Analyse Limite v2

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  • Rsistance des matriaux II Chapitre 12

    Prpar par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

    5

    1

    Comportement au-del du domaine lastiquechapitre 12

    Objectifs Connatre le comportement dun matriau lastique

    parfaitement plastique Analyser une structure soumise un chargement uniaxial Analyser une structure soumise un chargement de torsion

    Calculer la force ou le moment au dbut de lcoulement plastique Calculer la force ou le moment limite Calculer la rserve

  • Rsistance des matriaux II Chapitre 12

    Prpar par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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    Chapitre 12Comportement au-del du domaine lastique

    12.1 Introduction12.2 Modles pour l tude du comportement des matriaux12.3 Application de l analyse limite au chargement uniaxial

    12.3.1 Analyse lastique12.3.2 Comportement au-del du domaine lastique12.3.3 Analyse limite12.3.4 Comparaison entre l analyse limite et l analyse lastique

    12.4 Application de lanalyse limite la torsion12.5 Application de l analyse limite la flexion

    12.5.1 Moment limite12.5.2 Analyse limite des poutres

    12.6 Contraintes rsiduelles12.7 Conclusion

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    Analyse limite Utiliser un modle de matriau lastique-parfaitement plastique.

    Dans cette tude, on appelle FY ,TY et MY ,la force, le couple et le moment qui provoquent le dbut de lcoulement plastique dans une pice ou une structure. Cest la force FY, le couple TY ou le moment MY dcoulement.

    Par contre, on appelle FL, TL et ML la force, le couple et le momentqui provoquent la plastification complte dune pice ou dune structure. Cest la force FL, le couple TL ou le moment ML limite.

    YS

    Modle rel

    Modle lastique-parfaitement plastique

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    Analyse limite pour chargement uniaxial

    Exemple:Calculer FY et FL pour la structure trois barreaux ci-contre qui onttous la mme section (A1 = A2= A).

    Mthode de solution :

    4

    Problme hyperstatique; les ractions sont obtenues en appliquant simultanment :

    les quations dquilibre les quations de compatibilit

    Problme isostatique ; les ractions sont obtenues en appliquant seulement

    les quations dquilibre

    E

    o45B C D

    LL

    L

    F

    o45

    1barreau

    2barreau

    FY

    FL

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    12.3 Application-Solution (suite)a) quilibre

    Nous avons deux inconnues et une seule quation d quilibre, donc un problme hyperstatique.

    ( )

    2 2

    22

    45cos20

    21

    21

    21

    RRF

    RRF

    RRFFy

    +=+=+==

    )1.12(

    1R 2R2R

    F

    E

    o45 o45

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    12.3 Application-Solution (suite)b) Compatibilit

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    o45BC

    E

    L

    ( )o45cos

    )45cos(121

    o==

    )2.12( b

    1R 2R2R

    F

    E

    o45 o45

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    12.3 Application-Solution (suite)c) Relation P-Dans le domaine lastique, pour une membrure charge uniaxialement

    E2L

    AR

    EL

    ARet

    EL

    AR

    EL

    AR

    od'

    membrure la dent e allongem : membrure la dans uniaxiale force : P

    EALP

    ELE

    LE

    LLE

    2

    22

    2

    22

    1

    11

    1

    11 ====

    ===== F

    E

    o45o45B C D

    LL

    L12 2

    )3.12(

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    12.3 Application-Solution (suite)d) Rsolution :En combinant les relations prcdentes :

    on obtient :

    22FR

    22F2R

    2RRF

    2

    1

    21

    +=+=+=

    FE

    o45o45B C D

    LL

    L12 2)45cos()45cos( oo12 ==

    EL

    AR

    EL

    AR 2et

    2

    22

    1

    11 ==

    222

    1

    1

    2

    2

    EL

    AR

    EL

    AR =

    AAA == 2121 R2R =

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    Puisque R1 = 2 R2 et puisque A1 = A2 , dans le domaine lastique:

    la premire membrure atteindre lcoulement plastique sera la membrure 1.

    Donc :

    +=

    +==

    221SAF

    A1

    22F2

    ARS

    YY

    Y1Y 22

    F2Rcar 1 +=

    21 2 =

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    Pour un matriau lastique-parfaitement plastique, lorsque Faugmente au del de FY , la raction R1 reste constante et gale ASY alors que la raction R2 continue augmenter. la charge limite FL, les deux ractions R1 et R2 valent ASY. Donc, de (12.1) :

    Puisque A1 = A2, on a :

    2SASA2RRF Y2Y121L +=+=

    ( )( ) 41,1

    22212

    et21

    =++=

    +=

    Y

    L

    YL

    FF

    SAF

    YSA

    F

    E

    o45 o45YSA YSA

    la limite du comportement lastique, la structure tudie dispose de 41% de rserve avant de seffondrer

    +=221SAF ; YY

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    La rigidit dune structure est dfinie par le rapport chargement/dplacement.Ici, la rigidit est obtenue l aide des quations suivantes:

    De M N :

    De N P :

    o est lallongement du barreau 1Y et L sont difficilement dtectables lil nu; en consquence, la structure entre en tat limite sans que cela ne soit bien perceptible.

    +=LEAF

    222

    +=LEASAF Y 2

    2YFLF

    F

    Y L

    M

    N

    P O

    YSA

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    Analyse limite pour torsion

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    SYS

    Y

    T

    SYS

    Y

    Y

    YTT

    ==

    =

    Y

    Y

    YTT

    >>

    >

    = LTT

    SYS

    SYS

    x

    Modle lastique-parfaitement plastique en cisaillement

    T

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    Arbre en torsion: valeur de au dbut de lcoulement (Y = SSY)

    JrTY

    Yx ==

    ),0( Y

    ),0(X Y

    12 3

    220,1 max

    max

    YY SSFS ===

    2minmax

    max

    =( )

    YYY ==

    2max

    2 SY

    YY S

    S ==

    xT

    o SSY : limite dcoulement en torsion

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    Selon Tresca

    Donc :

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    Arbre en torsion: valeur de au dbut de lcoulement (Y = SSY)

    xT

    JrTY

    Yx ==

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    ),0( Y

    ),0(X Y

    3

    YY SSFS === ''

    0,1 ( ) ( ) ( )[ ]21323222121' ++=

    Donc :

    ( )( ) ( ) ( )[ ] 30021' 222 YYYYY =++=

    577,03 SYYY

    Y SSS ===

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    Selon Von Mises

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    Au dbut de lcoulement sur la section, T=TY

    322

    44 drJJ

    rTx

    ===

    SYYY

    SY SrT

    JrTS

    2

    3==

    r

    SYx S=

    YT

    Mises)(Von 577,0ou (Tresca) 2 YY

    SY SSS =

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    la plastification complte de la section, T = TL

    ( )( )

    =

    =r

    SYL

    r

    SYL

    SdT

    SddT

    0

    0

    2

    0

    2

    34et

    32 3 ==

    Y

    LSYL T

    TSrT

    ForceBras de levier

    la limite du comportement lastique, un barreau circulaire plein en torsion dispose de 33% de rserve avant de seffondrer

    SYx S=

    LT

    r

    SYS

    Force

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    rserve

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    Pour un tube de section circulaire, quel est le rapport TL / TY?

    ( )o

    ioSY

    o

    SYY R

    RRSR

    JST ==

    2

    44

    == oi

    R

    R

    ioSYSYL

    RRSSdT3

    2)2(33

    oDiD

    YT

    SYS

    oDiD

    LT

    SYS

    JrTS YSY =

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    Prpar par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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    Pour un tube de section circulaire, quel est le rapport TL / TY?

    Si on pose Ri = XRo , on a:(X < 1,0)

    Pour X = 0,9 typiquement,

    oDiD

    T

    ( )( )4433

    34

    io

    ioo

    Y

    L

    RRRRR

    TT

    =

    ( )( )43

    11

    34

    XX

    TT

    Y

    L

    =

    ( )o

    ioSYY R

    RRST =

    2

    44

    32

    33io

    SYLRRST =

    la limite du comportement lastique,