Analyse des signaux non périodiques

8/8/2019 Analyse des signaux non périodiques

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5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n

p é r i o d i q u e s

5 . 1 . T r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r

5 . 1 . 1 . P a s s a g e d e l a s é r i e à l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r

L e p a s s a g e d ' u n s i g n a l p é r i o d i q u e à u n s i g n a l a p é r i o d i q u e p e u t s e f a i r e e n c o n s i d é r a n t

q u e l a p é r i o d e T

d e v i e n t d e p l u s e n p l u s g r a n d e p o u r t e n d r e v e r s l ' i n n i . O n c o n s t a t e

a l o r s q u e l e s r a i e s s p e c t r a l e s d i s t a n t e s d e

1/T s e r a p p r o c h e n t p o u r s e t r a n s f o r m e r e n

s p e c t r e c o n t i n u . M a i s e n m ê m e t e m p s , l ' a m p l i t u d e d e c e l u i - c i d i m i n u e p o u r t e n d r e

v e r s z é r o . U n e i l l u s t r a t i o n e n e s t d o n n é e ( g u r e 5 . 1 ) p o u r u n e s u i t e d ' i m p u l s i o n s

r e c t a n g u l a i r e s d o n t l a p é r i o d e a u g m e n t e a l o r s q u e l a l a r g e u r r e s t e c o n s t a n t e . C o m m e

l a s u r f a c e d e l ' i m p u l s i o n r e s t e c o n s t a n t e a l o r s q u e l a p é r i o d e a u g m e n t e , l ' a m p l i t u d e

X dc d u s i n u s c a r d i n a l n e c e s s e d e d é c r o î t r e p o u r t e n d r e v e r s z é r o .

P a r t a n t d ' u n s i g n a l p é r i o d i q u e d é c r i t p a r

x(t) =+∞

k→−∞

X ( jk) exp(+ j2π kf 0 t)

X ( jk) =1

T

+T/2

−T/2

x(t) exp(− j2π kf 0 t)dt

o n é v i t e l ' a n n u l a t i o n d e X ( jk)

l o r s q u e T →∞

e n c o n s i d é r a n t l a f o n c t i o n

T ·X ( jk) = +T/2

−T/2 x(t) exp(− j2π kf 0 t)dt

À p a r t i r d e s c o r r e s p o n d a n c e s s u i v a n t e s

T →∞, f 0 → df, kf 0 → f, T ·X ( jk) → X ( jf )

o n v o i t q u e l a s é r i e d e F o u r i e r d i s c r è t e d e v i e n t u n e f o n c t i o n c o n t i n u e . C e t t e f o n c t i o n

X ( jf )e s t u n e d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e q u i , p a r d é n i t i o n , e s t l a t r a n s f o r -

m é e d e F o u r i e r d u s i g n a l a p é r i o d i q u e x(t)

:

X ( jf ) ≡ +∞−∞

x(t)exp(− j2π f t)dt

1 8 7



5 . A n a l y s e d e s s i g n a u x n o n p é r i o d i q u e s

0 1 2 3

0

0.5

1

x(t)

0 1 2 3

0

0.5

1

0 1 2 3

0

0.5

1

temps

0 5 10 15−0.1

0

0.1

0.2

X(jk)

0 5 10 15−0.1

0

0.1

0.2

0 5 10 15−0.1

0

0.1

0.2

fréquence

0 5 10 15−0.1

0

0.1

0.2

T X(jk)

0 5 10 15−0.1

0

0.1

0.2

0 5 10 15−0.1

0

0.1

0.2

fréquence

F i g . 5 . 1 . : P a s s a g e d e l a s é r i e d e F o u r i e r à l a d e n s i t é s p e c t r a l e

1 8 8

c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m



5 . 1 . T r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r

L a t r a n s f o r m é e i n v e r s e s ' o b t i e n t e n c o n s i d é r a n t l a f o n c t i o n p é r i o d i q u e p o u r l a q u e l l e

l a p é r i o d e T

t e n d v e r s l ' i n n i ; o n a a l o r s :

x(t) =+∞

k→−∞

X ( jk) exp(+ j2π kf 0 t)

= limT →∞

+∞k→−∞

1

T (T X ( jk)) exp(+ j2π kf 0 t)

= limT →∞

+∞k→−∞

(T X ( jk)) exp(+ j2π kf 0 t) f 0

L o r s q u ' o n p a s s e à l a l i m i t e

T →∞, T ·X ( jk) → X ( jf ), f 0 → df, kf 0 → f

o n o b t i e n t l a d é n i t i o n d e l a t r a n s f o r m a t i o n i n v e r s e d e F o u r i e r

x(t) ≡ +∞−∞

X ( jf ) exp(+ j2πf t) df

I l e s t i m p o r t a n t d e n o t e r q u e l e s u n i t é s d e X ( jf )

n e s o n t p a s l e s m ê m e s q u e c e l l e s

d u s i g n a l o r i g i n a l x(t)

. D a n s l e c a s o ù x(t)

e s t u n e t e n s i o n é l e c t r i q u e , s a t r a n s f o r m é e

X ( jf )s ' e x p r i m e e n [ V / H z ] .

5 . 1 . 2 . T F d i r e c t e e t i n v e r s e

L e s d e u x r e l a t i o n s q u e n o u s v e n o n s d e d é m o n t r e r c o n s t i t u e n t l e s t r a n s f o r m a t i o n s d e

F o u r i e r d i r e c t e e t i n v e r s e . O n c o n s t a t e q u e l e s d e s c r i p t i o n s t e m p o r e l l e e t s p e c t r a l e

s o n t p a r f a i t e m e n t s y m é t r i q u e s :

x(t) =

+∞

−∞

X ( jf ) exp(+ j2πf t) df ( 5 . 1 )

X ( jf ) =

+∞−∞

x(t)exp(− j2πf t) dt( 5 . 2 )

E n n o t a t i o n a b r é g é e , o n d é c r i r a c e s d e u x t r a n s f o r m a t i o n s p a r l e s o p é r a t e u r s T F { }

e t T F I

{ }. L a c o r r e s p o n d a n c e r é c i p r o q u e s ' é c r i t a l o r s :

x(t) = T F I {X ( jf )} ←→ T F {x(t)} = X ( jf )

S i l a f o n c t i o n x(t)

n e p o s s è d e p a s d e s y m é t r i e s p a r t i c u l i è r e s , s a d e n s i t é s p e c t r a l e

d ' a m p l i t u d e X ( jf )

e s t u n e f o n c t i o n c o m p l e x e :

x(t) ←→ X ( jf ) = X r(f ) + jX i(f )( 5 . 3 )

L e s d e n s i t é s s p e c t r a l e s d u m o d u l e e t d e l a p h a s e v a l e n t a l o r s :

|X ( jf )| ≡ X (f ) =

X 2r (f ) + X 2i (f )( 5 . 4 )

∠X ( jf ) ≡ α(f ) = arctanX i(f )

X r(f )( 5 . 5 )

c 2 0 0 8 f r e d d y . m u d r y @ g m a i l . c o m 1 8 9




5 . 1 . 3 . É n e r g i e d ' u n s i g n a l n o n p e r m a n e n t

D a n s l e c a s d e s s i g n a u x n o n p e r m a n e n t s , o n p r e n d r a g a r d e à p a r l e r d e l e u r é n e r g i e e t

n o n p a s d e l e u r p u i s s a n c e , c a r c e l l e - c i e s t n u l l e s i l ' o n c o n s i d è r e u n e d u r é e i n n i m e n t

l o n g u e .

D e m a n i è r e s i m i l a i r e à c e q u e l ' o n a v u p o u r l e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s , o n p e u t c a l c u l e r

l ' é n e r g i e d ' u n s i g n a l a p é r i o d i q u e a u s s i b i e n d a n s l e d o m a i n e t e m p o r e l q u e d a n s

d o m a i n e f r é q u e n t i e l :

W =

+∞

−∞

x2(t) dt

V

2s e c

( 5 . 6 )

W =

+∞−∞

|X ( jf )|2 df

V

2/H z

( 5 . 7 )

L ' e x p r e s s i o n d e l ' é n e r g i e d ' u n s i g n a l x(t)

d a n s l e d o m a i n e d e s f r é q u e n c e s e n t r a î n e l a

d é n i t i o n d e l a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' é n e r g i e S x(f )

:

S x(f ) ≡ |X ( jf )|2 = X ( jf ) ·X ( jf )∗

V

2/H z

2

( 5 . 8 )

O n n o t e r a q u e s e s u n i t é s s ' e x p r i m e n t e n [

V

2/H z

2]l o r s q u e l e s i g n a l e s t u n e t e n s i o n .

5 . 1 . 4 . P r o p r i é t é s d e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r

P a r m i l e g r a n d n o m b r e d e p r o p r i é t é s a s s o c i é e s à l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r , o n

r e t i e n d r a p a r t i c u l i è r e m e n t c e l l e s q u i o n t l e p l u s d ' i n t é r ê t e n t r a i t e m e n t d u s i g n a l .

E l l e s s o n t p r é s e n t é e s d a n s l e t a b l e a u 5 . 1 .

5 . 2 . E x e m p l e s d e s p e c t r e s c o n t i n u s

P o u r i l l u s t r e r l ' u t i l i s a t i o n d e l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r , c a l c u l o n s l e s d e n s i t é s s p e c -

t r a l e s d e t r o i s s i g n a u x p a r t i c u l i e r s .

5 . 2 . 1 . S p e c t r e d ' u n e i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e

C o n s i d é r o n s u n e i m p u l s i o n x(t)

d e l a r g e u r ∆t

e t d ' a m p l i t u d e A

c e n t r é e e n t = 0

( g u r e 5 . 2 ) . P a r d é n i t i o n d e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r , o n a :

X ( jf ) =

+∞−∞


E n t e n a n t c o m p t e d e l a d é n i t i o n d e l ' i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e c e n t r é e :

x(t) =

0 si |t| > ∆t2

A si |t| ≤ ∆t2

( 5 . 9 )

1 9 0





a ) l i n é a r i t é ax(t) + by(t) aX ( jf ) + bY ( jf )

b ) d é c a l a g e x(t + td) X ( jf )exp(+ j2πf td)

c ) a m o r t i s s e m e n t x(t)exp(−at), x(t)

c a u s a l X ( j2πf + a)

d ) m o d u l a t i o n x(t)exp(+ j2πf 0t) X ( j(f − f 0))

e ) d é r i v a t i o n

dx(t)

dt j2πf X ( jf )

1

j2πf X ( jf ) +

1

2X (0)δ(f )

f ) i n t é g r a t i o n

t−∞

x(t)dt

a v e c X (0) =

+∞−∞

x(t)dt

h(t)⊗ x(t) H ( jf ) ·X ( jf )g ) c o n v o l u t i o n

h(t) · x(t) H ( jf )⊗X ( jf )

h ) é n e r g i e W =

+∞−∞

x2(t)dt W =

+∞−∞

|X ( jf )|2 df

j ) v a l e u r s à l ' o r i g i n e x(t = 0) = +∞−∞

X ( jf )df X (f = 0) = +∞−∞

x(t)dt

k ) r o t a t i o n O y y(t) = x(−t) Y ( jf ) = X (− jf ) = X ∗( jf )

l ) f o n c t i o n p a i r e x(−t) = x(t) X ( jf ) ∈

m ) f o n c t i o n i m p a i r e

x(−t) = −x(t) X ( jf ) ∈

T a b . 5 . 1 . : Q u e l q u e s p r o p r i é t é s d e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r





i l v i e n t :

X ( jf ) =

+∆t/2

−∆t/2

A exp(− j2π f t)dt

=−A

j2πf exp(− j2π f t)

+∆t/2

−∆t/2

=−A

j2πf

exp(− j2π f

∆t

2)− exp(+ j2π f

∆t

2)

=A

πf

exp(+ jπf ∆t)− exp(− jπf ∆t)

2 j

U t i l i s a n t l a f o r m u l e d ' E u l e r :

sin u = exp(+ ju)− exp(− ju)2 j

o n o b t i e n t n a l e m e n t :

X ( jf ) = A ∆tsin(πf ∆t)

πf ∆t= A ∆t sinc(f ∆t) ∈

( 5 . 1 0 )

C o m m e o n p o u v a i t s ' y a t t e n d r e , l a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e d ' u n e i m p u l s i o n

r e c t a n g u l a i r e c e n t r é e e n t = 0

e s t b i e n d é c r i t e p a r u n s i n u s c a r d i n a l . D e p l u s , c o m m e

l ' i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e x(t)

e s t p a i r e , s a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e Y ( jf )

e s t

u n e f o n c t i o n r é e l l e . E n n , o n r e m a r q u e r a ( g u r e 5 . 2 ) q u e l e s p e c t r e p a s s e p a r z é r o

c h a q u e f o i s q u e l e s i n u s c a r d i n a l s ' a n n u l e , c ' e s t - à - d i r e , c h a q u e f o i s q u e l a f r é q u e n c e

e s t u n m u l t i p l e d e 1/∆t

.

L e s p e c t r e d e c e t t e i m p u l s i o n i l l u s t r e d e u x p o i n t s i m p o r t a n t s c o n c e r n a n t l e s s i g n a u x

d e d u r é e l i m i t é e ( g u r e 5 . 3 ) :

U n s i g n a l d e c o u r t e d u r é e p o s s è d e u n s p e c t r e l a r g e b a n d e .

U n s p e c t r e é t r o i t c o r r e s p o n d à u n s i g n a l d e l o n g u e d u r é e .

5 . 2 . 2 . S p e c t r e s d ' u n s i n u s a m o r t i

É t u d i o n s , c o m m e d e u x i è m e e x e m p l e , l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r d ' u n e s i n u s o ï d e d e

f r é q u e n c e f p d é c r o i s s a n t e x p o n e n t i e l l e m e n t a u c o u r s d u t e m p s ( g u r e 5 . 4 ) . S o n é q u a -

t i o n s ' é c r i t :

y(t) =

0, si t < 0

A exp(−at) sin(2πf p t), si t ≥ 0( 5 . 1 1 )

P a r t a n t d e l a d é n i t i o n d e l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r , o n c a l c u l e s a d e n s i t é s p e c t r a l e

d ' a m p l i t u d e :

Y ( jf ) = +∞−∞

y(t) exp(− j2πf t)dt

1 9 2





−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps

x ( t )

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

0

1

2

3

4

fréquence

X ( j f )

F i g . 5 . 2 . : I m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e e t s a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e

−10 −5 0 5 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x 1

( t )

A = 1, ∆t = 10

−5 0 5

−2

0

2

4

6

8

10

X 1

( j f )

−10 −5 0 5 10−1

0

1

2

3

4

5

6

temps

x 2

( t )

A = 5, ∆t = 2

−5 0 5

−2

0

2

4

6

8

10

fréquence

X 2

( j f )

F i g . 5 . 3 . : L e c o n t e n u s p e c t r a l d ' u n e i m p u l s i o n d é p e n d f o r t e m e n t d e s a d u r é e





=

∞

0

A exp(−at) sin(2πf p t) exp(− j2πf t)dt

= ∞0

A exp(−at) exp(+ j2πf p t)− exp(− j2πf p t)2 j

exp(− j2πf t)dt

C e t t e i n t é g r a l e n e c o n t i e n t q u e d e s e x p o n e n t i e l l e s ; e l l e e s t t r è s s i m p l e à c a l c u l e r .

A p r è s r é d u c t i o n d e s d e u x p r i m i t i v e s à u n m ê m e d é n o m i n a t e u r , o n o b t i e n t :

Y ( jf ) = A2πf p

(a + j2πf )2 + (2πf p)2∈ C

( 5 . 1 2 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

temps

y ( t )

A = 1.0

fp

= 4.0

a = 0.25

−10 −5 0 5 100

0.5

1

1.5

2

fréquence

| Y ( j f ) ) |

F i g . 5 . 4 . : S i n u s a m o r t i e t l e m o d u l e d e s a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e

O n r e m a r q u e r a q u e l a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e Y ( jf ) e s t u n e f o n c t i o n c o m p l e x e

c a r l a s i n u s o ï d e d é c r o i s s a n t e y(t)

n e p o s s è d e p a s d e s y m é t r i e p a r t i c u l i è r e . L a g u r e

5 . 4 p r é s e n t e l e s i n u s a m o r t i e t l e m o d u l e d e s a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' a m p l i t u d e .

O n p e u t é g a l e m e n t n o t e r l e s d e u x v a l e u r s p a r t i c u l i è r e s s u i v a n t e s

f = 0 : Y (0) = A2πf p

a2 + (2πf p)2 A

2πf ps i

a 2π f p

f = f p : Y ( jf p) =A

a

2πf pa + + j4πf p

A

j2as i

a 2π f p

1 9 4





5 . 2 . 3 . S p e c t r e s d e 2 i m p u l s i o n s

C o n s i d é r o n s u n s i g n a l c o n s t i t u é d e d e u x i m p u l s i o n s d ' a m p l i t u d e A

p l a c é e s s y m é t r i -

q u e m e n t e n

±t0/2

( g u r e 5 . 5 ) . C e s i g n a l p o s s è d e u n s p e c t r e q u i s e c a l c u l e f a c i l e m e n t

à p a r t i r d e c e l u i d ' u n e i m p u l s i o n c e n t r é e e n t = 0 e t à l ' a i d e d u t h é o r è m e d u d é c a l a g e .

C o m m e l e s i g n a l z(t)

e s t l a s o m m e d e 2 i m p u l s i o n s d é c a l é e s d e ±t0/2

,

z(t) = x(t + t0/2) + x(t− t0/2)( 5 . 1 3 )

o n a :

Z ( jf ) = A ∆tsin(πf ∆t)

πf ∆t

exp(+ j2πf

t02

) + exp(− j2πf t02

)

d o n c

Z ( jf ) = 2 A ∆tsin(πf ∆t)πf ∆t

cos(πf t0)( 5 . 1 4 )

D e p l u s , p a r r a p p o r t à c e q u i v a s u i v r e , i l e s t i n t é r e s s a n t d e c o n s i d é r e r é g a l e m e n t l a

d e n s i t é s p e c t r a l e d ' é n e r g i e :

S z(f ) ≡ |Z ( jf )|2 =

2 A ∆t

sin(πf ∆t)

πf ∆tcos(πf t0)

2( 5 . 1 5 )

L e s d e n s i t é s s p e c t r a l e s d ' a m p l i t u d e e t d ' é n e r g i e s o n t r e p r é s e n t é e s à l a g u r e 5 . 5 .

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

z ( t )

(a)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1

0

1

2

Z ( j f )

(b)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

S z

( f )

(c)

F i g . 5 . 5 . : D e u x i m p u l s i o n s r e c t a n g u l a i r e s s y m é t r i q u e s ( a ) a v e c s e s d e n s i t é s s p e c -

t r a l e s d ' a m p l i t u d e ( b ) e t d ' é n e r g i e ( c )





5 . 3 . C a l c u l d e q u e l q u e s t r a n s f o r m é e s

A n d e m i e u x s a i s i r l e s i m p l i c a t i o n s d e l a T F , c a l c u l o n s l e s t r a n s f o r m é e s d e q u e l q u e s

s i g n a u x i m p o r t a n t s e n t r a i t e m e n t d u s i g n a l .

5 . 3 . 1 . E x p o n e n t i e l l e d é c r o i s s a n t e

D a n s c e c a s , x(t)

v a u t

x(t) = exp(−at) (t) =

0 si t < 0

exp(−at) si t ≥ 0( 5 . 1 6 )

0 2 4 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x ( t

temps

−2 0 20

1

2

3

4

| X ( j f ) |

fréquence

−2 0 2−2

−1

0

1

2

/ X ( j f )

fréquence

F i g . 5 . 6 . : E x p o n e n t i e l l e d é c r o i s s a n t e e t s e s s p e c t r e s ( m o d u l e e t p h a s e )

L ' a p p l i c a t i o n d e l a d é n i t i o n d e l a T F c o n d u i t à :

X ( jf ) =

+∞0

exp(−at) exp(− j2πf t)dt

d ' o ù :

X ( jf ) =1

a + j2πf ( 5 . 1 7 )

P o u r i l l u s t r e r l e t h é o r è m e d e l ' é n e r g i e , c a l c u l o n s l ' é n e r g i e d e c e s i g n a l d a n s l e d o -

m a i n e t e m p o r e l :

W =

+∞−∞

x2(t) dt =

+∞0

exp(−2at) dt =1

2a

e t d a n s l e d o m a i n e f r é q u e n t i e l :

W =

+∞−∞

|X ( jf )|2 df =

+∞−∞

df

a2 + (2πf )2

=1

2πaarctan

2πf

a

+∞

−∞

=1

2a

O n r e t r o u v e b i e n e n t e n d u l e m ê m e r é s u l t a t d a n s l e s d e u x c a s .

1 9 6





5 . 3 . 2 . E x p o n e n t i e l l e d é c r o i s s a n t e s y m é t r i q u e

C e s i g n a l e s t d é c r i t p a r :

x(t) = exp(−a |t|) , −∞ < t < +∞ ( 5 . 1 8 )

−5 0 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x ( t )

temps−2 0 2

0

1

2

3

4

| X ( j f ) |

fréquence−2 0 2

−2

−1

0

1

2

/ X ( j f )

fréquence

F i g . 5 . 7 . : E x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e e t s e s s p e c t r e s ( m o d u l e e t p h a s e )

D e m a n i è r e p l u s e x p l i c i t e , o n p e u t e n c o r e l ' é c r i r e s o u s l a f o r m e

x(t) = exp(+at) (−t) + exp(−at) (t)( 5 . 1 9 )

O n a a l o r s :

X ( jf ) = 0−∞

exp(+at) exp(− j2πf t) dt + ∞0 exp(−at)exp(− j2πf t) dt

d ' o ù :

X ( jf ) =1− 0

a− j2πf +

0− 1

−(a + j2πf )=

2a

a2 + (2πf )2( 5 . 2 0 )

O n r e m a r q u e r a q u e x(t)

é t a n t p a i r , s a t r a n s f o r m é e e s t r é e l l e .

5 . 3 . 3 . S i g n a l c o n s t a n t u n i t é

L e s i g n a l c o n s t a n t u n i t é v a u t s i m p l e m e n t 1 q u e l q u e s o i t t ∈ (−∞, +∞)

. A u s e n s

d e s l i m i t e s , i l p e u t ê t r e d é c r i t à p a r t i r d e l ' e x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e :

x(t) = 1 = lima→0

exp(−a |t|) , −∞ < t < +∞( 5 . 2 1 )

C e p a s s a g e p a r l a l i m i t e e s t n é c e s s a i r e c a r l e s i g n a l c o n s t a n t n ' e s t p a s i n t é g r a b l e e n

v a l e u r a b s o l u e e t s a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r n e p e u t d o n c p a s ê t r e c a l c u l é e à p a r t i r

d e s a d é n i t i o n . P a r c o n t r e , p a r t a n t d e l ' e x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e , o n a :

X ( jf ) = lima→0

2a

a2 + (2πf )2 =

0 si f = 0

∞ si f = 0





C e r é s u l t a t c o ï n c i d e a v e c l a d é n i t i o n d ' u n e i m p u l s i o n d e D i r a c . L a T F d ' u n s i g n a l

u n i t é e s t d o n c u n e i m p u l s i o n d e D i r a c s i t u é e e n f = 0

:

X ( jf ) = δ(f )( 5 . 2 2 )

5 . 3 . 4 . S a u t u n i t é

L e c a l c u l d e l a T F d ' u n s a u t u n i t é (t)

( g u r e 5 . 8 ) n é c e s s i t e é g a l e m e n t q u e l q u e s

p r é c a u t i o n s , c a r c e s i g n a l n ' e s t p a s i n t é g r a b l e e n v a l e u r a b s o l u e . M a i s , c o n s t a t a n t

q u e l ' o n a :

1 = (t) + (−t)

e t d é s i g n a n t l a T F d e (t)

p a r E ( jf )

, i l v i e n t :

T F {

1}

= δ(f ) = E ( jf ) + E ∗( jf ) = 2 E r( jf )

D e c e r é s u l t a t , o n e n d é d u i t q u e l a p a r t i e r é e l l e E r( jf )

v a u t δ(f )/2

.

I l r e s t e e n c o r e à t r o u v e r l a p a r t i e i m a g i n a i r e d e E ( jf )

. P o u r c e f a i r e , o n p e u t r e -

m a r q u e r q u e l e s a u t u n i t é p e u t é g a l e m e n t s ' é c r i r e s o u s l a f o r m e :

(t) =

0 si t < 0

lima→0 exp(−at) si t ≥ 0( 5 . 2 3 )

d o n t l a t r a n s f o r m é e ( é q u a t i o n 5 . 1 7 ) e s t p u r e m e n t i m a g i n a i r e e t v a u t 1/( j2πf )

. O n

o b t i e n t d o n c n a l e m e n t :

E ( jf ) = E r( jf ) + j E i( jf ) =1

2δ(f ) +

1

j2πf ( 5 . 2 4 )

5 . 3 . 5 . P h a s e u r

P o u r c a l c u l e r s a T F , c o n s i d é r o n s l e f a i t q u ' u n p h a s e u r d e f r é q u e n c e f 0 p e u t s ' é c r i r e

c o m m e s u i t :

x(t) = exp(+ j2πf 0t) = lima→0

exp(−a |t|) exp(+ j2πf 0t)( 5 . 2 5 )

U t i l i s a n t l a T F d e l ' e x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e ( é q u a t i o n 5 . 2 0 ) e t l a p r o p r i é t é d e

m o d u l a t i o n , o n a :

X ( jf ) = lima→0

2a

a2 + (2π(f − f 0))2=

0 si f = f 0

∞ si f = f 0

L a T F d ' u n p h a s e u r d e f r é q u e n c e f 0 e s t d o n c u n e i m p u l s i o n d e D i r a c s i t u é e e n

f = f 0 :

X ( jf ) = δ(f − f 0)( 5 . 2 6 )

1 9 8





−5 0 5

0

0.5

1

x(t)

S a

u t u n i t é

−2 0 2

0

0.5

1

1.5

2|X(jf)|

−2 0 2−2

−1

0

1

2

∠ X(jf)

−5 0 5

−1

−0.5

0

0.5

1

C o s i n u s

−2 0 2

0

0.5

1

−2 0 2−2

−1

0

1

2

−5 0 5

−1

−0.5

0

0.5

1

S i n u s

t

−2 0 2

0

0.5

1

f

−2 0 2−2

−1

0

1

2

f

F i g . 5 . 8 . : S i g n a u x e t d e n s i t é s s p e c t r a l e s d ' u n s a u t u n i t é , d ' u n c o s i n u s e t d ' u n s i n u s

5 . 3 . 6 . S i g n a l s i n u s o ï d a l

C o m m e u n s i g n a l s i n u s o ï d a l e s t c o n s t i t u é d e 2 p h a s e u r s c o n j u g u é s c o m p l e x e s ( l o i

d ' E u l e r ) , s a T F c o m p o r t e r a 2 i m p u l s i o n s d e D i r a c s i t u é e e n ±f 0 . P l u s p r é c i s é m e n t ,

o n a u r a :

x(t) = cos(2πf 0t) =1

2

e+ j2πf 0t + e− j2πf 0t

←→ X ( jf ) =δ(f − f 0) + δ(f + f 0)

2( 5 . 2 7 )

x(t) = sin(2πf 0t) = 12 j

e+ j2πf 0t − e− j2πf 0t

←→ X ( jf ) = δ(f − f 0)− δ(f + f 0)2 j

( 5 . 2 8 )

L a p r e m i è r e T F e s t r é e l l e , c a r l a c o s i n u s o ï d e e s t p a i r e , a l o r s q u e l a d e u x i è m e T F

e s t i m a g i n a i r e c a r l a s i n u s o ï d e e s t i m p a i r e . O n n o t e r a q u e l e s m o d u l e s d e s d e n s i t é s

s p e c t r a l e s s o n t l e s m ê m e s e t q u e s e u l s d i è r e n t l e u r s a r g u m e n t s ( g u r e 5 . 8 ) .

5 . 3 . 7 . I m p u l s i o n s i n u s o ï d a l e

P a r m i l e s p r o p r i é t é s d e s t r a n s f o r m a t i o n s d e L a p l a c e e t F o u r i e r , n o u s a v o n s v u q u ' à

u n p r o d u i t d e c o n v o l u t i o n d a n s l e d o m a i n e t e m p o r e l c o r r e s p o n d u n p r o d u i t s i m p l e





d a n s l e d o m a i n e c o m p l e x e :

y(t) = h(t)⊗ x(t) ←→ Y ( jf ) = H ( jf ) ·X ( jf )( 5 . 2 9 )

L ' i n v e r s e d e c e t t e p r o p o s i t i o n e s t é g a l e m e n t v r a i e e t e l l e e s t t r è s p r a t i q u e p o u r

c a l c u l e r l e s p e c t r e d e s i g n a u x m o d u l é s e n a m p l i t u d e . E l l e s ' e x p r i m e c o m m e s u i t . À

u n p r o d u i t s i m p l e d a n s l e d o m a i n e t e m p o r e l c o r r e s p o n d u n p r o d u i t d e c o n v o l u t i o n

d a n s l e d o m a i n e c o m p l e x e :

y(t) = m(t) · x(t) ←→ Y ( jf ) = M ( jf )⊗X ( jf )( 5 . 3 0 )

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

x ( t )

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

m ( t )

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

x ( t )

temps

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

1.5

2

X ( f )

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

1.5

2

M ( f )

−10 −5 0 5 10

0

0.5

1

1.5

2

Y ( f )

fréquence

F i g . 5 . 9 . : I m p u l s i o n s i n u s o ï d a l e e t s o n s p e c t r e

C o n s i d é r o n s c o m m e e x e m p l e u n e i m p u l s i o n s i n u s o ï d a l e d e d u r é e ∆t

( g . 5 . 9 c )

y(t) =

cos(2πf 0t)s i

|t| < ∆t2

0s i

|t| ≥ ∆t2

V o y a n t q u e c e s i g n a l e s t é q u i v a l e n t à l a m u l t i p l i c a t i o n d ' u n e s i n u s o ï d e p e r m a n e n t e

( g . 5 . 9 a ) p a r u n e i m p u l s i o n d e l a r g e u r ∆t

( g . 5 . 9 b ) , o n a :

y(t) = m(t) · x(t) = m(t) · cos(2πf 0t)a v e c

m(t) =

1s i

|t| < ∆t2

0s i

|t| ≥ ∆t2

2 0 0




5 . 4 . Q u e l q u e s c o n c l u s i o n s

S a c h a n t q u e l e s s p e c t r e s d e s s i g n a u x x(t)

e t m(t)

v a l e n t r e s p e c t i v e m e n t

X ( jf ) =1

2(δ (f + f 0) + δ (f − f 0))

M ( jf ) = A ∆ts i n c

(f ∆t)

e t q u e l a c o n v o l u t i o n e n t r e u n e f o n c t i o n e t u n e i m p u l s i o n d e D i r a c r e p r o d u i t l a

f o n c t i o n à l ' e n d r o i t o ù s e s i t u e l ' i m p u l s i o n , o n v o i t q u e l e s p e c t r e d e l ' i m p u l s i o n

s i n u s o ï d a l e v a u t

Y ( jf ) = M ( jf )⊗X ( jf ) =A ∆t

2(

s i n c ((f + f 0) ∆t) +

s i n c ((f − f 0) ∆t))

O n c o n s t a t e a i n s i q u e l e s p e c t r e d ' u n e i m p u l s i o n s i n u s o ï d a l e d e d u r é e ∆t

e s t c o n s t i t u é

d e d e u x s i n u s c a r d i n a u x s i t u é s e n +f 0 e t −f 0 ( g u r e 5 . 9 c ) .

5 . 4 . Q u e l q u e s c o n c l u s i o n s

5 . 4 . 1 . T F d e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s

D u p a r a g r a p h e p r é c é d e n t , o n r e t i e n d r a q u e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r s ' a p p l i q u e

é g a l e m e n t à d e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s , c ' e s t - à - d i r e à d e s s i g n a u x d e p u i s s a n c e m o y e n n e

n i e . D a n s c e c a s , l e s r a i e s s p e c t r a l e s d e l a s é r i e d e F o u r i e r s o n t r e m p l a c é e s p a r d e s

i m p u l s i o n s d e D i r a c .

5 . 4 . 2 . R e l a t i o n s a v e c l a t r a n s f o r m a t i o n d e L a p l a c e

L e s d é n i t i o n s d e s t r a n s f o r m é e s d e F o u r i e r e t L a p l a c e m o n t r e n t u n e f o r t e s i m i l i t u d e .

O n a e n e e t

X ( jf ) =

+∞−∞


X (s) =

+∞

0

x(t) exp(−s t) dta v e c

s = σ + j2πf

S i o n a d é n i d e s t r a n s f o r m a t i o n s s i p r o c h e s , m a i s m a l g r é t o u t d i s t i n c t e s , c ' e s t q u e

t o u s l e s s i g n a u x n e s o n t p a s t r a n s f o r m a b l e s d e F o u r i e r e t / o u d e L a p l a c e . E n e e t ,

l ' e x i s t e n c e d e c e s t r a n s f o r m a t i o n s e n t r a î n e n t l e s r e s t r i c t i o n s s u i v a n t e s :

p o u r l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r , i l f a u t q u e l e s i g n a l s o i t i n t é g r a b l e e n v a l e u r

a b s o l u e e t q u e l e n o m b r e d e s e s d i s c o n t i n u i t é s s o i t n i :

+∞−∞

|x(t)| dt < ∞





p o u r l a t r a n s f o r m a t i o n d e L a p l a c e , i l f a u t q u e : +∞−∞

x(t)e−st

dt < ∞

a u t r e m e n t d i t , i l f a u t q u e l e s i g n a l x(t) p o n d é r é p a r u n e e x p o n e n t i e l l e a m o r t i e

s o i t i n t é g r a b l e e n v a l e u r a b s o l u e .

D e s d e u x p o i n t s c i - d e s s u s , i l d é c o u l e q u e l e s s i g n a u x t e m p o r a i r e s ( à é n e r g i e n i e ) e t

l e s s i g n a u x p e r m a n e n t s p é r i o d i q u e s o u n o n ( à p u i s s a n c e n e ) p o s s è d e n t u n e t r a n s -

f o r m é e d e F o u r i e r m a i s p a s n é c e s s a i r e m e n t u n e t r a n s f o r m é e d e L a p l a c e . A i n s i e n

e s t - i l d e l ' e x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e e t , a u s e n s d e s l i m i t e s , d e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s .

P a r c o n t r e , d e s s i g n a u x d é m a r r a n t e n t = 0

t e l s q u ' u n e r a m p e x(t) = a · t (t)

,

u n e p a r a b o l e x(t) = a · t2 (t)

, n e s o n t p a s t r a n s f o r m a b l e s d e F o u r i e r , a l o r s q u ' i l s

p o s s è d e n t u n e t r a n s f o r m é e d e L a p l a c e .

I l e x i s t e d ' a u t r e p a r t d e s s i g n a u x q u i p o s s è d e n t l e s d e u x t r a n s f o r m é e s ; p a r e x e m p l e ,

l e s s i g n a u x a m o r t i s d é m a r r a n t e n t = 0

. E t d ' a u t r e s q u i n ' e n p o s s è d e n t a u c u n e ; p a r

e x e m p l e x(t) = a · t

p o u r

−∞ < t < +∞.

O n t r o u v e r a e n n d e c h a p i t r e u n e t a b l e i l l u s t r é e d e s t r a n s f o r m é e s d e F o u r i e r t i r é e

d e l ' o u v r a g e d e F . d e C o u l o n [ 2 ] .

5 . 5 . E x t e n s i o n d e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r

L e s p e c t r e d ' é n e r g i e d e s d e u x i m p u l s i o n s é t u d i é e s à l a s e c t i o n 5 . 2 . 3 m o n t r e u n e

g r a n d e s i m i l i t u d e a v e c l a g u r e d e d i r a c t i o n d e F r a u n h o f e r d u e à d e u x f e n t e s é t r o i t e s

( g u r e 5 . 1 0 ) . E n r é a l i t é , i l s ' a g i t b i e n p l u s q u e d ' u n e s i m i l i t u d e c a r o n m o n t r e e n

p h y s i q u e q u e t o u t e g u r e d e d i r a c t i o n e s t l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r d e l ' o b j e t q u i

e n e s t l a c a u s e .

D e c e t t e a n a l o g i e , o n d é d u i t q u e l a n o t i o n d e t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r p e u t ê t r e

é t e n d u e à d e s e s p a c e s à p l u s i e u r s d i m e n s i o n s . C e t t e t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r m u l t i -

d i m e n s i o n n e l l e e s t d é n i e d e m a n i è r e s i m i l a i r e à c e l l e q u e n o u s a v o n s é t u d i é e j u s q u ' à

p r é s e n t

x(t) → X ( jf ) ≡ +∞−∞

x(t)e x p

(− j2π f t) dt( 5 . 3 1 )

a v e c f r e p r é s e n t a n t l a f r é q u e n c e d e s o s c i l l a t i o n s , c ' e s t - à - d i r e l e n o m b r e d e p é r i o d e s

p a r u n i t é d e t e m p s . C e t t e f r é q u e n c e e s t m e s u r é e e n [ H z ] o u , d e m a n i è r e p l u s f o n d a -

m e n t a l e , e n [ 1 / s e c ] .

D a n s l e c a s p a r t i c u l i e r d ' u n e i m a g e ( e s p a c e à d e u x d i m e n s i o n s ) , o n a a a i r e à u n e

i n t e n s i t é l u m i n e u s e i

f o n c t i o n d e s c o o r d o n n é e s x

e t y

i = i(x, y)( 5 . 3 2 )

S a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r e s t a l o r s d é n i e c o m m e s u i t

i(x, y)

→I ( jf x, jf y)

≡ +∞

−∞

+∞

−∞

i(x, y)e x p

(

− j2π f x x)

e x p (

− j2π f y y) dxdy

( 5 . 3 3 )

2 0 2




5 . 5 . E x t e n s i o n d e l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

z ( t )

(a)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1

0

1

2

Z ( j f )

(b)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

S z

( f )

(c)

F i g . 5 . 1 0 . : a ) D e u x i m p u l s i o n s r e c t a n g u l a i r e s e t l e u r s s p e c t r e s d ' a m p l i t u d e s e t

d ' é n e r g i e

b ) F i g u r e d e d i r a c t i o n c a u s é e p a r d e u x o u v e r t u r e s é t r o i t e s [ 3 ]









I c i , l e s f r é q u e n c e s s p a t i a l e s f x e t

f y r e p r é s e n t e n t l e n o m b r e d e p é r i o d e s p a r u n i t é d e

l o n g u e u r m e s u r é e s e n [ 1 / m ] . U n e i l l u s t r a t i o n d e s s p e c t r e s s p a t i a u x ( o u d e s g u r e s

d e d i r a c t i o n ) d ' o u v e r t u r e s c i r c u l a i r e e t c a r r é e e s t d o n n é e à l a g u r e 5 . 1 1 ; o n y

r e c o n n a î t l a f o n c t i o n s i n u s c a r d i n a l d i s t r i b u é e d a n s l ' e s p a c e d e s f r é q u e n c e s s p a t i a l e s

f x e t f y .

C o m m e n o u s v e n o n s d e l e v o i r , l a n o t i o n d e t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r s ' a p p l i q u e

à d e s f o n c t i o n s b i d i m e n s i o n n e l l e s . O n i m a g i n e d o n c a i s é m e n t q u e l e s p r i n c i p e s d e

l t r a g e b i e n c o n n u s e n é l e c t r o n i q u e p e u v e n t s ' é t e n d r e d e l a m ê m e m a n i è r e à d e s

s i g n a u x m u l t i d i m e n s i o n n e l s . U n e i l l u s t r a t i o n e n e s t d o n n é e à l a g u r e 5 . 1 1 o ù l ' o n

v o i t c o m m e n t l ' a p p l i c a t i o n d e m a s q u e s d a n s l e d o m a i n e f r é q u e n t i e l p e r m e t d ' e x t r a i r e

l e s b o r d s d e l ' i m a g e ( l t r a g e p a s s e - h a u t ) o u d e d é f o c a l i s e r l ' i m a g e ( l t r a g e p a s s e -

b a s ) . O n n o t e r a q u ' u n l t r a g e r é a l i s é a v e c u n m a s q u e c o n s t i t u é s i m p l e m e n t d e 0 o u

1 n ' e s t p a s o p t i m u m c a r i l e n t r a î n e l e s e e t s d e f r a n g e s b i e n v i s i b l e s s u r l e s i m a g e s .

U n e e x p é r i e n c e a m u s a n t e c o n s i s t e à l i r e u n t e x t e d a n s l ' e s p a c e d e F o u r i e r s i , a u

p r é a l a b l e , o n s ' e s t f a m i l i a r i s é a v e c l e s s p e c t r e s b i d i m e n s i o n n e l s d e s m a j u s c u l e s d e

l ' a l p h a b e t ( g u r e 5 . 1 2 ) . Q u e l q u e s i n s t a n t s d ' o b s e r v a t i o n m o n t r e n t q u ' i l e s t p o s s i b l e

d e r e c o n n a î t r e l e s l e t t r e s d e l ' a l p h a b e t s i m p l e m e n t à p a r t i r d e l e u r t r a n s f o r m é e d e

F o u r i e r s p a t i a l e . D a n s c e t t e g u r e , s e u l e s v i n g t i m a g e s d e l ' a l p h a b e t s o n t p r é s e n -

t é e s d a n s l ' o r d r e a l p h a b é t i q u e ; l e s l e t t r e s m a n q u a n t e s p e u v e n t ê t r e r e t r o u v é e s e n

e s s a y a n t d e s e r e p r é s e n t e r l e u r s p e c t r e . A p r è s a v o i r t r o u v é l e s l e t t r e s m a n q u a n t e s ,

o n p e u t r e c h e r c h e r l e m o t é c r i t a v e c c e t a l p h a b e t .

5 . 6 . C l a s s i c a t i o n e t t y p e s d e s i g n a u x

S a n s e n t r e r d a n s l e s d é t a i l s d e l a c l a s s i c a t i o n d e s s i g n a u x , i l f a u t m e n t i o n n e r q u e

p l u s i e u r s a p p r o c h e s s o n t p o s s i b l e s . P a r m i c e l l e s - c i , o n e n c i t e r a d e u x :

l a c l a s s i c a t i o n p h é n o m é n o l o g i q u e q u i m e t l ' a c c e n t s u r l e c o m p o r t e m e n t t e m p o r e l

d u s i g n a l ;

l a c l a s s i c a t i o n é n e r g é t i q u e o ù l ' o n c l a s s e l e s s i g n a u x s u i v a n t q u ' i l s s o n t à é n e r g i e

n i e o u à p u i s s a n c e n i e .

5 . 6 . 1 . C l a s s i c a t i o n p h é n o m é n o l o g i q u e

D a n s c e t t e c l a s s i c a t i o n , o n r é p a r t i t g é n é r a l e m e n t l e s s i g n a u x e n d e u x c l a s s e s p r i n -

c i p a l e s e t q u a t r e s o u s - c l a s s e s i l l u s t r é e s p a r l a g u r e 5 . 1 3 .

D a n s l e s d e u x c l a s s e s p r i n c i p a l e s , o n t r o u v e :

l e s s i g n a u x d é t e r m i n i s t e s d o n t l ' é v o l u t i o n t e m p o r e l l e p a r f a i t e m e n t d é n i e p e u t

ê t r e p r é d i t e p a r u n m o d è l e m a t h é m a t i q u e a p p r o p r i é ;

l e s s i g n a u x a l é a t o i r e s q u i o n t u n c o m p o r t e m e n t t e m p o r e l i m p r é v i s i b l e e t d o n t l a

d e s c r i p t i o n n e p e u t s e f a i r e q u ' a u t r a v e r s d ' o b s e r v a t i o n s s t a t i s t i q u e s .

P a r m i l e s s i g n a u x d é t e r m i n i s t e s ( g u r e 5 . 1 4 ) , o n d i s t i n g u e :

l e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s d o n t l a f o r m e s e r é p è t e r é g u l i è r e m e n t ;

2 0 6





Signaux

Déterministes Aléatoires

Périodiques Non périodiques Stationnaires Non stationnaires

Permanents Non permanents

F i g . 5 . 1 3 . : C l a s s i c a t i o n p h é n o m é n o l o g i q u e d e s s i g n a u x

−5 0 5

−1

−0.5

0

0.5

1

(a)

−5 0 5

−1

−0.5

0

0.5

1

(b)

−5 0 5

−1

−0.5

0

0.5

1

(c)

temps

−5 0 5

−1

−0.5

0

0.5

1

(d)

temps

F i g . 5 . 1 4 . : E x e m p l e s d e s i g n a u x d é t e r m i n i s t e s : ( a ) p é r i o d i q u e , ( b ) p s e u d o - a l é a t o i r e ,

( c ) q u a s i - p é r i o d i q u e , ( d ) n o n - p e r m a n e n t





−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

0

1

(a)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

0

1

(b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

0

1

(c)

temps

F i g . 5 . 1 5 . : T r o i s e x e m p l e s d e s i g n a u x a l é a t o i r e s : ( a ) b r u i t b l a n c , ( b ) b r u i t l a r g e

b a n d e , ( c ) b r u i t n o n - s t a t i o n n a i r e

l e s s i g n a u x p s e u d o - a l é a t o i r e s q u i s o n t d e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s m a i s a v e c , à l ' i n t é -

r i e u r d e l a p é r i o d e , u n c o m p o r t e m e n t a l é a t o i r e ;

l e s s i g n a u x q u a s i - p é r i o d i q u e s q u i r é s u l t e n t d ' u n e s o m m e d e s i n u s o ï d e s d o n t l e

r a p p o r t d e s p é r i o d e s n ' e s t p a s r a t i o n n e l ;

l e s s i g n a u x n o n - p é r i o d i q u e s ; i l s s o n t e s s e n t i e l l e m e n t r e p r é s e n t é s p a r d e s s i g n a u x

t r a n s i t o i r e s d o n t l ' e x i s t e n c e e s t é p h é m è r e .

P a r m i l e s s i g n a u x a l é a t o i r e s ( g u r e 5 . 1 5 ) , o n d i s t i n g u e :

l e s s i g n a u x s t a t i o n n a i r e s d o n t l e s c a r a c t é r i s t i q u e s s t a t i s t i q u e s n e c h a n g e n t p a s a u

c o u r s d u t e m p s ( p . e x : l e b r u i t é l e c t r o n i q u e ) ;

l e s s i g n a u x n o n - s t a t i o n n a i r e s d o n t l e c o m p o r t e m e n t s t a t i s t i q u e é v o l u e a u c o u r s

d u t e m p s ( p . e x . : l a p a r o l e ) .

5 . 6 . 2 . C l a s s i c a t i o n é n e r g é t i q u e

L ' é n e r g i e W x d ' u n s i g n a l

x(t)e s t d é n i e c o m m e s u i t

W x ≡

+∞

−∞

x2(t) dt( 5 . 3 4 )

O n d i r a q u e c e s i g n a l e s t à é n e r g i e n i e s i W x < ∞

. D a n s c e t t e c a t é g o r i e , o n

r e n c o n t r e t o u s l e s s i g n a u x t e m p o r e l l e m e n t é p h é m è r e s q u ' i l s s o i e n t d é t e r m i n i s t e s o u

a l é a t o i r e s .

2 0 8





L a p u i s s a n c e m o y e n n e P x d ' u n s i g n a l

x(t)e s t d é n i e p a r

P x ≡ limT →∞

1

T

+T/2

−T/2

x2(t) dt ≡ X 2eff ( 5 . 3 5 )

O n n o t e r a q u e c e t t e d é n i t i o n c o ï n c i d e a v e c c e l l e d u c a r r é d e l a v a l e u r e c a c e d u

s i g n a l x(t)

. O n d i r a q u e c e l u i - c i e s t à p u i s s a n c e n i e s i P x < ∞

. C e t t e c a t é g o r i e

e n g l o b e l e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s , q u a s i - p é r i o d i q u e s e t l e s s i g n a u x a l é a t o i r e s p e r m a -

n e n t s . D a n s l e c a s o ù l e s i g n a l e s t p é r i o d i q u e , l a d u r é e d ' i n t é g r a t i o n T

e s t p r i s e é g a l e

à u n e p é r i o d e d u s i g n a l .

C e r t a i n s s i g n a u x t h é o r i q u e s n ' a p p a r t i e n n e n t à a u c u n e d e c e s c a t é g o r i e s ; c ' e s t l e c a s ,

p a r e x e m p l e , d e l ' e x p o n e n t i e l l e x(t) = e−at, −∞ < t < ∞

.





5 . 7 . T a b l e i l l u s t r é e d e q u e l q u e s t r a n s f o r m é e s d e

F o u r i e r [ 2 ]

2 1 0




5 . 7 . T a b l e i l l u s t r é e d e q u e l q u e s t r a n s f o r m é e s d e F o u r i e r [ 2 ]





2 1 2




5 . 8 . E x e r c i c e s

5 . 8 . E x e r c i c e s

T F 1

À p a r t i r d e l a s e u l e o b s e r v a t i o n d u s i g n a l t e m p o r e l d e l a g u r e 5 . 1 6 , p r é c i s e z

c e q u e v a u t s a d e n s i t é s p e c t r a l e e n

f = 0p u i s c a l c u l e z e t e s q u i s s e z s a t r a n s f o r m é e

d e F o u r i e r .

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

0

0.5

1

1.5

2

temps [msec]

x ( t )

F i g . 5 . 1 6 . : E x e r c i c e T F 1

T F 2

P a r t a n t d e l a T F d ' u n e i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e e t d e l a p r o p r i é t é d ' i n t é g r a -

t i o n , c a l c u l e z l e s T F d e x(t)

e t y(t)

( g u r e 5 . 1 7 ) . A p r è s c a l c u l s , v o u s r e m a r q u e r e z

q u e Y ( jf )

p e u t s ' é c r i r e s o u s l a f o r m e d ' u n sinc2

.

T F 3

P a r t a n t d e l a T F d ' u n e i m p u l s i o n e t d ' u n s a u t u n i t é , t r o u v e z c e l l e d e z(t)

( g u r e 5 . 1 7 ) . E s t - i l p o s s i b l e d e t r o u v e r Z ( jf )

à p a r t i r d e Y ( jf )

? V o u s p o u v e z v é r i e r

v o t r e r é s u l t a t e n c a l c u l a n t Z ( jf = 0)

q u i d o i t ê t r e é g a l à ∆t/2

.

T F 4

S o i t u n s i g n a l c a r r é p é r i o d i q u e s y m é t r i q u e ( à v a l e u r m o y e n n e n u l l e ) d ' a m -

p l i t u d e A

. E s q u i s s e z

1 . l e s i g n a l x(t)

;

2 . l e s p e c t r e q u e l ' o n o b t i e n t a v e c l e s s é r i e s d e F o u r i e r ;

3 . l e s p e c t r e q u e l ' o n o b t i e n t a v e c l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r .

T F 5

C o n s i d é r a n t l e s i g n a l x(t) = exp(−a |t|)

, c a l c u l e z e t e s q u i s s e z x(t)

e t X ( jf )

,

p u i s v é r i e z l e s 2 é g a l i t é s s u i v a n t e s :

a) X (0) = +∞−∞

x(t)dt , b) x(0) = +∞−∞

X ( jf )df





−400 −200 0 200 400 600−1

0

1

x ( t )

−400 −200 0 200 400 600

0

0.5

1

y ( t )

−400 −200 0 200 400 600

0

0.5

1

temps [msec]

z ( t )

F i g . 5 . 1 7 . : E x e r c i c e s T F 2 e t T F 3

T F 6

f r é q u e n c e t e m p s

1 l a p a r t i e r é e l l e d e X ( jf )

e s t n u l l e

2 l a p a r t i e i m a g i n a i r e d e X ( jf )

e s t n u l l e

3 i l e x i s t e u n d é c a l a g e t0 t e l q u e

exp( j2πf t0)X ( jf )e s t r é e l

4 i l e x i s t e u n d é c a l a g e t0 t e l q u e

exp( j2πf t0)X ( jf ) e s t i m a g i n a i r e

5 X ( jf )

e s t c o n t i n u

1 . C o n s i d é r a n t l e s c i n q p r o p r i é t é s f r é q u e n t i e l l e s d u t a b l e a u c i - d e s s u s , e x p r i m e z

l e u r é q u i v a l e n t t e m p o r e l d a n s l a c o l o n n e d e d r o i t e .

2 . P o u r c h a c u n d e s s i g n a u x t e m p o r e l s d e l a g u r e 5 . 1 8 , q u e l l e s s o n t l e s p r o p r i é t é s

d u t a b l e a u q u i s ' y a p p l i q u e n t ?

2 1 4




5 . 8 . E x e r c i c e s

3 . C o n s t r u i s e z u n s i g n a l q u i n e p o s s è d e a u c u n e d e s c i n q p r o p r i é t é s m e n t i o n n é e s

d a n s l e t a b l e a u .

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.5

0

0.5

1 (a)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1(b)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.5

0

0.5

1 (c)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.5

0

0.5

1 (d)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1(e)

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.5

0

0.5

1 (f)

F i g . 5 . 1 8 . : E x e r c i c e T F 6

−2 −1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x ( t )

temps [msec]

F i g . 5 . 1 9 . : E x e r c i c e T F 7

T F 7

S o i t

X ( jf )l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r d u s i g n a l

x(t)d e l a g u r e 5 . 1 9 . S a n s

c a l c u l e r e x p l i c i t e m e n t X ( jf )

, r e c h e r c h e z :









T F 1 6

C o n s i d é r a n t u n s i g n a l u ( t ) d o n t l e s p e c t r e e s t l e s u i v a n t :

U ( jf ) =

1s i

100[H z

] ≤ |f | ≤ 200[H z

]

0 s i n o n

1 . e s q u i s s e z

U ( jf );

2 . c a l c u l e z p u i s e s q u i s s e z u(t)

;

3 . q u e v a u t s o n é n e r g i e ?

T F 1 7

U t i l i s e z l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r p o u r t r o u v e r l e c o u r a n t c i r c u l a n t d a n s

u n c i r c u i t R C s é r i e s a c h a n t q u e l e s i g n a l a p p l i q u é e s t u n s a u t d e t e n s i o n d ' a m p l i -

t u d e E .

T F 1 8

O n a p p l i q u e u n e f o n c t i o n s i g n e u1(t)

d ' a m p l i t u d e E à u n l t r e R C p a s s e -

b a s .

1 . u t i l i s e z l a t r a n s f o r m a t i o n d e F o u r i e r p o u r t r o u v e r l a t e n s i o n d e s o r t i e ;

2 . e s q u i s s e z u1(t)

e t u2(t)

.

T F 1 9

O n a p p l i q u e u n e e x p o n e n t i e l l e s y m é t r i q u e u1(t) = U 0exp(−a |t|)

à u n l t r e

p a s s e - b a s d e c o n s t a n t e d e t e m p s τ

.

1 . a v a n t d e v o u s l a n c e r d a n s l e s c a l c u l s , e s q u i s s e z u1(t)

e t i m a g i n e z c e q u e p e u t

ê t r e u2(t)

;

2 . c a l c u l e z l a t e n s i o n d e s o r t i e d u l t r e .

L a m a r c h e à s u i v r e e s t l a m ê m e q u e c e l l e u t i l i s é e a v e c l a t r a n s f o r m a t i o n d e L a -

p l a c e : d é c o m p o s i t i o n e n s o m m e d e f r a c t i o n s s i m p l e s p u i s r e c h e r c h e d e s c o e c i e n t s

p a r i d e n t i c a t i o n a v e c d e s t r a n s f o r m é e s c o n n u e s .

T F 2 0

O n a p p l i q u e u n e e x p o n e n t i e l l e d é c r o i s s a n t e u1(t) = U 0 exp(−at) · (t)

à u n

l t r e p a s s e - b a s i d é a l d e f r é q u e n c e d e c o u p u r e f c .

1 . e x p r i m e z U 1( jf )

e t U 2( jf )

; e s q u i s s e z l e u r m o d u l e ;

2 . e n a d m e t t a n t U 0 = 10 [V ]

e t a = 1000[

1 / s e c

], c a l c u l e z l e s é n e r g i e s

E 1 e t E 2

d e s s i g n a u x d ' e n t r é e e t d e s o r t i e l o r s q u e :

( a )

f c = 1 [k H z

]; ( b )

f c = a2π .

2 1 8




5 . 8 . E x e r c i c e s

T F 2 1

O n a p p l i q u e à u n l t r e p a s s e - b a s d e c o n s t a n t e d e t e m p s τ = 1 [msec]

u n

s i g n a l u1(t)

d o n t l e s p e c t r e e s t d é n i p a r :

U 1( jf ) =

1 [V / H z

]s i

100[Hz] <=

|f

|<= 300 [

H z ]

0s i n o n

1 . e x p r i m e z l a f o n c t i o n d e t r a n s f e r t H ( jf )

d u l t r e ; q u e v a u t s a f r é q u e n c e c a -

r a c t é r i s t i q u e f c ?

2 . e s q u i s s e z U 1( jf )

, H ( jf )

e t U 2( jf )

p o u r −500[

H z ] < f < +500[

H z ]

;

3 . q u e l l e s s o n t l e s é n e r g i e s E 1 e t

E 2 d e s s i g n a u x d ' e n t r é e e t d e s o r t i e ?

4 . c o m m e n t é v o l u e r a E 2 s i l a c o n s t a n t e d e t e m p s

τ d i m i n u e ?

5 . c o m m e n t c a l c u l e r i e z - v o u s u2(t)

? N e f a i t e s p a s l e s c a l c u l s , m a i s p r é c i s e z p o i n t

p a r p o i n t v o t r e d é m a r c h e ; e s s a y e z d ' e n t r e v o i r l e s d i c u l t é s d e c e c a l c u l .

T F 2 2

O n a p p l i q u e à u n l t r e p a s s e - b a s d e c o n s t a n t e d e t e m p s τ = RC = 10 [

m s e c ]

u n e t e n s i o n e x p o n e n t i e l l e u1(t) = 10 exp(−at)(t)

a v e c a = 1000[

1 / s e c ]

.

1 . e s q u i s s e z u1(t)

e t u2(t)

;

2 . c a l c u l e z l e s é n e r g i e s c o n t e n u e s d a n s l e s s i g n a u x d ' e n t r é e e t d e s o r t i e .

1

T F 2 3

O n a p p l i q u e u n e i m p u l s i o n d e D i r a c δ(t)

à u n l t r e p a s s e - b a n d e d o n t l a

f o n c t i o n d e t r a n s f e r t v a u t :

H ( jf ) =D0

jf f 0

1 + D0 jf f 0

+ jf f 0

2 D0 ≡ 1

Q0

1 . e s q u i s s e z l e s s p e c t r e s d e s s i g n a u x d ' e n t r é e e t d e s o r t i e ;

2 . e x p r i m e z l ' é n e r g i e d u s i g n a l d e s o r t i e c o n t e n u e d a n s l a b a n d e p a s s a n t e ∆f

s a c h a n t q u e :

f 0 =1

2π√LC = 1 [kH z] D0

≡1

Q0

= 0.1

f i,s =∆f

2

±1 +

1 + 4Q2

0

∆f = f 0D0

1

S i l e c a l c u l d e l ' i n t é g r a l e d é n i e n é c e s s a i r e p o u r o b t e n i r l ' é n e r g i e v o u s p a r a î t t r o p d i c i l e , e s s a y e z

l a d é m a r c h e s u i v a n t e :

a ) e s q u i s s e z l a f o n c t i o n à i n t é g r e r ;

b ) e s t i m e z d e s l i m i t e s r a i s o n n a b l e s p o u r l a v a l e u r d e l ' é n e r g i e ;

c ) à l ' a i d e d ' u n p e t i t p r o g r a m m e ( u n e d o u z a i n e d e l i g n e s ) , i n t é g r e z n u m é r i q u e m e n t l a d e n s i t é

s p e c t r a l e d ' é n e r g i e . S i l e n o m b r e d e p a s e s t s u s a n t , l e r é s u l t a t o b t e n u s e r a t o u t à f a i t

s a t i s f a i s a n t .





T F 2 4

C o n s i d é r a n t l e s p e c t r e X ( jf )

d e l a g u r e 5 . 2 0 c o n s t i t u é d ' u n s i n u s c a r d i n a l

d ' a m p l i t u d e X (0) = 2 ·10−3

e t d e 2 i m p u l s i o n s d e D i r a c d e s u r f a c e 1/2

, t r o u v e z p u i s

e s q u i s s e z l e s i g n a l x ( t ) c o r r e s p o n d a n t .

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

0

5

10

15

20x 10

−4

fréquence [kHz]

X ( j f )

1/21/2

F i g . 5 . 2 0 . : E x e r c i c e T F 2 4

T F 2 5

A p a r t i r d u s i g n a l x(t) = exp(−at)(t)

, t r o u v e z l e s p e c t r e d e y(t) = sgn(t)

.

2 2 0




B i b l i o g r a p h i e

[ 1 ] B . P . L a t h y , L i n e a r S y s t e m s a n d S i g n a l s , B e r k e l e y - C a m b r i d g e P r e s s , C a r m i c h a e l

C A , 1 9 9 2

[ 2 ] F . d e C o u l o n , T h é o r i e e t t r a i t e m e n t d e s s i g n a u x , P r e s s e s p o l y t e c h n i q u e s r o -

m a n d e s , L a u s a n n e , 1 9 8 4

[ 3 ] M . A l o n s o , E . J . F i n n , P h y s i q u e g é n é r a l e : c h a m p s e t o n d e s , E d i t i o n s p é d a g o -

g i q u e s , M o n t r é a l , 1 9 7 0

2 2 1



B i b l i o g r a p h i e

Documents

Analyse des signaux non périodiques