Analyse de la variance à effets mixtes Michel Tenenhaus

Analyse de la variance à effets mixtes

Michel Tenenhaus

2

Exemple 4 (Milliken & Johnson)Rythmes cardiaques

Rythme cardiaque pour trois groupes de traitementset quatre instants de mesure

Sujet Traitementdans AX23 BWW9 Contrôle

traitement T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T412345678

7278717266746269

8683828379837375

8188818377847876

7781756966777070

8582718386857983

8686788885828384

8380707976838078

8084758176808181

6966848072657571

7362908172626970

7267887769656965

7473877270616865

- Facteurs fixes : Traitement, Temps- Facteur aléatoire : Sujet(Traitement)

3

Case Summariesa

1 1 1 1 72

1 1 1 2 86

1 1 1 3 81

1 1 1 4 77

2 2 1 1 78

2 2 1 2 83

2 2 1 3 88

2 2 1 4 81

3 3 1 1 71

3 3 1 2 82

3 3 1 3 81

3 3 1 4 75

4 4 1 1 72

4 4 1 2 83

4 4 1 3 83

4 4 1 4 69

5 5 1 1 66

5 5 1 2 79

5 5 1 3 77

5 5 1 4 66

6 6 1 1 74

6 6 1 2 83

6 6 1 3 84

6 6 1 4 77

7 7 1 1 62

7 7 1 2 73

7 7 1 3 78

7 7 1 4 70

8 8 1 1 69

8 8 1 2 75

8 8 1 3 76

8 8 1 4 70

1 9 2 1 85

1 9 2 2 86

1 9 2 3 83

1 9 2 4 80

2 10 2 1 82

2 10 2 2 86

2 10 2 3 80

2 10 2 4 84

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

sujet sujet_diff produit temps rythme

Limited to first 40 cases.a.

Extrait des données

4

Moyennes des rythmes cardiaquespar produit et par instant

TEMPS

T4T3T2T1

Me

an

RY

TH

ME

86

84

82

80

78

76

74

72

70

68

PRODUIT

AX23

BWW9

Contrôle

5

Les modèlesModèle 1

Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk

Produit Temps Produit*

Temps

Sujet(Produit)

Résidu

Effets fixes Effets aléatoires

avec : - sk(i) ~ N(0, s2)

s2 = Variance inter-sujets

- ijk ~ N(0, 2)

2 = Variance intra-sujets

Les aléas sont indépendants.Les variances peuventdépendre du traitement.La variance intra-sujetspeut dépendre du traitement et du temps.

6

Modèle 2

Yijk = + i + j + ij + ijk


Temps

Résidu

avec : - i.k = (i1k, i2k, i3k, i4k ) ~ N(0, )

- Les i.k sont indépendants entre eux.

La matrice de covariance peut dépendre du traitement.

L’utilisateur doit choisir le type de la matrice .

7

Quelques types de matrice

2

2

2

2

SIMPLE

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

21 12 13 14

22 23 24

23 34

24

UNSTRUCTURED

21

22

23

24

UN(1)

0 0 0

0 0

0

21 1 1 1

21 1 1

21 1

21

COMPOUND SYMMETRY

2 3

22

AR(1)

1

1

1

1

8

Quelques types de matrice (suite)

21 2 32

1 22

12

TOEPLITZ

1312 14

23 24

34

d /d / d /

d / d /2

d /

EXPONENTIAL [sp(exp)]

1 e e e

1 e e

1 e

1

2 22 2 2 21312 14

2 2 2 223 24

2 234

d /d / d /

d / d /2

d /

GAUSSIAN [sp(gau)]

1 e e e

1 e e

1 e

1

etc...

1312 14

23 24

34

dd d

d d2

d

POWER [sp(pow)]

1

1

1

1

9

Modèle 3

avec : - sk(i) ~ N(0, s2)

- ijk ~ AR(1) (*)

(*) ijk = i(j-1)k + aijk ,

où les aijk suivent une loi N(0, a2) et sont indépendants

entre eux.



Temps

Sujet(Produit)

Résidu

10

Étude du modèle 1

avec : - sk(i) ~ N(0, s2)

- ijk ~ N(0, 2)

+ indépendance

2 2ijk s

2ijk ij'k s

ijk i ' j'k '

Var(Y )

Cov(Y ,Y ) , pour j j'

Cov(Y ,Y ) 0, pour k(i) k'(i')

2s

ijk ij'k 2 2s

Cor(Y ,Y ) 0

Dans le modèle 1, les corrélations entre les mesures sont positives.



Temps

Sujet(Produit)

Résidu

11

Le modèle 1 est un modèle 2 avec de type « compound symmetry » et covariance positive



Temps

Sujet(Produit)

Résidu

2 2 2 2 2k(i) i1k s s s s

2 2 2 2k(i) i2k s s s

2 2 2k(i) i3k s s

2 2k(i) i4k s

s

sVar( )

s

s

est de type « Compound Symmetry » avec covariance positive.

12

Formulaire

Modèle : y = X + Zu +

avec : u ~ N(0, G), ~ N(0, R), et Cov(u, ) = 0

- Var(y) = V = ZGZ´ + R

- y ~ N(X, V)

Estimation : (Utiliser Method = REML)

1) Les matrices G et R sont estimées par maximum de vraisemblance restreint.

1 1 1ˆ ˆ ˆ2) (X 'V X) X 'V y

1 1ˆ ˆˆˆ3) u GZ V (y X )

1 1ˆ ˆ4) Var( ) (X 'V X)

ˆ5) Var(u) ...

Il est préférablequ’un facteuraléatoire aitau moins5 modalités.Sinon, passer en fixe.

13

Formulaire (suite)

Modèle : y = X + Zu +

avec : u ~ N(0, G), ~ N(0, R), et Cov(u, )

Test :

1

0

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ(K Mu) ' Var(K Mu) (K Mu)F

rang K,M

F(rang K,M , ) sous H

H0 : K + Mu = 0

Statistique utilisée :(Inférerence : Large / étroite)

14

Calcul de par la méthode de Satterthwaite (Méthode par défaut de SPSS)

- Permet de retrouver les résultats du GLM pour le test d’un contraste.

- Le ddl du dénominateur ne dépend pas du nom de l’effet aléatoire.

- Permet de généraliser l’approche de Satterthwaite aux modèles mixtes.

15

Etude du modèle 1



Temps

Sujet(Produit)

Résidu

Utilisation de SPSS

16

17

Résultats Modèle 1

Model Dimensionb

1 1

3 2

4 3

12 6

24 Variance Components 1

1

44 14

Intercept

produit

temps

produit * temps

Fixed Effects

sujet_diffaRandom Effects

Residual

Total

Numberof Levels Covariance Structure

Number ofParameters

As of version 11.5, the syntax rules for the RANDOM subcommand have changed. Yourcommand syntax may yield results that differ from those produced by prior versions. Ifyou are using SPSS 11 syntax, please consult the current syntax reference guide formore information.

a.

Dependent Variable: rythme.b.

18

Résultats Modèle 1 (suite)

Information Criteriaa

487.177

491.177

491.325

498.039

496.039

-2 Restricted Log Likelihood

Akaike's Information Criterion (AIC)

Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)

Bozdogan's Criterion (CAIC)

Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)

The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.

Dependent Variable: rythme.a.

19


Estimates of Covariance Parametersa

7.277282 1.296624 5.612 .000 5.132241 10.318850

25.801587 8.530159 3.025 .002 13.496903 49.324050

ParameterResidual

Variancesujet_diff

Estimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval


20

Résultats Modèle 1 (Proc Mixed de SAS)

Estimated V Matrix for sujet(produit) 1 1

Row Col1 Col2 Col3 Col4

1 33.0789 25.8016 25.8016 25.8016 2 25.8016 33.0789 25.8016 25.8016 3 25.8016 25.8016 33.0789 25.8016 4 25.8016 25.8016 25.8016 33.0789

Estimated V Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1


1 1.0000 0.7800 0.7800 0.7800 2 0.7800 1.0000 0.7800 0.7800 3 0.7800 0.7800 1.0000 0.7800 4 0.7800 0.7800 0.7800 1.0000

21


Estimates of Fixed Effectsb

71.250000 2.033435 29.732 35.039 .000 67.095603 75.404397

1.875000 2.875712 29.732 .652 .519 -4.000205 7.750205

8.500000 2.875712 29.732 2.956 .006 2.624795 14.375205

0a 0 . . . . .

1.500000 1.348822 63.000 1.112 .270 -1.195405 4.195405

1.125000 1.348822 63.000 .834 .407 -1.570405 3.820405

.250000 1.348822 63.000 .185 .854 -2.445405 2.945405

0a 0 . . . . .

-4.125000 1.907522 63.000 -2.162 .034 -7.936879 -.313121

6.250000 1.907522 63.000 3.277 .002 2.438121 10.061879

7.625000 1.907522 63.000 3.997 .000 3.813121 11.436879

0a 0 . . . . .

.500000 1.907522 63.000 .262 .794 -3.311879 4.311879

3.125000 1.907522 63.000 1.638 .106 -.686879 6.936879

-1.375000 1.907522 63.000 -.721 .474 -5.186879 2.436879

0a 0 . . . . .

0a 0 . . . . .

0a 0 . . . . .

0a 0 . . . . .

0a 0 . . . . .

ParameterIntercept

[produit=1]

[produit=2]

[produit=3]

[temps=1]

[temps=2]

[temps=3]

[temps=4]

[produit=1] * [temps=1]












Estimate Std. Error df t Sig. Lower Bound Upper Bound


This parameter is set to zero because it is redundant.a.


22

Résultats Modèle 1 (SAS)Solution for Random Effects

Std ErrEffect sujet produit Estimate Pred DF t Value Pr > |t|

sujet(produit) 1 1 2.5397 2.1708 63 1.17 0.2464sujet(produit) 2 1 5.8091 2.1708 63 2.68 0.0095sujet(produit) 3 1 0.9049 2.1708 63 0.42 0.6782sujet(produit) 4 1 0.4379 2.1708 63 0.20 0.8408sujet(produit) 5 1 -3.9993 2.1708 63 -1.84 0.0701sujet(produit) 6 1 3.0067 2.1708 63 1.39 0.1709sujet(produit) 7 1 -5.1669 2.1708 63 -2.38 0.0203sujet(produit) 8 1 -3.5322 2.1708 63 -1.63 0.1087sujet(produit) 1 2 2.3061 2.1708 63 1.06 0.2921sujet(produit) 2 2 1.8391 2.1708 63 0.85 0.4001sujet(produit) 3 2 -7.0352 2.1708 63 -3.24 0.0019sujet(produit) 4 2 1.6055 2.1708 63 0.74 0.4623sujet(produit) 5 2 -0.2627 2.1708 63 -0.12 0.9041sujet(produit) 6 2 1.3720 2.1708 63 0.63 0.5296sujet(produit) 7 2 -0.2627 2.1708 63 -0.12 0.9041sujet(produit) 8 2 0.4379 2.1708 63 0.20 0.8408sujet(produit) 1 3 0.0292 2.1708 63 0.01 0.9893sujet(produit) 2 3 -4.6415 2.1708 63 -2.14 0.0364sujet(produit) 3 3 14.2747 2.1708 63 6.58 <.0001sujet(produit) 4 3 5.1669 2.1708 63 2.38 0.0203sujet(produit) 5 3 -1.1385 2.1708 63 -0.52 0.6018sujet(produit) 6 3 -8.1445 2.1708 63 -3.75 0.0004sujet(produit) 7 3 -1.6055 2.1708 63 -0.74 0.4623sujet(produit) 8 3 -3.9409 2.1708 63 -1.82 0.0742

= 0

= 0

= 0

23


Type III Tests of Fixed Effectsa

1 21.000 5075.372 .000

2 21.000 5.951 .009

3 63.000 12.945 .000

6 63.000 12.165 .000

SourceIntercept

produit

temps

produit * temps

Numerator dfDenominator

df F Sig.


24

Comparaison des moyennes

Modèle :

T1 T2 T3 T4

AX23 11

12

13

14

BWW9 21

22

23

24

Contrôle 31

32

33

34

1AX23 AX231 11 12 13 14

2BWW9 BWW9ij 2 21 22 23 24

3ˆ ˆControle Controle3 31 32 33 34

4

T1

T2

T3

T4

T1 T2 T3 T4

Estimation de 11 - 31 :

11 31 1 3 11 31ˆ ˆ ˆ ˆ

Test : H0 : 11 31 0 1 3 11 31H : 0

25

Comparaison entre AX23 et Contrôle en T1

Syntaxe SPSS

MIXED rythme BY sujet_diff produit temps /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR(0.000000000001) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE(0.000001, ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /TEST = 'mu11 vs mu31' produit 1 0 -1 produit*temps 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 /PRINT = SOLUTION TESTCOV /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC) .

Contrast Estimatesa,b

-2.250000 2.875712 29.732 0 -.782 .440 -8.125205 3.625205ContrastL1

Estimate Std. Error df Test Value t Sig. Lower Bound Upper Bound


mu11 vs mu31a.


Résultats

26

Comparaison de deux modèles imbriqués

• Modèle M1

• Modèle M0 : cas particulier de M1

• Les paramètres de M0 ne sont pas sur leurs frontières de définition.

• Test LRT (Likelihood Ratio Test) :

200

1

L(H )2Log( ) ( ) sous H

L(H )

où = Nb de paramètres de M1 - Nb de paramètres de M0.

Utiliser plutôt « Method = ML »

27

Test d’un effet aléatoire

Test sur le modèle à un effet aléatoire :

H0 : s2 = 0

Statistique utilisée :

G2 = [-2Log L(Modèle sans effet)] - [-2Log L(Modèle à un effet)]

Calcul du niveau de signification :

NS = 0.5Prob(2(0) G2) + 0.5Prob(2(1) G2)

La correction réduit le niveau de signification du test LRT usuel.

(2(0) = 0 avec la probabilité 1)

28

Avec effet sujet


515.437

543.437

548.622

593.337

579.337

-2 Log Likelihood







Sans effet sujet


595.511

621.511

625.950

667.848

654.848

-2 Log Likelihood







G2 = [-2Log L(Modèle sans effet)] - [-2Log L(Modèle à un effet)]

= 595.511 – 515.437 = 80.074

NS = 0.5Prob(2(0) G2) + 0.5Prob(2(1) G2) = 0.5*Prob(2(1) 80) = 0.000

Application

29

Recherche d’une tendance polynomiale

On exprime le vecteur des moyennes en fonctionde polynômes orthogonaux :

1

2

3

4

0

1

11Q

12

1

Constante

1

a1 b 3

a2 b 11Q

a3 b 120

a4 b 3

Linéaire

2

c1 d1 e 1

c4 d2 e 11Q

c9 d3 e 12

c16 d4 e 1

Quadratique

3

f1 g1 h1 i 1

f8 g4 h2 i 31Q

f 27 g9 h3 i 320

f 64 g16 h4 i 1

Cubique

Q0, Q1, Q2, Q3 formentune base orthonormée.

30

Construction des contrastes orthogonaux

On exprime le vecteur des moyennes en fonctiondes polynômes orthogonaux :

1 2 3 4 0 0 1 1 2 2 3 3, , , ' Q Q Q Q

Tests :H0 : 1 = 2 = 3 = 4 <==> H0 : 1 = 2 = 3 = 0

H0 : Tendance linéaire <==> H0 : 1 0, 2 = 3 = 0

H0 : Tendance quadratique <==> H0 : 2 0, 3 = 0

Contrastesorthogonaux :

1 1 1 2 3 4

2 2 1 2 3 4

3 3 1 2 3 4

1Q ' ( 3 3 )

201

Q ' ( )2

1Q ' ( 3 3 )

20

31

Recherche de tendances

TEMPS

T4T3T2T1

Me

an

RY

TH

ME

86

84

82

80

78

76

74

72

70

68

PRODUIT

AX23

BWW9

Contrôle

Tendances :- AX23 : Quadratique- BWW9 : Linéaire- Contrôle : Constante

32

Recherche de tendance quadratique pour AX23

0 12 11 12 13 14

1 2 3 4 11 12 13 14

1H : ( )

21

( )2

0

1 11 12 13 14 10 0 11 1 12 2 13 3, , , ' Q Q Q Q

Modèle :

Tests :

0 13 11 12 13 14

1 2 3 4 11 12 13 14

1H : ( 3 3 )

201

( 3 3 3 3 )20

0

33


-1.125000 4.265349 63.000 0 -.264 .793 -9.648620 7.398620ContrastL1



ax23,contraste cub.a.


Recherche de tendance quadratique pour AX23Code SPSS :

MIXED rythme BY sujet_diff produit temps /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR(0.000000000001) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE(0.000001, ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /TEST = 'ax23,contraste qua.' temps 1 -1 -1 1 produit*temps 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 /TEST = 'ax23,contraste cub.' temps 1 -3 3 -1 produit*temps 1 -3 3 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC) .

==> Validation de la tendance quadratique


-17.8750 1.907522 63.000 0 -9.371 .000 -21.686879 -14.063121ContrastL1



ax23,contraste qua.a.


Résultats :

34

Étude du modèle 2

Yijk = + i + j + ij + ijk


Temps

Résidu

avec des i.k = (i1k, i2k, i3k, i4k ) ~ N(0, ) ou N(0, i)

et indépendants entre eux

Il faut préciser le type de la matrice de covariance .

35

Model Dimensiona

1 1

3 2

4 3

12 6

4 Unstructured 10 sujet_diff 24

24 22

Intercept

produit

temps

produit * temps

Fixed Effects

tempsRepeated Effects

Total

Numberof Levels

CovarianceStructure

Number ofParameters

SubjectVariables

Number ofSubjects


de type UN (UNSTRUCTURED)

36


1 21.000 5075.372 .000

2 21.000 5.951 .009

3 21.000 16.422 .000

6 21.000 22.355 .000

SourceIntercept

produit

temps

produit * temps


df F Sig.


Résultats SPSS : de type « UNSTRUCTURED »


476.782

496.782

499.796

531.090

521.090








37

Estimated R Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1


1 1.0000 0.8280 0.8255 0.6445 2 0.8280 1.0000 0.8373 0.7223 3 0.8255 0.8373 1.0000 0.8346 4 0.6445 0.7223 0.8346 1.0000


30.523810 9.419852 3.240 .001 16.670639 55.888858

28.654762 9.804299 2.923 .003 9.438689 47.870835

39.232143 12.107302 3.240 .001 21.426712 71.833748

25.488095 8.736805 2.917 .004 8.364272 42.611918

29.309524 9.962673 2.942 .003 9.783043 48.836005

31.232143 9.638449 3.240 .001 17.057496 57.185811

19.928571 8.027865 2.482 .013 4.194245 35.662898

25.321429 9.437047 2.683 .007 6.825156 43.817701

26.107143 8.890884 2.936 .003 8.681331 43.532955

31.327381 9.667840 3.240 .001 17.109511 57.360191

ParameterUN (1,1)

UN (2,1)

UN (2,2)

UN (3,1)

UN (3,2)

UN (3,3)

UN (4,1)

UN (4,2)

UN (4,3)

UN (4,4)

RepeatedMeasures




38

Estimates of Fixed Effectsb

71.250000 1.978869 21.000 36.005 .000 67.134717 75.365283

1.875000 2.798543 21.000 .670 .510 -3.944890 7.694890

8.500000 2.798543 21.000 3.037 .006 2.680110 14.319890

0a 0 . . . . .

1.500000 1.658088 21.000 .905 .376 -1.948183 4.948183

1.125000 1.577841 21.000 .713 .484 -2.156301 4.406301

.250000 1.137170 21.000 .220 .828 -2.114874 2.614874

0a 0 . . . . .

-4.125000 2.344891 21.000 -1.759 .093 -9.001467 .751467

6.250000 2.231405 21.000 2.801 .011 1.609540 10.890460

7.625000 1.608201 21.000 4.741 .000 4.280564 10.969436

0a 0 . . . . .

.500000 2.344891 21.000 .213 .833 -4.376467 5.376467

3.125000 2.231405 21.000 1.400 .176 -1.515460 7.765460

-1.375000 1.608201 21.000 -.855 .402 -4.719436 1.969436

0a 0 . . . . .

0a 0 . . . . .

0a 0 . . . . .

0a 0 . . . . .

0a 0 . . . . .

ParameterIntercept

[produit=1]

[produit=2]

[produit=3]

[temps=1]

[temps=2]

[temps=3]

[temps=4]

[temps=1] * [produit=1]












Estimate Std. Error df t Sig. Lower Bound Upper Bound


This parameter is set to zero because it is redundant.a.


39

de type CS (COMPOUND SYMMETRY)

Model Dimensiona

1 1

3 2

4 3

12 6

4 Compound Symmetry 2 sujet_diff 24

24 14

Intercept

produit

temps

produit * temps

Fixed Effects


Total


Number ofParameters

SubjectVariables

Number ofSubjects


40

Résultats SPSS : de type « CS »


487.177

491.177

491.325

498.039

496.039









1 21.000 5075.372 .000

2 21.000 5.951 .009

3 63.000 12.945 .000

6 63.000 12.165 .000

SourceIntercept

produit

temps

produit * temps


df F Sig.



7.277282 1.296624 5.612 .000 5.132241 10.318850

25.801587 8.530159 3.025 .002 9.082784 42.520391

ParameterCS diagonal offset

CS covariance

Repeated MeasuresEstimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound




33.078869 8.579290 3.856 .000 19.896844 54.994229

.780002 .065461 11.916 .000 .615508 .879376

ParameterCSR diagonal

CSR rho




41

de type AR(1) (Auto-régressif d’ordre 1)

Model Dimensiona

1 1

3 2

4 3

12 6

4 First-Order Autoregressive 2 sujet_diff 24

24 14

Intercept

produit

temps

produit * temps

Fixed Effects


Total


Number ofParameters

SubjectVariables

Number ofSubjects


42

de type AR(1) (Auto-régressif d’ordre 1)


483.922

487.922

488.070

494.783

492.783









1 22.881 5511.855 .000

2 22.881 6.463 .006

3 62.404 16.041 .000

6 62.404 13.535 .000

SourceIntercept

produit

temps

produit * temps


df F Sig.




1 1.0000 0.8207 0.6735 0.5527 2 0.8207 1.0000 0.8207 0.6735 3 0.6735 0.8207 1.0000 0.8207 4 0.5527 0.6735 0.8207 1.0000


31.985843 7.762646 4.120 .000 19.878319 51.467840

.820608 .049702 16.510 .000 .696469 .897058

ParameterAR1 diagonal

AR1 rho




43

de type CS hétérogène par temps

44

Résultats SPSS


485.962

495.962

496.731

513.116

508.116






The information criteria are displayed in smaller-is-betterforms.


Model Dimensiona

1 1

3 2

4 3

12 6

4 Heterogeneous Compound Symmetry 5 sujet_diff 24

24 17

Intercept

produit

temps

produit * temps

Fixed Effects


Total


Number ofParameters

SubjectVariables

Number ofSubjects


45

Résultats SPSS


1 21.118 5069.933 .000

2 21.118 5.945 .009

3 44.032 12.132 .000

6 44.032 13.053 .000

SourceIntercept

produit

temps

produit * temps


df F Sig.



31.098920 9.566115 3.251 .001 17.018187 56.829953

38.601588 11.783690 3.276 .001 21.220893 70.217715

29.473049 8.917244 3.305 .001 16.288798 53.328711

33.239547 10.317260 3.222 .001 18.090463 61.074582

.783117 .064472 12.147 .000 .621001 .880979

ParameterVar: [temps=1]

Var: [temps=2]

Var: [temps=3]

Var: [temps=4]

CSH rho

RepeatedMeasures




46

Modèle 3

avec sk(i)~ N(0, s2) et ijk~ AR(1).



Temps

Sujet(Produit)

Résidu

Syntaxe SPSS

MIXED rythme BY produit temps sujet_diff /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR(0.000000000001) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE(0.000001, ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /PRINT = SOLUTION TESTCOV /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC) /REPEATED = temps | SUBJECT(sujet_diff) COVTYPE(AR1) .

47

Model Dimensionb

1 1

3 2

4 3

12 6

24 Variance Components 1

4 First-Order Autoregressive 2 sujet_diff 24

48 15

Intercept

produit

temps

produit * temps

Fixed Effects

sujet_diffaRandom Effects


Total


Number ofParameters

SubjectVariables

Number ofSubjects

As of version 11.5, the syntax rules for the RANDOM subcommand have changed. Your command syntax may yieldresults that differ from those produced by prior versions. If you are using SPSS 11 syntax, please consult the currentsyntax reference guide for more information.

a.



482.693

488.693

488.993

498.986

495.986









1 21.244 5231.902 .000

2 21.244 6.135 .008

3 34.271 14.972 .000

6 34.271 13.030 .000

SourceIntercept

produit

temps

produit * temps


df F Sig.


48


11.561389 6.000038 1.927 .054 4.180808 31.971265

.501661 .268675 1.867 .062 -.150999 .849738

20.819374 9.950134 2.092 .036 8.159354 53.122631

ParameterAR1 diagonal

AR1 rho

Repeated Measures

Variancesujet_diff






1 1.0000 0.5017 0.2517 0.1263 2 0.5017 1.0000 0.5017 0.2517 3 0.2517 0.5017 1.0000 0.5017 4 0.1263 0.2517 0.5017 1.0000

49

Choix du type de matrice Critère d’Akaike

AIC = - 2 (Res) Log likelihood + 2d

où d = nombre de paramètres du modèle définissant (Covariance parameters)

Critère de Schwartz (BIC)

BIC = - 2 (Res) Log likelihood + dLog(n)

On recherche minimisant le BIC.

- For REML, the value of n is chosen to be total number of cases minus number fixed effect parameters and d is number of covariance parameters.

- For ML, the value of n is total number of cases and d is number of fixed effect parameters plus number of covariance parameters.

50

Calcul des critères d’Akaike et de Schwarz pour le modèle 3

Critère d’Akaike

AIC = - 2 (Res) Log likelihood + 2d

= 482.7 + 6 = 488.7

Critère de Schwarz (BIC)

BIC = - 2 (Res) Log likelihood + dLog(n)

= 482.693 + 3Log(84) = 495.985

n = 96 – 12 = 84 et d = 3

d =Nombre de paramètres de = 3

51

Choix du meilleur modèle

Modèle BIC (smaller is better) CS homogène via Random

CS hétérogène (Temps, 2)

Repeated homogène

UN

CS

AR(1)

CS homogène, AR(1)

496.039

508.116

521.090

496.039

492.783

495.986

52

Modèle 4

Yk(i) = (Yi1k, Yi2k, Yi3k, Yi4k) ~ N(i, )

avec : i = (i1, i2, i3, i4) 11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

et

Test : H0 : LM = 0

H1 : LM 0

Statistique : i2/ n

0

1

Max L(H ) de Wilks =

Max L(H )

- Calcul des niveaux de signification plus précis qu’avec l’approche univariée, et même exact si min(rang L, rang M) 2.- Pas de données manquantes.

53

Transformation de Rao

avec : p = rang (M), q = rang (L)

m = Nombre de groupes, v = N – m

r = v – (p – q + 1)/2, u = (pq –2)/4

t = si p2 + q2 –5 > 0, = 1 sinon.

pq

u2rt.

1F

t/1

t/1

5qp

4qp22

22

Lorsque l’hypothèse H0 est vraie, F suit approximativement une loi F(pq, rt–2u).

La loi est exacte si le minimum de (p, q) est inférieur ou égal à 2.

54

Les données

AX23 72 86 81 77

AX23 78 83 88 81

AX23 71 82 81 75

AX23 72 83 83 69

AX23 66 79 77 66

AX23 74 83 84 77

AX23 62 73 78 70

AX23 69 75 76 70

BWW9 85 86 83 80

BWW9 82 86 80 84

BWW9 71 78 70 75

BWW9 83 88 79 81

BWW9 86 85 76 76

BWW9 85 82 83 80

BWW9 79 83 80 81

BWW9 83 84 78 81

CONTROLE 69 73 72 74








1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

produit rythme1 rythme2 rythme3 rythme4

55

Test de l’effet « Produit »

11 12 13 142. 1.

0 21 22 23 243. 1.

31 32 33 34L

M

.25

1 1 0 .25H : 0

1 0 1 .25

.25

56

Test de l’effet « Produit »

GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = "Effet Produit" produit -1 1 0; produit -1 0 1 /MMATRIX = "Moyenne" rythme1 .25 rythme2 .25 rythme3 .25 rythme4 .25 /DESIGN = produit .

Syntaxe SPSS

Test Results

Transformed Variable: Moyenne

328.771 2 164.385 5.951 .009

580.039 21 27.621

SourceContrast

Error

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

57

Test de l’effet « Temps »

0 .2 .1 .3 .1 .4 .1

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34L

M

H :

1 1 1

1 0 01 1 1 1 0

0 1 03

0 0 1

58

GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = "Moyenne Produit" produit 1/3 1/3 1/3 /MMATRIX = "rythme 2 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 1 rythme3 0 rythme4 0; "rythme 3 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 1 rythme4 0; "rythme 4 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 0 rythme4 1 /DESIGN = produit .

Multivariate Test Results

.701 14.858a 3.000 19.000 .000

.299 14.858a 3.000 19.000 .000

2.346 14.858a 3.000 19.000 .000

2.346 14.858a 3.000 19.000 .000

Pillai's trace

Wilks' lambda

Hotelling's trace

Roy's largest root

Value F Hypothesis df Error df Sig.

Exact statistica.

59

Test de l’interaction « Produit*Temps »

22 12 21 11 23 13 21 11 24 14 21 110

32 12 31 11 33 13 31 11 34 14 31 11

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

H :

1 1 0

1 0 1

L

1 1 1

1 0 00

0 1 0

0 1

M

0

60

Test de l’interaction « Produit*Temps »GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = « Effet produit" produit -1 1 0; produit -1 0 1 /MMATRIX = "rythme 2 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 1 rythme3 0 rythme4 0; "rythme 3 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 1 rythme4 0; "rythme 4 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 0 rythme4 1 /DESIGN = produit .

Multivariate Test Results

1.092 8.011 6.000 40.000 .000

.108 12.911a 6.000 38.000 .000

6.387 19.162 6.000 36.000 .000

6.084 40.560b 3.000 20.000 .000

Pillai's trace

Wilks' lambda

Hotelling's trace

Roy's largest root


Exact statistica.

The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on thesignificance level.

b.

61

Comparaison GLM multivarié / MIXED

- Les F de Rao conduisent à des résultats exacts car Min(rang L, rang M) 2.

- Comparaisons inter-sujets : GLM multivarié = MIXED Comparaisons intra-sujets : GLM multivarié MIXED

62

Utilisation de la commande« Repeated Measures » de SPSS

63

64

Résultats SPSSWithin-Subjects Factors

Measure: Rythme

rythme1

rythme2

rythme3

rythme4

Temps1

2

3

4

DependentVariable

Between-Subjects Factors

AX23 8

BWW9 8

CONTROLE 8

1

2

3

produitValue Label N

Multivariate Testsc

.701 14.858a 3.000 19.000 .000

.299 14.858a 3.000 19.000 .000

2.346 14.858a 3.000 19.000 .000

2.346 14.858a 3.000 19.000 .000

1.092 8.011 6.000 40.000 .000

.108 12.911a 6.000 38.000 .000

6.387 19.162 6.000 36.000 .000

6.084 40.560b 3.000 20.000 .000

Pillai's Trace

Wilks' Lambda

Hotelling's Trace

Roy's Largest Root

Pillai's Trace

Wilks' Lambda

Hotelling's Trace

Roy's Largest Root

EffectTemps

Temps * produit


Exact statistica.

The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on the significance level.b.

Design: Intercept+produit Within Subjects Design: Temps

c.

Tests of Between-Subjects Effects

Measure: Rythme

Transformed Variable: Average

560745.510 1 560745.510 5075.372 .000

1315.083 2 657.542 5.951 .009

2320.156 21 110.484

SourceIntercept

produit

Error

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.

65

Résultats SPSS

66

Conclusion : Pour la commande MIXED• Estimation de la structure de covariance entre les

données.• Estimation correcte des effets fixes et aléatoires.• Inférence large et étroite.• Possibilité de variances hétérogènes• Les résultats justes (au niveau univarié) de la Proc

GLM sont retrouvés avec la Proc MIXED.• Comparaisons multiples inter-sujets basées sur des

moyennes ajustées estimées au niveau de la population.

• Possibilité de données manquantes.

Documents

Analyse de la variance à effets mixtes Michel Tenenhaus