(r) ≤ 1

r . La fonction de droite est une fonction décroissante. En faisanttendre r vers 1, on obtient ∀z ∈ D(z0, 1)| f(z)z | ≤ 1. En faisant tendre z vers 0, onobtient le résultat voulu.

VI. Suites de fonctions holomorphes

U désigne toujours un ouvert du plan complexe.

VI-A. Le théorème de convergence

Théorème : Weierstrass. Soit (fn)n∈N ∈ (O(U))N. Supposons qu’elle convergeuniformément sur tout compact K ⊂ U . Alors sa limite f vérifie :

— f ∈ O(U)

— ∀k ∈ N la suite f (k)n converge uniformément vers f (k) sur tout compact.

Démonstration du théorème. Il faut surtout se souvenir que l’holomorphie estune propriété locale : soit donc z ∈ U,R > 0 tel que D(z,R) ⊂ U .La preuve repose essentiellement sur la démonstration de l’analycité des fonctionsholomorphes : si on réussit à prouver que f satisfait une formule du type Cauchy, onaura gagné (la preuve calque celle du chapitre 2).Notons qu’alors fn(z) = 1

2iπ

∫|t|=R

fn(t)t−z dt. On sait qu’on a convergence uniforme sur

la compact considéré. On obtient donc

f(z) = 12iπ

∫|t|=R

f(t)t−z dt

. Ainsi, f est holomorphe.De même f (k)n (z) = 1

2iπ

∫|t|=R

f(t)(t−z)n+1 dt et f (k)(z) = 1

2iπ

∫|t|=R

f(t)t−z dt. Ainsi,

|f (k)(z)− f (k)n (z)| ≤ k!

2π2πRR−(n+1)||fn − f ||∞ (VI.1)

Donc les suites des dérivées k-ièmes vérifient les mêmes hypothèses (convergenceuniforme). On en déduit le résultat.

VI-B. Le théorème de Montel

Théorème : Montel . Soit (fn)n∈N ∈ O(U)N. Si ∀K ⊂⊂ U compact∃ M(K), tel que ∀n ∈ N||fn|K ||∞ ≤ M(K) alors on peut extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tous les compacts de U.

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Démonstration du théorème. La preuve est un peu technique et fait appel authéorème d’Ascoli ainsi qu’au procédé d’extraction diagonale. On introduit une suitede compacts Kn qui recouvre U :

Kn := z ∈ D(0, n), d(z, U c) ≥ 1n

i.e :— U = ∪n∈NKn

— ∀n ∈ NKn ⊂

Kn+1

On introduit ensuite δn tel que ∀z ∈ Kn on a D(z, 2δn) ⊂ Kn+1 (il suffit de prendreδn = 1

2n(n+1)).Notons F notre famille de fonctions et F|Kn := f|Kn , f ∈ F. Montrons que F|Kn estcompact. Pour cela, on montre qu’elle est équilipschitzienne :Soitz, z′ ∈ Kn, |z− z′| ≤δn. On considère le cercle γ := C(z, 2δn) orienté dans le sens trigonométrique. D’aprèsla formule de Cauchy

|f(z)− f(z′)| = | 1

2iπ

∫γ

[f(ξ)(1

ξ − z− 1

ξ − z′)]dξ|

= |z − z′

2iπ

∫γ

f(ξ)

(ξ − z)(ξ − z′)dξ|

≤ |z − z′|2π

M(Kn+1)

2δ2nπ4δn

≤ M(Kn+1)

δn|z − z′|

La famille est donc équilipschitzienne, donc équicontinue. Par le théorème d’Ascoli,après avoir fait une extraction diagonale, on en déduit le théorème de Montel.

VII. Inversion des fonctions holomorphes/Représentation conforme

Dans tout le chapitre U désigne un ouvert du plan complexe. Pour plus de rensei-gnements, voir [Lan03]

VII-A. Théorème d’inversion locale holomorphe

VII-A- 1. énoncé et preuve rapide

On présente ici la dernière méthode élémentaire de construction de fonctions ho-lomorphes.

Théorème : Inversion locale holomorphe. Soit z0 ∈ U, f ∈ O(U), f ′(z0) = 0.Sous ces hypothèses, il existe r > 0 tel que

— f(D(z0, r):=D

) = U ′ ouvert du plan complexe.

— f est bijective de D sur U’.— La bijection réciproque, abusivement notée f−1 est holomorphe sur U ′.

Démonstration du théorème. On utilise le théorème d’inversion locale du calculdifférentiel. Celui nous donne les deux premières conclusions. Pour avoir le caractèreholomorphe de la bijection réciproque, d’après le I.2 il suffit de montrer que sa dif-férentielle est C−linéaire. Mais ∀f(x) ∈ U ′ df−1

f(x) = (dfx)−1 qui est C-linéaire par

holomorphie de f. Ceci conclut la preuve.

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VII-A- 2. Une deuxième preuve : les séries majorantes

Utile pour le théorème de Cauchy-Lipschitz holomorphe.Le problème étant local, on peut se ramener au cas z0 = 0. De plus, quitte à

remplacer f par f − f(z0), on peut supposer f(z0) = 0 .écrivons alors le développement en série entière de f autour de z0

f(z) = z − a2z2 − a3z

3 . . . (VII.1)

on peut se ramener à cette forme quitte à modifier la fonction f.Prouvons par récurrence la proposition suivante :

∀n ≥ 1 ∃!qn = z+bn2+· · ·+bnnzn ∈ C[z] tel que f qn(z)∈C[[z]]

= z+zn+1γn(z), γn(z) ∈ C[[z]]

(VII.2)

VII-A-1 Analyse de la formule de récurrence

Si n ≥ 1, on a donc f qn+1(z) = z + zn+2γn+1(z). Ainsi

f qn+1(z) =(z + b2z2 + · · ·+ bn+1z

n+1)

− a2(z + b2z2 + · · ·+ bn+1z

n+1)2

− . . .

Ainsi, les termes de degre j ≤ n de fqn+1 dépendent seulement de a2, . . . , an, b2, . . . , bn(moralement, ils ne dépendent jamais de bn+1.) Pour le voir, il suffit de se concentrerassez fort sur la formule... Les autres termes n’importent donc pas dans le calcul.Ainsi, f (z + bn+ 12z

2 + · · · + bn+1n zn) a les mêmes termes de degré inférieurs ou

égaux à n que f qn+1 = z + zn+1γn+1(z).de là vient que f(z+bn+1

2 z2+· · ·+bn+1n zn) = z+dnz

n+1+dn+1zn+2+. . . =

par la remarque précédentez + znγnz

n Ainsi, si on suppose l’unicité vérfiée au rang n, on obtient qn+1 =qn + bn+1z

n+1 ∈ C[z].

VII-A-2 Synthèse

On remarque que pour n=1, q1(z) = z est la seule fonction qui marche.Supposons à présent la propriété établie au rang n. L’analyse prédemment menée nousindique ainsi que l’on doit chercher qn+1 sous la forme qn + bn+1z

n+1.Mais f (qn + bn+1z

n+1) = z + zn+1γnz = z + cn+1zn+1 + cn+2z

n+2 + . . .=zn+2γn+1(z)

Moralement, on veut cn+1 = 0. Mais

cn+1 = bn+1 − a2fn,2(b2, . . . , bn)− a3fn,3(b2, . . . , bn−1)− · · · − an+1

avec les fn,i bien déterminés (la formule explicite étant extrêmement longue et com-pliquée, on ne prendra pas la peine de la noter ici.)Le seul choix possible (et il marche) est donc de prendre

bn+1 =

n+1∑i=1

aifn,i(b2, . . . , bn+2−i) (VII.3)

avec fn,n+1 = 1. On construit ainsi la série formelle

q(z) = z +

∞∑n=2

bnzn ∈ C[[z]] (VII.4)

et on vérifie que f q = Id. Si on réussit à justifier la convergence de q, on aura notreinverse holomorphe.

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VII-A-3 Convergence de q

On a construit les fn,k de telle sorte qu’ils soient dans N[b2, . . . , bn+2−k]. Donc

bn+1 ∈ N[a2, . . . , an+1, b2, . . . , bn]

car les fn,k sont construits à partir des ai.Par itération, on en déduit alors

bn+1:=P (a2,...an+1)

∈ N[a2, . . . , an+1]

De plus, les coefficients de P étant tous positifs ou nuls, on a immédiatement lamajoration

|bn| ≤ P (|a2|, . . . , |an|) (VII.5)

Par suite, en notant R(·) le rayon de convergence d’une série formelle, f(z) := z −|a2|z2 − . . . et q la série formelle associée à cette nouvelle fonction holomorphe, onobtient

R(q) ≥ R(q)

Les an définissant une série convergente, on en déduit qu’ils sont majorés par unesérie géométrique :

∃M,R ∈ R+ ∀n ∈ N |an| ≤ MRn

Alors R(q) ≥ R(q∗) avec q∗(z) := z − MR2 z

2 − . . . et où on définit de même f∗. q∗est uniquement déterminée. Ainsi, on doit prouver R(q∗) > 0 et f∗ est appelée sériemajorante. Et f∗ q∗ = IdMais

f∗(z) = z −M∑n≥2

zn

Rn

Soit w ∈ C

f∗(z) = w⇔w(1− z

R) = R

z

R(1− z

R)−M

z2

R2

⇔(M +R)z2

R2− (R+ w)

z

R+ w = 0

C’est une équation de degré 2 en zR qui se résoud remarquablement bien. Comme

on veut avoir q∗(0) = 0, on choisit alors la solution

z

R=R+ w −

√∆

2(M +R)(VII.6)

avec ∆ := (R+ w)2 − 4w(M +R).Posons alors

p∗(w) :=R+ w −

√∆

2(M +R)(VII.7)

Par construction f∗p∗ = Id. Par unicité de q∗, on en déduit p∗ = q∗. Donc R(q∗) > 0.On en déduit que q∗ (et donc q) est holomorphe.

VII-A-4 Caractère ouvert de f

Il existe ρ, r > 0 tel que RC(q) > ρ et tel que q(∆(0, ρ)) ⊆ ∆(0, r). Si w ∈ ∆(0, ρ)alors f(q(w)) = w donc ∆(0, ρ) ⊆ f(∆(0, r)). Donc f est une application ouverte. Lecaractère ouvert étant une propriété locale, on en déduit que f est une applicationouverte.

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VII-B. Une application : le théorème de l’image ouverte

Lemme. On suppose f ∈ O(D(z0, ρ), tel que ∀z ∈ D(z0, ρ), z = z0 ⇒ f(z) = 0 et telque f(z0) = 0. Sous ces conditions :

∃0 < R′ ≤ ρ, m ∈ N et ϕ ∈ D(z0, R′)

tels que

ϕ′(z0) = 0 et f = ϕm

Démonstration du lemme. On écrit f(z) = zmg(z) avec g(0) = 0 sur un disqueoù 0 est le seul zéro de f , par le principe des zéros isolés (on a translaté le problèmeen supposant z0 = 0.)On définit alors h : z 7→ (g(z))1/m. Alors h est holomorphe sur le disque, et ϕ : z 7→zh(z) convient alors.

Corollaire. On suppose ici que U est de plus connexe. Alors , si f est holomorphesur U non constante, f(U) est un ouvert connexe du plan complexe.

Théorème. Soit f ∈ O(U) injective sur U . Alors f ′ ne s’annule jamais sur U .En particulier f est un biholomorphisme de U sur f(U).

Démonstration du théorème. Si on réussit à montrer que f ′ ne s’annule pas surU , la premier théorème du chapitre nous fournira la conclusion. Pour cela, supposonspar l’absurde que f ′ s’annule en un point z0. On peut sans problème supposer que0 ∈ U et que z0 = 0. Ainsi, par le lemme précédent, on peut écrire f sous la formeϕm avec ϕ′(0) = 0, ϕ ∈ O(U). Comme f ′(0) = 0 on a m ≥ 2. Par II on choisit r > 0tel que f(∆(0, r)) est ouvert et tel que f soit un biholomorphisme de ce disque surson image. Comme ϕ est holomorphe, ϕ est en particulier surjective sur un plus petitdisque ∆(0, r′) ⊆ f(∆(0, r)). Introduisons alors les ξk := r′

2 e2ikπm et les zk tels que

ϕ(zK) = ξk. Alors ∀k ∈ 0, . . . ,m− 1 f(zk) = ( r′

2 )m

VII-C. Représentations conformes

VII-C- 1. Introduction et premières définition

Si U ′ désigne un autre ouvert du plan complexe, si f : U → U ′ est un biholomor-phisme (bijection holomorphe de réciproque holomorphe) alors f ′ ne s’annule pas surU ( car la réciproque est différentiable et sa différentielle s’exprime en fonction del’inverse de celle de f. Si celle-ci s’annule, f−1 ne saurait être holomorphe).Donc ∀z0 ∈ U, dfz0 coincide avec la multiplication par f ′(z0). En particulier, la diffé-rentielle de f en z0 dfz0 préserve les angles orientés entre les vecteurs plans.Réciproquement, une application linéaire bijective de Rn muni de sa structure eucli-dienne est dite conforme si pour tous les vecteurs u, v du plan, en notant ˆ(u, v) leurangle orienté 8on a

ˆ(ϕ(u), ϕ(v)) = ˆ(u, v)

Un peu de géométrie élementaire nous fournit directement le lemme suivant :

Lemme. Une application linéaire ϕ est conforme ssi elle correspond à une multiplica-tion par un scalaire non nul.

Par extension de la notion, on pose la définition suivante :

8. correctement défini modulo 2π. Par exemple, dans R3 on l’obtient par les formules cos( ˆ(a, b)) =a·b

||a||·||b|| et sin( ˆ(a, b)(0, 0, 1) = a∧b||a||·||b||

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Définition : application conforme. Une application f : U → U ′ est conforme si∀z ∈ U ,dfz est une application conforme.

Vu le fait, et vu ce que l’on a écrit au I.2, on déduit immédiatement le théorèmesuivant :

Théorème. f : U → U ′ est conforme ⇔ f est, localement, un biholomorphisme( ce qui demande déjà que f ’ ne s’annule pas) au sens où

∀p ∈ U, ∃U ′′ ⊆ U tel que U ′′ f→ f(U ′′) ⊆ U ′ est un biholomorphisme. (VII.8)

Faisons un dessin de la situation :faire le schéma Considérons (Cs)s∈R une fa-mille de courbes régulières et (C ′

t)t∈R la famille des trajectoires orthogonales cor-respondantes. Alors la famille (f(Cs))s∈R a pour famille de courbes orthogonales lafamille (f(C ′

t))t∈R.

VII-C- 2. Représentations conformes des ouverts du plan complexe

Définition. On dit que l’ouvert U admet une représentation conforme si il existe fun biholomorphisme de ∆

:=D(0,1)→ U .

On demande dans la définition que f−1 soit holomorphe et on en déduit queO(U) → O(∆)ϕ 7→ ϕ f (VII.9)

définit un isomorphisme d’algèbres. Cette notion a de nombreuses applications, aussipratiques (hydrodynamique, écoulements visqueux. . . ) que théoriques : au lieu de s’in-téresser à des problèmes holomorphes sur des ouverts parfois sauvages, on se ramèneaux fonctions holomorphes sur le disque, où lesdites fonctions sont de simples sériesentières. Il devient dès lors légitime de se demander quels ouverts U admettent unereprésentation conforme. Le lemme suivant nous impose quelques restrictions :

Lemme. Si U admet une représentation conforme, alors U est connexe et simplementconnexe.

Démonstration du lemme. Un biholomorphisme est en particulier un homéomor-phisme. Les deux notions en jeu étant topologiques, elles se préservent par homéomor-phismes, ce qui nous fournit le résultat.

VII-C- 3. Exemples

Notons h la forme hermitienne de signature (1,1) h : ((z1, z2), (w1, w2)) 7→ z1w1 −z2w2.

Définition. On note U(1, 1) l’ensemble des transformations C-linéaires de C2 quilaisse invariante la forme hermitienne h. De manière équivalente, en notant H lamatrice de cette forme hermitienne

U(1, 1) = g ∈ GL2(C)|tgHg = H

On dispose alors d’un sous-groupe naturel de U(1,1), qui est U(1)∼= S1 i.e il existe

un morphisme de groupes injectifs δ : S1 → U(1, 1) et δ : eiθ 7→(eiθ 00 eiθ

)On vérifie

par ailleurs (exercice) que ce sous-groupe est en fait le centre de U(1, 1). C’est donc

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un sous-groupe distingué : on peut former le quotient U(1, 1)/U(1).On va ainsi énoncer le théorème de structure des représentation conformes du disque.L’ensemble de ces représentation conformes forme un groupe, que l’on notera Aut(∆).

Théorème. On dispose d’un isomorphisme

Aut(∆) ∼= PU(1, 1) := U(1, 1)/U(1)

Pour montrer le théorème, on va transformer les éléments du disque unité ouverten droites vectorielles et étudier les propriétés de ces droites.

Remarque. (Triviale) :

∀z ∈ C, |z| < 1⇔l := C(01

)est une droite négative pour h (VII.10)

Démonstration du théorème. On nécessite un morphisme de groupes PU(1,1)→Aut(∆) c’est à dire une action de PU(1, 1) sur ∆ par des bijections holomorphes.

Cette action de groupe est donnée par ∗ : (

(a bb c

), z) 7→ az+b

cz+d c’est à dire une action

par homographies. Cependant, il n’est absolument pas claire que l’application qu’elleinduit soit un biholomorphisme du disque, ni même d’ailleurs que cela définisse bienune action.

1. * définit une action : L’application∆ −→ l droites vectorielles négatives pour h

z 7−→ C ·

(z

1

)est une bijection par la remarque précédente. En particulier, si g ∈ U(1, 1), sil est une droite vectorielle négative pour h, alors g ∗ l est encore une droitévectorielle négative pour h. Donc U(1,1) agit sur cet ensemble de droites et ,par transport de structures, U(1,1) agit sur le disque unité ∆.

Maintenant, si g =

(a bc d

)alors g · C

(z1

)= C

(az + bcz + d

)Mais la droite est

préservée et négative pour h. On en déduit donc que cz + d = 0. Ou encore que

g ·C(z1

)= C

(az+bcz+d

1

)est une droite négative pour h. De plus, on a une formule

explicite pour g−1 et la même démonstration montre qu’alors g et g−1 sont desholomorphismes, ou encore que g est un biholomorphisme. Ainsi, ∗ définit bienune action de groupe.

2. Noyau du morphisme (Le morphisme Φ étant le morphisme U(1, 1) → Aut(∆)induit par l’action de groupe). Ce noyau est constitué des seuls g ∈ U(1, 1)|∀l droite vectorielle négative pour h g·l = k. On en déduit que les éléments du noyau préservent aussi les orthogonaux(pour h) des droites vectorielles négatives pour h. On vérifie qu’il s’agit desmatrices d’homothéties dont le rapport est de module <1. (à rédiger ?.)

3. Quid du morphisme induit ? Le morphisme Φ induit donc un morphisme injectifϕ : U(1, 1) → Aut(∆). Il faut donc montrer que ce morphisme est surjectif. Onfait cela en plusieurs étapes :

i) L’action de PU(1, 1) sur ∆ est transitive : soit z0 ∈ ∆. Posons

g :1

(|z − z0|2)12

(1 z0z0 1

)∈ U(1, 1) (VII.11)

Alors Φ(g)(0) = z0. La transitivité est donc établie. (Notons au passage quel’on a retrouvé nos amis les biholomorphismes du disque...)

E.N.S Lyon page 29 2013-2014


ii) Remarquons ensuite que si f : ∆ → ∆ est un biholomorphisme du disque telque f(0) = 0 alors ∃θ ∈ R, ∀z ∈ ∆f(z) = eiθz. En effet, la démonstrationII.2 nous donne |f(z)| ≤ |z|. On l’applique également à f−1 ce qui nousdonne l’égalité des deux modules. Par le principe du maximum, f(z)

z estconstante.

iii) étant donné (ii), considérons f un biholomorphisme de ∆. On se ramèneau cas où f(0) = 0 par transitivité de l’action : supposons f(0) = z0.En multipliant par l’image par Φ de l’inverse de la matrice VII.11 (notéeg0) on se ramène donc au cas (ii) ce qui nous donne l’existence d’un réelθ tel que ∀z ∈ ∆, f Φ(g−1

0 ) = eiθz. Mais remarquons alors que (z 7→

eiθz) = Φ(

(eiθ2 0

0 e−iθ2

)). Cela nous montre la surjectivité de l’application

et termine donc la preuve.

Remarque. Oublions un instant la forme hermitienne h. Dans ces conditions on

a toujours une bijectionη : C ∪ ∞ −→ P1 := Droites vectorielles de C2

z −→ C ·(1z

)si z = ∞ et C ·

(01

)sinon Le

groupe PGl2(C) := Gl2(C)/C∗ agit sur P1(C) par la même action ((g, l) → g.l ∈P1(C) car l’image d’un sev de dimension 1 par une application inversible nous donneun sev de dimension 1.). Le transport de structure nous donne alors une actionPGl2(C) C ∪ ∞ donnée par homographie (plus rédiger ?) Si on restretin cetteaction à PU(1, 1) d’une part et à ∆ ⊂ C ∪ ∞ on retrouve alors l’action étudiéedans la preuve du théorème.On met une topologie sur C ∪ ∞ : un ouvert est une partie U telle que U ∩ C soitouverte si ∞ /∈ U et sinon si ∃R > 0, |z| > R ⊂ U . L’espace topologique ainsiformé est appelé Sphère De Riemann et est notée S. On vérifie alors que l’éction dePGl2(C) sur S est une action par homéomorphisme. Ce qu’il ya de remarquable, c’estque le point ∞ n’est aucunement privilégié. (rédiger sur la géométrie projective et lelien avec les homographies projectives).

VII-C- 4. Le demi-plan de Poincaré et le théorème de Riemann

VII-C- 5. Poincaré (Demi-plan de)

Définition : Demi-plan de Poincaré. H := z ∈ C,ℑ(z) > 0

Cet ouvert du plan complexe admet une représentation conforme simple :

Théorème. L’application g : ∆ −→ Hz 7−→ z−i

z+i

définit une représentation conforme du plan complexe d’inverse h :H −→ ∆

z 7−→ −i z+1z−1

Démonstration du théorème. Il s’agit de vérification élementaires.

Corollaire. log : H → B := z ∈ C∗, arg(z) ∈]0, π[ est une bijection holomorphe.Donc on a une représentation conforme du demi-disque supérieur.

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En fait, on a mieux que ca : on a une représentation conforme de tout secteurangulaire du disque (on note Cα := z ∈ C∗, arg(z) ∈]− πα, πα[) :

Corollaire. Soit 0 < α < 1 L’application∆ −→ Cα

z 7−→ ( z+1z−1 )

α

définit une représentation conforme de Cα.

Attention, tout ouvert connexe et simplement connexe n’admet pas nécessairementune représentation conforme : c’est le cas de C : s’il admettait une représentationconforme, on aurait une fonction analytique d’image bornéee sur C ce qui est ab-surde par le théorème de Liouville. Néanmoins, on a une gigantesque classe d’ouvertsadmettant des représentationc conformes :

Théorème : Théorème de Riemann. Si U ⊊ C est un ouvert connexe, simple-ment connexe, alors U admet une représentation conforme.

Démonstration du théorème. 1. Réduction au cas d’un ouvert bornéSoit a ∈ C − U . ∃g ∈ O(U)eg(z) = (z − a) ( on choisit une primitive dez 7→ 1

z−a) et g est injective. De plus g(U) est un ouvert. Donc g est une bijectionholomorphe. Fixons z0 ∈ U, r > 0 tel que D(g(z0), r) ⊆ g(U). Remarquons parailleurs que g(U) ∩ (2πi + D(g(z0), r) = ∅ : par l’abusrde, si γ est dans cetteintersection ∃z ∈ U, ∃w ∈ D(g(z0), r) tel que γ = 2iπ +w = 2iπ+ g(z′) = g(z)avec w = g(z′). En passant à l’exponentielle, on a z = z′ ce qui est absurde caralors g(z′) + 2iπ = g(z).⇒ g(U) ⊆ (2iπ + D(g(z0), r))

c = (D(2iπ + g(z0), r))c. Si b ∈ C Ib : z 7→ 1

b−zdonne une bijection holomorphe de D(b, r) → D(0, 1r )

c. Donc Ib g est unebijection holomorphe de U sur son image qui est incluse dans un ouvert borné.

2. On peut supposer 0 ∈ U, ∃r,R > 0 tels que D(0, r) ⊂ U ⊂ D(0, R). Introdui-sons une classe de fonctions F := ϕ : U → ∆, ϕ injective s’annulant en 0 et holomorphe..F est non vide car ϕ = z 7→ z

R ∈ F . On étudie alors la fonctionnelleF −→ Rϕ 7−→ |ϕ′(0)|

Par le lemme de Schwarz II.2 appliqué à ϕ ∈ F , |ϕ′(0)| ≤ 1r et vu la remarque

précédente, 1R ≤ sup

ϕ∈F|ϕ′(0)| ≤ 1

r . Montrons que ce sup est en fait atteint.

On utilise le théorème de Montel II : les éléments de F sont tous bornés par 1en module sur tous les compacts de U . Quitte à extraire d’une suite de fonctionsmaximisantes, il existe (ϕn)n∈N ∈ FN qui converge uniformément vers f surtous les compacts de U (f est holomorphe et le théorème de Montel nous dit quef(0) = 0 et f ′(0) = lim

n→∞ϕ′n(0). ( rappelons qu’une fonction holomorphe ne peut

être injective et avoir sa dérivée qui s’annule, même ponctuellement.)) et telleque lim

n→∞|ϕ′n(0)| = sup

ϕ∈F|ϕ′(0)|. Si on réussit à prouver que f est injective, on a

gagné. Déjà, |f ′(0)| ≥ 1R donc f n’est pas constante.

3. Injectivité de fPar l’absurde : soit z1 = z2, tel que f(z1) = f(z2) = b. Par le principe des zérosisolés, ∃ϵ1, ϵ2 > 0, D(z1, ϵ1) ∩ D(z2, ϵ2) = ∅ et tels que les seules solutions del’équation f(z) = b dans l’union de ces deux disques fermés soient z1 et z2.En particulier, f(z) = b est une équation sans solutions sur ∂K. On considèreensuite l’intégrale

1

2iπ

∫∂K

f ′(z)

f(z)− bdz = Z1 − Z2 (VII.12)

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Avec Zi la multiplicité de zi en tant que zéro de f−b. Comme on a convergenceuniforme de la suite ϕn vers f , si n >> 1 ϕn− b ne s’annule par sur ∂K. Donc

12iπ

∫∂K

ϕ′n(z)

ϕn(z)−bdz −→n→∞

12iπ

∫∂K

f ′(z)f(z)−bdz

L’intégrale de gauche est le nombre de solutions de ϕn = b compté avec multi-plicité. Come Z1 + Z2 ≥ 2, ϕn n’est pas injective, c’est une contradiction.

Remarque. On a même montré plus fort : la limite uniforme d’une suite defonctions holomorphes injectives et non constante et elle est injective.

De plus, |f | ≤ 1. Mais si |f | = 1 sur un point de ∆, f est constante par leprincipe du maximum. Donc f ∈ F .

4. Surjectivité de fRaisonnons ici encore par l’absurde : soit a ∈ Delta − f(U). On choisit unedétermination continue de F := log f(z)−a

1−af(z) . F ∈ O(U) car | 1a | > 1. Cettedéfinition est justifiée car toute fonction holomorphe ne s’annulant jamais admetun logarithme holomorphe. En notant σa : z 7→ z−a

1−az on voit que F = logσAfet σa est un biholomorphisme du disque s’annulant en a.Comme f ne prendjamais la valeur a, σa f : U → ∆ − 0. On remarque que Re(F (z)) < 0 siz ∈ U . (il suffit d’écrire le logarithme comme partie réelle et partie imaginaire.Et de savoir que log(x) < 0 si x < 1). Mais on a une représentation conforme dudemi-plan Re(z) < 0 ! Posons g(z) := F (z)−F (0)

F (z)+F (z0). g(U) ⊂ ∆ et g est holomorphe

sur U car F (z) = −F (z0), le deuxième terme ayant une partie réelle strictementpositive. On va étudier g comme une composée de fonctions : notons h : z 7→w−F (0)

w+F (0)Un bref calcul montre ∀y ∈ R |h(iy)| = 1. h envoie donc le bord du

demi-plan sur le bord du disque et le principe du maximum nous montre qu’unpoint de l’intérieur du demi-plan est envoyé sur l’intérieur du disque.g est de plus injective sur U : g = h log σa f et on utilise l’injectivité desdifférentes fonctinos mises en jeu. Donc g ∈ F . Si on prouve que |g′(0)| > |f ′(0)|on aura une contradiction et on aura gagné.

5. Un calcul de dérivés nous donne |g′(0)| = |f ′(0)| 1−|a|22a·log( 1

|a| ). Une rapide étude

de fonction nous montre que ∀t ∈]0, 1[ , 1−t2t > 2log( 1t ). La contradiction est

obtenue. f est bien une représentation conforme de l’ouvert considéré, ce quiachève la preuve du théorème de Riemann.

VIII. Quelques fonctions méromorphesremarquables

VIII-A. Formule de Schwarz-Christoffel

Dans tout ce qui suite, il faut r ≥ 3.Dans ce paragraphe, on s’intéresse à la question suivante : on sait qu’un polygoneconvexe a un intérieur simplement connexe. Mais quelle est sa représentation conforme ?On va ici donner une réponse qui ne sera que partiellement justifiée (les détails despreuves peuvent être lourds et fastidieux ; je les omettrai).Introduisons une fonction : soient x0 < · · · < xr des réels affectés de coefficients δivérifiant

∑nj=0 δj = 2. On appelle U l’ouvert de C défini comme le plan complexe

privé des demi-droites ddj définie pas ddj := z ∈ C, Re(z) = xj , Im(z) ≤ 0. (fairele schéma). Sur cet ouvert U on prend pour tout j une détermination continue de log(z − xj). On pose ensuite

f(z) =r∏j=0

(z − xj)−δj (VIII.1)

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Définition. On appelle F la primitive de f sur U (car U est simplement connexe)telle que

limz∈Rz→−∞

F (z) = 0

On note de plus, pour justifier l’existence de F , ϕ la restricition de f à R et, six ∈ R, |ϕ(x)| ∼

−∞1x2 et on a donc l’intégrabilité de ϕ au voisinage de −∞. Si on pose

F (z) =∫ x′

0

−∞ f(z)dz+∫ zx′0f(z)dz avec x′0 < x0 alors la primitive F convient et est bien

définie (encore une fois par simple connexité de l’ouvert U).

Lemme. F se prolonge par continuité à U ∪ x0, . . . , xr et définit en particulierF : R → C continue et C1 sur R−x0, . . . , xr. On note abusivement F cette fonctioninduite.

Démonstration du lemme. On veut définir F (x) =∫ x−∞ ϕ. Cette définition a un

sens par intégrabilité en les xi de ϕ. On doit vérifier la continuité lorsque l’on passepar un xi.Si z > xj F (z) − ϕ(xj) =

∫ zxjf et cette intégrale converge et est continue

car |∫ zxjf | ≤ cj |z − xj |1−δj .

On introduit F d’une autre manière :

Lemme. Soit

ϕ :

H −→ ∆

ξ 7→ ξ−iξ+i

Alors G := F ϕ−1 : ∆ → C est une primitive de

g(z) :=

k∏i=1

(z − ξk) avec ξk =xk − i

xk + i∈ S1 − 1 (VIII.2)

Démonstration du lemme. Remarquons dans un premier temps que ϕ−1 est donnéepar z 7→ i 1+z1−z . Un calcul brutal fournit le résultat (à taper)

Corollaire. limx→∞

F (x) = 0

De plus, notons que l’on peut prolonger G à ∆∪ξ1, . . . , ξr de manière continue.Maintenant, le point clé de la démonstration est de remarquer que F (R) est une lignepolygônale brisée ! (on voit ici apparaître les polygônes).Pour justifier cela, remarquons que |f(z)| =

∏ri=1 |z − xi|−δi et que l’argument de

f(z) nous est donné par le lemme suivant :

Lemme. Si t ∈]xj , xj+1[ alors f(t) =∏ri=1 |t− xi|−δi × eiπ(δ1+···+δj). En particulier,

si t ∈]−∞, x1[∪]xr,+∞[ f(t) ∈ R et f(t) =∏ri=1 |t− xi|−δi .

Démonstration du lemme. — Supposons t > xr. Alors ∀ i ∈ 1, . . . , r, t−xi > 0 et la détermination du logarithme nous donne log(t−xi) = log(|t−xi|),ce qui nous donne donc la résultat.

— Si t < x1, alors ∀ j ∈ 1, . . . , r log(t−xj) = log(|xj−t|)+iπ et en utilisantla propriété

∑δi = 2 on obtient le résultat.

— Dans le cas général, si t ∈]xj , xj+1[, si t − xk < 0 , log(t − xk) = log(xk −t)+ iπ et donc arg(f(t)) = −

∑k≥j+1 δk =

∑jk=0 δk−2π toujours par la même

relation.

Corollaire. F envoie 9

]−∞, x1[→]0, F (x1)[

9. On parle ici de segments dans le plan complexe.

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]x1, x2[→]F (x1), F (x2)[, F (x2) = F (x1) + eiπδ1∫ x2

x1

∏ri=1 |ρ− xi|−δidρ

...

]xj , xj+1[→]F (xj), F (xj+1)[ , F (xj+1) = F (xj)+eiπ(δ1+...δj)

∫ xj+1

xj

∏ri=1 |ρ−xi|−δidρ

...

]xr,∞[→]F (xr), 0[ , F (xr) = −∫∞xr

∏ri=1 |ρ− xi|−δidρ

Démonstration du corollaire. On fait un bon dessin pour s’en convaincre et onutilise le lemme précédent, qui nous donne l’argument de f :

..

F (x6)

.

0

.

F (x2)

.

F (x3)

.

F (x4)

.

F (x5)

.

δ1

Lemme. ℑ(F (R)) ⊆ R+ ⇒ F (R) ⊆ H

Démonstration du lemme. Considérons la dérivée de h := ℑ(F ). Alors h′(ρ) =∏ri=1 |ρ − xi|−δi × sin(π(δ1 + · · · + δj)) si ρ ∈]xj , xj+1[. Donc h est croissante sur

]−∞, xj+1[ si∑ji=1 δi < 1 et décroissante ensuite. De plus, Im(F ) = 0 sur ]xr; +∞[.

Corollaire. F (H) ⊆ H ⇒ ℑ(F|H) > 0⇔ℑ(G|∆) > 0

Démonstration du corollaire. eiG ∈ O(∆) ∩ C0(∆) et |eiG| ≤ 1 sur ∂∆. Soitz0 ∈ ∆ tel que eiG(z0) soit maximal. Par le principe du maximum, ∀z ∈ ∆ eiG(z) <1⇔ℑ(G) > 0.

Lemme. Soit b ∈ C∗, ξ1, . . . , ξr ∈ S1 affectés de coefficients δi tels que∑i δi = 2.

Alors toute primitive Gb,ξ1,ξr,δ1,...,δr de b∏ri=1(z−ξi)−δi est définie, continue sur ∆ et

envoie en préservant l’orientation tout segment σ de S1−ξ1, . . . , ξr dans un segmentd’une droite orientée ∆+

σ et envoie ∆ dans l’intersection des demi-plans ouverts Π+σ

délimité par ∆+σ et à gauche de cette même droite.

Démonstration du lemme. Si b est choisi de sorte que b = c et Gϕ = F , l’énoncéest alors vrai pour le segment orienté ]ξr, ξ1[. On fait l’hypothèse 0 < arg(ξ1) < · · · <arg(ξr) < π. Si b = c, soit α ∈ C∗, b = αc et Gb,ξ1,ξr,δ1,...,δrϕ = αF+cste = Sα,csteFoù S est une similitude directe. Les propriétés en jeu étant invariantes par similitudesdirectes, on en déduit le résultat.Sans ces conditions sur les arguments, Gb,ξ1,ξr,δ1,...,δr (z) = Gb,ξ1e−iγ ,ξre−iγ ,δ1,...,δr (e

−iγz)+cste et on se ramène au cas précédent par une rotation.

Proposition. P := ∩σΠ+σ est l’enveloppe convexe des G(ξi) qui est un r-gone convexe,

et G : ∆ → Conv(G(ξi)) est un homéomorphisme tel que G : ∆ →

conv(G(ξi)) estune représentation conforme.

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Démonstration de la proposition. ∩σΠ+σ est un convexe (une intersection de

convexes est soit convexe soit vide) et les G(ξi) sont dans ∩σΠ+σ donc Conv(G(ξi)) ⊆

∩σΠ+σ . Or un compact convexe est l’enveloppe convexe de ses points extrémaux, et les

G(ξi) sont des points extrémaux.Reste à vérifier que G : Delta→ P est injective. On sait que F est injective sur R ∪∞. Par construction, G : ∂∆ → ∂P est injective puis on le fait par approximationssuccessives (à rédiger). La compacité des ensembles en jeu nous permet de conclure.

VIII-B. Exemples

VIII-B- 1. Formule de Riemann-Schwarz

On considère un triangle d’angles α, β, γ cycliquement bien ordonnés (i.e dans lesens trigonométrique). On pose δ1 := (1 − α

π ), δ2 := (1 − βπ ) et δ3 := (1 − γ

π ). Laformule du paragraphe précédent nous en fournit une représentation conforme et demême pour tout triangle semblable (on compose par une homothétie).

VIII-B- 2. Pour un n-gone régulier

Il suffit de choisir ξk := e2iπkn et δk := 2

n . Alors le paragraphe précédent nousfournit une représentation du n-gone régulier.

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Bibliographie

[Ahl66] Ahlfors. Complex Analysis. McGraw-Hill, 1966.[Car85] Cartan. Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs

variables. Hermann, 1985.[DB03] Demailly-Bonavero. Fonctions holomorphes et surfaces de Riemann. Notes

de cours disponibles en ligne, 2003.[Lan03] Serge Lang. Complex Analysis. Springer, 2003.[Rud87] Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, 1987.[Ser76] Serre. Cours d’Arithmétique. PUF, 1976.

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BIBLIOGRAPHIE L3-Maths

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Documents

Analyse Complexe - · PDF fileII La formule de Cauchy et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ... Les ouverts du plan complexe peuvent être bien plus compliqués que