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Analyse
http://mathsv.univ-lyon1.fr
Muriel Ney
LaboratoireBiométrie et Biologie Evolutive
s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s162 cm 2 cm cm cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm
TT TT TT TT(E) TT TT TT TT TT TT(E)
TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD 2TD TD
Vacances
Organisation du semestreAffichage des groupes TT/TD et des salles : vendredi ou lundi matin.
Objectif général du cours
• Apprendre à utiliser le langage mathématique pour résoudre des situations où interviennent des phénomènes biologiques
• Apprendre les concepts de base et se familiariser avec les usages et les significations de ces concepts en fonction de la situation biologique
Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’
CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles
CM3 Prendre du recul calculer une Primitive et intégrer une fonction
CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle
Les cours de probabilités-statistiques
‘Prise de décision sur un phénomène aléatoire’
• Probabilités
• Statistiques descriptives
• Estimation
• Tests d’hypothèses
Dominique Mouchiroud
Déterminisme et Hasard
Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population d’organismes vivants ?
La croissance
Déterminisme = reproduction, mortalité, etc.
Variabilité (« hasard ») = temps et succès de la reproduction, etc.
Déterminisme et Hasard
Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population ?
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6
Temps
No
mb
re d
'org
an
ism
es
Déterminisme et Hasard
1. Modèles du hasard
Se décider dans une situation où le hasard intervient
outils = probabilités et statistiques
0
20
40
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0 1 2 3 4 5 6
Temps N
om
bre
d'o
rgan
ism
es
Déterminisme et Hasard
2. Modèles déterministes
Faire le lien entre le phénomène et les processus qui le provoquent
Outils : fonctions et équations différentielles
0
20
40
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0 1 2 3 4 5 6
Temps
No
mb
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'org
an
ism
es
Etude de fonction
Modéliser le phénomène par une fonction
Déterminer des propriétés de la fonction
Interpréter en termes biologiques
0
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40
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100
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Temps
No
mb
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'org
an
ism
es
Un jeu de traduction• Est-ce que le nombre d’organismes ne fait que croître avec le
temps ?
• Quelle est vitesse d’accroissement du nombre d’organismes ?
• Quel est le nombre moyen d’organismes produits entre le début de l’expérience et un temps t donné ?
• Est-ce que le nombre d’organismes se stabilise au bout d’un certain temps ?
Un jeu de traduction• Est-ce que le nombre d’organismes ne fait que croître avec le
temps ?le signe de la dérivée de g
• Quelle est vitesse d’accroissement du nombre d’organismes?la dérivée seconde
• Quel est le nombre moyen d’organismes produits entre le début de l’expérience et un temps t donné ?
l’intégrale sur [0 , t]
• Est-ce que le nombre d’organismes se stabilise au bout d’un certain temps ?
la limite quand le temps tend vers l’infini, l’asymptote
CM1,CM2 : Décrire les variations
• Definition d’une fonction
• Etude de fonction en étapes (a à h)
• Fonctions usuelles: fonction linéaire, exponentielle, logarithme, puissance
Définition d’une fonction
Application de IR dans IR qui à un point x de IR fait correspondre un point UNIQUE y = f(x) dans IR.
x : le temps (t), la température (T), etc.
f : un nombre d’organismes (N), leur taille, leur poids, une concentration, une intensité, etc.
Plan d’étude d’une fonction
MathSV : Analyse Etude de fonctions
Applications à l’étude des fonctions
A. Df
B. Symétrie
C. Points particuliers
D. Sens de variation
E.
F. Tableau de variation
Limites
G. Asymptotes
H. Graphe f x
f x
Espérance de vie à la naissance
Un indicateur fondé uniquement sur les données de la mortalité : le nombre moyen d'années que peut espérer vivre une
personne (dans les conditions de mortalité de la période considérée).
Nous allons modéliser l’augmentation de l’espérance de vie à la naissance entre 1981 et 2000 (des hommes et des femmes).
Quel modèle (quelle fonction) ?
Espérance de vie = f (temps)
( )E t at b t= année
E=espérance
a et b dépendent du sexe
A. Domaine de définition
Définitions :
• Df = Domaine de définition Ensemble de départ (ensemble des antécédents) = l’ensemble des x
• f(Df ) = Ensemble d’arrivée (ou ensemble des images) = l’ensemble des y
f
B. Symétrie : paire ou impaire ?Définitions :
On dit que f est paire si f(-x)=f(x) symétrie / axe y
exemple f(x)=x2
On dit que f est impaire si f(-x)=-f(x) symétrie / (0,0)
exemple f(x)=ax (0,0)x
y
x-x
C. Points particuliers
x = 0 alors f(x) = ?
f(x) = 0 alors x = ?
D. Sens de variation : dérivéeMathSV : formulaire
Définition :
La dérivée de f en x0 est la variation de f dans un voisinage infiniment petit de ce point
0
00
0
( ) ( )limx x
f x f xf x
x x
Notation : 0 0
dff x x
dx Limite
D. Sens de variation : dérivée
0
00
0
( ) ( )limx x
f x f xf x
x x
x
yf(x)
x0
0 0 0
0
0 0 0
( )( ) ( )
ou
avec ( )
et ( ) ( )
y f x x x f x
y ax b
a f x
b f x x f x
Equation de la tangente au point x0
x
yf(x)
T
x0
f(x)=|x|Fonction continue mais non dérivable en 0
f(x)= x2
Dérivable en tout point
Continuité
Définition :
Une fonction est continue en un point x0
si la limite en ce point
existe.
0
lim ( )x x
f x
Continue en (0,0) Pas continue en (0,0)
D. Sens de variation
Propriétés :
• f est constante sur [a,b] si la dérivée est nulle sur [a,b]
• f est croissante sur [a,b] si la dérivée est positive sur [a,b]
• f est décroissante sur [a,b] si la dérivée est négative sur [a,b]
• f admet un extremum en x si la dérivée s’annule en x
E. La dérivée seconde f”(x)
Définitions :
1. f est convexe sur un intervalle si sa dérivée seconde est positive (le graphe de f est courbé vers le haut)
E. La dérivée seconde f”(x)
Définitions :
2. f est concave sur un intervalle si sa dérivée seconde est négative
E. La dérivée seconde f”(x)
Définitions :
3. f a un point d’inflexion si la dérivée seconde s’annule ET change de signe en ce point.
3f x x
F. Le tableau de variation
1. Construire le tableau à partir du signe de la dérivée.
1. Compléter ce tableau en cherchant les limites de f aux bornes des intervalles, et lorsque x tend vers plus ou moins l’infini.
1 1053x
f’(x)
f(x)
+_
Calcul des limites
Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe,
de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra,
alors cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.
Cauchy, 1821
Calcul des limitesMathSV : formulaire
Formes indéterminées
00 ( )
0 0
a
G. Asymptotes
Si la courbe de f s’approche infiniment près d’une droite, celle-ci s’appelle une asymptote
Asymptote oblique
Asymptote verticale
Asymptotes
• Si il y a une asymptote verticale passant par x = x0
• Si il y a une asymptote horizontale passant par y = l
• Si il y a une asymptote oblique d’équation y = ax+b
0
( )limx x
f xa
x
lim ( )x
f x
0
lim ( )x x
f x
lim ( )x
f x l
lim ( )x
b f x ax
si
H. Graphe
Mesurer les magnitude d’un tremblement de terre
A amplitude des oscillations, T période
M = ln(A/T)
Japon 1906 A/T=3641 M = ?
Chili 1960 A/T=13360 M = ?
Echelle de Richter
100
1000
10
2143
5
6
7A/T
M = ln(A/T)
L’échelle logarithmique rapproche des valeurs qui sont de plus en plus éloignées
500
Propriétés• ln (1) = 0
• ln (ab) = ln(a) +ln(b)donc ln (ap) = p ln(a)
• ln (a/b) = ln(a) – ln(b)donc ln(1/b) = – ln(b)
• Logarithme en base 10 : Log10(a) = ln(a)/ln(10)
donc Log10(10n) = n
Etude de la fonction ln(x)logarithme népérien
A. Df
B. Symétrie
C. Points particuliers
D. Sens de variation
E.
F. Tableau de variation
Limites
G. Asymptotes
H. Graphe f x
f x
Graphe logarithme népérien
Croissance d’une population de tourterelles
Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne :1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964
On cherche un modèle de l’accroissement de la population de ces tourterelles compatible avec les données en GB.
Hypothèse : le nombre de tourterelles est proportionnel au nombre d’endroits où l’espèce est recensée.
Données : modèle (fonction) ?
Temps Lieux
1955 1
1956 2
1957 6
1958 15
1959 29
1960 58
1961 117
1962 204
1963 342
1964 501
btN ae
Propriétés
• Notation : exp(x) = ex
• exp(0) = 1 exp(1) = e
• exp(a+b) = exp(a) exp(b)donc exp(ap) = exp(a)p
• exp(a-b) = exp(a) / exp(b)donc exp(-b) = 1 / exp(b)
La fonction exp est la fonction réciproque de la fonction ln
Définitions
f admet une fonction réciproque s’il existe une fonction g telle que
f o g = g o f = Identité avec Identité(x)=x
où f o g est la fonction composée définie par
f o g (x) = f ( g (x) )
“logarithme(exponentielle) = droite”
btN ae ln ln N a bt
Etude de la fonction exp
A. Df
B. Symétrie
C. Points particuliers
D. Sens de variation
E.
F. Tableau de variation
Limites
G. Asymptotes
H. Graphe f x
f x
Graphe
Autres fonctions usuelles
Fonctions trigonométriques
Variations de la dureté de l’eau en fonction du temps
cosD t f t
Fonctions polynômes
Polynôme de degré 4
Polynôme de degré 3
Polynôme de degré 2
Fonction linéaire
2f x ax bx c
f x ax b
3 2f x ax bx cx d
4 3 2f x ax bx cx dx e
Variation du taux de croissance d’une population en fonction de la
température2T aT b
Existe-t-il une relation entre le poids du corps et le poids du cerveau chez les mammifères ?
Si oui, laquelle ?
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Poids du corps (Kg)
Po
ids
du
ce
rve
au
(g
)
y = 0,7517x - 1,3279
-1
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7
Log10(Poids du corps en g)
Lo
g10
(Po
ids
du
cer
veau
en
g)
Log10(cerveau) = a Log10(corps) + b
donc cerveau = 10b (corps)a
y = c xa
a = 0,7517
b = -1,3279
Etude de la fonction xm
A. Df
B. Symétrie
C. Points particuliers
D. Sens de variation
E.
F. Tableau de variation
Limites
G. Asymptotes
H. Graphe f x
f x
Graphe mf x x
m = 0
La semaine prochaine
• Deux cours : intégration et équations différentielles
• Une séance de Travaux Tutorés
• Une séance de Travaux dirigés
MathSV : QCM des chapitres 1 à 4.
