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Analyse de données, méthodes numériques

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Text of Analyse de données, méthodes numériques

  • 8/3/2019 Analyse de donnes, mthodes numriques

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    N731 BULLETIN DE LUNION DES PHYSICIENS 297

    Analyse de donnes, mthodes numriqueset sciences physiques*par J.C. TRIGEASSOU - L.A.I.I., E.S.I.P., Universit, 86000Poitierset D. BEAUFILS - I.N.R.P., DEP4,92120 Montrouge

    Depuis une cinquantaine dannes, la ralisation de calculateursnumriques de plus en plus puissants a stimul la recherche entraitement de donnes, estimation paramtrique, identification et ana-lyse numrique. Lensemble de ces mthodes constitue prsent loutilfondamental de nimporte quel laboratoire, tant dans le domaine de larecherche thorique que dans celui des applications en sciences delingnieur.Lenseignement nest pas rest lcart de cette volution.Nombreux sont ceux qui ont pressenti ds les annes 70 lintrtpdagogique de lanalyse numrique. Les premiers essais, effectusgrce aux calculatrices programmables, ont concern les techniques debase telles que la drivation numrique ou lintgration dquationsdiffrentielles (charge de condensateur, mouvement de pendule). Puisles micro-ordinateurs ont accru la fois potentiel et vitesse de calcul,mais aussi la commodit des reprsentations graphiques. Leur interfa-age sest galement trs rapidement gnralis et a permis une

    banalisation de lexprimentation assiste par ordinateur. Lenseignanta pu alors prendre en compte un plus grand nombre de donnesexprimentales en associant reprsentations graphiques, traitements dedonnes (moyennes, filtrage...), modlisation exprimentale et estima-tion paramtrique (rgression linaire en gnral). 11 est rapidementapparu quil tait ncessaire de mettre en place de nouvelles pratiquespdagogiques prenant en compte loutil informatique associ desmthodes numriques adaptes aux objectifs de lenseignement dessciences physiques dans les lyces.Dans la prsentation ci-dessous on a volontairement privilgi lamodlisation et lanalyse des donnes par rapport aux mthodes

    * Ce texte reprend lessentiel des lments prsents lors du cours correspondant, faitlors des 4mes Journes Inform atIque et Pdagogie des Scwnces Physiques [ 1, 21

    Vol.85 Fv rw 199 I

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    numriques traditionnelles. Cette prsentation non conventionnelle at retenue pour valoriser la modlisation exprimentale qui comportecertainement plus dlments pdagogiques novateurs propres notrediscipline. Rappelons quun des objectifs des sciences physiques est dedcrire sous forme de lois mathmatiques ou modles les phnomnesfondamentaux. Loutil informatique permet un retour aux principes debase de la modlisation par minimisation dun critre quadratique ainsiquune approche plus concrte de la notion dincertitude. La distinctionentre modlisation exprimentale et mthodes numriques est artifi-cielle car de nombreuses techniques didentification sont du domainede lanalyse numrique.

    1. MODLISATION EXPRIMENTALE ASSISTE PAR ORDINATEUR1.1. Le critre quadratique et sa minim isationPour introduire la notion de base quest le critre quadratique, nousconsidrons un exemple classique pour lequel on connat un modle

    mathmatique explicite simple : le mouvement dune masse soumise une force constante. Dans ce cas la relation entre temps et vitesse scrit(moyennant un choix convenable de la date initiale) :v=a.t

    Supposons que lon dispose dune srie de rsultats exprimentauxdu type ci-dessous (figure 1). Comment on peut alors estimer au mieuxlacclration.V

    *++*t.L--*+++ l tFigure 1

    1 l .l. Dfinition du critre quadratiqueIl sagit donc dabord de se donner les moyens dune comparaisonobjective mesures/modle. Pour cela on dfinit un cart E(t). Si dsigne une estimation du paramtre, lcart est dfini par :E(,) vmes(t)v,,,(t) =vme,w t

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    Le critre de comparaison mesures/modle le plus courammentutilis est le critre dit quadratique dfini par :J = C E*(t)On peut le concrtiser (facilement grce lordinateur) en traantla courbe reprsentant J = f() pour un domaine de valeurs possibles duparamtre (figures 2 et 3). Ces courbes sont rarement traces mais ontpourtant un intrt pdagogique car elles permettent de visualiser desnotions plus abstraites (non linarit, prcision. etc...).

    Figure 2 : parabole Figure 3 : courbe que lconque avec minimum :dcharge dun condensateur1 .1.2. Minimisation du critre quadratique : introduction

    La seconde tape est celle de la dtermination optimale de ,cest--dire la valeur a opt qui rend le critre quadratique minimal.On peut noter dabord que le trac de J = f() permet une premireestimation (visuelle) de aont, q ue lon peut dailleurs affiner en agissant

    sur le domaine dexploration. Mais il est possible dutiliser destechniques permettant dautomatiser cette recherche de loptimum.Deux mthodes sont prsentes ci-dessous.Mthode itrative ( pas constant)

    Soit ainit lestimation initiale et un pas de recherche Fa, et soita, = ainu + signe x sa, la premire valeur de lexploration.Si lon dbute la recherche en choisissant le signe positif, alors :- si J(at) < Ji,it, on continue

    - si J(at) > Ji, it, on prend signe = -1 et on ritre.A litration n : a, = a, _ , + signe x 6a

    Vol.85 Fvrier 1991

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    300 BULLETIN DE LUNION DES PHYSICIENSOn continue tant que J&,) < J(a, _ t). Lorsque J(a,) > J(a, _ t) onarrte les itrations ou on diminue 6a pour affiner la recherche (en

    prenant par exemple 6a = 6a/lO).Cette mthode itrative ne permet donc pas dobtenir la valeurexacte de a opt mais de lencadrer avec un intervalle 6a que lon peutrendre aussi faible quon le dsire (avec toutefois la limitation lie laprcision de la machine).

    Mthode analytique (des moindres carrs)La technique prcdente prsente lintrt pdagogique de ne pasncessiter une formulation thorique du processus de minimisation. Ellepeut toutefois tre avantageusement remplace en pratique par unesolution analytique, possible dans le cas prsent o le modle estlinaire par rapport au paramtre.On peut crire en ef fe t :J=~E, 2 = c (Vk - . $J2

    = Lx$ - 2 c Vk tk + 2 Ct, 2= a + p + p

    On obtient ainsi lquation dune parabole dont le sommet(minimum) est dfini par dJ/d = 0, soit :aOPI =-B/2a=I:Vk.t,/Ctk2

    11.3. GnbralisationModle linaire par rapport aux paramtres : mthodedes moindres carrs

    Soit un modle y(x) linaire par rapport N paramtres 8, :y = f,(x) 8, + . + f,(x) 8, + . . + fN(X) 8,

    Le critre J = C &k 2 est un parabolode fonction des N paramtres8, et la mthode ci-dessus peut tre facilement gnralise.

    La solution optimale tZtopt {et, t3,, 8,, . ..) est donc obtenuedirectement par rsolution dun systme linaire form des N quations6J/68, = 0. Cest la mthode des moindres carrs, ou mthode de Gauss[9, 11, 121.

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    BULLE TIN DE LUNION DES PHY SICIEN S 301

    Le cas le plus couramment rencontr dans lenseignement se-condaire est celui o il existe deux paramtres (masse soumise uneforce constante, avec vitesse initiale, par exemple : v = at + vo, 8, = a,8, = vu). On est dans le cas classique dit de la rgression linaire.Modle non linaire par rapport aux paramtres : mthode dumodle.

    Si on ne peut pas crire le modle sous forme linaire par rapport 0 (cas de la dcharge du condensateur o V = E exp (-t/0)) alors leproblme de minimisation du critre J est non linaire. On ne peutobtenir une approximation de loptimum Ctopt que par une techniqueitrative doptimisation non linaire [5, 6, 10, 11, 121.

    Les mthodes pas constant sont trs robustes mais ne sontvraiment efficaces quavec un nombre trs rduit de paramtres. Si londsire acclrer la recherche, on utilisera une technique de typeNewton, malheureusement plus dlicate mettre en uvre.Remarque : le critre J est minimal pour 8 = Oopt, mais cecaractre doptimalit ne doit pas cacher le fait que 0c,,t ne peut tregal Brai cause des erreurs, perturbations, etc... De plus il risquedtre systmatiquement diffrent de 8 vrai cause dun biais d au nonrespect dhypothses strictes sur la nature des erreurs de mesure (ce quiest frquemment le cas dans lemploi de la rgression linaire [9, 11,

    121).1.2. Prbcision de Iestimateur

    1.2.1. Incertitude de lestimationAprs la dtermination de loptimum Oont, le physicien doit seposer la question de la prcision de cette estimation [lO, 121. Pourmettre en vidence cette notion, on utilise nouveau le critre J et sareprsentation graphique (figures 4 et 5) en effectuantles deux domaines : mesures et critre.

    Figure 4

    Vol.85 Fvrier 1991

    une relation entre

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    302 BULLE TIN DE LUNION DES PHYS ICIENS

    JL-/.3.) - - - - _ --J,;.------;- i a=?tFigure S

    Le choix = a,nt est-il impratif ou bien = , peut-ii convenir,compte-tenu des erreurs de mesure ? La notion de prcision apparatalors comme une imprcision, une incertitude dans le choix de . Si ,donne autant de satisfaction que on,, cest quil y a incertitude danslestimation de . Le test de plusieurs valeurs de permet de mettre envidence cette notion.Pour quantifier les comparaisons, il est prfrable de normaliser J.On considre donc J,, = J/J,i, qui est tel que Jre) min = 1. On choisitalors Jrel max = 1 + a, tel que J,,, corresponde une dtriorationvisible de lapproximation mesures/modle.

    Jrd

    Figure 6 : Jmax = (1 + CC) Jm inAlors pour J() < J,,,, est rput acceptable ce qui dfinit ledomaine dincertitude :

    1.2.2. Corrlation des estima tionsLorsquon estime simultanment deux paramtres, tels que a et vodans v = at + vo, le problme devientAplus dlicat car il apparat uncouplage entre les estimations de et vo. Le critre J est une fonctiondes 2 paramtres

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