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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DJILLALI LIABES SIDI BEL ABBES Laboratoire des Matériaux & Hydrologie FACULTE DE TECHNOLOGIE DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL & TRAVAUX PUBLICS THESE DE DOCTORAT EN SCIENCES Spécialité : Génie Civil Option : Structures et matériaux Présentée par HELLAL Hadjira Sujet de thèse Analyse de comportement dynamique et du flambement des plaques sandwiches FGM dans un environnement hygrothermique Soutenue le Devant le Jury composé de : M r . TOUNSI Abdelouahed Professeur UDL-SBA Président Mr. BOURADA Mohamed MCA UDL-SBA Directeur de these Mr. FAHSI Bouazza Professeur UDL-SBA Examinateur M r . HEBALI Habib MC A U.TIARET Examinateur Mr. ABDELBAKI CHIKH MC A U.TIARET Examinateur Mr. YAGHNEM Redah Professeur U. SAIDA Examinateur Année universitaire: 2019-2020

Analyse de comportement dynamique et du flambement des plaques sandwiches FGM …rdoc.univ-sba.dz/bitstream/123456789/2657/1/These HEllal... · 2019. 11. 25. · des plaques sandwiches

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  • REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

    MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE

    SCIENTIFIQUE

    UNIVERSITE DJILLALI LIABES

    SIDI BEL ABBES

    Laboratoire des Matériaux & Hydrologie

    FACULTE DE TECHNOLOGIE

    DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL & TRAVAUX PUBLICS

    THESE DE DOCTORAT EN SCIENCES

    Spécialité : Génie Civil

    Option : Structures et matériaux

    Présentée par

    HELLAL Hadjira

    Sujet de thèse

    Analyse de comportement dynamique et du flambement

    des plaques sandwiches FGM dans un environnement

    hygrothermique

    Soutenue le

    Devant le Jury composé de :

    Mr. TOUNSI Abdelouahed Professeur UDL-SBA Président

    Mr. BOURADA Mohamed MCA UDL-SBA Directeur de these

    Mr. FAHSI Bouazza Professeur UDL-SBA Examinateur

    Mr. HEBALI Habib MC A U.TIARET Examinateur

    Mr. ABDELBAKI CHIKH MC A U.TIARET Examinateur

    Mr. YAGHNEM Redah Professeur U. SAIDA Examinateur

    Année universitaire: 2019-2020

  • --

    Remerciement Mes remerciements vont tout premièrement à Allah tout puissant pour la volonté,

    la santé et la puissance, qu’il m’a donné durant toutes ces années d’études.

    Le présent travail a été effectué au sein du Laboratoire des Matériaux et Hydrologie,

    de l’Université Djillali Liabès Sidi Bel Abbes, sous la direction de Monsieur BOURADA

    Mohamed, Maitre de conférences classe A à l’Université Djilali Liabes de Sidi Bel Abbes.

    En premier lieu, je remercie chaleureusement mon encadreur qui a été attentif

    à l’évolution de ma recherche et a apporté toute sa contribution pour mener à bien

    ce travail. Ses qualités humaines et scientifiques, Ses conseils avisés ont permis d’aplanir

    bien des difficultés.

    J’exprime également toute ma reconnaissance à Monsieur, TOUNSI Abdelouahed,

    Professeur à l’Université DJELALI Liabes de Sidi Bel Abbés, de m’avoir fait l’honneur

    de présider le jury de soutenance.

    Mes vifs remerciements s’adressent aussi à : Monsieur FAHSI Bouazza, Professeur

    à l’Université DJELALI Liabes de Sidi Bel Abbés, Monsieur HEBALI Habib et CHIKH

    Abdelbaki Maitre de conférences classe A à l’Université de Tiaret

    et Monsieur YAGHNEM Redha Professeur à l’Université de Saida de m’avoir fait

    l’honneur d’être les examinateurs de cette thèse. Qu’il me soit permis de leur exprimer

    ma profonde gratitude.

    J’adresse également mes remerciements les plus vifs à Monsieur Adda Bedia El

    Abbas, Professeur à l’Université Djilali Liabes de Sidi Bel Abbes, Je le remercie

    pour m’avoir donné l’opportunité de réaliser ce travail.

    Mes remerciements vont à l’ensemble du personnel du laboratoire LM&H

    et aux personnels du département de Génie Civil de l’Université de Abbes, et également

    aux membres de ma famille qui m’ont supporté moralement durant toute la période

    de l’élaboration de cette thèse.

  • Dédicace Je dédié ce travail

    A la mémoire de mon cher père, que Dieu clément et miséricordieux ait pitié

    de son âme. De tous les pères, tu as été le meilleur, tu as su m’entourer

    d’attention, m’inculquer les valeurs nobles de la vie, m’apprendre le sens

    du travail, de l’honnêteté et de la responsabilité.

    A la plus douce et la plus merveilleuse de toutes les mamans. Des mots ne

    pourront jamais exprimer la profondeur de mon respect, ma considération,

    ma reconnaissance et mon amour éternel. Que Dieu te préserve des

    malheurs de la vie afin que tu demeures le flambeau illuminant mon

    chemin…

    A mes chers beaux parents. Je vous dédie ce travail en reconnaissance de

    l’amour que vous m’avez offert depuis mon mariage, de tous les sacrifices

    que vous vous êtes imposés pour assurer notre vie de couple et notre bien

    être, de votre tolérance, et de votre bonté exceptionnelle. Vous restez pour

    moi le symbole d’un amour original et d’une parenté idéale.

    A mon valeureux mari Sid Ahmed pour son soutien et sa compréhension

    A ma petite perle Mustapha Ismail. Ta joie de vivre et ton sourire ont été

    pour moi le meilleur encouragement que je puisse avoir. J’espère que ma

    thèse sera pour toi source de fierté et qu’elle sera un exemple à suivre. Que

    Dieu te garde et te protège.

    A mes frères et mes sœurs ainsi que mes beaux frères et mes belles sœurs

    A mes neveux et mes nièces

    A messieurs et mesdames les professeurs qui m’ont aidé pour y parvenir

    A mes amies et mes collègues de travail

    A tous les gens que je connaisse

    Hellal Hadjira

  • مـــلــخـــــــص

  • مـــلــخـــــــص

    القص بأربعة متػجرات " خجث سنخاول البسجطة مع "تشوه الصفجخةيد هذا العمل مكرس لدراسة نموذج جد

    طبقجة" مدعمة صفائدإظوار تأثجرات البجئة الخرارية على الدينامجكجات وربط المواد ذات التدرج الوظجفي. في "

    باسترناك". -طراز "وينكلر بأسس مرنة من

    يستذدم هذا مبدأ هاملتون الذي يختوي على التأثجرات الخرارية. باستعماليتم الخصول على معادالت الخركة

    القص المستعرض". إلجواد" ألمثلثيذذ في االعتبار التػجر ؤفقط وي ربعة متػجرات"ذي األ النموذج "

    " قجةالطب الصفجخة على األسطد العلوية والسفلجة من " منعدمةالضػوط تصبد هذه ذلك،إضافة إلى

    (sandwich plate) .

    والمعادالت المجاهلهذه الصجػة هي إضافة مصطلد التكامل في مجال النزوح ، مما يؤدي إلى تقلجل عدد مجزة

    األساسجة.

    وظجفجة في هذه الدراسة. ذات ذاصجة " مصنوعة من مواد الطبقجة صفائد لا يتم فخص أنواع مذتلفة من "

    للتخقق من صخة النموذج ، تتم مقارنة النتائح المخسوبة بالنتائح الخالجة.

    مع نظريات " ما فق تماواتكشف الدراسات االستقصائجة المقارنة أن النتائح المخسوبة للصجاغة المقترخة تت

    تشوه القص األعلى" األذرى.

    تم إنشاء مسد خدودي إلظوار تأثجرات ارتفاع درجة الخرارة والرطوبة ومعامالت األساس المرنة ومؤشر

    . ذات التدرج الوظجفي المواد المكونة منالطبقجة الصفجخة اتاءوالت زازات وــاهتقانون الطاقة على

    : كلمات مفاتجد

    .الطبقجة، األساس المرناللتواء، مادة التدرج الوظجفجة، الصفجخة االهتزاز، ا

  • Résumé

  • Résumé Ce travail est consacré à l’étude d’un nouveau modèle de plaque simple à

    « déformation par cisaillement à quatre variables » où nous essayerons de démontrer les

    effets de l’environnement hygrothermal sur la dynamique et le flambement des

    matériaux à gradient fonctionnel en « plaques sandwiches » supportées par des

    fondations élastiques de «Winkler – Pasternak». Les équations de mouvement sont

    obtenues à partir du principe de Hamilton contenant les influences hygrothermiques.

    Ce modèle utilise uniquement «quatre variables» et prend en compte la variation

    trigonométrique de la «contrainte de cisaillement transverse». En outre, ces contraintes

    deviennent nulles aux surfaces supérieure et inférieure de la «plaque sandwiche». La

    nouveauté de cette formulation est l'ajout de l’intégral terme dans le domaine du

    déplacement, ce qui conduit à une réduction du nombre d'inconnues et d'équations de

    base. Différents types de « plaques sandwiches» en matériau de qualité fonctionnelle

    sont examinés dans cette étude. Pour vérifier la validité du modèle, les résultats calculés

    sont comparés aux résultats existants. Les enquêtes comparatives révèlent que les

    résultats calculés de la formulation proposée concordent parfaitement avec ceux d'autres

    «théories de déformation en cisaillement plus élevé». L'enquête paramétrique est établie

    pour démontrer les effets de l'élévation de la température, de l'humidité, des coefficients

    de fondation élastiques et de l’indice de la loi de puissance sur les vibrations et les

    flambements des « plaques sandwiches » FGM.

    Mots clés

    Vibration, flambement, matériau à gradient fonctionnel, plaque sandwiche, fondation

    élastique.

  • Abstract

  • Abstract A new simple “four-variable shear deformation” plate model is proposed in this work to

    demonstrate the hygrothermal environment effects on dynamic and buckling of

    functionally graded material “sandwich plates” supported by “Winkler–Pasternak” elastic

    foundations. Equations of motion are obtained from Hamilton’s principle containing the

    hygrothermal influences. This model uses only “four variables” and considers

    trigonometric variation of “transverse shear stress.” In addition, these stresses become

    zero at the upper and lower surfaces of the “sandwich plate”. The novelty of this

    formulation is the addition of the integral term in the field of displacement, which leads to

    reduction of the number of unknowns and basic equations. Various kinds of functionally

    graded material “sandwich plates” are examined in this study. To verify the validity of the

    model, the calculated results are compared with the existing results. Comparison

    investigations reveal that the computed results of the proposed formulation are in

    excellent agreement with those of other “higher hearde formation theories.”Parametric

    investigation is established to demonstrate the effects of temperature rise, moisture

    condition, elastic foundation coefficients, and power law index on the vibration and

    buckling of functionally graded material “sandwich plates.”

    Keywords

    Vibration, buckling, functionally graded material, sandwich plate, elastic foundation.

  • HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes-

    SOMMAIRE

    ملخص

    Résumé

    Abstract

    Liste des notations

    Liste des figures

    Liste des tableaux

    INTRODUCTION GENERALE

    Introduction générale………………………………….……………………………………...….1

    CHAPITRE I :GENERALITES SUR LES MATERIAUX A GRADIENT DE PROPRIETES

    I.1Introduction………………………………………………………………….…………..........3

    I.2 Concept des matériaux à gradient de propriétés ……………………………………..……...4

    I.3Histoire de développement des matériaux à gradient de propriétés …………………………7

    I.4Domaines d’applications des matériaux à gradient de propriétés……………………… …....9

    I.5Conclusion…………………………………………………………………………….….…10

    CHAPITRE II :LITTERATURES DES THEORIES DES PLAQUES

    II.1 Introduction…………………………………………………………………………….…11

    II-2 Modèles classiques …………………………………………………….……….…………11

    II-2.1 Premières hypothèses fondamentales de la théorie des poutres ……..…….……………11

    II-2.1.1 Principe de Saint venant ………………………………………...…………….……...11

    II-2.1.2 Principe de Navier Bernoulli généralisé ………………………...………..…………...11

    II.2.2 Les modèles analytiques des plaques FGM ………………………….……...…………..13

    II.2.2.1 La théorie classique des plaques minces de Love-Kirchhoff (CPT)………….…...…..13

    II.2.2.2 La théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT)………….…...…14

    II.2.2.3 La théorie de déformation en cisaillement d’ordre élevé (HSDT)…………….……....16

    II.3 Revue sur les différents modèles de la théorie d’ordre élevé…………………………......18

    II.4 Théorie de zig-zag………………………………………………………………………....20

    II.5Conclusion…………………………………………………………………..………...…...21

  • HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes-

    CHAPITRE III : FORMULATION THEORIQUE

    III.1 Introduction………………………………..…………………………………………..…22

    III.2 Construction en sandwich………………….………………………….……………….…22

    III.3 Types de plaques sandwiches FGM………………………...……….………….………...23

    III.4 Cinématique et équations constitutives………………...…………….………….……..…25

    III.5 Equation gouvernantes……………………………………………….………….…..........28

    III.6 Solutions analytiques……………………………………….…….………….…................31

    III.7Conclusion…………………………………………………………………..…………….33

    CHAPITRE IV : VALIDATION ET COMPARAISON DES RESULTATS

    IV.1 Introduction ………………………………..…………………………………………….34

    IV.2 Résultats numériques…………………….………………………….…………………...34

    IV.3 Conclusion……………….………….…………………………………………………....49

    CONCLUSION GENERALE

    Conclusion générale………………………………….……………………………………….50

    REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUE

  • HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes-

    Liste des FiguresCHAPITRE I

    Figure I.1: Variation continue de la microstructure d’un matériau à gradient de propriétés

    (FGM) (photo).……………………………………………………………..…….…….……..05

    Figure I.2 : La distribution composante des matériaux.…………..……….…………………05

    Figure I.3 : un type d'un matériau FGM en céramique et métal.……………...………..……06

    Figure I.4 : Protection thermique.………………………………………………...………….06

    Figure I.5 : Les principaux domaines d’application des FGM ……………………………..09

    CHAPITRE II

    Figure II.1 : Illustration de la plaque de Love Kirchhoff (Reddy, 1997).……………..…….14

    Figure II.2 : Illustration de la plaque de Reissner-Mindlin (Reddy, 1997)...........................15

    Figure II.3: Illustration de la plaque d’ordre élevé (Reddy, 1997).………...…………........16

    Figure II.4: Champ de déplacements des modèles zig-zag d’ordre élevé (Carrera, 2004)….21

    CHAPITRE III

    Figure III.1. Configuration et système de coordonnées de divers types de plaques sandwich

    FGM (type) A, (b) type B, et (c) type C. ………………………………………………….…23

    CHAPITRE IV

    Figure IV.1: géométrie et système de coordonnée des différentes configurations

    de la plaque sandwiche FG………………………………………………………………34

    Figure IV.2: La variation de la fraction volumique à travers l’épaisseur de la plaque sandwich

    FGM (type A) pour les diffèrent valeur de l’indice de matériaux r: (a) de (1–1–1) de plaque

    sandwiche FGM et (b) de (1–2–1) plaque sandwiche FGM……………………………….…35

    Figure IV.3:La variation de la fraction volumique à travers l’épaisseur de la plaque

    sandwiche FGM (type B) pour les différentes valeurs de l’indice du matériel r : (a) la plaque

    sandwiche FG (1-1-1) et la plaque sandwiche (2-1-2)…………………………………….…35

    Figure IV. 4. La variation de la fraction volumique à travers l'épaisseur des plaques sandwich

    FGM (type C) pour diverses valeurs de l'indice de matériau r: (a) la plaque sandwich (1–1–1)

    FGM et (b) la (1–4–1) plaque sandwich FGM………………………..............................….35

    Figure IV.5. La fréquence non dimensionnelle (a) de la fréquence et (b) la température

    de flambement ΔTcr de (1 - 1 - 1) plaque sandwich FGM carrée (type A) contre le rapport

    a / h (r = p = 1, ΔC = 0.1%, kw = ks = 20)…………………………..…………………….…39

  • HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes-

    Figure IV.6 : Effet de l’indice de matériau sur la fréquence propre des plaques sandwich

    FGM (typeA): (a) la (1 - 1 - 1) Plaque sandwich FGM (kw =100,ks= 20), (b) la (1 - 1 - 1)

    Plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et (c) la (1 - 2 - 1) plaque de sandwich FGM (kw = ks =

    0) (b / a = 1, p = 1, ΔT = 50°C,ΔC=0.01%)………………………………………………….40

    Figure IV.7 : Effet de l'indice de matériau sur la fréquence propre des plaques sandwich

    FGM (type B): (a) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = 100, ks = 20), (b) la (1–1–1)

    plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et(c) la plaque sandwich FGM (2–1–2) (kw = ks = 0) (b

    /a = 1, p = 1,ΔT = 50°C, ΔC = 0.01%)……………………………………………………….41

    Figure IV.8 : Effet de l'indice de matériau sur la fréquence propre des plaques sandwich

    FGM (type C): (a) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = 100, ks = 20), (b) la (1–1–1)

    plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et(c) la plaque sandwich FGM (1-4-1) (kw = ks = 0) (b

    /a = 1, p = 1,ΔT = 50°C, ΔC = 0.01%)………………………………………………………..42

    Figure IV.9 : Effet de l'indice de matériau sur la température critique de flambement ΔTcr

    des plaques sandwich FGM (type A): (a) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = 100, ks =

    20), (b) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et(c) la plaque sandwich FGM (1-2-

    1) (kw = ks = 0) (b /a = 1, p = 1 , ΔC =

    0.01%)………………………..………………………………………………………...……..43

    Figure IV.10: Effet de l'indice de matériau sur la température critique de flambement ΔTcr

    des plaques sandwich FGM (type B): (a) la (1–1–1) plaque sandwich FGM

    (kw = 100, ks = 20), (b) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et(c) la plaque

    sandwich FGM (2-1-2) (kw = ks = 0) (b /a = 1, p = 1 , ΔC = 0.01%)…………………….….44

    Figure IV.11: Effet de l'indice de matériau sur la température critique de flambement

    ΔTcr des plaques sandwich FGM (type C): (a) la (1–1–1) plaque sandwich

    FGM (kw = 100, ks = 20), (b) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et(c)

    la plaque sandwich FGM (1-4-1) (kw = ks = 0) (b /a = 1, p = 1 , ΔC = 0.01%)………….…45

    Figure IV.12 : Effet de la différence de température ΔT sur la fréquence naturelle de

    divers plaques sandwich FGM: (a) type A, (b) type B, et (c) type C (a/h = 10, r = p = 1 , ΔC =

    0.01%, kw =100, ks = 20)……………………………………………………………….….46

    Figure IV.13 : Effet de la concentration d'humidité ΔC sur (a) la fréquence naturelle

    et (b) sur la température critique de flambement ΔTcr des plaques sandwich

    FGM (type A)(a/h=10, r = p=1, kw = 100, ks = 20)…………………………………………47

    Figure IV.14 : Variation de (a) la fréquence naturelle et (b) la température critique

    de flambement ΔTcr des plaques sandwich FGM (type A) soumises à différents types

    des charges hygro-thermiques par rapport à la plaque rapport de forme (a / h =10, r = 1, kw =

    100, ks = 20)…………………………………………………………………………………..47

    Figure IV.15 : Effet des coefficients de fondation élastiques sur (a) la fréquence naturelle

    et (b) la température critique de flambement ΔTcr des plaques sandwich FGM (type A)

    (b / a = 1, r = p = 1, ΔC = 0.1%)…………………………………………..………………….48

  • HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes-

    Liste des Tableaux

    Tableau IV.1. Comparaison des fréquences naturelles non dimensionnelles /C Ch G

    d’une homogène plaque carrée sans fondations élastiques / 0, 0.3a h

    ……….……..36

    Tableau IV.2.Comparaison des fréquences naturelles non dimensionnelles /m mh E d'un

    FGM plaque carrée avec fondations élastiques………………….……………………………37

    Tableau IV.3. Comparaison de la température critique de flambement non dimensionnelle 2 2 212(1 ) /cT a h d'une plaque carrée homogène reposant sur la base élastique

    de Winkler (h/a=0.01,ks =0)……………………………………………………………….…38

    Tableau IV.4. Comparaison de la température critique de flambement non dimensionnelle

    (10-3

    ΔT) de plaque sandwich FG (type A) sans fondation élastique sous élévation linéaire de

    la température (p = 1, a / b = 1, r = 2)……..…………………………………….…..….…...38

  • HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes-

    Liste des NotationsG Module de cisaillement dans le plan (x, z)

    E Module de Young suivant x

    Υ Coefficient de Poisson

    Le coefficient de dilatation thermique

    Le coefficient de dilatation de l'humidité

    G(z) Module de cisaillement en fonction de « z »

    E (z) Module de Young en fonction de « z »

    υ(z) Coefficient de Poisson en fonction de « z »

    V (z) Fraction volumique

    K Paramètre du matériau

    a Longueur de la plaque

    b Largeur de la plaque

    h Epaisseur de la plaque

    u0 , v0 , w0 Les composantes du champ de déplacement sur le plan moyen de la plaque

    u, v, w Les déplacements dans les directions x, y, z.

    φx,φy ,φz Les rotations autour des axes x, y et z,

    Ψ(z) Fonction de gauchissement (fonction de cisaillement transverse)

    f z Fonction de gauchissement (fonction de cisaillement transverse)

    , ,X Y Z Contraintes normales

    ,xz yz Contraintes de cisaillement

    , ,X Y Z Déformation dans la direction x, y et z

    ,Xz yz Déformations de distorsion

    ' z La première dérivée de la fonction de gauchissement par rapport à z

    '' z La deuxième dérivée de la fonction de gauchissement par rapport à z

    , ,u v w Champ virtuel de déplacement

  • HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes-

    intW Travail virtuel intérieur

    extW Travail virtuel extérieur

    , ,x y z Champ de déformation longitudinal virtuel

    ,xz yz

    Champ de déformation transversal virtuel

    , , ,x y Z xyN N N N Efforts normaux

    , ,x y xyM M M Moments de flexion

    , ,b b bx y xyM M M Moments de flexion

    Sx,Sy,Sxy Moment supplémentaire du au cisaillement transverse

    , ,s s sx y xyM M M Moment supplémentaire du au cisaillement transverse

    ,s sxz yzS S Effort de cisaillement

    ,xz yzQ Q Effort de cisaillement

    ∂ Dérivée partielle

    i et j Sont des nombres naturels.

    Aij Termes de rigidité de la matrice de membrane

    Bij Termes de rigidité de la matrice de couplage

    Dij Termes de la matrice de flexion

    a

    ijA Termes de rigidité de la matrice

    a

    ijB Termes de rigidité de la matrice

    a

    ijD Termes de rigidité de la matrice

    a

    ijF Termes de rigidité de la matrice

    s

    ijA Termes de rigidité de la matrice

    s

    ijB Termes de rigidité de la matrice

    s

    ijD Termes de rigidité de la matrice

    s

    ijH Termes de rigidité de la matrice

    T(x, y, z) Chargement thermique

  • HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes-

    Le vecteur des déplacements généralisés

    f Le vecteur des efforts généralisés

    Vecteur colonne

    Matrice

  • Introduction générale

    HELLAL Hadjira Page 1

    Introduction générale

    Les structures en sandwich, en raison de leurs caractéristiques exceptionnelles, telles que

    la résistance et la rigidité spécifiques, ainsi que la capacité d’absorption d’énergie, sont largement

    utilisées dans la «construction de bâtiments», «aéronef», «marine», «Transport», «nanostructures»

    et «énergie éolienne» (Vinson ,2001 ;Zarei et al., 2018).

    Cependant là, il existe une incohérence dans les caractéristiques thermiques et mécaniques

    à l'interface des «deux matériaux différents» qui constituent les structures sandwiches classiques.

    Cela provoque des changements brusques dans les contraintes inter faciales. Une solution

    à ce problème est de prendre en compte les «matériaux de qualité fonctionnelle» (FGM)

    dans la conception des sandwichs.

    Les FGM constituent une classe de «matériaux composites avancés» dans lesquels

    les caractéristiques varient sans à-coup et en continu, éliminant ainsi les changements

    de propriétés mentionnés ci-dessus (Birman et al., 2013 ; Dai et al., 2016) Dans ce cas,

    les feuilles de visage (Shen et Li, 2008 ; Menasria et al ., 2017) ou les noyaux (Sobhy ,2016 ;Akavci

    ,2016 ;Bennoun et al., 2016 ; Kirugulige et al., 2005 ;Liu et al ., 2015) sont composés de FGM.

    La majorité des structures en sandwich étudiées récemment consiste en des faces de FGM et une

    structure homogène : le coeur. (Zenkour ,2005) a étudié le statique; la stabilité et la dynamique

    de divers types de “plaques sandwiches” à faces planifiées “FGM”, en tenant compte de la «Théorie

    trigonométrique de la déformation par cisaillement», la solution 3D pour la dynamique de FGM

    de la «plaque sandwiche» a été examinée par (Li et al., 2008) où la «méthode de Ritz»

    est employée.

    (Natarajan et Manickam, 2012) ont de leur coté étudié la vibration et la flexion de la réponse

    des «plaques sandwiches» FGM en utilisant une «théorie du zigzag» précise.

    (Sobhy,2013 ; Meziane et al ., 2014 ;Sofiyev ,2014) ont analysé la stabilité et les vibrations

    des "plaques sandwiches" graduées "de manière exponentielle". (Abdelaziz et al., 2017)

    ont développé un modèle de déformation de cisaillement hyperbolique simple pour la statique,

    la vibration et la stabilité de FGM en "plaques sandwiches" avec différentes "conditions aux

    limites". Pour la première fois, les influences des conditions hygrothermiques sur les plaques

    sandwiches FGM sont examinées par (Sobhy, 2016) en proposant une théorie précise

    de la déformation par cisaillement plus élevé (HSDT).

  • Introduction générale

    HELLAL Hadjira Page 2

    Récemment, la communauté scientifique a mis au point divers HSDT pour étudier différents types

    de structures (Kar et Panda,2015 ; Bellifa et al.,2017 ; Fakhar et Kolahchi,2018 ; Bensaid

    et al.,2018 ; Hajmohammad et al., 2018 ; Bouadi et al.,2018 ; Katariya et al.,2017),

    et l’utilisation de ces modèles pour les structures en sandwich deviennent un sujet important.

    Les augmentations de la «concentration en humidité» et de la «température» ont une influence

    significative sur le comportement des structures (Sobhy,2016 ;Beldjelili et al,2016 ;Hajmohammad

    et al., 2018 ;Mahmoudi et al .,2017)C’est ainsi que dans ce travail, les impacts induits par

    les conditions d'humidité et les changements de température sur la stabilité de la réponse

    dynamique des «plaques sandwich» FGM reposant sur les fondations élastiques de Winkler –

    Pasternaksont étudiées à l'aide d'un nouveau HSDT «à quatre inconnus» avec une fonction cosinus.

    Les contraintes de cisaillement sont égales à zéro sur les deux faces supérieure et inférieure

    de la plaque. Les influences des conditions hygro-thermiques sur les «plaques sandwiches» FGM

    sont également examinés en supposant une «variation de la loi de puissance» en termes de fractions

    volumiques des constituants du matériau, caractéristiques de la structure sandwiches, et qui sont

    changés d'une interface à une autre. Les solutions analytiques pour «Température de flambement»

    et «fréquence fondamentale» des structures en sandwich FGM sont obtenues selon la procédure

    de Navier. De plus, l'exactitude de la présente théorie est démontrée en comparant les résultats

    obtenus au cours ce travail.

    Dans ce travail, on s’intéresse sur la stabilité des plaques composites rectangulaires épaisses

    en utilisant une nouvelle théorie de déformation d’ordre élevée.

    Ce travail, s’articule autour de quatre chapitres.

    Le premier chapitre défini les matériaux à gradient de propriétés « FGM », leur développement,

    leurs propriétés et leurs domaines d’application dans les structures spéciales en génie civil.

    Le deuxième chapitre se focalise sur les différentes théories des plaques.

    Le troisième chapitre présente un nouveau modèle de déformation de cisaillement simple à quatre

    variables, dont nous allons étudiés les effets de l'environnement hygrothermique

    sur le comportement dynamique et le flambement des plaques sandwiches en matériaux

    fonctionnellement gradué reposant sur des fondations élastiques.

    Dans le quatrième chapitre, nous présenterons les résultats obtenus par l’exécution des différents

    codes de calcules développés dans le cadre de cette recherche.

    En fin, une conclusion générale sur l’ensemble de ces travaux permet de revenir sur les résultats

    importants mis en avant.

  • Chapitre I Généralités sur les matériaux à gradient de propriétés

    HELLAL Hadjira Page 3

    I.1 Introduction :

    Les chercheurs définissent assez souvent les matériaux à gradient de propriété

    (FGM) comme étant un matériau composé particulier pour lesquels la fraction

    de volume varie sans interruption par l’épaisseur. De plus, quelques études considèrent

    également le FGM comme étant un composé renforcé par un tissu dans lequel

    l'orientation de fibre varie à travers l'épaisseur.

    Un matériau FGM est un type de matériaux composites classés par leur

    microstructure variable dans l’espace et est conçu pour optimiser l’exécution

    des éléments de structures par la distribution de propriétés correspondantes.

    Ces distributions de propriétés sont assemblées dans une variété de produits communs

    permettant ainsi d’assurer des fonctions multiples (c'est-à-dire être

    multifonctionnelles) comme les liaisons entre les particules ; assez dures à l’intérieur

    pour résister à la rupture, et également assez dures à l’extérieur pour empêcher l’usure.

    Les matériaux à gradient de propriétés (FGM) constituent un type de matériaux

    composites produit en changeant sans interruption les fractions de volume dans

    la direction de l'épaisseur pour obtenir un profil bien déterminé. Ces types

    de matériaux, ont suscité beaucoup d'attention récemment en raison des avantages

    de diminuer la disparité dans les propriétés matérielles et de réduire les contraintes

    thermiques (Zhong, 2007). La variation continue des propriétés mécaniques confère

    au matériau un comportement optimisé.

    Ces matériaux offrent un grand potentiel pour les composants dont

    le fonctionnement est soumis à de fortes charges mécaniques ou thermiques, tels que

    les boucliers thermiques des vaisseaux spatiaux, les revêtements du plasma pour

    les réacteurs de fusion et les composantes du moteur pour les avions de combat.

    De plus, ils sont particulièrement utilisés dans les applications de haute technologique :

    aéronautique, aérospatiale, nucléaire, semi-conducteurs, en Génie Civil et trouvent

    également des applications biomédicales (Baron 2008).

  • Chapitre I Généralités sur les matériaux à gradient de propriétés

    HELLAL Hadjira Page 4

    I.2 Concept des matériaux à gradient de propriétés :

    Les matériaux constituants les parois des engins spatiaux (navettes spatiales ou

    des avions hypersoniques) sont soumis à des températures élevées.

    Les pièces les plus exposées sont le cône d’entrée, les bords d’attaque des ailes ainsi

    que centaines surfaces inférieures.

    Pour cette raison les matériaux des parois, soumis sur une face à environ 1800°C

    en atmosphère, doivent supporter dans leur épaisseur d’une dizaine de millimètres,

    un gradient thermique d’environ 1300°C. Il n’y a aucun matériau monolithique capable

    de résister à une telle contrainte thermique (Koizumi 1992).La solution envisagée

    est la mise en œuvre de matériaux composites et notamment l’utilisation des matériaux

    à gradient de propriétés. On peut donc imaginer un matériau dont la face est exposée

    à une très haute température mais qui possèderait des propriétés de résistance aux

    fortes chaleurs et à l’oxydation, tel que la céramique, et dont la face intérieure serait

    une très bonne conductrice de la chaleur et possèderait de même une bonne résistance

    mécanique et une meilleure ténacité, comme le métal.

    Seulement, si l’on considère un tel assemblage aussi simple de ces deux matériaux,

    ils présentent immédiatement une rupture due aux contraintes thermiques exercées

    à l’interface entre les deux types de matériaux ayant des propriétés thermiques

    différentes. L’idéal serait de supprimer cette interface en créant une transition continue

    entre les deux faces. C’est ainsi qu’est né le concept de matériau à gradient de fonction

    dans les années 1980 par un groupe de chercheurs au laboratoire national d’aérospatial

    (National Aerospace Laboratory, STA) au Japon.

    Le FGM consiste alors en une association de deux matériaux aux propriétés

    structurales et fonctionnelles différentes avec une transition idéalement continue

    de la composition, de la structure et de la distribution des porosités entre ces matériaux

    (figure I.1).

  • Chapitre I Généralités sur les matériaux à gradient de propriétés

    HELLAL Hadjira Page 5

    Généralement, les FGM sont des matériaux constitués de plusieurs couches

    contenant des composants différents tels que les céramiques et les métaux (Kokini

    1990). Ils sont donc des composites présentant des caractéristiques macroscopiquement

    inhomogènes.

    Yoshihisa (2004), a établi un modèle simple illustrant les différences entre

    les matériaux à gradient de propriétés (FGM) et les matériaux plus conventionnels

    comme est montré sur la figure I.2 : (a) un matériau plans composé, (b) un matériau

    relié et (c) un matériau à gradient de propriété. Le matériau plan composé aune

    caractéristique plane, et le matériau relié a une frontière sur l'interface de deux

    matériaux. Les FGM ont d’excellentes caractéristiques qui les diffèrent de celles

    des deux matériaux plans composés et reliés.

    Figure I.2 : La distribution composante des matériaux.

    (a) Matériau

    plan composé

    (b) Matériau

    relié

    (c) Matériau à

    gradient de

    propriétés

    Figure I.1 : Variation continue

    de la microstructure d’un

    matériau à gradient de

    propriétés (FGM) (photo)

  • Chapitre I Généralités sur les matériaux à gradient de propriétés

    HELLAL Hadjira Page 6

    Figure I.3 : Un type d'un matériau FGM en céramique et métal.

    Figure I.4 : Protection thermique.

    La figure I.4 montre les concentrations de contraintes dans les panneaux de protection

    thermiques conventionnels au niveau des interfaces (changement brutale de composition).

    Il montre également comment un FGM peut alléger ces concentrations de contraintes

    en changeant graduellement les propriétés matérielles et assure toujours la protection

    thermique trouvée dans les barrières thermiques conventionnelles.

  • Chapitre I Généralités sur les matériaux à gradient de propriétés

    HELLAL Hadjira Page 7

    I.3 Histoire du développement des matériaux à gradient de propriétés :

    Le concept de "Matériaux à Gradient de propriétés" a été développé dans

    le laboratoire national d'aérospatial du Japon en 1984 par M. Nino et ses collègues

    à Sendai. L'idée était de réaliser des matériaux utilisés comme barrière thermique

    dans les structures spatiales et les réacteurs à fusion (Koizumi 1992).

    Les changements continus dans la composition, dans la microstructure, et même

    dans la porosité de ces matériaux ont comme conséquences des gradients des propriétés

    matérielles telles que les propriétés mécaniques et la conductivité thermique (Koizumi

    1997). Cette nouvelle classe de matériaux composites peut alors être utilisée

    pour différentes applications telles que les enduits des barrières thermiques pour

    les moteurs en céramique, turbines à gaz, couches minces optiques (Nguyen 2007).

    En 1987, le gouvernement Japonais a lancé un vaste projet intitulé "la recherche

    sur la technologie de base pour développement de Matériaux à gradient de propriétés

    et l'étude de la relaxation des contraintes thermiques". L'intérêt du projet était

    de développer des matériaux présentant des structures utilisées comme barrière

    thermique dans les programmes aérospatiaux. Dix-sept (17) laboratoires nationaux

    de recherche, des universités ainsi que des entreprises ont été engagées dans

    ce mégaprojet (Koizumi, 1997).

    Les matériaux constituants les parois des engins spatiaux et les murs thermiques

    spéciaux sont appelés à résister à des températures de surface de 1800°C ainsi qu'à un

    gradient de température de l'ordre de 1300°C. A cette année-là, aucun matériau

    industriel n'était connu pour supporter de telles sollicitations thermomécaniques.

    Trois caractéristiques sont à considérer pour la conception de tels matériaux:

    Résistance thermique et résistance à l'oxydation à haute température

    de la couche superficielle du matériau;

    Ténacité du matériau côté basse température;

    Relaxation effective de la contrainte thermique le long du matériau.

  • Chapitre I Généralités sur les matériaux à gradient de propriétés

    HELLAL Hadjira Page 8

    Pour répondre à un tel cahier de charges, l'idée originale des FGM a été proposée

    pour élaborer un nouveau composite profitant à la fois des propriétés des céramiques

    (côté haute températures) et des métaux (côté basse température).

    À la fin de la première étape (1987-1989), les chercheurs avaient réussi à fabriquer

    de petites pièces expérimentales (1-10 mm d'épaisseur et 30 mm de diamètre) pouvant

    résister à des températures maximales de 2000K (température de surface)

    et à un gradient de température de 1000K.

    Quatre techniques ont été utilisées pour fabriquer les matériaux présentant

    un gradient de composition et de structure. Les techniques utilisées dans la fabrication

    de tels matériaux sont les suivantes :

    Le système SiC/C par C.V.D.(Chemical Vapor Deposition ou dépôt chimique

    en phase vapeur),

    le système PSZ/Mo par la technique de la compaction sèche des poudres,

    le système TiB2/Cu par synthèse par auto-propagation à haute température,

    et enfin le système (Ni-Cr-Al-Y)/(ZrO2-Y2O3) par projection plasma

    à double torches (Okamura 1991).

    Dans la seconde étape (1990-1991), le but était de réaliser des pièces de tailles plus

    grandes et de forme plus complexes par rapport à celles réalisées dans la première

    étape. Pendant les années 90, non seulement les champs d'applications des FGM

    s'est développé pour les matériaux de structure fonctionnant à haute température,

    mais s'est aussi élargi à d'autres applications: biomécaniques, technologie de capteur,

    optique, constructions (Okamura 1991).

    Le concept des matériaux à gradient de propriétés est de l’intérêt non seulement

    dans la conception des matériaux réfractaires performants pour des utilisations pour

    les futures navettes spatiales, mais également dans le développement de divers

    matériaux fonctionnels, tels que les matériaux optiques et électroniques. A cet effet,

    un deuxième projet a été lancé pour la recherche et le développement des matériaux

    FGM en tant que matériaux fonctionnels baptisé : « Recherche sur les matériaux

    de conservation d’énergie avec la structure à gradient de propriétés ».

  • Chapitre I Généralités sur les matériaux à gradient de propriétés

    HELLAL Hadjira Page 9

    Ce programme vise à s’appliquer la technologie des FGM dans le but d’améliorer

    l’efficacité de la conservation de l’énergie comme l’énergie solaire, nucléaire,

    photovoltaïque et thermoélectrique.

    I.4. Domaines d’applications des matériaux à gradient de propriétés

    Le concept des matériaux à gradient de propriétés est applicable dans de nombreux

    domaines comme illustré dans la figure I.4. Il a été initialement conçu pour l’industrie

    de l'aéronautique, où les FGM ont fournis deux propriétés contradictoires telles que

    la conductivité thermique et l'isolation thermique dans un matériau. Actuellement,

    de telles conceptions permettent la production des matériaux légers, forts et durables,

    et qui sont applicables dans un large spectre de domaines tels que les matériaux

    de construction, les matériaux de conversion d'énergie, le nucléaire et les semi-

    conducteurs.

    Figure I.5 : Les principaux domaines d’application des FGM.

  • Chapitre I Généralités sur les matériaux à gradient de propriétés

    HELLAL Hadjira Page 10

    I.5. Conclusion :

    Dans ce chapitre, nous avons défini les matériaux à gradient de propriétés « FGM »,

    leur développement, leurs propriétés, et leurs domaines d’application

    dans les structures spéciales en génie civil.

    Dans le chapitre suivant, on exposera une revue bibliographique sur les différentes

    théories rencontrées dans la littérature pour l’étude de la déformation de cisaillement.

  • Chapitre II Littératures des théories des plaques

    HELLAL Hadjira Page 11

    II-1 Introduction

    Nous présentons dans ce chapitre quelques modèles sur les théories des plaques

    développées dans la littérature pour améliorer l'évolution de la variation du champ

    des déplacements à travers l'épaisseur des plaques.

    La modélisation des structures multicouches modernes avec une forte anisotropie

    (par exemple : faible rapport du module de cisaillement transverse de l’âme par rapport

    au module de cisaillement d’élasticité longitudinale des peaux dans le cas des structures

    sandwiches) exige des théories raffinées qui prennent en compte une bonne description

    du cisaillement transverse (Nguyen, 2004). On trouve dans la littérature une synthèse

    complète sur les différents modèles existants de type poutres en élasticité

    tridimensionnelle ou de type plaques (Noor, 1989; Kapania, 1989; Kant, 2000; Carrera,

    2000).

    II-2 Modèles classiques :

    Ces modèles sont basés sur une distribution linéaire des déplacements à travers

    l’épaisseur (Reissner, 1961; Yang, 1966) où les déformations dues aux cisaillements

    transverses sont négligées et la normale reste droite et perpendiculaire à la surface

    moyenne après déformation.

    II-2.1 Premières hypothèses fondamentales de la théorie des poutres

    II-2.1.1 Principe de Saint venant :

    Le principe de saint venant s’énonce comme suit : « La contrainte en un point

    éloigné des points d’applications d’un système de forces ne dépend que de la résultante

    générale et du moment résultant de ce système de forces, même si la répartition

    des contraintes n’est pas la même, la solution trouvée sera valable, si on place

    suffisamment loin le point d’application des charges ».

    II-2.1.2 Principe de Navier Bernoulli généralisé :

    L’hypothèse de Navier Bernoulli consiste à supposer que les sections normales

    à la fibre moyenne restent planes pendant la déformation de la poutre.

  • Chapitre II Littératures des théories des plaques

    HELLAL Hadjira Page 12

    Cette hypothèse qui permet de calculer les contraintes normales dues au moment

    fléchissant, est bien vérifiée dans le cas de flexion pure où l’effort tranchant est nul.

    Par contre, dans le cas de la flexion simple avec effort tranchant, les sections ne restent

    pas planes, mais se gauchissent en forme de lettre « S » très aplaties. De même lorsque

    nous étudions la torsion, nous verrons qu’une section non circulaire, ayant deux axes

    de symétrie, prend sous l’effet d’un couple de torsion, un gauchissement radial.

    Le principe de Navier Bernoulli est fondé sur les observations suivantes :

    Le gauchissement d’une section est toujours très petit vis-à-vis

    des dimensions de la section.

    La variation du gauchissement, lorsqu’on passe d’une section à une section

    infiniment voisine, est toujours très petite, non seulement vis-à-vis

    de la distance des deux sections infiniment voisines.

    Le principe de Navier Bernoulli revient à négliger le cisaillement

    et le gauchissement des sections transversales dans l’étude de déplacement

    et de déformation d’un élément de poutre.

    Il est rare de trouver une théorie qui serait applicable à tous les cas possibles

    (matériau composite, anisotrope, isotrope, grand nombre de couches, stratification

    sandwich etc…) et aux différents domaines (statique, dynamique et flambement),

    et qui de plus serait simple et facile et ne coûte pas chère en temps de calcul.

    La théorie la plus ancienne est celle de Kirchoff(Dhatt G ,1969). " Numerical analysis

    of thin shells by curved triangular elements based on discrete Kirchoff hypothesis".

    Proc. ASCE Symp.On Application of FEM in civil engineering, Vanderbilt Univ.,

    Nashville, Tenn., P. 255-278 (1969).),qui néglige l’effet de cisaillement

    transversalmais elle ne peut en conséquence être appliquée qu’aux structures très

    minces. La théorie du premier ordre communément associée à Mindlin Reissner

    (1945), qui fût l’un des premiers à énoncer ses bases, prend en compte les effets

    du cisaillement transversal à travers l’épaisseur. Elle conduit, de par l’hypothèse

    des « sections droites restent droites » à un vecteur des contraintes

    de cisaillement transverse constant dans l’épaisseur, en contradiction avec

    une représentation quadratique classiquement obtenue pour les poutres (théorie

    de Timoshenko) ou les plaques en flexion.

  • Chapitre II Littératures des théories des plaques

    HELLAL Hadjira Page 13

    Pour corriger cette insuffisance, des facteurs dits de correction du cisaillement

    transverse y sont introduits. Les éléments finis formulés en déplacement basés sur

    la théorie du premier ordre donnent généralement de bons résultats pour

    les structures isotropes et orthotropes. Ils deviennent peu précis une fois appliqués

    aux matériaux composites contenant plusieurs couches avec une anisotropie très

    différente d’une couche à une autre (Topdar, 2003), auquel cas il faudrait imposer

    des conditions de continuité sur les interfaces. Certes, les facteurs de correction

    du cisaillement transverse, une fois introduits dans les modèles du premier ordre

    en déplacement, ont permis de résoudre des problèmes de structures multicouches

    mais leur évaluations dépend malheureusement du nombre de stratifications.

    Pour écarter à jamais ce type de problème, des théories d’ordre élevé ont été introduites

    au début des années 70. La première théorie a été proposée en 1969 par Whitney,

    qui a supposé un champ de déplacement d’ordre élevé à 3. Elle a donné des résultats

    précis mais fût abandonnée en raison de sa complexité théorique; elle exige en effet

    un grand nombre de paramètres (Whitney, 1969). D’autres théories sont apparues

    par la suite, chacune d’elles présente des avantages et des inconvénients, avec

    des formalismes différents selon le domaine d’application.

    II.2.2 Les modèles analytiques des plaques FGM

    II.2.2.1 La théorie classique des plaques minces de Love-Kirchhoff (CPT) :

    On parle d’une plaque mince, lorsque la flèche générée par les déformations

    de cisaillement reste négligeable devant la flèche générée par la courbure de la plaque.

    Dans le cas d’une plaque homogène isotrope, la part de cisaillement dans la flèche

    est directement reliée à l’élancement (L/h).

    La théorie classique des plaques minces (CPT) se base sur les hypothèses

    de Love- Kirchhoff, selon lesquelles une droite normale au plan moyen de la plaque

    reste perpendiculaire après déformation (figure II.1), ce qui revient à négliger les effets

    de déformation en cisaillement transverse.

  • Chapitre II Littératures des théories des plaques

    HELLAL Hadjira Page 14

    (II.2)

    Ce modèle de plaque peut être référé à Timoshenko et Woinowsky-Krieger, (1959)

    et Reddy (1997,1999), En se basant sur les hypothèses ci-dessus, le champ

    de déplacement basé sur est donné par :

    0

    0

    0

    0

    0

    , , , ,

    , , , ,

    , , , ,

    wu x y z u x y z

    x

    wv x y z v x y z

    y

    w x y z w x y

    Avec (u0, v0, w0) sont les composantes du champ de déplacement sur le plan moyen

    de la plaque (z = 0).

    Figure II.1 : Illustration de la plaque de Love Kirchhoff (Reddy, 1997).

    Puisque ce modèle ne tient pas en compte l’effet de cisaillement transverse, il donne

    des résultats non précis pour les plaques épaisses.

    II.2.2.2 La théorie de déformationdecisaillement du premier ordre (FSDT)

    La théorie de déformation en cisaillement du premier ordre a prolongé la théorie

    classique des plaques en tenant compte de l’effet de cisaillement transverse.

    Dans ce cas les contraintes et les déformations sont constantes à travers l’épaisseur

    de la plaque, ce qui nécessite l’introduction d’un des facteurs de correction

    de cisaillement.

    (II.3)

    (II.1)

  • Chapitre II Littératures des théories des plaques

    HELLAL Hadjira Page 15

    Les études sur la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT)

    peuvent être trouvées dans les références (Reissner, 1945; Mindlin, 1951).

    La théorie du premier ordre est basée sur le champ de déplacement suivant :

    0

    0

    0

    , , , , ,

    , , , , ,

    , , , ,

    x

    y

    u x y z u x y z x y

    v x y z v x y z x y

    w x y z w x y

    Avec : (u0, v0, w0) et (xy) sont les déplacements en membrane et les rotations autour

    des axes y et x, respectivement.

    Le champ de déplacement définis dans l’expression ci-dessus permet de reprendre

    la théorie classique des plaques décrites dans la dernière section par le remplacement

    0 0,x yw w

    x y

    Figure II.2 : Illustration de la plaque de Reissner-Mindlin (Reddy, 1997).

    Pour éviter l’introduction d’un facteur de correction, des théories de déformation

    encisaillement d’ordre élevée ont été développées.

    (II.4)

    (II.5)

    (II.6)

    (II.7)

  • Chapitre II Littératures des théories des plaques

    HELLAL Hadjira Page 16

    II.2.2.3 La théorie de déformation en cisaillement d’ordre élevé (HSDT)

    À la différence de la théorie CPT et la théorie FSDT avec les hypothèses

    de la distribution linéaire du déplacement à travers l'épaisseur, la théorie d'ordre élevé

    est basée surune distribution non linéaire des champs à travers l’épaisseur.

    Par conséquent, on tient comptedes effets de la déformation transversale

    de cisaillement et / ou de la déformation normaletransversale. Ces modèles n'exigent

    pas des facteurs de correction. Les références sur de tels modèles peuvent être trouvées

    dans (Hildebrand et al., 1949; Naghdi, 1957; Reissner, 1975;Reddy, 1984; Kant

    et Swaminathan, 2002).

    Nous avons introduit ici quatre modèles de plaque utilisés pour analyser

    le comportement des plaques matériaux à gradient de propriétés.

    Figure II.3: Illustration de la plaque d’ordre élevé (Reddy, 1997).

    Le champ de déplacement est généralement écrit comme suit:

    0

    0

    0

    0

    0

    ,, , , , ,

    ,, , , , ,

    , , , ,

    x

    x

    w x yu x y z u x y z z x y

    x

    w x yv x y z v x y z z x y

    x

    w x y z w x y

    Avec : 0 0 0( , , )u v w et ( , )x y sont les déplacements en membrane et les rotations autour

    des axes y et x respectivement,

    (II.8)

    (II.9)

    (II.10)

  • Chapitre II Littératures des théories des plaques

    HELLAL Hadjira Page 17

    La fonction de cisaillement transverse caractérisant les théories correspondantes

    est la suivante :

    0 0( , ), ( )x x y yw w

    zx y

    En effet, les déplacements de la théorie classique de plaque (CPT) est obtenue par en

    prenant (z) 0, alors que la théorie de premier ordre (FSDT) peut être obtenue

    par (z) z.

    Les déplacements de la théorie de déformation de cisaillement du troisième ordre

    (TSDT) de Reddy, (1997,1999) sont obtenus par :

    22

    41

    3z z z

    h

    Dans le modèle de Reddy, le champ de déplacement membranaire est cubique.

    Cemodèle donne une bonne approximation pour les contraintes de cisaillement

    transverse parrapport à la solution d’élasticité tridimensionnelle.

    La distribution des contraintes de cisaillement transverse est parabolique à travers

    l’épaisseur. Les conditions aux limites sur les surfaces libres sont satisfaites.

    Touratier (1991) propose le modèle sinus (SSDT) qui est différent des autres

    modèles d’ordre supérieurs puisqu’il n’utilise pas de fonction polynomiale.

    Une fonction trigonométrique sinusoïdale est donc introduite pour modéliser

    la répartition des contraintes de cisaillement à travers l’épaisseur.

    La fonction de cisaillement transverse s’écrit comme suite:

    sinh z

    zh

    (II.11)

    (II.12)

    (II.13)

  • Chapitre II Littératures des théories des plaques

    HELLAL Hadjira Page 18

    Les contraintes de cisaillement transverses déterminées par le modèle (sinus)

    prennent une forme cosinusoidale à travers l’épaisseur de la poutre.

    La précision de ce modèle parrapport à la solution exacte est meilleure que la théorie

    de Reddy.

    La version exponentielle de la théorie de déformation de cisaillement d’ordre élevé

    (The exponential shear deformation plate theory ESDPT) développée par (Karama

    et al.,2003) estobtenue en prenant :

    2 / 2z hz ze

    La version hyperbolique de la théorie de déformation de cisaillement d’ordre élevé

    (The hyperbolic shear deformation plate theory HSDPT) développée par (Ait Atmane

    et al., 2010)est obtenue en prenant :

    / sinhcosh / 2

    cosh / 2 1 cosh / 2 1

    h zh

    z z

    II.3 Revue sur les différents modèles de la théorie d’ordre élevé

    Pour franchir les limites des théories du premier ordre, plusieurs auteurs proposent

    quelques contributions importantes de développement de modèles d’ordre élevés

    qui se sont distingués dans la littérature par l’expression de la fonction de cisaillement

    f (z).

    Les modèles sont basés sur une distribution non linéaire des champs de déplacement

    à travers l’épaisseur, et qui permettent de représenter le gauchissement de la section

    transversale dans la configuration déformée (Figure III.3) (Whitney, 1973 ; Nelson,

    1974 ; Lo, 1977 ; Touratier, 1991). Nous citons en particulier :

    L’approche d’Ambartsumyan (1969) avec ;

    2 2

    2 4 3

    z h zf z

    (II.14)

    (II.15)

    (II.16)

  • Chapitre II Littératures des théories des plaques

    HELLAL Hadjira Page 19

    L’approche de Reissner (1945), Panc et Kaczkowski, avec ;

    2

    2

    5 41

    4 3

    zf z z

    h

    L’approche de Levinson, Murthy (1981) et Reddy Avec ;

    2

    2

    41

    3

    zf z z

    h

    Dans le modèle de Reddy, le champ de déplacement membranaire est cubique

    et le déplacement normal w est constant (Reddy, 1984). Ce modèle donne une bonne

    approximation pour les contraintes de cisaillement transverse par rapport à la solution

    élastique tridimensionnelle dans le cas homogène (Duong, 2008).

    La distribution des contraintes de cisaillement transverse est parabolique à travers

    l’épaisseur (elle doit être parabolique par couche pour un multicouche). Les conditions

    aux limites sur les surfaces libres sont satisfaites. Les résultats du modèle de Reddy

    sont également très proches des deux modèles d’ordre élevé proposés par( Kant ,2002).

    Touratier propose le modèle (sinus) qui est différent des autres modèles d’ordre

    élevés puisqu’il n’utilise pas de fonction polynomiale. Une fonction trigonométrique

    sinusoïdale est donc introduite pour modéliser la répartition des contraintes

    de cisaillement à travers l’épaisseur (Touratier, 1991) .La fonction de cisaillement

    transverse s’écrit comme suite :

    2 1

    0

    2 2 4 4 6 6

    2 4 6

    1sin

    2 1 !

    71 .......

    3! 5! 7!

    n n

    n

    h z h zf z

    h n h

    z zz

    h h h

    (II.17)

    (II.18)

    (II.19)

    (II.20)

  • Chapitre II Littératures des théories des plaques

    HELLAL Hadjira Page 20

    Les contraintes de cisaillement transverses déterminées par le modèle (sinus)

    prennent une forme cosinusoidale à travers l’épaisseur de la poutre. La précision de ce

    modèle parrapport à la solution exacte est meilleure que la théorie de Reddy (1984).

    En se basant sur lestravaux de Touratier, un élément fini triangulaire à six nœuds,

    est construit pour les structuresmulticouches non linéaires géométriques par (Polit

    ,1997) et (Dau,2006).

    Récemment, (Afaq et al.,2003) proposent un modèle exponentiel avec

    une cinématique plus riche. La fonction de distribution de cisaillement transverse

    est de la forme suivante:

    2

    2z

    hf z z e

    Le choix de la fonction exponentielle permet un développement en puissance pair

    et impair de la variable z, alors que la fonction (sinus) de (Touratier ,1991) ne permet

    qu’un développement en puissance impair.

    Malgré le fait que les modèles d’ordre élevé assurent une continuité de déplacement

    et de déformation à l’interface, les contraintes de cisaillement inter laminaire

    et les contraintes d’interface, restent discontinues. Ceci présente un inconvénient lors

    de l’analyse locale de l’interface des structures multicouches dont les propriétés

    des couches sont très différentes (Duong, 2008).

    II.4 Théorie de zig-zag

    Pour mieux décrire la déformation en cisaillement des structures composites, certains

    auteurs ont associé la théorie d’ordre élevé à celle dite de ziz-zag (Cho, 1996 ; Choa,

    2000). Cette dernière est destinée justement à mieux décrire les effets d'interface.

    Ainsi, différents modèles issus de l'approche par couche ont été proposés.

    Le multicouche est subdivisé en sous-structures (correspondant en fait à chaque couche

    ou chaque ensemble de couches). On applique à chaque sous-structure une théorie

    du premier ordre ou unmodèle d'ordre élevé. La cinématique des modèles zig-zag

    satisfait a priori les conditions de contact et elle est indépendante du nombre

    de couches.

    (II.21)

  • Chapitre II Littératures des théories des plaques

    HELLAL Hadjira Page 21

    L'avantage principal du champ de déplacement des modèles zig-zag réside

    dans la bonne modélisation de la distorsion de la normale à la surface déformée, ainsi

    que dans la vérification des conditions de continuité, et ce sans augmenter pour autant

    le nombre et l'ordre des équations fondamentales de la théorie du premier ordre.

    Le recours à des coefficients de correction pour le cisaillement transverse est évité.

    En se basant sur le concept de (Di Sciuva,1984), plusieurs auteurs ont réalisé

    des améliorations significatives pour le modèle zig-zag (Murakami, 1986 ; Averill,

    1994 ; He, 1994 ; Icardi, 2001 ; Carrera, 2004). L'amélioration principale

    est l'introduction d'une distribution non linéaire des déplacements. On superpose

    le champ zig-zag (linéaire par morceau) à un champ de déplacement d'ordre élevé

    (souvent cubique) (figure II.4). Les conditions de compatibilité sont satisfaites

    sur les surfaces supérieures et inférieures des plaques pour réduire le nombre

    de paramètres (Tafla, 2007)

    Figure II.4 Champ de déplacements des modèles zig-zag d’ordre élevé.

    (Carrera, 2004).

    II.5 Conclusion

    Dans ce chapitre, nous avons déterminé les différents modèles de calcul des plaques.

    Suite à notre lecture de la littérature en matière de théories d’ordre élevé, il apparaît

    que celles-ci sont certes intéressantes du point de vue précision, mais demeurent

    néanmoins coûteuses en temps de calcul et assez complexes en termes de formulation.

  • Chapitre III Formulation théorique

    HELLAL Hadjira Page 22

    III.1 Introduction :

    Dans ce chapitre on propose un nouveau modèle de déformation de cisaillement

    simple à quatre variables. Dans ce qui suit nous allons étudié les effets

    de l'environnement hygrothermique sur le comportement dynamique et le flambement

    des plaques sandwiches en matériaux fonctionnellement gradué reposant sur

    des fondations élastiques «Winkler – Pasternak».

    Ce modèle utilise uniquement quatre variables et prend en compte une variation

    trigonométrique des contraintes de cisaillement transverse. En outre, ces contraintes

    deviennent nulles aux surfaces supérieure et inférieure de la plaque sandwiches.

    La nouveauté de cette formulation est l'ajout les termes d’intégral dans le champ

    du déplacement, ce qui conduit à une réduction du nombre d'inconnus et d'équations

    de base.

    III.2 Construction en sandwich

    Une plaque sandwiche rectangulaire en FGM est considérée (comme illustrée

    dans la Figure III. 1). Les coordonnées cartésiennes (x, y, z) sont utilisées pour prescrire

    les déformations infinitésimales de la plaque sandwiche. La surface médiane

    de la plaque est située à z=0 et ses faces de délimitation externes sont définies par

    2/hz

    Les caractéristiques matérielles effectives P(n) de chaque couche n (n =1, 2, 3),

    à savoir le module de Young (E), le coefficient de Poisson (υ), la masse volumique (ρ),

    le coefficient de dilatation thermique ( ) et le coefficient d’expansion de l'humidité

    ( ) varient continuellement dans la direction z en fonction de la formule de puissance

    suivante :

    ,n m c m np z p p p V 1, 2,3i (III.1)

    Où :

    n représente le nombre de couche

    cP et mP désignent les propriétés du céramique et du métal de la plaque

    sandwiche en FGM, respectivement.

  • Chapitre III Formulation théorique

    HELLAL Hadjira Page 23

    La fraction volumique nV de chaque couche dépend du type de la structure

    sandwiche.

    Dans ce qui suite, on propose trois types de «plaques sandwiches» FGM.

    III.3 Types de plaques sandwiches en FGM :

    Trois types de plaques sandwiches peuvent être envisagés selon la disposition

    graduelle des composantes : métal, céramique et FGM, conformément

    aux illustrations schématiques suivantes (figure III.1).

    Figure III.1. Configuration et système de coordonnées de divers types de plaques

    sandwiches FGM (a)type A, (b) type B, et (c) type C.

  • Chapitre III Formulation théorique

    HELLAL Hadjira Page 24

    Type A: Plaque sandwiche à couches de surface en FGM et noyau

    en céramique homogène :

    Les couches supérieures et inférieures de la plaque sandwiche sont en matériau FGM

    céramique / métal, et qui sont graduel du métal sur les faces supérieures et inférieures

    vers la céramique aux interfaces (Figure III.1 (a)). La couche centrale est considérée

    entièrement en céramique (noyau dur (hardcore)).

    Dans ce cas, la fraction volumique de la céramique nV peut être définie comme (Sobhy

    ,2016)

    1

    1

    1 2

    1 2

    r

    zV

    H

    , 1

    1

    2z H

    .2III a

    .2III b

    2 1/ 2H z .2III c

    Où 0 r est l'indice de la matière, avec / ,z z h /j jH h h 1,2j .On Notez que

    pour 0r , la structure devient une plaque homogène parfaitement en céramique, alors

    que pour ,r la structure devient une plaque sandwiche en métal-céramique-métal

    (m-c-m).

    Type B: plaque sandwiche avec des surface en FGM et noyau métallique

    homogène.

    Dans ce genre, les couches supérieures et inférieures sont également composées

    de matériau céramique / métal FGM, mais ils sont classés de la céramique sur les faces

    inférieure et supérieure au métal aux interfaces (Figure III. 1 (b)). Ainsi, la couche

    centrale est entièrement en métal (noyau souple (soft-core).La fraction volumique Vn

    peut être défini comme (Sobhy M ,2016).

    2 1 21,V H z H

    3

    2

    1 2

    1 2

    r

    zV

    H

  • Chapitre III Formulation théorique

    HELLAL Hadjira Page 25

    11 / 2 z H .3III a

    20,V 1 2H z H .3III b

    2

    3

    2

    2 2

    2 1

    r

    H zV

    H

    2 1/ 2H z .3III c

    Lorsque 0r , les structures deviennent une plaque sandwiche céramique – métal –

    céramique (c – m – c), tandis que si ,r la structure deviennent une plaque

    entièrement métallique.

    Type C:Plaque sandwiche à âme FG et couches de surface homogènes.

    Les couches supérieure et inférieure sont en céramique et en métal, respectivement,

    alors que le noyau est composé d'un matériau FGM (métal / céramique). Pour ce type,

    nV peut être défini comme (Sobhy ,2016)

    1 0V 11 / 2 z H .4III a

    1

    2

    2 1

    r

    z HV

    H H

    1 2H z H .4III b

    3 1,V 2 1 / 2H z .4III c

    III.4 Cinématique et équations constitutives

    Les composantes de déplacement u, v et w dans les directions x, y et z, respectivement,

    en tout point de la plaque, peuvent être exprimées par :

    00 1

    , ,, , , , , , ,

    w x y tu x y z t u x y t z k f z x y t dx

    x

    1

    1

    1

    2 2

    2 1

    r

    H zV

    H

    (III.5a)

  • Chapitre III Formulation théorique

    HELLAL Hadjira Page 26

    00 2

    , ,, , , , , , ,

    w x y tv x y z t v x y t z k f z x y t dy

    x

    0, , , , ,w x y z t w x y t

    Où 0u et 0v représentent le déplacement dans le plan moyen de la plaque dans

    les directions x et y et 0w et sont les composantes de flexion et de cisaillement

    du déplacement transversal respectivement. Les constantes 1k et 2k dépendent

    de la géométrie. La fonction de forme f z est définie pour la théorie proposée par :

    2cos /

    2

    z z hf z

    .5III d

    Les composantes de déformation liées aux déplacements illustrés dans l'équation(5)

    peuvent être exprimées par :

    0 1 2

    0 1 2

    0 1 2

    ,

    x x x x

    y y y y

    xy xy xy xy

    z f z

    0

    0

    xz xz

    yz yz

    g z

    .6III a

    Quand

    x

    v

    y

    u

    y

    vx

    u

    xy

    y

    x

    00

    0

    0

    0

    0

    0

    ,

    yx

    wy

    wx

    w

    xy

    y

    x

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    ²2

    ²

    ²²

    ²

    ,

    dyxkdx

    yk

    k

    k

    xy

    y

    x

    21

    2

    1

    2

    2

    2

    dyk

    dxk

    yz

    xz

    2

    1

    0

    0

    (III.6b)

    (III.5b)

    (III.5c)

  • Chapitre III Formulation théorique

    HELLAL Hadjira Page 27

    Et

    df zg z

    dz

    .6III c

    Les intégrales utilisées dans les équations ci-dessus doivent être résolues

    par une méthode de type Navier et peuvent être exprimées comme suit :

    2' ,dx A

    y x y

    2

    ' ,dy Bx x y

    ' ,dx A

    x

    ' ,dy B

    y

    .7III

    Où les coefficients 'A et 'B sont exprimés en fonction du type de solution utilisée (dans ce

    cas via la méthode Navier). Par conséquent, 'A , 'B , 1K et 2K sont exprimés comme suit :

    '

    2

    1,A

    '

    2

    1,B

    2

    1 ,K 2

    2K .8III

    où /m a et /n b

    Les relations contrainte-déformation pour une plaque sandwiche élastique linéaire

    sont exprimées en

    11 12

    12 22

    66

    44

    55

    0 0 0

    0 0 0

    0 0 0 0

    0 0 0 0

    0 0 0 0

    n n n

    x x

    y y

    xy xy

    yz yz

    xz xz

    C C T C

    C C T C

    n C

    C

    C

    .9III

    Où , 1,2,4,5,6IJC i j représente la rigidité élastique de la plaque sandwiche en FGM

    et sont exprimée par :

  • Chapitre III Formulation théorique

    HELLAL Hadjira Page 28

    ,1

    )(2

    )()(

    22

    )(

    11

    zE

    CCj

    jj ,1

    )( 2

    )()(

    12

    zEC

    jj

    ,

    12

    )()()(66

    )(

    55

    )(

    44

    zE

    CCCj

    jjj

    Et 0T T T et 0C C C , où 0T est la température de référence et 0C

    est la concentration d'humidité de référence.

    III.5 Équations gouvernantes

    Le principe de Hamilton est utilisé ici pour obtenir les équations de mouvement.

    Le principe peut être énoncé sous la forme analytique :

    00

    T

    U K V dt .11III

    Où V est la variation de l'énergie de déformation, K est la variation de l'énergie

    cinétique, et V est la variation du travail externe induite par la densité de la force

    de réaction de fondation.

    La variation de l'énergie de déformation de la plaque est calculée par :

    /2

    /2

    h

    x x y y xy xy yz yz xz xzh A

    U dAdz

    .12III

    0 0 0

    0

    b b b b b b s s s s

    x x y y xy xy x x y y xy xy x x y y

    s s s sAxy xy yz yz xz xz

    N N N M k M k M k M k M kdA

    M k S S

    Où A est la surface supérieure et les résultantes de contrainte N, M et S sont définies

    par :

    /2

    /2

    , , 1

    , , , ,

    , ,

    x Y xyh

    b b b

    x y xy x y xyh

    s s s

    x y

    N N N

    M M M z dz

    M M Mxy f z

    .13aIII

    /2

    /2, ,

    h

    xz yz xz yzh

    S S g z dz

    .13III b

    (III.10)

  • Chapitre III Formulation théorique

    HELLAL Hadjira Page 29

    La variation de l'énergie cinétique de la plaque peut être écrite comme suit: (Thai and

    Choi ,2013 ; Meksi et al.,2019) :

    /2

    /2

    h

    h A

    u u v v w wK z dAdz

    t t t t t t

    .14III

    La variation du travail externe induite par la densité de force de réaction de fondation

    peut être donnée comme suit :

    /2

    /2

    h

    eh A

    SV f wdAdz

    .15III

    Où ef est la densité de la force de réaction de la fondation. Pour le modèle

    de fondation Pasternak :

    2, ,e w sf K w x y K w x y .16III

    Où WK est le paramètre de Winkler, SK est la rigidité de fondation de la couche

    de cisaillement et 2 est l'opérateur de la place en x et y.

    En intégration par parties l'équation (11) et on met séparément, les coefficients

    du 0 0 0, , ,u v w et égal à zéro, On obtient les équations de gouvernante suivantes :

    2 3 3'0 0

    0 1 2 3 12 2 2:

    XyXN u wN

    u I I I k Ax y t x t x t

    2 3 3'0 0

    0 1 2 3 22 2 2: XY Y

    v wN Nv I I I k B

    x y t y t y t

    2 22 2 2

    2 0 00 0

    0 0 02 2 2 2: 2

    b bby xyx

    w s x y

    M MM w ww K w K w N N

    x yx y x y

    2 3 3 4 4

    0 0 0 0 0

    1 2 42 2 2 2 2 2 2

    w u v w wI I I

    t x t y t x t y t

    4 4' '

    5 1 22 2 2 2I k A k B

    x t y t

    2 22

    ' ' ' ' ' '

    1 2 1 2 1 22 2:

    s

    ys xy yzxs xz

    x y

    M M SM Sk A k B k A k B k A k B

    x yx y

  • Chapitre III Formulation théorique

    HELLAL Hadjira Page 30

    3 3 4 4

    ' ' ' 2 '0 0 0 0

    3 1 2 5 12 2 2 2 2 2

    u v w wI k A k B I k A k B

    x t y t x t y t

    4 42 ' 2 2 ' 2

    6 1 22 2 2 2I k A k B

    x t y t

    .17III

    Où 1 2 3 4 5 6, , , , ,I I I I I I sont des inerties de masse définies comme suit :

    /22 2

    1 2 3 4 5 6/2

    , , , , , 1, , , , ,h

    hI I I I I I z f z zf f z dz

    .18III

    En incorporant l’équation (III.9) dans l’équation (III.13), les contraintes résultantes

    de la plaque sandwiche en FGM peuvent être liées aux déformations totales comme :

    s

    b s

    ss s s

    A B BN

    M B D D

    M B D H

    0

    1

    2

    T C

    bT b