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Analyse et Correction des Syst ` emes Num ´ eriques Florent Nageotte Fomation d’Ing ´ enieurs en Partenariat 2A Ann ´ ee Universitaire 2007/2008 Florent Nageotte () 1 / 209

Analyse et Correction des Systèmes Numériques

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Page 1: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse et Correction des Systemes Numeriques

Florent Nageotte

Fomation d’Ingenieurs en Partenariat 2A

Annee Universitaire 2007/2008

Florent Nageotte () 1 / 209

Page 2: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction

Automatique

phenomenes-physiques-electroniques-mecaniques

signaux d’entree signaux de sortiesysteme

-chimiques-etc.

Automatique

I Modelisation, representation, analyse et correction des systemesI Donner comportement desire au systeme

Florent Nageotte () 2 / 209

Page 3: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction

Automatique

ExempleDouche

I Sans controle de la temperatureI Controle manuelI Controle automatique

Objectifs

I Stabilisation de la temperature → stabiliteI temperature demandee → erreur nulleI en peu de temps → rapidite du systemeI sans passer par 50˚ → Depassement raisonnable

Mais aussi : comportement dynamique (marge de phase, amortissement,depassement), rejet de perturbations, suivi de trajectoires, etc.

Commande du processus en fonction

I de la difference entre ce qui est demande et mesureI des caracteristiques du systeme (modele)

Florent Nageotte () 3 / 209

Page 4: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Systemes asservis

Systemes asservis

ym(t)

v(t)

H(s)

G(s)

w(t)

u(t)C(s)

ε(t)+

- +

+

+

+

r(t)

δy(t)

y(t)++

DenominationsI signaux : r ?, u ?, y ?, ym ?, ε ?, w ?, δy ?, v ?I blocs : C ?, G ?, H ?I chaınes : directe ?, de retour ?, boucle ouverte ?, boucle fermee ?

Florent Nageotte () 4 / 209

Page 5: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Systemes asservis

Systemes asservis

ym(t)

v(t)

H(s)

G(s)

w(t)

u(t)C(s)

ε(t)+

- +

+

+

+

r(t)

δy(t)

y(t)++

DenominationsI signaux : r : consigne, u : commande, y : sortie, ym : signal de mesure ou sortie

mesuree, ε : signal d’ecart ou d’erreur, w : perturbation d’entree ou de charge, δyperturbation de sortie, v : perturbation de mesure,

I blocs : C : correcteur, G : processus, H : capteurI chaınes : directe : CG, de retour : H, boucle ouverte : CGH, boucle fermee :

CG(s)1+CGH(s)

Florent Nageotte () 4 / 209

Page 6: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

Systemes a commande numerique

Te v(t)

+

+H(s)

G(s)y(t)

w(t)Te

CNA

CAN

partie numerique partie analogique

u(kTe)C(z)

ym(kte)

-

+r(kTe) ε(kTe)+u(t)

+

Pourquoi ?

I Capteurs numeriques (ex : cameras)I Developpement des ordinateurs : possibilites d’algorithmes complexes

Florent Nageotte () 5 / 209

Page 7: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

Systemes a commande numerique

avantages

I Cout faibleI Moindre sensibilite aux bruitsI Implementation et

modifications simplesI Supervision, commande a

distance

inconvenientsI limites en bande passanteI gestion de deux types de

signaux : analogiques etnumeriques

Florent Nageotte () 6 / 209

Page 8: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

Rappels d’automatique continue

I Systeme lineaire G(s) continu (analogique) invariant dans le temps (LTI)

Notion Signification

BIBO Stabilite Entree bornee −→ sortie bornee

Les poles de la fon-cion de transfert sonta partie reelle stricte-ment negative

Gain statique Gain du systeme pour une excita-tion de frequence nulle

lims→0 G(s) oulimω→0 |G(jω)|

Ordre d’un systemelineaire

Ordre de l’equation differentielle quidonne la relation entre entree et sor-tie du systeme

Classe d’un systeme Nombre d’integrateurs dans la fonc-tion de transfert

Nombre de poles enzero

Pole(s) dominant(s) Pole(s) le(s) plus lent(s) du systemepole(s) le(s) plusproche(s) de l’axeimaginaire

CausaliteLa sortie du systeme reagit apresl’application d’un signal a l’entree

Systeme propre Systeme a bande passante finie, i.e.realisable physiquement

nombre de poles ≥nombre de zeros

Florent Nageotte () 7 / 209

Page 9: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

I Systeme continu en boucle fermee

Notion SignificationFonction de transfertde la BF

F (s) = G(s)1+G(s)H(s)

Erreur

Difference entre signal de consigneet signal mesure. Attention : parfoisdifference entre signal de referenceet signal de sortie

Erreur d’ordre nErreur en regime permanent enreponse a un signal d’entree de laforme tnΓ(t)

Erreur statique Erreur d’ordre zerolims→0 ε(s) quandr(t) = Γ(t)

Florent Nageotte () 8 / 209

Page 10: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

I Correction des systemes

Notion Signification

Compensation poles/ zeros

Placement d’un zero du correcteursur un pole du procede

Faisable unique-ment pour des polesstables

Annulation de l’erreurd’ordre n

CG de classe ≥ n + 1Annulation de l’erreurstatique CG de classe ≥ 1

Gain statique unitaireerreur statique nulle + retour unitaireou prefiltre de gain 1+G(0)H(0)

G(0)

lims→0 ε(s) quandr(t) = Γ(t)

Rejet de perturbationde sortie d’ordre n

C(s)G(s) de classe n + 1Rejet de perturbationd’entree d’ordre n

C(s) de classe n + 1

Florent Nageotte () 9 / 209

Page 11: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

I Correcteurs classiques

Paugmentation de la bande passantemais diminution des marges de sta-bilite

C(s) = Kp

PI

Annulation de l’erreur statique, re-jet de perturbations, reglage dela bande passante mais diminutiondes marges de stabilite

C(s) = Kp + KiTi s

= K (s+z)s

PD reelreglage de la bande passante et desmarges de stabilite, pas de reglagede la precision

C(s) = Kp + Kd τd s1+aτd s = K (s+z)

s+p(a � 1 et z � p)

PID reelreglage de la bande passante, desmarges de stabilite, et reglage de laprecision

C(s) = Kp + KiTi s

+ Kd τd s1+aτd s =

K (s+z1)(s+z2)s(s+p)

(a � 1, z1 ≤ z2 �p)

Florent Nageotte () 10 / 209

Page 12: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 11 / 209

Page 13: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 11 / 209

Page 14: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 11 / 209

Page 15: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

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Page 16: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

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Page 17: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

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Page 18: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Introduction Correction numerique

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 11 / 209

Page 19: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - NumeriqueConversion analogique - numeriqueReconstruction des signaux echantillonnes

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 12 / 209

Page 20: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Conversion analogique - numerique

t

f (t)

t

f (t)

Te

∆q

quantificationde pas ∆q

echantillonnage de periode Te

t

f (t)

t

f (t)

I EchantillonnageI Quantification

Florent Nageotte () 13 / 209

Page 21: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - NumeriqueConversion analogique - numeriqueReconstruction des signaux echantillonnes

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 14 / 209

Page 22: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique

Echantillonnage ideal

Prelevement d’une valeur du signal continu a periode fixe Te.Schema :

Te

Representation mathematique : multiplication par un peigne de Dirac

fe(t) = f (t)δTe (t)

δTe (t) =∞X

k=−∞

δ(t − kTe)

tTe

δTe(t)

Florent Nageotte () 15 / 209

Page 23: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique

Transformee de Laplace d’un signal echantillonne

Rappel : Transformee de Laplace Unilaterale (signal continu)

L(f (t)) = F (s) =

Z +∞

0f (t)e−stdt

Formulation 1 : TL d’un signal echantillonne causal Fe(s) =∞X

k=0

f (kTe)e−kTes

Formulation 2 : TL d’un signal echantillonne Fe(s) =1Te

+∞Xk=−∞

F (s − j2πkTe

)

Florent Nageotte () 16 / 209

Page 24: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique

formulation 1

Fe(s) = L(fe(t)) =

Z +∞

0fe(t)e−stdt =

Z +∞

0(

∞Xk=−∞

f (kTe)δ(t − kTe))e−stdt

Causalite du signal f → on ramene la somme discrete de 0 a ∞, puis en inversantsomme et integrale, on obtient :

Fe(s) =+∞Xk=0

(

Z +∞

0f (kTe)δ(t − kTe)e−stdt) =

∞Xk=0

f (kTe)

Z +∞

0δ(t − kTe)e−stdt

Ou on reconnaıt la transformee de Laplace de l’impulsion de dirac decalee dans letemps :

Fe(s) =∞X

k=0

f (kTe)L(δ(t − kTe))

Or la transformee de Laplace de l’impulsion de Dirac vaut

L(δ(t − kTe)) =

e−kTes si k ≥ 00 sinon

D’ou finalement :

Fe(s) =∞X

k=0

f (kTe)e−kTes

Florent Nageotte () 17 / 209

Page 25: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique

formulation 2Decomposition du peigne en serie de Fourier :

δTe (t) =∞X

k=−∞

ck ej 2πktTe ck =

1Te

Z +− Te2

− Te2

δTe (t)e−j 2πkt

Te dt

Des proprietes de l’impulsion de Dirac on deduit simplement que

ck =1Te

=⇒ δTe (t) =∞X

k=−∞

1Te

ej 2πktTe

La transformee de Laplace de fe s’exprime donc :

Fe(s) =

Z +∞

0(

+∞Xk=−∞

1Te

ej 2πktTe )f (t)e−stdt

=1Te

+∞Xk=−∞

(

Z ∞

0f (t)e−(s−j 2πk

Te)tdt)

ou on reconnaıt la transformee de Laplace du signal continu decalee :

Fe(s) =1Te

+∞Xk=−∞

F (s − j2πkTe

)

Florent Nageotte () 18 / 209

Page 26: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique

Spectre d’un signal echantillonne

Transformee de Fourier d’un signal continu : decomposition sur une based’exponentielles complexes

F (jω) =

Z +∞

−∞f (t)e−jωtdt

Transformee de Laplace bilaterale avec s = jωTransformee de Fourier d’un signal echantillonne (formulation 2)

Fe(jω) =1Te

+∞Xk=−∞

F (j(ω − 2πkTe

))

Spectre (densite spectrale d’amplitude) du signal echantillonne :I somme du spectre du signal continu periodise (periode ωe = 2π

Te).

I module multiplie par 1Te

I plusieurs ”bandes” de largeur ωe.I bande autour de ω = 0 : bande de base.I Bandes complementaires

Florent Nageotte () 19 / 209

Page 27: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique

Cas ωm < ωe2 : Module

ATe

A

-1-2 1 2

−ωm ωm

−2ωe −ωe ωe

ω

−ωe2

ωe2

2ωe

|F (jω)|

|Fe(jω)|

ω

bande de base

bandes complementaires

Spectres disjoints

Florent Nageotte () 20 / 209

Page 28: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique

Cas ωm < ωe2 : phase

ϕ(F )

ϕ(Fe)

ωm

−ωm

ωe 2ωe−ωe−2ωe

ω

ω

Florent Nageotte () 21 / 209

Page 29: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique

Cas ωm > ωe2

A

ATe

ωm ω

ω2ωeωe−ωe

ωe2

−ωm

−ωe2

−2ωe

Spectres superposes localement : repliement spectral (”aliasing”)Florent Nageotte () 22 / 209

Page 30: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique

Echantillonnage reel

Acquisition du signal continu surune fenetre de largeur finie

fereel(kTe) =1Tr

Z kTe

kTe−Tr

f (t)dt

TeTr

valeur de l’echantillon

f (t)

Effet sur un signal harmonique

f (t) = A sin (ωt)

feid(kTe) = A sin (ωkTe)

fereel(kTe) =1Tr

Z kTe

kTe−Tr

A sin (ωt)dt

= Asinc(ωTr

2) sin (ωkTe − ω

Tr

2)

Florent Nageotte () 23 / 209

Page 31: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Conversion analogique - numerique

Echantillonnage reel (suite)

EffetsI amplitude multipliee par˛

sinc(ωTr2 )

˛I dephasage de ϕ = −ω Tr

2 ⇐⇒retard de Tr

2

conclusionI Pour diminuer la distorsion :

diminuer Tr

I Echantillonnage considere ideal siTr < Te

10

Florent Nageotte () 24 / 209

Page 32: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - NumeriqueConversion analogique - numeriqueReconstruction des signaux echantillonnes

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 25 / 209

Page 33: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Principe de la reconstruction (conversion NA)

CNA

Te

f (t) fe(t) fr(t)

Objectif : fr (t) = f (t)∀t

Florent Nageotte () 26 / 209

Page 34: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Principe de la reconstruction (conversion NA)

CNA

Te

f (t) fe(t) fr(t)

Objectif : fr (t) = f (t)∀tImpossible dans le cas general : exemple

Te

f (kte) = g(kTe) = Ag(t) = A + sin(2π t

Te)

f (t) = A

Il faut une condition supplementaire sur le signal

Florent Nageotte () 26 / 209

Page 35: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Reconstruction idealeI cas ωm < ωe

2 Filtrage passe-bas ideal

H(jω) =

0 si |ω| > ωe

2Te si |ω| ≤ ωe

2

ATe

-1-2 1 2

Apasse-basfiltrage

Te

ω

ω

2ωeωe−ωe−2ωe

−ωe2

ωe2

|Fe(ω)|

|Fr(ω)|

Florent Nageotte () 27 / 209

Page 36: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Theoreme de Shannon - Nyquist

I cas ωm > ωe2

Reconstruction ideale impossible : on ne peut pas extraire le spectre du signalcontinu par filtrage passe-bas

TheoremeSoit un signal continu f (t) dont le spectre est contenu dans l’intervalle de frequence[−fm, +fm], echantillonne a la frequence fe (periode Te). Pour pouvoir reconstruire lesignal f sans perte a partir des echantillons f (kTe), il faut que fe > 2fm, ou encore quefm < fe

2 . Ces conditions seront appelees conditions de Shannon et on appellerafrequence de Nyquist fN = fe

2 la frequence maximale du signal continu pour laquelle iln’y a pas de repliement spectral.

Florent Nageotte () 28 / 209

Page 37: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Expression temporelle de la reconstruction ideale

Fr (jω) = H(jω)Fe(jω)

fr (t) = F−1(Fr (jω)) = F−1(H(jω)) ∗ F−1(Fe(jω)) = h(t) ∗ fe(t)

h(t) = F−1(H(jω)) =1

Z +∞

−∞H(jω)ejωtdω

=1

Z + ωe2

−ωe2

Teejωtdω =Te

πtsin(

πtTe

) = sinc(πtTe

)

fr (t) = h(t) ∗ fe(t) =

Z +∞

−∞fe(x)h(t − x)dx =

Z +∞

−∞

+∞Xk=−∞

f (kTe)δ(x − kTe)h(t − x)dx

=+∞X

k=−∞

Z +∞

−∞f (kTe)δ(x − kTe)h(t − kTe)dx

fr (t) =+∞X

k=−∞

f (kTe)sinc(π(t − kTe)

Te)

Florent Nageotte () 29 / 209

Page 38: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Exemple de reconstruction ideale : f (t) = sin(2πt), Te = 0.2sech. 1 a 2 ech. 1 a 10

ech. 1 a 20 ech. 1 a 100

Florent Nageotte () 30 / 209

Page 39: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Reconstruction avec repliement spectral : f (t) = sin(2πt), Te = 0.6sech. 1 a 2 ech. 1 a 10

ech. 1 a 20 ech. 1 a 100

Florent Nageotte () 31 / 209

Page 40: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Filtrage anti-repliement

I Choisir Te pour que le theoreme de Shannon soit verifie pour les frequences utilesdu signal

I Filtrer les signaux analogiques avant echantillonnage de sorte a eliminer les bruitsayant des frequences au-dela de la frequence de Nyquist

Florent Nageotte () 32 / 209

Page 41: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Reconstruction approchee

H(jω) filtre a phase nulle non causal : il faut connaıtre tous les echantillons pourreconstruire le signal → Pas utilisable en temps-reelEn pratique les convertisseurs numerique - analogique font un blocage de la valeurechantillonnee pendant une periode d’echantillonnage : Bloqueur d’ordre zero : BOZ

f (t)

fBOZ (t)

Florent Nageotte () 33 / 209

Page 42: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Effet du BOZ

Reponse impulsionnelle du BOZ :

B0(t) = Υ(t)−Υ(t − Te)

B0(s) =1− e−Tes

sSpectre du signal reconstruit par BOZ

Fr (jω) = B0(jω)Fe(jω) =1− e−Te jω

jω1Te

+∞Xk=−∞

F (j(ω − kωe))

Dans les conditions de Shannon, dans la bande de base (pour ω ∈ [−ωe2 , ωe

2 ])

Fr (jω) = e−jω Te2 sinc(ω

Te

2)F (jω)

I module deforme par˛sinc(ω Te

2 )˛

(0.63 en limite de bande)

I retarde de Te2

Florent Nageotte () 34 / 209

Page 43: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Spectre du signal reconstruit par BOZ

|F (jω)|

ωωe

|Fr(jω)|

ωe2

∣∣sinc(ωTe2 )

∣∣

Florent Nageotte () 35 / 209

Page 44: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Effet du BOZ (suite)

ConclusionI L’effet du bloqueur d’ordre zero est genant lorsque le spectre du signal initial a une

composante spectrale importante en limite de la bande de base.I L’effet est diminue lorsque Te devient petit.I Le spectre du signal reconstruit a des composantes non-nulles en dehors de la

bande de base =⇒ Filtrage eventuel des bandes complementaires apresreconstruction

Florent Nageotte () 36 / 209

Page 45: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique Reconstruction des signaux echantillonnes

Conclusion

Conversion Analogique - Numerique

I periodisation du spectre du signal analogiqueI repliement spectral si fm > fe

2

I echantillonnage ideal si Tr � Te

I Filtrage anti-repliement necessaire avant l’echantillonnage

Conversion Numerique - Analogique

I Reconstruction ideale possible si fm < fe2

I Reconstruction approchee par BOZ

Florent Nageotte () 37 / 209

Page 46: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriquesTransformees en zTransmittance des systemes echantillonnes

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 38 / 209

Page 47: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques

Introduction

Representation des systemes analogiques lineaires :Fonction de transfert : transformee de Laplace de la reponse impulsionnelle dusysteme

u(t) y(t)g[.]

Y (s) = L(y(t)) = L(g(t))L(u(t)) = G(s)U(s)

y(t) = g(t) ∗ u(t)

Passage en echantillonne : La transformee de Laplace ne permet plus de lineariser lesrelations entree - sortie. Necessite d’une autre transformation : la transformee en z

Florent Nageotte () 39 / 209

Page 48: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques

Systeme numerique lineaire

Les systemes numeriques lineaires sont definis par une equation recurrente entresortie y et entree u pour tout echantillon k

nXi=0

aiy(k − i) =mX

j=0

bju(k − j)

Exemple :2y [k ] + y [k − 1]− y [k − 2] = u[k ]− u[k − 1]

Equation recurrente d’ordre 2. Trouver l’expression de la sortie y si l’entree est unechelon unitaire :

u(k) =

0 si k < 01 si k ≥ 0

avec les CI suivantes : y [−2] = 1, y [−1] = 1

Florent Nageotte () 40 / 209

Page 49: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriquesTransformees en zTransmittance des systemes echantillonnes

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 41 / 209

Page 50: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Transformee en z (monolaterale) d’un signal echantillonne

DefinitionLa transformee en z (monolaterale) d’un signal fe(t) echantillonne a periode Te est latransformee de Laplace (monolaterale) du signal, dans laquelle on a effectue lechangement de variable z = eTes.

Transformee de Laplace de fe(t) (formulation 1)

Fe(s) =∞X

k=0

f (kTe)e−kTes

F (z) = Z{fe(t)} =k=+∞X

k=0

f (kTe)z−k

NotationsTransformee en z de fe(t) ou de f (kTe) ou de f (k) : Z{f (k)} = F (z) = Z{F (s)}

Florent Nageotte () 42 / 209

Page 51: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Transformee en z (monolaterale) d’un signal echantillonne

Remarques

I La TZ est une fonction de la variable complexe z. Elle n’existe que la ou la serieentiere

Pk=+∞k=0 f (kTe)z−k est convergente. La plupart du temps la zone de

convergence est l’exterieur d’un disque de rayon R0. Rigoureusement, la TZ doitetre accompagnee de son rayon de convergence

I On peut calculer la transformee en z d’un signal continu echantillonne a periodeTe. La TZ depend de Te.

I La TZ d’un signal non causal n’a pas de sensI La TZ ne contient des informations sur le signal qu’aux instants d’echantillonnage

exerciceCalculez et comparez les TZ de f et g.

I f (t) = AI g(t) = A + sin(2πft) avec f = 10 Hz

si la periode d’echantillonnage est choisie a Te = 0.1s tout d’abord, puis aTe = 0.025s.

Florent Nageotte () 43 / 209

Page 52: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Proprietes de la transformee en z

Proprietes

LineariteZ{αf (k) + βg(k)} = αF (z) + βG(z)

RetardI Pour des signaux causaux ,

Z{f (k − n)} = z−nF (z) ∀n ∈ N

De plusZ{e−nTesF (s)} = z−nF (z)

I Pour des signaux non causaux (CI non nulles)

Z{f (k − n)} = z−nF (z) +n−1Xi=0

f (i − n)z−i ∀n ∈ N

Avance

Z{f (k + n)} = znF (z)−n−1Xi=0

f (i)zn−i∀n ∈ N

Valable pour signaux causaux et non causaux.Florent Nageotte () 44 / 209

Page 53: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Proprietes de la transformee en z

Proprietes (suite)

Multiplication par une rampe / derivation

Z{kf (k)} = −zdF (z)

dz

Multiplication par une exponentielle

Z{e−ak f (k)} = F (zea)

Theoreme de la valeur finale

limk→∞

f (kTe) = limz→1

(1− z−1)F (z)

Attention ! ! Valable uniquement quand f (kTe) converge a l’infini, i.e.quand 1 est dans la region de convergence de la TZContre-exemple : f (k) = 2k , F (z) = z

z−2

Theoreme de la valeur initiale

limt→0

f (t) = limk→0

f (kTe) = limz→+∞

F (z)

Florent Nageotte () 45 / 209

Page 54: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Proprietes de la transformee en z

Proprietes (fin)

Convolution

(f ∗ g)(k) =+∞X

n=−∞

f (k − n)g(n) =+∞X

n=−∞

f (n)g(k − n)

Si f et g sont causales ((f ∗ g)(k) =kX

n=0

f (n)g(k − n)) alors :

Z{(f ∗ g)} = F (z)G(z)

remarque : le theoreme du retard montre que les retards multiples d’une perioded’echantillonnage sont linearises par la TZ.

Florent Nageotte () 46 / 209

Page 55: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Transformee en z inverse

4 methodes de calcul

1. Formule d’inversion

2. Utilisation de tables

3. Decomposition en elements simples de F (z)z

4. Division polynomiale selon les puissances de z−1

Formule d’inversionI

f (k) = Z−1{F (z)} =1

2πj

F (z)zk−1dz

Γ est un contour ferme du plan complexe contenant toutes les singularites deF (z).

I calcul par la methode des residusI Jamais utilisee en pratique

Florent Nageotte () 47 / 209

Page 56: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Transformee en z inverse

Tables de transformeesI Repertorie les TZ (et TL) de la plupart des signaux rencontresI Les TZ sont des fractions rationnelles en z : F (z) = Num(z)

Den(z)avec

deg(Den) ≥ deg(Num)

I difficiles a utiliser pour les fonctions temporelles complexes

Decomposition en elements simples

I Decomposition de F (z)z (fraction rationnelle) en elements simples (poles

complexes) : F (z)z =

Pni=0

A(z−ai )

pi (en general pi = 1 ou pi = 2)

I Donc F (z) =Pn

i=0Az

(z−ai )pi

I Utilisation des TZ inverses de Az(z−ai )

pi et de la linearite

I Souvent la meilleure methode

Florent Nageotte () 48 / 209

Page 57: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Transformee en z inverse

Division polynomiale

I Mettre F (z) sous forme de fraction rationnelle en z−1 : F (z) = N(z−1)

D(z−1)=

Pmi=0 bi z

−iPnj=0 aj z−j

I Calculer le resultat de la division polynomiale selon les termes croissants de z−1

I On obtient F (z) sous forme de polynome de degre infini en general :F (z) = c0 + c1z−1 + ... + ck z−k + ...

I On reconnaıt la transformee en z de la sequence : f (0) = c0, f (1) = c1, ...

I Ne permet pas de determiner directement le nieme termeI Facile a programmer de facon systematiqueI Calcul a la main : a reserver au calcul des premiers termes pour verification

Florent Nageotte () 49 / 209

Page 58: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Exemple de calcul des TZ inverses

Calculez la transformee inverse de 2zz2−2z+3 a l’aide :

I de la decomposition en elements simplesI des tables de transformeesI de la division polynomiale

Florent Nageotte () 50 / 209

Page 59: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Resolution des equations aux differences

nXi=0

aiy(k − i) =mX

j=0

bju(k − j)

Y (z) = Z{y(k)} et U(z) = Z{u(k)}Sachant que Z{y(k − i)} = z−iY (z) +

Pi−1l=0 z−ly [l − i], la transformee en z de

chaque terme de l’equation donne :

nXi=0

aiz−iY (z) +n−1Xl=0

clz−l =mX

j=0

bjz−jU(z) +m−1Xp=0

dmz−m

On obtient Y (z) sous forme de fraction rationnelle

Y (z) =

Pmj=0 bjz−jPni=0 aiz−i

U(z) +PPn

i=0 aiz−i

ou P est un polynome en z de degre ≤ max(n, m). Finalement, y(k) est obtenu partransformee en z inverse.remarque : equivalent si l’eq. est donnee avec des avances au lieu de retards

Florent Nageotte () 51 / 209

Page 60: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transformees en z

Exercice :2y [k ] + y [k − 1]− y [k − 2] = u[k ]− u[k − 1]

avecu(k) = Υ[k ]

et y [−2] = 1 et y [−1] = 1.Determinez l’expression temporelle de y(k). Comparez avec le resultat obtenu parresolution manuelle de l’equation aux recurrences.

Florent Nageotte () 52 / 209

Page 61: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriquesTransformees en zTransmittance des systemes echantillonnes

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 53 / 209

Page 62: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Systeme a temps discret (entree et sortie numerique)

u(k)

u(kTe) y(kTe)g[.]

y(k)

nXi=0

aiy(k − i) =mX

j=0

bju(k − j)

Transformee en z de chaque terme en supposant conditions initiales nulles

Y (z) =

Pmj=0 bjz−jPni=0 aiz−i

U(z)

DefinitionLa transmittance discrete egalement appelee fonction de transfert a temps discret oufonction de transfert en z d’un systeme numerique lineaire est la fraction rationnelle :

G(z) =Y (z)

U(z)

en prenant les CI nulles.Florent Nageotte () 54 / 209

Page 63: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Systeme a temps discret (entree et sortie numerique)

Proprietes

I G(z) est la transformee en z de la reponse impulsionelle du systeme g(k). Eneffet l’impulsion unite est

u(k) = δ(k) =

1 si k = 00 sinon

et U(z) = 1.I D’apres le theoreme de la convolution discrete, par transformee en z inverse :

y(k) = (g ∗ u)(k) =+∞X

n=−∞

g(n)u(k − n)

Pour un systeme causal (g(n) = 0∀n < 0), on obtient :

y(k) =+∞Xn=0

g(n)u(k − n)

Florent Nageotte () 55 / 209

Page 64: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Transmittance echantillonneeSysteme a entree echantillonnee et sortie continue ou echantillonnee

u(k)

u(kTe)

u(t)

Te

Te

y(kTe)

y(t)

y(k)

G(s)

Ye(s) = (G(s)Ue(s))e =1Te

+∞Xk=−∞

Y (s − jkωe)

=1Te

+∞Xk=−∞

G(s − jkωe)Ue(s − jkωe)

Ue(s) =1Te

+∞Xk=−∞

U(s − jkωe) =⇒ Ue(s − jkωe) = Ue(s) ∀k

=⇒ Ye(s) = Ge(s)Ue(s)

Changement de variable z = eTes =⇒ Y (z) = G(z)U(z)Florent Nageotte () 56 / 209

Page 65: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Transmittance echantillonnee

DefinitionI La fonction de transfert en z d’un systeme a entree echantillonnee est :

G(z) =Y (z)

U(z)= Z{G(s)}

ou G(s) est la transformee de Laplace de la reponse impulsionnelle du systeme.I Valable si la sortie du systeme est continue ou echantillonnee. Attention, seule la

sortie aux instants d’echantillonnage est representee, on ne sait pas ce qu’il sepasse entre les echantillons

ExerciceCalculez la fonction de transfert echantillonee d’un BOZ.

Florent Nageotte () 57 / 209

Page 66: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Transmittance echantillonnee (suite)Systeme a entree analogique

Te

y(kTe)

y(t)u(t)

y(k)

G(s)

Y (s) = G(s)U(s)

Ye(s) =1Te

+∞Xk=−∞

G(s − jkωe)U(s − jkωe)

U(s) n’est pas periodique : On n’a pas

Ye(s) = Ge(s)Ue(s)

Y (z) = Z(G(s)U(s)) 6= Z(G(s))Z(U(s))

Florent Nageotte () 58 / 209

Page 67: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Conclusion

I On peut representer un systeme par une fonction de transfert en z si son entreeest echantillonnee.

I La fonction de transfert en z est alors la transformee en z de la reponseimpulsionnelle du systeme

Florent Nageotte () 59 / 209

Page 68: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Causalite des systemes

Systeme numerique G causal (entree u, sortie y )

DefinitionSi u(k) = 0 ∀k < k1 alors y(k) = 0 ∀k < k1 ⇐⇒ g(k) = Z−1{G(z)} = 0 ∀k < 0 (lesignal g(t) est causal)

u(k) = 0∀k < 0

y(k) = (g ∗ u)(k) =+∞X

n=−∞

g(k − n)u(n) =+∞Xn=0

g(k − n)u(n)

y(k) = 0∀k < 0 ⇐⇒ g(k) = 0∀k < 0 alors

y(k) = (g ∗ u)(k) =kX

n=0

g(k − n)u(n)

Florent Nageotte () 60 / 209

Page 69: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Causalite des systemes

I Si

G(z) =

Pmj=0 bjz−jPni=0 aiz−i

alors

y(k) =1a0

(mX

j=0

bju(k − j)−nX

i=1

aiy(k − i))

causal si a0 6= 0.I Si

G(z) =

Pmj=0 bjz jPni=0 aiz i

alors causal si n ≥ m.

ConclusionLes systemes reels sont causaux et donc

I Le terme constant du denominateur est non nul si G(z) est ecrit en puissance dez−1 (G(z) = Num(z−1)

Den(z−1))

I deg(Den) ≥ deg(Num) si G(z) est ecrit en puissances de z (G(z) = Num(z)Den(z)

).

Florent Nageotte () 61 / 209

Page 70: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Calcul des fonctions de transfert en z des systemes ouverts

G1(s) G2(s)y(t)u(kTe)u(t)

G(s)

G2(s)y(t)u(t) u(kTe)

G1(s)

G(s)

Te Te

Florent Nageotte () 62 / 209

Page 71: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Calcul des fonctions de transfert en z des systemes ouverts (suite)Cas d’un systeme analogique avec BOZ

y(t)u(kTe)u(t)B0(s) G(s)

F (s)

Y (z) = Z{G(s)B0(s)}U(z)

GB0(s) =1− e−Tes

sG(s) =

G(s)

s− G(s)e−Tes

sDonc

Z{G(s)B0(s)} = Z{G(s)

s} − Z{G(s)e−Tes

s}

D’apres le theoreme du retard,

Z{G(s)e−Tes

s} = z−1Z{G(s)

s}

Finalement : Y (z) = (1− z−1)Z{G(s)

s}U(z)

Florent Nageotte () 63 / 209

Page 72: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Calcul des fonctions de transfert en z des systemes boucles

+

ε(t) εe(t)

ym(t)

G(s)y(t)

H(s)

Ter(t)

+

re(t)Te

G(s)y(t)

H(s)ym(t)

Te

yme(t)

r(t) εe(t)

Florent Nageotte () 64 / 209

Page 73: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

+

r(k)C(z)

u(k)ε(k)B0(s) G(s)

ym(k)

Te

H(s)

y(t)u(t)

+

+

+

++

-

r(k)ε(k)

C(z)u(k)

B0(s)u(t)

G(s)

p(t)G2(s)

y(t)

Te

ye(t)

H(s)

Te

n(k)

ym(k)

Florent Nageotte () 65 / 209

Page 74: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Solutions (1/2)

+

ε(t) εe(t)

ym(t)

G(s)y(t)

H(s)

Ter(t)

FTBF (z) =Z{G(s)}

1 + Z{GH}

+

re(t)Te

G(s)y(t)

H(s)ym(t)

Te

yme(t)

r(t) εe(t)

FTBF (z) =Z{G(s)}

1 + Z{GH}Florent Nageotte () 66 / 209

Page 75: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Solutions (2/2)+

r(k)C(z)

u(k)ε(k)B0(s) G(s)

ym(k)

Te

H(s)

y(t)u(t)

FTBF (z) =C(z)Z{B0(s)G(s)}

1 + C(z)Z{B0(s)G(s)H(s)}

+

+

+

++

-

r(k)ε(k)

C(z)u(k)

B0(s)u(t)

G(s)

p(t)G2(s)

y(t)

Te

ye(t)

H(s)

Te

n(k)

ym(k)

Y (z) =C(z)Z{B0(s)G(s)}

1 + C(z)Z{B0(s)G(s)H(s)}(R(z)− N(z)) + Z{G2P} −

C(z)Z{B0G}Z{G2HP}1 + C(z)Z{B0GH}

Florent Nageotte () 67 / 209

Page 76: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Representation des systemes numeriques Transmittance des systemes echantillonnes

Analogie continu / numerique

Analogique Numerique

nXi=0

aid iydt i =

mXj=0

bjd judt j

nXi=0

aiy [k − i] =mX

j=0

bju[k − j]

G(s) = L(g(t)) =Y (s)

U(s)=

Pmj=0 bjsjPni=0 aisi

G(z) = Z{g(t)} =Y (z)

U(z)=

Pmj=0 bjz−jPni=0 aiz−i

Florent Nageotte () 68 / 209

Page 77: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 69 / 209

Page 78: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 70 / 209

Page 79: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Relations entre systeme continu et echantillonne

u(k)

u(kTe)

u(t)

Te

Te

y(kTe)

y(t)

y(k)

G(s)

Ge(s) =Ye(s)

Ue(s)=

1Te

+∞Xk=−∞

G(s − jkωe)

Les poles en s de Ge sont les poles de G periodises selon l’axe imaginaire (periode ωe)

Florent Nageotte () 71 / 209

Page 80: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Re(s)

jωe

−jωe

2jωeIm(s)

−2jωe

Florent Nageotte () 72 / 209

Page 81: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Relations entre systeme continu et echantillonne

DefinitionLes poles, resp. les zeros d’une fonction de transfert echantillonnee sont les poles,resp. les zeros, de la fraction rationnelle G(z).

Poles en zLes poles de differentes bandes issus d’un meme pole en s se recondensent en unseul pole en z.

=⇒ A chaque pole de G(s) correspond un pole de G(z)

Florent Nageotte () 73 / 209

Page 82: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Re(s)

Im(s)

jωe

−jωe

Florent Nageotte () 74 / 209

Page 83: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Relations entre poles en s et poles en z

ExempleG(s) = 2(s+5)

s2(s+1+j)(s+1−j)Par decomposition en elements simples puis transformee en z, on obtient :G(z) = −5zTe

(z−1)2 + 4zz−1 + (−2+0.5j)z

z−e(−1−j)Te + (−2−0.5j)zz−e(−1+j)Te = Az3+Bz2+Cz+D

(z−1)2(z−e(−1−j)Te )(z−e(−1+j)Te )

I les poles de la fonction de transfert numerique sont en eTepi ou les pi sont lespoles de la fonction de transfert analogique

I la fonction de transfert numerique a 3 zeros alors que la fonction de transfertcontinue en a un seul

Florent Nageotte () 75 / 209

Page 84: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Relations entre poles en s et poles en z : generalisation

Systeme continu lineaire propre (n ≥ m) a poles (reels ou complexes) simples oudoubles

G(s) =Πm

j=0(s − zj)

Πli=0(s − pi)Πn

i=l+1(s − pi)2= C +

nXi=0

Ai

(s − pi)+

nXi=l+1

Bi

(s − pi)2

Transformee en z

G(z) = C +nX

i=0

Aizz − epi Te

+nX

i=l+1

BiTeepi tz(z − epi Te)2 =

NumQli=0 (z − epi Te )

Qni=l+1 (z − epi Te )2

ConclusionLes poles de G(s) pi deviennent des poles de G(z) en z = epi Te ayant la mememultiplicite.Attention : lorsque G(s) contient un retard, G(z) peut avoir des poles supplementairesen zero qui n’ont pas d’equivalent en s.Exemple : G(s) = e−2Tes

s−pidonne G(z) = 1

z(z−epi Te )avec un pole en 0 sans equivalent en

s.

Florent Nageotte () 76 / 209

Page 85: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Correspondances

Correspondances

I les poles reels stables en s deviennent des poles reels positifs inferieurs a 1I les poles reels instables deviennent des poles reels positifs superieurs a 1I les poles complexes conjugues stables deviennent des poles complexes

conjugues de norme inferieure a 1I les poles complexes conjugues instables deviennent des poles complexes

conjugues de norme superieure a 1I les poles sur l’axe imaginaire deviennent des poles complexes sur le cercle unite

Remarque : les poles simples en z reels negatifs n’ont pas d’equivalent en s.

Florent Nageotte () 77 / 209

Page 86: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Correspondances

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

plan en s plan en z

C1

Florent Nageotte () 78 / 209

Page 87: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Exemple des systemes d’ordre 1 et 2

I Systeme d’ordre 1

G(s) =K

s − p=⇒ G(z) =

K ′zz − eTep

I Systeme a 2 poles reels

G(s) =K

(s − p1)(s − p2)=⇒ G(z) =

K ′zz − eTep1

+−K ′z

z − eTep2=

Az + B(z − eTep1)(z − eTep2)

I Systeme a 2 poles complexes conjugues

G(s) =K

s2 + 2ζsωn + ω2n

=K ′

(s − p)+

−K ′

(s − p∗)

p = −ζωn + jωnp

1− ζ2

G(z) =K ′z

(z − eTep)+

−K ′z(z − eTep∗)

=Az + B

(z − eTep)(z − eTep∗)

poles complexes conjugues : z1,2 = e−Teζωn e±jTeωn√

1−ζ2

Attention : On note qu’un systeme continu sans zero peut conduire a un systemenumerique avec zero. Il n’y a pas de relation directe entre zeros en continu et zerosnumeriques

Florent Nageotte () 79 / 209

Page 88: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Abaques pour les systemes du 2nd ordre

4π9

5π9

6π9

7π9

8π9

π

ζ = 0, 1

ζ = 0

ζ = 0, 2

ζ = 0, 3

ζ = 0, 4ζ = 0, 5

ζ = 0, 6ζ = 0, 7ζ = 0, 8

ζ = 0, 9

ωnTe = π9

ωnTe = 3π9

ωnTe = 2π9

Florent Nageotte () 80 / 209

Page 89: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Effet du BOZ sur les poles du systeme

u(k) u(t)G(s)

y(t)BOZ

Te

ExempleG(s) = 10(s+5)

(s+10)(s+100)

G(z) = (1− z−1)Z{G(s)

s} = (1− z−1)Z{2

s+

0.25s + 50

− 2.25s + 10

}

= (1− z−1)(2z

z − 1+

0.25zz − e−50Te

− 2.25zz − e−10Te

)

=Az + B

(z − e−50Te )(z − e−10Te )

AnalyseLes poles sont les memes que lorsqu’on transpose G(s) sans BOZ.

Florent Nageotte () 81 / 209

Page 90: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse des fonctions de transfert

Effet du BOZ sur les poles du systeme : generalisation

u(k) u(t)G(s)

y(t)BOZ

Te

G(s) = K

Qmj=0 (s − zj)Qn

i=0 (s − pi)di

G(z) = (1− z−1)Z{G(s)

s} = (1− z−1)Z{C

s+

Xi

Ai

(s − pi)+

Xl

Bl

(s − pl)2 }

= (1− z−1)(Cz

z − 1+

Xi

Aiz(z − epi Te)

+X

l

B′l z(z − epl Te )2 )

=Num′Q

i(z − epi Te )Q

l(z − epl Te )2

ConclusionLes poles d’un systeme numerique compose d’un systeme continu G de poles pi etd’un bloqueur d’ordre zero ont pour valeur epi Te .

Florent Nageotte () 82 / 209

Page 91: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 83 / 209

Page 92: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes

Reponse temporelle des systemes echantillonnes

Methode de calcul systematique

I Determiner Y (z) = G(z)U(z)

I Decomposer Y (z)z en elements simples

I Determiner la reponse temporelle de chaque element de Y (z) (hyp. des CI nulles)I La reponse totale est la somme des reponses de chaque element (linearite)

Attention ! : cette methode prend pas en compte les conditions initiales eventuelles

Florent Nageotte () 84 / 209

Page 93: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes

Reponse temporelle des systemes echantillonnes

ExempleSysteme G(z) = 2z

(z−0.5)(z−0.1)avec pour entree u[k ] = Γ[k ]

Y (z) = 2z2

(z−1)(z−0.6)(z−0.2)= 6.25z

z−1 −7.5z

z−0.6 + 1.25zz−0.2

=⇒TZ−1 y [k ] = 6.25Γ[k ]− 7.5(0.6)kΓ[k ] + 1.25(0.2)kΓ[k ]

Attention ! : les courbes n’ont desens qu’aux instantsd’echantillonnage

2 parties dans la reponse

I Partie associee aux poles deG(z) : reponse propre(courbes noire et verte)

I Partie associee aux poles dusignal d’entree : reponseforcee (courbe bleue)

Florent Nageotte () 85 / 209

Page 94: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes

Reponse temporelle des systemes echantillonnes : generalisation

G(z) = Num(G)

Πni=0(z−pi )

di, U(z) = Num(U)

Πmj=0(z−zj )

fj

Decomposition en elements simples de Y (z)z = G(z)U(z)

z =⇒

Y (z) =nX

i=0

Gi +mX

j=0

Uj

I Gi = Ai z(z−pi )

dimodes propres du systeme =⇒TZ−1 gi [k ] = Ckdi−1pk

i

I Uj =Bj z

(z−zj )fj

modes forces

Florent Nageotte () 86 / 209

Page 95: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes

Modes propres associes aux poles en z

pole simple reelGi = z

(z−pi )=⇒ yi [k ] = pk

i Υ(k)

I Si pi > 1 le mode est divergentI Si pi < −1 le mode est oscillatoire divergentI Si −1 < pi < 0 , le mode est oscillatoire amorti (ou attenue)I Si 0 < pi < 1 , le mode est amortiI Si pi = 1 le mode est entretenuI Si pi = −1 le mode est oscillatoire entretenu

pole reel multipleGi = z

(z−pi )di

=⇒ yi [k ] = Bkdi−1pki Υ(k)

I Si pi > 1 le mode est divergentI Si pi < −1 le mode est oscillatoire divergentI Si −1 < pi < 0, le mode est oscillatoire amortiI Si 0 < pi < 1, le mode est amortiI Si pi = 1 le mode est divergentI Si pi = −1 le mode est oscillatoire divergentFlorent Nageotte () 87 / 209

Page 96: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes

Modes propres associes aux poles en z

paire de poles complexes conjugues : pi = p∗j

Gi + Gj =Az

(z − pi)+

A∗z(z − pj)

Si A = |A| ejθ et pi = |pi | ejϕ

yi [k ] = (Apki −A∗p∗k

i )Υ[k ] = |A| |pi |k (ej(θ+kϕ)+e−j(θ+kϕ))Υ[k ] = 2 |A| |pi |k cos(θ+kϕ)Υ[k ]

I Si |pi | > 1 le mode est oscillatoire divergentI Si |pi | < 1 le mode est oscillatoire amortiI Si |pi | = 1, le mode est oscillatoire entretenu

Reponse

I poles simples sur le cercle unite =⇒ modes entretenusI poles a l’interieur du cercle =⇒ modes amortisI poles a l’exterieur du cercle =⇒ modes divergentsI 2 sources d’oscillations : poles complexes conjugues et poles reels negatifsI Reponse du systeme : somme ponderee des modes propres et modes forces

Florent Nageotte () 88 / 209

Page 97: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes

Re(z)

Im(z)

C1

Florent Nageotte () 89 / 209

Page 98: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes

Rapidite des poles

I Lorsque les modes sont convergents, pour une periode d’echantillonnage Te fixee,ils convergent d’autant plus vite vers 0 que le module des poles pi est proche dezero.

Rapidite des polesEn numerique, les poles rapides sont ceux qui sont situes pres de l’origine z = 0.

Florent Nageotte () 90 / 209

Page 99: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse temporelle des systemes echantillonnes

Complements sur le theoreme de la valeur finale

limk→∞

y [k ] = limz→1

(1− z−1)Y (z)

valable uniquement quand y [k ] converge a l’infini.

limk→∞

y [k ] =X

i

limk→∞

yi(k)

Les modes yi de y convergent si les poles de Y (z) sont a l’interieur du cercle unitesauf un pole possible en 1 (mode entretenu).

ConclusionOn peut utiliser le theoreme de la valeur finale si les poles de Y (z) sont a l’interieur ducercle unite a l’exception possible d’un pole (un seul) en 1.

Florent Nageotte () 91 / 209

Page 100: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse de la stabilite des systemes echantillonnes

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 92 / 209

Page 101: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse de la stabilite des systemes echantillonnes

Notion de stabilite

Stabilite BIBO (Bounded Input Bounded Output)Un systeme est BIBO stable si sa reponse a tout signal d’entree borne est egalementbornee :

si ∃Usup / |u[k ]| < Usup ∀k alors ∃Ysup / |y [k ]| < Ysup ∀k

Propriete 1Un systeme est BIBO stable ssi sa reponse impulsionnelle est bornee et tend vers 0quand k →∞Dem :

y(k) = (g ∗ u)(k) =+∞X

n=−∞

g(n)u(k − n) =kX

n=0

g(n)u(k − n)

Si |u| < Usup et |g[k ]| =˛P

i Cipki

˛< Gsup avec |pi | < 1 alors

y [k ] ≤∞X

n=0

|g(n)u(k − n)| ≤ Usup

∞Xn=0

˛˛X

i

Cipni

˛˛ ≤ Usup

∞Xn=0

Xi

˛Cipn

≤ Usup

Xi

∞Xn=0

˛Cipn

i˛≤ Usup

Xi

|Ci |1− pi

< ∞

Florent Nageotte () 93 / 209

Page 102: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Analyse de la stabilite des systemes echantillonnes

Propriete fondamentale de stabilite

Propriete 2Un systeme echantillonne lineaire est stable ssi tous ses poles sont a l’interieur ducercle unite.

Dem : Si G(z) a un pole a l’exterieur ou sur le cercle unite, la reponse impulsionnelledu mode associe a ce pole est non-amortie. Le systeme n’est donc pas BIBO stable.

Propriete 3A un pole stable d’un systeme continu (partie reelle negative) correspond un polestable (module inferieur a 1) du systeme numerique equivalent.A un pole instable d’un systeme continu (partie reelle positive ou nulle) correspond unpole instable (module superieur ou egal a 1) du systeme numerique equivalent.

Propriete 4Un systeme continu stable donne un systeme numerique stable lorsqu’on le faitpreceder d’un bloqueur d’ordre zero

Florent Nageotte () 94 / 209

Page 103: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 95 / 209

Page 104: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Reponse harmonique

ProprieteLa reponse d’un systeme lineaire echantillonne stable de fonction de transfert G(z) aune excitation sinusoıdale (causale) est une sinusoıde en regime permanent, dontl’amplitude a ete multipliee par

˛G(ejωTe )

˛et dephasee de ϕ(G(ejωTe )).

Dem :

U(kTe) = U0 sin(ωkTe) =⇒ U(z) =U0z sin(ωTe)

z2 − 2z cos(ωTe) + 1=

U0z sin(ωTe)

(z − ejωTe )(z − e−jωTe )

Y (z) = G(z)U(z) se decompose en Y (z) =P

Gi(z) + Nzz−ejωTe + N∗z

z−e−jωTe avec

N = limz→ejωTe G(z) U0 sin (ωTe)

z−e−jωTe = U0G(ejωTe )2j

TZ−1 : les modes propres obtenus des Gi tendent vers 0 lorsque k →∞ (systemestable). Donc

limk→∞

y [k ] = limk→∞

(NejkωTe + N∗e−jkωTe ) = limk→∞

2 |N| cos (kωTe + ϕ(N))

= limk→∞

˛G(ejωTe )

˛U0 sin (kωTe + ϕ(G(ejωTe )))

Florent Nageotte () 96 / 209

Page 105: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Diagramme de BodeLe diagramme de Bode d’un systeme numerique est la representation du module et dela phase de la reponse harmonique de ce systeme. Representation de20 log(

˛G(ejωTe )

˛) et ϕ(G(ejωTe )) quand ω varie de 0 a ∞.

Le diagramme de Bode est periodique de periode 2πTe

. Le diagramme en module estpair et le diagramme en phase impair. On le represente en general pour ω ∈ [0, π

Te]. La

limite correspond aux conditions de Shannon (pulsation de Nyquist).

rem 1 : On etend le tracer aux systemes ayant des poles en 1.rem 2 : On trouve aussi le diagramme de bode normalise obtenu en posant ν = ωTe

2πet

trace pour ν ∈ [0, 12 ].

Florent Nageotte () 97 / 209

Page 106: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Florent Nageotte () 98 / 209

Page 107: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Proprietes des diagrammes de Bode des systemes numeriques

Le diagramme de Bode (en module et en phase) d’un systeme G(z) est la sommealgebrique des diagrammes de Bode elementaires (en module et en phase) des gains,zeros et poles de G(z)

Effet des poles p Module Phasep ∈]0, 1[ diminution de 0o a −180o

p = 1 diminution de −90o a −180o

p ∈]− 1, 0[ augmentation de 0o a −180o

p = 0 gain en dB nul de 0o a −180o

paire de poles complexesconjugues stables

augmentation puis diminu-tion (resonance) de 0o a −360o

Florent Nageotte () 99 / 209

Page 108: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Proprietes des diagrammes de Bode des systemes numeriques

Effet des zeros z Module Phasez ∈ [0, 1[ Augmentation de 0o a +180o

z ∈]− 1, 0[ Diminution de 0o a +180o

z > 1 Augmentation +180o diminution puis aug-mentation jusqu’a +180o

z < −1 Diminution 0o augmentation puis dimi-nution jusqu’a 0o

Florent Nageotte () 100 / 209

Page 109: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Quelques exemples

G(z) =10

z + 0.5

Florent Nageotte () 101 / 209

Page 110: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Quelques exemples

G(z) =10(z − 0.5)

z − 0.9

Florent Nageotte () 101 / 209

Page 111: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Quelques exemples

G(z) =10(z − 2)

z − 0.9

Florent Nageotte () 101 / 209

Page 112: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Quelques exemples

ConclusionI Attention, les regles de tracer asymptotique vues en continu ne s’appliquent pas

directement.I Difficile d’estimer une fonction de transfert a partir du diagramme de Bode

numeriqueI =⇒ Utilisation d’outils de tracage numerique (ex : commande bode de matlab)

Florent Nageotte () 101 / 209

Page 113: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Effet du BOZ sur le comportement harmonique

G(s) = 1s+5 avec Te = 0.1s et BOZ.

I modification d’amplitude en limite de bande de baseI chute de phase importante en limite de bande de base (effet de retard du BOZ).

Florent Nageotte () 102 / 209

Page 114: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Reponse frequentielle des systemes echantillonnes

Gain statiqueGain du systeme a frequence nulle :

limω→0

G(ejωTe ) = limz→1

G(z)

Le gain statique est defini lorsque le systeme est stable. C’est aussi le gain en regimepermanent du systeme en reponse a une entree constante (echelon)

Entree U(z) = zz−1

limk→∞

y [k ] = limz→1

(1− z−1)Y (z) = limz→1

(1− z−1)G(z)U(z)

= limz→1

G(z)

ProprieteLe gain statique d’un systeme numerique constitue d’un BOZ et d’un systemeanalogique est identique au gain statique du systeme analogique initial

Florent Nageotte () 103 / 209

Page 115: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnesAnalyse des fonctions de transfertReponse temporelle des systemes echantillonnesAnalyse de la stabilite des systemes echantillonnesReponse frequentielle des systemes echantillonnesCriteres algebriques de stabilite

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 104 / 209

Page 116: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite

Criteres algebriques de stabiliteQuand on ne peut pas determiner les poles du systeme ou que ceux-ci dependent d’unparametre K

I Critere de Jury (determine si les poles sont a l’interieur du cercle unite)

Critere de Jury

G(z) =N(z)

D(z)

D(z) = a0 + a1z + a2z2 + ... + anzn polynome caracteristique de G a coefficients reels8<:a0,i = ai , ∀i ∈ {0, n}

aj+1,i =

˛aj,0 aj,n−j−i

aj,n−j aj,i

˛, ∀j ∈ {0, n − 1} et i ∈ {0, n − j − 1}

D(z) a ses poles a l’interieur du cercle unite si et seulement si les inegalites suivantessont verifiees :

1. |a0| − an < 0

2. D(1) > 0

3. (−1)nD(−1) > 0

4. |aj,0| − |aj,n−j | > 0, ∀j ∈ {1, n − 2}Florent Nageotte () 105 / 209

Page 117: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite

Calcul pratique du critere de Jury

Remarques :I La condition 1 impose que an > 0I La condition 4 n’est a verifier que pour les systemes d’ordre 3 et plusI Methode mnemotechnique pour la determination des aj+1,i .

a0 a1 ... an−1

an

an an−1

... a1 a0

a1,0 =˛˛ a0 an

an a0

˛˛ a1,1 =

˛˛ a0 a

n−1

an a1

˛˛ ... a

1,n−1=

˛˛ a0 a1

an an−1

˛˛

a1,n−1

a1,n−2

... a1,0

a2,0 =

˛˛ a1,0 a

1,n−1

a1,n−1

a1,0

˛˛ a2,1 =

˛˛ a1,0 a

1,n−2

a1,n−1

a1,1

˛˛ ...

a2,n−2

a2,n−3

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an−2,0

=

˛˛ a

n−3,0a

n−3,3

an−3,3

an−3,0

˛˛ a

n−2,1=

˛˛ a

n−3,0a

n−3,2

an−3,3

an−3,1

˛˛ a

n−2,2=

˛˛ a

n−3,0a

n−3,1

an−3,3

an−3,2

˛˛

La condition 4 necessite que pour chaque ligne impaire du tableau, exceptee lapremiere, le terme de la 1ere colonne du tableau soit plus grand en valeur absolueque le dernier terme non nul.

Florent Nageotte () 106 / 209

Page 118: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite

Calcul pratique du critere de Jury

I condition 4 dans le cas d’un systeme d’ordre 3 :

˛a2

0 − a23

˛− |a0a2 − a1a3| > 0

⇐⇒ a23 − a2

0 > |a0a2 − a1a3|

Florent Nageotte () 107 / 209

Page 119: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite

Exemple

On considere le systeme boucle suivant :

+

-

u(k)

y(k)K 1

(z−0.5)(z−0.1)(z+0.1)

En utilisant le critere de Jury, determinez la stabilite du systeme en fonction du gainK > 0 du correcteur.

Florent Nageotte () 108 / 209

Page 120: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse des systemes echantillonnes Criteres algebriques de stabilite

Solution

D(z) = z3 − 0.5z2 − 0.01z + 0.005 + K

1. −1.005 < K < 0.995

2. K > −0.495

3. K < 1.485

4. K < 0.8127

Conclusion : stable pour K < 0.8127.

Florent Nageotte () 109 / 209

Page 121: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermeeCritere de NyquistLieu d’evansPrecision des systemes numeriques asservis

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 110 / 209

Page 122: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermeeCritere de NyquistLieu d’evansPrecision des systemes numeriques asservis

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 111 / 209

Page 123: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Critere de Nyquist

Systeme asservi a entree numerique et contre-reaction negative

H(s)

Te

C(z)+r(k)

−BOZ G(s)

y(t)

r(k)+

C(z)

H(z)

BOZ G(s)

Tey(k)

Florent Nageotte () 112 / 209

Page 124: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Critere de Nyquist

ObjectifDeterminer la stabilite de la boucle fermee en analysant la boucle ouverte en regimeharmonique

Theoreme de CauchySoit un contour ferme Γ du plan complexe oriente dans le sens trigonometrique.L’image de Γ par la fonction complexe F (z) est un contour ferme du plan complexe quientoure l’origine dans le sens trigonometrique n fois, avec n = Z − P, ou Z et P sont lenombre de zeros et de poles de F a l’interieur du contour Γ.

Γ

Re

ImIm

Re

F (z)

Florent Nageotte () 113 / 209

Page 125: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Contour de Nyquist

Contour de Nyquist d’un systeme numeriqueSoit un systeme ayant pour fonction de transfert en boucle ouverte FBO(z).Le contour de Nyquist pour le systeme numerique FBO est le cercle unite z = ejωTe

parcouru dans le sens trigonometrique de ωTe = −π a ωTe = +π. Dans le cas ou FBO

a des poles pi = ejα sur le cercle unite, le contour evite ces points par desdemi-cercles dans le sens trigonometrique de rayon infiniment petit ρ :z = pi + ρej(α+θ) avec θ ∈ [−π

2 , +π2 ] .

Re

ImΓ

Florent Nageotte () 114 / 209

Page 126: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Lieu de Nyquist

Lieu de NyquistLe lieu de Nyquist d’un systeme numerique de fonction de transfert en boucle ouverteFBO(z) est l’image du contour de Nyquist de FBO par la fonction complexe FBO .

Re

ImIm

Re

Γ

-1

FBO(z)

Florent Nageotte () 115 / 209

Page 127: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Proprietes du lieu de Nyquist

Propriete 1Le lieu de Nyquist est symetrique par rapport a l’axe reel. On se contente en generalde tracer la partie pour ω ∈ [0, π] et on obtient la partie pour ω ∈ [−π, 0] par symetrie.

Propriete 2Les demi-cercles du contour de Nyquist evitant les poles sur le cercle unite parcourusdans le sens trigonometrique sont transformes pas FBO en des demi-cercles de rayoninfini parcourus dans le sens anti-trigonometrique.

Propriete 3Lorsqu’on multiplie la boucle ouverte par un gain K, le lieu de Nyquist subit unehomothetie de facteur K et de centre 0.

Florent Nageotte () 116 / 209

Page 128: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Image des demi-cercles d’evitement

Dem :

FBO(z) = K

Qmj=1 (z − zj)Qni=1 (z − pi)

On suppose que p1 = ejα est sur le cercle unite. Le demi-cercle evitant p1 s’ecrit :z = p1 + ρej(α+θ) avec θ ∈ [−π

2 , π2 ].

limρ→0

FBO(z) = limρ→0

K

Qmj=1 (p1 + ρej(α+θ) − zj)Qni=1 (p1 + ρej(α+θ) − pi)

= K

Qmj=1 (p1 − zj)Qn

i=2 (p1 − pi)(ρej(α+θ))

Donclimρ→0

|FBO(z)| = ∞

etϕ(FBO(z)) ∼ ϕ′ − (α + θ)

ou ϕ′ est independante de θ.

Florent Nageotte () 117 / 209

Page 129: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Critere de stabilite de Nyquist

Theoreme de NyquistUn systeme numerique de fonction de transfert FBO(z) en boucle ouverte est stable enboucle fermee ssi le lieu de Nyquist de FBO entoure le point −1 dans le senstrigonometrique un nombre de fois n egal au nombre de poles de FBO a l’exterieur ducontour de Nyquist.

Dem :FBF (z) =

G(z)

1 + FBO(z)

Soit P et Z le nombre total de poles et zeros de 1 + FBO . On a Z = P. L’image ducontour de Nyquist par FBO est l’image du contour par 1 + FBO translatee de −1 selonl’axe x. Donc, d’apres le theoreme de Cauchy, FBO entoure −1 n = Z+ − P+ fois ou Z+

et P+ sont le nombre de zeros et de poles de 1 + FBO a l’interieur du contour deNyquist. Si le systeme boucle est stable, alors Z+ = Z − Z− = Z − 0 = Z et finalementn = Z − P+ = P − P+ = P−. Les poles de FBO et 1 + FBO sont identiques, et donc P−est aussi le nombre de poles de FBO a l’exterieur du contour de Nyquist. CQFD.

Florent Nageotte () 118 / 209

Page 130: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Exemple+

r(k)C(z)

u(k)ε(k)B0(s) G(s)

ym(k)

Te

H(s)

y(t)u(t)

C(z) =1.3863(z + 0.5)

z − 0.2

G(s) =10

s + 6.931H(s) = 1 et Te = 0.1s

Florent Nageotte () 119 / 209

Page 131: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Exemple+

r(k)C(z)

u(k)ε(k)B0(s) G(s)

ym(k)

Te

H(s)

y(t)u(t)

C(z) =1.3863(z + 0.5)

z − 0.2

G(s) =10

s + 6.931H(s) = 1 et Te = 0.1s

FBO(z) =z + 0.5

(z − 0.5)(z − 0.2)

P− = 0

Florent Nageotte () 119 / 209

Page 132: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Exemple+

r(k)C(z)

u(k)ε(k)B0(s) G(s)

ym(k)

Te

H(s)

y(t)u(t)

FBO(z) =z + 0.5

(z − 0.5)(z − 0.2)

FBO(z = 1) = 3.75

FBO(z = −1) = −0.2778

Florent Nageotte () 119 / 209

Page 133: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Exemple+

r(k)C(z)

u(k)ε(k)B0(s) G(s)

ym(k)

Te

H(s)

y(t)u(t)

FBO(z) =z + 0.5

(z − 0.5)(z − 0.2)

Intersections avec l’axe reel

FBO(ejθ) =0.65e−jθ − 0.65 + 0.1ejθ + 0.5e−2jθ

(1.25− cos θ)(1.04− 0.4 cos θ)

Im(FBO) =−0.65sθ + 0.1sθ − 0.5s2θ

DIm(FBO) = 0 ⇐⇒ θ = kπ ou θ = arccos−0.55

Pour θ = arccos(−0.55) = 2.1532, Re(FBO) = −0.5556.Florent Nageotte () 119 / 209

Page 134: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

ExempleQuand θ → 0+, Im(FBO) < 0

Systeme stable en BF

Florent Nageotte () 119 / 209

Page 135: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Critere du revers

Dans le cas d’un systeme stable en boucle ouverte, le critere de Nyquist donne :

Critere du reversLe systeme boucle est stable ssi le lieu de Nyquist de FBO trace pour ωTe > 0 laisse lepoint −1 a sa gauche.

Dans les conditions du critere du revers

Robustesse et marges de stabilite

I Marge de gain : pour un systeme boucle stable, gain conduisant a l’instabilite

GM = |FBO | quand ϕ(FBO) = −π

I Marge de phase : c’est l’oppose du dephasage qui ajoute a FBO rend le systemeen boucle ferme instable.

ϕM = 180 + ϕ(FBO) quand |FBO | = 1

Plus la marge de gain GM et la marge de phase ϕM sont importantes plus le systemeboucle est loin de l’instabilite.

Florent Nageotte () 120 / 209

Page 136: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Marges de stabiliteEx : FBO(z) = z+0.5

(z−0.5)(z−0.2)

ϕM 1GM

Im(z)

Re(z)

−1

Florent Nageotte () 121 / 209

Page 137: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Critere de Nyquist

Marges de stabilite sur le diagramme de Bode

Ex : FBO(z) = z+0.5(z−0.5)(z−0.2)

100

101

102

−15

−10

−5

0

5

10

15

w(rad/s)

Am

pl. (

dB)

100

101

102

−200

−150

−100

−50

0

w(rad/s)

phas

e (d

eg)

GM(dB)

ϕM

Florent Nageotte () 122 / 209

Page 138: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Lieu d’evans

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermeeCritere de NyquistLieu d’evansPrecision des systemes numeriques asservis

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 123 / 209

Page 139: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Lieu d’evans

Lieu d’Evans

Systeme asservi lineaire en z a entree numerique et contre-reaction negative

H(s)

Te

+

−BOZ G(s)

y(t)r(k)KC(z)

r(k)+

C(z)

H(z)

BOZ

Tey(k)

KG(s)

Florent Nageotte () 124 / 209

Page 140: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Lieu d’evans

Lieu d’Evans (suite)

FBO(z) = KZ(GH) =KND

FBF (z) =KG(z)

1 + KZ(GH)=

N ′

D + KN

DefinitionLe lieu d’Evans (ou lieu des racines) represente la localisation dans le plan complexedes poles du systeme en boucle fermee FBF en fonction du gain K, c’est-a-dire laposition des zeros du polynome caracteristique du systeme : D + KN ou encore lesracines de l’equation 1 + FBO(z) = 0.

Le lieu d’Evans d’un systeme numerique en boucle ouverte dont les poles z = pi et leszeros z = zi est identique au lieu d’Evans d’un systeme continu dont la boucle ouvertea des poles en s = pi et des zeros en s = zi .

Florent Nageotte () 125 / 209

Page 141: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Lieu d’evans

Lieu d’Evans (suite)

Le lieu d’Evans se trace a partir de la position des poles et zeros de la boucle ouverteet de regles simples

FBO(z) = KQm

i=1 (z − zi)Qnj=1 (z − pj)

1 + FBO(z) = 0 ⇐⇒Qm

i=1 (z − zi)Qnj=1 (z − pj)

= − 1K

Un point zM appartient au lieu d’Evans ssi :

1. ˛˛

Qmi=1 (zM − zi)Qnj=1 (zM − pj)

˛˛ =

1K

2.nX

i=1

arg(zM − zi)−nX

j=1

arg(zM − pj) = (2λ + 1)π avec λ ∈ N

Florent Nageotte () 126 / 209

Page 142: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Lieu d’evans

Regles de construction

I R1 nombre de branches = n.Points de depart pour K = 0 : les poles de FBO (pj )Points d’arrivee pour K →∞ : les zeros de FBO (zi )n −m branches partent a l’infini

I R2 Lieu symetrique par rapport a l’axe reelI R3 Les points de l’axe reel appartenant au lieu des racines ont un nombre de

points particuliers (poles et zeros de la BO comptes avec leur ordre de multiplicite)a leur droite et sur l’axe reel impair.

I R4 Asymptotes : les n-m asymptotes des branches a l’infini font avec l’axe reeldes angles :

αλ =(2λ + 1)π

n −mavec λ ∈ [0, n −m − 1]

Les asymptotes s’intersectent sur l’axe reel au point d’abscisse :

σ =

Pnj=1 pj −

Pmi=1 zi

n −m

Florent Nageotte () 127 / 209

Page 143: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Lieu d’evans

Regles de construction (suite)

I R5 Intersection entre branches :Condition Necessaire d(1+FBO(z))

dz = d(FBO(z))dz = 0

Comme la condition n’est pas suffisante il faut verifier que le point appartient aulieu d’Evans : (1 + FBO(z) = 0)Angle entre les demi-branches au point d’intersection : π

N ou N est le nombre debranches qui s’intersectent

I R6 Angle de depart d’une branche avec l’axe reel en un pole complexe pk demultiplicite nk :

βk =1nk

(mX

i=1

arg(pk − zi)−nX

j=1,j 6=k

arg(pk − pj)− (2λ + 1)π) avec λ ∈ [0, nk − 1]

Angle d’arrivee d’une branche avec l’axe reel en un zero complexe zk demultiplicite mk :

γk =1

mk(

nXj=1

arg(zk − pj)−mX

i=1,i 6=k

arg(zk − zi)− (2λ + 1)π) avec λ ∈ [0, mk − 1]

Florent Nageotte () 128 / 209

Page 144: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Lieu d’evans

Regles de construction (fin)

I R7 Graduation du lieu en K : au point zM , K vaut

K = − 1N(zM )D(zM )

= −D(zM)

N(zM)

I R8 Intersection du lieu avec le cercle unite : utilisation du critere de Jury pourdeterminer les valeurs de K limite.

Determination de la stabiliteLe systeme en boucle fermee est stable pour les valeurs de K pour lesquelles tous lespoles de la boucle fermee sont a l’interieur du cercle unite.

Florent Nageotte () 129 / 209

Page 145: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Lieu d’evans

Exemple+

r(k)C(z)

u(k)ε(k)B0(s) G(s)

ym(k)

Te

H(s)

y(t)u(t)

C(z) =1.3863K (z + 0.5)

z − 0.2

G(s) =10

s + 6.931H(s) = 1 et Te = 0.1s

Florent Nageotte () 130 / 209

Page 146: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Lieu d’evans

Exemple+

r(k)C(z)

u(k)ε(k)B0(s) G(s)

ym(k)

Te

H(s)

y(t)u(t)

C(z) =1.3863(z + 0.5)

z − 0.2

G(s) =10

s + 6.931H(s) = 1 et Te = 0.1s

FBO(z) =K (z + 0.5)

(z − 0.5)(z − 0.2)

Florent Nageotte () 130 / 209

Page 147: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Lieu d’evans

Exemple

FBO(z) =K (z + 0.5)

(z − 0.5)(z − 0.2)

I R1 2 branches, 1 branche a l’infiniI R3 Lieu sur l’axe reel : [−∞,−0.5] et [0.2, 0.5]

I R4 Angle de l’asymptote : π (l’axe reel vers −∞)I R5

dFBO

dz=

K (z2 − 0.7z + 0.1)− (z + 0.5)(2z − 0.7)

D2

dFBO

dz= 0 ⇐⇒ −z2 − z + 0.45 = 0 ⇐⇒ z = −1.33 ou z = 0.33

Tous deux validesI R6 Ne s’applique pas iciI R7 En z = 0.33, K = 0.0266 ; En z = −1.33, K = 3.37I R8 D(z) = K (z − 0.5) + (z − 0.5)(z − 0.2) = z2 + (K − 0.7)z + 0.5K + 0.1

Critere de Jury ⇒ K < 1.8Pour K = 1.8, FBO(z) = − 1

K ⇒ z = −0.55± 0.83j

Florent Nageotte () 130 / 209

Page 148: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Lieu d’evans

Exemple

Florent Nageotte () 130 / 209

Page 149: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermeeCritere de NyquistLieu d’evansPrecision des systemes numeriques asservis

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 131 / 209

Page 150: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Erreur par rapport a l’entree de consigne

I Types d’erreursI Ecarts en regime permanentI Ecarts dynamiques (non etudies dans ce cours)

I Systemes a commande numerique (signal d’ecart ε est echantillonne)Exemple :

r(k)

ym(k)

H(s)

Te

+−

CNAC(z)ε(k)

G(s)y(t)

Florent Nageotte () 132 / 209

Page 151: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Ordre des erreurs

Erreur d’ordre nValeur du signal d’ecart en regime permanent entre consigne et sortie mesuree enreponse a une entree polynomiale de degre n : r(k) =

Pni=0 aik iΥ(k), R(z) = N

(z−1)(n+1)

Exemples

I Erreur de position : erreur d’ordre 0 (erreur statique) : r(k) = Υ(k), R(z) = zz−1

I Erreur de traınage : erreur d’ordre 1 : r(k) = kΥ(k), R(z) = zTe(z−1)2

Florent Nageotte () 133 / 209

Page 152: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Classe d’un systeme numerique

Un pole en 1 dans un systeme realise l’integration de l’entree du systeme.Dem :

G(z) =Y (z)

U(z)=

ND(z − 1)

On suppose que les poles de G sont stables (a l’exception du pole en 1)

Y (z)(z − 1) =nX

i=1

Gi(z) +mX

j=1

Uj(z)

y(k + 1)− y(k) =nX

i=1

gi(k) +mX

j=1

uj(k)

Quand k →∞, y(k + 1) → y(k) +Pm

j=1 uj(k)

Florent Nageotte () 134 / 209

Page 153: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Classe d’un systeme numerique

Ex simple : integrateur pur avec retard

G(z) =1

z − 1

Y (z)(1− z−1) = z−1U(z)

y(k) = y(k − 1) + u(k − 1)

y(k)

u(k)

k

Classe d’un systeme numeriqueNombre d’integrateurs (poles en 1) dans la boucle ouverte.Ces integrateurs peuvent provenir de poles en 1 de blocs numeriques (ex : lecorrecteur) ou de poles en 0 de blocs continus (ex : le procede)

Florent Nageotte () 135 / 209

Page 154: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Expression des erreurs d’ordre n

R(z) =N(z)

(z − 1)n+1 avec n l’ordre de la consigne

FBO(z) =A(z)

B(z)(z − 1)l avec l classe du systeme

ε(z) =R(z)

1 + FBO(z)=

N(z)B(z)(z − 1)l

(z − 1)n+1(B(z)(z − 1)l + A(z))

ε(k) converge a condition que l ≥ n. Dans ce cas,

limk→∞

ε(k) = limz→1

(1− z−1)ε(z)

= limz→1

N(1)B(1)(z − 1)l+1

(z − 1)n+1(B(1)(z − 1)l + A(1)

Florent Nageotte () 136 / 209

Page 155: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Bilan

I ε(k) → 0 ssi l > nI Si l = n l’erreur tend vers une valeur finieI Si l < n l’erreur est infinie (erreur non bornee)

Cas courants (on pose K = A(1)B(1)

)

Entree echelon R(z) = E0z

z−1 rampe R(z) = V0z(z−1)2 parabole R(z) = W0z(z+1)

(z−1)3

classe 0 E01+K ∞ ∞

classe 1 0 V0K ∞

classe 2 0 0 2W0K

I Lorsque l = n, l’erreur diminue quand on augmente le gain du systeme. Mais ontend aussi en general a destabiliser le systeme.

I Compromis entre precision et stabilite

Florent Nageotte () 137 / 209

Page 156: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Rejet des perturbations

Erreur statique par rapport a une perturbationValeur en regime permanent de l’ecart entre consigne et mesure lorsque la consigneest nulle et une entree de perturbation activee

r(k)

ym(k)

y(t)G1(s) G2(s)

P(s)

H(s)

Te

++

+−

CNAC(z)ε(k)

n ordre de la perturbation, l classe du systeme, l1 nombre d’integrateurs dans C(z) etG1(s) et l2 = l − l1 nombre d’integrateurs dans G2H.

Florent Nageotte () 138 / 209

Page 157: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Rejet des perturbations (suite)

P(s) =Numsn+1 et R(z) = 0

FBO(z) =A(z)

B(z)(z − 1)l

Z{G2HP}(s) =N(z)

D(z)(z − 1)l2+n+1

ε(z) =−Z{G2HP}1 + FBO(z)

=−N(z)B(z)(z − 1)l

(z − 1)n+1+l2 D(z)(B(z)(z − 1)l + A(z))

ε(k) converge a condition que l ≥ n + l2 ⇐⇒ l1 ≥ n. Dans ce cas,

limk→∞

ε(k) = limz→1

(1− z−1)ε(z)

= limz→1

−N(1)B(1)(z − 1)l+1

(z − 1)n+1+l2 D(1)(B(1)(z − 1)l + A(1))

Florent Nageotte () 139 / 209

Page 158: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Cas courants

I ε(k) → 0 ssi l1 > nI Si l1 = n l’erreur tend vers une valeur finieI Si l1 < n l’erreur est infinie (erreur non bornee)

On pose K = A(1)B(1)

et K2 = N(1)D(1)

Perturbation echelon P(s) = E0s rampe P(s) = V0

s2 parabole P(s) = W0s3

l1 = 0 − E0K21+K ∞ ∞

l1 = 1 0 − V0K2K ∞

l1 = 2 0 0 −W0K2K

I Lorsque l1 = n, l’erreur diminue quand on augmente le gain du systeme. Mais ontend aussi en general a destabiliser le systeme.

Florent Nageotte () 140 / 209

Page 159: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Importance de la chaıne de retourEn pratique on est interesse par l’erreur entre y(k) et r(k) en regime permanent.

Effet de HI Cas ideal : H(s) = 1I En pratique : amplification, H(s) est un filtre passe bas + filtrage anti-aliasingI Il faut prendre en compte le comportement de H(s) dans la consigneI Si BP(H + filtre anti-aliasing) > ωM (pulsation max des signaux utiles) =⇒ permet

de considerer H + filtre comme un simple gain=⇒ Prise en compte du gain statique de H dans un prefiltre

capteur + filtre

H(s)

G(s)

Te

partie analogique

C(z)-

+ y(t)BOZ

Te

r(k) ε(k) u(k)

ym(k)

regulateur numerique

H(0)

Florent Nageotte () 141 / 209

Page 160: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Importance de la chaıne de retour

PerturbationsL’effet des perturbations sur la chaıne de retour ne peut pas etre rejete de l’erreur y − r .

Effet du CANI Erreur ”nulle” a la resolution du CAN (ou du capteur numerique) pres

Exemple : CAN 12 bits sur une plage [−10V ; +10V ]

I Possibilite de cycle limite

Florent Nageotte () 142 / 209

Page 161: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Importance de la chaıne de retour

PerturbationsL’effet des perturbations sur la chaıne de retour ne peut pas etre rejete de l’erreur y − r .

Effet du CANI Erreur ”nulle” a la resolution du CAN (ou du capteur numerique) pres

Exemple : CAN 12 bits sur une plage [−10V ; +10V ]pas de quantification ∆q = 20

212 = 5mV . Lorsque l’ecart ε est nul, |y − r | < 5mVpour un quantifieur par troncature, |y − r | < 2.5mV pour un quantifieur pararrondi.

I Possibilite de cycle limite

Florent Nageotte () 142 / 209

Page 162: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Effet du CAN

+ BOZ+

r(k) y(t)

−0.8z−1 CAN

I Si CAN sans quantification

Y (z) =1

1 + 0.8z−1 U(z)

y(k) = −0.8y(k − 1) + u(k)

si u(k) = 0∀k et y(0) = 0.3,

y(k) = 0.3 ∗ (−0.8)k → 0 qd k →∞

Florent Nageotte () 143 / 209

Page 163: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Effet du CAN (suite)I CAN avec quantification : y(k) = −0.8Q[y(k − 1)]

0.1 0.2 0.3−0.1−0.2−0.3

y = −0.8x

E

S

y(0)

y(1)

y(2)

y(3)

y(4)

Cycle limite entre −q et +q a partir du pas 3Florent Nageotte () 144 / 209

Page 164: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

Differents effets de la quantification due au CAN

CAN

Te

0.1z−1 BOZ

10s+5

r(k)

+−

y(t)ε(k)

Florent Nageotte () 145 / 209

Page 165: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

∆q = 0.1 et r(k) = Γ(k)Ecart nul, erreur nulle

∆q = 0.2 et r(k) = Γ(k)Ecart nul, erreur non nulle

Florent Nageotte () 146 / 209

Page 166: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Analyse en boucle fermee Precision des systemes numeriques asservis

∆q = 0.2 et r(k) = 1.1Γ(k)Ecart non nul, cycle limite

∆q = 0.5 et r(k) = 1.1Γ(k)Ecart non nul, cycle limite

Florent Nageotte () 147 / 209

Page 167: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transpositionMethodes de transpositionCalcul de la loi de commande et implementationPIDs numeriques

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 148 / 209

Page 168: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition

Principe de la correction numerique

capteur

v(t)

+

+H(s)

G(s)

w(t)Te

partie analogique

C(z)-

+ +u(t)

+

y(t)BOZ

Te

δy(t)

F (z)r(k) ε(k) u(k)

ym(k)

regulateur numerique

+

+

Florent Nageotte () 149 / 209

Page 169: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition

Principe de la correction numerique

capteur

v(t)

+

+H(s)

G(s)

w(t)Te

partie analogique

C(z)-

+ +u(t)

+

y(t)BOZ

Te

δy(t)

F (z)r(k) ε(k) u(k)

ym(k)

regulateur numerique

+

+

I G(s) processusI H(s) capteurI C(z) correcteurI F (z) pre-filtreI r signal de consigneI y signal de sortie (a reguler)

I ym mesure de la sortieI ε ecart ou erreur d’asservissementI u commandeI w(t) perturbation d’entreeI v(t) bruit de mesureI δy(t) perturbation de sortie

Florent Nageotte () 149 / 209

Page 170: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition

Objectifs de la synthese des correcteurs numeriques

I Stabilite : systeme en BF stableI Performance :

I suivre la consigne (precision)I comportement selon un modele (type 2eme ordre)I rejet des perturbations

I Robustesse : conserver stabilite et performances malgre :I incertitudes sur les parametresI dynamiques non modeliseesI non-linearites

Florent Nageotte () 150 / 209

Page 171: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition

Outils pour la synthese

I Stabilite :I Critere de JuryI Critere de Nyquist

I Performance :I Lieu d’Evans (placement des poles)I Calcul des erreurs en regime permanentI Simulation (verification a posteriori)

I Robustesse :I Marges de stabilite (diagramme de Bode ou Nyquist)I Simulation (verification a posteriori)

Florent Nageotte () 151 / 209

Page 172: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transpositionMethodes de transpositionCalcul de la loi de commande et implementationPIDs numeriques

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 152 / 209

Page 173: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Principe de la transposition des correcteurs continu

Principe

I Synthese d’un correcteur continu par une methode continueI Approximation du comportement du correcteur continu par un correcteur

numerique

Methodes de synthese en continu (rappel)

I Syntheses frequentielles a l’aide des diagrammes de Bode : garantir marges degain et de phase

I Synthese par placement des poles de la boucle fermee : Lieu d’EvansI Choix d’un correcteur standard (P, PI, PD, PID, PDD) et reglage des parametres.

Florent Nageotte () 153 / 209

Page 174: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

La transposition continu - numerique

ChoixI d’une methode de transpositionI de la periode d’echantillonnage (quand cela est possible)

Cc(s)ε(t) u(t)

u(t)BOZ

u(k)

ε(t)

ε(k)Cz(z)

Te

Florent Nageotte () 154 / 209

Page 175: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Transposition continu-numerique

I Correcteur analogique : entree (ecart) et sortie (commande) reliees par desequations integro-differentielles

I Correcteur numerique : entree et sortie reliees par des equations aux differencesI Transposition : approcher des equations integro-differentielles par des equations

numeriques

Methodes de transposition presentees

I Echantillonnage - blocageI Transformation bilineaireI Conservation poles - zeros

Florent Nageotte () 155 / 209

Page 176: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Transposition par echantillonnage blocage

Cc(s)ε(t) u(t)

Cc(s)u(t)

BOZBOZε(t)

ε(k)Te

Te

u(k)

C(z)

C(z) = (1− z−1)Z{Cc(s)

s}

Florent Nageotte () 156 / 209

Page 177: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Effet temporel de la periode d’echantillonnage

C(s) =1

s + 5

Florent Nageotte () 157 / 209

Page 178: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Effet frequentiel de la periode d’echantillonnage

C(s) =10(s + 5)

s + 50

Florent Nageotte () 158 / 209

Page 179: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Transposition par echantillonnage blocage

Proprietes

I Si Cc(s) est stable alors C(z) est stable.I Conservation du gain statiqueI Retard introduit par le BOZI Zeros non-conserves =⇒ distorsion frequentielle importanteI =⇒ Necessite Te petit par rapport aux dynamiques de Cc

I =⇒ Mauvaise approximation de la phase

Florent Nageotte () 159 / 209

Page 180: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Approximation bilineaire ou homographique

Appellation anglo-saxonne : Tustin approximation

Integration analogique

x(t)1s

I(t) =∫ t

0 x(t)

Integration numerique par la methode destrapezes

I(kTe) = I((k−1)Te)+Te

2(x(kTe)+x((k−1)Te))

I(k)− I(k − 1) =Te

2(x(k) + x(k − 1))

I(z) =Te

2(1 + z−1)

(1− z−1)X (z)

��������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������

Tet

x(t)

Florent Nageotte () 160 / 209

Page 181: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Approximation bilineaire ou homographique

Changement de variable :

s −→ 2(z − 1)

Te(z + 1)

Proprietes

I Conserve la stabilite (du correcteur)I Conserve le gain statique

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

C1

z = 2+Tes2−Tes

Florent Nageotte () 161 / 209

Page 182: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Effet temporel de la transposition bilineaire

C(s) =1

s + 5

Florent Nageotte () 162 / 209

Page 183: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Effet frequentiel

Reponse harmonique (z = ejωTe )Continu Approximation bilineaire

s = jω2(ejωTe − 1)

Te(ejωTe + 1)=

2jTe

tanωTe

2= jω

tan ωTe2

ωTe2

I Filtrage F (jω) =tan ωTe

2ωTe

2=⇒ Deformation importante pres de fN

I Pas de retard =⇒ Meilleur comportement frequentiel que la transposition parblocage d’ordre zero

Florent Nageotte () 163 / 209

Page 184: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Effet frequentiel (suite)

I Effet sur un integrateur : les frequences proches de la frequence de Nyquist sontfortement attenuees

I Effet sur un derivateur : les frequences proches de la frequence de Nyquist sontfortement amplifiees

Florent Nageotte () 164 / 209

Page 185: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Effet frequentiel (suite)

C(s) =10(s + 5)

s + 50

Florent Nageotte () 165 / 209

Page 186: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Effet frequentiel (suite)

I Effet sur un filtre selectif C(s) = 11+s2 avec Te = 0.5s

Florent Nageotte () 166 / 209

Page 187: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Transposition par transformation bilineaire

ConclusionI Conservation de la stabilite du correcteurI Conservation du gain statiqueI Bonne approximation pour filtres passe-bas ou passe-bandeI Attention pour les correcteurs PD et PID reels lorsque les poles sont en haute

frequenceI Decalage des frequences pour les filtres selectifs

Florent Nageotte () 167 / 209

Page 188: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Correction de la distorsionApproximation bilineaire avec ”prewarping”

PrincipeCorriger la distorsion pour une pulsation particuliere ω0 en utilisant le changement devariable :

s −→ω0Te

2

tan ω0Te2

2Te

(z − 1)

(z + 1)

Florent Nageotte () 168 / 209

Page 189: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Conservation des poles et zeros

Appellation anglo-saxonne : ”Matched” transform

Principe

I Pour chaque pole pi (ou zero zi ) calcul du pole (ou zero) numerique equivalenteTpi (eTzi )

I Calcul du gain conservant le gain statiqueI Calcul du gain conservant le gain en une pulsation definie (choisie selon

l’application)

Florent Nageotte () 169 / 209

Page 190: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Comportement frequentiel

C(s) =10(s + 5)

s + 50

Florent Nageotte () 170 / 209

Page 191: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Comportement frequentiel

C(s) =1

1 + s2

Florent Nageotte () 171 / 209

Page 192: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Conservation des poles et zeros

Proprietes

I Conserve la stabilite du correcteurI Conserve le gain statique (par construction)I Conserve la ”forme” de la reponse frequentielle (pas de decalage en frequence)I Tres bonne approximation en gain meme a faible periode d’echantillonnageI =⇒ Utile pour approcher finement un comportement frequentiel en gain

Florent Nageotte () 172 / 209

Page 193: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Transpositions : conclusion

I Comportement du correcteur numerique au mieux celui du correcteur continu(souvent moins bon)

I Comportement d’autant plus proche du systeme continu que la perioded’echantillonnage est petite par rapport aux dynamiques du correcteur(constantes de temps des poles et zeros)

I Bloqueur d’ordre zero non pris en compteI Stabilite de la BF non garantie !I Methodes conseillees :

I correcteur de type passe-bas ou passe-bande : ”tustin”I correcteur selectif : ”matched” ou ”tustin” avec prewarpingI correcteur de type passe-haut : ”matched” ou ”Euler”

Florent Nageotte () 173 / 209

Page 194: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Choix de la periode d’echantillonnage

Comportement frequentiel different du continu pres de la frequence de Nyquist

Choix pratique

I Suffisante pour le temps de calcul de la commandeI ∼ 10 fois plus petite que la constante de temps du systeme en BF

Exemple

I G(s) = 10s(s+10)

I Cahier des charges : depassement inferieur a 5% et temps de reponse a 2%inferieur a 1s.

I Synthese continue =⇒ C(s) = 5.2I Transposition =⇒ Cz(z) = 5.2I Reponses pour differents choix de Te

Florent Nageotte () 174 / 209

Page 195: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Choix de la periode d’echantillonnage

Florent Nageotte () 175 / 209

Page 196: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Methodes de transposition

Prise en compte du bloqueur d’ordre zero dans le choix de Te

Effet du BOZI Retard d’une demi-periode d’echantillonnageI Attenuation en limite de bande de baseI Prise en compte necessaire pour les frequences proches de fN .

ExempleCorrecteur : pulsation de coupure ωc

Perte de phase a ωc : δϕ = ωcTe2

Pour limiter la perte a 10˚ (0.17 rad) (diminution de ϕM ) : Te < 0.3ωc

Florent Nageotte () 176 / 209

Page 197: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Calcul de la loi de commande et implementation

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transpositionMethodes de transpositionCalcul de la loi de commande et implementationPIDs numeriques

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 177 / 209

Page 198: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Calcul de la loi de commande et implementation

Calcul de la loi de commande

u(t)BOZ

u(k)

ε(t)

ε(k)Cz(z)

Te

U(z) = Cz(z)ε(z)

Cz(z) =N(z)

D(z)=

n0 + n1z−1 + · · ·+ nmz−m

d0 + d1z−1 + · · ·+ dnz−n

nXi=0

diU(z)z−i =mX

j=0

njε(z)z−j

u(k) =1d0

(n0ε(k) + n1ε(k − 1) + · · ·+ nmε(k −m)− d1u(k − 1)− · · · − dnu(k − n))

Florent Nageotte () 178 / 209

Page 199: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Calcul de la loi de commande et implementation

Problemes de synchronisation

ProblemeI Lorsque le correcteur numerique a autant de zeros que de poles, la commande au

pas k depend de la mesure au meme pasI Temps de calcul Tc non nul =⇒ Impossible de conserver la synchronisation du

CNA et du CAN

SolutionsI Desynchroniser les convertisseurs : on ecrit sur le CNA lorsque le calcul est

termineI Si Tc � Te la boucle se comporte comme prevuI Si Tc ∼ Te l’effet peut etre non negligeable mais est difficile a modeliser (retard non

multiple de la periode d’echantillonnage)I La commande calculee est envoyee au prochain top d’horloge : on ajoute un

retard d’une (ou plusieurs) periodes d’echantillonnageI Si Te � tr la boucle se comporte comme prevuI Si Te < tr l’effet du retard est non negligeable =⇒ il faut le prendre en compte des le

debut en faisant la synthese sur G(s)e−Tes

Florent Nageotte () 179 / 209

Page 200: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Calcul de la loi de commande et implementation

Problemes de synchronisation

lecture CAN

Tc

Teecriture CNA

echantillonnage - blocage

synchrone

asynchrone

quasi-synchrone

ecriture CNA

ecriture CNA

Tc

Tc

I Remarque : le probleme ne se pose pas lorsque le correcteur a plus de poles quede zeros

Florent Nageotte () 180 / 209

Page 201: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition Calcul de la loi de commande et implementation

Problemes d’arrondis

C(s) =10(s + 4)

s(s + 40)

Transformee bilineaire avec Te = 0.01sMatlab fournit : C(z) = 8.67z2−16.66z+8.003

z2−1.667z+0.6667

Avec une precision meilleure : C(z) = 8.67z2−16.66z+8.003z2−1.6667z+0.6667

ConclusionAttention aux erreurs d’arrondis. Toujoursgarder au moins 3 decimales ennumerique.

Florent Nageotte () 181 / 209

Page 202: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition PIDs numeriques

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transpositionMethodes de transpositionCalcul de la loi de commande et implementationPIDs numeriques

Synthese numerique des correcteurs

Florent Nageotte () 182 / 209

Page 203: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition PIDs numeriques

Correcteurs standards

Avec la transformation d’Euler (s −→ z−1zTe

) :Correcteur continu Correcteur numerique

P Kp Kp

PI ideal Kp(1 +1

Tis) Kp(1 +

1Ti

Tezz − 1

)

PD reel Kp(1 +Td s

1 + TdN s

) Kp(1 +N(z − 1)

(1 + NTeTd

)z − 1)

PID reel Kp(1 +1

Tis+

Td s1 + Td

N s) Kp(1 +

1Ti

Tezz − 1

+N(z − 1)

(1 + NTeTd

)z − 1)

Florent Nageotte () 183 / 209

Page 204: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition PIDs numeriques

Les PID numeriques

I Forme standard

u(k) = up(k) + ui(k) + ud(k)

up(k) = Kpε(k)

ui(k) = ui(k − 1) + KpTe

Tiε(k)

ud(k) =1

1 + NTeTd

(ud(k − 1) + KpN(ε(k)− ε(k − 1)))

r(k) ε(k)

ym(k)Te

BOZ+

+

+Kp

TezTi(z−1)

N(z−1)

(1+NTeTd

)z−1

u(k)

+ -

D approchee

I

P

Florent Nageotte () 184 / 209

Page 205: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition PIDs numeriques

PID sans derivation de la consigneI Forme sans derivation de la consigne : eviter de trop solliciter les actionneurs a la

suite d’un changement de consigne

u(k) = up(k) + ui(k) + ud(k)

up(k) = Kpε(k)

ui(k) = ui(k − 1) + KpTe

Tiε(k)

ud(k) =1

1 + NTeTd

(ud(k − 1)− KpN(ym(k)− ym(k − 1)))

r(k) ε(k)

ym(k)Te

BOZ+

+

+Kp

TezTi(z−1)

N(z−1)

(1+NTeTd

)z−1

u(k)

−Kp

+-

Florent Nageotte () 185 / 209

Page 206: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition PIDs numeriques

PID sans derivation de la consigne

Florent Nageotte () 186 / 209

Page 207: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition PIDs numeriques

Effet des saturations sur le terme integral

Um

UM

u(k)

commandecalculee

ua(k)

commande appliquee

I si u(k) > UM , ua(k) = UM

I si u(k) < Um, ua(k) = Um

I sinon ua(k) = u(k)

Florent Nageotte () 187 / 209

Page 208: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition PIDs numeriques

Anti-emballement

I Emballement du terme integralI Solution : bloquer l’integration lorsqu’il y a saturation

1ere solution : bloquage du terme integral

I u0(k) = up(k) + ui(k − 1) + KpTeTi

ε(k) + ud(k)

I ui(k) =

ui(k − 1) + Kp

TeTi

ε(k) si Um < u0(k) < UM

ui(k − 1) si u0(k) > UM ou u0(k) < Um

I u(k) = up(k) + ui(k) + ud(k)

Inconvenient : limitation trop importante de la commande

Florent Nageotte () 188 / 209

Page 209: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition PIDs numeriques

Anti-emballement

2eme solution : recalcul du terme integralCalcul du terme integral qui amene a la limite de saturation

I u0(k) = up(k) + ui(k − 1) + KpTeTi

ε(k) + ud(k)

I ui(k) =

8<:UM − (up(k) + ud(k)) si u0(k) > UM

ui(k − 1) + KpTeTi

ε(k) si Um < u0(k) < UM

Um − (up(k) + ud(k)) si u0(k) < Um

I u(k) = up(k) + ui(k) + ud(k) = us(k)

Avantages : commande maximale sans saturation

Florent Nageotte () 189 / 209

Page 210: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition PIDs numeriques

Filtrage de l’effet derive

ProblemesI Derivation pure : filtre passe-haut, gain infini en haute frequenceI Bruit haute frequence =⇒ sollicitation des actionneurs (echec de la regulation)

SolutionsI Ne pas utiliser de derivation pure (ajout d’un pole en haute frequence)I Utiliser une derivation filtree

Florent Nageotte () 190 / 209

Page 211: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Correction par transposition PIDs numeriques

Filtrage de l’effet derive

I Derivation forme d’Euler : derivation sur 2 points

d(k) =ε(k)− ε(k − 1)

Te

I Derivation sur 4 points :

d(k) =2ε(k) + ε(k − 1)− ε(k − 2)− 2ε(k − 3)

10Te

Florent Nageotte () 191 / 209

Page 212: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteursSynthese frequentielleStabilite internePlacement de poles

Florent Nageotte () 192 / 209

Page 213: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs

Synthese directe en numerique

Principe

I Calculer la fonction de transfert en z G(z) du procede et du convertisseurnumerique analogique

I Synthetiser un correcteur numerique a partir de G(z)

Avantages

I Prise en compte explicite du BOZI Prise en compte explicite de la periode d’echantillonnageI Pas de distorsion due a la transpositionI Meilleure robustesse vis-a-vis de la meconnaissance du procede

InconvenientsI Methodes de synthese plus complexes et moins intuitives

Florent Nageotte () 193 / 209

Page 214: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteursSynthese frequentielleStabilite internePlacement de poles

Florent Nageotte () 194 / 209

Page 215: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle

Synthese frequentielle

1. Calculer la transmittance echantillonnee G(z) du procede ou obtenir sondiagramme de Bode numerique

2. Exprimer le cahier des charges en termes deI Bande passanteI Gain statiqueI Marge de gain et de phaseI Rejet de perturbations

3. Choix d’une structure de correcteur (PI, PID, avance de phase, etc.) et choixpartiel du correcteur a partir du cahier des charges C(z) = Cimpose(z)Clibre(z)

4. Tracer les diagrammes de Bode de Cimpose(z)G(z)

5. Raffinement du choix du correcteur et reglage des parametres inconnus ducorrecteur a partir des diagrammes

DifficultesI Pas de trace asymptotiqueI L’ajout d’un integrateur ne dephase pas uniformement de −90˚I =⇒ Necessite des outils de tracer numerique

Florent Nageotte () 195 / 209

Page 216: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle

Synthese frequentielle

Sans outil numerique

I Transformee en w :

w =2Te

z − 1z + 1

I Calcul de G(w) = G(z =1+ Tew

2

1− Tew2

)

I Quand z = ejωTe , w = jω tan ωTe2

ωTe2

I On pose w = jω′ avec ω′ =tan ωTe

2ωTe

2

I G(jω′) est une fraction rationnelle =⇒ Traceasymptotique comme en continu

I Synthese de C(w) comme en continuI calcul de C(z) par transformee en w inverse

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����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

plan en z plan en w

C1

Im(z)

Re(w)

Im(w)

Re(z)

Florent Nageotte () 196 / 209

Page 217: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle

Exemple de synthese frequentielle

r(k)

+ -C(z) BOZ G(s)

Te

y(t)

G(s) =10

(s + 10)(s + 3)et Te = 0.1s

Cahier des charges

1. Gain statique unitaire

2. Rejet des perturbations de charge constantes

3. Marge de phase de 45˚

4. Bande passante de 5rad/s

Florent Nageotte () 197 / 209

Page 218: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle

Diagramme de Bode de G(z) = (1− z−1)Z{G(s)s } = 0.0331(z+0.649)

(z−0.3679)(z−0.7048)

Premiere analyse du cahier des charges

I Ajout d’un integrateur pour (1) et (2) =⇒ C(z) = Clibrez−1

Florent Nageotte () 198 / 209

Page 219: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle

Diagramme de Bode de G(z)z−1

Deuxieme analyse du cahier des charges

I Ajout d’un zero (au moins) pour amener 65˚ de phase en ωc

I Modification du gain pour avoir GdB(ωc) = 0I =⇒ C(z) = Kc (z−z0)

z−1

Florent Nageotte () 198 / 209

Page 220: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle

I Calcul de z0

ϕ(ejωcTe − z0) = 65π

180⇐⇒ atan2(sin (ωcTe), cos (ωcTe)− z0) = 65

π

180⇐⇒ z0 = 0.6540

I Calcul de Kc

Kc˛ejωcTe − 0.6540

˛=

10.3

=⇒ Kc = 4.6

I

=⇒ C(z) =4.6(z − 0.6540)

z − 1

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Page 221: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Synthese frequentielle

Diagrammes de Bode de C(z)G(z)

Florent Nageotte () 198 / 209

Page 222: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Stabilite interne

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteursSynthese frequentielleStabilite internePlacement de poles

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Page 223: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Stabilite interne

Stabilite interne

I Stabilite BIBO insuffisante pour garantir le fonctionnement d’un systeme

r(k)

+-

u(k) y(k)C(z) G(z)

C(z) =0.3(z − 0.7)(z − 0.5)

(z − 1)(z − 2)(z − 0.1)et G(z) =

z − 2(z − 0.5)(z − 0.7)

Y (z)

R(z)=

0.3z2 − 1.1z + 0.4

=0.3

(z − 0.55− 0.31j)(z − 0.55 + 0.31j)

Systeme BIBO stable

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Page 224: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Stabilite interne

Stabilite interneOn ”mesure” la commande U

U(z)

R(z)=

0.3(z − 0.7)(z − 0.5)

(z − 2)(z2 − 1.1z + 0.4)

Systeme non BIBO stable

I Commande non stable −→ sortie stable ou non stable ?I Le moindre bruit (meme d’approximation numerique) rend le systeme instable ! !

avec le couple pole/zero en 2 sans le couple

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Page 225: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Stabilite interne

Stabilite interne

DefinitionUn systeme est stable de maniere interne si toutes les fonctions de transfert entre lesentrees externes et tous les points du systeme ont leurs poles a l’interieur du cercleunite (a gauche de l’axe imaginaire pour les systemes continus)

Consequences

I On ne peut pas compenser des poles a l’exterieur du cercle uniteI On ne peut pas compenser des zeros a l’exterieur du cercle unite

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Page 226: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Placement de poles

Plan du cours

Introduction

Conversion Numerique - Analogique et Analogique - Numerique

Representation des systemes numeriques

Analyse des systemes echantillonnes

Analyse en boucle fermee

Correction par transposition

Synthese numerique des correcteursSynthese frequentielleStabilite internePlacement de poles

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Page 227: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Placement de poles

Placement des poles de la boucle fermee

Principe

I Calculer la transmittance echantillonnee du procedeI Exprimer le cahier des charges en termes de

I Amortissement, pulsation propreI RapiditeI PrecisionI Rejet de perturbations

I Tracer le lieu d’EvansI Choisir une structure de correcteur (PI, PID, etc.)I Reglage des parametres du correcteur sur le lieu d’Evans

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Page 228: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Placement de poles

Utilisation du lieu d’Evans

4π9

5π9

6π9

7π9

8π9

π

ζ = 0, 1

ζ = 0

ζ = 0, 2

ζ = 0, 3

ζ = 0, 4ζ = 0, 5

ζ = 0, 6ζ = 0, 7ζ = 0, 8

ζ = 0, 9

ωnTe = π9

ωnTe = 3π9

ωnTe = 2π9

I poles dominants pres du cercle uniteI graduation en amortissement et pulsation propre

Attention ! valable uniquement pour des systemes equivalent a des 2nd ordre enBF

I Approximation du / des pole(s) dominant(s) : repasser les poles en continu !Florent Nageotte () 205 / 209

Page 229: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Placement de poles

Conseils pour la synthese a partir du lieu d’Evans

I Les poles et zeros du correcteur presque toujours a l’interieur du cercle uniteI Minimiser le nombre de branches du lieu d’Evans en compensant les zeros et

poles stables du procede.I Eviter les poles et zeros complexes conjugues (sauf pour compenser des poles ou

zeros stables), car le lieu devient compliqueI Utiliser des zeros pour ramener les branches dans le domaine de stabilite (effet

attracteur des zeros)I les poles ”repoussent” les branches.I Les abaques d’iso-amortissement et d’iso-pulsation propres sont valables pour

des systemes equivalents a un 2eme ordre (2 poles dominants) : pas d’autre pole nide zeros ayant une dynamique comparable.

I Attention ! Pour savoir si un / des pole(s) sont dominant(s) il est plus prudent decalculer les poles continus equivalents

I Eviter les poles reels negatifs dans le correcteur =⇒ commandes alterneesnefastes quand Te est petite

I Eviter de placer des zeros trop pres de 1 car ils compensent l’effet desintegrateurs

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Page 230: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Placement de poles

Exemple

r(k)

+ -C(z) BOZ G(s)

Te

y(t)

G(s) =10

(s + 10)(s + 3)et Te = 0.1s

Cahier des charges

1. Erreur statique nulle

2. Erreur nulle par rapport aux perturbations de sortie constantes

3. comportement de type 2eme ordre avec ζ = 0.7

4. Temps de reponse a 2% < 2s

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Page 231: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Placement de poles

G(z) = Z{B0(s)G(s)} = (1− z−1)Z{G(s)

s}

=0.033(z + 0.649)

(z − 0.3679)(z − 0.7408)

I Besoin d’un integrateur pour (1) et (2)I C(z) = Clibre

z−1

Traces pour BO(z) = KcG(z)z−1

Reglage du gain Kc pour obtenir ζ = 0.7Florent Nageotte () 208 / 209

Page 232: Analyse et Correction des Systèmes Numériques

Synthese numerique des correcteurs Placement de poles

I Systeme trop lentI =⇒ Compensation du pole dominant en z = 0.7408

Traces pour BO(z) = KcG(z)z−1

Reglage du gain pour obtenir ζ = 0.7 (Kc ∼ 4.03)Le temps de reponse est acceptable

C(z) =4.03(z − 0.7408)

z − 1

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