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Analyse de la variance à effets mixtes. Michel Tenenhaus. Exemple 4 (Milliken & Johnson) Rythmes cardiaques. Rythme cardiaque pour trois groupes de traitements et quatre instants de mesure. -Facteurs fixes : Traitement, Temps -Facteur aléatoire : Sujet(Traitement). Extrait des données. - PowerPoint PPT Presentation
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Analyse de la variance à effets mixtes
Michel Tenenhaus
2
Exemple 4 (Milliken & Johnson)Rythmes cardiaques
Rythme cardiaque pour trois groupes de traitementset quatre instants de mesure
Sujet Traitementdans AX23 BWW9 Contrôle
traitement T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T412345678
7278717266746269
8683828379837375
8188818377847876
7781756966777070
8582718386857983
8686788885828384
8380707976838078
8084758176808181
6966848072657571
7362908172626970
7267887769656965
7473877270616865
- Facteurs fixes : Traitement, Temps- Facteur aléatoire : Sujet(Traitement)
3
Case Summariesa
1 1 1 1 721 1 1 2 861 1 1 3 811 1 1 4 772 2 1 1 782 2 1 2 832 2 1 3 882 2 1 4 813 3 1 1 713 3 1 2 823 3 1 3 813 3 1 4 754 4 1 1 724 4 1 2 834 4 1 3 834 4 1 4 695 5 1 1 665 5 1 2 795 5 1 3 775 5 1 4 666 6 1 1 746 6 1 2 836 6 1 3 846 6 1 4 777 7 1 1 627 7 1 2 737 7 1 3 787 7 1 4 708 8 1 1 698 8 1 2 758 8 1 3 768 8 1 4 701 9 2 1 851 9 2 2 861 9 2 3 831 9 2 4 802 10 2 1 822 10 2 2 862 10 2 3 802 10 2 4 84
12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940
sujet sujet_diff produit temps rythme
Limited to first 40 cases.a.
Extrait des données
4
Moyennes des rythmes cardiaquespar produit et par instant
TEMPS
T4T3T2T1
Mea
n R
YT
HM
E86
84
82
80
78
76
74
72
70
68
PRODUIT
AX23
BWW9
Contrôle
5
Les modèlesModèle 1
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
Effets fixes Effets aléatoires
avec : - sk(i) ~ N(0, s2)
s2 = Variance inter-sujets
- ijk ~ N(0, 2)
2 = Variance intra-sujets
Les aléas sont indépendants.Les variances peuventdépendre du traitement.La variance intra-sujetspeut dépendre du traitement et du temps.
6
Modèle 2
Yijk = + i + j + ij + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Résidu
avec : - i.k = (i1k, i2k, i3k, i4k ) ~ N(0, ) - Les i.k sont indépendants entre eux.
La matrice de covariance peut dépendre du traitement.
L’utilisateur doit choisir le type de la matrice .
7
Quelques types de matrice
2
2
2
2
SIMPLE
0 0 00 0 00 0 00 0 0
21 12 13 14
22 23 24
23 34
24
UNSTRUCTURED
21
22
23
24
UN(1)
0 0 00 0
0
21 1 1 1
21 1 1
21 1
21
COMPOUND SYMMETRY
2 3
22
AR(1)
11
11
8
Quelques types de matrice (suite)2
1 2 32
1 22
12
TOEPLITZ
1312 14
23 24
34
d /d / d /
d / d /2
d /
EXPONENTIAL [sp(exp)]
1 e e e1 e e
1 e1
2 22 2 2 21312 14
2 2 2 223 24
2 234
d /d / d /
d / d /2
d /
GAUSSIAN [sp(gau)]
1 e e e
1 e e
1 e1
etc...
1312 14
23 24
34
dd d
d d2
d
POWER [sp(pow)]
11
11
9
Modèle 3
avec : - sk(i) ~ N(0, s2)
- ijk ~ AR(1) (*)
(*) ijk = i(j-1)k + aijk ,
où les aijk suivent une loi N(0, a2) et sont indépendants
entre eux.
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
10
Étude du modèle 1
avec : - sk(i) ~ N(0, s2)
- ijk ~ N(0, 2)
+ indépendance
2 2ijk s
2ijk ij'k s
ijk i ' j'k '
Var(Y )
Cov(Y , Y ) , pour j j'
Cov(Y ,Y ) 0, pour k(i) k'(i')
2s
ijk ij'k 2 2s
Cor(Y ,Y ) 0
Dans le modèle 1, les corrélations entre les mesures sont positives.
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
11
Le modèle 1 est un modèle 2 avec de type « compound symmetry » et covariance positive
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
2 2 2 2 2k(i) i1k s s s s
2 2 2 2k(i) i2k s s s
2 2 2k(i) i3k s s
2 2k(i) i4k s
ss
Var( )ss
est de type « Compound Symmetry » avec covariance positive.
12
Formulaire
Modèle : y = X + Zu +
avec : u ~ N(0, G), ~ N(0, R), et Cov(u, ) = 0
- Var(y) = V = ZGZ´ + R- y ~ N(X, V)
Estimation : (Utiliser Method = REML)
1) Les matrices G et R sont estimées par maximum de vraisemblance restreint.
1 1 1ˆ ˆ ˆ2) (X 'V X) X 'V y
1 1ˆ ˆˆˆ3) u GZ V (y X )
1 1ˆ ˆ4) Var( ) (X 'V X)
ˆ5) Var(u) ...
Il est préférablequ’un facteuraléatoire aitau moins5 modalités.Sinon, passer en fixe.
13
Formulaire (suite)
Modèle : y = X + Zu +
avec : u ~ N(0, G), ~ N(0, R), et Cov(u, )
Test :
1
0
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ(K Mu) ' Var(K Mu) (K Mu)F
rang K,M
F(rang K,M , ) sous H
H0 : K + Mu = 0
Statistique utilisée :(Inférerence : Large / étroite)
14
Calcul de par la méthode de Satterthwaite (Méthode par défaut de SPSS)
- Permet de retrouver les résultats du GLM pour le test d’un contraste.
- Le ddl du dénominateur ne dépend pas du nom de l’effet aléatoire.
- Permet de généraliser l’approche de Satterthwaite aux modèles mixtes.
15
Etude du modèle 1
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
Utilisation de SPSS
16
17
Résultats Modèle 1
Model Dimensionb
1 13 24 3
12 624 Variance Components 1
144 14
Interceptproduittempsproduit * temps
Fixed Effects
sujet_diffaRandom EffectsResidualTotal
Numberof Levels Covariance Structure
Number ofParameters
As of version 11.5, the syntax rules for the RANDOM subcommand have changed. Yourcommand syntax may yield results that differ from those produced by prior versions. Ifyou are using SPSS 11 syntax, please consult the current syntax reference guide formore information.
a.
Dependent Variable: rythme.b.
18
Résultats Modèle 1 (suite)
Information Criteriaa
487.177491.177491.325498.039496.039
-2 Restricted Log LikelihoodAkaike's Information Criterion (AIC)Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)Bozdogan's Criterion (CAIC)Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
19
Résultats Modèle 1 (suite)
Estimates of Covariance Parametersa
7.277282 1.296624 5.612 .000 5.132241 10.31885025.801587 8.530159 3.025 .002 13.496903 49.324050
ParameterResidual
Variancesujet_diff
Estimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
20
Résultats Modèle 1 (Proc Mixed de SAS)
Estimated V Matrix for sujet(produit) 1 1
Row Col1 Col2 Col3 Col4
1 33.0789 25.8016 25.8016 25.8016 2 25.8016 33.0789 25.8016 25.8016 3 25.8016 25.8016 33.0789 25.8016 4 25.8016 25.8016 25.8016 33.0789
Estimated V Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1
Row Col1 Col2 Col3 Col4
1 1.0000 0.7800 0.7800 0.7800 2 0.7800 1.0000 0.7800 0.7800 3 0.7800 0.7800 1.0000 0.7800 4 0.7800 0.7800 0.7800 1.0000
21
Résultats Modèle 1 (suite)
Estimates of Fixed Effectsb
71.250000 2.033435 29.732 35.039 .000 67.095603 75.4043971.875000 2.875712 29.732 .652 .519 -4.000205 7.7502058.500000 2.875712 29.732 2.956 .006 2.624795 14.375205
0a 0 . . . . .1.500000 1.348822 63.000 1.112 .270 -1.195405 4.1954051.125000 1.348822 63.000 .834 .407 -1.570405 3.820405.250000 1.348822 63.000 .185 .854 -2.445405 2.945405
0a 0 . . . . .-4.125000 1.907522 63.000 -2.162 .034 -7.936879 -.3131216.250000 1.907522 63.000 3.277 .002 2.438121 10.0618797.625000 1.907522 63.000 3.997 .000 3.813121 11.436879
0a 0 . . . . ..500000 1.907522 63.000 .262 .794 -3.311879 4.311879
3.125000 1.907522 63.000 1.638 .106 -.686879 6.936879-1.375000 1.907522 63.000 -.721 .474 -5.186879 2.436879
0a 0 . . . . .0a 0 . . . . .0a 0 . . . . .0a 0 . . . . .0a 0 . . . . .
ParameterIntercept[produit=1][produit=2][produit=3][temps=1][temps=2][temps=3][temps=4][produit=1] * [temps=1][produit=1] * [temps=2][produit=1] * [temps=3][produit=1] * [temps=4][produit=2] * [temps=1][produit=2] * [temps=2][produit=2] * [temps=3][produit=2] * [temps=4][produit=3] * [temps=1][produit=3] * [temps=2][produit=3] * [temps=3][produit=3] * [temps=4]
Estimate Std. Error df t Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval
This parameter is set to zero because it is redundant.a.
Dependent Variable: rythme.b.
22
Résultats Modèle 1 (SAS)Solution for Random Effects Std ErrEffect sujet produit Estimate Pred DF t Value Pr > |t|
sujet(produit) 1 1 2.5397 2.1708 63 1.17 0.2464sujet(produit) 2 1 5.8091 2.1708 63 2.68 0.0095sujet(produit) 3 1 0.9049 2.1708 63 0.42 0.6782sujet(produit) 4 1 0.4379 2.1708 63 0.20 0.8408sujet(produit) 5 1 -3.9993 2.1708 63 -1.84 0.0701sujet(produit) 6 1 3.0067 2.1708 63 1.39 0.1709sujet(produit) 7 1 -5.1669 2.1708 63 -2.38 0.0203sujet(produit) 8 1 -3.5322 2.1708 63 -1.63 0.1087sujet(produit) 1 2 2.3061 2.1708 63 1.06 0.2921sujet(produit) 2 2 1.8391 2.1708 63 0.85 0.4001sujet(produit) 3 2 -7.0352 2.1708 63 -3.24 0.0019sujet(produit) 4 2 1.6055 2.1708 63 0.74 0.4623sujet(produit) 5 2 -0.2627 2.1708 63 -0.12 0.9041sujet(produit) 6 2 1.3720 2.1708 63 0.63 0.5296sujet(produit) 7 2 -0.2627 2.1708 63 -0.12 0.9041sujet(produit) 8 2 0.4379 2.1708 63 0.20 0.8408sujet(produit) 1 3 0.0292 2.1708 63 0.01 0.9893sujet(produit) 2 3 -4.6415 2.1708 63 -2.14 0.0364sujet(produit) 3 3 14.2747 2.1708 63 6.58 <.0001sujet(produit) 4 3 5.1669 2.1708 63 2.38 0.0203sujet(produit) 5 3 -1.1385 2.1708 63 -0.52 0.6018sujet(produit) 6 3 -8.1445 2.1708 63 -3.75 0.0004sujet(produit) 7 3 -1.6055 2.1708 63 -0.74 0.4623sujet(produit) 8 3 -3.9409 2.1708 63 -1.82 0.0742
= 0
= 0
= 0
23
Résultats Modèle 1 (suite)
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 21.000 5075.372 .0002 21.000 5.951 .0093 63.000 12.945 .0006 63.000 12.165 .000
SourceInterceptproduittempsproduit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
24
Comparaison des moyennes
Modèle :
T1 T2 T3 T4
AX23 11
12
13
14
BWW9 21
22
23
24
Contrôle 31
32
33
34
1AX23 AX231 11 12 13 14
2BWW9 BWW9ij 2 21 22 23 24
3ˆ ˆControle Controle3 31 32 33 34
4
T1
T2
T3
T4
T1 T2 T3 T4
Estimation de 11 - 31 :
11 31 1 3 11 31ˆ ˆ ˆ ˆ
Test : H0 : 11 31 0 1 3 11 31H : 0
25
Comparaison entre AX23 et Contrôle en T1Syntaxe SPSS
MIXED rythme BY sujet_diff produit temps /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR(0.000000000001) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE(0.000001, ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /TEST = 'mu11 vs mu31' produit 1 0 -1 produit*temps 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 /PRINT = SOLUTION TESTCOV /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC) .
Contrast Estimatesa,b
-2.250000 2.875712 29.732 0 -.782 .440 -8.125205 3.625205ContrastL1
Estimate Std. Error df Test Value t Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval
mu11 vs mu31a.
Dependent Variable: rythme.b.
Résultats
26
Comparaison de deux modèles imbriqués• Modèle M1
• Modèle M0 : cas particulier de M1
• Les paramètres de M0 ne sont pas sur leurs frontières de définition.
• Test LRT (Likelihood Ratio Test) :
200
1
L(H )2Log( ) ( ) sous HL(H )
où = Nb de paramètres de M1 - Nb de paramètres de M0.
Utiliser plutôt « Method = ML »
27
Test d’un effet aléatoire
Test sur le modèle à un effet aléatoire :
H0 : s2 = 0
Statistique utilisée :
G2 = [-2Log L(Modèle sans effet)] - [-2Log L(Modèle à un effet)]
Calcul du niveau de signification :
NS = 0.5Prob(2(0) G2) + 0.5Prob(2(1) G2)
La correction réduit le niveau de signification du test LRT usuel.
(2(0) = 0 avec la probabilité 1)
28
Avec effet sujet
Information Criteriaa
515.437543.437548.622593.337579.337
-2 Log LikelihoodAkaike's Information Criterion (AIC)Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)Bozdogan's Criterion (CAIC)Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
Sans effet sujet
Information Criteriaa
595.511621.511625.950667.848654.848
-2 Log LikelihoodAkaike's Information Criterion (AIC)Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)Bozdogan's Criterion (CAIC)Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
G2 = [-2Log L(Modèle sans effet)] - [-2Log L(Modèle à un effet)] = 595.511 – 515.437 = 80.074
NS = 0.5Prob(2(0) G2) + 0.5Prob(2(1) G2) = 0.5*Prob(2(1) 80) = 0.000
Application
29
Recherche d’une tendance polynomiale
On exprime le vecteur des moyennes en fonctionde polynômes orthogonaux :
1
2
3
4
0
111Q121
Constante
1
a1 b 3a2 b 11Qa3 b 120a4 b 3
Linéaire
2
c1 d1 e 1c4 d2 e 11Qc9 d3 e 12c16 d4 e 1
Quadratique
3
f1 g1 h1 i 1f8 g4 h2 i 31Qf 27 g9 h3 i 320f 64 g16 h4 i 1
Cubique
Q0, Q1, Q2, Q3 formentune base orthonormée.
30
Construction des contrastes orthogonauxOn exprime le vecteur des moyennes en fonctiondes polynômes orthogonaux :
1 2 3 4 0 0 1 1 2 2 3 3, , , ' Q Q Q Q
Tests : H0 : 1 = 2 = 3 = 4 <==> H0 : 1 = 2 = 3 = 0
H0 : Tendance linéaire <==> H0 : 1 0, 2 = 3 = 0
H0 : Tendance quadratique <==> H0 : 2 0, 3 = 0
Contrastesorthogonaux :
1 1 1 2 3 4
2 2 1 2 3 4
3 3 1 2 3 4
1Q ' ( 3 3 )20
1Q ' ( )2
1Q ' ( 3 3 )20
31
Recherche de tendances
TEMPS
T4T3T2T1
Mea
n R
YT
HM
E
86
84
82
80
78
76
74
72
70
68
PRODUIT
AX23
BWW9
Contrôle
Tendances :- AX23 : Quadratique- BWW9 : Linéaire- Contrôle : Constante
32
Recherche de tendance quadratique pour AX23
0 12 11 12 13 14
1 2 3 4 11 12 13 14
1H : ( )21 ( )2
0
1 11 12 13 14 10 0 11 1 12 2 13 3, , , ' Q Q Q Q
Modèle :
Tests :
0 13 11 12 13 14
1 2 3 4 11 12 13 14
1H : ( 3 3 )201 ( 3 3 3 3 )20
0
33
Contrast Estimatesa,b
-1.125000 4.265349 63.000 0 -.264 .793 -9.648620 7.398620ContrastL1
Estimate Std. Error df Test Value t Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval
ax23,contraste cub.a.
Dependent Variable: rythme.b.
Recherche de tendance quadratique pour AX23Code SPSS :
MIXED rythme BY sujet_diff produit temps /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR(0.000000000001) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE(0.000001, ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /TEST = 'ax23,contraste qua.' temps 1 -1 -1 1 produit*temps 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 /TEST = 'ax23,contraste cub.' temps 1 -3 3 -1 produit*temps 1 -3 3 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC) .
==> Validation de la tendance quadratique
Contrast Estimatesa,b
-17.8750 1.907522 63.000 0 -9.371 .000 -21.686879 -14.063121ContrastL1
Estimate Std. Error df Test Value t Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval
ax23,contraste qua.a.
Dependent Variable: rythme.b.
Résultats :
34
Étude du modèle 2
Yijk = + i + j + ij + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Résidu
avec des i.k = (i1k, i2k, i3k, i4k ) ~ N(0, ) ou N(0, i)
et indépendants entre eux
Il faut préciser le type de la matrice de covariance .
35
Model Dimensiona
1 13 24 3
12 64 Unstructured 10 sujet_diff 24
24 22
Interceptproduittempsproduit * temps
Fixed Effects
tempsRepeated EffectsTotal
Numberof Levels
CovarianceStructure
Number ofParameters
SubjectVariables
Number ofSubjects
Dependent Variable: rythme.a.
de type UN (UNSTRUCTURED)
36
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 21.000 5075.372 .0002 21.000 5.951 .0093 21.000 16.422 .0006 21.000 22.355 .000
SourceInterceptproduittempsproduit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
Résultats SPSS : de type « UNSTRUCTURED »
Information Criteriaa
476.782496.782499.796531.090521.090
-2 Restricted Log LikelihoodAkaike's Information Criterion (AIC)Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)Bozdogan's Criterion (CAIC)Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
37
Estimated R Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1
Row Col1 Col2 Col3 Col4
1 1.0000 0.8280 0.8255 0.6445 2 0.8280 1.0000 0.8373 0.7223 3 0.8255 0.8373 1.0000 0.8346 4 0.6445 0.7223 0.8346 1.0000
Estimates of Covariance Parametersa
30.523810 9.419852 3.240 .001 16.670639 55.88885828.654762 9.804299 2.923 .003 9.438689 47.87083539.232143 12.107302 3.240 .001 21.426712 71.83374825.488095 8.736805 2.917 .004 8.364272 42.61191829.309524 9.962673 2.942 .003 9.783043 48.83600531.232143 9.638449 3.240 .001 17.057496 57.18581119.928571 8.027865 2.482 .013 4.194245 35.66289825.321429 9.437047 2.683 .007 6.825156 43.81770126.107143 8.890884 2.936 .003 8.681331 43.53295531.327381 9.667840 3.240 .001 17.109511 57.360191
ParameterUN (1,1)UN (2,1)UN (2,2)UN (3,1)UN (3,2)UN (3,3)UN (4,1)UN (4,2)UN (4,3)UN (4,4)
RepeatedMeasures
Estimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
38
Estimates of Fixed Effectsb
71.250000 1.978869 21.000 36.005 .000 67.134717 75.3652831.875000 2.798543 21.000 .670 .510 -3.944890 7.6948908.500000 2.798543 21.000 3.037 .006 2.680110 14.319890
0a 0 . . . . .1.500000 1.658088 21.000 .905 .376 -1.948183 4.9481831.125000 1.577841 21.000 .713 .484 -2.156301 4.406301.250000 1.137170 21.000 .220 .828 -2.114874 2.614874
0a 0 . . . . .-4.125000 2.344891 21.000 -1.759 .093 -9.001467 .7514676.250000 2.231405 21.000 2.801 .011 1.609540 10.8904607.625000 1.608201 21.000 4.741 .000 4.280564 10.969436
0a 0 . . . . ..500000 2.344891 21.000 .213 .833 -4.376467 5.376467
3.125000 2.231405 21.000 1.400 .176 -1.515460 7.765460-1.375000 1.608201 21.000 -.855 .402 -4.719436 1.969436
0a 0 . . . . .0a 0 . . . . .0a 0 . . . . .0a 0 . . . . .0a 0 . . . . .
ParameterIntercept[produit=1][produit=2][produit=3][temps=1][temps=2][temps=3][temps=4][temps=1] * [produit=1][temps=2] * [produit=1][temps=3] * [produit=1][temps=4] * [produit=1][temps=1] * [produit=2][temps=2] * [produit=2][temps=3] * [produit=2][temps=4] * [produit=2][temps=1] * [produit=3][temps=2] * [produit=3][temps=3] * [produit=3][temps=4] * [produit=3]
Estimate Std. Error df t Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval
This parameter is set to zero because it is redundant.a.
Dependent Variable: rythme.b.
39
de type CS (COMPOUND SYMMETRY)
Model Dimensiona
1 13 24 3
12 64 Compound Symmetry 2 sujet_diff 24
24 14
Interceptproduittempsproduit * temps
Fixed Effects
tempsRepeated EffectsTotal
Numberof Levels Covariance Structure
Number ofParameters
SubjectVariables
Number ofSubjects
Dependent Variable: rythme.a.
40
Résultats SPSS : de type « CS »
Information Criteriaa
487.177491.177491.325498.039496.039
-2 Restricted Log LikelihoodAkaike's Information Criterion (AIC)Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)Bozdogan's Criterion (CAIC)Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 21.000 5075.372 .0002 21.000 5.951 .0093 63.000 12.945 .0006 63.000 12.165 .000
SourceInterceptproduittempsproduit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
Estimates of Covariance Parametersa
7.277282 1.296624 5.612 .000 5.132241 10.31885025.801587 8.530159 3.025 .002 9.082784 42.520391
ParameterCS diagonal offsetCS covariance
Repeated MeasuresEstimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
Estimates of Covariance Parametersa
33.078869 8.579290 3.856 .000 19.896844 54.994229.780002 .065461 11.916 .000 .615508 .879376
ParameterCSR diagonalCSR rho
Repeated MeasuresEstimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
41
de type AR(1) (Auto-régressif d’ordre 1)
Model Dimensiona
1 13 24 3
12 64 First-Order Autoregressive 2 sujet_diff 24
24 14
Interceptproduittempsproduit * temps
Fixed Effects
tempsRepeated EffectsTotal
Numberof Levels Covariance Structure
Number ofParameters
SubjectVariables
Number ofSubjects
Dependent Variable: rythme.a.
42
de type AR(1) (Auto-régressif d’ordre 1)
Information Criteriaa
483.922487.922488.070494.783492.783
-2 Restricted Log LikelihoodAkaike's Information Criterion (AIC)Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)Bozdogan's Criterion (CAIC)Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 22.881 5511.855 .0002 22.881 6.463 .0063 62.404 16.041 .0006 62.404 13.535 .000
SourceInterceptproduittempsproduit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
Estimated R Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1
Row Col1 Col2 Col3 Col4
1 1.0000 0.8207 0.6735 0.5527 2 0.8207 1.0000 0.8207 0.6735 3 0.6735 0.8207 1.0000 0.8207 4 0.5527 0.6735 0.8207 1.0000
Estimates of Covariance Parametersa
31.985843 7.762646 4.120 .000 19.878319 51.467840.820608 .049702 16.510 .000 .696469 .897058
ParameterAR1 diagonalAR1 rho
Repeated MeasuresEstimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
43
de type CS hétérogène par temps
44
Résultats SPSS
Information Criteriaa
485.962495.962496.731513.116508.116
-2 Restricted Log LikelihoodAkaike's Information Criterion (AIC)Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)Bozdogan's Criterion (CAIC)Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed in smaller-is-betterforms.
Dependent Variable: rythme.a.
Model Dimensiona
1 13 24 3
12 64 Heterogeneous Compound Symmetry 5 sujet_diff 24
24 17
Interceptproduittempsproduit * temps
Fixed Effects
tempsRepeated EffectsTotal
Numberof Levels Covariance Structure
Number ofParameters
SubjectVariables
Number ofSubjects
Dependent Variable: rythme.a.
45
Résultats SPSS
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 21.118 5069.933 .0002 21.118 5.945 .0093 44.032 12.132 .0006 44.032 13.053 .000
SourceInterceptproduittempsproduit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
Estimates of Covariance Parametersa
31.098920 9.566115 3.251 .001 17.018187 56.82995338.601588 11.783690 3.276 .001 21.220893 70.21771529.473049 8.917244 3.305 .001 16.288798 53.32871133.239547 10.317260 3.222 .001 18.090463 61.074582
.783117 .064472 12.147 .000 .621001 .880979
ParameterVar: [temps=1]Var: [temps=2]Var: [temps=3]Var: [temps=4]CSH rho
RepeatedMeasures
Estimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
46
Modèle 3
avec sk(i)~ N(0, s2) et ijk~ AR(1).
Yijk = + i + j + ij + sk(i) + ijk
Produit Temps Produit*
Temps
Sujet(Produit)
Résidu
Syntaxe SPSSMIXED rythme BY produit temps sujet_diff /CRITERIA = CIN(95) MXITER(100) MXSTEP(5) SCORING(1) SINGULAR(0.000000000001) HCONVERGE(0, ABSOLUTE) LCONVERGE(0, ABSOLUTE) PCONVERGE(0.000001, ABSOLUTE) /FIXED = produit temps produit*temps | SSTYPE(3) /METHOD = REML /PRINT = SOLUTION TESTCOV /RANDOM sujet_diff | COVTYPE(VC) /REPEATED = temps | SUBJECT(sujet_diff) COVTYPE(AR1) .
47
Model Dimensionb
1 13 24 3
12 624 Variance Components 14 First-Order Autoregressive 2 sujet_diff 24
48 15
Interceptproduittempsproduit * temps
Fixed Effects
sujet_diffaRandom EffectstempsRepeated Effects
Total
Numberof Levels Covariance Structure
Number ofParameters
SubjectVariables
Number ofSubjects
As of version 11.5, the syntax rules for the RANDOM subcommand have changed. Your command syntax may yieldresults that differ from those produced by prior versions. If you are using SPSS 11 syntax, please consult the currentsyntax reference guide for more information.
a.
Dependent Variable: rythme.b.
Information Criteriaa
482.693488.693488.993498.986495.986
-2 Restricted Log LikelihoodAkaike's Information Criterion (AIC)Hurvich and Tsai's Criterion (AICC)Bozdogan's Criterion (CAIC)Schwarz's Bayesian Criterion (BIC)
The information criteria are displayed insmaller-is-better forms.
Dependent Variable: rythme.a.
Type III Tests of Fixed Effectsa
1 21.244 5231.902 .0002 21.244 6.135 .0083 34.271 14.972 .0006 34.271 13.030 .000
SourceInterceptproduittempsproduit * temps
Numerator dfDenominator
df F Sig.
Dependent Variable: rythme.a.
48
Estimates of Covariance Parametersa
11.561389 6.000038 1.927 .054 4.180808 31.971265.501661 .268675 1.867 .062 -.150999 .849738
20.819374 9.950134 2.092 .036 8.159354 53.122631
ParameterAR1 diagonalAR1 rho
Repeated Measures
Variancesujet_diff
Estimate Std. Error Wald Z Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval
Dependent Variable: rythme.a.
Estimated R Correlation Matrix for sujet(produit) 1 1
Row Col1 Col2 Col3 Col4
1 1.0000 0.5017 0.2517 0.1263 2 0.5017 1.0000 0.5017 0.2517 3 0.2517 0.5017 1.0000 0.5017 4 0.1263 0.2517 0.5017 1.0000
49
Choix du type de matrice Critère d’Akaike
AIC = - 2 (Res) Log likelihood + 2d
où d = nombre de paramètres du modèle définissant (Covariance parameters)
Critère de Schwartz (BIC)
BIC = - 2 (Res) Log likelihood + dLog(n)
On recherche minimisant le BIC.
- For REML, the value of n is chosen to be total number of cases minus number fixed effect parameters and d is number of covariance parameters.- For ML, the value of n is total number of cases and d is number of fixed effect parameters plus number of covariance parameters.
50
Calcul des critères d’Akaike et de Schwarz pour le modèle 3
Critère d’Akaike
AIC = - 2 (Res) Log likelihood + 2d
= 482.7 + 6 = 488.7
Critère de Schwarz (BIC)
BIC = - 2 (Res) Log likelihood + dLog(n)
= 482.693 + 3Log(84) = 495.985
n = 96 – 12 = 84 et d = 3
d =Nombre de paramètres de = 3
51
Choix du meilleur modèle
Modèle BIC (smaller is better) CS homogène via Random
CS hétérogène (Temps, 2)
Repeated homogène
UN
CS
AR(1)
CS homogène, AR(1)
496.039
508.116
521.090
496.039
492.783
495.986
52
Modèle 4
Yk(i) = (Yi1k, Yi2k, Yi3k, Yi4k) ~ N(i, )
avec : i = (i1, i2, i3, i4) 11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
et
Test : H0 : LM = 0
H1 : LM 0
Statistique : i2/ n
0
1
Max L(H ) de Wilks = Max L(H )
- Calcul des niveaux de signification plus précis qu’avec l’approche univariée, et même exact si min(rang L, rang M) 2.- Pas de données manquantes.
53
Transformation de Rao
avec : p = rang (M), q = rang (L)
m = Nombre de groupes, v = N – m
r = v – (p – q + 1)/2, u = (pq –2)/4
t = si p2 + q2 –5 > 0, = 1 sinon.
pqu2rt.1F t/1
t/1
5qp4qp
22
22
Lorsque l’hypothèse H0 est vraie, F suit approximativement une loi F(pq, rt–2u).
La loi est exacte si le minimum de (p, q) est inférieur ou égal à 2.
54
Les données
AX23 72 86 81 77AX23 78 83 88 81AX23 71 82 81 75AX23 72 83 83 69AX23 66 79 77 66AX23 74 83 84 77AX23 62 73 78 70AX23 69 75 76 70BWW9 85 86 83 80BWW9 82 86 80 84BWW9 71 78 70 75BWW9 83 88 79 81BWW9 86 85 76 76BWW9 85 82 83 80BWW9 79 83 80 81BWW9 83 84 78 81CONTROLE 69 73 72 74CONTROLE 66 62 67 73CONTROLE 84 90 88 87CONTROLE 80 81 77 72CONTROLE 72 72 69 70CONTROLE 65 62 65 61CONTROLE 75 69 69 68CONTROLE 71 70 65 65
123456789101112131415161718192021222324
produit rythme1 rythme2 rythme3 rythme4
55
Test de l’effet « Produit »
11 12 13 142. 1.
0 21 22 23 243. 1.
31 32 33 34LM
.251 1 0 .25
H : 01 0 1 .25
.25
56
Test de l’effet « Produit »
GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = "Effet Produit" produit -1 1 0; produit -1 0 1 /MMATRIX = "Moyenne" rythme1 .25 rythme2 .25 rythme3 .25 rythme4 .25 /DESIGN = produit .
Syntaxe SPSS
Test Results
Transformed Variable: Moyenne
328.771 2 164.385 5.951 .009580.039 21 27.621
SourceContrastError
Sum ofSquares df Mean Square F Sig.
57
Test de l’effet « Temps »
0 .2 .1 .3 .1 .4 .1
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34L
M
H :
1 1 11 0 01 1 1 1 00 1 030 0 1
58
GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = "Moyenne Produit" produit 1/3 1/3 1/3 /MMATRIX = "rythme 2 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 1 rythme3 0 rythme4 0; "rythme 3 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 1 rythme4 0; "rythme 4 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 0 rythme4 1 /DESIGN = produit .
Multivariate Test Results
.701 14.858a 3.000 19.000 .000
.299 14.858a 3.000 19.000 .0002.346 14.858a 3.000 19.000 .0002.346 14.858a 3.000 19.000 .000
Pillai's traceWilks' lambdaHotelling's traceRoy's largest root
Value F Hypothesis df Error df Sig.
Exact statistica.
59
Test de l’interaction « Produit*Temps »
22 12 21 11 23 13 21 11 24 14 21 110
32 12 31 11 33 13 31 11 34 14 31 11
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
H :
1 1 0
1 0 1L
1 1 11 0 0
00 1 00 1
M0
60
Test de l’interaction « Produit*Temps »GLM rythme1 rythme2 rythme3 rythme4 BY produit /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = EXCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX = « Effet produit" produit -1 1 0; produit -1 0 1 /MMATRIX = "rythme 2 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 1 rythme3 0 rythme4 0; "rythme 3 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 1 rythme4 0; "rythme 4 - rythme 1 " rythme1 -1 rythme2 0 rythme3 0 rythme4 1 /DESIGN = produit .
Multivariate Test Results
1.092 8.011 6.000 40.000 .000.108 12.911a 6.000 38.000 .000
6.387 19.162 6.000 36.000 .0006.084 40.560b 3.000 20.000 .000
Pillai's traceWilks' lambdaHotelling's traceRoy's largest root
Value F Hypothesis df Error df Sig.
Exact statistica.
The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on thesignificance level.
b.
61
Comparaison GLM multivarié / MIXED
- Les F de Rao conduisent à des résultats exacts car Min(rang L, rang M) 2.
- Comparaisons inter-sujets : GLM multivarié = MIXED Comparaisons intra-sujets : GLM multivarié MIXED
62
Utilisation de la commande« Repeated Measures » de SPSS
63
64
Résultats SPSSWithin-Subjects Factors
Measure: Rythme
rythme1rythme2rythme3rythme4
Temps1234
DependentVariable
Between-Subjects Factors
AX23 8BWW9 8CONTROLE 8
123
produitValue Label N
Multivariate Testsc
.701 14.858a 3.000 19.000 .000
.299 14.858a 3.000 19.000 .0002.346 14.858a 3.000 19.000 .0002.346 14.858a 3.000 19.000 .0001.092 8.011 6.000 40.000 .000.108 12.911a 6.000 38.000 .000
6.387 19.162 6.000 36.000 .0006.084 40.560b 3.000 20.000 .000
Pillai's TraceWilks' LambdaHotelling's TraceRoy's Largest RootPillai's TraceWilks' LambdaHotelling's TraceRoy's Largest Root
EffectTemps
Temps * produit
Value F Hypothesis df Error df Sig.
Exact statistica.
The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on the significance level.b.
Design: Intercept+produit Within Subjects Design: Temps
c.
Tests of Between-Subjects Effects
Measure: RythmeTransformed Variable: Average
560745.510 1 560745.510 5075.372 .0001315.083 2 657.542 5.951 .0092320.156 21 110.484
SourceInterceptproduitError
Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.
65
Résultats SPSS
66
Conclusion : Pour la commande MIXED• Estimation de la structure de covariance entre les
données.• Estimation correcte des effets fixes et aléatoires.• Inférence large et étroite.• Possibilité de variances hétérogènes• Les résultats justes (au niveau univarié) de la Proc
GLM sont retrouvés avec la Proc MIXED.• Comparaisons multiples inter-sujets basées sur des
moyennes ajustées estimées au niveau de la population.
• Possibilité de données manquantes.