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Analyse Analyse factorielle de factorielle de variance: variance: Principes Principes d’expérimentatio d’expérimentatio n n

Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

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Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation. Plans à groupes indépendants: organisation. Organisation factorielle: 2 variables et plus produit cartésien des niveaux. Dro- gue. liste. mot. con. 10. abs. 10. con. 100. abs. con. 10. abs. 20. con. 100. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Analyse Analyse factorielle de factorielle de

variance: variance: Principes Principes

d’expérimentatiod’expérimentation n

Page 2: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Plans à groupes Plans à groupes indépendants: indépendants: organisation organisation

Organisation factorielle: Organisation factorielle: 2 variables et plus2 variables et plus

produit cartésien des produit cartésien des niveaux niveaux

Longueur de la liste

Type de mots

Abstraits Concrets 10 mots n11 n12

20 mots n21 n22

30 mots n31 n32

Page 3: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

10

20

10

100

10

100

abs.

abs.

abs.

abs.

con.

con.

con.

con.lis

telis

te

Dro

-D

ro-

gu

e

gu

e

mot

mot

Page 4: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Plans factoriels à Plans factoriels à groupes groupes

indépendants: indépendants: notion notion

particulièreparticulière Effet principalEffet principaleffet spécifique de la variable

indépendante

différence globale entre ses niveaux

Effet d’interactionEffet d’interactiondépendance de l’effet d’une variable

indépendante par rapport à une autre

l’effet d’une variable indépendante n’est pas le même à tous les niveaux de l’autre variable

indépendante

Longueur de la liste

Type de mots

Abstraits Concrets 10 mots n11 n12

20 mots n21 n22

30 mots n31 n32

Page 5: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Graphique d’un effet principal

v.d

.

v.i. 1v.i. 2

Page 6: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Graphique d’un effet

d’interaction

v.d

.

v.i. 1v.i. 2

Page 7: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Rappel (1)Rappel (1)

• Laquelle des 2?

• Permutations: assemblement d’objets quand la séquence d’assemblage fait une différence

)!rN(

!NPN

r

• Combinaisons: assemblement d’objets quand la séquenced’assemblage ne fait pas de différence

)!rN(!r

!NCN

r

Page 8: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Limite des plans Limite des plans factoriels: factoriels:

multiplication des multiplication des facteursfacteurs

Si pour 2 facteurs, il y a 1 interaction;

pour 3 facteurs, il y a 4 interactions;

pour 4 facteurs, il y a 11 interactions;

pour 5 facteurs, il y a 26 interactions.

pour X …, …

Page 9: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Rappel (2)Rappel (2)

1N

XX_

2

Au début de tout se trouve la variance,

X_

soit l’éloignement d’une mesure (Xi) par rapport à sa tendance centrale ( )

Page 10: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Rappel (3)Rappel (3)

Cette variance sera décomposée en deux sources de variance,chacune décomposable.

Une nouvelle notation sera utilisée

SCSCSC erreurtraitementtotal

Page 11: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Analyse Analyse factoriellefactorielle

de variance: de variance: Principes Principes

statistiques (1)statistiques (1)SCSCSC erreurtraitementtotal

SCSCSC AxBBA

SCSCSC traitementtotalerreur

N.B.: traitement s’appelle maintenant cellules dans Howell

Page 12: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Analyse Analyse factorielle factorielle

de variance: de variance: Principes Principes

statistiques (2)statistiques (2)

SCSCSCSC BAtraitementAxB

SCSCSC traitementtotalerreur

2 soustractions

Page 13: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Calcul de l’analyse Calcul de l’analyse de variance:de variance:

les sommes de les sommes de carré (1)carré (1)

 

N

_ XXXXSC

2

2

2

Total

Nn

__

j

XTXXSC22

j

2

traitement

n_

jijT

XXXSC2

j2

2

erreur

Page 14: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Calcul de l’analyse Calcul de l’analyse de variance:de variance:

les sommes de les sommes de carré (2)carré (2)

  Nn

__

j

XTXXSC22

j

2

traitement

Nnb

__

a

XTXXSC22

a

2

A

Nna

__

b

XTXXSC22

b

2

B

Longueur de la liste

Type de mots

Abstraits Concrets 10 mots n11 n12

20 mots n21 n22

30 mots n31 n32

Page 15: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Calcul de l’analyse Calcul de l’analyse de variance: de variance:

effet de l’interactioneffet de l’interaction RappelRappel

Interprétation d’une interaction Interprétation d’une interaction significativesignificative

graphique comparaisons multiples calculs d’effet simple d’une variable

indépendante aux niveaux de l’autre variable indépendante

SCSCSCSC BAtraitementAxB

Page 16: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Comparaison des Comparaison des variances:variances:

le rapport Fle rapport F

CMCMF

erreur

traitementkN,1k

où k-1 et N-k sont les dl du rapport F

Page 17: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Calcul de l’analyse Calcul de l’analyse de variance:de variance:

des sommes de des sommes de carré carré

aux carrés moyensaux carrés moyens

 

  

1kSCCM traitement

traitement

kNSCCM erreur

erreur

Page 18: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Analyse Analyse factoriellefactorielle

de variance: de variance: Principes Principes

statistiques (3) statistiques (3) les degrés de les degrés de

liberté (dl)liberté (dl)

ninteractiol'composant

facteurs des dl des tionmultiplicaninteractiodl

1NNtotal

1a dl A

kN dlerreur

1b dlB

b x ak

Page 19: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Analyse Analyse factoriellefactorielle

de variance: de variance: Principes Principes

statistiques (4) statistiques (4) les carrés les carrés

moyens (CM)moyens (CM)chaque carré moyen s’obtient par la division de sa SC par son dl

Le test F est un rapport de variance,soit le carré moyen d’un traitementdivisé par le carré moyen d’erreur

Page 20: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

1) Formulation de l’hypothèse nulle et de l’hypothèse alternative

2) Sélection d’un test et du seuil alpha

3) Détermination des dl et de la valeur critère

4) Calcul

5) Décision eu égard à l’hypothèse nulle

6) Formulation d’une conclusion

Rappel (4):Rappel (4):les étapes des tests les étapes des tests

statistiquesstatistiques

Page 21: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Un exemple de Un exemple de calculcalcul

I. Lettré, une chercheure de réputation internationale, présente des mots simples de type CVC (ex.: bol) en lettrage conventionnel ou en italique en des temps d’exposition courts et très courts. Elle enregistre le nombre d’erreurs d’identification de mots faites par 20 participants et participantes

Page 22: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Source de variation

SC

dl

CM

F

p

Type de lettrage 1 Temps d’exposition

1

Type de lettrage x Temps d’exposition

1

Erreur 16 Total

Le Tableau d’analyse de varianceLe Tableau d’analyse de variance

Page 23: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Trois hypothèses Trois hypothèses (1)(1)

Hypothèse nulle # 1:Hypothèse nulle # 1: Il n’y aura pas plus d’erreurs dans un type de lettrage que dans l’autre

Hypothèse alternative # 1:Hypothèse alternative # 1: Il y aura plus d’erreurs avec le lettrage en italique qu’avec le lettrage normalHypothèse nulle # 2:Hypothèse nulle # 2: Il y aura autant d’erreurs au temps d’exposition court qu’au temps d’exposition très court

Hypothèse alternative # 2:Hypothèse alternative # 2: Il y aura plus d’erreurs au temps d’exposition très court qu’au temps d’exposition court

Fcritère (1, 16)=

Fcritère (1, 16)=

Page 24: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Trois hypothèses Trois hypothèses (2)(2)

Hypothèse nulle # 3:Hypothèse nulle # 3: Il y aura autant d’erreurs dans chacune des quatre conditions du plan factoriel composé par le type de lettrage et la durée du temps d’exposition

Hypothèse alternative # 3:Hypothèse alternative # 3: Il y aura plus d’erreurs dans une des quatre conditions du plan factoriel composé par le type de lettrage et la durée du temps d’exposition

Fcritère (1, 16)=

Page 25: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Les sommes de Les sommes de carré dans le calcul carré dans le calcul

de l’analyse de de l’analyse de variance:variance:

rappelrappel

 

N

_ XXXXSC

2

2

2

Total

Nn

__

j

XTXXSC22

j

2

traitement

n_

jijT

XXXSC2

j2

2

erreur

Page 26: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Lettrage normal (A1)

Lettrage Italique (A2)

90 mec (B1)

45 msec (B2)

90 msec (B1)

45 msec (B2)

A1B12

A1B22

A2B12

A2B22

7 5 3 11 49 25 9 121 8 6 4 12 64 36 16 144 9 7 5 13 81 49 25 169 10 8 6 14 100 64 36 196 11 9 7 15 121 81 49 225

45 35 25 65 415 255 135 855

Page 27: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

SCtotal = 1660 - (170)2/20 = 1660 – 28900/20 = 1660 – 1445 = 215 SCtraitement = (45)2 + (25)2+ (35)2 + (65)2 -

5 (170)2/20 =

2025 + 625 + 1225 + 4225 – 1445 5

= 8100 – 1445 = 1620 – 1445= 175 5

SCerreur = SCtotal - SCtraitement = 215 – 175 = 40

N

_ XXXX

2

2

2

Nn

__

j

XTXX

22

j

2

Calcul de l’analyse Calcul de l’analyse de variance:de variance:

les sommes de les sommes de carré (1)carré (1)

Page 28: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

A1 Lettrage

normal A2 Lettrage Italique

Total

B1 90 ms

45 25 70

B2 45 ms

35 65 100

Total 80 90 170

Page 29: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Calcul de Calcul de l’analyse de l’analyse de

variance:variance:les sommes de les sommes de

carré (2)carré (2)

 

Nnb

__

a

XTXXSC22

a

2

A

Nna

__

b

XTXXSC22

b

2

B

SCSCSCSC BAtraitementAxB

Page 30: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

SCA = (80)2 + (90)2 - (170)2/20 = 6400 + 8100 – 1445 10 10

= 14500 – 1445 = 1450 – 1445 = 5 10

SCB = (70)2 + (100)2 - (170)2/20

10 = 4900 + 10000 – 1445 =

10 = 14900 – 1445 = 1490 – 1445 = 45 10

SCAxB = SCtraitement - SCA - SCB = 175 – 5 – 45 = 125

Nnb

__

a

XTXX

22

a

2

Nna

__

b

XTXX

22

b

2

Page 31: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Source de variation

SC

dl

CM

F

p

Type de lettrage

5

1

5.0

2.00

>.05

Temps d’exposition

45

1

45.0

18.00

<.05

Type de lettrage x Temps d’exposition

125

1

125.0

50.00

<.05

Erreur

40

16

2.5

Total

215

19

Le tableau Le tableau d’analyse de d’analyse de variancevariance

Le total représente la

variance totale de la

variable dépend

ante

La colonne Source de variation identifie les facteurs du schème de recherche

SPSS identifie d’autres

sources de variation qu’il faut

omettre du tableau dans

le rapport

Les SC s’addition

nent

Les dl aussi

Les CM s’obtienne

nt par division

des SC et dl

appropriésLe rapport F compare un effet (CM) de traitement avec le CM de l’erreur

L’APA exige

maintenant une

nouvelle colonne pour 2 ou 2

Plus petit que .05 signifie rejet de l’hypothèse nulle,plus grand son acceptation

Page 32: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Deux indices Deux indices de la taille de de la taille de

l’effetl’effet

SCtotal

SCtraitementSCtotal

SCerreurSCtotalη2 σ

σ2total

2traitement

CMSCtotal

SC CM 1)-(k -traitement2erreur

erreur

σσ

ω 2total

2traitement

Page 33: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Présentation des résultats de

l’analyse de variance en style APA

• Tableau, voir manuel p. 129

• Texte, voir p. 117

• exemple:Les participants font plus d’erreurs (M=10,0) quand ils voient les lettres pour un court laps de temps que pour une durée de présentation plus longue (M=7,0), F (1, 16) = 18.00, p < .05, 2 = 0.21.

6e

éd.

Page 34: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Un autre exemple Un autre exemple de calculde calcul

Un schème à groupes indépendants (intersujets) 2

x 2 x 3.

Page 35: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Les donnéesLes données

A1 A2

B1 B2 B1 B2

C1

C2

C3

C1

C2

C3

C1

C2

C3

C1

C2

C3

4 23

16

21

25

32 6 2 20

11

23

17

18

15

27

14

33

42 4 6 15

7 14

16

8 21

23

19

30

46 14

8 8 6 13

25

10

13

14

26

20

40 7 12

17

16

12

12

40

72

80

80

108

160

30

28

60

40

62

70

Page 36: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

A1 A2 B 1 B2 B1 B 2 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 16 529 256 441 625 1024 36 4 400 121 529 289 324 225 729 196 1089 1764 16 36 225 49 196 256 64 441 529 361 900 2116 169 64 64 36 169 625 100 169 196 676 400 1600 49 144 289 256 144 144 504 1364 1710 1674 3014 6504 270 248 978 462 1038 1314

Grand total

19080

Les carrés des valeursLes carrés des valeurs

Page 37: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

SCtotal = 19080 - (830)2/48 = 19080 – 688900/48 = 19080 – 14352.08 = 4727.92 SCtraitement = (40)2 + (72)2+…+ (62)2 + (70)2 - 14352.08

4 = 3766.92

SCerreur = SCtotal - SCtraitement =

4727.92 – 3766.92 = 961

Page 38: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

A1 A2 B1 B2 B1 B 2 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 4 23 16 21 25 32 6 2 20 11 23 17 18 15 27 14 33 42 4 6 15 7 14 16 8 21 23 19 30 46 13 8 8 6 13 25 10 13 14 26 20 40 7 12 17 16 12 12 40 72 80 80 108 160 30 28 60 40 62 70

Calculs des totaux Calculs des totaux des effets des effets

principaux de A, B, principaux de A, B, et Cet C

A1 = 540 A2 = 290

B1 = 310 B2 = 520

Grand total 830

C1 = 40 + 80 + 30 + 40 = 190

C3 = 80 + 160 + 60 + 70 = 370

C2 = 72 + 108 + 28 + 62 = 270

Page 39: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

SCA = (540)2 + (290)2 - (830)2 = 24 48

291600 + 84100 – 14352.08 = 24

375700 – 14352.08 = 15654.16 – 14352.08 24

= 1302.08 SCB = (310)2 + (530)2 - (830)2 = 918.75

24 48 SCC = (190)2 +(270)2 + (370)2 - (830)2 = 1016.67 16 48

Page 40: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Interaction AB

B1 B2 Total A

A1 192 348 540

A2 118 172 290

Total B 310 520 830

A1 A2 B1 B2 B1 B 2 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 4 23 16 21 25 32 6 2 20 11 23 17 18 15 27 14 33 42 4 6 15 7 14 16 8 21 23 19 30 46 13 8 8 6 13 25 10 13 14 26 20 40 7 12 17 16 12 12 40 72 80 80 108 160 30 28 60 40 62 70

Page 41: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

SCintercondAB = (192)2 + (348)2+ (118)2 + (172)2 - 14352.08 = 12 2437.58

SCAxB = SCintercondAB - SCA - SCB = 2437.58 – 1302.08 – 918.75 = 216.75

Page 42: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Interaction AC

C1 C2 C3 Total A

A1 120 180 240 540

A2 70 90 130 290

Total C 190 270 370 830

A1 A2 B1 B2 B1 B 2 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 4 23 16 21 25 32 6 2 20 11 23 17 18 15 27 14 33 42 4 6 15 7 14 16 8 21 23 19 30 46 13 8 8 6 13 25 10 13 14 26 20 40 7 12 17 16 12 12 40 72 80 80 108 160 30 28 60 40 62 70

Page 43: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

SCintercondAC = (120)2 + (180)2+ (240)2 + (70)2+ (90)2+ (130)2 - 8 14352.08 = 2435.42

SCAxC = SCintercondAC - SCA – SCC = 2435.42 – 1302.08 – 1016.67 = 116.67

Page 44: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

A1 A2 B1 B2 B1 B 2 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 4 23 16 21 25 32 6 2 20 11 23 17 18 15 27 14 33 42 4 6 15 7 14 16 8 21 23 19 30 46 13 8 8 6 13 25 10 13 14 26 20 40 7 12 17 16 12 12 40 72 80 80 108 160 30 28 60 40 62 70

Interaction BC

C1 C2 C3 Total A

B1 70 100 140 310

B2 120 170 230 520

Total C 190 270 370 830

Trouvez comment le tableau a été construit

Page 45: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

SCintercondBC = (70)2 + (100)2+ (140)2 + (120)2+ (170)2+ (230)2 - 8 14352.08 = 1985.42

SCAxC = SCintercondBC – SCB – SCC = 1985.42 – 918.75 – 1016.67 = 50

Page 46: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Interaction ABC

C1 C2 C3

B1 40 72 80 A1 B2 80 108 160

B1 30 28 60 A2 B2 40 62 70

Le tableau de l’interaction triple est la retranscription des totaux du tableau de départ

 SCAxBxC =

SCtraitement - SCA – SCB - SCc - SCAxB – SCBxC - SCAxC =

3766.9 – 1302.08 – 918.75 – 1016.67 –216.75 – 50 – 116.67 =146

Page 47: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Interaction AB

B1 B2 Total A

A1 192 348 540

A2 118 172 290

Total B 310 520 830

Cette interaction est significative parce quela différence entre les niveaux de A (540 à 290)n’est pas la même à chaque niveau de B(192 à 118 pour B1 versus 348 à 172 pour B2)oula différence entre les niveaux de B (310 à 520)n’est pas la même à chaque niveau de A(192 à 348 pour A1 versus 118 à 172 pour A2)

Page 48: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Interaction BC C1 C2 C3 Total A

B1 70 100 140 310

B2 120 170 230 520

Total C 190 270 370 830

Cette interaction n’est pas significative parce quela différence entre les niveaux de B (310 à 520)est semblable à chaque niveau de C(70 à 120 pour C1 vs 100 à 170 pour C2 vs 140 à 230 pour C3)oula différence entre les niveaux de C (190 à 270 à 370)est semblable à chaque niveau de B(70 à 100 à 140 pour B1 versus 120 à 170 à 230 pour B2)

Page 49: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Source de variation

SC dl

CM F p

Page 50: Analyse factorielle de variance: Principes d’expérimentation

Au-delà de Au-delà de l’analyse l’analyse

factorielle de factorielle de variance variance Comparaisons multiples: du test t aux autres

Ns

Ns

XXt

2

2

2

1

2

1

21dl

__

n

XXqCMerreur

__

ji

dl,dl

Schèmes à mesures répétées- considérer l’erreur comme juchée dans les facteurs intersujets- dl = (n-1)x(ab…)