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7/21/2019 Analyse Numérique http://slidepdf.com/reader/full/analyse-numerique-56d9a358beb32 1/43 UNIVERSITÉ MOHAMMED V AGDAL FACULTÉ DES SCIENCES Rabat Master: Énergie et technologie des matériaux E.T.M Module 9 : Analyse numérique. Méthode des volumes finis KAMAL GUERAOUI Professeur de l’Enseignement Supérieur et Responsable d e l’Équipe de Modélisation Théorique et Numérique en Mécanique des Fluides et en Environnement ANNÉE UNIVERSITAIRE  : 2009 - 2010 

Analyse Numérique

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Analyse Numérique

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UNIVERSITÉ MOHAMMED V– AGDAL

FACULTÉ DES SCIENCES

Rabat

Master: Énergie et technologie des matériauxE.T.M

Module 9 : Analyse numérique.

Méthode des volumes finis 

KAMAL GUERAOUIProfesseur de l’Enseignement Supérieur et Responsable de l’Équipe 

de Modélisation Théorique et Numérique en Mécanique des Fluideset en Environnement

ANNÉE UNIVERSITAIRE : 2009 - 2010 

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  1

INTRODUCTION GENERALE

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  2

Les  problèmes physiques rencontrés dans notre

quotidien (le transport de polluants, les problèmes

de convection, les écoulements dans les conduites, la

modélisation de l’écoulement des polymères fondus, la

modélisation de la pollution atmosphérique, etc.)

sont décrits par des équations à dérivées partielles

fortement couplées et non linéaires.

En général, Ces équations n’admettent pas de 

solutions analytiques sauf dans des cas très

simplifiés. C’est pourquoi un recours aux méthodes de

résolution numériques s’avère nécessaire.

Il existe plusieurs méthodes numériques :

-  méthode des différences finies

-  méthode des volumes finis

-  méthode des éléments finis

-  méthodes spectrales,…

Chaque méthode de résolution numérique d’un

problème continu comporte une phase de maillage et

une phase de discrétisation.

La phase de maillage consiste à diviser le domaine

d’étude en de petits volumes appelés volumes de

contrôle.

La phase de discrétisation transforme le problème

continu en un problème discret. Les équations ainsi

que les conditions aux limites sont approchées par

des équations et conditions discrètes.

L’objectif de ce polycopié est de développer les

principes de la méthode des volumes finis.

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  3

Le premier chapitre sera consacré à

l’exposer de la méthode des volumes finis pour le

problème de la diffusion pure.

L’objet du deuxième chapitre sera

l’utilisation de la méthode des volumes finis pour le

problème stationnaire de diffusion - convection.

Le chapitre trois expose la méthode des

volumes finis en coordonnées cylindriques.

Le quatrième chapitre sera réservé à

l’illustration de la méthode de résolution itérative

de double balayage.

L’objet du dernier chapitre sera l’étude du

problème instationnaire de diffusion convection.

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  4

Chapitre 1

Problème stationnaire de diffusion pure

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  5

I- Introduction

Les méthodes des volumes finis ont été parmi les

premières à atteindre un stade de développement

avancé pour les calculs d’écoulements stationnaires

et instationnaires. Elles ont permis une prise en

compte complète des effets de non linéarité et de

compressibilité ainsi que les effets de viscosité à

l’aide des équations de Navier-Stokes, et de

turbulence. 

Les méthodes aux volumes finis ont supplanté les

méthodes classiques basées sur les différences finies

dans le traitement des problèmes complexes notamment

tridimensionnels.

La technique comprend deux étapes importantes :

-  le maillage : il consiste à diviser le

domaine en plusieurs intervalles réguliers

appelés volumes de contrôle.

-  La discrétisation : lors de cette étape

les équations sont intégrées dans les

volumes de contrôle.

II- Etude d’un problème de diffusion à une

dimension

Soit le problème de transport de la variable Ф 

par diffusion régi par l’équation suivante :

  0   S  grad div   (1)

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  6

Où :  est le coefficient de diffusion et S le terme

source.

A une dimension, l’équation (1) prend la forme

suivante :

  

      S 

dx

dx

d   (2)

II-1 Maillage

Dans le cas d’une étude à une dimension del’espace, le maillage est constitué d’une droite

subdivisée en un nombre fini de segments réguliers.

Ceux-ci constituent les volumes de contrôle dans

le cas unidimensionnel. Ci-dessous, nous donnons

l’exemple d’un maillage comprenant cinq volumes de

contrôle qu’on peut adopter pour la discrétisation del’équation (2):

La valeur de Ф  est maintenue constante aux

frontières. E et O sont appelés « Est » et « Ouest ».

P, E et O sont appelés nœuds et  x  le pas.

Dans cette première étape, on divise le domaine

de calcul en un nombre fini et discret de volumes de

contrôle. Le centre de chaque volume est placé

exactement au milieu du segment correspondant. Par

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  7

commodité, on s’arrange pour que les facettes des

nœuds de frontières coïncident exactement avec les

valeurs aux frontières du domaine de calcul. Dans

notre exemple, le domaine est divisé en cinq volumes

de contrôle.

II-2 Discrétisation

L’intégration de l’équation (2) sur le volume de

contrôle de centre P donne : 

   

  

   

VC VC dvS dv

dx

dx

d 0  (3)

  0

 

    V S 

dx

dx

oe

  (4)

Où : S  est la valeur moyenne de la source et V   levolume de contrôle correspondant.

Signalons que dans ce cas, une dimension,   xV    .

En général, le terme source peut dépendre de la

fonction Ф elle-même. C’est pourquoi on l’écrit: 

 P  P u   S S V S      (5)

Le coefficient de diffusivité n’est pas toujours

constant. Ses valeurs sur les facettes " e " et " o

" du volume de contrôle sont exprimées en fonction

des valeurs aux points nodaux P, O et E par les

relations suivantes :

2

O E 

e

  et 2

O P 

o

  (6)

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  8

Par application d’un schéma centré d’ordre deux,

on remplace les dérivées premières sur les facettes

du volume de contrôle par les relations :

        xdxd   P  E 

e

e

  (7)

 

  

 

 

 X dx

d    O P 

o

o

  (8)

En substituant les équations (5), (6), (7) et

(8) dans l’équation (4) on obtient :

  0

  P  P u

O P 

o

 P  E 

e   S S  x X 

  (9)

Et après arrangement on trouve :

u E  E OO P  P    S aaa     (10)

Avec :

 xa   o

O ,

 xa   e

 E    et  P O P    S aaa

 E   (11)

Les volumes de contrôle étant choisis réguliers,

on peut supposer que le nœud P occupe une position

d’indice i, le nœud O, la position  d’indice i-1, le

nœud E, la position d’indice i+1, etc. L’équation

(10) peut donc se mettre sous la forme suivante :

uiiiiii   S aaa       1111   (12)

L’équation (12) est donc construite pour tous

les volumes de contrôle du domaine d’intégration qui

ne sont pas influencés par les conditions aux

limites. Afin de tenir compte des conditions aux

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  9

limites, un traitement spécial est réservé aux nœuds

se trouvant aux frontières. Le système d’équations

résultant est un système d’équations algébriques

linéaires comportant autant d’équations que

d’inconnues.

La distribution discrète de la variable Ф  sur

le domaine de calcul peut alors être obtenue par les

méthodes directes de résolution des systèmes

d’équations linéaires : inversion de la matrice du

système, méthode des déterminants,...

Cependant, on préfère les méthodes itératives

telles que la méthode de Gauss-Seidel ou la méthode

de Jacobi qui sont bien adaptées pour ce genre de

systèmes à matrice bande. Mais comme pour tout calcul

itératif, il faudra alors définir un critère de

convergence pour pouvoir arrêter les calculs à un

moment donné.

III- Etude d’un problème de diffusion à deux

dimensions

III-1 Introduction

L’équation qui gouverne le problème stationnaire

de diffusion en deux dimensions dépend des variables

de l’espace "x" et "z». Il convient de rappeler que

dans ce cas, deux dimensions de l’espace, le volume

de contrôle est constitué du produit "∆x.∆z ".

A deux dimensions, l’équation (1) prend la forme

suivante :

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  10

  

   

 

  

      S 

dz 

dz 

dx

dx

d   (13) 

III-2 MaillageA deux dimensions, le domaine est subdivisé en

un nombre fini de volumes de contrôle qui sont alors

constitués d’éléments de surface réguliers. 

Le maillage a la forme suivante :

Où : P est le nœud principal, i l’indice de

discrétisation suivant l’axe des "x", j l’indice de

discrétisation suivant l’axe des "z".

Le temps sera indexé par l’indice "k".

En général, les lettres E, O, N et S représentent

respectivement l’Est, l’Ouest, le Nord et le Sud.

Le carré coloré en bleu clair représente un

élément de volume de contrôle. Les segments [PE] et

[PN] valent respectivement ∆x et ∆z.

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  11

Par la suite, nous allons adopter les maillages

suivants :

→  Suivant l’axe des "x" :

x(i) = (i–1)∆x

Où : x est le pas de discrétisation suivant cette

direction.

→  Suivant l’axe des "z" :

z(j) = (j-1)∆z

Où : z est le pas de discrétisation suivant cette

direction.

III-3 Discrétisation

L’intégration de l’équation (13) sur le volume de

contrôle de centre P donne : 

    

    

  

    

VCVCVC0dvSdv

dzd

dzddv

dxd

dxd   (14)

 

 

0VSdz

d

dz

d

dx

d

dx

d

snoe

 

 

 

    (15)

Où : S  est la valeur moyenne de la source et V   le

volume de contrôle correspondant.

Signalons que dans ce cas, deux dimensions,

zxV   .

En général, le terme source peut dépendre de la

fonction Ф elle-même. C’est pourquoi on l’écrit: 

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  12

 P  P u   S S V S      (16)

Le coefficient de diffusivité n’est pas toujours

constant. Ses valeurs sur les facettes " e ", " o ",

" n " et " s ", du volume de contrôle sontexprimées en fonction des valeurs aux points nodaux

P, S, N, O et E par les relations suivantes :

2

PEe

  et

2

O P 

o

  (17)

2

 NPn

 et

2

PSs

  (18)

Par application d’un schéma centré d’ordre deux,

on remplace les dérivées premières sur les facettes

du volume de contrôle par les relations :

 

 

 

 

 

 xdx

d   P  E 

e

e

  (19)

 

  

 

 

 X dx

d    O P 

o

o

  (20)

 

  

 

 

zdx

d   P Nn

n

  (21)

 

 

 

 

 

zdx

d   SP

ss

  (22)

En substituant les équations (16), (17), (18),

(19), (20), (21) et (22) dans l’équation (15) on

obtient :

  0SSzzxX  PPu

SP

s

P N

n

OP

o

PE

e  

  (23)

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  13

Et après arrangement on trouve :

uSS N NEEOOPP   Saaaaa     (24)

Avec : x

a   o

O

,

 x

a   e

 E 

  ,

z

a  n

 N

  et

z

a  s

S

 

PS NOP   SaaaaaE

  (25)

Les volumes de contrôle étant choisis réguliers,

on peut supposer que le nœud P occupe une position

d’indice (i,j), le nœud O, la position d’indice (i-

1,j), le nœud E, la position d’indice (i+1,j), le

nœud S, la position d’indice (i,j-1), le nœud N, la

position d’indice (i,j+1), L’équation (24) peut donc

se mettre sous la forme suivante :

u1 j,i1 j,i

1 j,i1 j,i j,1i j,1i j,1i j,1i j,i j,i

Sa

aaaa

  (26)

L’équation (26) est donc construite pour tous

les volumes de contrôle du domaine d’intégration qui

ne sont pas influencés par les conditions aux

limites. Afin de tenir compte des conditions aux

limites, un traitement spécial est réservé aux nœuds

se trouvant aux frontières. Le système d’équations

résultant est un système d’équations algébriques

linéaires comportant autant d’équations que

d’inconnues.

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  14

Chapitre 2

Problème stationnaire de diffusion convection

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  15

I- Introduction

Le problème stationnaire de diffusion convection

de la variable Ф  est gouverné par les équations

suivantes :

  )V(divSgraddiv    

  (1)

)V(div

= 0 (2) 

  est appelé coefficient de diffusion,   la masse

volumique du fluide, V

la vitesse du fluide et S

terme source.

II- Etude d’un problème de diffusion à une

dimension

A une dimension, les équations (1) et (2)

prennent la forme suivante :

 

  

      u

dx

dS

dx

d

dx

d  (3)

  0udx

d   (4)

II- Maillage

Dans le cas d’une étude à une dimension de

l’espace, le maillage est constitué d’une droite

subdivisée en en nombre fini de segments réguliers.

Ceux-ci constituent les volumes de contrôle dans

le cas unidimensionnel. Ci-dessous, nous donnons

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  16

l’exemple d’un maillage comprenant cinq volumes de

contrôle qu’on peut adopter pour la  discrétisation

des équations (3) et (4):

La valeur de Ф  est maintenue constante aux

frontières. E et O sont appelés « Est » et « Ouest ».

P, E et O sont appelés nœuds et  x  le pas.

Dans cette première étape, on divise le domaine

de calcul en un nombre fini et discret de volumes de

contrôle. Le centre de chaque volume est placé

exactement au milieu du segment correspondant. Par

commodité, on s’arrange pour que les facettes des

nœuds de frontières coïncident exactement avec les

valeurs aux frontières du domaine de calcul. Dans

notre exemple, le domaine est divisé en cinq volumes

de contrôle.

II-2 Discrétisation

L’intégration de l’équation (3) sur le volume de

contrôle de centre P donne : 

     

  

   

VC VCVC

  udx

ddvSdv

dx

d

dx

d

  (5)

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  17

  oe

oe

uuVSdx

d

dx

d

 

    (6)

Où : S  est la valeur moyenne de la source et V   le

volume de contrôle correspondant.L’intégration de l’équation (4) sur le volume de

contrôle de centre P donne : 

  0dvudx

d

VC

    (7)

  0uu oe     (8)

En général, le terme source peut dépendre de la

fonction Ф elle-même. C’est pourquoi on l’écrit: 

 P  P u   S S V S      (9)

Le coefficient de diffusivité n’est pas toujours

constant. Ses valeurs sur les facettes " e " et " o

" du volume de contrôle sont exprimées en fonctiondes valeurs aux points nodaux P, O et E par les

relations suivantes :

2

O E 

e

  et

2

O P 

o

  (10)

Par application d’un schéma centré d’ordre deux,on remplace les dérivées premières sur les facettes

du volume de contrôle par les relations :

 

  

 

 

 xdx

d   P  E 

e

e

  (11)

 

 

 

 

 

 X dx

d    O P 

o

o

  (12)

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  18

On pose :   uF   , le flux massique par convection et on

approxime la fonction   aux nœuds e et o par une

différence centrée, il vient :

  2/EPe     (13)   2/OPo     (14)

En substituant les équations (9), (10), (11),

(12), (13) et (14) dans l’équation (6) on obtient :

OPo

EPe

PPuOP

oPE

e

2

F

2

FSS

xX

  (15)

Et après arrangement on trouve :

u E  E OO P  P    S aaa     (16)

Avec :2

F

xa   oo

O  

,

2

F

xa

  eeE  

 

et PoeOP   SFFaaaE

 

Les volumes de contrôle étant choisis réguliers,

on peut supposer que le nœud P occupe une position

d’indice i, le nœud O, la position d’indice i-1, le

nœud E, la position d’indice i+1, etc. L’équation

(16) peut donc se mettre sous la forme suivante :

uiiiiii   S aaa       1111   (17)

L’équation (17) est donc construite pour tous les

volumes de contrôle du domaine d’intégration qui ne

sont pas influencés par les conditions aux limites.

Afin de tenir compte des conditions aux limites, un

traitement spécial est réservé aux nœuds se trouvant

aux frontières. Le système d’équations résultant est

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  19

un système d’équations algébriques linéaires

comportant autant d’équations que d’inconnues. 

Cependant, on préfère les méthodes itératives

telles que la méthode de Gauss-Seidel ou la méthode

de Jacobi qui sont bien adaptées pour ce genre de

systèmes à matrice bande. Mais comme pour tout calcul

itératif, il faudra alors définir un critère de

convergence pour pouvoir arrêter les calculs à un

moment donné.

III- Etude d’un problème de diffusion à deux

dimensions

Le cas bidimensionnel peut être obtenu en

utilisant la même technique que précédemment pour les

deux directions x et z. L’équation discrétisée

s’écrit sous la forme :

uSS N NEEOOPP   Saaaaa     (18) 

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  20

Chapitre 3

Etude d’un problème de transfert de chaleur à deux

dimensions en coordonnées cylindriques

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  21

I- 

Introduction

Soit le problème de transfert de chaleur de la

grandeur physique T (la température)  régi par

l’équation suivante :

2 2

2 2 2

1 10

T T T S 

r r r r     

  (1)

Où :

T   est la température, S le terme source,    la

variable azimutale et r la variable radiale .

II- Maillage

Dans le cas d’une étude à deux dimensions de

l’espace, le maillage est constitué de trapèzesubdivisé en un nombre fini de petits trapèzes

réguliers. Ceux–ci constituent les volumes de

contrôle dans le cas bidimensionnel. Nous donnons,

ci-dessous, l’exemple d’un maillage adopté à ce

problème.

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  22

III- Discrétisation

L’intégration de l’équation (1) sur le volume de

contrôle de centre P conduit à:

2 2

2 2 2

1 1( ) 0

cV 

T T T S dV 

r r r r     

  (1)

Soit :

21 1

( ) 02 2C V 

T T r rdrd rdrd Srdrd  V V c cr r r    r 

  

   

1( ) ( ) (( ) ( ) ) 0e e o o N S  

 p

T T T T  r r r S V  

r r r   

 

  (2)

Où :

S   est la valeur moyenne de la source et V    Le

volume de contrôle.

 j

 j-1

 j+1

P

s

S

e EoO

n

 N

i

i+1i-1

   

r   

Page 24: Analyse Numérique

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  23

Signalons que dans ce cas :   V r r      

En général, le terme source peut dépendre de la

températureT . C’est pourquoi on l’écrit :

T P P 

S V S S T     (3)

Or:

2

 E P e

r r r 

    et

2

O P o

r r r 

    (4)

Par application d’un schéma centré d’ordre  deux, on

remplace les dérivées premières sur les facettes du

volume de contrôle par les relations :

( ) ( ) ( ) ( ) P O E P e o e o

T T T T T T  r r r r  

r r r r  

  (5)

( ) ( )   N P P S  n s

T T T T  T T 

 

  (6)

En substituant les équations (3), (4), (5) et (6)

dans l’équation (1) on obtient :

( ) ( ) 0 P O N P P S  E P e o T P P  

 p p

T T T T T T  T T r r r r S S T  

r r r r    

 

  (7)

Ce qui conduit à :

 P P N N S S E E O O T a T a T a T a T a T S     (8)

Avec :

1 N S 

 P 

r a a

r     

 ;

2

 E P  E 

r r a

 

 ;

2

O P O

r r a

 

 ;

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  24

Et : P N S E O P a a a a a S    

Les volumes de contrôle sont choisis réguliers,

on peut supposer que le nœud P occupe une position

d’indice  ji , , le noeud O la position d’indice 1,i j , lenoeud E la position d’indice 1,i j , le noeud S la

position d’indice , 1i j  et le noeud N occupe la

position d’indice , 1i j  .

L’équation (8) peut donc se mettre sous la

forme suivante :

, , , 1 , 1 , 1 , 1 1, 1, 1, 1,a i j T i j a i j T i j a i j T i j a i j T i j a i j T i j (9)

L’équation (9) est donc construite pour tous

les volumes de contrôle du domaine d’intégration qui

ne sont pas influencés par les conditions aux

limites.

Afin de tenir compte des conditions aux

limites, un traitement spécial est réservé aux nœuds

se trouvant aux frontières.

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  25

Chapitre 4

Méthode de double balayage

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  26

On considère l’équation algébrique suivante qui

peut représenter n’importe quelle grandeur

physique  :

i DiiC ii Bii A     11         (1)

Le principe de la méthode de double balayage permet

d’écrire :

iiii            1   (2)

Où encore :

111     iiii          (3)

En introduisant l’équation (3) dans l’équation (1),il vient :

i Dii AiiC ii Biii A     111           (4)

L’équation (4) peut sous mettre sous la forme :

 

 

  1

11

1  

ii Ai B

ii Ai Di

ii Ai B

iC i

 

   

     (5)

Une comparaison entre l’équation (2) et l’équation

(5) donne :

 

1

ii Ai B

iC 

i      (6)

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  27

Et :

 

1

1

ii Ai B

ii Ai Di

 

       (7)

Les formules de récurrences (6) et (7) sont amorcées

à l’aide de la donnée de α(1) et de β(1) issus des

conditions aux limites.

Lors du premier balayage allant de i = 2 jusqu’à

i = maxi  , on détermine les fonctions α et β. 

La grandeur physique   sera déterminée lors du

balayage inverse allant de i = 1maxi  jusqu’à i = 2. 

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  28

Chapitre 5

Problème instationnaire de diffusion convection

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  29

I- Introduction 

Les étapes de maillage et discrétisation restent

les même que pour les cas des problèmes

stationnaires. La différence majeure repose sur

l’intégration qui se fait aussi bien sur le volume du

domaine que sur l’intervalle de temps  t t t    , .

La méthode des volumes finis permet en général

une permutation des intégrations suivant le temps et

suivant l’espace.

On pose : t t t 

t t 

  f    f  t dt   f           

  1  

Où :t 

 f    ett t  f      sont respectivement les images de

la fonction f respectivement aux temps t et t + ∆t

et θ un nombre réel tel que 10       .

Dans la suite, nous nous baserons sur le cas où

1  , c’est à diret t 

t t 

  f  dt   f    

, ce qui correspond à

la méthode dite implicite.

Remarque :

Notre étude portant sur un modèle bidimensionnel

et instationnaire, nous avons préféré traiter en

détail ces aspects dans le paragraphe suivant

correspondant justement au cas de notre étude. Quant

au cas tridimensionnel, il constitue juste une

extension des autres cas, mais le principe concernant

le maillage et la discrétisation reste pratiquement

le même.

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  30

Dans la suite nous allons appliquer la méthode

des volumes finis aux équations (49), (50) et (51),

ainsi qu’aux conditions aux limites, en tenant compte

du maillage ci-dessus.

II- Cas de l’équation de vorticité

L’équation de vorticité s’écrit :

 z U 

W a H  P 

 x P  R

 z W 

 xU 

t  P   r r a

r    0

20

2

2

       (1)

En intégrant cette équation suivant le volume de

contrôle et le long de l’intervalle de temps de

longueur dt, on aura :

dz dxdt  P 

 z 

a H 

 x

 P  R

 z 

 x

U dz dxdt 

t  P  VC 

t t 

r r a

VC 

t t 

T    r 

 

 

 

 

  2

0

0

2

    

On rappelle que dans notre cas, 2

2

2

22

 z  x  

 

En calculant terme à terme les intégrales de

l’équation ci-dessus, on trouve :

A = t 

 P 

t t 

 P 

r VC 

t t 

t r 

 z  x P 

dz dxdt t  P 

 

22     

 

B =

OO P  E  P  E  P O E 

VC 

t t 

U U U U U U t  z 

dz dxdt  x

4

 

Page 32: Analyse Numérique

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  31

C =

S O P  N  P  N  P S  N 

VC 

t t 

W W W W W W  z  x

dz dxdt  z 

4

 

D =

t  z  xS dz dxdt  z 

a H 

 x P  R  P 

VC 

t t 

r a    

  

 

0

0  

 

E =

S  P  N r 

O P  E r 

VC 

t t 

r  z 

 xt  P 

 x

 z t  P dz dxdt 

 z  x P   

 

  

 

2222

 

On remarque que les quatre résultats des

intégrales B, C, D et E sont considérés à l’instant

t t     mais on a omis de les indexer pour des raisons

d’encombrement des expressions.

En regroupant les résultats ci-dessus et en les

rangeant par rapport à l’inconnu, on obtient :

 

 P 

t t 

 P 

r S  P 

t t 

S r  P  N 

t t 

 N 

r O P t t 

Or  P  E t t 

 E 

r r S  N O E 

t t 

 P 

 z  x P 

t  z  xS 

 z 

t  x P W W 

t  x

 z 

t  x P W W 

t  x

 x z t  P U U t  z 

 x z t  P U U t  z 

 x

 z t  P 

 z 

 xt  P W W 

t  xU U 

t  z  z  x

 P 

2

2

44

44

2244

  

  

 

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  32

En tenant compte du maillage fait pour les

variables de l’espace ainsi que pour le temps, On

obtient le système d’équations algébriques suivant:

k  ji z  x

 P 

k  jiS t  z  x

 z 

t  x P k  jiW k  jiW 

t  xk  ji

 z 

 xt  P k  jiW k  jiW 

t  xk  ji

 x

 z t  P k  jiU k  jiU 

t  z k  ji

 x

 z t  P k  jiU k  jiU 

t  z k  ji

 z 

 xt  P 

 x

 z t  P k  jiW k  jiW 

t  x

k  jiU k  jiU t  z 

 z  x P 

k  ji

r r 

,,

1,,

1,1,1,,4

1,1,

1,,1,1,4

1,1,

1,,11,,4

1,,1

1,,1,,14

1,,1

221,1,1,1,4

1,,11,,14

1,,

2

2

  

  

  Le système d’équations algébriques ci-dessus

s’applique seulement pour les zones du maillage non

influencées par les conditions aux limites. Il

convient donc de déterminer les équations applicables

sur les régions voisines du contour délimité par le

maillage.

Nous rappelons que d’après le maillage que nous

avons choisi ci-dessus, suivant l’axe des abscisses

indexé par l’indice "i", nous avons 21 nœuds

délimitant 20 colonnes (i=1,...,21). Les nœuds

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  33

influencés directement par les conditions aux limites

sont donc ceux situés à i=2 et i=20. C’est donc pour

ces nœuds que nous allons déterminer les équations

particulières qui tiendront compte des conditions aux

limites.

Il en est bien évidemment de même pour l’axe des

côtes indexé par l’indice "j". Ici il s’agira par

contre des nœuds situés sur les lignes j=2 et j=20. 

Pour obtenir l’équation algébrique suivant la

colonne indexée par l’indice i=2, on considère comme

nœud principal le nœud i=2 et on suit la même

procédure d’intégration que précédemment. Ceci sera

aussi appliqué pour la colonne indexée par i=20, la

ligne indexée par j=2 et la ligne j=20.

L’opération sera reprise pour l’équation (1).

Les équations pour les colonnes et lignes

influencées par les conditions aux limites concernant

l’équation (1) sont donc les suivantes :

II-1 Equation suivant la colonne (2)

Cette équation, (2), s’écrit :

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  34

k  j z  x P k  jS t  z  x

 z 

t  x P k  jW k  jiW 

t  xk  j

 z 

 xt  P k  jW k  jW 

t  xk  j

 x

 z t  P U k  jU 

t  z 

 x

 z t 

 P k  jU k  jU 

t  z 

k  j

 z 

 xt  P 

 x

 z t  P k  jW k  jW 

t  x

U k  jU t  z 

 z  x P 

k  j

r CLCL

r r 

CL

,,21,,2

1,1,21,,4

1,1,2

1,,21,1,24

1,1,2

1,,24

1,,21,,341,,3

221,1,21,1,24

1,,34

1,,2

2

2

  

  

 

II-3 Equation suivant la colonne (20)

Cette équation, (3), s’écrit: 

k  j z  x P 

k  jS t  z  x

 z 

t  x P k  jW k  jW 

t  xk  j

 z 

 xt  P k  jW k  jW 

t  xk  j

 x

 z t  P k  jU k  jU 

t  z k  j

 x

 z t  P k  jU U 

t  z 

 z  xt  P 

 x z t  P k  jW k  jW t  x

k  jiU U t  z 

 z  x P 

k  j

r CLCL

r r 

CL

,,201,,20

1,1,201,,204

1,1,20

1,,201,1,204

1,1,20

1,,191,,204

1,,19

1,,204

221,1,201,1,204

1,,14

1,,20

2

2

  

  

 

II-3 Equation suivant la ligne (2) 

Cette équation, (4), s’écrit: 

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  35

k i z  x P 

k iS t  z  x

t  x P W k iW 

t  x

 z 

 xt  P k iW k iW 

t  xk i

 x

 z t  P k iU k iU 

t  z k i

 x

 z t  P k iU k iU 

t  z k i

 z 

 xt  P 

 x

 z t  P W k iW 

t  x

k iU k iU t  z 

 z  x P 

k i

r CLCL

r r CL

,2,1,2,

41,2,4

1,2,1,3,4

1,3,

1,2,11,2,4

1,2,1

1,2,1,2,14

1,2,1

221,3,4

1,2,11,2,14

1,2,

2

2

 

  

  

 

II-4 Equation suivant la ligne (20)

Cette équation, (5), s’écrit: 

k  ji z  x P 

k iS t  z  x

t  x P k iW k iW 

t  xk i

 z 

 xt  P k iW W 

t  x

 x

 z t  P k iU k iU 

t  z k i

 x

 z t  P k iU k iU 

t  z k i

 z 

 xt  P 

 x

 z t  P k iW W 

t  x

k iU k iU t  z 

 z  x P 

k  I 

r CLCL

r r CL

,20,1,20,

41,19,1,20,

41,19,

1,20,4

1,20,11,20,4

1,20,1

1,20,1,20,1

4

1,20,1

221,19,4

1,20,11,20,14

1,20,

2

2

 

  

  

Page 37: Analyse Numérique

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  36

III- Cas de l’équation de température réduite 

Cette équation est :

2

2

2

22

 z  x z W 

 xU 

t  P r               

En intégrant cette équation on a :

 

  dz dxdt  z  x z 

 x

U dz dxdt 

t  P VC 

t t 

t r VC 

t t 

2

2

2

22

        

En suivant les mêmes étapes de discrétisation

que précédemment, on trouve le système, (6),

d’équations algébriques suivant :

k  ji z  x P 

 z  xt k  jiW k  jiW  xt k  ji

 z 

 xt k  jiW k  jiW 

 xt k  ji

 x

 z t k  jiU k  jiU 

 z t k  ji

 x

 z t k  jiU k  jiU 

 z t k  ji

 z 

 xt k  jiW k  jiW 

 xt 

 x

 z t k  jiU k  jiU 

 z t  z  x

 P k  ji

,,

1,1,1,,4

1,1,

1,,1,1,4

1,1,

1,,11,,4

1,,1

1,,1,,14

1,,1

21,1,1,1,

4

21,,11,,14

1,,

2

2

   

 

 

 

 

  

 

 

Le système d’équations ci-dessus concerne les

zones non influencées par les conditions aux limites.

Nous allons comme précédemment déterminer les

équations les équations des zones sous influence à

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  37

savoir les colonnes (2) et (20) ainsi que les lignes

(2) et (20).

III-1 Equation suivant la colonne (2)

Cette équation, (7), s’écrit: 

k  j z  x P 

 z 

 xt k  jW k  jW 

 xt k  j

 z 

 xt k  jW k  jW 

 xt k  j

 x

 z t U k  jU 

 z t 

 x

 z t k  jU k  jU  z t k  j

 z 

 xt k  jW k  jW 

 xt 

 x

 z t U k  jU 

 z t  z  x

 P k  j

CLCL

CL

,,2

1,1,21,,24

1,1,2

1,,21,1,24

1,1,2

1,,24

1,,21,,34

1,,3

21,1,21,1,24

21,,34

1,,2

2

2

   

 

 

 

 

  

 

 

III-2  Equation suivant la colonne (20)

Cette équation, (8), s’écrit :

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  38

k  j z  x P 

 z 

 xt 

k  jW k  jW 

 xt 

k  j

 z 

 xt k  jW k  jW 

 xt k  j

 x

 z t k  jU k  jU 

 z t k  j

 x

 z t k  jU U 

 z t 

 z 

 xt k  jW k  jW 

 xt 

 x

 z t k  jU U 

 z t  z  x

 P k  j

CLCL

CL

,,20

1,1,201,,2041,1,20

1,,201,1,204

1,1,20

1,,191,,204

1,,19

1,,204

21,1,201,1,204

21,,194

1,,20

2

2

   

 

 

 

 

  

 

 

III-3 Equation suivant la ligne (2)

Cette équation, (9), s’écrit :

  k i z  x P  z 

 xt W k iW 

 xt 

 z 

 xt k iW k iW 

 xt k i

 x

 z t k iU k iU 

 z t k i

 x

 z t k iU k iU 

 z t k i

 z 

 xt W k iW 

 xt 

 x

 z t k iU k iU 

 z t  z  x

 P k i

CLCL

CL

,2,1,2,4

1,2,1,3,4

1,3,

1,2,11,2,4

1,2,1

1,2,1,2,14

1,2,1

21,3,

4

21,2,11,2,14

1,2,

2

2

    

 

 

 

  

 

 

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  39

III-4 Equation suivant la ligne (20)

Cette équation, (10), s’écrit :

k i z  x P 

 z 

 xt k iW k iW 

 xt k i

 z 

 xt k iW W 

 xt 

 x

 z t k  jiU k iU 

 z t k i

 x

 z t k iU k iU 

 z t k i

 z 

 xt k iW W 

 xt 

 x

 z t k iU k iU 

 z t  z  x

 P k i

CLCL

CL

,20,

1,19,1,20,4

1,19,

1,20,4

1,20,11,20,4

1,20,1

1,20,1,20,14

1,20,1

21,19,4

21,20,11,20,14

1,20,

2

2

   

 

 

 

 

  

 

 

IV- CONDITIONS AUX LIMITES

Les conditions aux limites doivent aussi être

discrétisées tout comme l’ont été les autres

équations de notre étude. On utilisera bien sûr les

mêmes indices de discrétisation que pour

précédemment. Les conditions aux limites deviennent

donc comme suit:

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  40

IV-1 Conditions à la paroi

Sur la paroi latérale de l’enceinte, on a :

  z  z  x     1,0       

D’où les conditions discrétisées :►    z  jk  j     11,,1 1     (11)

►    z  jk  j     11,,21 1     (12)

IV-2 Conditions d’isothermie sur les bases 

Ces conditions s’écrivent:

►    10,         z  x  

D’où :   11,1,        k i   (13) 

►    2

1,         z  x  

D’où :   21,21,        k i   (14)

IV-3 Conditions aux limites dynamiques

On a les conditions dynamiques suivantes :

►    00,    z  x   

D’où :   01,1,   k i    (15)

►    01,    z  x   

D’où :   01,12,   k i    (16)

►    0,0     z  x   

D’où :   01,,1   k  j    (17)

►    0,1     z  x   

D’où :   01,,21   k  j    (18)

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  41

Page 43: Analyse Numérique

7/21/2019 Analyse Numérique

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● Abbès AZZI,"Méthodes numériques, la méthode des

volumes finis" 

Faculté de Génie Mécanique, USTO, Oran, Algérie.

● Mrabti A.  "Simulation numérique d’écoulement de

convection naturelle…", Thèse de doctorat, 1999. 

● J.M.Seinfed et S.N.Pandis, "Atmospheric chemistry and physicis from air

 pollution to climate charge", Wiley, New-York, 1998.

● H.K.Versteg et W. Malalasekera, "an introduction to computational fluid

dynamics" . The finite volume methode, 1ère

  édition, Longman Group Ltd,

England, 1995.

● Launder B.E.et Splanding D.b.1974, the numerical computation of turbulent

flows, comuter Methods in Aplied Mecganics and Engineering, vol.3,pp.269-

289.

● Viollet P.L.1988, On the numerical modeling of stratified flows, Phyysical

Processes in Esturies (eds.Dronkers and van leussen) Springer verlay, pp.257-

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