Analyse Analyse dimensionnelledimensionnelle

Pierre GONTARD – Lycée l’Oiselet

38300 BOURGOIN-JALLIEU

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Le système international d’unitésLe système international d’unités

Il repose sur 7 Il repose sur 7 grandeurs grandeurs

fondamentales :fondamentales :

Grandeur Unité SI

Longueur mètre (m)

Temps seconde (s)

Masse kilogramme (kg)

Intensité du courant

ampère (A)

Quantité de matière

mole (mol)

Température kelvin (K)

Intensité lumineuse

candela (cd)

Les unités SI des Les unités SI des autres grandeurs autres grandeurs s’expriment en s’expriment en fonction de ces fonction de ces unités de base.unités de base.

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Le système international d’unitésLe système international d’unités

Exemples :Exemples :

La vitesse (v = d/t) s’exprime en mètre par La vitesse (v = d/t) s’exprime en mètre par seconde mseconde mss-1-1..

L’énergie cinétique (EL’énergie cinétique (Ecc = ½ mv = ½ mv22) s’exprime en ) s’exprime en joule et 1 J = 1 kgjoule et 1 J = 1 kgmm22ss-2-2..

L’unité SI de la concentration molaire (c = n/V) L’unité SI de la concentration molaire (c = n/V) est la mole par mètre cube (molest la mole par mètre cube (molmm-3-3).).

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Notion de dimensionNotion de dimension Les grandeurs qui décrivent un phénomène Les grandeurs qui décrivent un phénomène

physique sont caractérisées par leur « dimension ». physique sont caractérisées par leur « dimension ». Une grandeur peut avoir la dimension d’une masse, Une grandeur peut avoir la dimension d’une masse, d’une énergie, d’une tension électrique…d’une énergie, d’une tension électrique…

La dimension de la grandeur G se note [G] sauf pour La dimension de la grandeur G se note [G] sauf pour les grandeurs de base que sont la longueur, le les grandeurs de base que sont la longueur, le temps, la masse, l’intensité du courant… qui seront temps, la masse, l’intensité du courant… qui seront notées pour simplifier : L, T, M, I, …notées pour simplifier : L, T, M, I, …

La notion de dimension est très générale et ne sup-La notion de dimension est très générale et ne sup-pose aucun choix particulier de système d’unités.pose aucun choix particulier de système d’unités.

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Notion de dimensionNotion de dimension

GrandeurGrandeur DimensionDimension

Longueur LLongueur L

Temps TTemps T

Masse MMasse M

Intensité du courant IIntensité du courant I

Quantité de matière NQuantité de matière N

Température Température

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Analyse dimensionnelleAnalyse dimensionnelle Faire l’analyse dimensionnelle d’une relation Faire l’analyse dimensionnelle d’une relation

consiste à remplacer, dans la relation, chaque consiste à remplacer, dans la relation, chaque grandeur par sa dimension.grandeur par sa dimension.

Exemple : la vitesse est le quotient d’une longueur par Exemple : la vitesse est le quotient d’une longueur par un temps, un temps, l’équation aux dimensionsl’équation aux dimensions s’écrit : s’écrit : [v][v] = = LTLT-1-1..

La dimension d’une grandeur quelconque peut s’expri-La dimension d’une grandeur quelconque peut s’expri-mer à partir des dimensions fondamentales.mer à partir des dimensions fondamentales.

Toute expression doit être homogène, c’est-à-dire que Toute expression doit être homogène, c’est-à-dire que ses deux membres doivent avoir la même dimension.ses deux membres doivent avoir la même dimension.Exemple : dans la relation Exemple : dans la relation EEcc = W = WABAB((&&) les deux ) les deux membres ont la dimension d’une énergie.membres ont la dimension d’une énergie.

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Dimension d’une grandeurDimension d’une grandeur Energie cinétique : EEnergie cinétique : Ecc = ½ mv = ½ mv22

eau

liquide

[E[Ecc] = ?] = ?[E[Ecc] = ML] = ML22TT-2-2

Densité d’un liquide : d =Densité d’un liquide : d =

[d] = ?[d] = ? 1 ][][

[d]

La densité est une grandeur sans dimension.La densité est une grandeur sans dimension.

Masse volumique : Masse volumique : = = Vm

[[] = ?] = ?[[] = ML] = ML-3-3

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Dimension d’une grandeurDimension d’une grandeur Remarque : une grandeur sans dimension peut Remarque : une grandeur sans dimension peut

cependant avoir une unité.cependant avoir une unité.

Exemple : l’unité d’angle, Exemple : l’unité d’angle, dans le système dans le système international, est le radian international, est le radian et [et [] = 1 puisque :] = 1 puisque :

RA

B

RAB

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Dimension d’une grandeurDimension d’une grandeur Dimension d’une force ?Dimension d’une force ?

ABE

F c

Relation que l’on pourra retrouver (plus Relation que l’on pourra retrouver (plus simplement) à partir de la 2simplement) à partir de la 2ee loi de Newton : loi de Newton :

F = ma F = ma ..

On peut exploiter le théorème de la variation On peut exploiter le théorème de la variation de l’énergie cinétique : Ede l’énergie cinétique : Ecc(B) – E(B) – Ecc(A) = W(A) = WABAB((&&))EEcc = = &&ii = F = FABABcos cos si si

= 0= 0

[AB]

][E [F] c ?MLML22TT-2-2LL-1-1 = = MLTMLT-2-2

Remarque : [F] = MLTRemarque : [F] = MLT-2-2 1 N = 1 kg.m.s 1 N = 1 kg.m.s-2-2

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Dimension d’une grandeurDimension d’une grandeur Il peut être parfois relativement difficile d’obtenir le Il peut être parfois relativement difficile d’obtenir le

résultat…résultat…

Exemple : la tension électrique U a pour dimensionExemple : la tension électrique U a pour dimension

[U] = L[U] = L2 2 MM TT-3 -3 II-1-1

résultat qui peut s’obtenir en combinantrésultat qui peut s’obtenir en combinantles différentes relations :les différentes relations :

F = q·E  ; E = U/d  ; q = I·t  ; F = m·a…F = q·E  ; E = U/d  ; q = I·t  ; F = m·a…

On pourra, en général, garder [U] dans l’équation aux On pourra, en général, garder [U] dans l’équation aux dimensions. Ainsi, à partir de la loi d’ohm udimensions. Ainsi, à partir de la loi d’ohm uRR = Ri, on = Ri, on pourra écrire :pourra écrire :

I[U] [R]

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Homogénéité d’une formuleHomogénéité d’une formule Une équation est dite homogène si ses Une équation est dite homogène si ses

deux membres ont la même dimension.deux membres ont la même dimension.

Exemple : « v = dExemple : « v = dt » n’est pas homogène : t » n’est pas homogène :

[v] = LT[v] = LT-1-1 et [d et [dt] = LTt] = LT

La relation v = dLa relation v = dt est donc t est donc faussefausse..

Attention, une expression homogène n’est pas Attention, une expression homogène n’est pas nécessairement juste : Enécessairement juste : Ecc = mv = mv22……

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Homogénéité d’une formuleHomogénéité d’une formule

Le faisceau laser ayant une longueur d’onde Le faisceau laser ayant une longueur d’onde , , parmi les relations suivantes, lesquelles ne sont parmi les relations suivantes, lesquelles ne sont pas homogènes ? pas homogènes ?

aD2 d ; 2aD d ;

a2D d ;

aD2

d2

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Homogénéité d’une formuleHomogénéité d’une formule

[d] = L[d] = L22LL-1-1 = L = L

[d] = L[d] = L22LL-2-2 = 1 = 1 L L

[d] = L[d] = L22LL-1-1 = L = L

[d] = L[d] = L33 L L

La formule correcte est : La formule correcte est :

Mais l’analyse dimensionnelle seule ne permet Mais l’analyse dimensionnelle seule ne permet pas de la retrouver. pas de la retrouver.

aD2

d

aD2 d ; 2aD d ;

a2D d ;

aD2

d2

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Homogénéité d’une formuleHomogénéité d’une formule

Vérifier que la formule : TVérifier que la formule : T00 = 2 = 2est homogène.est homogène.

Formule où TFormule où T00 représente la période représente la période

des oscillations d’un pendule simple, des oscillations d’un pendule simple, sa longueur et g l’intensité de la sa longueur et g l’intensité de la pesanteur.pesanteur.

g

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Homogénéité d’une formuleHomogénéité d’une formule

TT00 = 2 = 2g

L’expression est homogène si : [TL’expression est homogène si : [T00] = ] =

g

[T[T00] = ] = TT ; [ ; [] = L] = L

P = mg P = mg g = P/m g = P/m

[g] = [F]/[m] = MLT[g] = [F]/[m] = MLT-2-2MM-1-1 = LT = LT-2-2

[[/g] = LT/g] = LT22LL-1-1 = T = T22 et donc = et donc = TT

g

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Autre règle importanteAutre règle importante Pour respecter l’homogénéité d’une Pour respecter l’homogénéité d’une

relation, on ne peut ajouter que des relation, on ne peut ajouter que des grandeurs de même dimension.grandeurs de même dimension.

Exemples : EExemples : Ecc + E + Epp = E ; u = E ; uRR + u + uCC = 0 … = 0 …

Une relation telle que : (1)Une relation telle que : (1)

n’est correcte que si : [n’est correcte que si : [] =] =

0 N dtdN

?? TT-1-1

car :car : TN

dtdN

(1) Forme différentielle de la loi de décroissance radioactive ( : constante radioactive).