Analyse des proximités, des préférences et typologie Michel Tenenhaus

Analyse des proximités,des préférences et typologie

Michel Tenenhaus

2

1. Analyse factorielle d’un tableau de distances Exemple

Londres Stock-holm

Lis-bonne Madrid Paris

Amster-dam Berlin Prague Rome Dublin

Londres 0 Stockholm 569 0 Lisbonne 667 1212 0 Madrid 530 1043 201 0 Paris 141 617 596 431 0 Amsterdam 140 446 768 608 177 0 Berlin 357 325 923 740 340 218 0 Prague 396 423 882 690 337 272 114 0 Rome 569 787 714 516 436 519 472 364 0 Dublin 190 648 714 622 320 302 514 573 755 0

Distances entre 10 villes européennes (en Miles)

3

Analyse factorielle d’un tableau de distances

• Un nuage centré N de n points {x1,…,xn} de Rp.

• On dispose des distances dij = ||xi – xj||.

• On exprime les produits scalaires bij = xi´xj en fonction des distances (formule de Torgerson) :

• D’où :

2 2 2 2. . ..

1( )

2ij ij i jb d d d d

'1

'

'

n

x

X B XX

x

On obtient X endiagonalisant B :

ACP de NPlan principal

Les colonnes de Xsont les composantesprincipales du nuage N

4

Utilisation de ALSCALCarte de l’Europe

AXE1

3210-1-2-3

AX

E2

2.0

1.5

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

-1.5

Dublin

Rome

BerlinMadrid

Lisbonne Stockholm

Londres

Nord

Sud

Oue

st

Est

AmsterdamParis

Prague

AXE1

3210-1-2-3

AX

E2

2.0

1.5

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

-1.5

Dublin

Rome

BerlinMadrid

Lisbonne Stockholm

Londres

Nord

Sud

Oue

st

Est

AmsterdamParis

Prague

La solution est donnée à une rotation/réflexion près.

5

Qualité du résultat

Distance reconstituée

543210

Dis

tan

ce o

bse

rvé

e

1400

1200

1000

800

600

400

200

0 Rsq = 1.0000

6

2. Positionnement multidimensionnel de données de proximités

Les données

Un tableau de proximités pij entre n objets

Problème

On recherche n points {x1,…,xn} dans un plan tels que

les contraintes

soient respectées au mieux.

' ' ' '( , ) ( , )ij i j i j i jp p d x x d x x

7

Signal A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

A 92 4 6 13 3 14 10 13 46 5 22 3 25 34 6 6 9 35 23 6 37 13 17 12 7 3 2 7 5 5 8 6 5 6 2 3 A

B 5 84 37 31 5 28 17 21 5 19 34 40 6 10 12 22 25 16 18 2 18 34 8 84 30 42 12 17 14 40 32 74 43 17 4 4 B

C 4 38 87 17 4 29 13 7 11 19 24 35 14 3 9 51 34 24 14 6 6 11 14 32 82 38 13 15 31 14 10 30 28 24 18 12 C

D 8 62 17 88 7 23 40 36 9 13 81 56 8 7 9 27 9 45 29 6 17 20 27 40 15 33 3 9 6 11 9 19 8 10 5 6 D

E 6 13 14 6 97 2 4 4 17 1 5 6 4 4 5 1 5 10 7 67 3 3 2 5 6 5 4 3 5 3 5 2 4 2 3 3 E

F 4 51 33 19 2 90 10 29 5 33 16 50 7 6 10 42 12 35 14 2 21 27 25 19 27 13 8 16 47 25 26 24 21 5 5 5 F

G 9 18 27 38 1 14 90 6 5 22 33 16 14 13 62 52 23 21 5 3 15 14 32 21 23 39 15 14 5 10 4 10 17 23 20 11 G

H 3 45 23 25 9 32 8 87 10 10 9 29 5 8 8 14 8 17 37 4 36 59 9 33 14 11 3 9 15 43 70 35 17 4 3 3 H

I 64 7 7 13 10 8 6 12 93 3 5 16 13 30 7 3 5 19 35 16 10 5 8 2 5 7 2 5 8 9 6 8 5 2 4 5 I

J 7 9 38 9 2 24 18 5 4 85 22 31 8 3 21 63 47 11 2 7 9 9 9 22 32 28 67 66 33 15 7 11 28 29 26 23 J

K 5 24 38 73 1 17 25 11 5 27 91 33 10 12 31 14 31 22 2 2 23 17 33 63 16 18 5 9 17 8 8 18 14 13 5 6 K

L 2 69 43 45 10 24 12 26 9 30 27 86 6 2 9 37 36 28 12 5 16 19 20 31 25 59 12 13 17 15 26 29 36 16 7 3 L

M 24 12 5 14 7 17 29 8 8 11 23 8 96 62 11 10 15 20 7 9 13 4 21 9 18 8 5 7 6 6 5 7 11 7 10 4 M

N 31 4 13 30 8 12 10 16 13 3 16 8 59 93 5 9 5 28 12 10 16 4 12 4 16 11 5 2 3 4 4 6 2 2 10 2 N

O 7 7 20 6 5 9 76 7 2 39 26 10 4 8 86 37 35 10 3 4 11 14 25 35 27 27 19 17 7 7 6 18 14 11 20 12 O

P 5 22 33 12 5 36 22 12 3 78 14 46 5 6 21 83 43 23 9 4 12 19 19 19 41 30 34 44 24 11 15 17 24 23 25 13 P

Q 8 20 38 11 4 15 10 5 2 27 23 26 7 6 22 51 91 11 2 3 6 14 12 37 50 63 34 32 17 12 9 27 40 58 37 24 Q

R 13 14 16 23 5 34 26 15 7 12 21 33 14 12 12 29 8 87 16 2 23 23 62 14 12 13 7 10 13 4 7 12 7 9 1 2 R

S 17 24 5 30 11 26 5 59 16 3 13 10 5 17 6 6 3 18 96 9 56 24 12 10 6 7 8 2 2 15 28 9 5 5 5 2 S

T 13 10 1 5 46 3 6 6 14 6 14 7 6 5 6 11 4 4 7 96 8 5 4 2 2 6 5 5 3 3 3 8 7 6 14 6 T

U 14 29 12 32 4 32 11 34 21 7 44 32 11 13 6 20 12 40 51 6 93 57 34 17 9 11 6 6 16 34 10 9 9 7 4 3 U

V 5 17 24 16 9 29 6 39 5 11 26 43 4 1 9 17 10 17 11 6 32 92 17 57 35 10 10 14 28 79 44 36 25 10 1 5 V

W 9 21 30 22 9 36 25 15 4 25 29 18 15 6 26 20 25 61 12 4 19 20 86 22 25 22 10 22 19 16 5 9 11 6 3 7 W

X 7 64 45 19 3 28 11 6 1 35 50 42 10 8 24 32 61 10 12 3 12 17 21 91 48 26 12 20 24 27 16 57 29 16 17 6 X

Y 9 23 62 15 4 26 22 9 1 30 12 14 5 6 14 30 52 5 7 4 6 13 21 44 86 23 26 44 40 15 11 26 22 33 23 16 Y

Z 3 46 45 18 2 22 17 10 7 23 21 51 11 2 15 59 72 14 4 3 9 11 12 36 42 87 16 21 27 9 10 25 66 47 15 15 Z

1 2 5 10 3 3 5 13 4 2 29 5 14 9 7 14 30 28 9 4 2 3 12 14 17 19 22 84 63 13 8 10 8 19 32 57 55 1

2 7 14 22 5 4 20 13 3 25 26 9 14 2 3 17 37 28 6 5 3 6 10 11 17 30 13 62 89 54 20 5 14 20 21 16 11 2

3 3 8 21 5 4 32 6 12 2 23 6 13 5 2 5 37 19 9 7 6 4 16 6 22 25 12 18 64 86 31 23 41 16 17 8 10 3

4 6 19 19 12 8 25 14 16 7 21 13 19 3 3 2 17 29 11 9 3 17 55 8 37 24 3 5 26 44 89 42 44 32 10 3 3 4

5 8 45 15 14 2 45 4 67 7 14 4 41 2 0 4 13 7 9 27 2 14 45 7 45 10 10 14 10 30 69 90 42 24 10 6 5 5

6 7 80 30 17 4 23 4 14 2 11 11 27 6 2 7 16 30 11 14 3 12 30 9 58 38 39 15 14 26 24 17 88 69 14 5 14 6

7 6 33 22 14 5 25 6 4 6 24 13 32 7 6 7 36 39 12 6 2 3 13 9 30 30 50 22 29 18 15 12 61 85 70 20 13 7

8 3 23 40 6 3 15 15 6 2 33 10 14 3 6 14 12 45 2 6 4 6 7 5 24 35 50 42 29 16 16 9 30 60 89 61 26 8

9 3 14 23 3 1 6 14 5 2 30 6 7 16 11 10 31 32 5 6 7 6 3 8 11 21 24 57 39 9 12 4 11 42 56 91 78 9

0 9 3 11 2 5 7 14 4 5 30 8 3 2 3 25 21 29 2 3 4 5 3 2 12 15 20 50 26 9 11 5 22 17 52 81 94 0

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

% de Confusion entre Signal 1en ligne etSignal 2en colonne

Exemple :Les codes Morse

8

Utilisation de M-D-SCAL

3210-1-2

2

1

0

-1

-2

-3

E T

M N

AI

O

G K W

R D

U S

J Q

Z P

Y

C X

L B F V

H

0 9

1 8 2

7 3

6 4

5

Des points vers les traits

De

1 à

5 c

om

posa

ntes

3210-1-2

2

1

0

-1

-2

-3

E T

M N

AI

O

G K W

R D

U S

J Q

Z P

Y

C X

L B F V

H

0 9

1 8 2

7 3

6 4

5

Des points vers les traits

De

1 à

5 c

om

posa

ntes

9

ALSCAL et MDSCAL

• Soit n points {x1,…,xn} dans un plan.

• Définition des disparités :

' ' ' 'ˆ ˆ(1) ij i j ij i jp p d d

2ˆ(2) ( ( , ) )i j ijMin d x x d

1

2 2 2

4

ALSCAL recherche la configuration

de points ,..., minimisant le

ˆ( )

ˆ

n

ij iji j

iji j

x x

d d

S STRESSd

1

2

1 2

M-D-SCAL recherche la configuration

de points ,..., minimisant le

ˆ( )

n

ij iji j

iji j

x x

d d

STRESSd

10

Qualité de la représentation graphique

2

1 2

ˆ( )

0.2392ij ij

i j

iji j

d d

STRESSd

(distance, disparité)

0.8428

Cor

Similarité

100806040200

Dis

tanc

e da

ns le

pla

n

4

3

2

1

0

Disparité

Similarité

100806040200

Dis

tanc

e da

ns le

pla

n

4

3

2

1

0

DisparitéDisparité

Les disparités sont une fonctiondécroissante des similarités

11

Validation

Dimension

54321

Str

ess

.6

.5

.4

.3

.2

.1

0.0

Nombre d'objets

12

18

26

36

48

Figure 9.5 : STRESS1 moyen pour un tableau de proximités aléatoires entre n objets

en fonction de la dimension choisie (Source : Borg & Groenen, 1997)

12

3. Étude des classifications spontanées des marques de cigarettes par les fumeurs

Obtenir une classification-type des marques de cigarettes les plus vendues en France en fonction des perceptions des fumeurs.

Objectif de l’étude :

13

Les données

• Chaque personne interrogée construit une typologie des 56 marques de cigarettes et donne des commentaires sur chaque groupe :

100 typologies avecdes commentaires

• Chaque personne construit sa typologie sur les marques qu’elle déclare connaître.

14

La méthodologie

a) Construire un indice de proximité entre les marques.

b) Faire une représentation graphique du tableau des proximités.

c) Faire une classification ascendante hiérarchique des 56 marques.

d) Interpréter les groupes en fonction des commentaires.

15

Construction d’un indice de proximité entre les marques

• N1(i , j) = Nombre de personnes connaissant les marques i et j

• N2(i , j) = Nombre de personnes connaissant les marques i et j et les mettant dans le même groupe

• p(i , j) = N2(i , j)/N1(i , j)

= Indice de similarité entre les marques i et j

16

Tableau des proximités (extrait)

17

Analyse d’un tableau de proximités

…

...p(i,j)i

j

• i

• k

• j

Visualisation paranalyse des proximités

a b c d e f• • • • • •

Classification ascendante hiérarchique

18

Analyse des proximités

Au tableau de proximités {p(i , j)} on veut associer

56 points x1,…, x56 d’un plan tels que :

' '( , ) ( ', ') ( , ) ( , )i j i jp i j p i j d x x d x x

Air France

Camel

6Benson& Hedges

Black& White

67

• B&H

• Air France

• B&W• Camel

19

Stress1 = .147Cor(dist. , disp.) = .95

Carte des marques de cigarettes (M-D-SCAL)

20

Kool 34 Reyno 46 Ariel 2 Royale menthol 52 Craven A menthol 15 Peter Stuyvesant menthol 40 Française menthol 22 Ariel 100 3 Royale extra longue menthol 51 Royale club 49 Royale extra-longue 50 Royale 48 Balto 4 Flash 18 Bastos légère 5 Marigny 36 Flint 19 Rallye 45 Week-end 53 Camel 9 Camel filtre 10 Benson & Hedges 6 Black & White 7 Dunhill international 17 Craven A 12 Players navycut 44 Craven A export 13 Craven A filtre 14 Rothmans king size 47 Players gold leafe 43 Marlboro 35 Winston rigide souple 55 Peter Stuyvesant 39 Kent rigide souple 32 Kent 100 mm de luxe 33 Winston 100 mm 54 Peter Stuyvesant luxury 41 Pall Mall 100 mm 37 Philips Morris 100 mm 42 Pall Mall king size 38 Fontenoy 20 Française 21 Boyard maïs 8 Boyard blanc 56 Celtique 11 Gitane blanc 29 Gitane filtre blanc 30 Disque bleu 16 Gauloise filtre 26 Gauloise 24 Gauloise grand format 27 Gitane maïs 31 Gauloise doux 25 Gauloise Maryland 28 Gallia 23 Air France 1

Classificationascendante hiérarchique(Critère de la moyenne)

Etape 1 :On regroupe les 2 marquesi et j les plus proches.

Etape 2 :Nouvelle marque [i , j].Proximité entre k et [i , j] :

( , ) ( , )( ,[ , ])

2

p k i p k jp k i j

On regroupe les deux « marques » les plus proches.

Et ainsi de suite…

21

Agglomeration Schedule

34 46 94.000

35 55 90.000

16 26 89.000

2 34 86.000

15 40 84.000

16 24 84.000

2 52 82.333

9 10 82.000

8 56 81.000

29 30 81.000

3 51 79.000

2 15 77.375

33 54 75.000

2 22 74.333

2 3 73.429

25 28 73.000

16 27 73.000

33 41 71.000

37 42 70.000

16 29 68.625

6 7 67.000

8 11 64.500

12 44 64.000

35 39 64.000

13 14 62.000

6 17 60.500

32 35 60.333

16 31 60.333

49 50 57.000

Stage1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

Cluster 1 Cluster 2

Cluster Combined

Coefficients

16 31 60.333

49 50 57.000

4 18 56.000

13 47 54.000

19 45 54.000

33 37 52.167

48 49 50.500

13 43 49.333

20 21 48.000

12 13 46.625

33 38 45.000

8 16 43.571

4 5 43.500

6 12 42.278

23 25 41.500

32 33 41.417

4 36 39.333

19 53 39.000

8 20 37.350

4 19 36.167

1 23 35.667

6 32 31.589

1 8 30.750

4 48 29.714

6 9 24.105

4 6 19.771

2 4 7.011

1 2 5.767

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

22


Groupe 1

Groupe 5

Groupe 3

Groupe 4.1

Groupe 4.2

Groupe 4

Groupe 2


Groupe 1Groupe 1

Groupe 5

Groupe 3Groupe 3

Groupe 4.1

Groupe 4.2

Groupe 4

Groupe 2Groupe 2

Classificationchoisie

23

Visualisation de la typologie

Groupe 1

Groupe 2

Groupe 3

Groupe 4Groupe 5

24

4. Analyse des préférences avec PREFMAP

Tableau des fréquences d’association entre les critères et les groupes

Centre de gravitédes groupes

pHomme

X1 X2

25

Axe 2

Groupe 1

Groupe 3

Groupe 4

Groupe 2

Groupe 5

Positionnement des commentaires

La corrélationentre [Homme]et les projectionsest maximum

1

2Homme

y

y

y

155

25Gr

x

x

x

5

15 1 25 2

,Gr Homme

x y x y

x y .78*3

.63*3

3*

.783*

.63

Homme

y

26

Calcul de la position des commentaires

1 1 2 2

2 21 2 1

10

14

,15

16

25

COR Homme

y y

y yMax

p X X

Solution

1. Régression de pHomme sur X1 , X2

1 1 2 2Homme cste y y p X X

2. Normalisation

1

2 221 2

1Homme

y

yy y

y

27

Utilisation de SPSS

Model Summary

.876a .768 .535 3.765Model1

R R SquareAdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

Predictors: (Constant), X2, X1a.

Coefficientsa

16.777 1.713 9.793 .010

3.671 1.702 .737 2.157 .164

2.965 1.908 .531 1.554 .260

(Constant)

X1

X2

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

Dependent Variable: Hommesa.

2 2

3.671 .781

2.965 .633.671 2.965Hommey

28

Utilisation du Prefmap de XLSTATY Constante Axe_1 Axe_2 R² Cos1 Cos2

Hommes 16.777 3.671 2.965 0.768 0.78 0.63 Femmes 24.155 -6.150 -3.711 0.889 -0.86 -0.52 Jeunes 12.622 -0.899 -0.453 0.305 -0.89 -0.45 Moins_jeunes 6.387 1.785 1.652 0.940 0.73 0.68 Aisés 9.549 -4.239 2.027 0.816 -0.90 0.43 Tout_le_monde 9.921 3.909 0.790 0.892 0.98 0.20 Grands_fumeurs 7.874 5.615 1.995 0.822 0.94 0.33 Petits_fumeurs 7.835 -1.736 -1.341 0.759 -0.79 -0.61 Snobs 7.102 -3.186 1.337 0.915 -0.92 0.39 Prolétaires 3.082 2.599 0.582 0.856 0.98 0.22 Employés 2.206 0.162 -0.498 0.411 0.31 -0.95 Non_connaisseurs 3.611 -0.918 -0.629 0.359 -0.82 -0.57 Fantaisie 2.726 -0.238 -0.722 0.789 -0.31 -0.95 Luxe 8.947 -4.127 1.561 0.805 -0.94 0.35 Pas_chère 7.259 3.579 0.710 0.971 0.98 0.19 Chère 10.075 -3.518 2.029 0.858 -0.87 0.50 Pharmaceutique 2.101 0.560 0.070 0.768 0.99 0.12 Bâtarde 3.047 -0.738 -0.521 0.323 -0.82 -0.58 Occasionnelle 11.583 -3.912 -2.914 0.943 -0.80 -0.60 Courante 13.664 8.814 2.656 0.926 0.96 0.29 Goût_agréable 6.865 -2.012 0.396 0.786 -0.98 0.19 Léger 13.828 -1.020 0.140 0.294 -0.99 0.14 Parfumé 2.919 -1.630 0.102 0.894 -1.00 0.06 Infecte 9.233 -1.816 -1.082 0.341 -0.86 -0.51 Corsé 11.706 5.522 3.067 0.825 0.87 0.49 Mentholé 10.566 -3.983 -11.857 0.975 -0.32 -0.95 Fade 5.333 -0.198 -0.714 0.228 -0.27 -0.96 Esthétique 8.249 -3.557 1.591 0.835 -0.91 0.41 Goût_américain 3.058 -1.002 0.746 0.704 -0.80 0.60 Gâterie_offerte 3.199 -1.242 0.366 0.913 -0.96 0.28 Passe_temps 4.965 -2.278 -0.805 0.988 -0.94 -0.33 Pour_faire_bien 7.348 -3.823 0.390 0.942 -0.99 0.10

29

Carte des préférences

groupe_1

groupe_2

groupe_3

groupe_4groupe_5

Hommes

Femmes

Jeunes

Moins_jeunes

Aisés

Tout_le_monde

Grands_fumeurs

Petits_fumeurs

Snobs

Prolétaires

Employés

Non_connaisseurs

Fantaisie

Luxe

Pas_chère

Chère

Pharmaceutique

BâtardeOccasionnelle

Courante

Goût_agréableLégerParfumé

Infecte

Corsé

Mentholé Fade

Esthétique

Goût_américain

Gâterie_offerte

Passe_temps

Pour_faire_bien

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Axe_1

Axe

_2

30

Critères classés par valeur décroissante du R2 > .76

31

Axe 2

Groupe 1

Groupe 3

Groupe 4

Groupe 2

Groupe 5

Conclusion de l’étude

Documents

Analyse des proximités, des préférences et typologie Michel Tenenhaus