Analyse Limite v2

Rsistance des matriaux II Chapitre 12

Prpar par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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1

Comportement au-del du domaine lastiquechapitre 12

Objectifs Connatre le comportement dun matriau lastique

parfaitement plastique Analyser une structure soumise un chargement uniaxial Analyser une structure soumise un chargement de torsion

Calculer la force ou le moment au dbut de lcoulement plastique Calculer la force ou le moment limite Calculer la rserve

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Chapitre 12Comportement au-del du domaine lastique

12.1 Introduction12.2 Modles pour l tude du comportement des matriaux12.3 Application de l analyse limite au chargement uniaxial

12.3.1 Analyse lastique12.3.2 Comportement au-del du domaine lastique12.3.3 Analyse limite12.3.4 Comparaison entre l analyse limite et l analyse lastique

12.4 Application de lanalyse limite la torsion12.5 Application de l analyse limite la flexion

12.5.1 Moment limite12.5.2 Analyse limite des poutres

12.6 Contraintes rsiduelles12.7 Conclusion

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Analyse limite Utiliser un modle de matriau lastique-parfaitement plastique.

Dans cette tude, on appelle FY ,TY et MY ,la force, le couple et le moment qui provoquent le dbut de lcoulement plastique dans une pice ou une structure. Cest la force FY, le couple TY ou le moment MY dcoulement.

Par contre, on appelle FL, TL et ML la force, le couple et le momentqui provoquent la plastification complte dune pice ou dune structure. Cest la force FL, le couple TL ou le moment ML limite.

YS

Modle rel

Modle lastique-parfaitement plastique

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Analyse limite pour chargement uniaxial

Exemple:Calculer FY et FL pour la structure trois barreaux ci-contre qui onttous la mme section (A1 = A2= A).

Mthode de solution :

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Problme hyperstatique; les ractions sont obtenues en appliquant simultanment :

les quations dquilibre les quations de compatibilit

Problme isostatique ; les ractions sont obtenues en appliquant seulement

les quations dquilibre

E

o45B C D

LL

L

F

o45

1barreau

2barreau

FY

FL

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12.3 Application-Solution (suite)a) quilibre

Nous avons deux inconnues et une seule quation d quilibre, donc un problme hyperstatique.

( )

2 2

22

45cos20

21

21

21

RRF

RRF

RRFFy

+=+=+==

)1.12(

1R 2R2R

F

E

o45 o45

5

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12.3 Application-Solution (suite)b) Compatibilit

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o45BC

E

L

( )o45cos

)45cos(121

o==

)2.12( b

1R 2R2R

F

E

o45 o45

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12.3 Application-Solution (suite)c) Relation P-Dans le domaine lastique, pour une membrure charge uniaxialement

E2L

AR

EL

ARet

EL

AR

EL

AR

od'

membrure la dent e allongem : membrure la dans uniaxiale force : P

EALP

ELE

LE

LLE

2

22

2

22

1

11

1

11 ====

===== F

E

o45o45B C D

LL

L12 2

)3.12(

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12.3 Application-Solution (suite)d) Rsolution :En combinant les relations prcdentes :

on obtient :

22FR

22F2R

2RRF

2

1

21

+=+=+=

FE

o45o45B C D

LL

L12 2)45cos()45cos( oo12 ==

EL

AR

EL

AR 2et

2

22

1

11 ==

222

1

1

2

2

EL

AR

EL

AR =

AAA == 2121 R2R =

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Puisque R1 = 2 R2 et puisque A1 = A2 , dans le domaine lastique:

la premire membrure atteindre lcoulement plastique sera la membrure 1.

Donc :

+=

+==

221SAF

A1

22F2

ARS

YY

Y1Y 22

F2Rcar 1 +=

21 2 =

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Pour un matriau lastique-parfaitement plastique, lorsque Faugmente au del de FY , la raction R1 reste constante et gale ASY alors que la raction R2 continue augmenter. la charge limite FL, les deux ractions R1 et R2 valent ASY. Donc, de (12.1) :

Puisque A1 = A2, on a :

2SASA2RRF Y2Y121L +=+=

( )( ) 41,1

22212

et21

=++=

+=

Y

L

YL

FF

SAF

YSA

F

E

o45 o45YSA YSA

la limite du comportement lastique, la structure tudie dispose de 41% de rserve avant de seffondrer

+=221SAF ; YY

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La rigidit dune structure est dfinie par le rapport chargement/dplacement.Ici, la rigidit est obtenue l aide des quations suivantes:

De M N :

De N P :

o est lallongement du barreau 1Y et L sont difficilement dtectables lil nu; en consquence, la structure entre en tat limite sans que cela ne soit bien perceptible.

+=LEAF

222

+=LEASAF Y 2

2YFLF

F

Y L

M

N

P O

YSA

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Analyse limite pour torsion

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SYS

Y

T

SYS

Y

Y

YTT

==

=

Y

Y

YTT

>>

>

= LTT

SYS

SYS

x

Modle lastique-parfaitement plastique en cisaillement

T

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Arbre en torsion: valeur de au dbut de lcoulement (Y = SSY)

JrTY

Yx ==

),0( Y

),0(X Y

12 3

220,1 max

max

YY SSFS ===

2minmax

max

=( )

YYY ==

2max

2 SY

YY S

S ==

xT

o SSY : limite dcoulement en torsion

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Selon Tresca

Donc :

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Arbre en torsion: valeur de au dbut de lcoulement (Y = SSY)

xT

JrTY

Yx ==

12

),0( Y

),0(X Y

3

YY SSFS === ''

0,1 ( ) ( ) ( )[ ]21323222121' ++=

Donc :

( )( ) ( ) ( )[ ] 30021' 222 YYYYY =++=

577,03 SYYY

Y SSS ===

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Selon Von Mises

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Au dbut de lcoulement sur la section, T=TY

322

44 drJJ

rTx

===

SYYY

SY SrT

JrTS

2

3==

r

SYx S=

YT

Mises)(Von 577,0ou (Tresca) 2 YY

SY SSS =

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la plastification complte de la section, T = TL

( )( )

=

=r

SYL

r

SYL

SdT

SddT

0

0

2

0

2

34et

32 3 ==

Y

LSYL T

TSrT

ForceBras de levier

la limite du comportement lastique, un barreau circulaire plein en torsion dispose de 33% de rserve avant de seffondrer

SYx S=

LT

r

SYS

Force

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rserve

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Pour un tube de section circulaire, quel est le rapport TL / TY?

( )o

ioSY

o

SYY R

RRSR

JST ==

2

44

== oi

R

R

ioSYSYL

RRSSdT3

2)2(33

oDiD

YT

SYS

oDiD

LT

SYS

JrTS YSY =

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Pour un tube de section circulaire, quel est le rapport TL / TY?

Si on pose Ri = XRo , on a:(X < 1,0)

Pour X = 0,9 typiquement,

oDiD

T

( )( )4433

34

io

ioo

Y

L

RRRRR

TT

=

( )( )43

11

34

XX

TT

Y

L

=

( )o

ioSYY R

RRST =

2

44

32

33io

SYLRRST =

la limite du comportement lastique,