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Analyse Numérique

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    ANALYSE NUMRIQUE

    JEAN-PAUL CALVI

    1R2

    UPSUniversit de Toulouse

    http://univ.jeanpaulcalvi.com

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    2013-14 Jean-Paul Calvi

    ISNB 978-2-9546609-0-5

    R2 Dcembre 2014

    Louvrage est disponible en ligne sur les pages suivantes :

    http://univ.jeanpaulcalvi.com

    http://www.math.univ-toulouse.fr/calvi

    Il est interdit de dposer ce documents sur une page ou dans une archive lectronique sans lautori-sation crite de lauteur.

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    At my hutAll that I have to offer you,Is that the mosquitoes are small.

    Bash

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    Prface

    Jattribue mon intrt - tardif - pour lanalysenumrique deux accidents non entirement ind-pendants et conjointement lorigine de ce livre.Le premier, qui permit le second, remonte marencontre avec Len Bos, aujourdhui professeur luniversit de Vrone, un remarquable num-ricien - et trs passable fermier - tandis que lesecond se produisit un peu plus tard lorsque le D-partement de Mathmatiques de lUniversit PaulSabatier me confia, il y a dj une dizaine dan-nes, un cours danalyse numrique destin destudiants de la filire informatique. Si la Providenceseule explique le premier, le cours dinformatiqueen question mchut par une mthode intressanteque jappelle celle du dernier reste : le dparte-ment me fit plusieurs fois lhonneur de mattribuerun enseignement dont aucun de mes collgues nevoulait, attention que jai toujours tent de mex-pliquer, mme difficilement, par lvidence de mesqualits pdagogiques. Jabordai la prparation dece cours avec une intention hrtique, celle demadresser au public auquel il tait destin, en sui-vant un syllabus la fois laconique et banal, danslide de procurer une culture numrique rudimen-taire mais cohrente qui ne se risquerait pas lire une seule des dmonstrations quil contien-drait. En ralit, je rencontrai au dbut plusieurspromotions dtudiants remarquables qui me dis-suadrent de supprimer les dmonstrations quilsntaient pas contraints de lire et firent en sorteque mon cours ne prenne jamais la direction duneintroduction purement informelle. Si bien quun pu-blic plus expert sintressa au texte et je fus parla suite conduit dvelopper le contenu jusquinclure quelques lments surtout destins deslecteurs qui se spcialisaient en mathmatiques, enavertissant les autres par le symbole . Pour restercohrent avec mon objectif, je me suis appuy surdes bases mathmatiques modestes : une connais-sance raisonnable de lanalyse des fonctions dunevariable relle, disons, du thorme des valeurs in-termdiaires jusqu la formule de Taylor (qui sera

    rappele) et une certaine familiarit avec le calculmatriciel. Jai insr dassez nombreux exercices,souvent lmentaires, y compris dans le cours dutexte, dans lespoir daider la comprhension.Jai aussi inclus les codes de fonctions SCILAB quiimplmentent les algorithmes fondamentaux ; cescodes ne sont pas ncessairement les plus efficacesni les plus lgants. Mes got personnels se sontinsinus au travers de quelques codes de calculs for-mels adapts au logiciel MAXIMA .

    Au final, le texte contient un traitement assezsubstantiel de linterpolation polynomiale, du cal-cul approch des intgrales et de lapproximationdes racines des quations, trois thmes qui formentsouvent lessentiel dune introduction lanalysenumrique. Par contre, les quatrime et cinquimechapitre, consacrs lanalyse numrique matri-cielle ne sont sans doute que des esquisses. Lesexercices donneront aux lecteurs intresss une ap-proche plus riche du sujet.

    Les questions de complexit et de stabilit desprocds numriques sont introduites de manireconcrte et informelle, et sont abordes chaque foisque cest possible sans tre excessivement tech-nique. Jai toujours jug quil ny avait pas de plusdcourageante manire de commencer un coursdanalyse numrique que par un chapitre sur ltudedes erreurs.

    Des versions prliminaires ont t progressive-ment mises en ligne depuis 2008 et y ont t souventtlcharges, plus de vingt mille fois dans la der-nire anne et, dans les deux tiers des cas, hors deFrance. Il est possible quune future seconde ditionlargie prenne la forme dune publication classiquesi elle existe encore au moment o je laurai com-plte.

    Foix, Juin 2013Jean-Paul Calvi

    . Les logiciels SCILAB et MAXIMA sont des logiciels libres tlchargeables sur internet et adapts tous les systmes dexploi-tations

    . Universit de Toulouse, UPS, Institut de Mathmatiques de Toulouse (CNRS UMR 5219), F-31062 Toulouse, France. Cour-riel : [email protected]

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    Renvois. Lorsque le texte renvoie un objet (thorme,section, exercice, etc) du mme chapitre, seul le numrode lobjet est indiqu. Par contre si le texte renvoie

    un objet dun autre chapitre, le numro du chapitre ap-parat aussi. Ainsi, si au cours chapitre 2, on renvoie authorme 20 du chapitre 1, on crira thorme I.20. Pourutiliser les liens, il suffit de slectionner le second, ici 20.

    [TH 0] ANALYSE NUMRIQUE CALVI

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    Table des matires

    Prface v

    Table des matires vii

    Table des codes SCILAB ix

    Table des codes MAXIMA ix

    I Interpolation 1

    1 INTRODUCTION LINTERPOLATION POLY-NOMIALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1 Espaces de polynmes . . . . . . . . . . . . . 11.2 Le problme gnral de linterpolation polyno-

    miale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Dtermination du polynme dinterpolation . . 31.4 Terminologie et notations . . . . . . . . . . . . 41.5 Simplification de lexpression de la formule

    dinterpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . 51.6 Proprits algbriques et linarit . . . . . . . . 5

    2 ALGORITHME DE CALCUL ET EXEMPLESGRAPHIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.1 Algorithme bas sur la formule de Lagrange . . 62.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Le cot de lalgorithme . . . . . . . . . . . . . 72.4 La stabilit de lalgorithme . . . . . . . . . . . 92.5 La formule de rcurrence de Neville-Aitken . . 102.6 Lalgorithme de Neville-Aitken . . . . . . . . . 112.7 Algorithme de calcul formel . . . . . . . . . . 12

    3 TUDE DE LERREUR . . . . . . . . . . . . . . 123.1 Lnonc du thorme . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Le thorme de Rolle gnralis . . . . . . . . 143.3 Dmonstration du thorme 9 . . . . . . . . . . 143.4 Choix des points dinterpolation . . . . . . . . 153.5 Prcision et nombre de points . . . . . . . . . . 16

    4 POLYLIGNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.1 Subdivisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Fonctions polylignes . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Approximation des fonctions continment d-

    rivables par les fonctions polylignes . . . . . . 194.4 Reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.5 Approximation des fonctions continues par

    des fonctions polylignes . . . . . . . . . . . . . 224.6 Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    5 EXERCICES ET PROBLMES . . . . . . . . . . 24

    6 NOTES ET COMMENTAIRES . . . . . . . . . . 33

    II Intgration 34

    1 FORMULES DE QUADRATURES LMENTAIRES 341.1 Lnonc du problme . . . . . . . . . . . . . . 341.2 Prsentation gnrale . . . . . . . . . . . . . . 35

    2 EXEMPLES FONDAMENTAUX . . . . . . . . . 362.1 La formule du point milieu . . . . . . . . . . . 362.2 La formule du trapze . . . . . . . . . . . . . . 362.3 La formule de Simpson . . . . . . . . . . . . . 37

    3 TUDE DE LERREUR . . . . . . . . . . . . . 373.1 Estimation de lerreur dans la formule du point

    milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Estimation de lerreur dans la formule du trapze 383.3 Estimation de lerreur dans la formule de Simpson 39

    4 COMPOSITION . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1 Ide gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Exemples fondamentaux de formules composes 414.3 Codes Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    5 EXERCICES ET PROBLMES . . . . . . . . . . 44

    6 NOTES ET COMMENTAIRES . . . . . . . . . . 49

    III quations numriques 50

    1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2 MTHODE DE DICHOTOMIE (OU DE BISSEC-TION) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . 51

    3 MTHODE DE NEWTON . . . . . . . . . . . . 533.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . 543.3 Autres versions . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4 Calcul formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    4 MTHODE DE LA SCANTE . . . . . . . . . . 594.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . 60

    5 LE THORME DU POINT FIXE . . . . . . . . . 625.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2 nonc du thorme du point fixe . . . . . . . 625.3 Illustration graphique . . . . . . . . . . . . . . 635.4 Dmonstration du thorme du point fixe . . . . 645.5 Dmonstration de la convergence de la suite xn 655.6

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