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Rsistance des matriaux II Chapitre 12
Prpar par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
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Comportement au-del du domaine lastiquechapitre 12
Objectifs Connatre le comportement dun matriau lastique
parfaitement plastique Analyser une structure soumise un chargement uniaxial Analyser une structure soumise un chargement de torsion
Calculer la force ou le moment au dbut de lcoulement plastique Calculer la force ou le moment limite Calculer la rserve
Rsistance des matriaux II Chapitre 12
Prpar par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
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Chapitre 12Comportement au-del du domaine lastique
12.1 Introduction12.2 Modles pour l tude du comportement des matriaux12.3 Application de l analyse limite au chargement uniaxial
12.3.1 Analyse lastique12.3.2 Comportement au-del du domaine lastique12.3.3 Analyse limite12.3.4 Comparaison entre l analyse limite et l analyse lastique
12.4 Application de lanalyse limite la torsion12.5 Application de l analyse limite la flexion
12.5.1 Moment limite12.5.2 Analyse limite des poutres
12.6 Contraintes rsiduelles12.7 Conclusion
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Rsistance des matriaux II Chapitre 12
Prpar par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
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Analyse limite Utiliser un modle de matriau lastique-parfaitement plastique.
Dans cette tude, on appelle FY ,TY et MY ,la force, le couple et le moment qui provoquent le dbut de lcoulement plastique dans une pice ou une structure. Cest la force FY, le couple TY ou le moment MY dcoulement.
Par contre, on appelle FL, TL et ML la force, le couple et le momentqui provoquent la plastification complte dune pice ou dune structure. Cest la force FL, le couple TL ou le moment ML limite.
YS
Modle rel
Modle lastique-parfaitement plastique
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Analyse limite pour chargement uniaxial
Exemple:Calculer FY et FL pour la structure trois barreaux ci-contre qui onttous la mme section (A1 = A2= A).
Mthode de solution :
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Problme hyperstatique; les ractions sont obtenues en appliquant simultanment :
les quations dquilibre les quations de compatibilit
Problme isostatique ; les ractions sont obtenues en appliquant seulement
les quations dquilibre
E
o45B C D
LL
L
F
o45
1barreau
2barreau
FY
FL
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12.3 Application-Solution (suite)a) quilibre
Nous avons deux inconnues et une seule quation d quilibre, donc un problme hyperstatique.
( )
2 2
22
45cos20
21
21
21
RRF
RRF
RRFFy
+=+=+==
)1.12(
1R 2R2R
F
E
o45 o45
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12.3 Application-Solution (suite)b) Compatibilit
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o45BC
E
L
( )o45cos
)45cos(121
o==
)2.12( b
1R 2R2R
F
E
o45 o45
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12.3 Application-Solution (suite)c) Relation P-Dans le domaine lastique, pour une membrure charge uniaxialement
E2L
AR
EL
ARet
EL
AR
EL
AR
od'
membrure la dent e allongem : membrure la dans uniaxiale force : P
EALP
ELE
LE
LLE
2
22
2
22
1
11
1
11 ====
===== F
E
o45o45B C D
LL
L12 2
)3.12(
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12.3 Application-Solution (suite)d) Rsolution :En combinant les relations prcdentes :
on obtient :
22FR
22F2R
2RRF
2
1
21
+=+=+=
FE
o45o45B C D
LL
L12 2)45cos()45cos( oo12 ==
EL
AR
EL
AR 2et
2
22
1
11 ==
222
1
1
2
2
EL
AR
EL
AR =
AAA == 2121 R2R =
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Puisque R1 = 2 R2 et puisque A1 = A2 , dans le domaine lastique:
la premire membrure atteindre lcoulement plastique sera la membrure 1.
Donc :
+=
+==
221SAF
A1
22F2
ARS
YY
Y1Y 22
F2Rcar 1 +=
21 2 =
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Pour un matriau lastique-parfaitement plastique, lorsque Faugmente au del de FY , la raction R1 reste constante et gale ASY alors que la raction R2 continue augmenter. la charge limite FL, les deux ractions R1 et R2 valent ASY. Donc, de (12.1) :
Puisque A1 = A2, on a :
2SASA2RRF Y2Y121L +=+=
( )( ) 41,1
22212
et21
=++=
+=
Y
L
YL
FF
SAF
YSA
F
E
o45 o45YSA YSA
la limite du comportement lastique, la structure tudie dispose de 41% de rserve avant de seffondrer
+=221SAF ; YY
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La rigidit dune structure est dfinie par le rapport chargement/dplacement.Ici, la rigidit est obtenue l aide des quations suivantes:
De M N :
De N P :
o est lallongement du barreau 1Y et L sont difficilement dtectables lil nu; en consquence, la structure entre en tat limite sans que cela ne soit bien perceptible.
+=LEAF
222
+=LEASAF Y 2
2YFLF
F
Y L
M
N
P O
YSA
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Analyse limite pour torsion
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SYS
Y
T
SYS
Y
Y
YTT
==
=
Y
Y
YTT
>>
>
= LTT
SYS
SYS
x
Modle lastique-parfaitement plastique en cisaillement
T
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Arbre en torsion: valeur de au dbut de lcoulement (Y = SSY)
JrTY
Yx ==
),0( Y
),0(X Y
12 3
220,1 max
max
YY SSFS ===
2minmax
max
=( )
YYY ==
2max
2 SY
YY S
S ==
xT
o SSY : limite dcoulement en torsion
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Selon Tresca
Donc :
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Arbre en torsion: valeur de au dbut de lcoulement (Y = SSY)
xT
JrTY
Yx ==
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),0( Y
),0(X Y
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YY SSFS === ''
0,1 ( ) ( ) ( )[ ]21323222121' ++=
Donc :
( )( ) ( ) ( )[ ] 30021' 222 YYYYY =++=
577,03 SYYY
Y SSS ===
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Selon Von Mises
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Au dbut de lcoulement sur la section, T=TY
322
44 drJJ
rTx
===
SYYY
SY SrT
JrTS
2
3==
r
SYx S=
YT
Mises)(Von 577,0ou (Tresca) 2 YY
SY SSS =
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la plastification complte de la section, T = TL
( )( )
=
=r
SYL
r
SYL
SdT
SddT
0
0
2
0
2
34et
32 3 ==
Y
LSYL T
TSrT
ForceBras de levier
la limite du comportement lastique, un barreau circulaire plein en torsion dispose de 33% de rserve avant de seffondrer
SYx S=
LT
r
SYS
Force
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rserve
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Pour un tube de section circulaire, quel est le rapport TL / TY?
( )o
ioSY
o
SYY R
RRSR
JST ==
2
44
== oi
R
R
ioSYSYL
RRSSdT3
2)2(33
oDiD
YT
SYS
oDiD
LT
SYS
JrTS YSY =
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Pour un tube de section circulaire, quel est le rapport TL / TY?
Si on pose Ri = XRo , on a:(X < 1,0)
Pour X = 0,9 typiquement,
oDiD
T
( )( )4433
34
io
ioo
Y
L
RRRRR
TT
=
( )( )43
11
34
XX
TT
Y
L
=
( )o
ioSYY R
RRST =
2
44
32
33io
SYLRRST =
la limite du comportement lastique,